Једна фамилија оптималних поступака четвртог реда за решавање нелинеарних једначина

УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Катарина Лолић Једна фамилија оптималних поступака четвртог реда за решавање нелинеарних једначина мастер рад Нови Сад, 6.

Садржај Предговор 3 Неке ознаке, дефиниције и теореме 4. Ознаке... 4. Дефиниције... 5.3 Теореме... 7 Итеративни поступци четвртог реда 9. Торес-Аквино поступак... 9. Чун-Ли-Нета-Џинић поступак....3 Кингов поступак... 3.4 Јаратов поступак... 5.5 Муракамиjev поступак... 8 3 Фамилија итеративних поступака четвртог реда 3. Прва фамилија поступака четвртог реда... 3. Друга фамилија поступака четвртог реда... 4 3.3 Трећа фамилија поступака четвртог реда... 5 3.4 Четврта фамилија поступака четвртог реда... 6 4 Нумерички експерименти 8 5 Закључак 3 6 Литература 33 7 Биографија 35

Предговор У мастер раду посматрамо оптималне нумеричке поступке четвртог реда конвергенције за нумеричко решавање нелинеарне једначине са једном непознатом ab, функција f има f ( x ) =. Претпостављамо да у посматраном интервалу [ ] једноструко решење α, тј. да је f ( α). Полазећи од Њутновог поступка, који је другог реда конвергенције, у многим радовима дате су модификације чији је ред конвергенције 4, [],[],[4],[],[],[]. Детаљније ћемо приказати поступке из [], [], [], []. Приказаћемо и Муракамијев поступак реда 3 из [4] и користећи се резултатима из [5], конструисаћемо фамилије поступака четвртог реда конвергенције Муракамијевог типа. Мастер рад је подељен у четири дела. У првом делу рада дајемо ознаке дефиниције и теореме које ћемо користити у даљем раду. Други део рада садржи приказе и теореме које се односе на итеративне поступке четвртог реда конвергенције за решавање нелинеарних једначина датих у радовима [], [], [], [] и [4]. У трећем делу, као оригинални резултат посматрамо фамилију оптималних итеративних поступака четвртог реда конвергенције. За изабране поступке, под одређеним претпоставкама, доказујемо конвергенцију и одређујемо асимптотску константу грешке. У последњем делу рада приказаћемо нумеричке експерименте урађене у програмском пакету Mathematica. Примери су узети из наведених радова, а највише из [4], [8], [9], []. Захваљујем се свом ментору др Драгославу Херцегу на корисним сугестијама и саветима, а пре свега на разумевању на менторским пословима. Велика је част и задовољство сарађивати са њим! Нови Сад, 9. август 6. Катарина Лолић 3

Неке ознаке, дефиниције и теореме. Ознаке R =,,, =! скуп реалних бројева низ бројева,, интервал којем припада низ скуп к-пута непрекидно диференцијабилних функција на интервалу, скуп функција које на интервалу, задовољавају Липшицов услов са константом γ решење једначине = константа c r ( r ) ( θ) f = константа r! ( ) c = f α константа = грешка у -тој итерацији = + једначина грешке = + асимптотска константа грешке 4

m ред конвергенције итеративног поступка број функционалних евалуација датог поступка \m p индекс ефикасности поступка f f ( x ) f f x F i u( x ) F ( i ) ( α) ( α) F f x f x. Дефиниције Дефиниција. За две једначине кажемо да су еквивалентне на интервалу, ако су решења која припадају интервалу, једне једначине решења друге једначине и обрнуто. Дефиниција. Сваки реалан број α, за који важи да је =, називамо решење једначине =. Дефиниција 3. Број α је решење вишеструкости к једначине = ако је = при чему је функција ограничена у α и важи. За к се увек узима позитиван цео број. Ако је =, онда кажемо да је корен прост или једнострук, а ако је > онда је вишеструк. Дефиниција 4. Нека је : R непрекидна функција. Број за који важи = је решење једначине = и назива се непокретна тачка функције. према Нека је произвољан број из интервала,. Формирајмо низ бројева,, =, =,, Овај низ је могуће формирати само ако,, =,, због дефинисаности функције на интервалу,. Очигледно, ако функција пресликава интервал, у самог себе, важи,, =,,. Ако је низ,, добро дефинисан и има граничну вредност, тј. за неко, важи =, онда је решење једначине = ако је функција непрекидна на интервалу,. Наиме, 5

из,, за свако, следи,, а због непрекидности функције важи = = = =. Дакле, ако низ,, конвергира, његова гранична вредност је решење једначине =, а чланови тог низа апроксимирају то решење. Овај поступак, у коме рачунамо вредности,, према =, =, се назива итеративни поступак (поступак сукцесивних апроксимација), где је = итеративно правило, функција је функција корака, а низ,, је итеративни низ. Први члан тог низа је почетна апроксимација. Када итеративни низ конвергира кажемо да итеративни поступак конвергира. Дефиниција 5. Функција задовољава Липшицов услов на интервалу ако постоји константа таква да за свако, важи. Константа се назива Липшицова константа. Ако је < онда се ова константа назива константа контракције, а функција се назива контракција или контрактивно пресликавање. Дефиниција 6. Нека је =. Ако постоји константа, и цео број такав да за важи каже се да је низ,, линеарно конвергентан. Ако постоје константе >, и цео број такав да за важи каже се да низ,, конвергира ка са редом бар. За = конвергенција је квадратна, а за =3 кубна. Дефиниција 7. Ред конвергенције итеративног поступка једнак је реду конвергенције итеративног низа добијеног посматраним итеративним поступком. Да би се одредио ред конвергенције често се посматра константа = +. 6

