Vektori Koordinate Proizvodi Centar masa Transformacije UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET. Geometrija I{smer.
|
|
- Κύρα Ευτέρπη Αγγελόπουλος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Geometrija I{smer deo 1: Vektori i transformacije koordinata Tijana Xukilovi 2. oktobar 2017
2 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju isti
3 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju isti pravac,
4 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju isti pravac, smer
5 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju isti pravac, smer i intentzitet.
6 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju isti pravac, smer i intentzitet. B #«Y v D #«A #«v v X C Slika 1: Ekvivalentne usmerene dui
7 Osnovni pojmovi i oznake primeri vektorskih veliqina: brzina, ubrza e, sila, moment sile...
8 Osnovni pojmovi i oznake primeri vektorskih veliqina: brzina, ubrza e, sila, moment sile... vektor predstavnik
9 Osnovni pojmovi i oznake primeri vektorskih veliqina: brzina, ubrza e, sila, moment sile... vektor predstavnik nula vektor #«0
10 Osnovni pojmovi i oznake primeri vektorskih veliqina: brzina, ubrza e, sila, moment sile... vektor predstavnik nula vektor #«0 suprotan vektor
11 Osnovni pojmovi i oznake primeri vektorskih veliqina: brzina, ubrza e, sila, moment sile... vektor predstavnik nula vektor #«0 suprotan vektor kolinearni vektori
12 Osnovni pojmovi i oznake primeri vektorskih veliqina: brzina, ubrza e, sila, moment sile... vektor predstavnik nula vektor #«0 suprotan vektor kolinearni vektori koplanarni vektori
13 Osnovni pojmovi i oznake primeri vektorskih veliqina: brzina, ubrza e, sila, moment sile... vektor predstavnik nula vektor #«0 suprotan vektor kolinearni vektori koplanarni vektori skup svih vektora V, odnosno V n
14 Operacije sa vektorima C #«v #«u + #«v B A #«u Slika 2: Sabira e vektora
15 Operacije sa vektorima #«u α #«u, α > 0 α #«u, α < 0 Slika 3: Mnoe e vektora skalarom
16 Operacije sa vektorima #«v #«u #«u #«v ( 1) #«v Slika 4: Razlika vektora
17 Operacije sa vektorima α k #«v k α 1 #«v α k #«v k #«v k #«v k 1 #«v 2 α #«2 v 2 #«v 1 α #«k 1 v k 1 α #«1 v 1 Slika 5: Linearna kombinacija vektora
18 Operacije sa vektorima #«u #«1 v = #«#«u u Slika 6: Jediniqni vektor
19 Linearna zavisnost i nezavisnost vektora Definicija 1.2 Vektori v #«1,..., v #«n su linearno nezavisni ako relacija: α 1 #«v1 + + α n # «vn = #«0 vai samo za α 1 = = α n = 0.
20 Linearna zavisnost i nezavisnost vektora Definicija 1.2 Vektori v #«1,..., v #«n su linearno nezavisni ako relacija: α 1 #«v1 + + α n # «vn = #«0 vai samo za α 1 = = α n = 0. U suprotnom, ako postoji i n-torka (α 1,..., α n ) u kojoj je bar jedan od brojeva α i razliqit od nule, vektori se nazivaju linearno zavisnim.
21 Linearna zavisnost i nezavisnost vektora Teorema 1.1 Nenula vektori #«u i #«v su linearno zavisni ako i samo ako su kolinearni.
22 Linearna zavisnost i nezavisnost vektora Teorema 1.1 Nenula vektori #«u i #«v su linearno zavisni ako i samo ako su kolinearni. Teorema 1.2 U ravni postoje dva linearno nezavisna vektora, a svaka tri vektora ravni su linearno zavisna.
23 Linearna zavisnost i nezavisnost vektora Teorema 1.1 Nenula vektori #«u i #«v su linearno zavisni ako i samo ako su kolinearni. Teorema 1.2 U ravni postoje dva linearno nezavisna vektora, a svaka tri vektora ravni su linearno zavisna. Teorema 1.3 U prostoru postoje tri linearno nezavisna vektora, a svaka qetiri vektora su linearno zavisna.
