ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ 1ο : ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ανακεφαλαίωση ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: 1, 2,,, Άρτιοι αριθμοί είναι οι φυσικοί που διαιρούνται με το 2 Περιττοί αριθμοί είναι οι φυσικοί που δεν διαιρούνται με το 2 Πράξεις μεταξύ φυσικών αριθμών Πρόσθεση: α + β = γ α και β λέγονται προσθετέοι και το γ λέγεται άθροισμα των α και β. Ιδιότητες της πρόσθεσης: α + β = β + α (Αντιμεταθετική) α + (β + γ) = (α + β) + γ (Προσεταιριστική) α + 0 = 0 + α = α (το 0 δεν τον μεταβάλλει) Αφαίρεση: α β = γ, α > β Το α λέγεται μειωτέος, το β λέγεται αφαιρετέος και το γ λέγεται διαφορά. Αν α β = γ τότε α = β + γ ή α γ = β α 0 = α Πολλαπλασιασμός: α β = γ α και β λέγονται παράγοντες και το γ λέγεται γινόμενο των α και β. Ιδιότητες του πολλαπλασιασμού: α β = β α (Αντιμεταθετική) α (β γ) = (α β) γ (Προσεταιριστική) α 1 = 1 α = α (το 1 δεν τον μεταβάλλει) Τέλεια Διαίρεση α : β = γ, β 0 Το α λέγεται διαιρετέος, το β λέγεται διαιρέτης και το γ λέγεται πηλίκο. Αν α : β = γ τότε α = β γ ή α : γ = β α : 1 = α και α : α = 1 και 0 : α = 0 ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ Του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση: α (β + γ) = α β + α γ Του πολλαπλασιασμού ως προς την αφαίρεση: α (β γ) = α β α γ 2

Δύναμη: α ν = α α α α (ν παράγοντες) Το α λέγεται βάση και το ν εκθέτης Ευκλείδεια Διαίρεση: Δ = δ π + υ, 0 υ < δ Το Δ λέγεται διαιρετέος, το δ διαιρέτης, το π πηλίκο και το υ υπόλοιπο Προτεραιότητα Πράξεων 1 Δυνάμεις 2 Πολλαπλασιασμοί και Διαιρέσεις Προσθέσεις και Αφαιρέσεις Οι πράξεις μέσα στις παρενθέσεις προηγούνται και γίνονται με την παραπάνω σειρά ΟΡΙΣΜΟΙ Το μικρότερο μη μηδενικό από τα κοινά πολλαπλάσια που έχουν δύο μη μηδενικοί αριθμοί λέγεται ΕΚΠ αυτών. Ο μεγαλύτερος από τους κοινούς διαιρέτες που έχουν δύο αριθμοί λέγεται ΜΚΔ αυτών. Ένας αριθμός α που έχει διαιρέτες μόνο τον α και το 1 λέγεται πρώτος αριθμός, αλλιώς λέγεται σύνθετος Δύο αριθμοί α και β λέγονται πρώτοι μεταξύ τους όταν ΜΚΔ (α, β) = 1 Κριτήρια Διαιρετότητας: Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται: με το 10, 100, 1000,... αν λήγει σε 1, 2,,... μηδενικά με το 2, αν το τελευταίο ψηφίο του είναι 0, 2,, 6, 8. με το, αν λήγει σε 0 ή με το ή το 9, αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το ή το 9 με το ή 2, αν τα δύο τελευταία ψηφία του είναι αριθμός που διαιρείται με το ή 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να στρογγυλοποιηθεί ο αριθμός 9.7.82 στις (α) εκατοντάδες, (β) χιλιάδες (γ) εκατομμύρια. (α) Τάξη στρογγυλοποίησης: εκατοντάδες. Προηγούμενη τάξη: <. Όλα τα προς τα δεξιά ψηφία μηδενίζονται. 9.7.82 9.7.800 (β) Τάξη στρογγυλοποίησης: χιλιάδες Προηγούμενη τάξη: 8 >. Όλα τα προς τα δεξιά ψηφία μηδενίζονται και το ψηφίο της τάξης γίνεται: + 1 = 9.7.82 9.7.000 (γ) Τάξη στρογγυλοποίησης: εκατομμύρια Προηγούμενη τάξη: =. Όλα τα προς τα δεξιά ψηφία μηδενίζονται και το ψηφίο της τάξης γίνεται 9 + 1 = 10 9.7.82 9.7.800 2. Να υπολογιστούν τα γινόμενα: (α) 10, (β) 21 100, (γ) 1.000, (δ) 27 10.000 (α) 10 = 0 (β) 21 100 = 2.100 (γ) 1.000 =.000 (δ) 27 10.000 = 270.000 Από τα παραπάνω διαπιστώνουμε ότι για να πολλαπλασιάσουμε ένα αριθμό επί 10, 100, 1.000, γράφουμε στο τέλος του αριθμού τόσα μηδενικά όσα έχει κάθε φορά ο παράγοντας 10, 100, 1.000. Να εκτελεστούν οι ακόλουθες πράξεις: (α) 89 7 + 89, (β) 2 9 + 77 9, (γ) 76 1 76, (δ) 28 99. (α) 89 7 + 89 = 89 (7 + ) = 89 10 = 890 (β) 2 9 + 77 9 = (2 + 77) 9 = 100 9 =.900 (γ) 76 1 76 = 76 (1 ) = 76 10 = 760 (δ) 28 99 = 28 (100 1) = 28 100 28 1 = 28.00 28 = 28.116. Να υπολογιστούν το τετράγωνο, ο κύβος, η τέταρτη, η πέμπτη και η έκτη δύναμη του αριθμού 10. Τι παρατηρείτε; 10 2 = 10 10=100 10 = 10 10 10=100 10 =1000 10 = 10 10 10 10=1.000 10 =10.000 10 = 10 10 10 10 10=10.000 10 =100.000 10 6 = 10 10 10 10 10 10=100.000 10 =1.000.000

Παρατηρούμε ότι κάθε μία από τις δυνάμεις του10, που υπολογίστηκαν, έχει τόσα μηδενικά όσος είναι και ο εκθέτης της δύναμης. Για παράδειγμα: 10 6 = 1.000.000 (έξι μηδενικά).. Να εκτελεστούν οι πράξεις: (α) (2 ) + ( + 2) 2 (β) (2 + ) 8 2 (α) (2 ) + ( + 2) 2 = 10 + 2 = 10.000 + 2 = 10.000 + 100 = 10.100 (β) (2 + ) 8 2 = 8 9 = 12 72 = 6. Να γραφεί το ανάπτυγμα του αριθμού 7.60 με χρήση των δυνάμεων του 10. Είναι: 7.60 = 7 χιλ. + 6 εκατ. + 0 δεκ. + μον. =7 1000 + 6 100 + 0 10 + 1 =7 10 + 6 10 2 + 0 10 1 + Η μορφή αυτή 7 10 + 6 10 2 + 0 10 1 + του αριθμού 7.60 είναι το ανάπτυγμα του αριθμού σε δυνάμεις του 10. 7. Ποιες από τις παρακάτω ισότητες εκφράζουν Ευκλείδεια διαίρεση ; (α) 120 = 28 + 8 (β) 1. = 9 21 + 106 (γ) 7 = 8 6 + 6 (α) Έχουμε ν = 8, που είναι μικρότερος από το 28 και μεγαλύτερος το. Άρα, είναι υπόλοιπο της Ευκλείδειας διαίρεσης με διαιρέτη μόνο το 28 και όχι το. (β) Έχουμε ν = 106, που είναι μεγαλύτερος από το 9 και από το 21. Άρα δεν είναι υπόλοιπο μιας Ευκλείδειας διαίρεσης με διαιρέτη το 9 ή το 21. (γ) Έχουμε ν = 6, που είναι μικρότερος από το 8 και από το 8. Άρα είναι υπόλοιπο της Ευκλείδειας διαί-ρεσης με διαιρέτη είτε το 6 είτε το 8. 8. Σε μια δισκέτα μπορούν να αποθηκευτούν 11 φωτογραφίες. (α) Πόσες δισκέτες χρειάζονται για να αποθηκευτούν φιλμ των 6 στάσεων το καθένα; (β) Για πόσες φωτογραφίες θα μείνει χώρος στην τελευταία δισκέτα; (α) Τα φιλμ των 6 στάσεων το καθένα έχουν συνολικά 6 = 180 φωτογραφίες. Η διαίρεση των 180 φωτογραφιών με τις 11 που μπορούν να αποθηκευτούν σε μια δισκέτα, έχει πηλίκο 16 και υπόλοιπο, δηλαδή έχουμε 180 = 11 16 +. Έτσι, χρειαζόμαστε 16 δισκέτες, περισσεύουν όμως φωτογραφίες ακόμη, επομένως, θα πρέπει να πάρουμε επιπλέον μία δισκέτα, άρα θα χρειασθούν 16 + 1=17 δισκέτες. (β) Αφού στην τελευταία δισκέτα θα αποθηκευτούν οι φωτογραφίες, που περίσσεψαν, θα μείνει χώρος για 11 = 7 φωτογραφίες. 9. Δύο πλοία επισκέπτονται ένα νησάκι. Το πρώτο ανά ημέρες, το δεύτερο ανά ημέρες. Αν ξεκίνησαν από το νησάκι ταυτόχρονα, σε πόσες ημέρες θα ξαναβρεθούν στο λιμάνι του νησιού;