Уколико оваква константа постоји поступак је бар реда. Ако је, поступак је реда и се назива асимптотска константа поступка. Дефиниција 8. Једначина грешке поступка је e p + = Ce + O( e где је e = x α грешка у -тој итерацији, C асимптотска константа грешке и p ред конвергенције. \m Дефиниција 9. Индекс ефикасности итеративног поступка је p, где је p ред конвергенције итеративног поступка, а m број израчунавања вредности функција по итерацији. Дефиниција. [3] Оптимални ред конвергенције поступака без меморије који користе израчунавања функције по итерацији је..3 Теореме За решавање једначина облика = посматраћемо еквивалентне једначине облика = и одговарајуће итеративне поступке облика p+ =, =,,. Наводимо неколико теорема из [7] које се односе на једначину =) и теорему о реду конвергенције једнокорачног поступка. Теорема. Нека је за,. Тада су једначине = и = са = еквивалентне на интервалу,. Теорема. Нека је непрекидна функција на интервалу [ a, b] и ( a), ( b) [ a, b]. Тада постоји α [ a, b] такво да је ( α) = α. Теорема 3. Функција која задовољава Липшицов услов на интервалу је непрекидна на том интервалу. Обрнуто не мора да важи, тј. непрекидна функција на интервалу не мора да задовољава Липшицов услов на истом интервалу. Теорема 4. Ако функција има у интервалу [ a, b] први извод за који на том интервалу важи, онда,. Теорема 5. Нека је контракција на интервалу [ a, b] и нека пресликава тај интервал у самог себе. Тада итеративни низ одређен са ) =, =,, 7

са произвољним [ a, b], конвергира ка јединственом решењу [ a, b] једначине = и важи, =,,. где је Липшицова константа контракције функције. Вредности и дефинисане у претходној теореми називају се апостериорна и априорна оцена грешке. Теорема 6. [7] Ред конвергенције једнокорачног поступка =, =,, је позитиван цео број. Овај поступак има ред конвергенције п ако и само ако је α = (α), j ( α) =, j =,,..., p, p ( α). Ред конвергенције и асимптотске константе грешке свих поступака које посматрамо у овом раду одређујемо користећи претходну теорему. У зависности од p за асимптотске константе грешке узимамо ( p ) α p! а добијени резултат изражавамо преко константи C j ( j ) ( α), j,3, α. f = = j! f Како су функције корака посматраних итеративних поступака сложене и израчунавање њихових извода није једноставно, тај посао смо препустили програмском пакету Маthematica. 8

Итеративни поступци четвртог реда. Торес-Аквино поступак У раду [] посматрана су три поступка оптималног реда четири. Овде ћемо приказати само један од њих. Преостала два су слична по конструкцији и карактеристикама. Посматрамо једначину f ( x ) = под претпоставкама да је функција f на отвореном интервалу ( ab, ) довољан број непрекидно диференцијабилна, да важи f ( x) за x ( ab, ) и да посматрана једначина има решење α ( ab, ). Ове претпоставке обезбеђују да је α једноструко решење и да на интервалу ( ab, ) постоји инверзна функција g= f. За x ( ab, ) дефинишимо Нека је z x = ( ) f x f x K = f ( x ) и L f ( z ) =. ( - )( - ) ( - ) p y =A y K y L + B y K + C при чему су коефицијенти A, B и C одређени тако да важи Решавањем система ( ) ( 3) добијамо p( K) = g( K) = x () p( L) = g( L) = z () p ( K) = g ( K) = (3) f x 9

( ) ( ) ( K L) ( fx ) z fx + x fx K+ L z x A=, B=, C= x K L (4) односно p y = x Нека је x p + ( z x) ( y f ( x) ) f ( x) f ( z) ( y f ( x) )( y f ( z) ) z( f ( x) ) + x( f ( x) ) f ( x) + f ( z) ( f ( x) f ( z) ) ( f ( x) ) =, тада је ( )( ) f x z x x = x + ( ) ( ) ( ( ) + ( ) ( ) + ( ) ) ( f ( x ) f ( z )) f ( x ) f x f z z f x x f x f x f z + f x f z f ( x ) f ( x ) f z = x + f ( x ) f ( x ) f ( z ) ( f ( x ) f ( z )) У раду [] релација (8) којом се дефинише x + није иста као наша последња релација. Тамо је направљена штампарска грешка. Теорема 7. [] Нека је функција f на отвореном интервалу ( ab, ) довољан број непрекидно диференцијабилна, нека важи f ( x) за x ( ab, ) и нека једначина f ( x ) = има решење α ( ab, ). Тада је поступак f ( x ) f ( x) f ( z ) x+ = x + f ( x) f ( x) f ( z) ( f ( x) f ( z) ) реда конвергенције четири ако је x ( ab). Чун-Ли Ли-Нета Нета-Џинић поступак, Познато је, [], да је итеративни поступак довољно близу решењу α. ( ) f x x = + x ( ) H t x f x реда три, ако функција H испуњава услове (5)

