5. STRUCTURI DE FILTRE UERICE 5. Structur pentru ltre cu răspuns nnt la mpuls B Fe uncţa de transer: ( ) A ( + a ) Vom nota cu x( ş y( secvenţele de la ntrarea ş eşrea ltrulu. Reultă: Y X( ) Z{ x( n )}, Y( ) Z{ y( n )}, ( ). X În domenul tmp, ltrul poate caracterat prn ecuaţa cu derenţe nte: yn xn ( ) ayn ( ) 5.. Forma drectă 5.. Forma drectă Vom scre relaţa ntrare-eşre su orma: B Y X X A Y W X Reultă ecuaţle cu derenţe nte W + a x ( x ( n ) x ( n ) wn xn ( ) y( nwn- ) ay ( n ) w n y (n ) a a y ( n ) y ( n ) wn xn ( ) y( nwn- ) ay ( n ) Aceste ecuaţ corespund scheme 3 x ( n ) a y ( n ) 4
5.. Forma drectă De exemplu, în caul, se oţne schema: x ( y ( a ` a O sere de nodur au ost uncate, aceasta neavând alt eect decât smplcarea desenulu. Se poate verca uşor că uncţa de transer este: + + 5.. Forma drectă Regula lu ason. PΔ Δ L + LL j LL jl + Δ, j, j, L reprentă transmtanţa ucle a graulu, prma sumă se reeră la toate uclele graulu, a doua la perechle de ucle neadacente, a trea la grupurle de câte tre ucle neadacente ş aşa ma departe. P reprentă transmtanţa că de la nodul sursă la nodul de eşre, suma de la numărător nd eectuată pentru toate aceste că. În ne, Δ se oţne dn Δ elmnând termen ce corespund unor ucle adacente că. + a + a 5 6 5.. Forma drectă x ( y ( a ` a Graul are două ucle smple adacente, cu transmtanţele: L a ; L a dec Δ + a + a ş tre că smple între ntrare ş eşre, ecare cale nd adacentă tuturor uclelor graulu P ; Δ ; + + P ; Δ ; P ; Δ ; 3 3 PΔ Δ + + Δ L LL j LL jl, j, j, 5.. Forma drectă În general, complextatea scheme poate caracterată prn: + elemente de întârere; ++ multplcatoare; + sumatoare. În caul une realăr aate pe o untate artmetcă uncă, reultă că vor necesare ++ cclur de procesate pentru calculul ecăru eşanton. Acest număr de operaţ treue executate pe durata une peroade de eşantonare. + a + a 7 8
5.. Forma drectă Relaţa ntrare-eşre poate exprmată su orma: W X + a Reultă ecuaţle cu derenţe nte: wn xn - awn ( ) Y W yn wn ( ) 5.. Forma drectă wn xn - awn ( ) x ( w ( y ( a a w ( n ) w ( n ) yn wn ( ) y ( n ) y( n ) y( n ) a w( n ) 9 y( n ) 5.. Forma drectă Se oservă că o parte dn eşantoanele w(n-) sunt stocate în două locur derte. Uncând nodurle respectve, reultă o reducere a numărulu celulelor de întârere: x ( a a a y ( 5.. Forma drectă Complextatea artmetcă a scheme este de: max{,} crcute de întârere; ++ crcute de înmulţre; + crcute de însumare. Se constată o reducere a numărulu de crcute de întârere, dec a memore necesare. Acest lucru este explcal prn aceea că sngurele eşantoane ce treue memorate sunt w(n-). Datortă eectelor ce reultă dn repreentarea semnalelor cu un număr nt de ţ, ormele drecte ş se olosesc de oce numa pentru ordne mc (unu sau do).
