6.3 FACTORIZAREA SPECTRALĂ. TEOREMA LUI WOLD

Transcript

1 6.3 FACTORIZARA SPCTRALĂ. TORA LUI WOLD Procese aleatoare regulate. Factorzarea spectrală Denstatea spectrală de putere, P ( (e jω ), pentru un proces aleator dscret, staţonar în sens larg, este o funcţe ţ : - reală - poztvă - perodcă. Factorzarea spectrală a lu P (z): Dacă P (e jω ) este o funcţe contnuă de ω, P (z) poate f factorzat sub fora: P z QzQ z

2 6.3.. Procese aleatoare regulate. Factorzarea spectrală Fe (n) un proces staţonar în sens larg, cu valoare ede nulă ş cu o denstate spectrală de putere P jω (e ), contnuă (ceea ce presupune absenţa coponentelor perodce): P z r n n Să presupune, în plus, că ă lnpp (z) este analtcă ă într-o coroană crculară,conţnând cercul untate R z z, R R n Procese aleatoare regulate. Factorzarea spectrală Rezultă că lnp (z) ş toate dervatele sale sunt funcţ contnue ş este posblă o dezvoltare în sere Laurent: ln P ln P z n a n z n j jn e ane n Dn ulta relaţe ţ rezultă că a(n) ( ) reprezntă coefcenţ dezvoltăr în sere Fourer a funcţe j perodce P e ln

3 6.3.. Procese aleatoare regulate. Factorzarea spectrală j ln P e e o funcţe reală secvenţa a(n)este conjugat setrcă a n a n j aa ln P e d Secvenţaţ a(n) ( ) poartă nuele de cepstru al secvenţe r (n) P z ep n a epanz ep an n n z n Procese aleatoare regulate. Factorzarea spectrală Vo defn: Qz ep n anz, z R n Deoarece Q(z) ş lnq(z) sunt analtce în z >R => Q(z) ) este o funcţeţ de fază nă. Ultul teren dn factorzarea lu P(z) a poate f scrs: ep a n ep ep n n n z ep a n z n a n z n n Q z

4 6.3.. Procese aleatoare regulate. Factorzarea spectrală aşa ş încât: unde P z z QzQ j ep ln e d P Un proces care îndeplneşte condţle preczate a înante ş adte o aseenea factorzare spectrală se spune că este un proces regulat. Propretăţ ale proceselor regulate. Un aseenea proces poate f consderat ca eşrea unu fltru stabl ş cauzal, având la ntrare zgoot alb cu varanţa (reprezentare cu ajutorul novaţlor). un n Q(z) P uu z n a. Q(z) ( ) P z un Q P z P z b. z Q z Fg..4 Reprezentarea unu proces staţonar în sens larg cu ajutorul novaţlor P uu

5 Propretăţ ale proceselor regulate. Fltrul având funcţa de transfer nversă, /Q(z), poate f consderat un fltru de albre pentru procesul aleator cu denstatea spectrală de putere P (z). Q(z) poate f reprezentat prntr-o sere de puter: unde Q q z q qz q z..., deoarece evdent lq z z q Propretăţ ale proceselor regulate. Dacă P (z) este o funcţe raţonală, atunc B z Q z Az ş factorzarea are fora: unde: P A B z Q z Q z B A z z B z A z z az az... a z z bz bz... b z ar polnoaele A(z) B(z) au toate zerourle în ar polnoaele A(z), B(z) au toate zerourle în nterorul cerculu de rază untate.

