Κεφάλαιο 2 Χώρος πιθανότητας και ενδεχόμενα 2.1 Προκαταρκτικά Εστω ότι κάποιος μας προτείνει να του δώσουμε δυόμισι ευρώ για να παίξουμε το εξής παιχνίδι: Θα στρίβουμε ένα νόμισμα μέχρι την πρώτη φορά που θα φέρουμε Κορώνα (Κ), κι όσο πιο αργά συμβεί αυτό, δηλαδή όσο πιο πολλές συνεχόμενες φορές φέρουμε Γράμματα (Γ) στην αρχή, τόσο πιο μεγάλο θα είναι το κέρδος μας: Αν το νόμισμα έρθει Κ στην πρώτη ρίψη, θα μας δώσει ένα ευρώ. Αν έρθει Γ και μετά Κ, θα μας δώσει δύο ευρώ. Γενικά, αν έρθει (n 1) φορές Γ και τη φορά n έρθει Κ, θα πάρουμε n ευρώ. Αμέσως γεννιούνται μερικά προφανή ερωτήματα: Μας συμφέρει να παίξουμε; Πόσο πιθανό είναι να κερδίσουμε πιο πολλά χρήματα από όσα δώσαμε για να παίξουμε; Αν παίξουμε πολλές φορές, τελικά τι είναι πιο πιθανό, να βγούμε κερδισμένοι ή χαμένοι; Είναι «δίκαιη» η τιμή των 2.5 ευρώ; Τι θα πει ακριβώς «δίκαιη» τιμή; Ολα αυτά τα ερωτήματα θα απαντηθούν με συστηματικό τρόπο στα επόμενα κεφάλαια. Προς το παρόν, αυτό που παρατηρούμε είναι η αναγκαιότητα να δώσουμε μια μαθηματική περιγραφή στο πιο πάνω παιχνίδι. Να ορίσουμε, πρώτα από όλα, τι θα πει «πιθανότητα» και να βρούμε τρόπους να υπολογίζουμε ποσοτικά και με ακρίβεια τις απαντήσεις σε ερωτήματα όπως τα πιο πάνω. Αυτό στα μαθηματικά είναι η διαδικασία κατά την οποία περιγράφουμε ένα πραγματικό φαινόμενο μέσω ενός μαθηματικού «μοντέλου». Σε κάποιες περιπτώσεις, αυτή η διαδικασία μάς είναι τόσο οικεία που ούτε καν της δίνουμε σημασία για παράδειγμα, όταν βλέπουμε σε ένα χάρτη 7
8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΧΩΡΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ μια ευθεία γραμμή να αναπαριστά ένα δρόμο, δεν σκεφτόμαστε «Α, βέβαια, εδώ επικαλούμαι την προσεγγιστική αναπαράσταση ενός μέρους της επιφάνειας του πλανήτη Γη μέσω του μοντέλου της επίπεδης γεωμετρίας»! Η μοντελοποίηση φαινομένων που περιέχουν στοιχεία τυχαιότητας, και η εξοικείωση με αυτήν τη διαδικασία αποτελούν δύο από τους κεντρικούς μας στόχους. Αν και δεν είναι ο μόνος, μάλλον ο πιο συνηθισμένος τρόπος για να προσεγγίσουμε κατ αρχήν διαισθητικά την έννοια της πιθανότητας είναι μέσω της έννοιας της «συχνότητας». Π.χ., αν στρίψουμε ένα «δίκαιο» νόμισμα N φορές και φέρουμε k φορές Κορώνα (Κ), για μεγάλα N συχνά παρατηρούμε ότι, k N = ποσοστό από Κ 1 2 ή 50%. Και όσο μεγαλώνει το πλήθος N των ρίψεων, αντιστοίχως μεγαλώνει και το πλήθος k των φορών που φέραμε Κ, έτσι ώστε, μακροπρόθεσμα, k N 1, καθώς το N. 2 Υπό αυτή την έννοια, λέμε ότι «η πιθανότητα το νόμισμα να έρθει Κ είναι 1/2». 2.2 Σύνολα Ενα μεγάλο μέρος του μαθηματικού λεξιλογίου που θα χρησιμοποιήσουμε βασίζεται στα βασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Ξεκινάμε υπενθυμίζοντας κάποιος γνωστούς ορισμούς: Ορισμός 2.1 (Πράξεις συνόλων) 1. Ενα σύνολο είναι μια συλλογή στοιχείων. Για παράδειγμα, τα = { 1, +1}, = {3, 5, 9}, Γ = Z = {..., 1, 0, 1, 2,...} = οι ακέραιοι αριθμοί, = R = οι πραγματικοί αριθμοί, E = {,, 5, {5}, R} είναι όλα σύνολα. 2. Οταν κάποιο στοιχείο α ανήκει σε κάποιο σύνολο, γράφουμε α. Αν το α δεν ανήκει στο, γράφουμε α. Π.χ., πιο πάνω έχουμε, 3, αλλά, 0. 3. Το είναι υποσύνολο του αν κάθε στοιχείο του ανήκει και στο, οπότε γράφουμε ή. 4. Το κενό σύνολο ή {} έχει την ιδιότητα ότι δεν περιέχει κανένα στοιχείο, δηλαδή α για οποιοδήποτε α. Στις πιθανότητες, ανάλογα με το πρόβλημα που θα εξετάζουμε, όλα τα σύνολα που μας ενδιαφέρουν θα είναι υποσύνολα ενός βασικού συνόλου, το οποίο συνήθως συμβολίζεται ως Ω.