5..3. Realarea în cascadă Funcţa de transer poate actorată su orma: P P l, + l, + l, ( ) l + a + a l l, l, l Reultă o realare în cascadă: x ( y ( y ( y P ( y( () Fecare dn ltrele componente, având o uncţe de transer de ordnul, poate realată în una dn ormele drecte sau. P 3 5..3. Realarea în cascadă Presupunând că se oloseşte orma drectă, ecuaţle cu derenţe nte vor : w( x( a,w( a,w( n) y(,w( +,w( n ) +,w( n) w( y( a,w( a,w( n) y(,w( +,w( n ) +,w( n) wp( yp ( ap, wp( ap,wp( n) y( yp( P, wp( + P, wp( n ) + P,wP( n) ărmle ce treue memorate sunt w l (n-) ş w l (n-), l,...,p. 4 5..3. Realarea în cascadă 5..4. Realarea în paralel Dacă se doreşte realarea une recvenţe de lucru rdcate ş se dspune de P untăţ artmetce, se pot ntercala regstre de memore între celule, reultând o structură de tp ppe-lne. Cele P celule vor lucra smultan, prma calculând y (, a doua y (n-), ultma y(n P+) y P (n P+). Reultă o întârere suplmentară de P tacte, dar numărul de operaţ eectuate de ecare untate artmetcă pe durata une peroade de eşantonare este de numa 4 adunăr ş 5 multplcăr, reultând posltatea uncţonăr cu o recvenţă de eşantonare ma rdcată, pentru aceaş recvenţă de tact. 5 În acest ca se porneşte de la descompunerea în racţ smple a uncţe (). Presupunând a, R, racţle smple (cu numtor de gradul ) au în general coecenţ complecş. Grupând însă racţle corespunătoare perechlor de pol complex conjugaţ, reultă uncţle l () de gradul, cu coecenţ real, a l,, l, R P + P C C l + a + a l, l, + + l l, l, l 6
5..4. Realarea în paralel 5..4. Realarea în paralel x( ( ) () p C y ( y ( ( y p y ( Dacă ecare celulă este realată în orma drecta, ecuaţle cu derenţe nte sunt: w( x( a w( a w( n),, y ( w( + w(,, w ( x( a w ( a w ( n),, y ( w ( + w (,, w ( x( a w ( a w ( n) p p, p p, p y ( w ( + w ( p p, p p, p yn Cxn + y( +... + y( p 7 8 5..4. Realarea în paralel Dacă se utleaă o sngură untate artmetcă, succesunea operaţlor este cea preentată înante. Dacă exstă ma multe untăţ artmetce, acestea vor putea lucra în paralel, ecăre untăţ revenndu- 3 adunăr ş 4 multplcăr. Rămâne însă de realat suma nală, care poate ăcută numa după ce s-au calculat toate valorle y(. 5..5. Realarea în ormă latce Structura latce recursvă O realare în orma latce este poslă ş pentru ltre RII. x( e ( e ( e e n e ( n ( n ) e e ( n ) ( n ) e 9
5..5. Realarea în ormă latce 5..5. Realarea în ormă latce Se poate consdera că această structură provne dn nterconectarea unor cuadrpol: e ( e ( ( n ) e ( n ) e e ( Pentru această schema se pot scre ecuaţle cu derenţe nte e ( e ( e (,,, e ( e ( + e ( e ( e ( ( n ) Pentru această schema se pot scre ecuaţle cu derenţe nte e ( e ( e (,,, e ( e ( + e ( sau, în transormate Z, E E E E E + E e ( n ) e e ( 5..5. Realarea în ormă latce Vom den: uncţa de transer de tp : uncţa de transer de tpul : uncţa de transer parţală de tpul ş ordnul : uncţa de transer parţală de tpul ş ordnul : E E ( ) E ( ) X ( ) E E E ( ) E E E 3 5..5. Realarea în ormă latce x( e ( e ( e e n e n e n Constatăm medat prn nspecţa graulu, (exstă o sngură cale de la x( la e (, de transmtanţă ), că uncta de transer de tpul este de orma: unde A () este un polnom în -, dec aceasta corespunde unu ltru având numa pol ş un ero multplu n orgne. A n e n e n 4