и ако је H( ) =, H ( ) =, H ( ) <. (6) t x = ( ). f ( x ) f x f x (7) У раду [] је модификована функција t тако да се изостави други извод функције f и да се добије четврти ред конвергенције новог поступка. Нека је ( θ) θφ y = x + x, где је θ реални параметар а φ је функција корака поступка који је најмање реда конвергенције. Посматрајмо апроксимацију ( ) ( ) ( ) ( ) y x θ( x φ( x) ) f y f x f y f x f x = Сада уместо (7) можемо узети апроксимацију t x ( x ( x) ) f x f x f x f y f x = f x f x θ φ Сада формирамо нови итеративни поступак где је ( ) f x x = + x ( ) f x.. (8) H tɶ x, (9) ( x φ( x) ) f x f y f x tɶ ( x) =. () f x θ Теорема 8. [] Нека је функција f на отвореном интервалу ( ab, ) довољан број непрекидно диференцијабилна, нека важи f ( x) за x ( ab, ) и нека једначина f ( x ) = има решење α ( ab, ). Ако за функцију H важи (6), ако је θ реалан параметар и ако је φ је функција корака поступка који је најмање реда конвергенције, тада је поступак дефинисан са (9) и () реда конвергенције три.

Ако је још H ( ) = и конвергенције четири ако је θ =, онда је поступак дефинисан са (9) и () реда 3 x ab довољно близу решењу α., У [] је посебно посматран случај 3 θ =, f x φ x = x, f x тј. случај када је φ функција корака Њутновог поступка. Оваквим избором добијамо и ( ) ( ) f ( x ) 3 f x f y tɶ ( x) = () y = x 3 ( ) f x x = + x ( ) f x f x, () ( ) f x H tɶ x. (3) За различите изборе функције H добијају се специјални поступци реда конвергенције 4. H( t ) t + ( t) 9 9 + 6 4t 6 t 3 3t γt+, =+ 3 3 4 αt+ βt+ t t + + Референца [] [] 4 + + t t 4 t 4 4 t t ( t ) []

.3 Кингов поступак У [] је посматран итеративни поступак w = x f / f' / x + = w f w f w код којега је први извод f ( w ) замењен са f w = f' ( ) f + γf w f + βf w при чему су и параметри. Да би се одредила једначина грешке, прво посматрамо Тејлорове развоје: = + + 6 + 4 +, = + + + 6 +, = + + 6 + 4 + = Сада је = + 6 3 + 4 4 +5 +3 +. = = = + 6 3 + 4 4 + +3 +. Очигледно, да би се постигла конвергенција четвртог реда, неопходно је узети =, у овом случају једначина грешке постаје ε = + 3 β ε ε 4 + + + ( FF [ 3 6 ] F 3 ) 4 O( 5 ) а одговарајућа фамилија поступака четвртог реда са једним параметром је = = + +. 3

У следећој варијанти полазног поступка узимамо као коефицијент правца, w, f w до ( ) сечице одређене са ( x f ) и ( ( ) ) Резултирајући поступак је са водећим чланом грешке = =. = = +. 4 +9, што значи да је посматрани поступак четвртог реда конвергенције. добија се Ако се одреди тако да важи + = = а полазни поступак постаје нови поступак четвртог реда = =. Ово је познати поступак, Трауб 8, а његов водећи члан грешке је +3. Нове поступке четвртог реда можемо добити и на следећи начин. Претпоставимо да је = при чему је δ неки параметар. Посматрајмо поступак 4

=, = и одредимо параметре δ,, и тако да поступак буде реда четири. Ако се грешка развија као степени ред по, онда изједначавајући коефицијенте уз трећи степен од са нулом добијамо следећи систем једначина: + + =, + + + =, 4 + + +8 6 4+ =, + 3 + 8 +4 +4 =. У [] је доказано да са = и добијамо поступак четвртог реда, Одговарајући водећи члан грешке је са =, =, =. = = +. 4 +5 = +. Индекс ефикасности Кинговог поступка је.4 Јаратов поступак У [] је посматран итеративни поступак φ /3 4 =.5874. x = x φ x + x (4) где је 5

по угледу на поступак Трауба [3] φ φ ( x) = aw ( x) + aw ( x) f ( x) ( x) = bf ( x) + b f' x+ δw ( x) x = x + aw x aw x w x w x = = f ( x) + δ f x f x f x w x Претпостављамо да има просту нулу α. Користећи Тејлорове развоје за и око добијамо и = + + = + + +4+ 3 +6+ +. На основу претходне две релације следи = + + + + и где је + + +4+ +3 +6+ +О = + + + +О = +, = ++, =3 + 3 +. Имајући у виду претходне релације, видимо да би посматрани поступак био четвртог реда мора бити задовољен следећи систем једначина 6

= + + + = + + = + + = 3 Ово је систем од четири једначине са пет слободних параметара,,, и. Из друге и последње једначине добијамо да је =, тако да се систем редукује на + + = + + + =3 4 + + =9 8 У решавању овог система згодно је елиминисати сменом + =, а за, опште решење је = 4 + 3, = 3 4, = 8 3. Посебан случај = имплицира =, док = даје =. У општијем смислу, са, можемо да конструишемо класу поступака четвртог реда. Бирамо вредности за, тако да остали коефицијенти буду једноставни. На пример, = даје =, а вредности осталих параметара су онда =, =5, = 5. За = добијамо =,=, = и =3, а одговарајући итеративни поступак је = + 3 3 Ако узмемо =, тј. = добијамо =, =, = = одговарајући итеративни поступак = 3 3 + +. 3 Коефицијент уз у једначини грешке може се приказати у облику 7

