Мировање (статика) флуида

Мировање (статика) флуида Александар Ћоћић МФ Београд Александар Ћоћић (MФ Београд) MФБ-03 1 / 25

Увод Основни услов мировања материjалног система Подсетник - механика 1 (статика) Ако се материjални систем налази у стању мировања онда jе резултанта сила коjе на њега делуjу (њихов векторски збир) jеднак нули. F 1 G материjални систем - штап F 3 F 2 принцип ослобађања од веза F1 G F2 Jедначина равнотеже : F 3 # F i = F # 1 + F # 2 + F # 3 + G # = 0 i Александар Ћоћић (MФ Београд) MФБ-03 2 / 25

Мировање (статика) флуида Основни принцип анализе Флуид у стању мировања материjални систем - произвољно изабрана (идеjа: доћи до генералног облика jедначине) маса флуида у стању мировања ваздух V вода A Произвољно изабрана запремина V коjу ограничава површ A Александар Ћоћић (MФ Београд) MФБ-03 3 / 25

Мировање (статика) флуида Основни принцип анализе Флуид у стању мировања силе у флуиду: масене и површинске # # R m - резултуjућа масена сила R n - резултуjућа површинска сила d R n услов мировања: # R m + # R n = 0 A n f V ρ, dv елементарна масена сила d R # m : d R # m = ρ # f dv R # m = V ρ # f dv елементарна површинска сила d R # n : d R # n = # np da R # n = # np da Мировање - у флуиду не постоjе смицаjни напони! A Александар Ћоћић (MФ Београд) MФБ-03 4 / 25

Мировање (статика) флуида Основни принцип анализе Флуид у стању мировања силе у флуиду: масене и површинске # # R m - резултуjућа масена сила R n - резултуjућа површинска сила n d R n услов мировања, R # m + R # n = 0, се своди на: ρ # f dv + # np da = 0 V A }{{}}{{} # # R m R n A f V ρ, dv Површ A ограничава запремину V - важи теорема Гаус-Остроградског: # np da = p dv = # ı A x + # j y + # k z V "набла"оператор Александар Ћоћић (MФ Београд) MФБ-03 5 / 25

Мировање (статика) флуида Оjлерова jедначина мировања флуида Флуид у стању мировања - Оjлерова jедначина Услов мировања се даље своди на: ( ρ # ) f p dv = 0 V Како jе запремина V произвољно изабрана (да би претходна релациjа важила за сваку могућу запремину V - то jе физички услов, jер мируjе сваки део флуида), подинтегрална функциjа мора бити jеднака нули: ρ # f p = 0 p = ρ # f Оjлерова jедначина Основни задатак статике флуида: За задата поља густине ρ = ρ(x, y, z) и масених сила f = f(x, y, z) одредити поље притиска p = p(x, y, z)! Слаjд 11 Александар Ћоћић (MФ Београд) MФБ-03 6 / 25

Мировање (статика) флуида Укратко о Набла оператору Набла (Хамилтонов) оператор Веома важан оператор у теориjи поља - одређуjе важне карактеристике поља (градиjент, дивергенциjа, ротор...) Набла jе векторско-диференциjални оператор: операциjе векторске алгебре и диференцирања Примена оператора на скаларно поље даjе градиjент скаларног поља (векторска величина) p gradp = # ı p x + # j p y + # k p z На векторска и тензорска поља се може примењивати на више начина користећи и операциjе векторске алгебре (скаларни и векторски производ) # U grad # U, # U = div # U, # U = rot # U ( ) grad ( ) div, ( ) rot Александар Ћоћић (MФ Београд) MФБ-03 7 / 25

Мировање (статика) флуида Укратко о градиjенту скаларног поља Градиjент скаларног поља - неке важне особине вектор градиjента скаларног поља ϕ jе ортогоналан на eквискаларне површи (површи на коjима jе ϕ = const) када jе ϕ p, eквискаларне изобарске површи - површи на коjима притисак има константну вредност! p = p 1 = const p 2 > p 1 ϕ 2 p 3 > p 2 ϕ 1 ϕ 2 > ϕ 1 gradϕ gradp вектор градиjента скаларног поља показуjе правац и смер наjвеће промене у том пољу! Александар Ћоћић (MФ Београд) MФБ-03 8 / 25

