ntzekotasuna NTZEKOTSUN IRUI NTZEKOK NTZEKOTSUN- RRZOI NTZEKO IRUIK EGITE TLESEN TEOREM TRINGELUEN NTZEKOTSUN-IRIZPIEK LEHEN IRIZPIE $ = $' ; $ = $' IGRREN IRIZPIE a b c = = a' b' c' HIRUGRREN IRIZPIE $ = $' b c ; = b' c' TRINGELU NGELUZUZENEN NTZEKOTSUN KTETOREN TEOREM LTUERREN TEOREM ISTNTZIK KLKULTZE NTZEKOTSUN ZLERETN ET OLUMENETN 18
Enigmak Erabateko limurketa izan zen: lehen topaketak harritu zuen; bigarrenak interesa pentsaezinak diren mailetara handitu zuen, eta handik aurrera ezinegon itxaroten genion gutun bakoitzari, maitaleak izango bagina bezala; izan ere, limurtu gintuen. Horrela azaltzen zuen Robervalek Pierre de Fermaten eta Mersenneren taldearen arteko harremana. Monasterioko klaustrotik paseatzen zuten bitartean, Roberval eta Mersenne aita Pierre de Fermati buruz hitz egiten zuten. Hasieran, gutunean proposatzen zituen problemak irakurtzean, zoro bat besterik ez zela pentsatu genuen gogoratu zuen Robervalek barrez. Hala ere, haiek ebaztean bere galderei emandako erantzunek Matematikaren munduan bide berriak irekiko zituztela konturatu ginen. Gure Jainkoaren Parabolek kristau-ikasbidearen funtsa gorde dezaketen istorio arruntak erakusten dizkigute; bere galderekin Fermatek antzeko ikasbidea eman digu: galdera egokiak ordezko bideak irekitzen ditu ezagueraren bidean. Otoitz egiteko deia egiten zuen kanpai-hotsaren ondoren, bostekoa eman eta bisita bukatu zen. Fermaten azken enigma ebazteko hiru mende behar izan ziren eta hau dio: x n + y n = z n ekuazioak ez du ebazpen osorik baino handiagoa den ezein berretzailerako. Idatzi ekuazioa eta aurkitu ebazpena n = rako. n = bada, hau izango dugu: x n + y n = z n x + y = z Hortaz, edozein hirukote pitagorikoan ekuazio hau beteko da. Esaterako: x = 4 y = 3 z = 5 4 +3 = 5
ntzekotasuna RIKETK 001 rrazoitu ea antzekoak diren irudiko bi laukizuzenak. ntzekoak badira, kalkulatu antzekotasun-arrazoia. ntzekoak dira, angelu berdinak dituztelako eta aldeak proportzionalak direlako. ntzekotasun-arrazoia da. 00 Naiarak 1 eta 3 cm-ko aldea duten bi karratu marraztu ditu. ntzekoak al dira? Kalkulatu antzekotasun-arrazoia. Karratu guztiak antzekoak dira eta kasu honetan antzekotasun-arrazoia 3 da. 003 Marraztu 1 cm-ko erradioa duen zirkunferentziaren antzeko bi 1 irudi, antzekotasun-arrazoiak 3 eta dituztenak. 0,5 cm 1 cm 3 cm 004 Kalkatu irudia eta egin antzeko bi irudi, antzekotasun-arrazoiak 3 eta 0,5 direla. G E F G' ' F' ' ' ' E' 188
ERNTZUNK ' G' F' ' ' ' E' G F E 005 Osatu antzeko irudia. ' O E ' E' ' ' 00 Marraztu antzeko bi laukizuzen, arrazoia dela, eta O puntua, erpinetako bat. ' ' ' 007 Kalkulatu distantzia ezezagunak.,5 x = x = 3,375 cm 3 5, 55 =, t = 4, ) cm t,5 z = z =,79 cm 5,5,5,5 5,5,5 cm y,5 y = = y = 4,18 cm x 5,5 3, 375 cm 3 cm t F x 5,5 cm z y,5 cm 189