9 8 +, 9 Видимо да вредност = поједностављује ову константу отклањањем првог члана. Одговарајуће вредности параметара су = 8, = 7 5, = 83 64, = 9 64. Индекс ефикасности Јаратовог поступка је 8 /3 4 =.5874. Jaratov поступак се може посматрати и као специјалан случај Чун-Ли-Нета- Џинић поступка, као што је приказано у []..5 Муракамиjev поступак где је У раду 4 је посматран следећи итеративни поступак је параметар и је функција. x = φ x, = +,,, (5) = h, =h +h, h h=, Нека је једноструко решење једначине = и претпоставимо да су функције и довољан број пута непрекидно диференцијабилне. Развијањем и, постижемо и где је Из претходног следи = h+6 h + h +h =+ +! +! +h, =!, =,3,4.

h= h h h 6 h 4 3 h h h +h. Пошто је, према 5 = h h h + h 5 h +5 h h, добијамо = h+ h + h + 6 h +5 4 3 h + 5 h + h +h. Да би итеративни поступак (5) био четвртог реда, довољно је да важи: =, =, =, 6 =. Решавајући тај систем добијамо: =, =, =, =. Користећи решења датог система једначина, добијамо да је асимптотска константа грешке поступка. = lim h =5 4 3 + 3, =, =,3,4. Сада ћемо навести неке облике функције и одговарајуће асимптотске константе грешке: = + +, =5 + = + + +, =4+5 +, је параметар различит од нуле. Даље, ако посматрамо итеративни поступак (5) и ако претпоставимо да је =, добијамо следећи итеративни поступак конвергенције трећег реда: =, =,,, 9

где је = h и =h. Овај поступак је трећег реда конвергенције за све просте нуле једначине = ако и само ако је = и =. Шта више, по Траубу су главна секвенца и асимптотска константа грешке задате као: = h h h + h, = lim h =. Наводимо два примера у вези функције и одговарајуће константе грешке: Пример. =, =++4,, су параметри. Ако је ==, тада =,, =. Ако је =, =,тада =,, =. Пример. =, =,, су параметри. Ако је =, тада = Ако је =, тада =. Два специјална случаја су h. Φ= Φ,= итеративна функција Островског Халејева итеративна функција где је =.

3 Фамилија итеративних поступака четвртог реда У овом делу посматрамо четири фамилије поступака реда четири. Ове фамилије су конструисане на исти начин, али са различитим помоћним функцијама. Због тога су одговарајуће теореме о конвергенцији практично исте, њихови докази исти сем у детаљима где се појављују помоћне функције. Доказаћемо само теорему која се односи на прву фамилију. Разлике које имплицирају помоћне функције имају за последицу разлике у изразима за асимптотске константе грешке. Идеја за формирање фамилија је преузета из [5], а доказ је изведен на основу рада [4]. У раду [5] приказана је фамилија поступака трећег реда конвергенције за решавање нелинеарних једначина. Показано је да овој фамилији припадају неки већ познати поступци као што су Халејев и супер Халејев поступак. Прво је посматран Њутнов поступак за израчунавање апроксимације за α x x ( ) f x = +, f x =,, за неку одговарајућу почетну вредност x. Њутнов поступак квадратно конвергира у некој околини од α ако је f ( α). Под претпоставкама које су сличне оним које постављамо за Њутнов поступак, у раду [5] дат је доказ конвергенције трећег реда за следећу фамилију поступака. Нека је x F x =, =,,, + k где су функције F k облика f x Fk ( x) = x k f x ( t( x) ), k=,, са

t x = f ( x) f x f x и функцијама k дефинисаним са ( s) =, k( s) =, k=,, s k Њутнов поступак не припада овој фамилији поступака трећег реда, али се може посматрати као гранични случај када s. Сада посматрамо итеративни поступак x F x ( s) = (6) + k f x Fk ( x) = x k f x σ ( ( x) ) (7) σ ( x) = f ( x) f x 3 f x f x f x (8) са функцијама k дефинисаним са k ( s) =, k,, s = (9) k Функција σ је дефинисана према Муракамију [4]. У зависности од ( s) имаћемо четири фамилије. 3. Прва фамилија поступака четвртог реда Прво посматрамо ( s ) = s + s+, () а одговарајућу фамилију поступака дефинисану са (6)-(8) означавамо као прву. Функције k се лако рачунају. Наводимо првих седам s s s k s s, k=,,,7: 3 ( s + s + s ) 4 4 3 4 + + 4 ( s + s+ ),,, 3 3 4 3 s + s + s 4 s + s + 4s 4 s s s+ 8