5..5. Realarea în ormă latce Evdent, de o propretate smlară se ucură ş uncţle parţale de tpul :,,, A Vom demonstra în contnuare că uncţa de transer de tpul este un polnom în - dat de relaţa E A( ) E Această propretate se poate generala pentru uncţle de transer parţale, E A( ),,, E 5 5..5. Realarea în ormă latce Vom demonstra aceste propretăţ prn nducţe. Pentru E E E + A( ) E E E A + E Să presupunem acum egaltăţle adevărate pentru o latce cu - celule E E A E E A ( ) ( ) E 6 5..5. Realarea în ormă latce 5..5. Realarea în ormă latce Să arătăm că reultă valaltatea propretăţ pentru latcea cu celule, oţnută dn cea de ordn -, prn completarea cu o celulă E () ( ) E () E E E E E E ( E E ) A A ( ( ) E A ( ) E ) A 7 De unde dec: Apo de unde: A A A + A A A + E E + E A E + A ( ) E ( ) A A A + 8
5..5. Realarea în ormă latce Oservaţ Se oservă că relaţa de recurenţă A A A + are aceeaş ormă cu ormula de recurenţă staltă pentru uncţa de transer a latce nerecursve - ( ) -( ) + -( ) O consecnţă nteresantă a relaţe A( ) este că uncţa de transer E E E A ( ) E E E A reprentă evdent o uncţe trece-tot. 9 5..5. Realarea în ormă latce În consecnţă, structura latce recursvă preentată până acum permte realarea unor uncţ de transer având doar pol (cu numărător untar), dacă se utleaă ca eşre, E sau a unor uncţ de tp trece tot, dacă mărmea de eşre este E e n x( e ( e ( e e n n e n e n e ( 3 5..5. Realarea în ormă latce Sturctura latce-scară Dacă dorm să oţnem o uncţe de transer având atât pol cât ş nulur, vom completa structura latce cu o structură în scară 5..5. Realarea în ormă latce Se adaugă relaţle specce secţun în scară (nerecursvă) a scheme. Y ce y n ce n x( e ( e e n n e ( x( e ( e e n n e ( ( e e ( ( n ) e ( n ) e ( e e ( ( n ) e ( n ) e c c c c c c c c ( y 3 y 3 (
5..5. Realarea în ormă latce Evdent, se poate scre: Y X E Dar este, după cum s-a arătat, un E ( ) polnom, aşa încât este un raport de polnoame de orma Y ce E E E X X E c c E A E c c A ( ) 33 5..5. Realarea în ormă latce B A + a Vom stal relaţle dntre coecenţ a, a uncţe de transer ş elementele scheme, c Evdent, polnomul de la numtor este char A (), A A B c 34 5..5. Realarea în ormă latce 5..5. Realarea în ormă latce Având în vedere că, aşa cum s-a arătat, relaţa de recurenţă a polnoamelor A () are aceeaş ormă cu ormula de recurenţă staltă pentru uncţa de transer a latce nerecursve (FIR), relaţle dntre coecenţ a,j ş deduse pentru latcea FIR rămân valale ş în acest ca. Reultă că pentru partea recursvă a structur se pot utla algortm de snteă sau anală preentaţ pentru latcea nerecursvă. 35 m c A( ) c a, m m m p ca, m ca, p m p Reultă: ca c + ca ; l,,, l, l l, l l l+ c c ca, l,,, l l, l + l 36
5..5. Realarea în ormă latce În procesul de snteă a structur latce-scară, se calculeaă ma întâ coecenţ de relexe după algortmul de snteă a latce FIR. Calculul coecenţlor c se va ace dec recursv, începând cu c în aa ormule: c ca, l,,, l l, l + l În procesul de anală se evalueaă ma întâ numtorul, dec coecenţ a, cu algortmul de la anala latce FIR. Ca produs secundar, reultă ş coecenţ polnoamelor parţale, a,j, cu ajutorul cărora se calculeaă, olosnd relaţa ca c + ca ; l,,, l, l l, l l l+ 37 5..5. Realarea în ormă latce Staltatea ltrelor în orma latce. Crterul Schur-Cohn Pentru un ltru dat în orma latce, testarea staltăţ ar presupune calculul polnomulu de la numtor, A () apo a rădăcnlor acestua, care treue să se stuee în nterorul cerculu de raă untate. O cale mult ma smplă se aeaă pe testul de staltate Schur-Cohn. 38 5..5. Realarea în ormă latce Crterul Schur-Cohn Acesta armă că ltrul este stal dacă ş numa dacă toţ coecenţ de relexe sunt de modul suuntar, <, m,,, m Aplcat în general une uncţ de transer raţonale (), testul Schur-Cohn are avantajul de a permte vercarea staltăţ, ără a necesta calculul pollor, operaţe dclă în caul unor ltre de ordne mar. Acest test, aplcat une structur latce nerecursve, permte să se verce dacă ltrul respectv este sau nu de aă mnmă. 39