ntzekotasuna 008 Kalkulatu falta diren distantziak.,4 x = x = 4,8 cm 3 3,5 y ) = y =,3 cm 9 x,4 cm cm 3 cm y 3,5 cm 009 Erabili Talesen teorema, 4 cm-ko zuzenki bat hiru zati berdinetan banatzeko. 010 ztertu ea antzekoak diren beheko triangeluak. 18 m 1 m 14 m 0 m 1 m 18 m 14 m 7 m 0 m igarren antzekotasun-irizpidea erabiliz, lehen eta hirugarren triangeluak antzekoak direla ikusiko dugu, eta bere antzekotasun-arrazoia hau da: r = 1 8 = 1 = 7 = 1,5. 1 14 18 011 rrazoitu bi triangeluren antzekotasuna, baldin: a) ldeak, 4 eta 5 cm eta 3, eta 9 cm luze badira, hurrenez hurren. b) Triangelu angeluzuzen isoszeleak badira. a) igarren irizpideari jarraiki antzekoak dira, aldeak proportzionalak direlako. b) Lehen irizpideari jarraiki antzekoak dira, angelu berdinak dituztelako. 01 Zein baldintza dira beharrezkoak bi triangelu isoszele antzekoak izan daitezen? Eta bi triangelu aldeberdin balira? i triangelu isoszele antzekoak dira bi alde berdinez osatutako angelu bera badute. Triangelu aldeberdinak beti dira antzekoak, angelu berdinak dituztelako. 190
ERNTZUNK 013 Triangelu angeluzuzen baten hipotenusa 10 cm-koa da, eta kateto bat, 4 cmkoa; beste baten hipotenusa 0 cm-koa da, eta kateto bat, 8 cm-koa. ntzeko triangeluak al dira? Lehen triangeluaren beste katetoaren neurria: c = igarren triangeluaren beste katetoaren neurria: 100 1 = 84 cm c' = 400 4 = 33 = 84 cm eraz, aldeak proportzionalak dira, eta bigarren irizpidea aplikatuz triangeluak antzekoak dira. 014 Marraztu triangelu angeluzuzen bat koadernoan eta egin antzeko hiru triangelu. " ' "' ' ' " " "' "' 015 Kalkulatu a, b eta h. cm a h b 8 cm Hipotenusa = 4 + 3 = 10 cm 8 b = 10 8 b =,4 cm a = 10 a = 3, cm,4 h = h = 3,04 h = 4,8 cm h 3, 01 Kalkulatu beheko triangelu angeluzuzenaren hipotenusaren luzera eta hipotenusaren gaineko altuera. 1 cm 0 cmh n a m Hipotenusa = 400 + 441 = 9 cm 0 n = n = 13,79 cm 9 0 1 m = m = 15,1 cm 9 1 h = 13,79 15,1 h = 14,48cm 191
ntzekotasuna 017 Kalkulatu hipotenusa eta hipotenusaren gaineko altuera 5 eta 1 cm-ko katetoak dituen triangelu angeluzuzen batean. Hipotenusa = 144 + 5 = 13 cm 5 n = 13 5 n = 1,9 cm 1 m = 13 1 m = 11,08 cm h = 1,9 11,08 h = 4,1 cm 018 Kalkulatu 1 cm-ko hipotenusa duen triangelu angeluzuzen isoszelearen altuera, perimetroa eta azalera. l 1 cm l 1 5 = l + l l = l = 18 = 11,31 cm ltuera = l = 11,31 cm Perimetroa = l + 1 = 38, cm b h 18 18 zalera = = = 4 cm 019 eta E triangeluak antzekoak dira. E m 13 m 50 m a) Idatzi triangeluek betetzen dute antzekotasun-erlazioa. b) Kalkulatu dorrearen altuera. a) ntzekotasun-arrazoia hau da: = 50 50 13 = 1,351 h 50 b) = h = = 8,1 m 50 50 13 37 19