4 ( s + s s+ ) 4 3 4 8 4 4 5 s s s+ 8 6+ 4s s 5s + s,, s + 4s 6s+ 8 s 5s s + 4s 6 6+ 48s 36s + 4s 5s + 3s 4 5 4 3 4 5 Теорема 9. Претпоставимо да функција f: ( ab, ) R R има једноструку нулу ( ab, ) α и да је fдовољно непрекидно диференцијабилна у околини нуле α.тада поступак (6)-(8) за прву фамилију има четврти ред конвергенције. Одговарајућа асимптотска константа грешке је E k c 5c cc + 3 = c 3 3 4 3 k = 4 c3c+, k > Доказ. Ради једноставности изоставићемо индекс k код и F. Једноставним рачунањима користећи Mathematica добијамо ( ) =, ( ) = ( ) =, () k = ( ) =, () 4 5 k > ( α) = α ( α) = φ ( α) = ( φ φ ) F, F, F c, ( α) = ( ) φ + ( ) φ φ F c c 4 c c c, 3 3 (3) F ( 4 ) 3 ( α) = 4( 4c 7cc + 3c ) φ( ) 3 4 3 8 48 3c 4cc3+ c4 φ + 48c 7c 3 φ 3cφ 3 3 ( 4c ) (4) Како је, [4] и σ α =, σ α = c, 4( 3 c + c3), 3 8 ( c 5cc 3 4c4) σ α = σ α = + (3) ( α) = ( α) = ( α) =, ( α) = ( 3) (4) 3 ( α) = 4( 4c + 7cc 3 3 c4). u, u, u c u c c, u, (5) (6) 3

следеће важи у свим случајевима: ( ) =, (),(),(3) и (4). Из () и (3) следи и F α = (7) Користећи (),() и (4) добијамо за k > и, у зависности од ( ), из () F α =. (8) 6 ( 4 ) F α = cc 3 + c4 (9) 4 3 ( 4 ) 3 F α k = = cc 3 + c4 + 5c 4 3 k > (3) Сада, из (7), (8) и (3) следи тврђење теореме. 3. Друга фамилија поступака четвртог реда Нека је + + + s, β β ( βs+ ) β ( s) = где је β реални параметар. Са овако дефинисаним ( s) добијамо (наводимо само првих пет k( s), k=,,,4): ( s) ( s) =, s s β + + + β ( βs+ ) β =, s s s β + + + β ( βs+ ) β 4

3 4 ( s) ( s) = =, s s s s β + + + β ( βs+ ) β s s s s s β + + + β ( βs+ ) β Одговарајућу фамилију поступака дефинисану са (6)-(8) означавамо као другу. Теорема. Претпоставимо да функција f: ( ab, ) R R има једноструку нулу α ( ab, ) и да је fдовољно непрекидно диференцијабилна у околини нуле α.тада поступак (6)-(8) за другу фамилију има четврти ред конвергенције. Одговарајућа асимптотска константа грешке је E k 3 c4 (4β + 5) c cc 3 + k = 3 = c 4 c3c+, k > 3 3.3 Трећа фамилија поступака четвртог реда Нека је + s + θ =, (3) + s β+ sθ ( s) где су θ и β реални параметри. Функције k се лако рачунају. Наводимо следећих пет k( s), k=,,,5:,, s s s θ+ s+ s s θ s + + βs θs + + s θ s + + βs θs + + βs + θs+ 5

, s s s s s s s s θ+ s+ s θ s + + βs θs + + βs + θs+ Теорема. Претпоставимо да функција f: ( ab, ) R R има једноструку нулу α ( ab, ) и да је fдовољно непрекидно диференцијабилна у околини нуле α.тада поступак (6)-(8) за трећу фамилију има четврти ред конвергенције. Одговарајућа асимптотска константа грешке је E k 3 c4 c(β + θ + ) cc 3 + k = 3 = c 4 cc 3 +, k > 3 За k= поступак је реда 3 ако је β + θ + са асимптотском константом грешке c (β + θ + ). Ако је β + θ + = поступак је реда 4 са асимптотском константом грешке ( ) c c c 8 β( θ+ 3) + 4θ + 4θ + 9 + cc (6β + 8θ + 7) + = ( 4 β) c cc + 3 3 3 4 3 4 3 3 3.4 Четврта фамилија поступака четвртог реда Нека је ( s) = a+ b. b bs a+ b + a где су а и b реални параметри. Функције k се лако рачунају. Наводимо следеће четири k( s), k=,,,4: 6

,, s( a+ b) s s a+ b b bs( a+ b) + a b bs a+ b + a, s s s s s( a+ b) s s a+ b b bs( a+ b) + a b bs a+ b + a Теорема. Претпоставимо да функција f: ( ab, ) R R има једноструку нулу α ( ab, ) и да је fдовољно непрекидно диференцијабилна у околини нуле α.тада поступак (6)-(8) за четврту фамилију има четврти ред конвергенције. Одговарајућа асимптотска константа грешке је E k 3 a c4 c 3 cc + k = b 3 = c4 c3c +, k > 3 За k= поступак је реда 3 ако је a b са асимптотском константом грешке ( ) c b a b Ако је a b= поступак је реда 4 са асимптотском константом грешке ( 3 + ) 3 c a a b b a c4 c4 + cc 3 + = cc 3+ b b 3 3 7

