z a + c 0 + c 1 (z a)
|
|
- Κόσμος Γερμανού
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei f în jurul punctului a, (adică pe o coroană dată prin : ε < z a < r cu ε > 0 oricât de mic), este de forma: f(z) = c p (z a) p c 1 z a + c 0 + c 1 (z a) +c 2 (z a) cu c p 0. Exemplul 1.1 Punctul z = 0 este pol triplu pentru funcţia f : C C, f(z) = ez z3. Această funcţie are o dezvoltare în serie Laurent în jurul punctului z = 0, (în domeniul {z C : 0 < z } = C ), iar această dezvoltare este e z z = 1 3 z ! z ! z , n! z z n 3 C 1
2 Teorema 1.2 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este punct singular esenţial al lui f dacă şi numai dacă partea principală a dezvoltării în serie Laurent a funcţiei f în jurul punctului a, (adică pe o coroană : ε < z a < r cu ε > 0 oricât de mic) are o infinitate de termeni. ( 1 ) c k (z a) k are o infinitate de termeni. k= Exemplul 1.2 Punctul z = 0 este punct singular esenţial pentru funcţia f : C C, f(z) = ez. 1 Această funcţie are o dezvoltare în serie Laurent în jurul punctului z = 0, (în domeniul {z C : 0 < z } = C ), iar această dezvoltare este ez 1 = ! z ! z n! z +..., z n C. 2
3 Teorema 1.3 Fie D C un domeniu, f : D \ {a} C o funcţie olomorfă iar a D punct singular pentru funcţia f. Punctul a este punct singular removabil al lui f dacă şi numai dacă partea principală a dezvoltării în serie Laurent a funcţiei f în jurul punctului a, (adică pe o coroană dată prin : ε < z a < r cu ε > 0 oricât de mic) este nulă (c k = 0, k { 1, 2,...}). Exemplul 1.3 Deoarece dezvoltarea funcţiei f : C C, f(z) = sin z z în jurul punctului z = 0, în domeniul {z C : 0 < z } = C, este sin z z = 1 1! z2 3! + z4 5! ( 1)n z 2n (2n + 1)! +..., rezultă că punctul z = 0 este punct singular removabil al lui f. 3
4 2 Reziduuri Definiţia 2.1 Fie D C un domeniu, f : D \ {a} C o funcţie olomorfă iar a D punct singular izolat al funcţiei f. Se numeşte reziduul funcţiei f în punctul a numărul complex notat Rezf(a) definit prin relaţia Rezf(a) = c 1, unde c 1 este coeficientul corespunzător puterii (z a) 1 din dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei f în jurul punctului a, (adică pe o coroană : ε < z a < r cu ε > 0 oricât de mic). 4
5 Teorema 2.1 Fie D C un domeniu, f : D \ {a} C o funcţie olomorfă iar a D punct singular izolat al funcţiei f. Reziduul funcţiei f în punctul a poate fi calculat după cum urmează: (1) Dacă a este pol de ordin p pentru f atunci (2) Dacă Rezf(a) = 1 (p 1)! lim z a [(z a)p f(z)] (p 1). f(z) = g(z) h(z), g(a) 0, h(a) = 0, h (a) 0, iar g şi h sunt funcţii olomorfe pe o vecinătate a punctului a, atunci a este pol simplu pentru funcţia f şi Rezf(a) = g(a) h (a). 5
6 Teorema 2.2 (Teorema reziduurilor) Fie D C un domeniu simplu conex, C o curbă simplă, netedă pe porţiuni şi închisă inclusă în domeniul D, domeniul (deschis) mărginit de curba C. Considerăm o funcţie f care are în domeniul un număr finit de puncte singulare izolate, de tip pol sau singularitate esenţială, notate a 1, a 2,..., a n şi astfel încât f : D \ {a 1, a 2,..., a n } C este o funcţie olomorfă. Atunci n f(z)dz = 2πj Rezf(a k ). C k=1 6