ERNTZUNK 00 Putzu batetik 3 m-ra dagoen haur batek dorre baten gaineko zikoina-habia baten isla ikusten du putzuan. Haurra 1,50 m altu da, eta putzutik dorrera 50 m daude. Zer altueratan dago habia? orrearen altuerari h esaten diogu, eta triangeluen antzekotasun-arrazoiak aplikatuz hau lortuko dugu: h 50 50 1,5 = h = = 5 m 1,5 3 3 01 Zer distantzia dago buiatik hondartzara? h 85 m 0 cm 15 cm 85 0, = h 015, 85 0, 15 h = = 3,75 m 0, 0 Futbol-zelai baten neurriak 70 eta 100 m dira, hurrenez hurren. Zer azalera du 1:75 eskalan egindako mahai-futbol batek? ntzekotasun-arrazoia hau da: r = 1. 75 = r = 1 7.000 erreala 70 100 = 75 75 = 1,44 m 03 Silo baten bolumena 45.000 m 3 -koa bada, zer bolumen du 1:40 eskalan egindako maketak? 1 ntzekotasun-arrazoia hau da: r = = 0,05; eskala 1:40 delako. 40 V = r 3 V erreala = (0,05) 3 45.000 = 0,0000155 45.000 = 0,70315 m 3 04 ndoniri belaontzi baten maketa bat oparitu diote, 1:100 eskalan egina. a) enetako belaontziak 3.71 tona ur desplazatzen baditu, zenbat ur desplazatuko du maketak? b) enetako belaontziaren belen azalera 3.153 m -koa bada, zer azalera dute maketaren belek? 1 ntzekotasun-arrazoia hau da: r = = 0,01. 100 a) V = r 3 V erreala = (0,01) 3 3.71 = 0,000001 3.71 = 0,00371 tona Maketaren itsasontziak 3.71 kg ur desplazatzen ditu. b) = r erreala = (0,01) 3.153 = 0,0001 3.153 = 0,3153 m 193
ntzekotasuna RIKETK 05 dierazi zein poligono diren elkarren antzekoak, eta kalkulatu antzekotasun-arrazoia. ntzekoak a), b) eta e) poligonoak dira. a) eta b) atalekoen antzekotasun-arrazoia da, eta a) eta e) atalekoena 3. a b c d e 0 E eta ''''E' pentagonoak antzekoak dira, eta antzekotasun-arrazoia r = 5 da. E' a) Zer luzera du '' zuzenkiak? b) Zer anplitude du E' angeluak? c) Kalkulatu -ren luzera. ' E 3,5 cm 5,4 cm ' 5 a) ' ' = = cm ' b) E'-ren eta E-ren anplitudea bera da: 5. c) = = 1,3 cm 5 ' ' ' 07 Kalkulatu 5, eta 8 cm-ko aldeak dituen triangeluaren antzeko baten aldeen luzerak, antzekotasun-arrazoia r = 1, bada. ldeak, 9, eta 1,8 cm luze izango dira. 08 EGIN HONEL NOL KLKULTZEN IR ESTE TEN NTZEKO EN POLIGONO TEN LEK, PERIMETRO SOILIK JKINIK? Kalkulatu pentagono baten aldeak, perimetroa 180 cm-koa bada, eta 4, 5, 7, 9 eta 11 cm-ko aldeak dituen pentagonoaren antzekoa bada. LEHEN. ntzekotasun-arrazoia kalkulatu behar da, perimetroen arteko zatiketa eginez. P = 180 cm P' = 4 + 5 + 7 + 9 + 11 = 3 cm P 180 P = r P' r = = = 5 P' 3 IGRREN. ldeen luzera kalkulatzeko, beste pentagonoaren alde ezagun bakoitza antzekotasun-arrazoiaz biderkatu behar da. a = 5 4 = 0 cm c = 5 7 = 35 cm e = 5 11 = 55 cm b = 5 5 = 5 cm d = 5 9 = 45 cm 194
ERNTZUNK 09 Triangelu baten aldeak a = 7 cm, b = 8 cm eta c = 10 cm dira. Kalkulatu zer luzera duten 15 cm-ko perimetroa duen antzeko triangelu baten aldeek. m, n eta s triangeluaren aldeak badira eta r, antzekotasun-arrazoia, hau egiaztatzen da: m = 7r n = 8r s = 10r Kontuan hartzen badugu triangelu berriaren perimetroa 15 cm dela: m + n + s = 15 7r + 8r + 10r = 15 5r = 15 r = 5 Triangelu antzekoaren aldeen luzera hau izango da: m = 35 cm n = 40 cm s = 50 cm 030 Marraztu aldeak proportzionalak dituzten arren antzekoak ez diren bi poligono. ngelu zuzenak ez dituzten karratu eta erronbo bat marraztu behar dira. Horrela, aldeak proportzionalak izango dira, berdinak direlako, baina poligonoak ez dira antzekoak izango. 