Βρίσκουμε τα πολλαπλάσια των αριθμών και. Πολλαπλάσια του 0 6 9 12 1 18 21 2 27 0 6... Πολλαπλάσια του 0 8 12 16 20 2 28 2 6 0 8... Οι αριθμοί 12, 2, 6, είναι κοινά πολλαπλάσια των αριθμών και. Επειδή, το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια είναι το 12, γράφουμε: ΕΚΠ (, ) = 12. Δηλαδή, ακριβώς μετά από 12 ημέρες θα ξαναβρεθούν τα δύο πλοία στο λιμάνι του νησιού και αυτό θα επαναλαμβάνεται κάθε 12 ημέρες. 10. Να αναλυθούν οι αριθμοί 220, 290, 780 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Με τη βοήθεια αυτής της ανάλυσης να βρεθεί ο ΜΚΔ και το ΕΚΠ αυτών των αριθμών. Αναλύουμε τους αριθμούς σε γινόμενα πρώτων παραγόντων και παίρνουμε μόνο τους κοινούς παράγοντες με το μικρότερο εκθέτη για το ΜΚΔ και τους κοινούς και μη κοινούς παράγοντες με το μεγαλύτερο εκθέτη για το ΕΚΠ. 220 2 διαιρώ με το 2 1260 2» 60 2» 1 διαιρώ με το 220 = 2 2 7 10» διαιρώ με το 7 7 διαιρώ με το 7 1 290 2 διαιρώ με το 2 170 2» 7 διαιρώ με το 290= 2 2 7 2 2 διαιρώ με το 9 7 διαιρώ με το 7 7 7» 1 780 2 διαιρώ με το 2 1890 2» 9 διαιρώ με το 780 = 2 2 7 1» 10» διαιρώ με το 7 7 διαιρώ με το 7 1 ΜΚΔ (220, 290, 780) = 2 2 7 = 20 ΕΚΠ (220, 290, 780) = 2 7 2 = 2920 6

11. Να βρεθεί αν διαιρούνται οι αριθμοί 1210, 772, 22, 1600 με 2,,,, 9, 10, 2, 100. 2 9 10 2 100 12.10 772 22 1.600 7

Κλάσματα k n Ίσα ή ισοδύναμα: αν Ισχύει: a ομώνυμα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ Ανακεφαλαίωση όπου κ και ν φυσικοί αριθμοί, n 0 a a και τότε α δ = β γ a : : ανάγωγο όταν ΜΚΔ (α, β) = 1 a,, ετερώνυμα a, a όταν α > γ και όταν α > γ Ο Μεικτός αποτελείται από έναν ακέραιο και ένα κλάσμα μικρότερο της μονάδας., είναι αντίστροφα όταν 1 Πράξεις μεταξύ κλασμάτων ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ και ΔΙΑΙΡΕΣΗ 1 a a : a και : ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΣΥΝΘΕΤΟΥ ΣΕ ΑΠΛΟ a b ad c bc d 8

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Μια σοκολάτα ζυγίζει 120 gr και έχει 6 ίσα κομμάτια (α) Ποιο μέρος της σοκολάτας είναι το κάθε κομμάτι; (β) Πόσα κομμάτια πρέπει να κόψουμε για να πάρουμε 0 gr;. (α) Το κάθε κομμάτι είναι το 6 1 της σοκολάτας. (β) Το βάρος κάθε κομματιού θα είναι το 6 1 του βάρους της σοκολάτας, δηλαδή: 1 120 2 120 20 gr. Άρα τα 0 gr είναι τα της σοκολάτας. 6 6 6 Δηλαδή, πρέπει να κόψουμε 2 κομμάτια για να πάρουμε 0 gr. 2. Το καμπαναριό μιας εκκλησίας έχει ύψος 20 m, ενώ η εκκλησία έχει ύψος τα του ύψους του καμπαναριού.ποιο είναι το ύψος της εκκλησίας; Το Επομένως το 1 του ύψους του καμπαναριού είναι 20 m, αυτού θα είναι 1 20 20 m = m = m. 20 m Τότε τα θα είναι m = 12 m. Άρα το ύψος της εκκλησίας θα είναι 12 m.. Μια δεξαμενή πετρελαίου σε μια πολυκατοικία, χωράει 2000 lt. Ο διαχειριστής σε μια μέτρηση βρήκε ότι ήταν γεμάτη κατά τα.πόσα λίτρα πετρελαίου είχε η δεξαμενή; Η δεξαμενή ολόκληρη είναι τα και χωράει 2000 lt. 9

Το 1 της δεξαμενής θα χωράει 1 2000 2000 lt = lt = 00 lt. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι τα θα περιέχουν 00 lt = 100 lt. Για να βρούμε την τιμή του μέρους ξεκινάμε από την τιμή του όλου που είναι η τιμή της μονάδας.. Τα του κιλού τυρί κοστίζουν 27. Πόσο κοστίζουν τα 9 8 του κιλού. Τα κοστίζουν 27. Άρα το 1 θα κοστίζει 27 : = 9. Τα κοστίζουν 9 =. Για να βρούμε την τιμή του όλου ξεκινάμε από την τιμή του μέρους και υπολογίζουμε την τιμή της μονάδας (αναγωγή στη μονάδα). 9 Τα κοστίζουν. 9 1 Άρα το κοστίζει =. 9 9 Έτσι τα 9 8 κοστίζουν 8 = 0 9. 9 : 9 1. 9 8 8. 9 Διότι είναι: 1 = = 9 9 =. Να εξετάσετε αν τα κλάσματα: (α) 10 18 και, (β) και 1 8 8 είναι ισοδύναμα. (α) Υπολογίζουμε τα χιαστί γινόμενα, δηλαδή: 1 = 2 και 10 = 0 Τα γινόμενα δεν είναι ίσα, άρα και τα κλάσματα δεν είναι ισοδύναμα. (β) Υπολογίζουμε τα χιαστί γινόμενα : 8 = 1 και 8 18 = 1 Τα γινόμενα είναι ίσα, άρα και τα κλάσματα είναι ισοδύναμα, δηλαδή: 8 18 και 8 0 6. Να απλοποιηθεί το κλάσμα. 66 Ο ΜΚΔ των όρων του κλάσματος 0 και 66 είναι: ΜΚΔ (0, 66) = 6 0 0 : 6 Διαιρούμε τους όρους του κλάσματος με το 6 και έχουμε: 66 66 : 6 11 10

7. Να μετατραπούν σε ομώνυμα τα κλάσματα, 2 και, 20 Πριν από κάθε μετατροπή ετερώνυμων κλασμάτων σε ομώνυμα ελέγχουμε αν τα κλάσματα απλοποιούνται. ΜΚΔ (, 20) = Διαιρούμε τους όρους του κλάσματος, 20 με το και έχουμε: : 1 20 20 : Βρίσκουμε το ΕΚΠ των παρονομαστών των ανάγωγων ετερωνύμων κλασμάτων., 2 1 ΕΚΠ (,, ) = 60 Διαιρούμε το ΕΚΠ με καθένα από τους παρονομαστές 60 : = 12 60 : = 20 60 : = 1 Πολλαπλασιάζουμε τους δύο όρους κάθε κλάσματος επί τον αντίστοιχο αριθμό που βρήκαμε. 12 6 2 2 20 0 1 11 1 12 60 20 60 1 60 6 0 1 Επομένως τα κλάσματα μετατράπηκαν στα ισοδύναμα ομώνυμα:, και. 60 60 60 7 8. Να συγκριθούν τα κλάσματα 10. Από το σχήμα παρατηρούμε ότι σε όσα περισσότερα μέρη χωρίζεται ένα συγκεκριμένο μέγεθος, τόσο μικρότερα είναι τα μέρη αυτά. 7 7 1 1 Δηλαδή: και 1 10 1 10 και 1 7. 7. 10 7. 1 9. Να συγκριθούν τα κλάσματα 8 και. 9 Μετατρέπουμε τα κλάσματα σε ομώνυμα, ΕΚΠ (8, 9) = 72, επομένως 72 : 8 = 9 και 72 : 9 = 8 οπότε 9 8. 8. 2 = 72 και 9 = 72. Άρα 8 9 11

