Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 5 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1
Περιεχόμενα: Μοντελοποίηση Μηχανικών- Ηλεκτρικών-Υδραυλικών-Θερμικών Συστημάτων Επανάληψη: Εξισώσεις Lagrange σε συστήματα N Β.Ε. Μοντελοποίηση Ηλεκτρικών & Υδραυλικών Συστημάτων Διακριτά στοιχεία, μεταβλητές ισχύος, ενέργεια & ισχύς Μεταβλητές σθένους και ροής Τετράεδρα κατάστασης Πηγές και Καταβόθρες Ισχύος Εφαρμογή: Copenhagen Wheel 2
Ανακοινώσεις Όποιος ενδιαφέρεται να συμμετάσχει στο μάθημα MATLAB/simulink για την επίλυση των εξισώσεων κίνησης δυναμικών συστημάτων να στείλει email: Office Hours: DMmeche2013@gmail.com Δευτέρα 1-3 ή Παρασκευή 1-3μμ Το web site του μαθήματος λειτουργεί κανονικά Διαλέξεις, σημειώσεις, βιβλιογραφία http://cw.mech.ntua.gr/ml23065 3
Copenhagen Wheel 4
Επανάληψη: Εξισώσεις Langrange 5
Εξισώσεις Lagrange (Κλασσική Μορφή) Υπολογισμός κινητικής T & δυναμικής ενέργειας V ως συνάρτηση των q, q. Για κάθε B.E., η αντίστοιχη εξίσωση κίνησης είναι: d dt T q, q q j T q, q q j όπου η γενικευμένη δύναμη ξ j είναι: N Force + ξ j = ( r Fi ) T F q i j i=1 V q q j = ξ j, j = 1,2,, N N Torque + ( ω i ) T Τ q i j i=1 j-ιοστή στήλη του Ιακωβιανού J Fi (q) της θέσης r Fi (q) όπου ασκείται η δύναμη F i ως προς τους Β.Ε. q j-ιοστή στήλη του Ιακωβιανού πίνακα J ωi (q) της γωνιακής ταχύτητας του σώματος που ασκείται η ροπή Τ i 6
Μέθοδος Lagrange (Μητρωϊκή) Υπολογισμός των μητρώων μάζας Μ, ελαστικότητας Κ Αντί παραγώγισης ως προς κάθε Β.Ε. q j ξεχωριστά, παραγώγιση ως προς το διάνυσμα q των Β.Ε. d dt T q T q + V q = ξ d dt d dt T q 1 T q Ν T q 1 T q Ν V q 1 V q Ν ξ 1 ξ N Δυνάμεις αδράνειας Μη γραμμικές δυνάμεις Δυνάμεις ελαστικότητας Δυνάμεις βαρύτητας Δυνάμεις απόσβεσης Εξωτερικές δυνάμεις/ροπές 7
Μέθοδος Lagrange (Μητρωϊκή Μορφή) N Force Μ q q + C q q + K q = ξ grav + ξ nonlin + J i T F i i=1 N Torque + J T,i T Τ i i=1 Δυνάμεις αδράνειας Δυνάμεις απόσβεσης Δυνάμεις ελαστικότητας Δυνάμεις βαρύτητας Μη γραμμικές δυνάμεις Εξωτερικές δυνάμεις Εξωτερικές ροπές ξ gravity = V gravity q q ξ nonlin q, q dμ q = dt q + 1 (q T Μ(q) q ) 2 q 8
Σχετική θέση ακροδεκτών ελατηρίου/αποσβεστήρα Έστω «1» και «2» οι ακροδέκτες ενός ελατηρίου/αποσβεστήρα Η σχετική θέση των ακροδεκτών μπορεί να επιλεγεί με δύο τρόπους Επιλογή επιρεάζει την φορά των αντίστοιχων δυνάμεων m 1 u 1 c m 2 u 2 Επιλογή 1 Επιλογή 2 δr c = x 1 x 2 f c = c u 1 u 2 = c x 1 x 2 δr c = x 2 x 1 f c = c u 2 u 1 = c x 2 x 1 m 1 f c f c f c f c f c f m m c 1 1 2 2 1 2 c c f c f c m 2 9
Μοντελοποίηση Μηχανικών, Ηλεκτρικών και Υδραυλικών Συστημάτων 10