Мировање (статика) флуида Анализа векторског облика Оjлерове jедначине Ojлерова jедначина - математичко-физичка анализа p = ρ # f gradp = ρ # f Вектори gradp и f су колинеарни вектори правац и смер наjвеће промене притиска jе одређен вектором (векторским пољем) jединичне масене силе f! вектор f jе управан на изобарске површи! Скаларни облик Оjлерове jедначине (проjекциjе на осе Декартовог координатног система) p = p p p ı + j + x y z k ρ # f = ρf x ı + ρf y j + ρf z k p x = ρf x p y = ρf y p z = ρf z Александар Ћоћић (MФ Београд) MФБ-03 9 / 25

Мировање (статика) флуида Скаларни облик Оjлерове jедначине Оjлерова jедначина - тотални прираштаj притиска M и N су две блиске тачке у пољу, на растоjању d r p = const Tотални (укупни) прираштаj dp притиска између тачака M и N dp = p x dx + p y p dy + dz, тj. z dp = p d r gradp d r gradp N M d r r + d r p + dp Aлтернативни скаларни облик Оjлерове jедначине dp = ρ( # f d r), тj. dp = ρ(f x dx + f y dy + f z dz) d r = dx ı + dy j + dz k Ово jе оперативна jедначина за решавање основног задатка статике флуида! Основни задатак Александар Ћоћић (MФ Београд) MФБ-03 10 / 25

Мировање (статика) флуида Проблеми коjи се разматраjу Четири основна задатка коjи се разматраjу 1 Мировање нестишљивог, хомогеног флуида (ρ = const) - течности, у пољу силе Земљине теже ( f = g) 2 Мировање ваздуха (идеални гас, p = ρrt ) у пољу силе Земљине теже ( f = g) 3 Релативно мировање течности (ρ = const) при транслациjи суда константним убрзањем a = const ( f = g a) 4 Релативно мировање течности (ρ = const) при ротациjи суда око вертикалне осе константном угаоном брзином ω = const ( f = g + ω 2 r 0 ) Решења свих ових задатака jе поље притиска p = p(x, y, z) тj. одређена функционална зависност притиска од просторних кордината! Слаjд 4 Александар Ћоћић (MФ Београд) MФБ-03 11 / 25

Мировање течности у пољу силе Земљине теже Поље притиска Мировање течности у пољу силе Земљине теже Разматрамо случаj: ρ = const (нестишљив флуид) и f = g ( g = const) Замењуjемо задате услове у jедначину dp = ρ(f x dx + f y dy + f z dz) ˆ z Oy A ρ x ˆ dp = h p = p a f = g B ˆ ρgdz + C p = ρg За усвоjени координатни систем: f x = f y = 0, f z = g Jедначина равнотеже се своди на dp = ρgdz Диференциjална jедначина коjа раздваjа промењиве - интегралимо леву и десну страну dz + C p = ρgz + C Гранични услов: z = 0: p = p a C = p a p = p a + ρgz Александар Ћоћић (MФ Београд) MФБ-03 12 / 25

Мировање течности у пољу силе Земљине теже Поље притиска Мировање течности у пољу силе Земљине теже Расподела (поље) притиска: p = p a + ρgz Притисак линеарно расте са повећањем дубине (са порастом z)! p a - атмосферски притисак, ρgz - хидростатички притисак Oy z A x h p = p a f = g B Вектор g je управан на изобарске површи ( f = g) Jедначине изобарских површи z = const (хоризонталне равни) ρ Слободна површ течности изобарска површ p = p a p A = p B = p a + ρgh (z A = z B = h) Jеднакост притисака на хоризонталним (изобарским) површима, p A = p B : jедначина хидростатичке равнотеже Александар Ћоћић (MФ Београд) MФБ-03 13 / 25