6 6.3. Teorea e lu Wold Un proces staţonar în sens larg poate f descopus în două procese ortogonale: un proces regulat r r( (n) un proces predctbl p (n) Se spune că un proces p (n) este predctbl dacă estă un set de coefcenţ a(n), aşa încât: p k n ak n k Altfel spus, orce eşanton poate f deternat fără eroare, cunoscând eşantoanele precedente. p 6.3. Teorea e lu Wold Pentru un aseenea proces, denstatea spectrală de putere este de fora: j e k P j P p Rezultă că oforă generală adenstăţ spectrale de putere este: P k j j e P r e k k k unde P r (e jω ), partea contnuă a spectrulu, corespunde unu proces regulat. k

7 6.4 leente e ede teora estăr stare: deducerea valorlor unor ăr necunoscute sau aleatoare pornnd de la unsetde observaţ ce reprezntă varable aleatoare. a. starea paraetrlor -aflarea unor paraetr deternşt dar necunoscuţ pornnd de la setul de observaţ. eple: deternarea valor ed, a funcţe de autocorelaţe, a denstăţ spectrale de putere pentru un proces aleator staţonar. b. starea une varable aleatoare. De eeplu, deternarea eşantoanelor de la ntrarea unu sste cunoscând eşrea acestua, suprapusă peste un zgoot. g 6.4 leente e ede teora estăr In cele ce urează ne vo concentra atenţa nua asupra prulu aspect. Să presupune p că se doreşte ş estarea unu paraetru θ al denstăţ de probabltate w (;θ) a unu proces aleator pe baza observaţlor ţ. o,,..., T ˆ ˆ o Vo nota cu o estare a lu θ,, realzată pe baza setulu de observaţ o. Aceasta este evdent o funcţe de o (vector aleator) )ş în consecnţă ţ este de aseenea o varablă aleatoare.

8 6.4 leente e ede teora estăr Pentru aprecerea unu estator se pot utlza dverş ndcator. Deplasarea unu estator se defneşte ş prn: B ˆ B ˆ Se spune că estatorul e nedeplasat dacă: ˆ Dacă B când, estatorul se nueşte asptotc t nedeplasat. 6.4 leente e ede teora estăr roarea pătratcă ede: P ˆ Varanţa ş dspersa: var ˆ ˆ ˆ ˆ Consstenţa unu estator. Un estator e consstent dacă pentru orce ε>, orcât de c, l Pr ˆ

9 6.4 leente e ede teora estăr Funcţa de plauzbltate este defntă prn denstatea de probabltate l w,, În unele cazur este a convenabl să se lucreze cu logartul aceste funcţ, L lnw, Dacă ă θ este un vector cu coponente, L(θ) este ş el un vector L L,..., L L θ, T 6.4 leente e ede teora estăr ăsura nforaţe unu paraetru în sensul Fscher L ln w, I prare echvalentă I L ln w,

10 6.4 leente e ede teora estăr O posbltate de a găs un estator este de a aza după θ funcţa de plauzbltate, arg aw, ˆ Un aseenea estator se nueşte de plauzbltate aă. 6.4 leente e ede teora estăr argnea Craér-Rao reprezntă o valoare nă pentru varanţa unu estator nedeplasat. În cazul unu estator θ scalar, presupunând că dervata a doua a funcţe L(θ) estă ş este absolut ntegrablă, ˆ var ˆ I În relaţa de a sus se obţne egaltate dacă ş nua dacă ă estatorul satsface relaţa ˆ K L în care K(θ) nu depnde de valoarea estată.

11 6.4 leente e ede teora estăr Dacă această ltă este atnsă, se spune că estatorul este de varanţă nă sau că este efcent. Aplcaţ -. starea valor ed. Fe o varablă aleatoare reală, gaussană, caracterzată prn: w ; e Să presupune cunoscut setul lde observaţ ndependente T,,...,. Denstatea de probabltate blt t de ordnul este dec: w ; w ; e

12 . starea valor ed. ln L L galând cu această canttate se obţne estatorul de plauzbltate aă: ˆ t statorul t este nedeplasat, căc: ă ˆ. starea valor ed. Deoarece observaţle au fost presupuse ndependente, d varanţa ţ estatorulu t este var ˆ var L În fne, I dec var ˆ I aşa încât estatorul este ş de varanţă nă. Lucrul acesta era de aşteptat având în vedere că L ˆ