7 Exemplul 2.1 Să se calculeze integrala sin z I k = (z 2 16)(z 2 + 9) 3dz, k {1, 2, 3, 4}, unde C k C 1 : z = 1 C 2 : z 4 = 2 C 3 : z 3j = 1 C 4 : z 4 = 6. Soluţie. Funcţia f : C \ {4, 4, 3j, 3j} C dată prin sin z f(z) = (z 2 16)(z 2 + 9) 3 este olomorfă. Punctele z = 4 şi z = 4 sunt poli simpli ai funcţiei f iar punctele z = 3j şi z = 3j sunt poli tripli ai funcţiei f. În plus [ ] sin z Rezf(4) = lim (z 4), z 4 (z 4)(z + 4)(z 2 + 9) 3 Rezf(3j) = 1 [ ] 2 lim (z 3j) 3 sin z, z 3j (z 2 16)(z 3j) 3 (z + 3j) 3 Rezf( 3j) = 1 [ ] 2 lim (z + 3j) 3 sin z. z 3j (z 2 16)(z + 3j) 3 (z 3j) 3 7
8 Funcţia f nu are puncte singulare în domeniul interior limitat de cercul C 1. Conform teoremei fundamentale a lui Cauchy pentru domenii simplu conexe I 1 = 0. Punctul singular z = 4, este singurul care se află în domeniul interior limitat de cercul C 2 : z 4 = 2. iar punctele singulare z = ±3j, z = 4 se află în exteriorul acestui cerc. Deci I 2 = 2πjRezf(4). Punctul singular z = 3j, este singurul care se află în domeniul interior limitat de cercul C 3 : z 3j = 1. iar punctele singulare z = ±4, z = 3j se află în exteriorul acestui cerc. Deci I 3 = 2πjRezf(3j). Punctele singulare z = 4, z = ±3j ale funcţiei f se află în interiorul cercului C 4, iar punctul singular z = 4 se află în exteriorul acestui cerc, de aceea I 4 = 2πj [Rezf(4) + Rezf(3j) + Rezf( 3j)]. 8
9 Exemplul 2.2 Să se calculeze integrala I = z 4 ezdz, 1 C : z = 3 C Soluţie. Deoarece e z = ! z + 1 2! z n! zn +..., z C rezultă că dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei g(z) = e 1 z în jurul punctului z = 0 este ez 1 = ! z ! z n! z +..., z n C şi mai departe că dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei f(z) = z 4 ez 1 în jurul punctului z = 0 este z 4 ez 1 = z ! z ! z n! z +..., z n 4 C. În concluzie punctul z = 0 este punct singular esenţial al funcţiei f(z) = z 4 e 1 z şi avem I = 2πjRezf(0) = 2πjc 1 unde unde c 1 este coeficientul corespunzător puterii z 1 din dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei f(z) = z 4 e 1 z în jurul punctului z = 0. Obţinem I = 2πj 1 5!. 9
10 Teorema 2.3 (Teorema semireziduurilor) Fie D C un domeniu simplu conex, C o curbă simplă, netedă şi închisă inclusă în domeniul D, domeniul (deschis) mărginit de curba C. Considerăm o funcţie f care are în domeniul un număr finit de puncte singulare izolate, de tip pol sau singularitate esenţială, notate a 1, a 2,..., a n şi un număr finit de poli de ordinul întâi situaţi pe curba C, astfel încât f : D \ {a 1, a 2,..., a n, b 1, b 2,..., b m } C, este o funcţie olomorfă. Atunci n f(z)dz = 2πj Rezf(a k ) + πj C k=1 m Rezf(b l ). l=1 10
11 Exemplul 2.3 Să se calculeze integrala z I = dz, C : z + 1 = 3. C (z + 1) 2 (z 2 5z + 6) Soluţie. Punctele singulare ale funcţiei z f(z) = (z + 1) 2 (z 2 5z + 6) sunt z = 1 (pol dublu), z = 2 (pol simplu) şi z = 3 (pol simplu). Punctul z = 1 se află în domeniul interior limitat de cercul C : z + 1 = 3, punctul z = 2 se află pe cerc iar punctul z = 3 se află în exterior. Conform teoremei semireziduurilor I = 2πjRezf( 1) + πjrezf(2) = [ ] = 2πj lim (z + 1) 2 z + z 1 (z + 1) 2 (z 2 5z + 6) [ ] z +πj lim (z 2) = z 2 (z + 1) 2 (z 2)(z 3) = 2πj lim z 1 [ z 2 ] 5z + 6 z(2z 5) + (z 2 5z + 6) 2 [ ] z πj lim z 2 (z + 1) 2 (z 3) = 11πj =
