(1)σ (2)σ (3)σ (a)σ n

5 Gaia 5 Determinanteak 1 51 Talde Simetrikoa Gogoratu, X = {1,, n} bada, X-tik X-rako aplikazio bijektiboen multzoa taldea dela konposizioarekiko Talde hau, n mailako talde simetrikoa deitzen da eta S n moduan adieraziko dugu S n -ko elementuak permutazioak deitzen dira Notazio aldaketa: 1-S n -ko permutazioak adierazteko modu berezia dago: σ = ( 1 2 3 a ) n (1)σ (2)σ (3)σ (a)σ n 2-S n -ko eragiketa adierazteko notazio biderkakorra erabiltzen da berezitasun honekin: σ, τ S n, (a)(στ) = ((a)σ)τ Definizioa 511 σ S n permutazio bat r-zikloa dela esango dugu baldin eta r zenbaki ziklikoki mugitu eta beste n r zenbakiak finkatzen baditu Hau da, existizen badira a 1,, a r X non: (i) (a)σ = a, a a 1,, a r bada; (ii) (a 1 )σ = a 2, (a 2 )σ = a 3,, (a r 1 )σ = a r, (a r )σ = a 1 1 OCW Proiektua Txomin Ramirez eta M Asun Garcia 1

2 Determinanteak 2 Orduan σ = (a 1 a r ) idatziko dugu ( ) 1 2 3 Adibidea 1- σ = S 2 1 3 3 2-zikloa da ( ) 1 2 3 2- σ = S 2 3 1 3 3-zikloa da 3- S 3 = {1, (12), (13), (23), (123), (132)} denak dira zikloak 4- S 4 -ko elementu batzuk ez dira zikloak Ohartu r-ziklo bat adierazteko mudu desberdinak ditugula, halaber: (a 1 a 2 a r 1 a r ) = (a 2 a 3 a r a 1 ) = = (a r a 1 a r 2 a r 1 ) Definizioa 512 Bi ziklo (a 1 a r ) eta (b 1 b r ) disjuntuak direla esaten dugu elementu komunik ez badute, hau da, {a 1,, a r } {b 1,, b r } = bada ( ) 1 2 3 4 S 4 kasuan σ = S 2 1 4 3 4 ez da ziklo bat baina hala ere bi ziklo disjutuen biderkadura gisa adierazi ahal da, σ = (12)(34) Gure helburua hau edozein permutazioekin gertatzen dela frogatzea da Izan bedi σ S n permutazio bat eta demagun ziklo disjuntuen biderkadura moduan deskonposatu nahi dugula Ikus dezagun adibide baten bidez nola egiten den hau Adibidea permutazioa: Pausuak: Deskonposatu ziklo disjuntuen biderkadura moduan hurrengo σ = ( 1 2 3 4 5 6 7 ) 8 6 1 2 4 8 3 7 5 (i) 1-etik hasi eta bilatu (a)σ a betetzen duen lehenengo zenbakia: Adibidean, 1 (ii) Zenbaki horrekin (a(a)σ((a)σ)σ) zikloa osatu: Adibidean, (1632) (iii) Behin eta berriz, lehengo pausua errepikatu bigarren pausuan agertu ez den hurrengo zenbakiarekin: Adibidean, (58) (iv) Aurreko pausuetan agertu ez diren zenbakiak, permutazioak finko mantentzen ditu 2 OCW Proiektua Txomin Ramirez eta M Asun Garcia