Μηχανικά Συστήματα (Μεταφορική Κίνηση) Μεταβλητές ισχύος P = E = F u Δύναμη F, ταχύτητα u = x Στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας Μάζα m: F = m u E(u) = T = 1 2 L(u)T u = 1 2 m u 2 Ελαστικότητα (γραμμική) k: F = k x E(F) = V = 1 2 F(x)T x = 1 2 k x 2 = 1 2 k 1 F 2 Στοιχεία καταστροφής ενέργειας Απόσβεση (γραμμική) c F = c u 11
Μηχανικά Συστήματα (Περιστροφική Κίνηση) Μεταβλητές ισχύος P = E = Τ ω Ροπή Τ, γωνιακή ταχύτητα ω = θ Στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας Ροπή αδράνειας Ι: Τ = Ι ω E(ω) = T = 1 2 H(ω) ω = 1 2 Ι ω2 Ελαστικότητα (γραμμική)k T : Τ = k T θ E(Τ) = V = 1 2 T(θ) θ = 1 2 k T θ 2 = 1 2 k T 1 T 2 Στοιχεία καταστροφής ενέργειας Απόσβεση (γραμμική) c T T = c T ω 12
Ηλεκτρικά Συστήματα Μεταβλητές ισχύος P = E = i V Διαφορά τάσης V, ένταση ρεύματος i = q Στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας Eπαγωγέας (πηνίο) L: V = L i E(i) = 1 2 L i2 Πυκνωτής C: V = C 1 q E V = 1 2 C 1 q 2 = 1 2 C V2 Στοιχεία καταστροφής ενέργειας Αντίσταση R V = R i 13
Υδραυλικά Συστήματα Μεταβλητές ισχύος P = E = Q P Διαφορά πίεσης P, παροχή Q = V Στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας Αδράνεια L: P = L Q E(Q) = 1 2 L Q2 Πυκνωτής C: P = C 1 V E P = 1 2 C 1 V 2 = 1 2 C P2 Στοιχεία καταστροφής ενέργειας Αντίσταση R P = R Q 14
Σύγκριση Απλών Συστημάτων Μηχανικό σύστημα Κοινή ταχύτητα u Ισορροπία δυνάμεων: F t = F k + F m + F c Ηλεκτρικό σύστημα Κοινό ρεύμα i Νόμος Kirchoff: V t = V C + V L + V R Υδραυλικό σύστημα Κοινή παροχή Q Πτώση πίεσης: P pump t = P C + P L + P R 15
Αντιστοιχία Συστημάτων Mηχανικό σύστημα Ηλεκτρικό σύστημα Υδραυλικό σύστημα Β. Ε. Θέση x Φορτίο q Όγκος V «Ροή» Ταχύτητα u = x Ένταση i = q Παροχή Q = V «Σθένος» Δύναμη F Διαφορά δυναμικού V Διαφορά πίεσης P Στοιχείο Αδράνειας / «Κινητική ενέργεια» Μάζα m F = m u E(u) = 1 2 m u 2 Επαγωγέας L V = L i E(i) = 1 2 L i2 Aδράνεια L P = L Q E(Q) = 1 2 L Q2 Στοιχείο Ελαστικότητας / «Δυναμική ενέργεια» Γραμμικό ελατήριο k F = k (x 1 x 2 ) E(F) = 1 2 k x 2 Πυκνωτής C V = C 1 i E q = 1 2 C 1 q 2 Πυκνωτής C P = C 1 Q E V = 1 2 C 1 V 2 Στοιχείο Απόσβεσης Γραμμικός αποσβεστ. c F = c (u 1 u 2 ) Aντίσταση R V = R i Aντίσταση R P = R Q
«Τετράεδρα Κατάστασης» Σχηματοποίηση κάθε επιμέρους υποσυστήματος (μηχανικό, ηλεκτρικό, υδραυλικό) ενός συστήματος F Ορμή L d dt Σθένος F Αδράνεια m Απόσβεση c Ελαστικότητα k Ροή u d dt Μετατόπιση x u 17
Μετασχηματιστές & Αναστροφείς Στοιχεία που ενώνουν διαφορετικά υποσυστήματα Περιγράφουν αλληλεπιδράσεις υποσυστημάτων Αντιστοιχούν σε περιορισμούς μεταξύ των μεταβλητών ισχύος των υποσυστημάτων Μετασχηματιστής Σύστημα 1 F 1 F 2 u 1 Τ u 2 Σύστημα 2 Αναστροφέας Σύστημα 1 F 1 F 2 Σύστημα u 1 G u 2 2 18