031 i laukik alde berdinak badituzte, antzekoak al dira? Eman adibide bat. Ez dira derrigorrez antzekoak izan behar, bi laukizuzenek angeluak berdinak dituztelako, baina aldeek ez dute zertan proportzionalak izan. 03 rrazoitu zuzenak ala okerrak diren esaldiak. a) Karratu guztiak antzekoak dira b) Erronbo guztiak antzekoak dira. c) Hexagono erregular guztiak antzekoak dira. a) Zuzena. ngelu guztiak zuzenak dira eta aldeak proportzionalak dira. b) Okerra. ngelu berdinak ez dituzten erronboak daude. c) Zuzena. Hexagono erregular guztiak antzekoak dira, angelu berdinak eta alde proportzionalak dituztelako 033 ntzeko hiru lauki ditugu:, eta. -ren antzekotasun-arrazoia -rekiko, da, eta -rena -rekiko, 0,8. Kalkulatu: a) -ren antzekotasun-arrazoia -rekiko. b) -ren antzekotasun-arrazoia -rekiko. a) 1 5 r = =, 13 0,8 b) r = = 4, 13 195
ntzekotasuna 034 poligonoaren antzekotasun-arrazoia poligonoarekiko r = 1,5 da; hori jakinik, adierazi zuzenak ala okerrak diren esaldiak. a) poligonoa baino handiagoa da, neurriz. b) poligonoaren alde bakoitza poligonoaren alde bakoitza baino 1,5 cm luzeagoa da. c) poligonoaren angeluak poligonoarenak baino 1,5 aldiz handiagoak dira. d) poligonoaren aldeak 1,5ez biderkatuta poligonoaren aldeen berdinak dira. a) Okerra b) Okerra c) Okerra d) Zuzena 035 Egin triangeluaren antzeko bat, O puntua erabiliz eta antzekotasunarrazoia r = dela. ' ' O ' 03 Marraztu lauki bat koadernoan eta aukeratu kanpoko puntu bat:o. Marraztu antzekotasun-arrazoi hauek dituzten irudiak: a) r = b) r = 0,5 a) " b) " ' ' O " " ' ' 037 Marraztu pentagono bat koadernoan eta aukeratu erpin bat, antzekotasun-arrazoi hauek dituzten antzeko pentagonoak egiteko: a) r = 3,5 b) r = 0,5 a) ' b) ' ' ' E E' ' E' ' E 19
ERNTZUNK 038 Marraztu trapezoide bat. Hartu barruko puntu bat eta egin antzeko bi trapezoide, antzekotasun-arrazoiak hauek direla: a) r = 0,4 b) r = 1, a) b) ' ' ' ' ' ' ' ' 039 Eman antzeko bi irudiren adibideak, antzekotasun-arrazoiak hauek direla: a) 0 < r < 1 b) r > 1 a) dibidez, 4 cm-ko aldea duen karratu bat, eta cm-ko aldea duen beste karratu bat. b) dibidez, 3 cm-ko aldea duen triangelu aldeberdin bat, eta 5 cm-ko aldea duen beste triangelu aldeberdin bat. 040 Kalkulatu luzera ezezagunak. a) b) 3 y 1,4 3, y x x 3 1 a) 3 x = 3 x = 4,5 cm 3 y = 1 y = 1,5 cm x b) = x = 4,57 cm 1,4 3, 1,4 y = y = 4, cm 041 Zer luzera du -k? Kalkula al daiteke E? E 10 cm 4 cm 1 cm 1 = = 4,8 cm 10 4 E -ren neurria ezin da kalkulatu, zenbait datu falta direlako; esaterako, -ren balioa. 197
