Συνέπεια, Εγκυρότητα, Συνεπαγωγή, Ισοδυναμία, Κανονικές μορφές, Αλγόριθμοι μετατροπής σε CNF-DNF 1 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Πέμπτη 15/02/2018 Κρεατσούλας Κωνσταντίνος
Ασυνεπές σύνολο Ορισμός: Ένα σύνολο το οποίο περιέχει προτάσεις οι οποίες δεν μπορούν να είναι ταυτόχρονα αληθείς λέγεται ασυνεπές. Παραδείγματα S1 = {z < 3, z >= 3} ασυνεπές S2 = {Η σύζυγος του Γιάννη είναι γιατρός, Ο Γιάννης είναι ανύπαντρος} ασυνεπές
Συνεπές σύνολο Ορισμός: Ένα σύνολο προτάσεων λέγεται συνεπές όταν δεν είναι ασυνεπές. Προσοχή!!! Σε ένα συνεπές σύνολο οι προτάσεις δεν είναι πάντα αληθείς, ενδέχεται να είναι αληθείς. S3 = {x > y, y >z} συνεπές Παράδειγμα (Παρόλο που μπορούμε να βρούμε τιμές για x,y, z ώστε τουλάχιστον μία από τις προτάσεις να είναι ψευδής.) π.χ. x = 2, y = 1, z = 4, το 2 > 1 αλλά το 1 δεν είναι μεγαλύτερο του 4
Εξαγωγή Συμπερασμάτων Δεδομένου ενός συνόλου προτάσεων {p1,p2,,pn} μπορούμε να εξάγουμε ως συμπερασμα την πρόταση c, αν η c είναι συνέπεια των p1,p2,, pn. 1) p1,p2,...,pn /c Ή Συμβολισμός 2) p1 p2... pn c
Εξαγωγή Συμπερασμάτων Ορισμός: Η εξαγωγή συμπεράσματος p1, p2,, pn / c είναι έγκυρη εφόσον δεν είναι δυνατόν για τις p1, p2,, pn να είναι συγχρόνως αληθείς και η c να είναι ψευδής. Είναι ορθή αν είναι έγκυρη και οι p1, p2,, pn, c είναι όλες ταυτόχρονα αληθείς. Για να δηλώσομε ότι η εξαγωγή συμπεράσματος p1, p2,, pn / c είναι έγκυρη χρησιμοποιούμε το συμβολισμό p1, p2,, pn = c HY-180 2015-2016
Εξαγωγή Συμπερασμάτων Παρατηρείστε ότι όταν προσπαθούμε να εξάγουμε ένα συμπέρασμα από ένα ασυνεπές σύνολο, τότε η εξαγωγή οποιουδήποτε συμπεράσματος θα είναι έγκυρη ανεξαρτήτως των προτάσεων που υπάρχουν μέσα στο σύνολο. Αυτό συμβαίνει γιατί δε γίνεται να είναι όλες οι προτάσεις του συνόλου ταυτόχρονα αληθείς και το οποιοδήποτε συμπέρασμα ψευδές. HY-180 2015-2016
Ισοδυναμία Ορισμός: Αν για δύο προτάσεις Α και Β ισχύει ότι Α = Β και Β = Α, τότε οι προτάσεις Α και Β λέγονται ισοδύναμες. Δύο ισοδύναμες προτάσεις είναι συγχρόνως αληθείς ή συγχρόνως ψευδείς. HY-180 2015-2016
Βασικές ισοδυναμίες Προτασιακού Λογισμού 1 α ) Α Β Β A 1 β ) Α Β Β A 2 α ) Α ( Β C) ( Α Β ) C 2 β ) Α ( Β C) ( Α Β ) C 3 α ) Α Α Α 3 β ) Α Α Α 4 α ) Α ( Β C) ( Α Β) ( A C ) 4 β ) Α ( Β C) ( Α Β) ( A C) 5 α ) Α ( Α Β ) Α 5 β ) Α ( Α Β ) Α (μεταθετικότητα του ) (μεταθετικότητα του ) (προσεταιριστικότητα του ) (προσεταιριστικότητα του ) (αυτοπάθεια του ) (αυτοπάθεια του ) (επιμερισμός του πάνω στο ) (επιμερισμός του πάνω στο ) (απορρόφηση του ) (απορρόφηση του ) HY-180 2015-2016
Κανονικές μορφές -Ορισμοί Ορισμός: Ένα γράμμα είναι οποιαδήποτε πρότυπη μεταβλητή. π.χ. Α,Β Ορισμός: Ένας ελάχιστος όρος είναι ένα γράμμα ή η σύζευξη διακριτών γραμμάτων. Παραδείγματα Το Α είναι γράμμα και συγχρόνως μέγιστος και ελάχιστος όρος. Α Β, Α Β C à ελάχιστοι όροι A A à Δεν θεωρείται ελάχιστος όρος