24 Primeri Primer 1 C A # «AB + # «BC + # «CA = #«0 Slika 7: Vektori odreeni stranicama trougla su linearno zavisni B
25 Primeri Primer 2 D 1 C 1 A 1 B 1 D C A Slika 8: Da li su vektori AC # «1 i BD # «kolinearni? B
26 Primeri Primer 2 D 1 C 1 A 1 B 1 D C A Slika 9: Da li su vektori BC # «1, A # «1 D 1 i CD # «koplanarni? B
27 Primeri Primer 2 D 1 C 1 A 1 B 1 D C A Slika 10: Da li su vektori BC # «1, CD # «i D # «1 B koplanarni? B
28 Baza i dimenzija vektorskog prostora Baza vektorskog prostora = maksimalan skup linearno nezavisnih vektora.
29 Baza i dimenzija vektorskog prostora Baza vektorskog prostora = maksimalan skup linearno nezavisnih vektora. Dimenzija vektorskog prostora = broj elemenata baze.
30 Baza i dimenzija vektorskog prostora Baza vektorskog prostora = maksimalan skup linearno nezavisnih vektora. Dimenzija vektorskog prostora = broj elemenata baze. Posledica 2.1 Dimenzija vektorskog prostora vektora ravni V 2 je dva.
31 Baza i dimenzija vektorskog prostora Baza vektorskog prostora = maksimalan skup linearno nezavisnih vektora. Dimenzija vektorskog prostora = broj elemenata baze. Posledica 2.1 Dimenzija vektorskog prostora vektora ravni V 2 je dva. Svaki vektor #«v V 2 moe da se napixe u obliku: #«v = x1 #«e1 + x 2 #«e2, gde je e = ( #«e 1, #«e 2 ) baza vektorskog prostora V 2.
32 Baza i dimenzija vektorskog prostora Baza vektorskog prostora = maksimalan skup linearno nezavisnih vektora. Dimenzija vektorskog prostora = broj elemenata baze. Posledica 2.1 Dimenzija vektorskog prostora vektora ravni V 2 je dva. Svaki vektor #«v V 2 moe da se napixe u obliku: #«v = x1 #«e1 + x 2 #«e2, gde je e = ( e #«1, e #«2 ) baza vektorskog prostora V 2. Posledica linearne nezavisnosti vektora baze je da su brojevi x 1, x 2 R jedinstveni.
33 Koordinate vektora Baza e = (e 1, e 2 ) vektorskog prostora V 2. Koordinate vektora #«v V 2 u bazi e: [ #«v ] e = ( ) x1 x 2
34 Koordinate vektora Baza e = (e 1, e 2 ) vektorskog prostora V 2. Koordinate vektora #«v V 2 u bazi e: [ #«v ] e = ( ) x1 x 2 Lako se uopxtava na proizvo nu dimenziju.
35 Primer Primer 3 Dat je paralelogram ABCD. Neka je E sredixte stranice BC i S presek dijagonala AC i BD. Odrediti koordinate vektora BE # «( # «u bazi e = AE, AS) # «. D C S E A B Slika 11: [ # «] BE = e ( 1 2 )
36 Koordinate taqke Baza e = (e 1,..., e n ) vektorskog prostora V. Fiksirana taqka O E naziva se koordinatni poqetak. O e se naziva koordinatnim sistemom ili reperom prostora E.
37 Koordinate taqke Baza e = (e 1,..., e n ) vektorskog prostora V. Fiksirana taqka O E naziva se koordinatni poqetak. O e se naziva koordinatnim sistemom ili reperom prostora E. Definicija 2.1 Koordinate taqke X E u reperu Oe definixemo kao koordinate vektora OX # «u bazi e: [X] Oe := [ # «OX] e. (1)
38 Veza koordinata vektora i taqaka U praksi se qesto koristi qi enica da se koordinate vektora MN # «dobijaju oduzima em koordinate taqke M od koordinata taqke N."
39 Veza koordinata vektora i taqaka U praksi se qesto koristi qi enica da se koordinate vektora MN # «dobijaju oduzima em koordinate taqke M od koordinata taqke N." Korektnost: [ MN] # «e = [ MO # «+ ON] # «e = [ ON] # «e [ OM] # «e = [N] Oe [M] Oe.
40 Veza koordinata vektora i taqaka U praksi se qesto koristi qi enica da se koordinate vektora MN # «dobijaju oduzima em koordinate taqke M od koordinata taqke N." Korektnost: [ MN] # «e = [ MO # «+ ON] # «e = [ ON] # «e [ OM] # «e = [N] Oe [M] Oe. Primer 4 Odrediti koordinate temena paralelograma iz Primera 3 u reperu Ae.