10. Να τοποθετηθούν στην ευθεία των αριθμών τα κλάσματα: (α) (β) 8. (α) Για το κλάσμα 2 2 και 2 γνωρίζουμε ότι: 0 1Δηλαδή βρίσκεται μεταξύ των φυσικών αριθμών 0 και 1. Επειδή ο παρονομαστής είναι ο αριθμός, η απόσταση των φυσικών 0 και 1 πρέπει να χωριστεί σε ίσα μέρη. Το σημείο Β απέχει 2 από το Ο απόσταση ίση με τα Ο 0 1. του ΟΑ (β) Για το κλάσμα 8 2 του ΟΑ. Έτσι, το τοποθετείται στο σημείο Β. 2. Β 8 10 γνωρίζουμε ότι: 1 2 1 Α Καθένα, από τα τμήματα ΟΑ και ΑΒ του σχήματος είναι ίσο με τη μονάδα. Τα χωρίζουμε σε ίσα τμήματα, ώστε το καθένα να είναι ίσο με το 1 της μονάδας. Το ευθύγραμμο τμήμα ΟΓ αποτελείται από 8 ίσα τμήματα ίσα με το 1 της μονάδας το καθένα. Το μήκος ΟΓ είναι 8 σημείο Γ Ο 0 1. του ΟΑ του ΟΑ. Άρα το κλάσμα 8 τοποθετείται στο 1 =. 8. 2 = 10 Α Γ Β 11 Να βρεθεί ένα κλάσμα μεγαλύτερο από το 2 και μικρότερο από τα. Τα κλάσματα 2 και είναι ομώνυμα και ανάμεσα στους αριθμητές τους 2 και δεν υπάρχει άλλος φυσικός αριθμός. Μπορούμε, όμως, να βρούμε ισοδύναμα κλάσματα με αυτά π.χ. τα 10 6 και 10, για τα οποία μεταξύ των αριθμητών τους και 6 υπάρχει ο αριθμός. 12

Επομένως, αφού το κλάσμα 2 10 10 είναι μεταξύ των 10 και 6 10, θα είναι και 1 2 12. Να υπολογισθεί το άθροισμα Μετατρέπουμε το φυσικό αριθμό σε κλάσμα με παρονομαστή. Είναι: 1 2 1 2 1 2 12 1 a 1. Να αποδειχθεί ότι: α) 1 a (α) 1 a (β) 1 a και (β) 1 7 1. Να υπολογισθεί η διαφορά και το άθροισμα των κλασμάτων και 12 20 Τα κλάσματα είναι ετερώνυμα και πρέπει πρώτα να μετατραπούν σε ισοδύναμα ομώνυμα. Έχουμε: ΕΚΠ (12, 20) = 60 οπότε: 60 : 12 = και 60 : 20 = 7 7 21 1 6 1 20 12 20 12 60 60 60 10 7 20 12 7 20 12 21 60 1 60 6 60 1 1. Να βρεθεί η διαφορά: 1 και το αποτέλεσμα να γίνει μεικτός. 1 1 11 1 Για να τρέψουμε το αποτέλεσμα σε μεικτό αριθμό εκτελούμε την ευκλείδεια διαίρεση: 11 = 2 + και έχουμε: 11 2 2 2 16. Να βρεθεί το άθροισμα 2 + 1 1. 1

1 1 1 2 1 6 10 2 1 2 1 17. Την πρώτη ημέρα ένας κηπουρός κούρεψε το γκαζόν στο 1/2 μιας στρογγυλής πλατείας. Την δεύτερη ήμερα, εξαιτίας μιας δυνατής βροχής, κατάφερε να κουρέψει μόνο το 1/ του αρχικού γκαζόν. Ποιο μέρος από το γκαζόν της πλατείας κουρεύτηκε μέχρι και το τέλος της δεύτερης μέρας; Για να βρούμε το μέρος της πλατείας που κουρεύτηκε, στο τέλος της δεύτερης ημέρας, δεν έχουμε παρά να προσθέσουμε τα δύο κλάσματα, δηλαδή το ½ και το 1/ Αλλά, για να εκτελέσουμε αυτή την πρόσθεση πρέπει να μετατρέψουμε τα δύο κλάσματα σε ομώνυμα. Άρα, θα έχουμε: 1 2 1 6 2 6 6 Για να βρούμε ποιο κλάσμα της πλατείας έχει απομείνει για κούρεμα, πρέπει να 1 6 1 αφαιρέσουμε από το όλο μέρος, δηλαδή: 1 6 6 6 18. Να βρεθεί το γινόμενο: 70 8 70 8 60 7 6 7 6 7 0 7 1680 210 70 8 6 168 21 2η ημέρα 1. 2. 6 19. Σε ένα σχολείο με 22 μαθητές, τα /9 είναι αγόρια. Να βρεις πόσα αγόρια και πόσα κορίτσια έχει το σχολείο. 22 1260 Αφού τα αγόρια είναι τα /9 των μαθητών, θα είναι: 22 10 9 9 9 Επομένως, τα κορίτσια θα είναι: 22 10 = 112. = 6 7 1η ημέρα 1.. 2 6 = 1

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ανακεφαλαίωση Δεκαδικό κλάσμα λέγεται το κλάσμα που έχει παρανομαστή μια δύναμη του 10. Κάθε δεκαδικός αριθμός διακρίνεται σε ακέραιο μέρος και δεκαδικό μέρος, που διαχωρίζονται από την υποδιαστολή. Ένας μεγάλος αριθμός μπορεί να γραφεί στη μορφή α 10 ν, δηλαδή, ως γινόμενο ενός αριθμού α επί μία δύναμη του 10. Ο αριθμός α είναι ένας δεκαδικός αριθμός με ακέραιο ψηφίο μεγαλύτερο ή ίσο του 1 και μικρότερο του 10. Τη μορφή αυτή ονομάζουμε τυποποιημένη. Πράξεις μεταξύ δεκαδικών αριθμών Η Πρόσθεση δεκαδικών αριθμών γίνεται, όπως και στους φυσικούς αριθμούς. Τοποθετούμε τους αριθμούς τον ένα κάτω από τον άλλο, έτσι ώστε οι υποδιαστολές να γράφονται στην ίδια στήλη και προσθέτουμε τα ψηφία της ίδιας τάξης. Η Αφαίρεση δεκαδικών αριθμών γίνεται, όπως και στους φυσικούς αριθμούς. Τοποθετούμε τους αριθμούς τον ένα κάτω από τον άλλο, έτσι ώστε οι υποδιαστολές να γράφονται στην ίδια στήλη και αφαιρούμε τα ψηφία της ίδιας στήλης. Ο Πολλαπλασιασμός δεκαδικών αριθμών γίνεται όπως και των φυσικών αριθμών. Τοποθετούμε στο αποτέλεσμα της πράξης την υποδιαστολή τόσες θέσεις από τα δεξιά προς τα αριστερά, όσα είναι συνολικά τα ψηφία στα δεκαδικά μέρη και των δύο παραγόντων. Η Διαίρεση γίνεται όπως και η ευκλείδεια διαίρεση. Πολλαπλασιάζουμε το διαιρέτη και το διαιρετέο με την κατάλληλη δύναμη του 10 έτσι ώστε να γίνουν και οι δύο φυσικοί αριθμοί. Όταν εξαντληθεί το ακέραιο μέρος του διαιρετέου, «κατεβάζουμε» το μηδέν ως πρώτο δεκαδικό ψηφίο από τον διαιρετέο και τοποθετούμε στο πηλίκο υποδιαστολή. Όταν πολλαπλασιάζουμε με 0,1, 0,01, 0,001,... ή όταν διαιρούμε με 10, 100, 1000,..., ένα δεκαδικό αριθμό μεταφέρουμε την υποδιαστολή προς τα αριστερά μία, δύο, τρεις αντίστοιχα θέσεις. Όταν πολλαπλασιάζουμε ένα δεκαδικό αριθμό με 10, 100, 1000,... μεταφέρουμε την υποδιαστολή του αριθμού προς τα δεξιά μία, δύο, τρεις,... θέσεις, αντίστοιχα. Οι Δυνάμεις των δεκαδικών αριθμών έχουν τις ιδιότητες των δυνάμεων των φυσικών αριθμών. Το πλήθος των δεκαδικών ψηφίων που έχει το αποτέλεσμα, προκύπτει από το πλήθος των δεκαδικών ψηφίων της βάσης, επί τον εκθέτη της δύναμης. 1

Προτεραιότητα Πράξεων Δυνάμεις Πολλαπλασιασμοί Διαιρέσεις Προσθέσεις και Αφαιρέσεις. Οι πράξεις μέσα στις παρενθέσεις προηγούνται και γίνονται με την παραπάνω σειρά. Μήκους: Υποδιαιρέσεις: Πολλαπλάσια: Μονάδες Μέτρησης το μέτρο (1m) 1 m = 10 dm = 10 2 cm = 10 mm 1 Km = 10 m Επιφάνειας: το τετραγωνικό μέτρο (1m 2 ) Υποδιαιρέσεις: 1 m 2 = 10 2 dm 2 = 10 cm 2 = 10 6 mm 2 Πολλαπλάσια 1 στρέμμα = 10 m 2 Όγκου: το κυβικό μέτρο (1 m ) Υποδιαιρέσεις: 1 m = 10 dm = 10 6 cm = 10 9 mm Πολλαπλάσια: 1 lt = 0,01 m Χρόνου: το δευτερόλεπτο (1 s) Πολλαπλάσια: 1min = 60s, 1 h = 600 s Μάζας: Υποδιαιρέσεις: Πολλαπλάσια: το χιλιόγραμμο (1 Κg) 1 Kg = 10 gr = 10 6 mg 1t = 10 Kg 16