Μετασχηματιστές & Αναστροφείς Ιδανικοί μετασχηματιστές & αναστροφείς: όχι απώλεια ισχύος Μετασχηματιστής F 2 u 2 = T 0 0 T 1 F 1 u 1 Σύστημα 1 F 1 F 2 u 1 Τ u 2 Σύστημα 2 Σταθερά μεταχηματιστή Αναστροφέας F 2 u 2 = 0 G G 1 0 F 1 u 1 Σύστημα 1 F 1 F 2 u 1 G u 2 Σύστημα 2 Σταθερά αναστροφέα 19
Μετασχηματιστές: Παραδείγματα Κύληση τροχού χωρίς όλίσθηση (Γραμ. Μηχ Περ. Μηχ.) θ R R x G F x G = R 1 0 0 R T θ Γρανάζια σε επαφή (Περ. Μηχ. Περ. Μηχ) R 1 R 1 θ 1 R 2 R 2 T 1 θ 2 T 2 T 2 θ 2 = R 2 R 1 0 0 R 1 R 2 T 1 θ 1 20
Μετασχηματιστές: Παραδείγματα Υδραυλικό έμβολο/αντλία θετικής μετατόπισης (Υδραυλικό Γραμ. Μηχ) Q P Α x F F x = A 0 0 A 1 P Q Ηλεκτρικός μετασχηματιστής (Ηλεκτρικό Ηλεκτρικό) + + V 1 i 1 i 2 V 2 V 2 = T 0 i2 0 T 1 V 1 i1 21
Αναστροφείς: Παραδείγματα Αντλία/υδροστρόβιλος (Υδραυλικό Περιστρ. Μηχ) + P Q θ T Τ θ = 0 K K 1 0 P Q Ηλεκτροκινητήρας/γεννήτρια (Ηλεκτρικό Περιστρ. Μηχ) + V i θ T Τ θ = 0 k T 1 k T 0 V i 22
Γενικευμένες Εξισώσεις Lagrange Κατάστρωση δυναμικών εξισώσεων σε συστήματα που περιέχουν μηχανικά,ηλεκτρικά&υδραυλικά υποσυστήματα d dt T system q j T system q j + V system q j = ξ j, j = 1,2,, N Χρήση γενικευμένης κινητικής και δυναμικής ενέργειας T system = T mech + T electr + T hydr = 1 2 m x 2 + 1 2 L q 2 + 1 2 L V 2 V system = V mech + V electr + V hydr = 1 2 k x2 + 1 2 C 1 q 2 + 1 2 C 1 V 2 Βαθμοί ελευθερίας μπορεί να είναι θέσεις/γωνίες (μηχανικά συστήματα), ηλεκτρικά φορτία (ηλεκτρικά συστήματα), ή όγκοι (υδραυλικά συστήματα). 23
Πηγές/Καταβόθρες Ενέργειας 24
Πηγές/Καταβόθρες Ισχύος Κάθε υποσύστημα έχει σημεία εισόδου/παροχης ισχύος (πηγές) και εξόδου/κατανάλωσης ισχύος (καταβόθρα) Μηχανικά υποσυστήματα Θερμικές μηχανές, ηλεκτρικοί κινητήρες, στρόβιλοι, υδραυλικά έμβολα Μηχανικά φορτία, αντλίες/συμπιεστές, γεννήτριες Ηλεκτρικά υποσυστήματα Μπαταρίες, ηλεκτρικές γεννήτριες Ηλεκτρικοί κινητήρες, μπαταρίες Υδραυλικά υποσυστήματα Αντλίες, συμπιεστές Στρόβιλοι, υδραυλικοί κύλινδροι 25
Πηγές/Καταβόθρες Ισχύος Toyota Hybrid System (Hybrid Synergy Drive) 26
Πηγές Ισχύος Πηγές περιγράφονται από «χαρακτηριστική καμπύλη» που περιγράφει σχέση μεταξύ μεταβλητών ισχύος Κάθε πηγή μπορεί να παρέχει πεπερασμένη ισχύς Καμπύλη ροπής-στροφών ηλεκτροκινητήρα συνεχούς Καμπύλη ροπής-στροφών μονοφασικού ηλεκτροκινητήρα εναλλασόμενου 27
Πηγές Ισχύος Πηγές περιγράφονται από «χαρακτηριστική καμπύλη» που περιγράφει σχέση μεταξύ μεταβλητών ισχύος Κάθε πηγή μπορεί να παρέχει πεπερασμένη ισχύς Καμπύλη ροπής-στροφών κινητήρα diesel Καμπύλη πίεσηςπαροχής αντλίας 28
Πηγές/Καταβόθρες Ισχύος Αναλυτικά μοντέλα που μοντελοποιούν την συμπεριφορά πηγών ισχύος 1. Μοντέλο Thevenin Ιδανική πηγή σθένους σε σειρά με αντίσταση V AB i = V th R th i 2. Μοντέλο Norton Ιδανική πηγή ροής παράλληλα με αντίσταση i AB V = i No R 1 No V 29
Εφαρμογή: Copenhagen Wheel 30
Εξαρτήματα 31