41 Skalarni proizvod Definicija 3.1 (Skalarni proizvod) #«v, #«u V : #«v #«u := #«v #«u cos ( #«v, #«u ),
42 Skalarni proizvod Definicija 3.1 (Skalarni proizvod) #«v, #«u V : #«v #«u := #«v #«u cos ( #«v, #«u ), Primene skalarnog proizvoda: Duine: #«v = #«v #«v ; Uglovi: ( #«v, #«u ) = arccos #«v #«u #«v #«u
43 Skalarni proizvod u ortonormiranoj bazi Ortonormirana baza = baza e = ( #«e 1,..., #«e n ) : #«e i #«e j = δ ij.
44 Skalarni proizvod u ortonormiranoj bazi Ortonormirana baza = baza e = ( e #«1,..., e #«n ) : e #«i e #«j = δ ij. #«v = v1 e 1 + v 2 e v n e n, #«u = u 1 e 1 + u 2 e u n e n : #«v #«u = v1 u 1 + v 2 u v n u n = (v 1,..., v n ) u 1. u n = [ #«v ] T e [ #«u ] e
45 Skalarni proizvod u ortonormiranoj bazi Ortonormirana baza = baza e = ( e #«1,..., e #«n ) : e #«i e #«j = δ ij. #«v = v1 e 1 + v 2 e v n e n, #«u = u 1 e 1 + u 2 e u n e n : #«v #«u = v1 u 1 + v 2 u v n u n = (v 1,..., v n ) u 1. u n = [ #«v ] T e [ #«u ] e Primer 5 Dati su vektori #«v = (1, 2, 2) i #«u = ( 3, 0, 4) iz V 3 svojim koordinatama u ortonormiranoj bazi. Odrediti: (a) #«v ; (b) ( #«v, #«u ).
46 Orijentacija ravni Pojam orijentacije uvodimo intuitivno. Stvar je dogovora xta nazivamo pozitivnom, a xta negativnom orijentacijom.
47 Orijentacija ravni Pojam orijentacije uvodimo intuitivno. Stvar je dogovora xta nazivamo pozitivnom, a xta negativnom orijentacijom. A + C B B A Slika 12: Trougao pozitivne i negativne orijentacije C
48 Orijentacija ravni Pojam orijentacije uvodimo intuitivno. Stvar je dogovora xta nazivamo pozitivnom, a xta negativnom orijentacijom. A + C B B A Slika 12: Trougao pozitivne i negativne orijentacije C Baza e = ( OA, # «OB) # «je pozitivne orijentacije, ako je trougao OAB pozitivne orijentacije.
49 Orijentacija prostora Baze e = ( e #«1, e #«2, e #«3 ) je pozitivne orijentacije ako vai pravilo ruke: ako isprueni kaiprst ruke predstav a vektor e #«1, sred i prst vektor e #«2, a palac vektor e #«3, onda je baza e = ( e #«1, e #«2, e #«3 ) pozitivne orijentacije".
50 Primer Primer 6 Data je kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Odrediti orijentaciju ortonormirane baze e = ( e #«1, e #«2, e #«3 ), e #«1 = A # «1 B 1, e #«2 = A # «1 D 1, e #«3 = A # «( # «1 A ako je baza f = BD, BA, # «BC # «) 1 pozitivne orijentacije. A 1 B 1 #«e 3 A #«e 2 D 1 D #«e 1 #«f 2 #«f 1 B #«f 3 C 1 Slika 13: Orijentacija prostora C
51 Vektorski proizvod Definicija 3.2 (Vektorski proizvod) #«v, #«u V 3 : #«v #«u := #«w, gde je #«w vektor koji ima: Intenzitet: #«w = #«v #«u sin ( #«v, #«u ); Pravac: #«w #«v, #«u; Smer: Baza ( #«v, #«u, #«w) je pozitivne orijentacije.
