Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Transcript

1 Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala (a, b]

2 Uniformna raspodela Za sluqajnu promenljivu X kaжemo da ima uniformnu raspodelu na intervalu [a, b], a < b, i pixemo X : U(a, b), ako ima gustinu raspodele oblika f (x) = { 1 b a, f (x) 1 b a x [a, b], 0, x [a, b]. a b x Gustina raspodele za X : U(a, b)

3 Funkcija raspodele Funkcija raspodele sluqajne promenljive X sa uniformnom raspodelom na intervalu [a, b] je 0, x < a 1 F(x) = b a x a b a, a x < b 1, x b. F(x) 1 a b x Funkcija raspodele za X : U(a, b)

4 Pomo u funkcije raspodele F(x) moжe se izraqunati verovatno a proizvoljnog događaja {c < X < d} kao Primer P{c < X d} = F(d) F(c). Sluqajna promenljiva X ima uniformnu raspodelu na intervalu [2; 4]. Odrediti funkciju raspodele sluqajne promenljive X, a zatim izraqunati verovatno e događaja: a) {X 3}, b) {1 < X 2, 5}, v) {2, 5 < X 3, 5}.

5 Rexenje Sluqajna promenljiva X ima uniformnu raspodelu na intervalu [2; 4], xto znaqi da je a = 2 i b = 4, tako da je funkcija raspodele F(x) 0, x < 2, 1 F (x) = x 1, 2 x < 4, 2 1, x x Funkcija raspodele za X : U(2, 4)

6 Rexenje a) F(x) x P{X 3} = F(3) = 1 2.

7 Rexenje b) F(x) , 5 4 x P{1 < X 2, 5} = F(2, 5) F(1) = F(2, 5) = 0, 25.

8 Rexenje v) F(x) 2 2, 5 3, 5 4 x P{2, 5 < X 3, 5} = F(3, 5) F(2, 5) = 0, 5.

9 Normalna (Gausova) raspodela Za sluqajnu promenljivu X kaжemo da ima normalnu raspodelu sa parametrima m R i σ 2 > 0 i pixemo X : N (m, σ 2 ), ako je njena gustina raspodele oblika f (x) = 1 (x m)2 e 2σ 2, x R. 2πσ 2 f (x) m x

10 Osobine gustine raspodele Gustina raspodele je pozitivna funkcija, tj. za svako x R vaжi f (x) > 0. Gustina raspodele je simetriqna u odnosu na pravu x = m, tj. za svako x R vaжi f (m + x) = f (m x). Gustina raspodele dostiжe maksimum u x = m i on iznosi f (m) = 1/ 2πσ 2. Gustina raspodele konvergira ka 0 kada x teжi ka ili, tj. vaжi lim f (x) = lim f (x) = 0. x x

11 F(x) x Grafik funkcije raspodele za X : N (m, σ 2 ) Osobine funkcije raspodele Funkcija raspodele je pozitivna i rastu a funkcija. Funkcija raspodele konvergira ka 0 kada x teжi ka i konvergira ka 1 kada x teжi ka, tj. vaжi lim x F(x) = 0 i lim x F(x) = 1.

12 Normalnu raspodelu imaju visina ljudi, koliqina padavina u toku godine, pritisak i tako dalje. Mnoge diskretne raspodele se mogu svesti na normalnu raspodelu, ako je broj mogu ih vrednosti veliki, a one su bliske jedna drugoj. Promena vrednosti parametara m i σ 2 utiqe na grafik gustine raspodele.

13 Promena vrednosti parametra m m = 2 m = 0 m = 2 x

14 Promena vrednosti parametra σ 2 σ 2 = 1/4 σ 2 = 1 σ 2 = 4 x

15 Standardna normalna raspodela Ukoliko sluqajna promenljiva koja ima normalnu raspodelu ima parametre m = 0 i σ 2 = 1, tada kaжemo da ima standardnu normalnu raspodelu. Ovu sluqajnu promenljivu najqex e oznaqavamo sa X i pixemo X : N (0, 1). f (x) F(x) 0 x 0 x

16 Verovatno e P{a X b} izraqunavaju se pomo u funkcije Φ(t) = P{0 X t}. f (x) 0 t x

17 Vrednosti funkcije Φ(t) t

18 Primer Pretpostavljaju i da sluqajna promenljiva X ima standardnu normalnu raspodelu, odrediti verovatno e slede ih događaja: a) {1, 21 X 2, 52}, b) { 1, 24 X < 2, 58}, v) { 0, 52 < X 0, 52}, g) { 2, 12 X 1, 17}, d) {X 3, 01}, đ) {X < 1, 36}, e) {X < 2, 59}, ж) {X 3, 56}. Rexenje a) 1, 21 2, 52 P{1, 21 X 2, 52}=Φ(2, 52) Φ(1, 21)=0, , 3869=0, 1072.