12 Considerăm un cerc Γ 0 : z = R 0, domeniul E = {z C z > R 0 } şi o funcţie olomorfă pe domeniul E. Punctul de la infinit poate fi pentru f punct ordinar, pol sau punct singular esenţial. Definiţia 2.2 Se numeşte reziduul funcţiei f în punctul de la infinit numărul complex notat Rezf( ) definit prin Rezf( ) = 1 2πj Γ f(z)dz unde Γ este un cerc de ecuaţie z = R cu R > R 0. Teorema 2.4 În contextul de mai sus este adevărată formula ( Rezf( ) = Rez 1 ( )) 1 z 2f (0). z Teorema 2.5 Dacă f este o funcţie care are în C { } un număr finit de singularităţi de tip pol sau singularitate esenţială, iar singularităţile din C sunt notate a 1, a 2,..., a n, atunci suma tuturor reziduurilor acestei funcţii este nulă, adică n Rezf( ) + Rezf(a k ) = 0. k=1 12
13 Corolarul 2.1 Dacă f este o funcţie care are în C { } un număr finit de singularităţi de tip pol sau singularitate esenţială, singularităţile din C sunt notate a 1, a 2,..., a n, iar C este o curbă netedă pe porţiuni, simplă şi închisă astfel încât punctele a 1, a 2,..., a n se află în domeniul interior limitat de această curbă, atunci f(z)dz = 2πjRezf( ). C 13
14 Exemplul 2.4 Să se calculeze integrala complexă: z 13 (z 2) 4 (z 5 + 3) 2dz, C : 4x2 + 9y 2 36 = 0. C Soluţie. Facem notaţia Observăm că f(z) = z 13 (z 2) 4 (z 5 + 3) 2. (a) punctul z = 2 este pol de ordin 4 al funcţiei f; (b) punctele z k = 5 3 ( cos π + 2kπ 5 k {0, 1, 2, 3, 4} sunt poli dubli ai funcţiei f. + j sin π + 2kπ ), 5 Deoarece toate punctele singulare ale funcţiei f se află în domeniul interior limitat de elipsa x 2 C : 9 + y2 4 = 1, este adevărată egalitatea C z 13 (z 2) 4 (z 5 + 3) 2dz = 2πjRezf( ). Pe de altă parte Rezf( ) = Rez ( 1 ( )) 1 z 2f (0). z 14
15 Deoarece 1 z 2f ( 1 z ) rezultă că ( Rez 1 ( )) 1 z 2f z 1 = z(1 2z) 4 (1 + 3z 5 ) 2, [ (0) = lim z 0 ] 1 z z(1 2z) 4 (1 + 3z 5 ) 2 = 1. În concluzie z 13 (z 2) 4 (z 5 + 3) 2dz = 2πj( 1) = 2πj. C 15
16 3 Aplicaţii ale teoremei reziduurilor în calculul unor integrale reale Teorema 3.1 Considerăm o funcţie raţională reală R(x) = P (x) astfel încât Q(x) ( x R)(Q(x) 0) grad Q grad P 2. Atunci + R(x)dx = 2πj n Rezf(a k ), (3.1) k=1 unde f(z) = R(z) iar a 1, a 2,...a n sunt polii funcţiei f care au partea imaginară strict pozitivă. 16
17 Exemplul 3.1 Să se calculeze integrala sunt I = 1 x dx. Soluţie. Punctele singulare ale fumcţiei f(z) = 1 z z 0 = cos π 4 + j sin π = 2 + j 2 z 1 = cos 3π 4 + j sin 3π = 2 + j 2 z 2 = cos 5π j sin 5π 4 = 2 j 2 z 3 = cos 7π 4 + j sin 7π = 2 j 2. Aceste patru puncte sunt poli simpli iar în semiplanul superior se află z 0 şi z 1. Conform formulei (3.1) I = 2πj (Rezf(z 0 ) + Rezf(z 1 )) = = 2πj ( z0 4z z ) 1 4z1 3 = 2πj ( z 0 4 z ) 1 4 = πj 2 j 2 = π