4 Нумерички експерименти Решавали смо једначину = користећи следеће тест функције из [3],[4] и [5] са одговарајућим стартним вредностима x : f( x) = si x, α*.5359877559898873, x =.7, 3 f( x) = x, α*.5443469388378, x =, x f x = x e, α*.97574887967, 3 x = 3 3 3 3 3 f4 x = x + 4x, α*.3653344968458, 4 x = f5 x = x, α 5 =, x =.8, * f6 x = x, α6.59949894873, x =., x f7( x) = six, 7 α*.895494673398947, x =.5 f x = e +, α 8 = 3, x = 3., x 7x 3 8 f9 x = x cosx, f x = x six cosx, * α9.7398533566, x =, * α.89564538439, x =.5. Сви резултати добијени су у програмском пакету Mathematica. Прецизност је повећана на цифара са функцијом SetPrecisio. Користили смо излазни критеријум xk α ε < и f x < ε, где је α тачно решење посматране једначине. У k случајевима где је тачно решење непознато користили смо његову апроксимацију α *, која је добијена са 3 цифара. Због једноставности уз сваку једначину наведено је тачно или приближно решење α односно α * само са цифара. Нумерички ред конвергенције (COC) рачунамо према ( x+ α) ( x α) ( x α) ( x α) l / COC l /. 5 У свим случајевима је COC 4, за = 3,4,. Дакле, нумерички ред конвергенције је веома близак броју 4, што потврђује теоријске резултате. 8

Са првом фамилијом поступака четвртог реда, означавамо је са Мураками, добили смо резултате приказане у табели. Видимо да ни у једном од посматраних примера први члан фамилије не даје најбоље резултате. Најбоље резултате смо болдовали. Сличне резултате добили смо и са четвртом фамилијом, означавамо је са Мураками 4. Користило смо a= 3 и b= 4. Ови резултати су приказани у табели 4. Најбоље резултате смо болдовали. Табеле и 3 садрже резултате добијене помоћу фамилија и 3, означено са Мураками и Мураками 3. За Мураками смо узели β = 5/4, за Мураками 3 β = /4 и θ = 3/. Видимо да најбоље резултате дају први и други чланови фамилија. 3 4 5 949.77 79.7 9.... 897.35. 336. 3.3 33. 33. 7.4 888.6 859.63 857.39 857.8 857.7 45.75 765.77 848.7 779.3 765.96 76.53 346.3 594.67 87.6 87.9 853.56 84.99 37.63 57.38 83.94 788.43 84.8 86.4 65.67 4.5 545.75 68. 8.65 95.47 85.99 43.8 33. 6.5 3.44.466 87.53 9.59 9.54 9.54 9.54 9.54 498.5 766.64 84.5 87.37 87.78 87.84 Табела. Упоређење поступака за Мураками 3 4 5 34...... 88. 36. 3.9 33. 33. 33. 867.5 858.6 857.5 857.7 857.7 857.6 33.6 796.88 77. 763.6 76.9 76.43 747.49 883. 837.3 845.5 843.6 844.3 79.6 87.3 8.9 83.63 88.43 88.9 645.9 765.9 99.67 995.83 68.6 3.7 44.56 47.45 48.6.9633 4.74 75.77 9.55 9.54 9.54 9.54 9.54 9.54 79.56 86.49 87.66 87.8 87.85 87.85 Табела. Упоређење поступака за Мураками 9

3 4 5 9.5.5.... 3. 35. 33. 33. 33. 33. 864.46 857.8 857. 857.7 857.6 857.6 935. 788.63 768.7 763. 76.77 76.39 783.3 86.9 84.6 844.77 843.78 843.99 766.36 849.8 84.73 89.76 88.6 88.87 733.6 85.98 5.9 56.4 7.8 39.3 36.96 5.99 9. 4.365 7.67 4. 9.55 9.54 9.54 9.54 9.54 9.54 796. 86.84 87.7 87.83 87.85 87.85 Табела 3. Упоређење поступака за Мураками 3 3 4 5 364.9 55.3.4... 356.6 46. 38.7 3.8 33. 33. 39. 883.8 854.9 856.96 857.5 857.6 76.47 67.9 74.9 746.6 756.84 76. 65.5 776.7 857.48 84.4 844.55 843.83 6.87 76.36 84.68 85.95 89.48 88.68 7.98 8.9 937.4 66.9.9 76.5 64.77 9.3 3.83 3.36 99.5 58.9 35.97 94.8 9.53 9.54 9.54 9.54 346.56 7.69 8.85 88.4 87.9 87.86 Табела 4. Упоређење поступака за Мураками 4 У табели 5 приказане су вредности за све поступке које смо тестирали: поступак Торес-Аквино, поступак Чун-Ли-Нета-Џунић са следећим скупом фнкција H 4 9 9 s s 4 s 4, +, + +, + +, s s+ 4 6 4s 6 s ( s ) s s, а поступке смо означили редом са,,3,4,5, поступак Кинг резултати су добијени са = (Кинг ) и = (Кинг ), поступак Јарата резултати су добијени за =7 5(Јарат ), =3 (Јарат ), =9 (Јарат 3) и = (Јарат 4). 3