Κανονικές μορφές -Ορισμοί Ορισμός: Ένας μέγιστος όρος είναι ένα γράμμα ή η διάζευξη διακριτών γραμμάτων Παραδείγματα Το Α είναι γράμμα και συγχρόνως μέγιστος και ελάχιστος όρος Α Β, Α Β Cà μέγιστοι όροι A A à Δεν θεωρείται μέγιστος όρος
Κανονικές μορφές -Απορρόφηση Ορισμός: Ένας ελάχιστος (μέγιστος) όρος M1 απορροφά έναν άλλο ελάχιστο (μέγιστο) όρο M2 αν κάθε γράμμα του M1 είναι επίσης στο M2 Το Α απορροφά το Α C και το Παράδειγμα Α C Α C Β απορροφά το
Κανονικές μορφές -Απορρόφηση Ορισμός: Ένας ελάχιστος (μέγιστος) όρος M1 απορροφά πάντα τον εαυτό του Παράδειγμα Το Α απορροφά το Α Το Α C απορροφά το Α C
Κανονικές μορφές CNF-DNF Συζευκτική Κανονική μορφή (CNF) Μια πρόταση είναι σε Συζευκτική Κανονική μορφή αν είναι μια σύζευξη από μέγιστους όρους κανένας από τους οποίους δεν απορροφά κανένα άλλον. HY-180 2015-2016
Κανονικές μορφές CNF DNF Διαζευκτική Κανονική μορφή (DNF) Μια πρόταση είναι σε Διαζευκτική Κανονική μορφή αν είναι μια διάζευξη από ελάχιστους όρους κανένας από τους οποίους δεν απορροφά κανένα άλλον. HY-180 2015-2016
Κανονικές μορφές CNF-DNF Παραδείγματα Α à DNF, CNF B à DNF, CNF (A B C) (Α D) à DNF (A B C) (A C) (A B) à OXI DNF, γιατί? Γίνεται απορρόφηση: (A B C) από το (A C) (A C) (A B) à DNF A B C à DNF, CNF, A B C à DNF, CNF A (B C) à CNF
Αλγόριθμος Μετατροπής σεcnf 0) Αφαιρούμε μη-απαραίτητες παρενθέσεις π.χ. (A B) C γράφεται ως A B C. 1) Βρίσκουμε τη διάζευξη που βρίσκεται σε μεγαλύτερο βάθος και περιέχει τουλάχιστον μία σύζευξη. Ø Αν δεν υπάρχει τέτοια υποπρόταση, πηγαίνουμε στο βήμα (3). Ø Αν υπάρχουν περισσότερες από μία, διαλέγουμε μία από αυτές. 2) Στη διάζευξη που επιλέγεται στο βήμα (1) εφαρμόζουμε την επιμεριστικότητα της διάζευξης (Α (Β C) (Α Β) (A C)), αφαιρούμε περιττές παρενθέσεις. Επιστρέφουμε στο βήμα (1). 3) Απλοποιούμε κάθε διάζευξη χρησιμοποιώντας την ισοδυναμία της αυτοπάθειας (Α Α Α). 4) Αν υπάρχουν διαζεύξεις που χρησιμοποιούν τα ίδια γράμματα, κρατάμε μόνο μία από αυτές. 5) Τέλος, παραλείπουμε κάθε διάζευξη που περιέχει όλα τα γράμματα μιας άλλης διάζευξης. (απορρόφηση)
Αλγόριθμος Μετατροπής σεdnf 0) Αφαιρούμε μη-απαραίτητες παρενθέσεις π.χ. (A B) C γράφεται ως A B C. 1) Βρίσκουμε τη σύζευξη που βρίσκεται σε μεγαλύτερο βάθος και περιέχει τουλάχιστον μία διάζευξη. Ø Αν δεν υπάρχει τέτοια υποπρόταση, πηγαίνουμε στο βήμα (3). Ø Αν υπάρχουν περισσότερες από μία, διαλέγουμε μία από αυτές. 2) Στη σύζευξη που επιλέγεται στο βήμα (1) εφαρμόζουμε την επιμεριστικότητα της σύζευξης (Α (Β C) (Α Β) (A C)), αφαιρούμε περιττές παρενθέσεις. Επιστρέφουμε στο βήμα (1). 3) Απλοποιούμε κάθε σύζευξη χρησιμοποιώντας την ισοδυναμία της αυτοπάθειας. (Α Α Α). 4) Αν υπάρχουν συζεύξεις που χρησιμοποιούν τα ίδια γράμματα, κρατάμε μόνο μία από αυτές. 5) Τέλος παραλείπουμε κάθε σύζευξη που περιέχει όλα τα γράμματα μιας άλλης σύζευξης. (απορρόφηση)