2.2. ΣΥΝΟΛΑ 9 5. Η ένωση δύο συνόλων, είναι το σύνολο που αποτελείται από όλα τα στοιχεία που ανήκουν στο ή στο (ή και στα δύο). Γενικότερα, η ένωση ενός πεπερασμένου πλήθους συνόλων 1, 2,..., N συμβολίζεται ως, 1 2 N = N i, και περιέχει όλα τα στοιχεία του 1, τα στοιχεία του 2 κλπ. Βλ. Σχήμα 2.1. 6. Η τομή δύο συνόλων, είναι το σύνολο που αποτελείται από όλα τα στοιχεία που ανήκουν και στο και στο. Γενικότερα, η τομή ενός πεπερασμένου πλήθους συνόλων 1, 2,..., N συμβολίζεται ως, 1 2 N = i=1 N i, και αποτελείται από τα στοιχεία που περιέχονται σε όλα τα i. Βλ. Σχήμα 2.1. 7. Το συμπλήρωμα ενός συνόλου που είναι υποσύνολο του βασικού συνόλου Ω, αποτελείται από όλα τα στοιχεία του Ω που δεν ανήκουν στο. Βλ. Σχήμα 2.1. i=1 Σχήμα 2.1: Γραφική αναπαράσταση της ένωσης, της τομής και του συμπληρώματος συνόλων. Παράδειγμα 2.1 Εστω Ω το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων από τη ρίψη δύο νομισμάτων, δηλαδή, Ω = {KK, KΓ, ΓK, ΓΓ}. Η περίπτωση του να φέρουμε Κ την πρώτη φορά μπορεί να περιγραφεί ως το σύνολο, = {Κ την πρώτη φορά} = {KK, KΓ}, το οποίο είναι ένα υποσύνολο του Ω. Παρατηρούμε ότι το μπορεί και να εκφραστεί ως, = {KK} {KΓ} = {ΓΓ, ΓK} = Ω.
10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΧΩΡΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Παράδειγμα 2.2 Από 50 φοιτητές που βρίσκονται σε μια αίθουσα, οι 20 έχουν αυτοκίνητο, οι 10 έχουν μοτοσυκλέτα, και οι 25 δεν έχουν κανένα από τα δύο. Επιλέγουμε έναν φοιτητή στην τύχη. Εδώ μπορούμε να ορίσουμε τα εξής σύνολα. Βλ. Σχήμα 2.2. Ω = Ολοι οι 50 φοιτητές = Οσοι έχουν αυτοκίνητο M = Οσοι έχουν μοτοσυκλέτα E = Οσοι έχουν τουλάχιστον το ένα από τα δύο μέσα = Οσοι έχουν και τα δύο. Θα απαντήσουμε στα εξής απλά ερωτήματα: (α ) Πόσοι φοιτητές είναι στο E; (β ) Πόσοι φοιτητές είναι στο ; (γ ) Ποια είναι η πιθανότητα ο επιλεγμένος φοιτητής να έχει αυτοκίνητο; M Σχήμα 2.2: Γραφική αναπαράσταση των συνόλων στο Παράδειγμα 2.2. Για το (α ), εφόσον είναι 50 συνολικά οι φοιτητές, δηλαδή το πλήθος των στοιχείων του Ω ισούται με 50, #Ω = 50, και αφού μας δίνεται ότι 25 φοιτητές δεν έχουν ούτε αυτοκίνητο ούτε μοτοσυκλέτα, εύκολα υπολογίζουμε ότι, #E = #{όσοι έχουν τουλάχιστον το ένα από τα δύο} = #[{όσοι δεν έχουν κανένα από τα δύο} ] = 50 25 = 25, όπου πιο πάνω και σε ολόκληρο το βιβλίο, χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό # για το πλήθος των στοιχείων ενός οποιουδήποτε συνόλου.
