Dinamika na konstrukciite 1

Dinamika na konstrukciite 1 2 TEORIJA NA BRANOVI 2.1 OSNOVNI POIMI Bran e periodi~na deformacija koja se [iri vo prostorot i vremeto. Branovite niz prostorot prenesuvaat energija bez protok na ~esti~ki od sredinata (t.e. ne postoi prenos na masa od mediumot niz koj se dvi`i branot), ~esti~kite na sredinata samo osciliraat okolu svoite ramnote`ni polo`bi. Mehani~kite branovi iziskuvaat prisustvo na sredina (medium koj na deformaciite reagira so elesti~na sila), za razlika od niv elektromagnetnite branovi se prostiraat i niz vakuum. Slika 2.1 Rasprostirawe na bran 2.1.1 Sредина низ која се простираат бранови Sredinata so ~ie posredstvo se prenesuva branot mo`e da ima nekoja od slednite osobini: Homogena sredina - dokolku karakteristikite na sredinata se isti vo site to~ki Izotropna sredina - dokolku nejzinite fizi~ki karakteristiki se ednakvi nezavisno od pravecot na rasprostirawe

2 Teorija na branovi 2.1.1 Karakteristi~ni pojavi Postojat golem broj na pojavi povrzani so rasprostiraweto na branovi: Refleksija(odbivawe) - promena na nasokata na rasprostirawe na branovite kako rezultat na sudir so reflektira~ka povr[ina (nagla promena na sredinata) Refrakcija (prekr[uvawe) - promena na pravecot na rasprostirawe na branovite kako rezultat na navleguvawe vo nova sredina. Difrakcija (rasejuvawe) - kru`no [irewe na branovite pozadi prepreka koja se nao\a na pravecot na rasprostirawe na branovite niz sredinata Interferencija (vzaemno vlijanie) - soedinuvawe na branovi koi ]e se najdat vo ista to~ka vo isto vreme Disperzija (rasprskuvawe) - razlagawe na branovite spored frekfencijata, branovite dol`ini ili energijata 2.1.2 Vidovi na branovi spored pravecot na oscilacii Longitudinalni branovi se branovi ~ii [to oscilacii se odvivaat vo pravecot na rasprostirawe na branot, primer, zvu~ni branovi. Transverzalni branovi se branovi ~ii [to amplitudi se normalni na pravecot na rasprostirawe na branot, primeri; bran na struna (`ica) i elektromagnetni branovi. Polarizacija Kaj transverzalnite branovi, kako [to be[e pogore poso~eno, oscilaciite se slu~uvaat normalno na pravecot na rasprostirawe na branot, pa mo`at da se odvivaat vo proizvolni pravci okolu pravata na dvi`ewe, takviot bran e nepolariziran bran. Za vreme na refleksijata na branot, nekoi pravci na oscilacii poslabo se reflektiraat taka [to branot posle serija od refleksii ima oscilacii samo vo edna ramnina. Na takov na~in se dobiva polariziran bran, a ramninata koja ja definiraat pravata na rasprostirawe na branot i linijata na oscilacii se narekuva ramnina na polarizacija. Dokolku pak branot se propu[ti niz ~etvrtbranova plo~ka, toga[ branot se deli na dve linearno polarizirani komponenti ~ii [to ramnini na polarizacija se ortoganalni. Osven toa, branovite se fazno pomesteni za 90 o (za ~etvrtina branova dol`ina, ottamu i imeto na plo~kata so koja toa se postignuva) pa so sobirawe na dve ortogonalni i fazno pomesteni oscilacii se dobiva rezultanten bran ~ija ramnina na polarizacija kru`i so rasprostirawe na branot. Taka se dobiva cirkularno polariziran bran. Kru`eweto mo`e da bide na desno ili na levo. Dokolku faznoto pomestuvawe na ortogonalnite komponenti ne e to~no ~etvrtina branova dol`ina, toga[ se dobiva elipti~no polariziran bran. Polarizacijata, linearna ili cirkularna, ~esto se koristi vo optikata i elektrotehnikata.