52 Vektorski proizvod Definicija 3.2 (Vektorski proizvod) #«v, #«u V 3 : #«v #«u := w, #«gde je w #«vektor koji ima: Intenzitet: w #«= #«v #«u sin ( #«v, #«u ); Pravac: w #«#«v, #«u; Smer: Baza ( #«v, #«u, w) #«je pozitivne orijentacije. #«u h = #«u sin φ φ #«v Slika 14: #«v #«u = P ( #«v, #«u )
53 Vektorski proizvod u ortonormiranoj bazi e = ( e #«1, e #«2, e #«3 ) { ortonormirana baza pozitivne orijentacije e #«#«1 e2 e3 #«e #«#«1 0 e3 #«e #«2 e #«2 e #«#«3 0 e1 #«e #«#«3 e2 e #«#«1 0
54 Vektorski proizvod u ortonormiranoj bazi e = ( e #«1, e #«2, e #«3 ) { ortonormirana baza pozitivne orijentacije e #«#«1 e2 e3 #«e #«#«1 0 e3 #«e #«2 e #«2 e #«#«3 0 e1 #«e #«#«3 e2 e #«#«1 0 #«v = v1 e 1 + v 2 e 2 + v 3 e 3, #«u = u 1 e 1 + u 2 e 2 + u 3 e 3 #«v #«u = (v2 u 3 v 3 u 2 ) e #«1 + (v 3 u 1 v 1 u 3 ) e #«2 + (v 1 u 2 v 2 u 1 ) e #«3 e #«1 e2 #«e3 #«= v 1 v 2 v 3. u 1 u 2 u 3
55 Matriqna reprezentacija vektorskog mnoe a Mnoe e vektorom #«p, [ #«p ] e = (p 1, p 2, p 3 ): #«p #«v := p [ #«v ] e = 0 p 3 p 2 p 3 0 p 1 p 2 p 1 0 v 1 v 2 v 3
56 Primene vektorskog proizvoda A, B, C E 2 : A(a 1, a 2, 0), B(b 1, b 2, 0), C(c 1, c 2, 0): Vai: # «AB AC # «= b 1 a 1 b 2 a 2 c 1 a 1 c 2 a 2 e #«3 =: D #«ABC e3.
57 Primene vektorskog proizvoda A, B, C E 2 : A(a 1, a 2, 0), B(b 1, b 2, 0), C(c 1, c 2, 0): Vai: # «AB AC # «= P ABC = 1 2 D ABC ; b 1 a 1 b 2 a 2 c 1 a 1 c 2 a 2 e #«3 =: D #«ABC e3.
58 Primene vektorskog proizvoda A, B, C E 2 : A(a 1, a 2, 0), B(b 1, b 2, 0), C(c 1, c 2, 0): Vai: # «AB AC # «= P ABC = 1 2 D ABC ; b 1 a 1 b 2 a 2 c 1 a 1 c 2 a 2 A, B, C { kolinearne D ABC = 0; e #«3 =: D #«ABC e3.
59 Primene vektorskog proizvoda A, B, C E 2 : A(a 1, a 2, 0), B(b 1, b 2, 0), C(c 1, c 2, 0): Vai: # «AB AC # «= P ABC = 1 2 D ABC ; b 1 a 1 b 2 a 2 c 1 a 1 c 2 a 2 e #«3 =: D #«ABC e3. A, B, C { kolinearne D ABC = 0; ABC { pozitivno orijentisan ako D ABC > 0.
60 Primene vektorskog proizvoda A, B, C E 2 : A(a 1, a 2, 0), B(b 1, b 2, 0), C(c 1, c 2, 0): Vai: # «AB AC # «= P ABC = 1 2 D ABC ; b 1 a 1 b 2 a 2 c 1 a 1 c 2 a 2 e #«3 =: D #«ABC e3. A, B, C { kolinearne D ABC = 0; ABC { pozitivno orijentisan ako D ABC > 0. Primer 7 Odrediti povrxinu ABC, A(1, 3), B(4, 0), C(2, 3). Da li je trougao pozitivne orijentacije?
61 Primene vektorskog proizvoda Teorema 3.1 Taqka P pripada trouglu ABC ako i samo ako: sign(d ABP ) = sign(d BCP ) = sign(d CAP ). C P A Slika 15: Taqka unutar trougla B
62 Primene vektorskog proizvoda Teorema 3.1 Taqka P pripada trouglu ABC ako i samo ako: sign(d ABP ) = sign(d BCP ) = sign(d CAP ). C P A Slika 15: Taqka unutar trougla B Primer 8 Da li taqka P (3, 2) pripada ABC iz Primera 7?