ntzekotasuna 04 EGIN HONEL NOL NTZEN ZUZENKI T ZTI ERINETN? anatu 4 cm luze den zuzenki bat hiru zati berdinetan. LEHEN. Zuzenkiaren zuzen ukitzaile bat marraztu behar da mutur batean. IGRREN. Hiru zuzenki berdin markatu behar dira zuzenean, elkarren ondoan, eta zuzen baten bidez, azken marka eta zuzenkiaren muturra elkartu behar dira. HIRUGRREN.Zuzen horren zuzen paraleloak marraztu behar dira, marketatik igarotzen direnak. zuzenkia hiru zati berdinetan banatuta geratu da, Talesen teoremaren bidez. 043 044 anatu grafikoki zuzenki bat bost zati berdinetan, eta azaldu nola egin duzun. Zuzen ebakitzaile bat marrazten da -n. Ondoz ondokoak eta berdinak diren bost zuzenki markatzen dira. zken marka zuzenkiaren muturrarekin lotu eta paraleloak marraztuko ditugu. dierazi zenbaki arrazional hauek zehatz-mehatz zuzen errealean. a) 3 4 b) 5 c) 7 8 a) b) c) 0 1 3 4 0 5 1 0 7 8 1 045 Talesen teorema aplikatuz, banatu zuzenki bat bi zatitan, bata bestea halako bi dela. Horren baliokidea da zuzenkia rekiko eta 1ekiko proportzionalak diren bi zatitan banatzea. Muturretako batetik igarotzen den zuzen ebakitzaile bat marraztu eta haietako batean 1-i dagokion neurri bat markatuko dugu. estalde, aurrekoaren bikoitza den eta -ri dagokion beste neurri bat markatuko dugu. zken marka zuzenkiaren beste muturrarekin lotu eta beste markatik igarotzen den paralelo bat marraztuko dugu. Marraztu ditugun zuzenak zuzenkia bi zatitan banatzen dute, eta bata bestearen bikoitza izango da. 1 198
3 cm ERNTZUNK 04 Talesen teorema erabiliz, banatu zuzenki bat 3, 4, eta 1ekiko zati proportzionaletan. 1 3 4 047 dierazi ea antzekoak diren triangelu hauek. a) 105 15 cm 40 48 cm 7 cm 8,4 cm b) 35 cm 4cm 9cm cm 5cm 7,5 cm a) ntzekoak dira, 40º-koaren berdina den angelu bat dutelako eta alboko bi 48 aldeak proportzionalak direlako: 15 = 8,4 7 9 b) ntzekoak dira aldeak proportzionalak dituztelako: = = 7,5 4 5 048 triangeluan PQ marraztu dugu, -ren paraleloa. Kalkulatu. Kalkula al daiteke? 4 cm P 7 cm Q Talesen teorema aplikatuz kalkulatu daiteke: P 4 4 3 = = = = 100,8 cm Q 15 3 15 Ezin da kalkulatu zuzenkia datuak falta direlako. 199
ntzekotasuna 049 Triangelu baten aldeen luzerak a, b eta c badira, adierazi alde hauek dituzten triangeluen antzekoa den ala ez: a) 3a, 3b eta 3c b) a + 3, b + 3 eta c + 3 c) a, b eta c 3 3 3 3a 3b 3c a) = = ntzekoak dira. a b c a + 3 b + 3 c + 3 b) Ez dira antzekoak. a b c a b c 3 3 3 c) = = ntzekoak dira. a b c 050 Triangelu baten oinarria eta altuera beste batenaren hirukoitzak dira. zaldu zergatik gerta daitekeen bi triangeluak antzekoak ez izatea, eta marraztu adibide bat. Oinarri eta altuera jakin batzuekin infinitu triangelu datu datu horietan, eta angelu desberdinak dituzte. 051 iagonal batek bi triangelutan banatzen du paralelogramo bat. ntzekoak al dira? igarren antzekotasun-irizpidea aplikatuz, antzekoak direla egiaztatu daiteke. 05 i triangelu angeluzuzenek kateto bat berdina badute, antzekoak al dira? Ez dira. Kateto berdina badute ere ez da mantentzen aldeen proportzionaltasuna, kateto berdinen arteko arrazoia 1 delako eta berdinak ez diren katetoen artekoa 1en desberdina izan daitekeelako. 053 Zehaztu, 7 eta cm-ko aldeak dituen triangeluaren antzekoak diren eta 1 cm-ko perimetroa duten triangelu guztiak. cm cm 1 cm-ko perimetroa duen triangelu baten aldeak x, y, eta z badira, eta antzekotasun-arrazoia r bada. 7 cm igarren antzekotasun-arrazoia erabiliz, hau dugu: x = r x y z = = = r y = 7r r + 7r + r = 1 15r = 1 7 z = r 1 r = r = 0,8 cm 15 Hortaz, neurriak hauek izango dira: x = 1, cm; y = 5, cm eta z = 4,8 cm. 00