2.2. ΣΥΝΟΛΑ 11 Για το (β ), από τη γραφική αναπαράσταση στο Σχήμα 2.2, παρατηρούμε πως, #( M) = # + #M #, όπου αφαιρούμε τα στοιχεία του συνόλου για να μη μετρηθούν δύο φορές. Παρατηρούμε επίσης ότι M = E και #E = 25 από το (α ), ενώ μας δίνεται και ότι # = 20 και #M = 10, άρα, # = 20 + 10 25 = 5. [Παρένθεση. Αν και δεν έχουμε ακόμα ορίσει την έννοια της πιθανότητας, μπορούμε να προσεγγίσουμε το ερώτημα (γ ) διαισθητικά. Εφόσον η επιλογή του φοιτητή είναι τυχαία, η ζητούμενη πιθανότητα «ο επιλεγμένος φοιτητής να έχει αυτοκίνητο», δηλαδή η πιθανότητα να επιλέξουμε από όλο το Ω έναν φοιτητή που να είναι στο σύνολο, λογικά μπορεί να υπολογιστεί ως η πιθανότητα του «ο επιλεγμένος φοιτητής να ανήκει στο», δηλαδή, # #Ω = 20 50 = 2 5 = 0.4 = 40%.] Συμβολισμός. Οπως θα δούμε στην επόμενη ενότητα, οποιαδήποτε ενδεχομένη έκβαση ενός τυχαίου πειράματος είτε αυτή περιγράφεται περιφραστικά, π.χ., «ο επιλεγμένος φοιτητής να έχει αυτοκίνητο», είτε ως κάποιο υποσύνολο του Ω όπως πιο πάνω συχνά αναφέρεται απλά ως ένα ενδεχόμενο. Η πιθανότητα οποιουδήποτε ενδεχομένου μάς ενδιαφέρει σε κάποιο πρόβλημα συμβολίζεται ως Pr, από το αγγλικό «probability» που σημαίνει πιθανότητα. Παράδειγμα 2.3 Ρίχνουμε ένα «δίκαιο» νόμισμα 2 φορές. Εδώ το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων είναι το, Ω = {KK, KΓ, ΓK, ΓΓ}. Εστω το ενδεχόμενο του να έρθει Κ την πρώτη φορά, και το ενδεχόμενο να έρθει το ίδιο αποτέλεσμα δύο φορές, δηλαδή, = {KK, KΓ} = {KK, ΓΓ}. KK Σχήμα 2.3: Σχηματική αναπαράσταση των συνόλων στο Παράδειγμα 2.3.