63 Primene vektorskog proizvoda Taqke C i D sa iste strane prave p ako i samo ako su trouglovi ABC i ABD, A, B p, istih orijentacija: sign(d ABC ) = sign(d ABD ). D E p B A Slika 16: Taqke sa iste/raznih strane prave C
64 Mexoviti proizvod Definicija 3.3 (Mexoviti proizvod) #«v, #«u, #«w V 3 : [ #«v, #«u, #«w] := ( #«v #«u ) #«w. #«v #«u # «w #«w #«u φ B #«v Slika 17: [ #«v, #«u, #«w] = V ( #«v, #«u, #«w)
65 Raquna e i primene mexovitog proizvoda Mexoviti proizvod u ortonormiranoj bazi: [ #«v, #«u, w] #«v 1 v 2 v 3 = u 1 u 2 u 3. w 1 w 2 w 3
66 Raquna e i primene mexovitog proizvoda Mexoviti proizvod u ortonormiranoj bazi: [ #«v, #«u, w] #«v 1 v 2 v 3 = u 1 u 2 u 3. w 1 w 2 w 3 Posledica 3.1 Vektori #«v, #«u, #«w su linearno nezavisni ako i samo ako: [ #«v, #«u, #«w] 0.
67 Raquna e i primene mexovitog proizvoda Mexoviti proizvod u ortonormiranoj bazi: [ #«v, #«u, w] #«v 1 v 2 v 3 = u 1 u 2 u 3. w 1 w 2 w 3 Posledica 3.1 Vektori #«v, #«u, #«w su linearno nezavisni ako i samo ako: [ #«v, #«u, #«w] 0. Posledica 3.2 Vektori ( #«v, #«u, #«w) prostora, qine bazu pozitivne orijentacije ako je [ #«v, #«u, #«w] > 0, a negativne orijentacije ako je [ #«v, #«u, #«w] < 0.
68 Primene mexovitog proizvoda Zapremina tetraedra ABCA 1 jednaka je xestini zapremine paralelepipeda odreenog vektorima AB, # «AC # «i AA # «1. C1 C1 C1 C1 A1 B1 A1 B1 A1 B1 B1 B1 C C C C A B A B A A B A Slika 18: Podela trostrane prizme na tri piramide istih zapremina
69 Primene mexovitog proizvoda Zapremina tetraedra ABCA 1 jednaka je xestini zapremine paralelepipeda odreenog vektorima AB, # «AC # «i AA # «1. C1 C1 C1 C1 A1 B1 A1 B1 A1 B1 B1 B1 C C C C A B A B A A B A Slika 18: Podela trostrane prizme na tri piramide istih zapremina Primer 9 Odrediti zapreminu tetraedra qija su temena A(1, 0, 0), B(3, 4, 6), C(0, 1, 0), D(1, 1, 3).
70 Arhimedov zakon poluge
71 Centar masa taqaka AT : T B = m 2 : m 1 m 1 # «T A + m 2 # «T B = #«0 A(m 1 ) B(m 2 ) T
72 Centar masa taqaka AT : T B = m 2 : m 1 m 1 # «T A + m 2 # «T B = #«0 A(m 1 ) B(m 2 ) T O { proizvo na taqka Centar masa taqaka A(m 1 ) i B(m 2 ): # «OT = 1 ( # «m 1 m 1 + m 2 # «) OA + m 2 OB
73 Teixte i centar mase trougla A(m 1 ), B(m 2 ), C(m 3 )
74 Teixte i centar mase trougla A(m 1 ), B(m 2 ), C(m 3 ) A 1 { centar masa taqaka B, C: AA 1 { teixna du (iz A)
75 Teixte i centar mase trougla A(m 1 ), B(m 2 ), C(m 3 ) A 1 { centar masa taqaka B, C: AA 1 { teixna du (iz A) T { centar masa taqaka A, B, C: # «OT = 1 ( # «# «m 1 OA + m 2 m 1 + m 2 + m 3 # «) OB + m 3 OC
76 Teixte i centar mase trougla A(m 1 ), B(m 2 ), C(m 3 ) A 1 { centar masa taqaka B, C: AA 1 { teixna du (iz A) T { centar masa taqaka A, B, C: # «OT = 1 ( # «# «m 1 OA + m 2 m 1 + m 2 + m 3 Teorema 4.1 Teixne dui se seku u centru masa. # «) OB + m 3 OC
77 Teixte i centar mase trougla A(m 1 ), B(m 2 ), C(m 3 ) A 1 { centar masa taqaka B, C: AA 1 { teixna du (iz A) T { centar masa taqaka A, B, C: # «OT = 1 ( # «# «m 1 OA + m 2 m 1 + m 2 + m 3 Teorema 4.1 Teixne dui se seku u centru masa. # «) OB + m 3 OC Za m 1 = m 2 = m 3 = m: centar masa = teixte trougla!