18 Teorema 3.2 Considerăm o funcţie raţională astfel încât funcţia R = R(x, y) g(θ) = R(sin θ, cos θ) este o funcţie continuă pe intervalul [0, 2π]. Atunci 2π R(sin θ, cos θ)dθ = f(z)dz = 0 = 2πj n Rezf(a k ), k=1 z =1 unde f(z) = 1 ( z 2 ) jz R 1 2jz, z z iar a 1, a 2,...a n sunt polii funcţiei f pentru care a k < 1, k = 1, 2,..., n. 18
19 Exemplul 3.2 Să se calculeze integrala I = 2π cos θ sin θ dθ. Soluţie. Facem schimbarea de variabilă z = e jθ. Când θ parcurge intervalul [0, 2π], z descrie cercul C : z = 1, o singură dată, în sens direct. Sunt adevărate egalităţile sin θ = ejθ e jθ 2j = z2 1 2jz cos θ = ejθ + e jθ = z z. Pe de altă parte din relaţia z = e jθ rezultă dθ = 1 jz dz. Integrala devine I = z =1 1 + z2 +1 2z z2 1 jz dz = 2jz z =1 z 2 + 2z + 1 2z(2z 2 + 5jz 2) dz. z 2 + 2z + 1 Punctele singulare ale fumcţiei f(z) = 2z(2z 2 + 5jz 2) sunt z 1 = 0, z 2 = j 2 şi z 3 = 2j. Toate aceste puncte sunt poli simpli. În concluzie Deoarece I = 2πj (Rezf(z 1 ) + Rezf(z 2 )). Rezf(0) = lim z 0 [ z z 2 ] + 2z + 1 2z(2z 2 + 5jz 2) 19 = 1 4
20 iar Rezf ( ) j 2 = lim z 0 [ ( z + j ) 2 ] z 2 + 2z + 1 4z ( z + j ) 2 (z + 2j) = 3 4j 12. În concluzie I = 2π 3. 20
21 Teorema 3.3 Considerăm α > 0 şi o funcţie raţională reală R(x) = P (x) astfel încât Q(x) Atunci + ( x R)(Q(x) 0) grad Q grad P 2. R(x)e jαx dx = 2πj n Rezf(a k ), (3.2) k=1 unde f(z) = R(z)e jαz iar a 1, a 2,...a n sunt polii funcţiei f care au partea imaginară strict pozitivă. 21
22 Exemplul 3.3 Să se calculeze integrala I = 0 cos x (x 2 + 1) 2dx Soluţie. Funcţia este pară de aceea I = 0 f(x) = cos x (x 2 + 1) 2 cos x (x 2 + 1) 2dx = 1 2 cos x (x 2 + 1) 2dx. Notăm A = cos x (x 2 + 1) 2dx, B = sin x (x 2 + 1) 2dx. Observăm că C = A + jb = 1 (x 2 + 1) 2ejx dx. Conform formulei (3.2) C = unde g(z) = 1 (x 2 + 1) 2ejx dx = 2πjRez(g)(j) = πe 1 1 (z 2 + 1) 2ejz. 22
23 În concluzie I = πe
24 4 Exerciţii propuse Exerciţiul 1 Să se calculeze integrala z 2 I = (z 2 + 1)(z 2 4) 2dz, C : z 1 = 2. C Exerciţiul 2 Să se calculeze integrala I = z 2 ez+1dz, 2z C : x 2 + y 2 + 4x = 0. C Exerciţiul 3 Să se calculeze integrala sin z I = dz, C : z = 2. z 2 (z 4 + 1) C Exerciţiul 4 Să se calculeze integrala I = 2π sin x 2 + cos x dx. Exerciţiul 5 Să se calculeze integrala I = x 2 (x 2 + 1)(x 2 + 4) dx. Exerciţiul 6 Să se calculeze integrala I = x sin x (x 2 + 1)(x 2 + 4) dx. Exerciţiul 7 Să se calculeze integrala I = 0 cos x (x 2 + 1) 2dx. 24
Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότερα1Reziduuri şi aplicaţii
Reziduuri şi aplicaţii În acest curs vom prezenta noţiunea de reziduu, modul de calcul al reziduurilor, teorema reziduurilor şi câteva aplicaţii ale teoremei reziduurilor, în special la calculul unor tipuri
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 7 8 Capitolul IX. Integrale curbilinii. Să se calculee Im ) d, unde este segmentul
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότερα* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme
SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier