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να γραφούν τα κλάσματα που ακολουθούν, ως δεκαδικοί αριθμοί με την εκτέλεση των αντίστοιχων διαιρέσεων: (α) 20/, (β) 0/8, (γ) 20/67 (α) 20/=20:= (β) 0/8=0:8=6,2 (γ) 20/67=20:67=7,76119 Στην περίπτωση αυτή το πηλίκο δεν είναι ακριβές και συνήθως γράφεται με προσέγγιση δέκατου 7,8 ή εκατοστού 7,77 ή χιλιοστού 7,761 κλπ. 20,000000 67 10 7,76119 7,76119 10 80 10 60 29 2. Να γραφούν, ως κλάσματα, οι δεκαδικοί αριθμοί: (α) 2, και (β) 0,8. (α) 2, = 2 : 100 = 2/100 (β) 0,8 = 8 : 1000 = 8/1000. Να γραφούν, ως δεκαδικοί αριθμοί, τα κλάσματα: (α) 1/100 και (β) 769/1000 (α) 1/100 = 1 : 100 =,1 (β) 769 / 1000 = 769 : 1000 = 0,769 1. Να μετατραπεί το κλάσμα 10/8 σε δεκαδικό κλάσμα. Αρχικά, μετατρέπουμε το κλάσμα 10/8 σε δεκαδικό αριθμό, εκτελώντας τη διαίρεση και έχουμε: 10/8 = 10 : 8 = 1,2. Ο δεκαδικός 1,2 μετατρέπεται σε δεκαδικό κλάσμα 1,2 = 12 : 100 = 12/100. Άρα 10/8 = 12/100. 2. Να τοποθετηθούν στην ευθεία των αριθμών οι δεκαδικοί αριθμοί: (α) 0,8 και (β) 1,. (α) Ισχύει, ότι: 0 < 0,8 < 1. Δηλαδή, το τμήμα της ευθείας μεταξύ των φυσικών αριθμών 0 και 1 πρέπει να χωριστεί σε 10 ίσα μέρη (δέκατα). 0,8 0 1 2 17 6

(β) Επίσης, ισχύει: 1 < 1, < 2. Δηλαδή, το τμήμα της ευθείας μεταξύ των φυσικών αριθμών 1 και 2 πρέπει να χωριστεί σε 100 ίσα μέρη (εκατοστά). 1, 1,1 1,2 1, 1, 1, 1,6. Να γραφούν σε τυποποιημένη μορφή οι : (α) 21.000 και (β) 2000. 21.000 =,21 10 2.000= 2 10. Να εκφραστεί το μήκος των 2.7,89 m, σε όλες τις υποδιαιρέσεις του m. Για τις μετατροπές από μία μονάδα σε άλλη, φτιάχνουμε μια σκάλα, που για να την ανέβουμε, πρέπει από κάθε σκαλοπάτι στο επόμενο, να διαιρούμε με το 10, ενώ για να την κατέβουμε πρέπει να πολλαπλασιάσουμε με το 10. 27,89 m m. 27,89 m : 10 : 10 10 10 27,89 dm dm. 27,89 dm : 10 : 10 10 10 278,9 cm cm. 278,9 cm : 10 : 10 10 10 2789 mm mm. 2789 mm. Η επιφάνεια ενός κύβου έχει εμβαδόν 96 cm 2. Να βρεθεί ο όγκος του. Επειδή ο κύβος έχει 6 έδρες, η κάθε έδρα του θα έχει εμβαδόν 96 cm 2 : 6 = 16 cm 2. Αλλά είναι 16 cm 2 = cm cm = ( cm) 2, άρα, η ακμή του κύβου είναι cm. Επομένως, ο όγκος του κύβου είναι: ( cm) = cm cm cm = 6 cm 6. Μια αμαξοστοιχία διανύει την απόσταση Αθήνας - Πύργου σε ώρες και 7 λεπτά. Αν η αμαξοστοιχία ξεκινά από την Αθήνα στις 9:10 π.μ., ποια ώρα θα φτάσει στον Πύργο; Η αμαξοστοιχία θα φτάσει στις 9h 10min + h 7min = 1h 67min = 1h 7min, δηλαδή, θα φτάσει στον Πύργο στις 2:07 μ.μ., μετά το μεσημέρι. 18

27,6 m 7. Να βρεθεί η περίμετρος του σχήματος: 2, m 22,17 m (α) σε μέτρα, (β) σε εκατοστά και (γ) σε χιλιόμετρα. 8, m (α) Η περίμετρος σε μέτρα είναι ίση με το άθροισμα των μηκών των πλευρών του, δηλαδή: 26,6 m + 2, m + 22,17 m + 8, m = 111,8 m. (β) Είναι 111,8 m =111,8 m 0,001 = 0,1118 Km. (γ) Επίσης είναι 111,8 m 100 = 11180 cm. 11.Μια δεξαμενή νερού τρύπησε και χύνονται 2 σταγόνες κάθε δευτερόλεπτο. Αν οι 2 σταγόνες έχουν μάζα 1, g, να βρεθεί η μάζα του νερού που χάνεται κάθε ώρα. Κάθε δευτερόλεπτο χύνονται 2 σταγόνες νερού, άρα σε 1h = 600s θα χυθούν: 600 2 = 7200 σταγόνες νερού. Αυτές θα έχουν μάζα: (7200 : 2) 1, g = 288 1, g = 2 g = 0,2 Kg 19

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Ανακεφαλαίωση Εξίσωση με έναν άγνωστο είναι μια ισότητα που περιέχει αριθμούς και ένα γράμμα. ή ρίζα της εξίσωσης είναι κάθε αριθμός που, όταν αντικαταστήσει τον άγνωστο, επαληθεύει την ισότητα. Η διαδικασία μέσω της οποίας, βρίσκουμε τη λύση της εξίσωσης, λέγεται επίλυση της εξίσωσης. Μια εξίσωση λέγεται ταυτότητα ή αόριστη, όταν όλοι οι αριθμοί είναι λύσεις της. Μία εξίσωση λέγεται αδύνατη, όταν κανείς αριθμός δεν την επαληθεύει ή δεν είναι λύση της. Εξίσωση x + α = β x - α = β α - x = β α x = β x : α = β α : x = β x = β - α x = α + β x = α - β x = β : α x = α β x = α : β 20

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1.Να λυθούν οι εξισώσεις: x + = 12, y 2 =, 10 z = 1, 7 φ =, ω : =, 2 : ψ = 6 x + = 12 x = 12 ή x = 7, y 2 = y = + 2, ή y =, 10 z = 1 z = 10 1, ή z = 9, 7 φ = 1 φ = 1 : 7, ή φ = 2, ω : = ω = ή ω = 20, 2 ψ = 6 ψ = 2 : 6 ή ψ = 2.Μια δεξαμενή χωρητικότητας 6 m που έχει μήκος 1, m και πλάτος 2 m, έχει ύψος (α) 1, m ή (β) m ή (γ) 2 m; Αν συμβολίσουμε με x το ύψος της δεξαμενής, τότε ο όγκος της θα ισούται με: V = 1, 2 x. Όμως γνωρίζουμε ότι ο όγκος της δεξαμενής είναι 6 m, άρα x = 6. (Δεν γράφουμε τις μονάδες στις εξισώσεις, αλλά πρέπει να γνωρίζουμε ποιες μονάδες χρησιμοποιούμε). Επομένως, x = 6 :, δηλαδή x = 2m. Συνεπώς το σωστό ύψος της δεξαμενής είναι τα 2 m.. Να περιγράψεις κάποιο πρόβλημα, που να λύνεται με τη βοήθεια της εξίσωσης: 2 x + 800 = 1000 Για παράδειγμα τα δύο παρακάτω προβλήματα περιγράφονται από την εξίσωση αυτή. Με τι ισούται η μία πλευρά του ορθογωνίου, που έχει περίμετρο 1000 m και του οποίου η άλλη πλευρά είναι 00 m; Πόσο ζυγίζει καθένα από τα δύο κιβώτια, με τα οποία είναι φορτωμένο ένα αυτοκίνητο, που έχει βάρος 800Kg, όταν η πλάστιγγα που ανέβηκε δείχνει 1000 Kg;.Η Χριστίνα ξόδεψε τα μισά της χρήματα για να αγοράσει 2 τετράδια και μαρκαδόρους. Αν είναι γνωστό, ότι κάθε τετράδιο στοιχίζει 1 και όλοι οι μαρκαδόροι, ποιο είναι το ποσό των χρημάτων που είχε η Χριστίνα πριν από τις αγορές αυτές; Το ζητούμενο του προβλήματος είναι το ποσό των χρημάτων που είχε η Χριστίνα, δηλαδή ο άγνωστος x του προβλήματος. Το πρόβλημα μπορεί να περιγραφεί απλούστερα με την εξίσωση: «τα χρήματα που ξοδεύτηκαν» = «τα χρήματα που κόστιζαν οι αγορές» ή «τα μισά χρήματα της Χριστίνας»= «το κόστος των τετραδίων» + «το κόστος μαρκαδόρων» ή x : 2 = 2 1 + ή x : 2 = 2 + ή x : 2 = ή x = 2 ή x = 10 21