12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΧΩΡΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ [Παρένθεση. Και πάλι, αν και δεν έχουμε ακόμα ορίσει την έννοια της πιθανότητας, διαισθητικά μπορούμε να κάνουμε κάποιους απλούς υπολογισμούς. Παρατηρούμε ότι, εφόσον το νόμισμα είναι δίκαιο, είναι λογικό να υποθέσουμε ότι καθένα από τα τέσσερα δυνατά αποτελέσματα (που αντιστοιχούν στα 4 στοιχεία του Ω) έχουν την ίδια πιθανότητα, δηλαδή 1/4. Άρα υπολογίζουμε εύκολα τις πιθανότητες, για παράδειγμα, των εξής ενδεχομένων: Pr({Κ την 1η φορά}) = Pr() = Pr({KK, KΓ}) = # = 2/4 = 1/2, #Ω Pr({δύο φορές το ίδιο}) = Pr() = Pr({KK, ΓΓ}) = # = 2/4 = 1/2, #Ω Pr({δύο φορές Κ})) = Pr({KK}) = #{KK} #Ω = 1/4, και παρομοίως, η πιθανότητα να φέρουμε δύο φορές Γ είναι κι αυτή 1/4.] 2.3 Χώρος πιθανότητας και ενδεχόμενα Ορισμός 2.2 (Χώρος πιθανότητας και ενδεχόμενα) 1. Ο χώρος πιθανότητας ή δειγματικός χώρος Ω είναι το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων ενός τυχαίου πειράματος. 2. Οποιοδήποτε υποσύνολο Ω του χώρου πιθανότητας Ω ονομάζεται ενδεχόμενο. 3. Τα ενδεχόμενα που αποτελούνται από ένα μόνο στοιχείο, δηλαδή τα υποσύνολα Ω της μορφής = {ω} για κάποιο ω Ω, λέγονται στοιχειώδη ενδεχόμενα. 4. Δύο ενδεχόμενα, είναι ξένα όταν δεν έχουν κανένα κοινό στοιχείο, δηλαδή αν και μόνο αν, =. Διαισθητικά, τα, είναι ξένα αν είναι αδύνατον να συμβούν συγχρόνως. Παρατηρήσεις 1. Ο χώρος πιθανότητας μπορεί πάντα να εκφραστεί ως η ένωση τόσων στοιχειωδών ενδεχομένων όσα τα στοιχεία που περιέχει. Π.χ., αν Ω = {ω 1, ω 2,..., ω N }, τότε, Ω = {ω 1 } {ω 2 } {ω N }. Και γενικότερα, κάθε ενδεχόμενο μπορεί να εκφραστεί ως ένωση τόσων στοιχειωδών ενδεχομένων όσα τα στοιχεία που περιέχει. Επίσης σημειώνουμε πως δύο οποιαδήποτε στοιχειώδη ενδεχόμενα {ω 1 } και {ω 2 } είναι ξένα μεταξύ τους αρκεί, βεβαίως, να μην είναι τα ίδια, δηλαδή το στοιχείο ω 1 να είναι διαφορετικό απ το ω 2.
2.3. ΧΩΡΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ 13 2. Στο πιο πάνω παράδειγμα της ρίψης δύο δίκαιων νομισμάτων, ο χώρος πιθανότητας ήταν Ω = {KK, KΓ, ΓK, ΓΓ} και εξετάσαμε τα ενδεχόμενα = {KK, KΓ} και = {KK, ΓΓ}, τα οποία μπορούν να εκφραστούν ως ενώσεις στοιχειωδών ενδεχομένων: = {KK} {KΓ}, = {KK} {ΓΓ}. Παρατηρούμε ότι έχουμε τις πιθανότητες (όπως υπολογίστηκαν πιο πάνω), Pr() = 1/2, Pr({KK}) = 1/4, και (Pr{KΓ}) = 1/4. Άρα έχουμε τις «παράλληλες» σχέσεις: = {KK} {KΓ} και Pr() = Pr({KK}) + Pr({KΓ}). Αργότερα θα δούμε πως, όταν κάποιο ενδεχόμενο μπορεί να εκφραστεί ως ένωση δύο άλλων ενδεχομένων = Γ, η μόνη περίπτωση κατά την οποία μπορούμε να είμαστε βέβαιοι ότι θα ισχύει και η αντίστοιχη σχέση για τις πιθανότητες, Pr() = Pr() + Pr(Γ) είναι όταν τα, Γ είναι ξένα. 3. Οταν ένα ενδεχόμενο περιγράφει την περίπτωση να συμβεί κάποιο γεγονός που μας ενδιαφέρει (π.χ. αν το είναι το ενδεχόμενο του να φέρουμε την πρώτη φορά Κ ρίχνοντας ένα νόμισμα), τότε το συμπλήρωμά του περιγράφει το αντίθετο γεγονός, δηλαδή την περίπτωση να μη συμβεί το (π.χ, πιο πάνω το αντιστοιχεί στο να φέρουμε την πρώτη φορά Γ). Παρομοίως, η ένωση δύο ενδεχομένων, είναι το ενδεχόμενο του να συμβεί το ή το Β, και η τομή τους περιγράφει το ενδεχόμενο του να συμβούν και τα δύο. Τέλος, παραθέτουμε κάποιες βασικές σχέσεις που ικανοποιούν οι πράξεις της ένωσης, της τομής και του συμπληρώματος συνόλων. Για οποιαδήποτε υποσύνολα,, Γ του Ω, έχουμε: 1. 2. = Ω 3. = 4. ( Γ) = ( ) ( Γ) 5. ( Γ) = ( ) ( Γ) 6. ( ) = 7. ( ) =. Κλείνουμε αυτό το κεφάλαιο με ένα ενδιαφέρον παράδειγμα το οποίο, αν και απλό, αν δεν το έχετε ξαναδεί, ίσως σας κινήσει ιδιαίτερα το ενδιαφέρον.