Capitolul Serii Fourier 7-8. Dezvoltarea în serie Fourier a unei funcţii periodice de perioadă Pornind de la discuţia asupra coardei vibrante începută în anii 75 între Euler şi d Alembert, se ajunge la
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότεραCURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.
Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραTeorema Rezidurilor şi Bucuria Integralelor Reale
Torma Ridurilor şi Bucuria Intgrallor Ral Prntar d Alandru Ngrscu Intgral cu funcţii raţional c dpind d sin t şi cos t u notaţia it, avm: cos t ( + sin t ( i dt d i, iar intgrara s va fac d-a lungul crcului
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, 5 martie 18 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1 Problemele tip grilă (Partea A pot avea unul
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραf(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραSiruri de numere reale
Siruri de numere reale efinitie. Un sir de elemente dintr-o multime M este o functie x : N M (sau x : N k M unde N k = {k, k +,...}). Un sir x : N M il vom nota cu (x n ) n N sau (x n ) n unde x n = x(n)
Διαβάστε περισσότεραLucian Maticiuc SEMINAR Conf. dr. Lucian Maticiuc. Capitolul VI. Integrala triplă. Teoria:
Capitolul I: Integrala triplă Conf. dr. Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Analiza Matematică II, Semestrul II Conf. dr. Lucian MATICIUC Teoria: SEMINAR 3 Capitolul I. Integrala
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραCONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR TRANSFORMAREA LAPLACE. 1. Probleme. ω2 s s 2, Re s > 0; (4) sin ωt σ(t) ω. (s λ) 2, Re s > Re λ. (6)
SEMINAR TRANSFORMAREA LAPLACE. Probleme. Foloind proprieaea de liniariae, ă e demonreze urmăoarele: in σ(, Re > ; ( + penru orice C. co σ( h σ( ch σ(, Re > ; ( +, Re > ; (3, Re > ; (4. Să e arae că penru
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB
MATEMATICI SPECIALE Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB Mai există erori care vor fi corectate în versiunea finală) Capitolul Introducere
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este
o ( ) o ( ) sin π ( sec ) = = ; R 2 + kπ k Z cos cos 2 cos ( cosec ) = = ; R 2 { kπ k Z} sin sin ( arcsec ) = ; (, ) (, ) 2 ( arcosec ) = ; (, ) (, ) 2 Funcţii dierenţiabile. Fie D R o mulţime deschisă
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότερα1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.
Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότεραAnaliza matematică, clasa a XI-a probleme rezolvate Rolul derivatei întâi
Anliz mtemtică, cls XI- proleme rezolvte Rolul derivtei întâi Virgil-Mihil Zhri DefiniŃie: Punctele critice le unei funcńii derivile sunt rădăcinile (zerourile) derivtei întâi DefiniŃie: Fie f:i R, cu
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότεραIntegrale cu parametru
1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότερα7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează
TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014
Διαβάστε περισσότεραFie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y).