ERNTZUNK 054 Marraztu triangelu aldeberdin bat, adierazi alde guztietako erdiko puntuak, eta elkartu zuzenen bidez. Lortutako irudiak lau triangelu ditu. a) ntzekoak al dira lau triangelu hauek jatorrizko triangeluarekiko? b) Eta lau triangelu hauek antzekoak al dira? c) Kalkulatu triangeluen antzekotasun-arrazoia kasu bakoitzean. a) ntzekoak dira, lau triangeluak aldeberdinak direlako. b) ntzekoak dira, lau triangeluak aldeberdinak direlako. c) Jatorrizko triangeluaren eta triangelu berrien arteko arrazoia 0,5 da; eta triangelu berrien arteko arrazoia 1 da. 055 Kalkulatu triangelu angeluzuzenetan falta diren balioak. a) c) 45 cm n 8 cm m h a c m 0 cm b) d) c h b a 4 cm 10 cm h n 1 cm cm a n cm c a) a = 8 + 45 = 53 cm m = 8 53 = 14,79 cm n = 45 53 = 38,1 cm h = 14,79 38,1 = 3,77 cm b) h = 4 = 4,9 cm c = + 4,9 = 7,75 cm b = 4 + 4,9 =,3 cm a = + 4 = 10 cm c) c = 0 1 = 1 cm m = 1 0 = 1,8 cm n = 1 0 = 7, cm h = 1,8 7, = 9, cm d) h 10,45 cm = ( ) =,45 n = = 3cm a = 3+ = 5cm c = 5 ( 10 ) = 3,87 cm 01
ntzekotasuna 05 Kalkulatu x bi triangeluetan. a) b) 10 cm x 4 cm 5 cm x 1 cm a) h = 10 5 = 8, cm 8, x = = 15 cm 5 b) h = 1 4 = cm x = + 1 =,4 cm 057 Triangelu angeluzuzen isoszele batean, hipotenusaren gaineko altuera hipotenusaren erdia da. Zergatik? a Hipotenusa a bada, bi proiekzioak luze izango dira. a a a a h = = = 4 058 Zer luzera du zirkunferentziaren erradioak? n = 0 = 17,08 cm m = =,11 cm 17,08 r = m + n = 17,08 +,11 = 19,19 cm 19,19 r = = 9, cm 0 cm r 0 cm n cm h m 059 00 Zer luzera du 15 m-ko altuera duen zuhaitz baten itzalak, jakinik 8 m luze den beste zuhaitz baten itzala une horretan 10 m-koa dela? 15 x = x = 18,75 m 8 10 Zuhaitzaren itzala 18,75 m altu da. ntena bati bi kablek eusten diote, elkarrekin 90 -ko angelua osatzen dutela, eta 8 eta 5 m luze dira, hurrenez hurren. Zer altueratan daude antenari lotuta? a = 8 + 5 = 9,43 m 8 m = =,78 m 9,43 h = 8,78 = 4,5m Kableak 4,5 metrotara daude lotuta. 0
ERNTZUNK 01 Zer puntutan jo behar du bola zuriak banda, errebotez bola gorria jo dezan? 0 cm m n 40 cm m + n = 90 dugu. olari efekturik gabe ematean, $ = $ izango da; beraz, triangeluak antzekoak dira. 40 0 = n m 40m = 0n n = m alioa lehen ekuazioan ordezkatzen badugu, hau izango dugu: Hots, m = 30 cm eta n = 0 cm. 90 cm m + n = 90 m + m = 90 3m = 90 m = 30 0 Kalkulatu non jo behar duen bola gorriak banda, errebotez bola zuria jo dezan. 5 cm m n 0 cm ola zuriari jo behar badiogu, errebotez bola gorria jo dezan, bandako zer puntutan jo beharko genuke? m + n = 70 denez, orduan: 0 5 5 = 0m = 5n m = n n m 1 m + n = 70 5 m = n 1 70 cm 5 17 70 1 m + n = 70 n + n = 70 n = 70 n = = 49,4 cm 1 1 17 Hots, m = 0, cm eta n = 49,4 cm. 03