Επαλήθευση: Τα μισά των 10 είναι και τα έξοδα είναι 2 1 + =.. Η δεξαμενή της κοινότητας χωράει.000 m νερό. Κάθε μέρα ξοδεύονται 00 m από τα νοικοκυριά και άλλα 200 m από τις βιοτεχνίες. Για τη συντήρηση του δικτύου, σταμάτησε η παροχή νερού προς τη δεξαμενή. Τέσσερις ημέρες μετά την έναρξη των εργασιών αποφασίζεται να ξοδεύονται μόνο 00 m συνολικά κάθε ημέρα. Πόσες ημέρες ακόμη πρέπει να κρατήσουν τα έργα συντήρησης, ώστε να μη μείνουν χωρίς νερό οι κάτοικοι της κοινότητας; Το ζητούμενο του προβλήματος είναι το επιπλέον πλήθος των ημερών συντήρησης του δικτύου, δηλαδή ο άγνωστος x του προβλήματος. Το πρόβλημα μπορεί να περιγραφεί με την εξίσωση: ποσό νερού που καταναλώνεται = ποσό νερού δεξαμενής ή αναλυτικότερα ποσό νερού που καταναλώνεται στις τέσσερις ημέρες της συντήρησης + ποσό νερού που καταναλώνεται στις επιπλέον ημέρες συντήρησης = ποσό νερού δεξαμενής ή (00 + 200) + 00 x =.000 ή 00 + 00 x =.000 ή 2.000 + 00 x =.000 ή 00 x =.000 2.000 ή 00 x = 1.000 ή x = 1.000 : 00 ή x = 2, ημέρες Επαλήθευση: 2, 00 + (200 + 00) =.000 ή 1.000 + 2.000 =.000 ή.000 =.000 6. Τα οικόπεδα που διαθέτει ένα μεσιτικό γραφείο, έχουν την ίδια τιμή και είναι όλα ορθογώνια παραλληλόγραμμα, με σταθερή περίμετρο 160 m. Ποιο από αυτά συμφέρει να επιλέξουμε για αγορά; Έστω το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με διαστάσεις α και β. Τότε η περίμετρος θα είναι: α + α + β + β ή 2α + 2β ή 2(α + β) Γνωρίζουμε ότι: 2(α + β) = 160 Άρα θα είναι : α + β = 160 : 2 ή α + β = 80 Το πιο συμφέρον για αγορά είναι το οικόπεδο με το μεγαλύτερο δυνατό εμβαδόν. Το εμβαδόν του ορθογώνιου παραλληλογράμμου είναι Ε = α β. Φτιάχνουμε ένα πίνακα και δίνουμε διάφορες τιμές στα α και β: Α Δ α Β β Γ 22

α β α β 10 70 700 20 60 1.200 0 0 1.00 0 0 1.600 0 0 1.00 60 20 1.200 70 10 700 Παρατηρούμε ότι το ορθογώνιο με το μεγαλύτερο εμβαδόν είναι το τετράγωνο με διαστάσεις ίσες α = β = 0 m. 7. Μετά τη συνεδρίαση και τα 10 μέλη του διοικητικού συμβουλίου μιας εταιρείας ανταλλάσσουν μεταξύ τους χειραψίες. Πόσες χειραψίες γίνονται συνολικά; 1ος τρόπος: Αν υποθέσουμε ότι φεύγει ένας - ένας και χαιρετάει τους υπόλοιπους θα έχουμε ότι: Ο πρώτος θα ανταλλάξει, συνολικά, 9 χειραψίες. Ο δεύτερος 8, ο τρίτος 7, ο τέταρτος 6, ο πέμπτος, ο έκτος, ο έβδομος ο όγδοος 2, ο ένατος 1 και δέκατος καμία. Επομένως, ο συνολικός αριθμός θα είναι: 1 + 2 + + + + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 9) + (2 + 8) + ( + 7) + ( + 6) + = 10+10+10+10+ = Άρα, η λύση είναι ότι θα γίνουν συνολικά χειραψίες. 2ος τρόπος: Γνωρίζουμε ότι ο καθένας κάνει χειραψία με τους υπόλοιπους. Επομένως, αφού όλοι είναι 10, ο καθένας θα κάνει 10 1 = 9 χειραψίες. Άρα συνολικά θα γίνουν 10 φορές επί 9, δηλαδή 10 9 = 90 χειραψίες. Όμως, μεταξύ δύο ανθρώπων η χειραψία είναι μία και εμείς τη μετρήσαμε διπλή (μία για καθένα από τους δύο). Επομένως, αυτές που έγιναν συνολικά θα είναι οι μισές, δηλαδή 90 : 2 =. 2

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΠΟΣΟΣΤΑ Ανακεφαλαίωση Το σύμβολο α% ονομάζεται ποσοστό επί τοις εκατό ή απλούστερα ποσοστό και είναι ίσο με το α/100. Χρησιμοποιούμε ακόμη το ποσοστό α που διαβάζεται ποσοστό επί τοις χιλίοις και είναι ίσο με το α/1000. Το ποσοστό α% του β είναι (α/100) β Τα κλάσματα μπορούν να γράφονται και ως ποσοστά. 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να γραφούν, ως ποσοστά επί τοις εκατό, τα παρακάτω κλάσματα: (α) / (β) /8 (γ) 8/91. 20. 20 80. 100 (α) = = = 80%, 8 12, 8 12, 7, 100 (β) = = = 7,%, (γ) = 0,92 = = 92%. 8 91 2. Να γραφούν, ως κλάσματα τα ακόλουθα ποσοστά: (α) 12%, (β) 7%, (γ) 2,%. 2. 10 0 (α) 12% = = =, 7. 100 (β) 7% =, 92. 100 12 :. 100 :. 2 2, 100 2. 1000 (γ) 2,% = = = 1. 0. Ποια θα είναι η τιμή πώλησης ενός πουλόβερ, αξίας 10, με επιβάρυνση ΦΠΑ 19%; Γνωρίζουμε ότι: Τιμή πώλησης = Αξία + ΦΠΑ Ο φόρος που αντιστοιχεί θα είναι: 19. 10 19 Φόρος = Αξία 19% = 10 19% = 10 = = 28,. Άρα, η τιμή πώλησης θα είναι: 10 + 28, = 178,.. Ένας ηλεκτρολόγος είχε έσοδα 2.86 το δεύτερο τρίμηνο του έτους. Πόσα χρήματα πρέπει να αποδώσει στο κράτος, αν ο ΦΠΑ που παρακρατά από τους πελάτες του είναι 19%; Το ποσό Φ.Π.Α. έχει παρακρατηθεί από τον ηλεκτρολόγο, αφού κάθε πελάτης του έχει επιβαρυνθεί με 19%, επί της αξίας της εργασίας του ηλεκτρολόγου. Έτσι για εργασία 100 ο πελάτης έχει πληρώσει 119, δηλαδή ο ηλεκτρολόγος σε έσοδα 119 οφείλει στο κράτος 19, δηλαδή τα 19/119 των εσόδων. Οφειλόμενος ΦΠΑ = Έσοδα 19/119 = 286 19/119 = 6 100 100 2