14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΧΩΡΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Παράδειγμα 2.4 (Παιχνίδι Monty Hall) Σε ένα τηλεπαιχνίδι ο διαγωνιζόμενος επιλέγει μία από τρεις κουρτίνες, αφού του πουν πως μία από αυτές κρύβει ένα δώρο και οι άλλες δύο δεν κρύβουν τίποτα (χωρίς, φυσικά, να του πουν πού είναι το δώρο). Αφού διαλέξει, ο παρουσιαστής τού ανοίγει μία από τις άλλες δύο κουρτίνες, του δείχνει ότι εκεί δεν υπάρχει τίποτα, και δίνει στον διαγωνιζόμενο τη δυνατότητα να κρατήσει την αρχική του κουρτίνα ή να διαλέξει την άλλη κουρτίνα της οποίας το περιεχόμενο παραμένει κρυφό. Ο διαγωνιζόμενος επιλέγει, και το παιχνίδι τελειώνει, είτε με νίκη του διαγωνιζόμενου (αν το δώρο βρίσκεται πίσω από την κουρτίνα της τελικής του επιλογής), είτε με ήττα του διαγωνιζόμενου (αν το δώρο δεν βρίσκεται πίσω από την κουρτίνα που επέλεξε). Πώς μπορούμε να περιγράψουμε το χώρο πιθανότητας; Υπάρχουν διάφοροι τρόποι να περιγραφούν όλες οι δυνατές εκβάσεις του παιχνιδιού. Μια επιλογή είναι η ακόλουθη. Εστω πως ονομάζουμε κουρτίνα την κουρτίνα όπου βρίσκεται το δώρο, και κουρτίνες, τις άλλες δύο. Μπορούμε να περιγράψουμε τα αποτελέσματα ως τριάδες της μορφής (X, X, X), όπου τα X παίρνουν τιμές, ή, και το πρώτο στοιχείο δείχνει την επιλογή του διαγωνιζόμενου, το δεύτερο την κουρτίνα που αποκαλύφθηκε, και το τρίτο την κουρτίνα που επέλεξε τελικά ο διαγωνιζόμενος. Προφανώς υπάρχουν 3 επιλογές για το πρώτο στοιχείο. Αλλά για το δεύτερο στοιχείο υπάρχουν 2 επιλογές αν ο διαγωνιζόμενος έχει αρχικά επιλέξει την κουρτίνα με το δώρο, ενώ υπάρχει μόνο μία αν ο διαγωνιζόμενος έχει επιλέξει κενή κουρτίνα. Για το τρίτο στοιχείο, υπάρχουν πάντα δύο επιλογές. Ο αντίστοιχος χώρος πιθανότητας Ω περιέχει τις 8 δυνατές τριάδες (X, X, X) και έχει σχεδιαστεί στο Σχήμα 2.4. Ω (,, ) (,, ) * (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) * * * Σχήμα 2.4: Ο χώρος πιθανότητας του Παραδείγματος 2.4. Στο πρώτο βήμα ο διαγωνιζόμενος επιλέγει μία κουρτίνα, στο δεύτερο ο παρουσιαστής ανοίγει μία από τις άλλες δύο, και στο τρίτο ο διαγωνιζόμενος αλλάζει αν θέλει την επιλογή του. Τα τέσσερα αποτελέσματα που αντιστοιχούν σε «νίκη» είναι σημειωμένα με.