ntzekotasuna 03 EGIN HONEL NOL KLKULTZEN IR ISTNTZIK, MRGOLRIREN METOO ERILIZ? Kalkulatu zuhaitzaren altuera. F 5 cm 30 cm 18 m LEHEN. Talesen kokapenean dauden bi triangelu osatu eta proportzioa idatzi behar da. 5 cm 30 cm 18 m 0,5 0,3 = h 18 IGRREN. Lortutako ekuazioa ebatzi behar da. 0,5 0,3 0,5 18 = h = h 18 0,3 = 15 m 04 Kalkulatu eraikinaren altuera. Pintzela cm luze da eta begitik 40 cm-ra dago. 40 cm cm F F 18 cm h 170 cm 50 m 0,4 50 h = 0, = h 0, 50 0,4 = 7,5 m 04
ERNTZUNK 05 Erreparatu bi poliedroei eta erantzun. a) ntzekoak al dira? Zenbatekoa da ertzen arteko arrazoia? b) Eta aurpegien azaleren arrazoia? c) Zenbatekoa da bolumenen arteko arrazoia? a) i irudiak antzekoak dira, angeluak berdinak eta aldeak proportzionalak dituztelako. b) Ertzen arrazoia r = da. c) urpegien azaleren antzekotasun-arrazoia = 4 da. d) olumenen arrazoia 3 = 8 da. 0 07 Estatua batek 10 m-ko altuera eta 00 kg-ko pisua ditu. Zer pisu izango du material beraz egindako cm-ko altuerako erreprodukzioak? 0, Luzeren arteko arrazoia hau da: r = = 0,0. 10 olumenak bezala, pisuak arrazoi hau izango du: r' = (0,0) 3 ; beraz, kopiaren pisua hau izango da: 00 (0,0) 3 = 0,00 kg = g. eirazko esfera baten erradioa 4 cm-koa da, eta beirazko puxtarri baten diametroa, 1 cm-ekoa. Kalkulatu bolumenen arteko arrazoia. 4 cm-ko erradioa duen esferaren bolumena hau da: V 1 cm-ko diametroa duen puxtarriaren bolumena (r = 0,5 cm) hau da: V 1 4 3 4 3 5 = πr = π 4 = π cm 3 3 3 3 4 3 4 3 1 = πr = π 05, = π cm 3 3 3 i irudi geometriko antzekoren bolumenen arrazoia antzekotasun-arrazoiaren kuboaren berdina denez: 5 π 3 3 V1 V1 = r V r = = 3 = 51 V 1 π 3 rrazoia hau da: r = 51 = 8. i irudi geometriko antzekoren bolumenen arrazoia antzekotasun-arrazoiaren kuboaren berdina denez: 4 0,5 = 8 05
ntzekotasuna 08 Eskubaloiko baloi baten diametroa teniseko pilota batenaren bikoitza da. Zer lotura dago bien bolumenen artean? Tenis-pilota baten erradioa r bada, r, eskubaloiko pilotaren erradioa izango da. 4 3 V1 = πr 3 4 3 3 3 V = π ( r) = πr 3 3 i irudi geometriko antzekoren bolumenen arrazoia antzekotasun-arrazoiaren kuboaren berdina denez, r': 4 3 πr 3 V1 V r V r 3 4 1 = ' ' = = = = V 3 3 πr 3 3 Hots, bolumenen arteko arrazoia r' = 0,15 izango da. 1 8 09 Negutegi batean, beiradun azalera 70 m -koa da. Zer beira kantitate behar da negutegiaren maketa bat egiteko 1: 0 eskalan? 1 ntzekotasun-arrazoia hau da: r = = 0,05. 0 Hortaz, maketaren beirazko azalera hau da: = r erreala = (0,05) 70 = 0,75 m 070 Miniatura armairu bat egin nahi dugu, 180 110 45 cm-ko neurriak dituen beste baten antzekoa. Miniaturaren altuera 13,5 cm-koa izatea nahi badugu, kalkulatu: a) Miniatura-armairuaren zabalera eta sakonera. b) olumenen arteko antzekotasun-arrazoia. c) lboko azaleren arteko antzekotasun-arrazoia. a) Ertzen antzekotasun-arrazoia hau da: 13,5 r = = 0,075 180 Zabalera = 110 0,075 = 8,5 cm Sakontasuna = 48 0,075 = 3, cm b) olumenen antzekotasun-arrazoia hau da: r' = r 3 = (0,075) 3 = 0,00041875 c) lboko azaleren antzekotasun-arrazoia hau da: r" = r = (0,075) = 0,0055 0