Торес- Аквино Чун Кинг Јарат 3 4 5 3 4 54.6 55.9 63.4 946.6 58.. 55.6 7. 97. 63.4 98. 6.3 69. 63.9 8.7 897.3 69. 99.5.3 976. 347.6 79.7 94.3 3. 459.38 498. 5. 46.6 497.9 48.8 57.6 465.8 57.6 5.6 475.4 5.6 553. 56.4 56.9 45.7 553. 57.4 598. 393. 7.3 56.9 495.4 65.7 564.96 533.7 575.6 346.3 565. 463.5 587.7 478. 959. 575.6 36.3 7.8 548.77 55.5 559.4 37.6 548.8 446. 57.6 46.8 95. 559.4 85.9 77. 385.38 36. 394.4 66. 386. 8. 45. 36.8 7. 394.4 8. 5.6 7.95 8. 77.9 88.6 69.5 3. 95.3 33.3.4 77.9 6.5 395. 948.9 843. 844.4 88.6 843. 833. 3. 975.9 879.6 844.4 87.5 857. 533.4 5.5 53.6 466.7 5.4 498. 575.9 576.9 65. 53.6 488.7 555. Табела 5. Упоређење поступака За сваки од примера издвојили смо онај поступак који има највећу вредност за и тај број смо болдовали. За пет посматраних функција најбоље резултате даје поступак Јарат, за три поступка Јарат 4, а за два поступка Кинг. Резултати се разликују, за поједине функције неки поступци у односу на друге дају боље резултате, а за друге функције дају лошије, тако да се ни за један поступак не може рећи да је најбољи. За прву и девету функцију најбоље резултате даје поступак Кинг. За пету и шесту функцију најбољи је Јарат. За четврту и осму најбољи је Мураками са првим чланом фамилије, а Мураками је најбољи и за седми пример али са четвртим чланом фамилије. За функције и 3 најбољи је Мураками са другим чланом фамилије, односно са првим чланом фамилије. За десету функцију најбољи је Мураками 4 са другим чланом фамилије. 3

5 Закључак У раду смо посматрали оптималне поступке четвртог реда конвергенције за нумеричко решавање нелинеарних једначина са једном непознатом. Индекс /3 ефикасности ових поступака је 4 =.5874. Посматрани поступци полазе од Њутновог поступка, који је другог реда конвергенције, а повишење реда са два на четири постиже се убрзањем Њутновог поступка са додатним кораком. Приказани су поступак Торес-Аквино, поступак Чун-Ли-Нета-Џинић, поступак Кинга и поступак Јарат. Поступајући на начин приказан у раду [5], добијена је фамилија оптималних поступака четвртог реда конвергенције типа Мураками, као оригиналан допринос. Доказане су теореме о локалној конвергенцији посматране фамилије и одређене су асимптотске константе грешке користећи резултате из [4]. Под одређеним претпоставкама доказали смо конвергенцију поступака и одредили асимптотске константе грешке. У четвртом делу рада приказали смо више резултата изведених експеримената који су урађени у програмском пакету Mathematica. Нумерички резултати показују да наше модификације и примери дају добре резултате, сличне поступцима на које смо се угледали. Примери које смо користили за нумерички експеримент узети су из релевантних радова. Нумерички резултати су у складу са теоријским разматрањима. 3

6 Литература [] Chu, C., Lee, M.Y., Neta, B., Jovaa Džuić, J., O optimal fourth-order iterative methods free from secod derivative ad their dyamics, Applied Mathematics ad Computatio 8 () 647 6438. [] Ferádez-Torres, G., Vásquez-Aquio, J., Three ew optimal fourth- order iterative methods to solve oliear equatios. Advaces i Numerical Aalysis, 3, -8. [3] Hase, E., Patrick, M., A family of root fidig methods, Numer. Math. 7(977), 57-69. [4] Herceg Đ., Herceg D., A family of methods for solvig oliear equatios, Appl. Math. Comput. 59 (5) 88 895. [5] Herceg Đ., Herceg D., O a third order family of methods for solvig oliear equatios, Iteratioal Joural of Computer Mathematics, 87(),, 533 54. [6] Herceg, D., Herceg, Dj., Meas based modificatios of Newto s method for solvig oliear equatios, Appl. Math. Comput., 9,(3), 66-633. [7] Herceg, D., Krejić, N., Numerička aaliza, Uiverzitet u Novom Sadu, Stylos, Novi Sad, 997. [8] Herceg, Đ., Herceg, D., Sixth-order modificatios of Newto's method based o Stolarsky ad Gii meas, Joural of Computatioal ad Applied Mathematics, 67(4), 44 53. [9] Herceg, Đ., Herceg, D., Third-order modificatios of Newto's method based o Stolarsky ad Gii meas, Joural of Computatioal ad Applied Mathematics 45(3), 53 6. [] J. Kou, Y. Li, X. Wag, Fourth-order iterative methods free from secod derivative, Appl. Math. Comput. 84 (7) 88 885. [] Jarratt, P., Some Fourth Order Multipoit Iterative Methods for Solvig Equatios, Mathematics of Computatio, Vol., No. 95 (966), 434-437. [] Kig, R., A family of fourth order methods for oliear equatios, SIAM Joural o Numerical Aalysis (973) 876 879. [3] Kug, H. T., Traub, J. F., Optimal order of oe-poit ad multipoit iteratio, Joural of the Associatio for Computig Machiery, vol., pp. 643 65, 974. [4] Murakami, T., O some iterative formulas for solvig oliear scalar equatios, Joural of Iformatio Processig, 5, (99), 87-94. [5] Ortega, J.M., Rheiboldt, W.C., Iterative Solutio of Noliear Equatios i Several Variables, Academic Press, New York, 97. [6] Ostrowski, A.M., Solutio of Equatios ad Systems of Equatios, Academic Press Ic., 966. 33