2.3. ΧΩΡΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ 15 Αν θέλουμε τώρα να ορίσουμε, π.χ., το ενδεχόμενο N =«ο παίκτης κέρδισε το δώρο», παρατηρούμε πως τα αποτελέσματα που καταλήγουν σε νίκη για τον διαγωνιζόμενο είναι εκείνα που έχουν τελευταίο στοιχείο το, δηλαδή, N = {,,, }. Σημείωση. Αυτό το παιχνίδι ήταν επί χρόνια τηλεπαιχνίδι στην Αμερική, γνωστό με το όνομα «Monty Hall». Τα βασικό ερώτημα, το οποίο θα εξετάσουμε αργότερα, είναι, «Ποια είναι η πιο συμφέρουσα στρατηγική για τον παίκτη να κρατήσει την αρχική του κουρτίνα ή να αλλάξει;»
16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΧΩΡΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ 2.4 Ασκήσεις 1. Τυχαία παιδιά. Εστω πως εκτελείται το ακόλουθο πείραμα: Ενα ζευγάρι κάνει n παιδιά, καθένα εκ των οποίων μπορεί να είναι αγόρι ή κορίτσι. Περιγράψτε το χώρο πιθανότητας αυτού του πειράματος. 2. Κι άλλα τυχαία παιδιά. Εστω πως εκτελείται το ακόλουθο πείραμα: Ενα ζευγάρι κάνει παιδιά επ άπειρο, μέχρι να κάνει το πρώτο κορίτσι, και μετά σταματάει. Περιγράψτε το χώρο πιθανότητας αυτού του πειράματος. 3. Δύο διαδοχικές ζαριές. Ρίχνουμε ένα ζάρι 2 φορές και καταγράφουμε τα δύο αποτελέσματα με τη σειρά που ήρθαν. (αʹ) Ποιος είναι ο χώρος πιθανότητας Ω; (βʹ) Περιγράψτε τα ακόλουθα ενδεχόμενα ως υποσύνολα του Ω: i. =«Ζάρι 1 = Ζάρι 2» (δηλαδή διπλές) ii. =«Άθροισμα 4» iii. =«Πρώτο ζάρι 4» iv. D =«Άθροισμα 7» v. E =«Δεύτερο ζάρι 5» 4. Υπάρχουν και περίεργοι χώροι πιθανότητας. Εστω πως ρίχνουμε ένα βελάκι σε ένα στόχο με σχήμα κύκλου, και ακτίνα 20 cm. Αν πετύχουμε το στόχο το βελάκι μένει καρφωμένο, και αν αστοχήσουμε το βελάκι πέφτει στο πάτωμα και το κλέβει ο σκύλος μας. Ορίστε το χώρο πιθανότητας Ω ώστε να περιγράφει όλα τα δυνατά αποτελέσματα, δηλαδή όλες τις θέσεις στις οποίες μπορεί να καταλήξει το βελάκι μας, συμπεριλαμβανομένου του στόματος του σκύλου! 5. Δύο ταυτόχρονες ζαριές. Λύστε την Άσκηση 3, υποθέτοντας πως τα ζάρια ρίχνονται ταυτόχρονα, και δεν είμαστε σε θέση να τα ξεχωρίζουμε μεταξύ τους. 6. Τρία νομίσματα. Ρίχνουμε τρία νομίσματα. Περιγράψτε το χώρο πιθανότητας Ω του πειράματος και τα ενδεχόμενα =«τρεις φορές το ίδιο αποτέλεσμα», =«τις πρώτες δύο φορές Γράμματα», =«περισσότερες Κορώνες από Γράμματα», ως υποσύνολα του Ω. 7. Άσπρες και μαύρες μπάλες. Ενα κουτί περιέχει μία άσπρη μπάλα και 3 πανομοιότυπες μαύρες μπάλες. (αʹ) Επιλέγουμε μια μπάλα στην τύχη και χωρίς να την ξαναβάλουμε στο κουτί επιλέγουμε άλλη μία (δηλαδή έχουμε επιλογή χωρίς επανατοποθέτηση). Περιγράψτε το χώρο πιθανότητας Ω 1 αυτού του πειράματος.