ERNTZUNK 071 07 Frogatu eta zutabeen arteko distantziak ez duela eraginik h altuera kalkulatzeko. Zenbatekoa da altuera? n = m m + n m n = = + h m h m m n m = 1 + h h + = h h = + h-ren balioa eta -ren luzeraren araberakoa da bakarrik. Kalkulatu MN zuzenkiaren luzera, jakinik M eta N diagonalen erdiko puntuak direla. 8 cm M O N 30 cm O 8 + 1 O 8 O O 38 38 O 30 = + 1= + 1 + = = = O 30 O 30 O O 30 O 30 38 O 30 + 1 O 30 O = + 1= + 1 O 38 38 O 8 + = = = O 8 O 8 O O 8 O 8 38 O OM OM + O = OM = O = 1 8 11 = = 38 38 O 30 O O = = 38 30 30 30 = = = MN = 11 cm OM OM 11 11 OM MN 11 MN 38 073 Ondorioztatu Pitagorasen teorema, katetoaren teorema soilik erabiliz. Froga al daiteke altueraren teorema soilik erabiliz? Katetoaren teoremaren bidez: c = m a c + b = m a + n a b = n a c a= m+ n + b = ( m + n) a c + b = a ltueraren teoremarekin bakarrik ezin da egiaztatu, katetorik ez dagoelako, eta katetoaren teorema ere aplikatu beharko genuke. 07
ntzekotasuna EGUNEROKON 074 ntena bat jarri dute etxebizitza-eraikin batetik hurbil. uzotarren elkarteak uste du sarbide mugatuko gunea ez dela nahikoa segurtasuna bermatzeko. Zenbait auzokotarrek diotenez antena eroriko balitz eraikinari eragingo lioke. Eraikinaren eta segurtasuneremua mugatzen duen hesiaren arteko distantzia 38 metrokoa da, hesitik antenara dagoen distantziaren bikoitza, gutxi gorabehera. orrearen itzalak segurtasuneremua gainditzen du eta 40 metro luze da; une horretan bertan, segurtasun-eremua mugatzen duten metro bateko zutoinen itzala 80 zentimetro luze da. Udalaren txostenak dio ez dagoela arriskurik. Zuzena al da informazio hori? h 1 7 + 40 = 11 m 80 cm h 11 = h = 145 m 1 0,8 ntena 145 m altu da. Eta antenatik eraikinera dagoen distantzia hau da: 7 + 38 = 114 m. eraz, antena eroriko balitz kalteak egingo lizkioke eraikinari, distantzia antenaren altuera baino txikiagoa delako. Udalaren txostenaren ondorioa ez da zuzena. 08
ERNTZUNK 075 Gema eta Manu bikiak dira. Urtebetetze-egunean, walkie-talkie batzuk oparitu dizkiete. lcance 10 km Ez dute une bakar batez ere uzten oparia. Liburutegira joan behar dut liburu batzuk itzultzera. Saskibaloi-partida bat jokatu behar dut nik. Nor bere aldetik doa 10º-ko angelua osatzen duten bi kaletatik, eta walkietalkieak daramatzate. iak 5km/h-ko abiaduran badoaz, zenbat denboraz jasoko dute seinalea? 5x 10 E x ibiltzen diren denbora bada, bakoitzak egindako distantzia 5x izango da. x eta E triangeluak antzekoak dira; beraz: E = 5. 5x E = = Pitagorasen teorema aplikatzen badugu. 5x 5x 75 + = + = 5x = 5x = 4 4 4 75 5 3 = x = x = 433, x = 5 3 x = 8, x 4 10 8,x = 10 x = = 1,1547 = 1 h 9 min 17 s 8, 1h 9 min 17 s igaro eta gero komunikatzeari utziko diote; hots, distantzia hau egin eta gero: 5 1,1547 = 5,773 km. d x 09