Ecuaţii diferenţiale Ecuaţii diferenţiale ordinare Ecuaţii cu derivate parţiale Ordinul unei ecuaţii Soluţia unei ecuaţii diferenţiale ordinare Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραPuncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.
Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe
Διαβάστε περισσότεραProgresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.
Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a
Διαβάστε περισσότεραFuncţii Ciudate. Beniamin Bogoşel
Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραConice şi cercuri tangente
Conice şi cercuri tangente Ioan POP 1 Abstract It proves how to obtain the non-degenerate conics, ellipse, hyperbola and parabola, of some basic tangent problems Keywords: circle, ellipse, hyperbola, parabola
Διαβάστε περισσότερα1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <
Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie
Διαβάστε περισσότεραJ F (ρ, ϕ, θ) = cos ϕ ρ sin ϕ 0. Teoremă (a diferenţiabilităţii compuse) (legea lanţului) Fie F : D deschis
3) Coordonate sferice Fie funcţia vectorială F : R + [ π, π] [0, π) R 3, F (ρ, ϕ, θ) = (ρ sin ϕ cos θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos ϕ). Observăm că F exprimă legătura dintre coordonatele carteziene şi coordonatele
Διαβάστε περισσότεραEcuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Διαβάστε περισσότεραTransformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică
Daniel BREAZ Nicolae SUCIU Păstorel GAŞPAR Nicoleta BREAZ Monica PÎRVAN Valeriu PREPELIŢĂ Gheorghe BARBU Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică Volumul 1 Funcţii complexe cu
Διαβάστε περισσότεραGeometrie computationala 2. Preliminarii geometrice
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότερα10/31/2014. În evoluţia sistemelor dinamice unele semnale apar cu o anumită întârziere faţă de un anumit moment convenţional ales ca t = 0. (2.
Transformata F(s) definită de (.37) este univocă şi se numeşte transformata Laplace directă.. Transformata Laplace inversă este univocă numai în cazul funcţiilor f(t) continue şi se defineşte prin relaţia
Διαβάστε περισσότεραVARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M1-1, 2007
VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M-, 27 VARIANTA SUBIECTUL I. a) Să se determine ecuația dreptei care trece prin punctul A(2; 5;3) și este paralelă cu dreapta x = y 2 4 6 = z +3 9. b) Să se determine valoarea
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii
Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότεραLaborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale
Laborator 6 Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Responsabili: 1. Surdu Cristina(anacristinasurdu@gmail.com) 2. Ştirbăţ Bogdan(bogdanstirbat@yahoo.com) Obiective În urma parcurgerii acestui laborator elevul
Διαβάστε περισσότεραIon CRĂCIUN CAPITOLE DE MATEMATICI SPECIALE EDITURA PIM
Ion CRĂCIUN CAPITOLE DE MATEMATICI SPECIALE EDITURA PIM IAŞI 2007 2 Cuprins 1 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordin superior 7 1.1 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n cu coeficienţi variabili 7 1.2
Διαβάστε περισσότεραAl cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015
Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice
Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότερα1Ecuaţii diferenţiale
1Ecuaţii diferenţiale 1.1 Introducere Definitia 1.1 Se numeşte ecuaţie diferenţială ordinarădeordin1: y 0 (x) =f (x, y (x)) (EDO) unde y este funcţia necunoscută, iar f este o funcţie de două variabile
Διαβάστε περισσότεραOlimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραCum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme
Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale
3 ELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR 31 Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale Prin interpolare se înţelege următoarea problemă: se dau n + 1 puncte P 0, P 1,, P n în plan sau în spaţiu
Διαβάστε περισσότεραSă se arate că n este număr par. Dan Nedeianu
Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)
Διαβάστε περισσότεραAPLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL. Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE
1 APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE MECANICĂ 2 Contents 1 Aplicaţii ale calculului diferenţial 5 1.1 Extreme ale funcţiilor reale de mai multe variabile
Διαβάστε περισσότερα