13 . starea dsperse.. sta ea dspe se. Pentru acelaş caz al varable gaussene, 4 L galând cu zero se obţne estatorul varanţe: L ˆ Dacă nu este cunoscut, se va utlza pentru el estatorul obţnut a înante: estatorul obţnut a înante: ˆ ˆ. starea dsperse.. sta ea dspe se. Să calculă valoarea ede a estatorulu: ˆ ˆ ˆ j j l j j l Observaţle fnd presupuse ndependente: j î ât ţ â d d t ţ t t j j j j,, aşa încât, ţnând seaa ş de staţonartate, ˆ

14 . starea dsperse. se. Se constată că estator de plauzbltate aă a varante sau a dsperse sunt deplasaţ. Totuş, l ˆ ˆ dec e sunt asptotc nedeplasaţ. Uneor se preferă utlzarea estatorulu nedeplasat al dsperse: ˆ ˆ 3. stator pentru funcţa de autocorelaţe Vo consdera un proces aleator staţonar (n) de valoare ede nulă, dec: r c n n Procesul fnd ergodc, r l nn n e propune să găs un estator utlzând nua setul de observaţ (n), n=,...,, dec pornnd de la: n, n, n n,

15 3. stator pentru funcţa de autocorelaţe Vo defn: rˆ n n n unde poate f astfel ales încât să se obţnă un estator nedeplasat. Având în vedere suporturle fnte, supp n [, ], supp n [, ], rezultă ˆ pentru >-. > r 3. stator pentru funcţa de autocorelaţe Pentru =,...,, ltele de însuare vor f ş, aşa încât în general vo putea scre: n rˆ n n [, ], [ rˆ,, ]

16 3. stator pentru funcţa de autocorelaţe Valoarea ede a estatorulu este: n n rˆ nn r r,,,..., În od aseănător, pentru = ( ) ),..., se obţne: rˆ r 3. stator pentru funcţa de autocorelaţe Dec în general: rˆ r,, ş rezultă o deplasare a estatorulu: B rˆ rˆ r r

17 3. stator pentru funcţa de autocorelaţe Pentru a obţne un estator nedeplasat se poate lua = dec: n n [, ] n rˆ ˆ r, [, ], 3. stator pentru funcţa de autocorelaţe sau cu o eprare untară: rˆ n n n, [, ] Uneor se preferă să se a = ş rezultă: n n [, ] n rˆ ˆ r, [, ],

18 3. stator pentru funcţa de autocorelaţe Acesta este evdent un estator deplasat, deoarece: Totuş când rˆ r l rˆ r ş dec estatorul acesta este asptotc nedeplasat. 6.5 odelarea e Proceselor o Aleatoare e 6.5. odele ARA. Fore partculare În ulte cazur întâlnte în practcă, procesul aleator poate f odelat ca eşre (n) a unu sste lnar, nvarant în tp, caracterzat prntr-o funcţe de transfer raţonală, H(z), un H(z) n H z B A b k z z k z ak cărua se aplcă la ntrare un senal u(n). k k z k

19 6.5. odele ARA. Fore partculare Frecvent, u(n) este un zgoot alb, el fnd cel care pră caracterul aleator al lu (n). Vo putea epra dec (n) cu ajutorul ecuaţe cu dferenţe fnte: n bk u n k ak n k k k odel "ARA" (auto regressve-ovng average), dec autoregresv cu edere oblă. H(z) ) se presupune un fltru stabl ş cauzal, aşa încât nulurle lu A(z) se găsesc în nterorul cerculu l z = odele ARA. Fore partculare P j j j e H e P e j În cazul când u(n) este zgoot alb, cu uu j j e e P H Fără a perde dn generaltate, vo consdera că a o =bb o =, deoarece câştgul ât fltrulu l poate f încorporat în σ. P uu e Se utlzează frecvent notaţa ARA (,), care pune în evdenţă gradele nuărătorulu ş nutorulu.

