2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

Transcript

1 Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule: Iz relacije sin = sin, = sin tg ctg tg =, ctg =. tg ctg + sin =, odredimo pri čemu predznak funkcije ovisi o tome u kojem se kvadrantu nalazi točka E(t). Budući da je četvrti kvadrant, bit će za predznak plus. Sada računamo: + sin =, = + = = = = = / = ± = ± Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: Sada redom računamo: =. 6 6 sin = sin = =, = sin = = =, sin 7 79 tg = = =, ctg = = tg 7 Vježba Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je sin =,, sin =, =, tg =, ctg = Zadatak (Ivana, gimnazija) Riješi jednadžbu: sin =. Rješenje Jednadžba sin = a, a R, ima rješenje ako je a. Ukoliko odredimo jedno rješenje α, zbog valjanosti formule redukcije sin( ) = sin, slijedi da je i α rješenje jednadžbe sin = a. Budući da je sinus periodičan,

2 slijedi da su rješenja: sin( + k ) = sin, = α + k, = α + k, k Z. - α a α Riješimo zadatak! Rješenja su: sin = sin = /: sin = α =. 6 = + k ili = + k, k = + k = + 6 ili k = + = + k, k Z Vježba Riješi jednadžbu: sin.5 =. = + k 6, 5 6 = + k, k Z. Zadatak (Petra, gimnazija) sin Pojednostavni izraz:. + Rješenje sin = + sin =, sin = sin, = sin = + sin sin sin = = = = tg. + sin + sin Vježba sin Pojednostavni izraz:. ctg. Zadatak (Petra, gimnazija) Koliko rješenja ima jednadžba log ( ) = log (sin ) unutar intervala,?

3 Rješenje Budući da za funkciju f() = log vrijedi >, mora biti: > i sin >. Tada je: log( ) = log(sin ) = sin /: sin = tg = = + k, k Z. Na zadanom intervalu, je >, sin > i = sin samo za =. Dakle, rješenje je jedno. = log(sin ) = log( ) T Vježba Koliko rješenja ima jednadžba log ( ) = log (sin ) unutar intervala,? Dva rješenja: 9 = i =. Zadatak 5 (Petra, gimnazija) Ako je + =, koliko je +? Rješenje 5 Podsjetimo se formula: Sada slijedi: + sin =, = sin. + = => sin + = => ( ) + = => => + + = => + = / : => + =.5. Vježba 5 Ako je + =, koliko je +?. Zadatak 6 (Martin, gimnazija) Koliko rješenja ima jednadžba: + =? Rješenje 6 Zadanu jednadžbu možemo napisati kao Skicirajmo grafove funkcija slijeve i zdesne strane! =. = - B A = Iz slike se vidi da se sijeku u dvije točke pa jednadžba ima dva rješenja. Vježba 6 Koliko rješenja ima jednadžba: =?.

4 Zadatak 7 (Marko, gimnazija) Koji je osnovni period funkcije f() = sin? Rješenje 7. inačica Ako je P period funkcije f(), onda vrijedi f( + P) = f() za svaki R. Prema tome, ako je P period funkcije f() = sin, onda vrijedi sin ( + P) = sin za svaki R. Posebno za = dobivamo sin P =. Zaključujemo da period funkcije f() reba tražiti među brojevima P = k, k N. Za k = dobivamo P = : što je osnovni period funkcije f() = sin. sin ( + ) = sin => T =,. inačica Zadatak smo mogli riješiti i ovako: f ( ) = sin = ( + ). 8 Ponovimo! Osnovni perid funkcije f() = jednak je : ( + k ) =, k Z. Odredimo osnovni period svake od funkcija i : = ( + P) = ( + P) P = P =. ( ) ( ) = + P = + P P = P =. Zaključujemo da je osnovni period funkcije f() = sin jednak. Vježba 7 Koji je osnovni period funkcije f() =? P =. Zadatak 8 (Marko, gimnazija) Zadana je funkcija f() = sin +. Ako je sin α =, nađite f(α). Rješenje 8 f ( α) = sin α + α = sin α + sin α α + α sin α α = = ( sin α + α ) sin α α = sin α α = ( sinα α ) = 7 = ( sin α ) = sin α = = = = Vježba 8 Zadana je funkcija f() = sin +. Ako je sin α =, nađite f(α)..

5 Zadatak 9 (Zvončica, gimnazija) Riješi trigonometrijsku jednadžbu: + sin =. Rješenje 9 + sin = + sin = ( sin ) + sin = sin + sin = sin + sin = / 5 ( ) ( ) [ a b a b a b = ] sin sin = sin sin = = = ili = ili = I. sin = = k, k Z sin =, sin =. II. sin = sin = /: sin = Jednadžba sin = a, a R, ima rješenje ako je a. Ukoliko odredimo jedno rješenje α, zbog valjanosti formule redukcije sin( ) = sin, slijedi da je i α rješenje jednadžbe sin = a. Budući da je sinus periodičan, slijedi da su rješenja: sin( + k ) = sin, = α + k, = α + k, k Z. = +, i,. k k Z = + k = + k k Z Vježba 9 Riješi trigonometrijsku jednadžbu: sin sin =. = k, k Z i = + k, k Z. Zadatak (Nena, gimnazija) Ako je + = i < <, koliko iznosi? tg ctg Rješenje sin + sin + = ctg + tg = + = = = tg ctg sin sin sin [ proširujemo razlomak s ] = = sin = + sin = sin sin Vježba < < = sin = ± sin = = < < Ako je. 5 5 = = = = i < <, koliko iznosi? tg ctg