19 Rexenje b) 1, 24 2, 58 P{ 1, 24 X < 2, 58}=Φ(2, 58) + Φ(1, 24)=0, , 3925=0, 8876.

20 Rexenje v) 0, 52 0, 52 P{ 0, 52 < X 0, 52} = Φ(0, 52) + Φ(0, 52) = 2 0, 1985 = 0, 397.

21 Rexenje g) 2, 12 1, 17 P{ 2, 12 X 1, 17}=Φ(2, 12) Φ(1, 17)=0, 483 0, 379=0, 104.

22 Rexenje d) 3, 01 P{X 3, 01} = 0, 5 Φ(3, 01) = 0, 5 0, 4987 = 0, 0013.

23 Rexenje đ) 1, 36 P{X < 1, 36} = 0, 5 Φ(1, 36) = 0, 5 0, 4131 = 0, 0869.

24 Rexenje e) 2, 59 P{X < 2, 59} = 0, 5 + Φ(2, 59) = 0, 5 + 0, 4952 = 0, 9952.

25 Rexenje ж) 3, 56 P{X 3, 56} = Φ(3, 56) + 0, 5 = 0, , 5 = 0, 9998.

26 Standardizacija Postupak prelaska sa normalne raspodele N (m, σ 2 ) na standardnu normalnu raspodelu N (0, 1) zove se standardizacija. Veza između sluqajnih promenljivih X i X koje imaju redom N (m, σ 2 ) i N (0, 1) raspodele zadata je formulom X = X m σ 2. Tada vaжi P{a X b} = P { a m σ 2 X b m }. σ 2

27 Primer Vodostaj (izraжen u cm) jedne reke ima normalnu raspodelu N (150, 100). Odrediti verovatno u da e sluqajno izabranog dana vodostaj: a) biti manji od 140 cm, b) biti ve i od 170 cm, v) biti između 135 i 160 cm, g) biti ve i od 120 cm, d) biti manji od 165 cm. Rexenje Neka je X sluqajna promenljiva koja predstavlja vodostaj reke sluqajno izabranog dana. Sluqajna promenljiva X ima normalnu N (150, 100) raspodelu, tako da je potrebno izvrxiti standardizaciju. Kako je m = 150 i σ 2 = 100, odnosno σ = 100 = 10, to je formula standardizacije X = X

28 Rexenje a) { X 150 P{X < 140} = P < 10 = 0, 5 Φ(1) = 0, } = P{X < 1} 10 b) { X 150 P{X > 170} = P > 10 = 0, 5 Φ(2) = 0, } = P{X > 2} 10 v) { P{135 X 160} = P X = P{ 1, 5 X 1} = Φ(1, 5) + Φ(1) = 0, }

29 Rexenje g) P{X > 120} = { } X P > = P{X > 3} = Φ(3) + 0, 5 = 0, d) P{X < 165} = { } X P < = P{X < 1, 5} = 0, 5 + Φ(1, 5) = 0, 9332.

30 χ 2 raspodela Neka su sluqajne promenljive X 1, X 2,..., X n nezavisne i neka svaka ima standardnu normalnu N (0, 1) raspodelu. Za sluqajnu promenljivu Y definisanu formulom Y = X X X 2 n kaжemo da ima χ 2 raspodelu sa n stepeni slobode i pixemo Y : χ 2 n.

31 f (x) n = 1 n = 2 n = 3 n = 5 x Grafik gustine raspodele χ 2 n raspodele

32 F(x) n = 1 n = 2 n = 3 n = 5 x Grafik funkcije raspodele χ 2 n raspodele

33 Verovatno e P{a χ 2 n b} izraqunavaju se pomo u funkcije h n (x) = P{X x}. f (x) x x

34 n \ p

35 Primer Neka sluqajna promenljiva X ima χ 2 5 raspodelu. Odrediti slede e verovatno e: a) P{X < 0, 412}, b) P{X 0, 831}, v) P{0, 554 < X 1, 15}. Rexenje a) f (x) 0, 412 x P{X < 0, 412} = h 5 (0, 412) = 0, 005.

36 Rexenje b) f (x) 0, 831 x P{X 0, 831} = 1 h 5 (0, 831) = 0, 975.

37 Rexenje v) f (x) 0, 554 1, 15 x P{0, 554< X 1, 15}=h 5 (1, 15) h 5 (0, 554)=0, 05 0, 01=0, 04.

38 Studentova raspodela Neka su sluqajne promenljive X:N (0, 1) i Y :χ 2 n nezavisne. Za sluqajnu promenljivu T definisanu formulom T = X Y n kaжemo da ima Studentovu raspodelu sa n stepeni slobode i pixemo T : t n.

39 f (x) n = 1 n = 5 n = 10 n = 30 x Grafik gustine raspodele t n raspodele

40 F(x) n = 1 n = 5 n = 10 n = 30 x Grafik funkcije raspodele t n raspodele

41 Verovatno e P{a t n b} izraqunavaju se pomo u funkcije t n (x) = P{0 X x}. f (x) 0 x

42 n \ p

43 Primer Neka sluqajna promenljiva X ima Studentovu t 5 raspodelu. Odrediti verovatno e: a) P{0, 267 X 1, 476}, b) P{ 0, 267 X 1, 476} i v) P{ 1, 476 X 0, 267}. Rexenje a) f (x) 0, 267 1, 476 P{0, 267 X 1, 476} = t 5 (1, 476) t 5 (0, 267) = 0, 3.

44 Rexenje b) f (x) 0, 267 1, 476 P{ 0, 267 X 1, 476} = t 5 (0, 267) + t 5 (1, 476) = 0, 5.

45 Rexenje v) f (x) 1, 476 0, 267 P{ 1, 476 X 0, 267} = t 5 (1, 476) t 5 (0, 267) = 0, 3.