20 6.5. odele ARA. Fore partculare Fore partculare odelul autoregresv (AR), notat AR()=ARA(,) se obţne pentru =. n ak n k un k H z A z a k z k k 6.5. odele ARA. Fore partculare odelul edere oblă (A), notat A()=ARA(,), rezultă partcularzând =: n bkun k H k z Bz k b k z Un proces ARA(,), pentru ş fnţ, poate f reprezentat prntr-un proces AR() sau prntr-un proces A(). k

21 6.5. odele ARA. Fore partculare prarea unu proces ARA(,) ca un proces AR. H ` b z, a, b a z z Pentru a-l epra ca un odel AR, H(z) trebue pus sub fora: k z H z, C z c k z Cz z a b k 6.5. odele ARA. Fore partculare Dar Dec c k z z a b Z k c k k a b b pentru k Aproarea procesulu ARA(,) cu un proces AR(L), cu L fnt, va f necesar un ordn L cu atât a are cu cât nulul z = b este a apropat de cercul z =.

22 6.5. odele ARA. Fore partculare prarea unu proces ARA(,) ca un proces dn care d k Z H z b z a z d k z a k z b k k b a a pentru k z a Ş în acest caz, dacă se doreşte o aproare a procesulu ARA(,) cu un proces A(L) de ordn fnt, L va f cu atât a are cu cât polul p = a al procesulu ARA este stuat a aproape de cercul z =. k 6.5. Relaţ ţ între paraetr odelulu ş funcţa ţ de autocorelaţe. cuaţle Yule-Walker Vo presupune că ă u(n) ( ) este un zgoot alb cu valoare ede nulă ş varanţă. Atunc: P z B A B A z z z z

23 6.5. Relaţ ţ între paraetr odelulu ş funcţa ţ de autocorelaţe. cuaţle Yule-Walker Sau P z A z H B z z Vo aplca transforata Z nversă aceste relaţ ş vo ţne seaa că: Z P z k c k r k deoarece (n) ( ) va avea ş el valoarea ede nulă, ş Z H z n h n 6.5. Relaţ ţ între paraetr odelulu ş funcţa ţ de autocorelaţe. cuaţle Yule-Walker Rezultă, folosnd teorea convoluţe ş cauzaltatea secvenţe h(n): bl h l k bl h l k, k alr k l l lk l, k De unde: r k a lr k l b lh l k, k [, ] l lk alrk l, k l [, ]

24 6.5. Relaţ ţ între paraetr odelulu ş funcţa ţ de autocorelaţe. cuaţle Yule-Walker În prncpu, ele pert tdeternarea paraetrlor odelulu dacă se cunosc funcţle de autocorelaţe. Rezolvarea ssteulu este splă doar în cazul proceselor AR, când, deoarece =, dspare practc a doua suă, care pră un caracter nelnar ecuaţlor. Pe de altă parte, ecuaţle ţ Yule-Walker oferă o etodă recursvă de calcul a funcţlor de autocorelaţe, ţ dacă sunt cunoscuţ ţ paraetr odelulu Relaţ ţ între paraetr odelulu ş funcţa ţ de autocorelaţe. cuaţle Yule-Walker Alegerea unu odel adecvat procesulu studat este esenţală. ste utl ca odelul ales să abă un nuăr n de paraetr. In cazul în care procesul studat se caracterzează prntr-o denstate spectrală de putere cu ae "ascuţte", ţ este ndcată alegerea unu odel AR, ştnd că aseenea ae se obţn datortă unor pol stuaţ ţ în aproperea p cerculu z =.

25 6.5. Relaţ ţ între paraetr odelulu ş funcţa ţ de autocorelaţe. cuaţle Yule-Walker Dacă, dn contră, ea se caracterzează prn ne pronunţate, eventual anulăr, este ndcată alegerea unu odel A cu zerour stuate în aproperea p sau pe cercul z =. Când ntervn abele tpur de coportăr ale denstăţ spectrale de putere, se va alege un odel ARA. Un alt paraetru ce trebue avut în vedere este ş panta caracterstc denstate spectrală de putere - frecvenţă. O pantă are (varaţe rapdă) va necesta pentru sulare un proces AR sau ARA de ordn are.