78 Primeri Primer 10 Date su taqke sa masama A(2), B(3), C(7). Odrediti u kom odnosu centar mase deli teixne dui ABC. B 1(9) 2 C(7) 7 A(2) B(3)
79 Primeri Primer 10 Date su taqke sa masama A(2), B(3), C(7). Odrediti u kom odnosu centar mase deli teixne dui ABC. B 1(9) 2 C(7) 3 A 1(10) 7 7 A(2) 3 C 1(5) 2 B(3)
80 Primeri Primer 10 Date su taqke sa masama A(2), B(3), C(7). Odrediti u kom odnosu centar mase deli teixne dui ABC. B 1(9) 2 5 C(7) 3 A(2) 3 7 T C 1(5) 2 A 1(10) B(3)
81 Primeri Primer 11 Dat je ABC i na egovim ivicama taqke A 1 i B 1 takve da AB 1 : B 1 C = 3 : 4, BA 1 : A 1 C = 2 : 5. a) Ako je {P } = AA 1 BB 1, u kom odnosu P deli AA 1 i BB 1? b) Ako je {C 1 } = CP AB, u kom odnosu C 1 deli AB? C B 1?? P? A 1? 2 A? C 1? B
82 Baricentriqke koordinate A 3 M(m 1 : m 2 : m 3) (λm 1 : λm 2 : λm 3), λ 0 A 1 A 2 1 # «# «# «(m 1 OA 1 + m 2 OA 2 + m 3 OA 3) m 1 + m 2 + m 3 O Slika 19: Homogene baricentriqke koordinate
83 Baricentriqke koordinate A 3 A 2 M(m 1, m 2, m 3), m 1 + m 2 + m 3 = 1 A 1 m 1 # «OA 1 + m 2 # «OA 2 + m 3 # «OA 3 O Slika 19: Nehomogene baricentriqke koordinate
84 Smisao baricentriqkih koordinata Odrediti baricentriqke koordinate taqke M znaqi odrediti mase koje treba staviti u temena A 1 A 2 A 3 da bi centar mase tog sistema bila taqka M. Primer 12 Za ABC baricentriqke ( koordinate teixta su T (1 : 1 : 1) 1 (homogene), tj. T 3, 1 3 3), 1 (nehomogene).
85 Primer - centar upisanog kruga Primer 13 Odrediti koordinate centra upisanog kruga u ABC. C Q S r P A Slika 20: Krug upisan u ABC R B
86 Transformacije koordinata vektora e = ( #«e 1,..., #«e n ) { stara baza f = ( #«f 1,..., # «f n ) { nova baza C = C e f { matrica prelaska = matrica qije su kolone koordinate vektora nove baze f u staroj bazi e, redom. [ #«v ] e = C[ #«v ] f
87 Transformacije koordinata taqaka #«e 2 X #«f 2 O Q(q 1, q 2) #«e 1 Slika 21: Transformacije koordinata taqaka #«f 1 x = Cx + q x = [X] Oe = (x 1, x 2 ) T
88 Transformacije koordinata taqaka #«e 2 X #«f 2 O Q(q 1, q 2) #«e 1 Slika 21: Transformacije koordinata taqaka #«f 1 x = C x + q x = [X] Qf = (x 1, x 2) T
89 Transformacije koordinata taqaka #«e 2 X #«f 2 O Q(q 1, q 2) #«e 1 Slika 21: Transformacije koordinata taqaka #«f 1 x = C C = C e f x + q q = [Q] Oe = (q 1, q 2 ) T
90 Transformacije koordinata taqaka #«e 2 X #«f 2 O Q(q 1, q 2) #«e 1 Slika 21: Transformacije koordinata taqaka #«f 1 x = C linearni deo x + q translatorni deo
91 Primeri Primer 14 C E B #«f 2 e#«#«1 e2 O #«f 1 Slika 22: Odrediti koordinate temena paralelograma u starom reperu Ae i novom reperu Of. Odrediti vezu izmeu koordinata. A
92 Transformacije ortonormiranih repera ravni φ #«e2 #«f2 #«f2 #«f1 #«f1 φ Q Slika 23: Ortonormirani reperi istih orijentacija O e1 #«( x y ) = ( cos φ sin φ sin φ cos φ ) ( x y ) + ( q1 q 2 ). matrica rotacije
93 Transformacije ortonormiranih repera ravni #«e2 #«f1 #«f1 φ Q O e1 #«#«f2 #«f2 Slika 24: Ortonormirani reperi razliqitih orijentacija ( x y ) = ( cos φ sin φ sin φ cos φ ) ( x y ) + ( q1 q 2 ). matrica refleksije
94 Primeri Primer 15 D 4 C #«e 2 #«f 2 S #«f 1 3 A #«e1 φ Slika 25: Odrediti vezu koordinata kao i koordinate temena pravougaonika u novom reperu. B
Matematika 1 { fiziqka hemija
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότεραZadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije
Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne
Διαβάστε περισσότεραMatematiqka gimnazija u Beogradu Vektori. Milivoje Luki
Matematiqka gimnazija u Beogradu 30.01.2007. Vektori Milivoje Luki 1. Linearne kombinacije vektora Vektor v je linearna kombinacija vektora v 1, v 2,..., v n ako postoje skalari (odn. realni brojevi) λ
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija
18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραVEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je
VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija
18.02006. Prvi razred A kategorija Dokazati da kruжnica koja sadrжi dva temena i ortocentar trougla ima isti polupreqnik kao i kruжnica opisana oko tog trougla. Na i najve i prirodan broj koji je maƭi
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Διαβάστε περισσότεραDruxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1.