. Στην περίοδο των εκπτώσεων, ένα κατάστημα έκανε έκπτωση % στα είδη ρουχισμού και 1% στα παπούτσια. Ποσό θα πληρώσουμε για ένα πουκάμισο και ένα ζευγάρι παπούτσια που κόστιζαν 8 και 170, αντίστοιχα, πριν τις εκπτώσεις. Η τιμή κάθε είδους υπολογίζεται από τη σχέση: Τιμή μετά την έκπτωση = Τιμή πριν την έκπτωση Ποσό έκπτωσης. Για το πουκάμισο έχουμε ποσό έκπτωσης: % 8 = (/100) 8 = 20,0. Η τιμή του πουκάμισου μετά την έκπτωση είναι: 8 20,0 = 7,70. Για τα παπούτσια έχουμε ποσό έκπτωσης: 1 % 170 = (1/100) 170 = 2,0. Η τιμή των παπουτσιών μετά την έκπτωση είναι: 170 2,0 = 1,0. Και για τα δύο μαζί θα πληρώσουμε: 7,70 + 1,0 = 182,20. 6. Ποσό 1.000 κατατέθηκε σε λογαριασμό ταμιευτηρίου, με επιτόκιο %. Πόσος είναι ο τόκος που θα αποδώσει το κεφάλαιο αυτό, μετά από 18 μήνες, αν οι τόκοι προστίθενται στο κεφάλαιο κάθε χρόνο; Γνωρίζουμε ότι: Τόκος = Κεφάλαιο Επιτόκιο Άρα: Τόκος α έτους είναι: 1000 % = 1.000 /100 = 0 Στο τέλος των 12 μηνών το κεφάλαιο θα γίνει: 1000 + 0 = 100 Ο τόκος στους επόμενους 6 μήνες θα είναι τα 6/12 του ετήσιου τόκου, δηλαδή: 100 % (6/12) = 1.00 (/100) (6/12) = 26,2 Ο συνολικός τόκος που απέδωσαν τα 1.000 για 18 μήνες είναι: 0 + 26,2 = 76,2. 26

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6ο ΠΟΣΑ ΑΝΑΛΟΓΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ Ανακεφαλαίωση Λόγος δύο αριθμών: α. β = κ Αναλογία είναι η ισότητα δύο λόγων α. β = γ. τότε α δ = β γ και = = δ α. γ. β = δ = α + γ. β + γ Τα ποσά x και y είναι ανάλογα, τότε και μόνο τότε, αν ισχύει η σχέση: y. x = α ή y = α x, όπου α συντελεστής αναλογίας Γραφική παράσταση της y = α x, Κάθε ζευγάρι τιμών (x, y) δύο ανάλογων ποσών αναπαρίσταται από ένα σημείο του επιπέδου με συντεταγμένες το ζευγάρι τιμών (x, y). Τα σημεία αυτά βρίσκονται πάνω σε μια ημιευθεία, με αρχή το σημείο Ο(0,0) Κάθε σημείο της ημιευθείας η οποία αναπαριστά μια σχέση αναλογίας, έχει συντεταγμένες που ικανοποιούν αυτήν τη σχέση αναλογίας y = α x Τα ποσά x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα, τότε και μόνο τότε, αν ισχύει η σχέση: y x = α ή y = α., όπου x, y 0. x 27

Δύο μεγέθη λέγονται αντιστρόφως ανάλογα όταν μεταβάλλονται έτσι ώστε το ένα μέγεθος πολλαπλασιάζεται επί έναν αριθμό όταν το άλλο, ταυτόχρονα, διαιρείται με τον ίδιο αριθμό. Δύο αντιστρόφως ανάλογα ποσά x και y, δεν μπορούν να πάρουν τιμές ίσες με μηδέν. Γραφική παράσταση y = α / χ, όπου x, y 0. Τα σημεία που παριστούν τα ζεύγη (x, y) βρίσκονται, σε μια καμπύλη γραμμή. Η καμπύλη αυτή, που έχει χαρακτηριστικό σχήμα και ιδιότητες, ονομάζεται υπερβολή. Η υπερβολή δεν τέμνει ποτέ τους ημιάξονες Οx και Οy, διότι οι συντεταγμένες των σημείων της δεν παίρνουν ποτέ την τιμή 0. 28

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Μετρούμε μια απόσταση, σε χάρτη, με κλίμακα 1:10.000.000 και τη βρίσκουμε ίση με 2, cm. Ποια είναι η πραγματική απόσταση των δύο σημείων; Αφού δίνεται η κλίμακα 1:10.000.000, στο 1 cm του χάρτη αντιστοιχούν 10.000.000 cm στην πραγματικότητα Συνεπώς, αν τα 2, cm του χάρτη αντιστοιχούν σε x cm 2, x στην πραγματικότητα θα έχουμε: = 1. 10.000.000 Επομένως ισχύει ότι: 1 x = 2, 10.000.000 ή x = 2.000.000 cm = 20.000 m = 20 Km. 2. Να συμπληρωθεί ο πίνακας, αν γνωρίζουμε ότι τα ποσά x και y είναι ανάλογα, με συντελεστή αναλογίας α =2/ x 0 1 0,. y y = α x. Τα ποσά x και y συνδέονται με τη σχέση: y = 2/ x Άρα για x = 0, η τιμή του y θα είναι: y = 2/ 0 = 0 για x = 1 είναι y = 2/ 1 = 2/ για x = 0, είναι y = 2/ 0, = 2/ /10 = 2/10 = 0,2 x = y/α Για y = /, θα είναι x = / : 2/ = / 2/ = 1/6 = 2, Για y =, θα έχουμε, αντίστοιχα: x = : 2/ = /2 = 9/2 =,. Σε ένα διάλυμα ζάχαρης η περιεκτικότητα σε ζάχαρη είναι 2%. Πόσα γραμμάρια ζάχαρης υπάρχουν σε 00 gr διαλύματος; Περιεκτικότητα 2% σε ζάχαρη σημαίνει ότι σε 100 gr διαλύματος υπάρχουν 2 gr ζάχαρη. Άρα, τα 2/100 κάθε ποσότητας, από το διάλυμα, είναι ζάχαρη. Δηλαδή θα ισχύει: Ποσότητα ζάχαρης = 2/100 Ποσότητα διαλύματος Επομένως: y = 2/100 x. H σχέση αυτή κάνει φανερό ότι τα ποσά y και x είναι ανάλογα. Έτσι θα έχουμε: y = 2/100 00 gr = 69 gr. 29

. Ένα πλοίο έχει σταθερή ταχύτητα και καλύπτει απόσταση 80 Κm σε 2 ώρες. Σε πόσο χρόνο θα καλύψει απόσταση 2.000 Κm; Χρόνος (ώρες) 2 x Απόσταση (Km) 80 2.000 2. 80 Επομένως, έχουμε: = Άρα: 80 x = 2 2.000 x. 2.000 Επομένως: 80 x =.000 Οπότε x = 000 80 = 0 ώρες.. Δίνονται οι πίνακες Α, Β, Γ και Δ. (α) Να γίνει η γραφική απεικόνιση των ζευγών (x, y) των πινάκων στο επίπεδο και (β) να διαπιστωθεί σε ποια περίπτωση αυτά παριστάνουν ποσά ανάλογα. Α Β x 0 1 2 x 0 1 2 y 0 2 1 1, y 1 1, 2 2, Γ Δ x 0 1 2 x 0 1 2 y 0 1 2 y 0 0, 1 1, Ο πίνακας Α είναι πίνακας τιμών των x και y που δεν είναι ανάλογα, αφού 1. 2 Ο πίνακας Β είναι πίνακας τιμών των x και y που δεν είναι ανάλογα, 1. αφού 1, 2. 2. 2, Ο πίνακας Γ είναι πίνακας αναλογίας των ποσών x και y, με συντελεστή αναλογίας το α = 1 Η ημιευθεία που την αναπαριστά έχει αρχή την αρχή των αξόνων και είναι η διχοτόμος της γωνίας των ημιαξόνων 2. 1. 1, xοy 0

καθαρό βύσσινο Ο πίνακας Δ είναι πίνακας αναλογίας των ποσών x και y με συντελεστή αναλογίας το α= 0, 6. Για να φτιάξουμε γλυκό βύσσινο πρέπει να καθαρίσουμε τα βύσσινα από τα κουκούτσια. Αν καθαρίσουμε 2, Κg βύσσινο, παίρνουμε 2 Κg καθαρό βύσσινο. Αν καθαρίσουμε Κg βύσσινο, τι ποσότητα καθαρού βύσσινου θα πάρουμε; Τα ποσά ακαθάριστο βύσσινο και καθαρό βύσσινο είναι ανάλογα. Συμβολίζουμε με y την άγνωστη ποσότητα καθαρού βύσσινου και δημιουργούμε τον πίνακα αναλογίας. Βύσσινο με κουκούτσι 2, Kg Kg Καθαρό βύσσινο 2 Kg y Θα έχουμε 2, =. δηλαδή: 2, y = 2, επομένως 2, y = 10 συνεπώς, 2 y y = 10. άρα, y = Kg. 2, Το πρόβλημα μπορεί να λυθεί και με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης των δύο ανάλογων ποσών, από την οποία μπορούμε να υπολογίσουμε την ποσότητα καθαρού βύσσινου (τεταγμένη του σημείου Β), από την ποσότητα των Κg, βύσσινου με κουκούτσια ( τετμημένη ). Η ημιευθεία, που αναπαριστά τη σχέση αναλογίας του προβλήματος μας, ορίζεται από τα σημεία Ο(0, 0)και Α(2,, 2) Β 2 Α 1 Ο 1 2 6 βύσσινο με κουκούτσια Στον ημιάξονα Οx (κιλά βύσσινο με κουκούτσια) και στο σημείο που βρίσκεται ο αριθμός φέρουμε κάθετη. Αυτή τέμνει τη γραφική παράσταση της σχέσης αναλογίας, σε σημείο Β. Το σημείο Β έχει τετμημένη. Η τεταγμένη του προκύπτει, αν φέρουμε κάθετη από το Β προς τον ημιάξονα Οy (καθαρό βύσσινο) και είναι Κg. 7. Ένας μεσίτης αγοράζει ένα σπίτι 60.000 και σκοπεύει να το πουλήσει με κέρδος 28%. Σε ένα πελάτη έκανε έκπτωση 1%, επί της τιμής πώλησης. (α) Πόσο πουλήθηκε το σπίτι στον πελάτη αυτόν; (β) Ποιο είναι το ποσοστό κέρδους του μεσίτη, για το σπίτι αυτό; Γνωρίζουμε ότι: Δύο ποσά που συνδέονται με ποσοστιαία σχέση, είναι ποσά ανάλογα. 1