2.4. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 17 (βʹ) Αν η επιλογή άσπρης μπάλας μάς δίνει κέρδος 10 ευρώ και η επιλογή μαύρης μπάλας μάς δίνει κέρδος 5 ευρώ, περιγράψτε το ενδεχόμενο συνολικά στις δύο επιλογές να κερδίσουμε 10 ευρώ. (γʹ) Αν, αφού επιλέξουμε την πρώτη μπάλα, την ξαναβάλουμε στο κουτί πριν επιλέξουμε τη δεύτερη, έχουμε επιλογή με επανατοποθέτηση, και προκύπτει ένα διαφορετικό πείραμα. Περιγράψτε το χώρο πιθανότητας Ω 2 αυτού του πειράματος, και το ενδεχόμενο συνολικά στις δύο επιλογές να κερδίσουμε 15 ευρώ. 8. Λειτουργία δικτύου. Εστω τα ενδεχόμενα =«Σήμερα θα πέσει το δίκτυο», =«Σήμερα είναι εργάσιμη μέρα», =«Σήμερα ο τεχνικός είναι στο εργαστήριο». Να εκφραστούν τα πιο κάτω ενδεχόμενα ως σύνολα, συναρτήσει των συνόλων,, : (αʹ) D =«Σήμερα θα πέσει το δίκτυο και είναι εργάσιμη μέρα» (βʹ) E =«Σήμερα είναι αργία και θα πέσει το δίκτυο» (γʹ) F =«Σήμερα θα πέσει το δίκτυο, είναι εργάσιμη, και ο τεχνικός δεν είναι στο εργαστήριο» (δʹ) G =«Σήμερα ή θα πέσει το δίκτυο και είναι αργία, ή θα πέσει το δίκτυο και ο τεχνικός είναι στο εργαστήριο, ή δεν θα πέσει το δίκτυο» 9. Απλά διαγράμματα ενδεχομένων. Στα τρία διαγράμματα του Σχήματος 2.5, να σκιαστούν (αντιστοίχως) τα τρία ενδεχόμενα, ( ), ( ) D. D Σχήμα 2.5: Άσκηση 9. 10. Τρεις ζαριές. Ρίχνουμε ένα ζάρι 3 φορές. Περιγράψτε το χώρο πιθανότητας Ω και τα ενδεχόμενα: =«Την 1 η και 3 η φορά ήρθε 6», =«την 1 η φορά ήρθε 1 και τη 2 η και 3 η φορά ήρθε το ίδιο αποτέλεσμα» και =«τρεις φορές ήρθε το ίδιο ζυγό αποτέλεσμα».
18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΧΩΡΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ 11. Σταθερά και κινητά τηλέφωνα. Ενα δίκτυο τηλεφωνίας αποτελείται από 400 σταθερά τηλέφωνα και 50 κινητά. Επιλέγουμε δύο τηλέφωνα στην τύχη, όπου στην 2 η επιλογή δεν επιτρέπουμε να επιλεγεί το ίδιο τηλέφωνο με την 1 η : Περιγράψτε το χώρο πιθανότητας. Επιπλέον, αν η επιλογή σταθερού τηλεφώνου έχει κόστος 1 ευρώ και η επιλογή κινητού 5 ευρώ, περιγράψτε τα ενδεχόμενα Α =«συνολικά οι 2 επιλογές κόστισαν 6 ευρώ» και Β =«συνολικά οι 2 επιλογές κόστισαν 11 ευρώ». 12. Το πρόβλημα των τριών φυλακισμένων. Σε μια φυλακή, ο διευθυντής αποφασίζει να απονείμει χάρη σε έναν από τους τρεις φυλακισμένους (η φυλακή είναι μικρή!) και να εκτελέσει τους άλλους δύο. Ενας από τους τρεις φυλακισμένους ζητά από τον δεσμοφύλακα να του αποκαλύψει ποιος από τους άλλους δύο κρατούμενους θα εκτελεστεί, με τη λογική ότι υπάρχει πάντοτε κάποιος τέτοιος. Ο δεσμοφύλακας το κάνει, και κατόπιν του παρέχει τη δυνατότητα να αλλάξει θέση με αυτόν του οποίου την τύχη δεν αποκάλυψε. Ο φυλακισμένος έχει την επιλογή να δεχθεί ή να αρνηθεί. Να περιγράψετε το χώρο πιθανότητας αυτού του τυχαίου πειράματος. 13. Monty Hall 2. Επαναλάβετε το Παράδειγμα 2.4 με την ακόλουθη τροποποίηση: Οι κουρτίνες έχουν πάρει το όνομά τους πριν τοποθετηθεί το δώρο, και έτσι τα αποτελέσματα είναι τετράδες, αντί για τριάδες. 14. Monty Hall 3. Επαναλάβετε το Παράδειγμα 2.4 με την ακόλουθη τροποποίηση: Ο διαγωνιζόμενος δεν αλλάζει ποτέ κουρτίνα. 15. Monty Hall 4. Επαναλάβετε το Παράδειγμα 2.4 με την ακόλουθη τροποποίηση: Ο διαγωνιζόμενος αλλάζει πάντα κουρτίνα.