SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

Transcript

1 SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013

2 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0

3 Definicije i oznake Definicija: Preslikavanje F : D R n D je kontrakcija na D ako postoji konstanta q, 0 q < 1 takva da je F(x) F(y) q x y, x, y D Konstanta q naziva se koeficijent kontrakcije Jakobijeva matrica preslikavanja F u tachki x D: J F (x) = f 1 f 1 x 1 (x) x n (x) f n f x 1 (x) n x n (x)

4 Metoda iteracije Hesijanova matrica preslikavanja f : R n R: 2 f (x) 2 f x 1 2 x 1 x n (x) H f (x) = 2 f x n x 1 (x) 2 f (x) xn 2 Metoda iteracije ili f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0 x 1 = g 1 (x 1,, x n ) x n = g n (x 1,, x n ), (3) x = G(x), (4)

5 G(x) = Iterativni proces: g 1 (x) g n (x) = g 1 (x 1,, x n ) g n (x 1,, x n ) x n = G(x n 1 ), n = 1, 2, (5) Teorema (dovoljan uslov konvergencije): Neka su ispunjeni uslovi: (i) preslikavanje G je definisano na zatvorenoj lopti S = S(x 0, r) = {x R n : x x 0 r} čiji je centar početna aproksimacija x 0, a poluprečnik jednak r; (ii) G je kontrakcija na S sa koeficijentom kontrakcije q, G(x) G(y) q x y, 0 q < 1, x, y S; (iii) za početnu aproksimaciju x 0 važi G(x 0 ) x 0 (1 q)r (6)

6 Dovoljan uslov konvergencije Tada: 1 svi članovi niza (5) pripadaju lopti S; 2 niz (5) konvergira tački x S, lim x n = x; n 3 x je jedinstvena nepokretna tačka preslikavanja G; 4 za aproksimaciju x n važi ocena Dokaz: x n x 1 Matematičkom indukcijom dokazujemo da qn 1 q x 1 x 0 (7) x n S(x 0, r) za n = 0, 1,

7 x 1 x 0 = G(x 0 ) x 0 (1 q)r < r x 1 S(x 0, r) Pretpostavimo da x i S(x 0, r) za i = 1,, k, gde je k N Tada je x k+1 x k = G(x k ) G(x k 1 ) q x k x k 1 pa je q k x 1 x 0 q k (1 q)r, x k+1 x 0 = x k+1 x k + x k x k x 1 x 0 x k+1 x k + x k x k x 1 x 0 q k (1 q)r + q k 1 (1 q)r + + (1 q)r = (1 q)r(1 + q + + q k ) = (1 q)r 1 qk+1 1 q = (1 q k+1 )r < r x k+1 S(x 0, r)

8 2 Neka je m > n Tada je x m x n x m x m 1 + x m 1 x m x n+1 x n q m 1 (1 q)r + q m 2 (1 q)r + + q n (1 q)r = (1 q)rq n (1 + q + q q m n 1 ) < (1 q)rq n (1 + q + q 2 + ) = (1 q)rq n 1 1 q = rq n 0 kada n Niz (x n ) je Košijev, pa konvergira u R n Neka je x = lim n x n S obzirom da je x tačka nagomilavanja niza (x n ) čiji članovi pripadaju zatvorenom skupu S(x 0, r), to i x S(x 0, r)

9 3 G je kontrakcija na S(x 0, r), pa je G(x n ) G(x) q x n x Kako x n x 0 kada n, to je S druge strane je lim G(x n) = G(x) (8) n lim G(x n) = lim x n+1 = x, (9) n n Iz (8) i (9) sledi da je x = G(x), tj x je nepokretna tačka preslikavanja G Pretpostavimo da postoje dve nepokretne tačke, x i y Tada iz x y = G(x) G(y) q x y sledi (1 q) x y 0, što je moguće samo ako je x y = 0, odnosno x = y

10 4 Imamo x n x = G(x n 1 ) G(x) q x n 1 x q n x 0 x (10) Za n = 1 nejednakost (10) ima oblik x 1 x q x 0 x (11) S druge strane, korišćenjem (11), dobijamo x 0 x = x 0 x 1 + x 1 x x 0 x 1 + x 1 x odakle sledi x 1 x 0 + q x 0 x, x 0 x x 1 x 0 (12) 1 q Ocena (7) proizilazi iz relacija (10) i (12)