(α) Για να βρεθεί η τιμή πώλησης του σπιτιού πρέπει ν αφαιρεθεί η έκπτωση που έγινε στην αρχική τιμή πώλησης. Δηλαδή: Θα υπολογίσουμε την αρχική τιμή πώλησης του σπιτιού. Στην τιμή κόστους θα έχουμε κέρδος 28%, δηλαδή ένα προϊόν με τιμή κόστους 100 πωλείται 128. Τότε, ο πίνακας αναλογίας θα είναι: Τιμή αγοράς 100 60.000 100 Δηλαδή: = 128 Τιμή πώλησης 128 y Επομένως, 100 y = 60.000 128 συνεπώς, y = 60.000 128. Άρα, y = 60.800 100 Θα υπολογίσουμε την τιμή πώλησης μετά την έκπτωση που έγινε. Στην τιμή πώλησης έγινε έκπτωση 1%, δηλαδή ένα προϊόν με τιμή πώλησης 100 πωλείται 8. Ας γράψουμε τον πίνακα αναλογίας: 100 8 Δηλαδή: = Αρχική τιμή πώλησης 100 60.800 Τιμή πώλησης με έκπτωση 1% 8 y Επομένως, 100 y = 8 60.800 συνεπώς, 8 60.800 100 60.000 y 60.800 y y = Άρα, y = 91.680. Ο πελάτης αγόρασε το σπίτι 91.680. (β) Για να υπολογίσουμε το ποσοστό κέρδους επί της τιμής αγοράς, πρέπει να ανάγουμε το κέρδος στα 100. Το κέρδος του εμπόρου είναι: 91.680 60.000 = 1.680 Έχουμε, λοιπόν, τον παρακάτω πίνακα αναλογίας: Τιμή αγοράς 60.000 100 Κέρδος 1.680 x 60.000 1.680 Δηλαδή: = 100 x Επομένως, 60.000 x = 1.680 100 συνεπώς, x = Άρα x = 8,8. Το ποσοστό κέρδους του εμπόρου είναι 8,8%. 1.680 100 60.000 2

8. Ένας ελαιοπαραγωγός χρησιμοποιεί δοχεία των 20 lt, 1 lt, 10 lt και lt, για να συσκευάσει το λάδι που παράγει. Η παραγωγή του είναι.600 lt. Θέλει να συσκευάσει την ίδια ποσότητα λαδιού σε κάθε μία από τις τέσσερις διαφορετικές συσκευασίες. (α) Πόσα δοχεία χρειάζεται από κάθε είδος; (β) Πόσο θα κοστίσει η συσκευασία της παραγωγής του αν στοιχίζει 0, το δοχείο των 20 lt, 0, το δοχείο των 1 lt, 0,2 το δοχείο των 10 lt και 0,1 το δοχείο των lt; (α) Ο παραγωγός θέλει να συσκευάσει την ίδια ποσότητα λαδιού σε διαφορετικά είδη δοχείων, άρα σε κάθε είδος δοχείου θα συσκευάσει το 1/ της παραγωγής του, δηλαδή (1/) 600 = 600/ = 900 lt για κάθε είδος δοχείων. Συνεπώς, θα ισχύει: x (Αριθμός Δοχείων) y (Χωρητικότητα) = 900 lt. Τότε, θα είναι: 900 x 900 20 για x = 20 lt, είναι: y = = = για x = 1 lt, είναι: y = = = 60 για x = 10 lt, είναι: y = = = 90 για x = lt, είναι: y = = = 180 Έτσι, θα έχουμε τον παρακάτω πίνακα και το αντίστοιχο διάγραμμα. x (χωρητικότητα) 20 1 10 y (αριθμός δοχείων) 60 90 180 1000 800 600 00 900 x 900 x 900 x 900 1 900 10 900 200 1 8 12 16 20 0 (β) Τα ποσά Αριθμών δοχείων και Κόστος συσκευασίας είναι ανάλογα. Έτσι σε κάθε είδος δοχείου θα έχουμε: Αριθμός δοχείων 1 Δοχεία 20 lt Κόστος δοχείων 0, ω Δηλαδή: ω = 0, άρα ω = 18

Αριθμός δοχείων 1 60 Δοχεία 1 lt Κόστος δοχείων 0, ω Δηλαδή: ω = 60 0, άρα ω = 18 Αριθμός δοχείων 1 90 Δοχεία 10 lt Κόστος δοχείων 0,2 ω Δηλαδή: ω = 90 0,2 άρα ω = 18 Αριθμός δοχείων 1 180 Δοχεία lt Κόστος δοχείων 0,1 ω Δηλαδή: ω = 180 0,1 άρα ω = 18 Έτσι, το συνολικό κόστος της συσκευασίας θα είναι το άθροισμα του κόστους των δοχείων και των τεσσάρων ειδών. Συνολικό κόστος = 18 + 18 + 18 +18 = 72

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ανακεφαλαίωση Ακέραιοι αριθμοί:...,-, -, -2, -1, 0, 1, 2,,,... Ρητοί αριθμοί: Φυσικοί, Κλάσματα, Δεκαδικοί (Θετικοί και Αρνητικοί) Oμόσημοι ρητοί αριθμοί: Έχουν το ίδιο πρόσημο Eτερόσημοι ρητοί αριθμοί: Έχουν αντίθετο πρόσημο Απόλυτη τιμή ρητού α : Εκφράζει την απόσταση σημείου με τετμημένη α από την αρχή O του άξονα των ρητών Αντίθετοι ρητοί αριθμοί: Οι ετερόσημοι με ίδια απόλυτη τιμή Αν α > ο, τότε α =α και αν α < ο, τότε α = -α Πράξεις μεταξύ ρητών αριθμών Πρόσθεση α, β > 0 α+β = +( α + β ) α, β < 0 α+β = -( α + β ) α < 0 < β α+β = -( α - β ) αν α > β α+β = +( β - α ) αν α < > β Ιδιότητες της πρόσθεσης: α+β = β+α (Αντιμεταθετική) α+(β+γ)=(α+β)+γ (Προσεταιριστική) α+0=0+α=α α+(-α)=(-α)+α=0 (α και -α, αντίθετοι) Αφαίρεση: α-β=α+(-β) Πολλαπλασιασμός α, β>0 ή α,β<0 (ομόσημοι) α β= α β α<0<β ή β<0<α (ετερόσημοι) α β=- α β Ιδιότητες του πολλαπλασιασμού: α β = β α (Αντιμεταθετική) α (β γ) = (α β) γ (Προσεταιριστική) α 1=1 α=α α 0=0 Διαίρεση: α : β = α/β = α 1/β

ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ Του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση: Του πολλαπλασιασμού ως προς την αφαίρεση: α (β + γ) = α β + α γ α (β-γ) = α β-α γ Προτεραιότητα Πράξεων Οι πράξεις μέσα στις παρενθέσεις προηγούνται και γίνονται με την παραπάνω σειρά ΔΥΝΑΜΕΙΣ Ορισμοί α ν = α α α... α (ν φορές) Το α λέγεται βάση και το ν εκθέτης α 0 = 1 και α1 = α Ιδιότητες των δυνάμεων α μ α ν = α μ+ν α μ :α ν = α μ-ν (αβ) ν = α ν β ν (α μ ) ν = α μν (όπου: α, β 0 και μ, ν φυσικοί αριθμοί) 6

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εκφραστούν με τη βοήθεια των θετικών και αρνητικών ρητών αριθμών: (α) 1,7 m κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας, (β) 20 Κέλσιου πάνω από το μηδέν, (γ) κέρδος.68,97, (δ) αύξηση κατά 2.27,1, (ε) μείωση κατά 0 μονάδες και (στ) έκπτωση 1% επί της τιμής. (α) -1,7 m, (β) +20, (γ) +.68,07, (δ) +2.21,1, (ε) -0, (στ) -1% 2. Στον άξονα των αριθμών να τοποθετηθούν οι αριθμοί:. Το σημείο Κ έχει τετμημένη -7. Να βρεθεί το σημείο Λ με αντίθετη τετμημένη. Πάνω σε άξονα x'ox βρίσκουμε το σημείο K με τετμημένη -7. Τότε το Λ έχει τετμημένη τον αριθμό +7.. Εάν η απόλυτη τιμή του αριθμού α είναι 2, να βρεθεί ο αριθμός α. Εφόσον α =2 τότε ο αριθμός α θα είναι, είτε το +2 είτε το -2, διότι +2 = 2 και -2 = 2. Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί -2 και +2, έχουν την ίδια απόλυτη τιμή αλλά αντίθετο πρόσημο. 7