09.0200 Prvi razred A kategorija Ako je n prirodan broj, dokazati da 3n 2 + 3n + 7 nije kub nijednog prirodnog broja. U trouglu ABC je ABC = 60. Neka su D i E redom preseqne taqke simetrala uglova CAB
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραZbirka rešenih zadataka iz Matematike I
UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA Tatjana Grbić Silvia Likavec Tibor Lukić Jovanka Pantović Nataša Sladoje Ljiljana Teofanov Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I Novi Sad, 009. god.
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότερα1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.
Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina
Διαβάστε περισσότεραx + 3y + 6z = 3 3x + 5y + z = 4 x + y + z = 4.
Linearna algebra A, kolokvijum, 1. tok 22. novembar 2014. 1. a) U zavisnosti od realnih parametara a i b Gausovim metodom rexiti sistem linearnih jednaqina nad poljem R ax + (a + b)y + bz = 3a + 5b ax +
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότεραVektorski prostori. Vektorski prostor
Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu
Διαβάστε περισσότεραVektori. 28. studenoga 2017.
Vektori 28. studenoga 2017. 1 / 42 Skalarna veličina: veličina odredena samo jednim (realnim) brojem ili skalarom npr. skalarne veličine su udaljenost, masa, površina, volumen,... Vektorska veličina: veličina
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραRADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραDrugi deo (uvoda) Vektori
Drugi deo (uvoda) Vektori Vektori i skalari Skalar je običan broj. Vektor je lista (uređena n-torka) skalara (komponente vektora). Pomeranje (recimo, 10 koraka prema zapadu) izražavamo vektorom. Rastojanje
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija
1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i
Διαβάστε περισσότεραMatematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak
Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Planimetrija. Sličnost trouglova. GF 000 Dužine stranica trougla su 5cm, cm i 8cm. Dužina najduže stranice njemu sličnog
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA
LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA Predrag Tanović February 11, 211 {WARNING: Sadržaj ovog materijala NI U KOM SLUČAJU NE MOŽE ZAMENITI UDŽBENIK: radi se o prepravljanim slajdovima predavanja. Reference
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija i linearna algebra
1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje
Διαβάστε περισσότεραGauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),
Vektorski identiteti ( ), Gauss, Stokes, Maxwell Saša Ilijić 21. listopada 2009. Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) Skalarni i
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραI Pismeni ispit iz matematike 1 I
I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραEUKLIDSKA GEOMETRIJA
EUKLIDSKA GEOMETRIJA zadaci za vežbe AKSIOMATSKO ZASNIVANJE EUKLIDSKE GEOMETRIJE 1. Ako dve razne ravni imaju zajedničku tačku tada je njihov presek prava. Dokazati. 2. Za svake dve prave koje se seku
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραKONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραO trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš
O trouglu mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu 2 O TROUGLU Trougao je nezaobilazna tema kako osnovne tako i srednje škole. O trouglu se skoro sve zna. Navodimo te činjenice.