Dinamika na konstrukciite 3 2.1.3 Fizi~ki karakteristiki na branovite So bran se pretstavuva proces koj e periodi~en i vo prostor i vo vreme, t.e. proces koj istovremeneo se odviva vo dva nezavisni domena. Vo prostorot se sledi promenata na pomestuvaweto (otklonot) so koordinata kako na Slika 2.2 Slika 2.2 Rasprostirawe na bran vo prostorot i matemati~ki se formulira so sledniot ednostaven izraz: kade: 2π ψ () z = Acos z + φ (2.1) λ ψ - e pomestuvawe (otklon) na proizvolno izbrana to~ka z, A - e amplituda, φ - e faza i λ - e branova dol`ina Od ravenkata (2.1) i Slikata 2.2 se gleda deka amplitudata pretstavuva najgolemo mo`no pomestuvawe, branovata dol`ina rastojanie pome\u dva maksimuma, a faza go dava pomestuvaweto na proizvolno izbranata to~ka od koja se meri rastojanieto. Slika 2.3 Rasprostirawe na bran vo vremeto

4 Teorija na branovi Toa zna~i deka dokolku vo eden moment go snimime branot, ]e ja dobieme slikata na negovoto rasprostirawe vo prostorot. Me\utoa branot e periodi~na pojava i vo vremeto pa ist na~in mo`e da vidime kako pomestuvaweto na branot vo izbranata to~ka se menuva vo tek na vreme. Taka se dobiva identi~na slika so Slika 2.2 so taa razlika [to sega na horizontalnata oska namesto rastojanie pretstaveno e vreme. I matemati~kata ravenka so koja go opi[uvame branot vo vremeto e sli~na so ravenkata (2.1) 2π ψ () t = Acos t + φ (2.2) T so edinstvena razlika [to namesto branova dol`ina se javuva perioda, T. Toa zna~i deka periodata vo vremeto ja ima istata uloga kako i branovata dol`ina vo prostorot. Periodata poka`uva kolku vreme pominuva pome\u dava sosedni maksimuma. Me\utoa, ako sakame da gi sledime karakteristikite na branot istovremeno i vo prostorot i vo vremeto toga[ toa mora da se izrazi so ravenka od dvete promenlivi, pa so kombinirawe na ravenkite (2.1) i (2.2.) se dobiva ravenkata na ramninski bran ili 2πt 2πz ψ ( t,z) = Acos + φ (2.3) T λ (,z) = Acos( ωt kz φ ) ψ t + (2.4) kade A e amplituda i taa se smeta deka e nepromenliva, iako vo stvarnosta taa zavisi i od vremeto i od prostorot. Opredeluvaweto na brzinata na branot mo`e da se ilustrira na sledniot na~in, dokolku go javneme branot sli~no kako [to toa bi go napravil surfer. Pomestuvaweto na surferot vo odnos na branot koj go javnal, bidej]i i toj se dvi`i so brzinata na branot, e konstantno ( t, z) = const. ψ (2.5) Od ravenkite na branot se gleda deka toa se slu~uva koga 2πt 2πz T λ od kade sledi deka: = 0 (2.6) z λ ω v = = ili v = = λ f (2.7) t T k

Dinamika na konstrukciite 5 toa zna~i deka brzinata na rasprostirawe na branot e ednakva na odnosot na branovata dol`ina i periodata ili proizvodot na branovata dol`ina i frekfencijata, t.e. branot za vreme od edna perioda pominuva pat koj e dnakov na edna branova dol`ina. 2.1.4 Definirawe na branovite Ednodimenzionalen ramninski bran, mo`e ednozna~no da se definira so ~etiri nezvisni osobini: branova dol`ina, amplituda, perioda i faza. Postojat i drugi osobini koi mo`at da se koristat za opi[uvawe na branot, na primer frekfencija (recipro~na vrednost na periodata) ili branov broj (recipro~na vrednost na branovata dol`ina) idr. me\utoa za definirawe dovolni se ~etiri nezavisni parametri. Drugi veli~ni koi isto taka se koristat za definirawe na branot se i kru`nata frekfencija i branoviot broj k (ponekoga[ se koristi i branov vektor koj ima pravec na resprostirawe na branot i modul ednakov na vrednosta na branoviot broj). Ovie veli~ini gi zadovoluvaat slednite relacii: T 2π 2π =, λ = (2.8) ω k Amlitudata pretstavuva maksimalna vrednost na pomestuvaweto (otklonot) od ramnote`nata polo`ba vo tek na eden ciklus i se meri vo razli~ni edinici zavisno od vidot na branot. Taka na primer, bran na `ica ima amlituda izrazena vo dol`ina (metar), zvu~niot bran se izrazuva kako pritisok (paskal) a kaj elektromagnetniot bran amplitudata ima dimenzija na elektri~no pole (volt/metar). Amplitudata mo`e da bide nepromenliva (i toga[ se narekuva konstanten bran) ili mo`e da se menuva vo vremeto i prostorot. Oblikot na promenata na amplitudata ja pretstavuva anvelopata na branot. Vrv e najvisokata to~ka na branot, dodeka dol e najniskata to~ka. Branovata dol`ina e rastojanie pome\u dva sosdni vrva, kaj elektromagnetnite branovi se meri vo nanometri. 2.1.4 Vidovi branovi Stoe~ki branovi - branovi koi ne se dvi`at vo prostorot, primer treperewe na violinska `ica Dvi`e~ki branovi - branovi koi se dvi`at vo prostorot i pretstavuvaat deformacii koi se menuvaat dol` patekata z i vremeto t. Ovie branovi matemati~ki se opi[uvaat so ravenkata ( ) cos( ω t +φ ) y = A z,t kz (2.9) kade: ( z,t) A - pretstavuva amplituda na anvelopata na branot, k - e branoviot broj i φ - e faza.

