UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

Transcript

1 UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014.

2

3 Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3

4 4 Sadržaj

5 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju signala i signala t/3 za 0 < t < 1 x 1 (t) = za 1 < t < 60 0 za t > 60 x (t) = { za 0 < t < 40 0 za t > 40 Rešenje: Po definiciji konvolucija se izračunava na osnovu izraza x 1 (t) x (t) = x 1 ()x (t )d = x ()x 1 (t )d (1.1) Signali x 1 (t) i x (t) su prikazani na slici 1.1. x1(t) x(t) t 0 40 t Sl. 1.1: Da bi lakše razumeli izračunavanje konvolucionog integrala na slici 1. su prikazani signali x 1 () i x1( ). Vremenski pomeren signal, za vreme t, u oznaci x 1 (t ) = x 1 ( +t) = x 1 ( ( t)) prikazan je na slici 1.3.

6 6 1. Konvolucija x1() x1( ) x1( +t) Sl. 1.: Sl. 1.3: Treba obratiti pažnju da je vremenska osa obeležena sa i da je sa t predstavljena konstantna vrednost za koju se vremenski pomera signal x 1 () ( slici 1.3 odgovara vrednost t = 30). Posmatrajući izraz 1.1, u kome su granice integraljenja od do, zaključujemo da, s obzirom na činjenicu da su date funkcije x 1 (t) i x (t) nenultih vrednosti na konačnom vremenskom intervalu, integral praktično treba izračunavati samo za one vrednosti za koje su istovremeno različite od nule funkcije x 1 () i x (t ) (koristićemo definicioni izraz x 1 (t) x (t) = x 1()x (t )d, (1.1). Na osnovu ovoga zaključujemo da je za t < 0 vrednost konvolucije x 1 (t) x (t) jednaka nuli, jer za vrednosti za koje je funkcija x 1 () različita od nule, funkcija x (t ) je jednaka nuli, i obrnuto, tako da je za sve vrednosti na celom opsegu od do podintegralna funkcija jednaka nuli. Ovo je ilustrovano slikom 1.4 koja je data za slučaj t = 10. x 1 () x (t ) 10 0 Za t < 0 x 1()x (t )d = 0 Sl. 1.4: Slika 1.4 je data za slučaj t = 10. Ako funkciju x 1 (t) uzmemo kao referentnu, izraz za konvolu-

7 7 ciju postaje (za t < 0) 60 x 1 (t) x (t) = x 1 ()x (t )d = x 1 () 0d = 0 (1.) 0 Tek za t > 0 dolazi do preklapanja x 1 () i x (t ) pa podintegralna funkcija (proizvod ove dve funkcije) ima nenultu vrednost. U prvom koraku izračunaćemo vrednost konvolucije za 0 < t < 1. Slika 1.,koja ilustruje ovaj slučaj, je data za t = 10. x 1 () x (t ) Za 0 < t < 1 t 40 0 t Sl. 1.: Za 0 < t < 1, na osnovu slike 1., konvoluciju izračanavamo na osnovu izraza x 1 (t) x (t) = x 1 ()x (t )d = x 1 ()x (t )d = d = t 0 = t 3 (1.3) Za t = 1 se dobija 7 za vrednost konvolucije. Za t > 1 funkcija x (t ) u potpunosti prekriva linearnu oblast funkcije x 1 () i delimično oblast u kojoj je njena vrednost jednaka. To znači da se pri izračunavanju konvolucije definicioni integral deli na dva integrala. To se dobro uočava sa slike x 1 (t) x (t) = x 1 ()x (t )d = x 1 ()x (t )d + x 1 ()x (t )d 0 1 (1.4) = 7+ d = 7+10 t 1 = 7+10(t 1) = 10t 7 1 Za t = 40 vrednost konvolucije je = 3. Ovo je maksimalna vrednost vremenskog pomeraja t (funkcije x ) za koju je u potpunosti nenultim vrednostima funkcije x prekriven linearni deo funkcije x 1. U narednom koraku iračunavamo vrednost konvolucije za 40 < t < kada je još uvek delimično prekriven linearni deo funkcije x 1 nenultim vrednostima funkcije x. Ovaj slučaj je prikazan na slici 1.9, koja je data za t = 0.

8 8 1. Konvolucija x 1 () x (t ) Za 1 < t < 40 t 40 0 t Sl. 1.6: x 1 () x (t ) t 40 t Za 40 < t < Sl. 1.7: Konvoluciju izračunavamo na osnovu izraza 1 x 1 (t) x (t) = x 1 ()x (t )d = x 1 ()x (t )d + x 1 ()x (t )d = t t t 40 + d 1 = 1 (t 80t ) 3 = t + 110t t 1 = t + 80t na osnovu koga se dobija vrednost konvolucije 400 za t =. + 10(t 1) Za t > funkcija x više se ne preklapa sa linearnim delom funkcije x 1. Konvolucija se izračunava samo preko jednog integrala pričemu su obe funkcije konstantne i imaju vrednosti i. Naravno, sve ovo ima smisla samo dok je t < 60 kako bi imali interval na kome je u igri funkcija x u potpunosti. Ovaj slučaj prikazan je na slici 1.8, a slika se odnosi na slučaj t = 8. Konvoluciju sada izračunavamo pomoću izraza (1.)

9 9 x 1 () x (t ) t 40 t Za < t < 60 Sl. 1.8: x 1 (t) x (t) = x 1 ()x (t )d = d = 10 t t 40 = 10((t 40) t) = 400 = const t 40 t 40 (1.6) Do promene dolazi kada je t > 60 jer tada jedan deo funkcije x se nalazi van opsega u kome je funkcija x 1 sa nenultim vrednostima, tako da taj deo funkcije x ne utiče na konačnu vrednost. Kako t raste na sve manjem intervalu se funkcije x 1 i x preklapaju što za posledicu daje da vrednost konvolucije opada. Slučaj za 60 < t < 100 je prikazan na slici 1.9 a sama slika je data za t = 80. x 1 () x (t ) t 40 t Za 60 < t < 100 Sl. 1.9: Na osnovu slike vidimo da se konvolucija izračunava na osnovu izraza x 1 (t) x (t) = = 60 t x 1 ()x (t )d = x 1 ()x (t )d t 40 d = t 40 = 10(60 (t 40)) = 10(100 t) = t (1.7) Za t > 100 nema preklapanja funkcija x 1 () i x (t ), tako da je podintegralna funkcija na

10 10 1. Konvolucija celom opsegu integraljenja jednaka nuli pa i sama konvolucija ima nultu vrednost. Ovaj slučaj je prikazan na slici 1.10, a sama slika je data za t = 110. x 1 () x (t ) t 40 t Za t > 100 Sl. 1.10: Vrednost konvolucije prikazana je na slici x1(t) x(t) t Sl. 1.11: Konvolucija signala.

11 Literatura 11