6 Zadatak (Mirjana, gimnazija) Broj realnih rješenja jednadžbe sin = log iznosi A. B. C. D. 5 E. beskonačno Rješenje Nacrtamo grafove funkcija. 8 6 A B C Odgovor je pod C. Vježba Broj realnih rješenja jednadžbe = log iznosi Odgovor je pod C. -8 A. B. C. D. 5 E. beskonačno Zadatak (Barbika, gimnazija) Ako je tg + tg = ctg + ctg i,, koliko je +? Rješenje tg + tg = ctg + ctg tg + tg = + / tg tg + tg = + tg tg tg tg + tg tg = tg tg + tg + = tg + tg = ( ) ( ) ( ) ( ) tg =, nema smisla jer je,, tg tg = + = u prvom kvadrantu tangens je pozitivan tg = tg = / tg = =. Sada je: ( + + ) + + = + = + = + = = =. Vježba Ako je tg + tg = ctg + ctg i,, koliko je?. Zadatak (Anamarija, hotelijerska škola) + 5 sin = na segmentu,? Koliko rješenja ima jednadžba [ ] Rješenje + 5 sin = + sin = 5 + ( ) = 6

7 bikvadratna jednadžba c + = os + = supstitucija t = b ± b ac 5 ± 5 5 ± ± 9 5 ± t 5 t + = t = = = = =, a Rješenja su: Ima sedam rješenja. Vježba t = = =, t = = = , = = = = / = ± = =, 5 = =, 5 = = / = ± = =, 7 =. 6 5 sin na segmentu,? Koliko rješenja ima jednadžba + = [ ] Ima četiri rješenja. Zadatak (Anamarija, hotelijerska škola) sin sin Pojednostavnite:. tg Rješenje 7 ( ) ( + sin ) sin sin sin sin sin sin = = = tg sin sin c os Vježba Pojednostavnite:. sin sin sin sin = = = =. sin sin sin sin. Zadatak 5 (Anamarija, hotelijerska škola) Ako su tgα i tg β korijeni jednadžbe a + b + c = a, b, c R i a, koliko je tg α + β? Rješenje 5 Uporabit ćemo Vièteove formule. Rješenja, kvadratne jednadžbe zadovoljavaju Vièteove formule: a + b + c = b c + =, =. a a Budući da su tgα i tg β korijeni jednadžbe a + b + c =, slijedi: ( ) ( )

8 b tgα tg β b b tgα tg β + = + a ( ) a a b b tg α + β = = = = = =. tgα tg β c c a c tg tg a c c a α β = a a a Vježba 5 Ako su tgα i tg β korijeni jednadžbe a b + c = a, b, c R i a, koliko je tg α + β? b. a c Zadatak 6 (Anamarija, hotelijerska škola) Ako je sin sin = i = a, koliko je a? Rješenje 6 ( ) ( ) ( ) sin sin = sin sin + = sin = sin = sin =. Tada je a jednako: ( ) = a = a + sin = ( ) ( ) ( ) ( ) sin sin = a = a a =. Vježba 6 Ako je sin sin = i = a, koliko je a?. Zadatak 7 (Anamarija, hotelijerska škola) Nađite broj realnih korijena jednadžbe sin = u intervalu 6, 6. Rješenje 7 Za < vrijedi = pa je sin = = =. Rješenja jednadžbe sin = su: = + k, k Z. 5 9 Na intervalu 6, 6 rješenja su :,,. Za > vrijedi = pa je sin =. = = Rješenja jednadžbe sin = su: = + k, k Z. 5 9 Na intervalu 6, 6 rješenja su :,,. Broj realnih korijena je šest. Vježba 7 Nađite broj realnih korijena jednadžbe sin = u intervalu,. Broj realnih korijena je dva. 8

9 Zadatak 8 (Tomislav, tehnička škola) Ako je sin α + β = m i α β = n koliko je sin α? Rješenje 8 sinα + β = m [ zbrojimo jednadžbe] sinα + α = m + n [ kvadriramo] α β = n + = = + ( sinα α ) ( m n) sin α sinα α α ( m n) α + sin α = + sin α = ( m + n) sin α = ( m + n). sinα α = sin α Vježba 8 Ako je sin α + β = m i α β = m koliko je sin α? m. Zadatak 9 (Ivan, tehnička škola) Rješenje 9 Odredi skup rješenja jednadžbe sin = sin. sin = sin sin = sin + + sin = sin = /: sin = / sin = = + k, = + k = + k, k Z. Vježba 9 Odredi skup rješenja jednadžbe sin = sin. = + k, k Z. Zadatak (Tomislav, tehnička škola) Izračunaj log( 7º) log(sin º). Rješenje Ponovimo: log a lo gb = log a. b 7 ( ) ( ) 7 ( ) log 7 log sin = log = sinα = 9 α = log = log =. sin 7 Vježba Izračunaj log( 5º) log(sin º).. 9