. Σε μια πόλη παρατηρήθηκαν οι παρακάτω αυξομειώσεις της θερμοκρασίας: Αρχικές θερμοκρασίες Αυξομειώσεις θερμοκρασίας (α) Βράδυ +1 C την επόμενη μέρα αυξήθηκε κατά C (β) Μεσημέρι -1 C το βράδυ μειώθηκε κατά 2 C (γ) Βράδυ -2 C την επόμενη μέρα αυξήθηκε κατά C (δ) Μεσημέρι + C το βράδυ μειώθηκε κατά 7 C (ε) Μεσημέρι - C το βράδυ μειώθηκε κατά C Ποια ήταν η τελική θερμοκρασία σε κάθε περίπτωση; (α) (β) (γ) (δ) Την επομένη ημέρα η θερμοκρασία έχει αυξηθεί κατά C, δηλαδή έχει μεταβληθεί κατά + C. H θερμοκρασία θα είναι C πάνω από το μηδέν, διότι: (+1) + (+) = + Από -1 C η θερμοκρασία μειώθηκε κατά 2 C, άρα μεταβλήθηκε κατά -2 C. H νέα θερμοκρασία είναι - C, διότι έχουμε: (-1) + (-2) = - Στην περίπτωση αυτή η θερμοκρασία από -2 C, αυξήθηκε κατά C, δηλαδή έχουμε μια μεταβολή + C. Η θερμοκρασία έφτασε στους + C, διότι: (-2) + (+) = + Η αρχική θερμοκρασία ήταν + C και μειώθηκε κατά 7 C, δηλαδή έχουμε μια μεταβολή κατά -7 C. H θερμοκρασία έγινε, τελικά -2 C, διότι: (+) + (-7) = -2 (ε) Από C η θερμοκρασία μειώθηκε κατά C, δηλαδή μεταβλήθηκε κατά - C. Η θερμοκρασία έγινε τελικά 0 C, διότι: (+) + (-) = 0 8

6. Να υπολογιστούν τα παρακάτω αθροίσματα: (α) (+,6) + (+8,7) + (-,2) + (-6,9) + (+,2) + (-7,) και (β) (-1,8) + (+,8) + (+9,7) + (-,8) + (-,) + (+1,) (α) (χωρίζουμε τους αρνητικούς από τους θετικούς) (προσθέτουμε χωριστά τους αρνητικούς και τους θετικούς) (β) 7. Ένα βράδυ το θερμόμετρο στο μπαλκόνι ενός σπιτιού έδειχνε - C και μέσα στο σπίτι 18 C. Πόση ήταν η διαφορά θερμοκρασίας; To πρόβλημα ζητάει να υπολογίσουμε τη διαφορά των θερμοκρασιών, δηλαδή τη διαφορά (+18) - (-). Αν παρατηρήσουμε το σχήμα θα δούμε ότι η διαφορά θερμοκρασίας μεταξύ του εσωτερικού του σπιτιού και του εξωτερικού του ήταν +21 C. Σύμφωνα με τον ορισμό της αφαίρεσης ρητών θα έχουμε: (+18) - (-) = (+18) + (+) = (+21) 8. Ένας έμπορος χρωστάει στον προμηθευτή του 897,6 και του οφείλει ένας πελάτης 27,2. Πόσα πρέπει να έχει στο ταμείο για να ξεχρεώσει; Αν x είναι το ποσό των χρημάτων που χρειάζεται, θα είναι: x + (+27,2) = +807,6. Γνωρίζουμε ότι: x = (+807,6) - (+27,2). Σύμφωνα με τον κανόνα της αφαίρεσης ρητών, έχουμε ότι: x = (+807,6) + (-27,2). Άρα, x = +(807,6-27,2) ή x = +70,1 9. Να λυθούν οι εξισώσεις: (α) x + (+) = (-9), (β) (-8) - x = +7 (α) Αν είναι: x + (+) = (-9) τότε x = (-9) - (+) ή x = (-9) + (-) ή x = (-12). Δηλαδή, x = -12. 9

(β) Εφ' όσον (-8) - x = +7 θα ισχύει ότι: (-8) = (+7) + x και επίσης: x = (-8) - (+7) ή x = (-8) + (-7) δηλαδή x = -1. 10. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης: -1 - (0,8-11 - 1) + (0,8-11). Έχουμε: -1 - (0,8-11 - 1) + (0,8-11) = = -1-0,8 + 11 + 1 + 0,8-11 = = -1 + 1-0,8 + 0,8-11 + 11 = = 0 + 0 + 0 = 0 11. Να υπολογιστούν τα γινόμενα: (α)(-1,) = -(1, ) = -7 (β) (+2/) (-2,1) = - (,2/) = -1, (γ)(-10) (-0, 7) = +(10 0,7) = +7 12. Να υπολογιστεί το γινόμενο (-1)α, όταν το α παίρνει τις τιμές: 1. Να υπολογιστεί η τιμή των παραστάσεων: 1. Να υπολογιστούν τα πηλίκα: (α) (+1,) : (+) = +(1, : ) = +0, (β) (γ) (-0,) : (-0,1) = +(0, : 0,1) = + 1. Να λυθούν οι εξισώσεις: (α) -6x = -2, (β) -x = +1, (γ) x : (-2) = - 0

(α) -6x = -2 x= (-2):(-6) x= +(2:6) x = + (β) -x = +1 x= (+1):(-) x = -(1:) x = - (γ) -x:(-2) = - x=(-) (-2) x = +( 2) x = +6 16. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης: 17. Να γραφούν με κλασματική μορφή οι δεκαδικοί περιοδικοί αριθμοί: 18. Να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων: (α) -, (β) (-), (γ) -, (δ) (-). Τι παρατηρείτε; (α) Η παράσταση θα είναι: - - - = -27 (β) Επειδή ο εκθέτης είναι περιττός, η δύναμη θα είναι αρνητικός αριθμός. Άρα, θα είναι: (-) = (-) (-) (-) = - = -27 (γ) Η παράσταση θα είναι: - = - = -81 (δ) Επειδή ο εκθέτης είναι άρτιος, η δύναμη θα είναι θετικός αριθμός. Άρα, θα είναι: (-) = (-) (-) (-) (-) = + = +81 1

19. Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης: Π=(-2) - +(-2) :16+[-1-(-1) 7 8] Η σειρά των πράξεων είναι η εξής: 1ο Δυνάμεις, 2ο Πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις, ο Προσθέσεις και αφαιρέσεις. Αν υπάρχουν παρενθέσεις, προηγούνται οι πράξεις μέσα σ' αυτές με την ίδια σειρά. Άρα: Π=(-2) - +(-2) :16+[-1-(-1) 7 8] Π= (-8) -81+(+16):16+[-1+8] Π= -2-81+1+7 Π= -97 20. Να υπολογιστούν οι δυνάμεις: (α) (-2) -, (β) - -, (γ) (-267) 0. (α), (β), (γ) 21. Να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων: (α) [(-) ] 2 = (-) 2 - (-) 6 = 729 (β) : -2 = -(-2) - +2 = = 2 (γ) (-2) (-2) 6 = (-2) +6 = (-2) 10 = 102 (δ) 22. Να υπολογιστούν οι δυνάμεις: 10-1, 10-2, 10 -, 10 -, 10 -, 10-6, 10-7. 2

2. Να εκφραστεί με τυποποιημένη μορφή το βάρος ενός μορίου νερού, που είναι: 0,0000000000000000000000 gr. Για να εκφράσουμε το βάρος ενός μορίου νερού με την τυποποιημένη μορφή πρέπει να βρούμε εκείνη τη δύναμη του 10 που, όταν πολλαπλασιάσει ένα δεκαδικό αριθμό με ένα μόνο ακέραιο ψηφίο, δίνει ξανά το παραπάνω βάρος. Δηλαδή: Για να βρούμε τον κατάλληλο ακέραιο εκθέτη της δύναμης του 10 μετράμε τις δεκαδικές θέσεις μετά την υποδιαστολή. 2. Να εκφραστούν με τυποποιημένη μορφή οι αριθμοί: (α) 0,126789, (β) 0,000000098, (γ) 0,000008:1000000 (α) 0,126789 = 1,26789 10-1 (β) 0,000000098 =,98 10-8 (γ) 0,000008:1000000 = 0,000000000008 = 8 10-12