6 Teorija na branovi 2.1.5 Matemati~ka ravenka na branot Ravenkata na branot e diferencijalna ravenka koja opi[uva harmoniski bran koj se prostira niz sredinata. Ravenkata ima pove]e oblici zavisno od toa kako se prostira branot i kakva e sredinata. Ravenkata na branot i samite branovi se odnesuvaat na sinusoidalni oscilacii. Me\utoa i pojavi koi ne se periodi~ni mo`at da se tretiraat na sleden na~in, bidej]i sekoj neperiodi~en proces mo`e da se pretstavi so superpozicija na branovi so razli~ni branovi dol`ini [to le`i vo osnovata na Furievata analiza. Primer na nesinusoidalen bran e impulsot koj patuva vdol` ja`e koe le`i na zemja i na edniot kraj mu se prdizvika ednokratno pomestuvawe. Pri ednodimenzionalna analiza ravenkata na branot go ima sledniot oblik: 1 2 v 2 2 φ φ = 2 2 t x (2.10) op[toto re[eni na ravenkata dadeno od Dalamber ( x,t) = F ( x vt) + G( x + vt) φ (2.11) pretsavuva oblik na dva impulsa koi se rasprostiraat vdol` `ica, F vo pravec +x i G vo pravec x. 2.1.6 Primeri na branovi Mehani~ki branovi vidlivi na povr[inata na vodata Elektromagnetni branovi, tuka spa\aat radio branov, mikro branovi, ifracrveni branovi, ultravioletovi branovi, rentgenski i gama zraci (site ovie branovi niz vakuum se dvi`at so brzina na svetlinata) Zvu~ni ili akusti~ni branovi, toa se mehani~ki longitudinalni branovi koi se dvi`at niz materijalna sredina Zemjotresni ili seizmi~ki branovi, toa se mehani~ki branovi koi se dvi`at vo zemjinata vnatre[nost i zemjinata kora