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραSlika 9: Izometrijske transformacije koordinata. Ovo razmatranje možemo sumirati sledećom teoremom
e 2 f 2 e 2 φ + π 2 Q f 1= f 1 φ e 1 O e 1 f 2 Slika 9: Izometrijske transformacije koordinata Ovo razmatranje možemo sumirati sledećom teoremom Teorema 3.1 Formule transformacija koordinata ravni iz ortonormiranog
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Linearne algebre (2003/4)
Zadaci iz Linearne algebre (2003/4) Srdjan Vukmirović May 22, 2004 1 Matematička indukcija 1.1 Dokazati da za sve prirodne brojeve n važi 3 / (5 n + 2 n+1 ). 1.2 Dokazati da sa svake m Z i n N postoje
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραTEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar
TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof. dr Stanko Br i Prof. dr Rastislav Mandi Doc. dr Stanko ori email: cstanko@grf.bg.ac.rs Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god.
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra za fizičare, zimski semestar Mirko Primc
Linearna algebra za fizičare, zimski semestar 006. Mirko Primc Sadržaj Poglavlje 1. Vektorski prostor R n 5 1. Vektorski prostor R n 6. Geometrijska interpretacija vektorskih prostora R i R 3 11 3. Linearne
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Trigonometrija
Glava 1 Trigonometrija 1.1 Teorijski uvod Neka su u ravni Oxy dati krug k = {x, y) R R : x +y = 1} i prava p = {x, y) R R : x = 1}. Predstavimo skup realnih brojeva na pravoj p, kao brojevnoj pravoj, tako
Διαβάστε περισσότεραUvod i vektorski prostori
ЛИНЕАРНА АЛГЕБРА припрема испита Оно што следи представља белешке које сам правио непосредно пред полагање усменог дела испита (јул 2002. године). Због тога нису потпуне, и може понешто бити нетачно, или
Διαβάστε περισσότεραPoglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi
Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE 1.1 Ortonormirani skupovi Prije nego krenemo na sami algoritam, uvjerimo se koliko je korisno raditi sa ortonormiranim skupovima u unitarnom prostoru.
Διαβάστε περισσότεραC 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,
1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =
Διαβάστε περισσότεραSli cnost trouglova i Talesova teorema
Sli cnost trouglova i Talesova teorema Denicija. Dva trougla ABC i A B C su sli cna ako su im sva tri ugla redom podudarna a i ako su im odgovaraju ce stranice proporcionalne tj. a = b b = c c. Stav 1.
Διαβάστε περισσότεραLEKCIJE IZ MATEMATIKE 1
LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 Ivica Gusić Lekcija 5 Skalarni, vektorski i mješoviti produkt vektora Lekcije iz Matematike 1. 5. Skalarni, vektorski i mje²oviti produkt vektora I. Naslov i obja²njenje naslova
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραVEKTORI. Opera u Sidneju, Australija
VEKTORI Ciljevi poglavlja Sabiranje i razlaganje vektora na komponente, množenje i deljenje vektora skalarom Predstavljanje vektora u Dekartovom koordinatnom sistemu i operacije sa vektorima koji su izraženi
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra. skripta. Januar 2013.
Linearna algebra skripta Januar 3 Reč autora Ovaj tekst je nastao od materijala sa kursa Linearna algebra i analitička geometrija za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta
Διαβάστε περισσότεραRacionalni algebarski izrazi
. Skratimo razlomak Racionalni algebarski izrazi [MM.4-()6] 5 + 6 +. Ako je a + b + c = dokazati da je a + b + c = abc [MM.4-()] 5 6 5. Reši jednačinu: y y y + + = 7 4 y = [MM.4-(4)] 4. Reši jednačinu:
Διαβάστε περισσότεραBetonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
Διαβάστε περισσότερα10 Afina preslikavanja ravni
0 Afina preslikavanja ravni 0 Definicija i osobinea afinih preslikavanja Reč afini označava da se pojam odnosi na prostor tačaka koji je vezan za odgovarajući vektorski prostor Intuitivno, afino preslikavanja
Διαβάστε περισσότεραGimnazija Krˇsko. vektorji - naloge
Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 3. Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i kemije, smjer nastavnički
Ljiljana Arambašić MATEMATIKA 3 Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i kemije, smjer nastavnički Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i tehnike, smjer nastavnički SADRŽAJ
Διαβάστε περισσότεραAko prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:
Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότεραInženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Διαβάστε περισσότεραGeometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru
Geometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru Rudolf Scitovski, Darija Brajković 2. prosinca 2013. Sadržaj 1 Uvod 2 2 Operacije s vektorima 4 2.1 Zbrajanje vektora...............................
Διαβάστε περισσότερα