Ροπόμετρο (torque sensor) Ένα στρεπτικό ελατήριο σταθεράς k. Στρεπτικό ανάλογο του strain gauge Δύο άτρακτοι συνδέονται σε κάθε άκρο του Η ροπή Τ που περνά διαμέσω του ελατηρίου εκτιμάται μέσω της γωνιακής παραμόρφωσης δθ του ροπόμετρου Τ = k δθ 32
Άξονας Περιστρεφόμενος άξονας Ρόδα Γρανάζι πεταλιού Μη περιστρεφόμενος άξονας Έδρανο Κινητήρας Έδρανο Αισθητήρας ροπής 33
Πηγές ισχύος στην άτρακτο Ροπές στην Άτρακτο Ροπή T pedal που παρέχει ο ποδηλάτης (ευθεία κίνηση καστάνιας) Ροπή T m που παρέχει ο κινητήρας (όταν ενεργοποιηθεί) Καταβόθρες ισχύος από την άτρακτο Ροπή φορτίου T wheel = R wheel F wheel λόγω της δύναμης F wheel που ασκείται από το έδαφος στο λάστιχο (μέσω τριβής) F wheel ισούται με την απαιτούμενη δύναμη για: Υπερνίκηση αντιστάσεων (ροπή κύληση, αεροδυναμική αντίσταση) Αδρανειακών δυνάμεων (επιτάχυνση) 34
Μοντέλο Kίνησης Ατράκτου θ 1 θ 2 T m T wheel T pedal c Ι k 1 1 Ι 2 c 2 q = θ 1 θ 2 T = 1 2 I 1θ 1 2 + 1 2 I 2θ 2 2 = 1 2 q Τ I 1 0 0 I 2 q M = I 1 0 0 I 2 V = 1 2 k(θ 1 θ 2 ) 2 = 1 2 qτ k k k k k k q K = k k δw = δθ 1 (T m T wheel c 1 θ 1) + δθ 2 (T pedal c 2 θ 2) I 1 0 θ 0 I 2 1 θ 2 + k k k k θ 1 θ 2 = 1 0 T m T wheel c 1 θ 1 + 0 1 (T pedal c 2 θ 2) 35
Μοντέλο Kίνησης Ατράκτου θ 1 θ 2 T m T wheel T pedal c Ι k 1 1 Ι 2 c 2 I 1 0 θ 0 I 2 1 θ 2 + c 1 0 θ 0 c 2 1 θ 2 + k k k k θ 1 θ 2 = T m T wheel T pedal Εδώ η ροπή του κινητήρα Τ m θεωρείται είσοδος στο μηχανικό περιστροφικό σύστημα της ατράκτου. H ροπή όμως αυτή εξαρτάται από το ρεύμα i που περνά από το ηλεκτρικό κύκλωμα του κινητήρα 36
Μοντέλο Κινητήρα T m θ 1 V in e = k T θ Η τάση στους ακροδέκτες του κινητήρα V in ισούται με την πτώση τάσης στα πηνεία του κινητήρα λόγω αυτεπαγωγής V L, συν την πτώση τάσης V R λόγω ωμικών αντιστάσεων, στην την ΑΗΕΔ στον κινητήρα V BEMF λόγω της περιστροφής της ατράκτου θ 1 (νόμος Kirchoff) V in = V R + V L + V BEMF V in = Ri + L di dt + V BEMF Ο βαθμός ελευθερίας του συστήματος είναι το φορτίο q που μετατοπίζεται στο σύστημα i = dq V dt in = R dq dt + L d2 q dt 2 + V BEMF 37
Μοντέλο Κινητήρα T m θ 1 V in e = k T θ H ΑΗΕΔ V BEMF και η ροπή στην άτρακτο T m συνδέονται μέσω των εξισώσεων (αντιστροφέας) του κινητήρα T m θ 1 = 0 k T 1 k T 0 V BEMF i 38
Συνολικό Ηλεκτρομηχανικό Σύστημα θ 1 θ 2 T m T wheel T pedal T m θ 1 V in e = k T θ c Ι k 1 1 Ι 2 c 2 Φορτίο : ροπή λόγω αντίστασης στην κίνηση/επιτάχυνση ποδηλάτου I 1 I 2 L θ 1 θ 2 q + c 1 k T c 2 k T R θ 1 θ 2 q + k k k k θ 1 θ 2 q = T wheel T pedal V in Η ροπή που παρέχει ο ποδηλάτης. Ελέγχεται από τον ποδηλάτη Η τάση που ασκείται στους ακροδέκτες του κινητήρα. Καθορίζεται από τον υπολογιστή του συστήματος ως συνάρτηση της μέτρησης του ροπόμετρου (ανάλογη της θ 1 θ 2 ) και της ταχύτητας της ρόδας θ 1 39