Dinamika na konstrukciite 7 2.2 SEIZMI^KI BRANOVI Postojat dva vida na seizmi~ki branovi, dlabinski i povr[inski branovi. 2.2.1 Dlabinski seizmi~ki branovi Dlabinski branovi se rasprostiraat (se dvi`at) vo vnatre[nosta na Zemjinata topka. Tie gi sledat patekite na razli~nite gustini i moduli (na elasti~nost) na vnatre[nosta na Zemjata. Gustinata, pak, i modulite variraat vo zavisnost od temperaturata i sostavot na vnatre[nosta. Efektot koj se postignuva so toa e sli~en na refrakcijata na svetlosnite branovi. Dlabinskite branovi gi nosat prviot potres, kako i mnogu podocne`ni. Ima dva tipa na dlabinski branovi: Primarni P branovi i Sekundarni S branovi 2.2.1.1 P - dlabinski seizmi~ki branovi P - dlabinski seizmi~ki branovi se longitudinalni ili branovi na pritisok, [to zna~i deka zemjata naizmeni~no se zbiva ili ras[iruva vo pravec na rasprostirawe na branot. Voglavnom vo karpi ovie branovi patuvaat skoro dvapati pobrzo od S branovite i mo`at da se dvi`at niz bilo kakov vid na materijal. Vo vozdu[na sredina ovie branovi imaat oblik na zvuk i se dvi`at so brzina ednakva na brzinata na zvukot. Voobi~aeni brzini na ovie branovi se 330 m/sek. vo vozduh, 1450 m/sek. vo voda i okolu 5000 m/sek. vo granit. P branovite ponekoga[ se narekuvaat primarni branovi. Koga se generirani od zemjotres tie se pomalku destruktivni od S branovite i povr[inskite branovi koi gi sledat, bidej]i imaat pomali amplitudi. 2.2.1.2 S - dlabinski seizmi~ki branovi S - dlabinski seizmi~ki branovi se transverzalni ili branovi na smolknuvawe, [to zna~i deka zemjenite ~esti~ki se pomestuvaat normalno na pravecot na rasprostirawe na branot. Vo slu~aj na horizontalno polarizirani S branovi zemjenite ~esti~ki se dvi`at naizmeni~no od edna na druga strana. S branovite mo`at da se dvi`at samo niz cvrsti sredini bidej]i fluidite (te~nosti i gasovi) ne nosat napregawa na smolknuvawe. Nivnata brzina e okolu 60% od brzinata na P branovite vo istata sredina (materijal). S branovite ponekoga[ se narekuvaat sekundarni branovi i nivnite amplitudi se nekolku pati pogolemi od amplitidite na P branovite pri zemjotres.

8 Teorija na branovi Slika 2.4 Rasprostirawe na P- bran Na Slika 2.4 dadeno e tridimenzionalen prikaz na rasprostirawe na elasti~en P- bran niz mre`a koja go pretstavuva volumenot na materijalot. X i Y pravcite se paralelni na Zemjinata povr[ina, dodeka oskata Z odi vo pravec na dlabo~inata. T=0 do T=3 gi dava sukcesivnite momenti od vremeto. Branot koj se dvi`i pretstavuva pritisok (liniite od mre`ata se zbivaat) posle koj sleduva pro[iruvawe (liniite od mre`ata se ra[iruvaat). Dvi`eweto na ~esti~kite e vo pravec na dvi`eweto na branot. Posle pominuvawe na branot materijalot se vra]a vo prvobitnata polo`ba.

Dinamika na konstrukciite 9 Slika 2.5 Rasprostirawe na S- bran

10 Teorija na branovi 2.2.2 Povr[inski seizmi~ki branovi Povr[inskite branovi se analogni na vodenite branovi i patuvaat neposredno pod povr[inata na Zemjinata kora. Tie se dvi`at so pomala brzina od dlabinskite branovi. Poradi nivnata niska frekfencija, dolgo traewe i golemite amplitudi tie mo`at da bidat najdestruktiven tip na seizmi~ki branovi. Ima dva tipa na povr[inski branovi: Rayleigh-evi branovi i Love-evi branovi 2.2.2.1 Rayleigh -evi povr[inski seizmi~ki branovi Rayleigh-evi povr[inski seizmi~ki branovi se dvi`at kako povr[inskite branovi na voda. Postoeweto na ovoj tip na barnovi go predvidel John William Strutt, Lord Rayleigh, vo 1885 godina. Tie se pospori od dlabinskite branovi, grubo okolu 70% od brzinata na S branovite. Ovie branovi za vreme na zemjotres se vidlivi na otvoreno, kako nosa~ na avtomobili koi se dvi`at nagore-nadole zaedno so branovite. Slika 2.6 Rasprostirawe na Rayleigh- bran

Dinamika na konstrukciite 11 2.2.2.2 Love -evi povr[inski seizmi~ki branovi Love -evi povr[inski seizmi~ki branovi se povr[inski branovi koi predizvikuvaat horizontalno smolknuvawe na zemjata. Go dobile imeto spored A.E.H. Love, britanski matemati~ar koj definiral matemati~ki model na ovoj tip branovi 1911 godina. Tie obi~no se dvi`at ne[to pobrzo od Rayleigh-evite branovi, okolu 90% od brzinata na S branovite. Slika 2.7 Rasprostirawe na Love- bran