[7] Ralsto, A., A First Course i Numerical Aalysis, Tokyo [etc.]: McGraw-Hill Kogakusha, Ltd., 965. [8] Traub, J.F., Iterative Methods for the Solutio of Equatios, Pretice Hall, Clifford, NJ, 964. 34

7 Биографија Рођена сам 3. октобра 987. године у Шапцу. У родном граду сам завршила Основну школу Вук Караџић као носилац Вукове дипломе и Шабачку гимназију, природно математички смер са одличним успехом. Године 6. уписала сам Природно математички факултет у Новом Саду, смер професор математике. Дипломирала сам 5. фебруара. године. Исте године уписујем мастер студије на матичном факултету, смер настава математике. Положила све испите предвиђене наставним планом и програмом мастер студија и тако стекла услов за одбрану мастер рада. Од септембра. године сам запослена у Основној школи Лаза К. Лазаревић у Шапцу. Нови Сад, 9.август 6. Катарина Лолић 35

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO - MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU KLJUČNA DOKUMENTACIJSKA INFORMACIJA Redi broj: RBR Idetifikacioi broj: IBR Tip dokumetacije: Moografska dokumetacija TD Tip zapisa: Tekstuali štampai materijal TZ Vrsta rada: Master rad VR Autor: Kataria Lolić AU Metor: dr Dragoslav Herceg MN Naslov rada: Jeda familija optimalih postupaka četvrtog reda za rešavaje eliearih jedačia MR Jezik publikacije: srpski (ćirilica) JP Jezik izvoda: srpski i egleski JI Zemlja publikovaja: Srbija ZP Uže geografsko područje: Vojvodia UGP Godia: 6. GO Izdavač: Autorski reprit IZ Mesto i adresa: Novi Sad, Departma za matematiku i iformatiku, Prirodo-matematički fakultet u Novom Sadu, Trg Dositeja Obradovića 3 MA Fizički opis rada: 5 poglavlja/ 35 straa/ 5 tabela/ 8 literatura FO Nauča oblast: Matematika NO Nauča disciplia: Numerička matematika ND Ključe reči: red kovergecije, postupak, jedačia greške PO UDK: Čuva se: Biblioteka Departmaa za matematiku i iformatiku ČU Važa apomea: VN Izvod: U master radu posmatramo iterative postupake četvrtog reda kovergecije za izračuavaje jedostrukih korea elieare jedačie =. Pretpostavljamo da u posmatraom itervalu, fukcija ima jedostruko rešeje, tj. da je. Polazeći od Njutovog postupka, koji je drugog reda kovergecije, dajemo modifikacije čiji je red poviše a četiri. Kao origiala doprios dajemo četiri ove familije postupaka Murakamijevog tipa. Pod određeim pretpostavkama 36

za posmatrae postupke dokazujemo kovergeciju četvrtog reda i određujemo odgovarajuće аsimptotske kostate greške. IZ Datum prihvataja teme od strae NN veća:.7.4. DP Datum odbrae: DO Člaovi komisije: KO Predsedik: dr Saja Rapajić,varedi profesor Prirodo-matematičkog fakulteta u Novom Sadu Čla: dr Đorđe Herceg, redovi profesor Prirodo-matematičkog fakulteta u Novom Sadu Metor: dr Dragoslav Herceg, redovi profesor Prirodo-matematičkog fakulteta u Novom Sadu 37

UNIVERSITY OF NOVI SAD FACULTY OF SCIENCE DEPARTAMENT OF MATHEMATICS AND INFORMATICS KEY WORDS DOCUMENTATION Accessio umber: ANO Idetificatio umber: INO Documet type: Moograph type DT Type of record: Prited text TR Cotets Code: CC Author: Kataria Lolić AU Metor: dr. Dragoslav Herceg MN Title: A family of optimal fourth-order methods for solvig oliear equatios XI Laguage of text: Serbia (Cyrilic) LT Laguage of abstract: Serbia ad Eglish LA Coutry of publicatio: Serbia CP Locality of publicatio: Vojvodia LP Publicatio year: 6. PY Publisher: Author's reprit PU Publ. place: Novi Sad, Departmet of mathematics ad iformatics, Faculty of Sciece, Trg Dositeja Obradovića 3 PP Physical descriptio 5 chapters/ 35 pages/ 5 tables/ 8 refereces PD Scietific field: Mathematics SF Scietific disciplie: Numerical mathematics SD Key words: order of covergece, method, equatio error SKW UC: Holdig data: Library of the Departmet of Mathematics ad Iformatics HD Note: N I master work we cosider the iterative procedure of the fourth-order covergece for umerical solvig of the oliear equatio =. We assume that fuctio has a simple solutio i,, ie.. Startig from Newto's method, which is secod order covergece, we preset some kow methods of fourth order of. As a origial cotributio we give four families of iterative 38

methods of Murakami s type. Uder certai coditios, for the cocered methods we prove the covergece of the fourth order ad determie correspodig asymptotic costat errors. AB Accepted by the Scietific Board o:.7.4. ASB Defeded: DE Thesis defese board: DB Presidet: dr Saja Rapajić, Associate Professor, Faculty of Sciece, Uiversity of Novi Sad Member: dr Đorđe Herceg, Full Professor, Faculty of Sciece, Uiversity of Novi Sad Metor : dr Dragoslav Herceg, Full Professor, Faculty of Sciece, Uiversity of Novi Sad 39