PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti)."

Ὀδυσσεύς Λάμεχ Λιάπης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo ravu, tačku M( x, y, z ) koja joj riada. Neka tačka M(x,y,z) R. M ( x, y, z ) M ( x, yz, ) r r o uuu Očigledno je da tačka M(x,y,z) riada ravoj ako i samo ako su vektori M M i kolinearni! uuu r Kako je MM = r r možemo zaisati : r ( r r ) = ili r r ( r ) ( r ) ako obeležimo da je r = b r r r = b Dobili smo vektorsku jednačinu rave. A možemo razmišljati i ovako : uuu Kako smo zaključili da su vektori M M i nekog arametra t. kolinearni, to se oni mogu izraziti jedan reko drugog uz omoć

2 r r r = t r r = r + t ovo je vektorska jednačina rave kroz datu tačku u ravcu vektora Ako uzmemo da vektor ima koordinate = ( l, m, n), onda je : x= x + t l y = y + t m z = z + t n arametarski oblik jednačine rave Ovaj arametarski oblik najčešće koristimo kad tražimo rodor rave kroz ravan ili tačku reseka dve rave. Odavde možemo izvesti oblik koji se najčešće koristi u zadacima (simetrični oblik) x x y y z z Vrlo sličan ovom obliku je i jednačina rave kroz dve date tačke M( x, y, z ) i M ( x, y, z ) : x x y y z z Primer. Naisati jednačinu rave kroz tačke A(,,) i B(,3,4) i rebaciti je u arametarski oblik. Rešenje x x y y z z Koristimo x y z 3 4 x y z 4 Odavde se vidi da je vektor aralelnosti rave = (,, 4) Prebacimo je sada u arametarski oblik: x y z x y z = t = t i = t i = t a je 4 4 x= t+ y = t+ z = 4t

3 Često se u zadacima daje i ošta jednačina rave, to jest rava određena resekom dve ravni: α : Ax+ By+ Cz+ D α : Ax+ By+ Cz+ D Kako reći iz ovog oblika u simetrični? ( jer iz simetričnog oblika lako čitamo i tačku i vektor aralelnosti) Najre nadjemo vektor aralelnosti: α: Ax + By + Cz + D n = ( A, B, C) α : Ax+ By+ Cz+ D n = ( A, B, C) r r r i j k = n n = A B C A B C Zatim rešavamo sistem : Ax+ By+ Cz+ D Ax+ By+ Cz+ D Odavde dobijamo x, y, z ( često se jedna neoznata uzima roizvoljno, a se druge dve dobijaju iz nje...) x x y y z z Sve zamenimo u. Primer. Pravu { x y+ 3z x+ z 4= rebaciti u simetrični oblik. Rešenje { x y+ 3z x+ z 4= Najre '' ročitamo vektore normalnosti za ravni x y+ 3z n = (,,3) x+ z 4 n = (,,) Dalje tražimo njihov vektorski roizvod: 3

4 r r r r r r i j k i j k r r r r r r = n n = A B C = 3 = i( ) j( 3) + k(+ ) = i+ j+ k = (,,) A B C Ovde možemo zaisati i da je : = (,,) = (,,), odnosno uzeti da je vektor ( -,,). Da bi našli tačku koja riada toj ravoj moramo rešiti sistem: x y+ 3z x+ z 4 z = 4 x x y+ 3(4 x) x y+ 3x= x y+.../ : ( ) x+ y 6 y = 6 x z = 4 x y = 6 x Ovde možemo uzeti roizvoljno x, recimo x, a je onda: z = 4 x z = 4 z = 4 y = 6 x y = 6 y = 6 Dakle dobili smo tačku ( x, y, z ) = (,6,4) x x y y z z x y 6 z 4 Kakav može biti uzajamni oložaj dve rave? U rostoru rave mogu riadati ili ne riadati istoj ravni. Ako riadaju istoj ravni onda su ili aralelne ili se seku. P aralelne rave rave se seku u tački P 4

5 Ako rave ne riadaju istoj ravni onda kažemo da su mimoilazne. Posmatrajmo dve rave : x x y y z z i : : x x y y z z Prave riadaju istoj ravni i aralelne su ako i samo ako su njihovi vektori ravaca = ( l, m, n) i = l m n (,, ) kolinearni, to jest ako i samo ako važi ( uslov aralelnosti) x x y y z z Secijalno, rave se oklaaju ako važi da je i Kako da znamo da li se rave seku? Tu nam omaže takozvani uslov reseka : Naravno, rave su mimoilazne ako je Primer 3. Date su rave : x y z i t : x 5 y z 3 3 Odrediti arametar t tako da se rave seku i nadji tačku reseka. 5

6 Rešenje Najre ćemo iz datih jednačina ravih ročitati tačke koje im riadaju i vektore ravaca (aralelnosti). x y z t P(,, ) i =(t,,) x 5 y z 3 P(5,,3) i = (,3,) 3 Dalje koristimo uslov reseka: t t Sarusovo ravilo t t = t t = t+ t = x y z Dakle P(,,) i =(-,,) je rva rava. Da bi našli njihov resek, rave ćemo rebaciti u arametarski oblik. x y z = α x = α+, y = α+, z α+ x 5 y z 3 = β x = β + 5, y =3β +, z = β Sad uoredjujemo x = x, y =y, z = z da bi našli vrednost za α ili β Vidimo da je najlakše to ostići iz z = z. Dakle z = z = β + 3 β = Vratimo vrednost za β i dobijamo: x = β + 5, y =3β +, z = β + 3 x= ( ) + 5 = 3; y = 3( ) + = ; z = ( ) + 3 = P(3,, ) je tačka reseka! 6

7 Kako naći ugao između dve rave? Ugao od kojim se rave seku je ugao između njihovih vektora ravaca. ϕ ll + mm + nn cosϕ = = l + m + n l + m + n 7

Σχετικά έγγραφα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a