11 Dovoljan uslov za kontrakciju Teorema (dovoljan uslov kontraktibilnosti): Neka su funkcije g i, i = 1,, n neprekidno diferencijabilne na zatvorenoj lopti i neka je S(x 0, r) = {x R n : x x 0 r} max J G(s) q < 1, (13) s S(x 0,r) gde je bilo koja matrična norma saglasna sa uvedenom vektorskom normom Tada je G kontrakcija na S(x 0, r) Dokaz: u knjizi!

12 Metoda Njutn-Kantoroviča Metoda Njutn-Kantoroviča Ideja: Rešavanje sistema nelinearnih jednačina f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0 F(x) = 0 (14) svodi se na rešavanje niza sistema linearnih jednačina Oznake: x = (x 1,, x n ) T - tačno rešenje sistema (14) x 0 = (x (0) 1,, x n (0) ) T - početna aproksimacija rešenja sistema ε 0 = x x 0 Tada je F(x 0 + ε 0 ) = 0, (15) odnosno f i (x 0 + ε 0 ) = 0 za i = 1,, n

13 Ako su funkcije f i neprekidno diferencijabilne u nekoj okolini tačke x 0, važe Tejlorovi razvoji f i (x 0 ) + n j=1 f i x j (x 0 )ε (0) j + = 0 za i = 1,, n, (16) gde je ε (0) j = x j x (0) j Ako u razvoju (16) izostavimo nelinearne članove u odnosu na ε (0) j, dobijamo sistem jednačina f i (x 0 ) + n j=1 f i x j (x 0 )ε (0) j = 0, i = 1,, n koji je linearan u odnosu na ε (0) j Matrična forma ovog sistema je F(x 0 ) + J F (x 0 )ε 0 = 0 (17)

14 Ako je J F (x 0 ) regularna matrica, iz (17) sledi da je ε 0 = (J F (x 0 )) 1 F(x 0 ) Zbog izostavljanja nelinearnih članova u (16), zbir x 0 + ε 0 nije jednak tačnom reshenju x Taj zbir uzimamo za narednu aproksimaciju tačnog rešenja, Analogno, x 1 = x 0 + ε 0 = x 0 (J F (x 0 )) 1 F(x 0 ) x 2 = x 1 (J F (x 1 )) 1 F(x 1 ), Iterativni proces metode Njutn-Kantoroviča: x n+1 = x n (J F (x n )) 1 F(x n ) n = 0, 1, (18)

15 y Primer: Sistem jednačina e x y = 0 xy e x = 0 ima jedinstveno rešenje (1, e) Numerički rezultati sa početnom aproksimacijom (x 0, y 0 ) = (05, 20) ukazuju na konvergenciju iterativnog procesa tačnom rešenju e x y= x xy e x =0 k x k y k

16 Dovoljni uslovi konvergencije Teorema (dovoljni uslovi konvergencije ): Neka su ispunjeni sledeći uslovi: (i) funkcije f i, i = 1,, n su dva puta neprekidno diferencijabilne na zatvorenoj lopti i pri tome je za i = 1,, n S(x 0, r) = {x R n : x x 0 r} H fi (x) K, x S; (ii) Jakobijeva matrica J F (x 0 ) ima inverznu matricu za koju je (J F (x 0 )) 1 B; (iii) početna aproksimacija x 0 zadovoljava uslov F (x 0 ) η;

17 (iv) h = B 2 Kη 1 2 ; (v) Tada: 1 1 2h Bη r (19) h 1 sistem (14) ima rešenje x koje pripada lopti S; 2 svi članovi niza (x n ) pripadaju lopti S i niz (x n ) konvergira rešenju x, lim n x n = x; 3 važi ocena x x n t t n, (20)

18 gde je t = (1 1 2h)Bη/h manji koren jednačine 1 2 Kt2 1 t + η = 0, (21) B a t n, n = 0, 1, su uzastopne aproksimacije korena t dobijene Njutnovom metodom za t 0 = 0