Мировање ваздуха у пољу силе Земљине теже Поље притиска Мировање ваздуха у пољу силе Земљине теже Разматрамо случаj: ρ const (стишљив флуид) и f = g ( g = const) И то посебан случаj: разматрамо ваздух у Земљиноj атмосфери! z Ваздух (атмосфера) k f = g ρ Земља (Earth) y За усвоjени координатни систем: f x = f y = 0, f z = g Jедначина равнотеже се своди на dp = ρgdz (ρ const!) ваздух се понаша као идеални гас: p = ρrt (jедначина стања) dp = ρgdz p = ρrt } dp p = gdz RT Диференциjална jедначина коjа раздваjа промењиве, али jе неопходно знати зависност T = T (z)! Александар Ћоћић (MФ Београд) MФБ-03 14 / 25

Мировање ваздуха у пољу силе Земљине теже Стандардна атмосфера Стандардна атмосфера ISA (International Standard Atmosphere): T = T (z) Разматрамо расподелу притиска у тропосфери и делу стратосфере где jе T = const. Тропосфера: T = T 0 γz (γ = 6.5 K/km) Стандардни услови: T 0 = 288 K, p 0 = 101325 Pa Део стратосфере (T = T s ) T s = T 0 γz s, z s 11 km T s = 288 6.5 11 = 216.5 K z [km] 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 термосфера мезопауза мезосфера стратопауза стратосфера тропопауза тропосфера t s = 56.5 C 160 180 200 220 240 260 280 300 T [K] Александар Ћоћић (MФ Београд) MФБ-03 15 / 25

Мировање ваздуха у пољу силе Земљине теже Стандардна атмосфера Расподеле притиска у тропосфери и стратосфери Тропосфера (T = T 0 γz) dp p = gdz R(T 0 γz) ( p = p 0 1 γz ) g γr T 0 ˆ p p 0 dp p = g ˆ z dz R 0 T 0 γz степени закон расподеле Стратосфера (T = T s = const): dp p = gdz RT s [ p = p s exp g(z z ] s) RT s ˆ p p s dp p = g RT s ˆ z z s dz експоненциjални закон расподеле ps - притисак на месту на коме почиње стратосфера ) g p s = p 0 (1 γzs γr T 0 = 22593 Pa Александар Ћоћић (MФ Београд) MФБ-03 16 / 25

Мировање ваздуха у пољу силе Земљине теже Стандардна атмосфера Расподеле притиска у тропосфери и стратосфери z [km] z [km] 20 20 15 стратосфера 15 експоненциjална функциjа 10 10 5 тропосфера 5 степена функциjа 200 220 240 260 280 300 T [K] 20 50 80 110 140 p [kpa] Притисак опада са висином (у сваком слоjу Земљине атмосфере; овде су разматрана тропосфера и део стратосфере) Александар Ћоћић (MФ Београд) MФБ-03 17 / 25

Мировање ваздуха у пољу силе Земљине теже Стандардна атмосфера Промене густине ваздуха у Земљиноj атмосфери Могу се врло лако одредити користећи jедначину стања идеалног гаса и расподеле температуре и притиска Тропосфера: ρ(z) = p(z) ( RT (z) = ρ 0 1 γz ) g γr 1 T 0 Стратосфера: где jе ρ s = [ ρ(z) = ρ s exp g(z z ] s) RT s p(z) ( RT (z) = ρ 0 1 γz ) g γr s 1 T 0 Александар Ћоћић (MФ Београд) MФБ-03 18 / 25

Мировање ваздуха у пољу силе Земљине теже Стандардна атмосфера Анализа добиjених jедначина за p(z) и ρ(z) Броjне вредности за ваздух (R = 287 J/kgK) и z = 10 m (висинска разлика): Тропосфера: p = 0.9988 p 0 ; ρ = 0.999ρ 0 Стратосфера: p = 0.9984 p s ; ρ s = 0.9984ρ s (за T s = 216.5 K) p = const ваздух Технички системи - резервоари са ваздухом (или неким другим гасом) - z jе мала величина (пар метара максимално) H 1 H 2 ρ 2 ρ 1 0000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111 0000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111 0000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111 Поље притиска у гасу коjи мируjе се може сматрати хомогеним (притисак има исту вредност у свакоj тачки поља, p = const)! У течностима у стању мировања важи хидростатички закон расподеле притиска Александар Ћоћић (MФ Београд) MФБ-03 19 / 25

Релативно мировање флуида Релативно мировање при транслациjи Релативно мировање при транслациjи Суд са течношћу (ρ = const) коjи се креће транслаторно константним убрзањем a = const! У односу на координатни систем Oxyz везан за суд течност мируjе! z α H a in f g p = const x a Поље масене силе: f = g + a in ( a in - jединична инерциjална сила, инерциjално убрзањe) f x = a, f y = 0, f z = g Александар Ћоћић (MФ Београд) MФБ-03 20 / 25

Релативно мировање флуида Релативно мировање при транслациjи Релативно мировање при транслациjи Поље притиска: dp = ρ( adx gdz) p = ρ(ax + gz) + C Гранични услов: x = 0, z = 0 : p = p a p = p a ρ(ax + gz) z α H a in f g p = const x a Притисак jе линеарна функциjа координата x и z изобарске површи су паралелне равни нагнуте под углом α у односу на хоризонталу (tgα = a/g); f jе управан на изобарске површи! Александар Jедначина Ћоћић (MФ Београд) MФБ-03 21 / 25

Релативно мировање флуида Релативно мировање при транслациjи Релативно мировање при транслациjи Поље притиска: dp = ρ( adx gdz) p = ρ(ax + gz) + C Гранични услов: x = 0, z = 0 : p = p a p = p a ρ(ax + gz) z α H a in f g p = const x a Jедначина слободне површи (p = p a ): z = a g x Наjвећи притисак: тачка лево на дну суда Александар Ћоћић (MФ Београд) MФБ-03 22 / 25

Релативно мировање флуида Релативно мировање при ротациjи Релативно мировање при транслациjи Суд са течношћу (ρ = const) коjи ротира константном угаоном брзином ω = const око своjе вертикалне осе У односу на координатни систем Oxyz везан за суд течност мируjе! ω = const z флуидни делић f c r f c z r0 r 0 y H 0 D g f c f ω = const r x Поље масене силе: f = g + f c, где jе f c = ω 2 r r 0 центрифугална сила f x = ω 2 x, f y = ω 2 y, f z = g Александар Ћоћић (MФ Београд) MФБ-03 23 / 25

Релативно мировање флуида Релативно мировање при ротациjи Релативно мировање при ротациjи Поље притиска: dp = ρ(ω 2 xdx + ω 2 ydy gdz) p = 1 2 ρω2 (x 2 + y 2 ) ρgz + C }{{} r 2 Гранични услов: x = y = z = 0 : p = p a z p = p a + 1 2 ρω2 r 2 ρgz f c Jедначина слободне површи (p = p a ): H 0 D g f r z = ω2 2g r2 = ω2 2g (x2 + y 2 ) ω = const Притисак jе нелинеарна функциjа просторних кордината - изобарске површи су закривљене површи у простору - обртни параболоиди Александар Ћоћић (MФ Београд) MФБ-03 24 / 25

Релативно мировање флуида Релативно мировање при ротациjи 01 111 Релативно мировање при ротациjи На основу jеднакости запремина у стању мировања (суд напуњен до висине H) и током обртања следи D 2 π 4 h 1 = 1 D 2 π 2 4 (h 1 + h 2 ) h 1 = h 2 Тачка М се налази на слободноj површи z M = ω2 2g r2 M 2h 1 = ω2 2g ( ) 2 D 2 z M h 2 h 1 = h 2 = ω2 D 2 16g При коjоj вредности ω ће теме параболе бити у центру дна суда? H 0 D h 1 ω = const r Одговор: ω = 4 D gh 000 Видео клип (YouTube) Александар Ћоћић (MФ Београд) MФБ-03 25 / 25