Determinanteak 3 3 Ondorioz gure permutazioa lortutako ziklo disjutuen biderkadura izango da: σ = (1632)(58) Nabaria da deskonposizioa bakarra dela zikloen ordena kontuan hartzen ez badugu Aurrekoa hurrengo teoremaren bidez idatziko dugu Teorema 513 S n -ko edozein permutazio ziklo disjuntuen biderkadura gisa deskonposatu ahal da Gainera, deskonposizio hau bakarra zikloen ordena ez badugu kontuan hartzen Definizioa 514 Izan bedi τ S n Orduan, τ trasposizioa dela esaten da 2-zikloa bada, hau da, existizen badira i, j {1,, n} desberdinak non τ = (ij) den Argi eta garbi τ = (ij) bada o(τ) = 2 eta τ 1 = τ da Teorema 515 S n -ko edozein permutazioa trasposizioen biderkadura gisa adieraz daiteke Frogapena Permutazio guztiak ziklo disjuntuetako biderkadura gisa adierazi ahal dira Gainera r-ziklo bat era honetan deskonposatu ahal dugu: (a 1 a r ) = (a r a r 1 )(a r 1 a r 2 )(a 3 a 2 )(a 2 a 1 ) Zer esan daiteke bakartasunari buruz? Oro ar ez dela bakarra Adibidez, (123) = (32)(21) = (12)(13) = (12)(13)(23)(23) = (14)(12)(24)(13) Teorema 516 Izan bedi σ S n Orduan, σ-ren trasposizioetako desponposizio guztietan, trasposizioen kopurua beti bakoitia ala bestela beti bikoitia da Definizioa 517 Izan bedi σ S n Orduan σ permutazio bakoitia edo bikoitia dela esaten dugu trasposizio koputu bakoiti edo bikoiti baten biderkadura gisa deskonposatzen den arabera Gainera σ-ren signatura, ε(σ) denotatuko duguna, honela definituko dugu: { 1 σ bikoitia bada, ε(σ) = 1 beste kasuan 3 OCW Proiektua Txomin Ramirez eta M Asun Garcia

4 Determinanteak 4 Ohartu σ = τ 1 τ r trasposizioetako deskonposizio bat bada orduan ε(σ) = ( 1) r dela Adibidea (i) 1 = (12)(21) denez, ε(1) = 1 da (ii) Trasposizio baten signatura 1 da (iii) Baldin eta σ = (a 1 a r ) r-zikloa bada orduan σ = (a r a r 1 )(a r 1 a r 2 )(a 2 a 1 ) da eta beraz ε(σ) = ( 1) r 1 da 52 Matrize Karratu Baten Determinantea Definizioa 521 Izan bedi A M n (IK) matrize karratua A-ren determinantea, det(a) edo A denotatuko duguna, honela definitzen da: det(a) = σ S n ε(σ)a 1,(1)σ a 1,(1)σ Ohartu det(a) IK gorputzeko elementua dela Gainera a 1,(1)σ a 1,(1)σ batugai bakoitzen A-ren herrenkada zein zutabe bakoitzeko elementu bat (eta bakar bat) agertzen da ( ) a11 a Adibidea 1- n = 2 bada A = 12 da eta det(a)=a a 21 a 11 a 22 a 12 a 21 22 da a 11 a 12 a 13 2- n = 3 bada A = a 21 a 22 a 23 da eta det(a)=a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 + a 31 a 32 a 33 a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 da 3- det(i n )=1 da Izan ere σ 1 bada existitzen da i X non (i)σ i Orduan a i,(i)σ = 0, elementu hau matrizearen diagonaletik kanpo dagoelako Ondorioz a 1,(1)σ a n,(n)σ = 0 σ 1 guztietarako eta det(i n )=a 11 a nn = 1 da λ 1 0 0 0 0 λ 2 0 0 4- A = matrize diagonala bada det(a)=λ 1 λ n 0 0 0 λ n da 4 OCW Proiektua Txomin Ramirez eta M Asun Garcia

Determinanteak 5 5 Determinantearen oinarrizko propietateak hurrengo teoreman biltzen ditugu: Teorema 522 Matrize baten determinanteak ondoko propietateak betetzen ditu: 1- A matrizeak bi herrenkada edo bi zutabe berdinak baditu orduan det(a)=0 da 2- Transformazio elementalen eragina determinantean: 21- Matrize batean bi herrenkada (edo bi zutabe) elkartrukatzen badira orduan determinantearen zeinua aldatu egiten da 22- A-ren herrenkada (zutabe) bat eskalar batez biderkatzen bada orduan determinantea ere eskalar horretaz biderkatuta geratzen da 23- Herrenkada (zutabe) bati gainontzeko herrenkaden (zutabeen) konbinazio lineal bat batzen bazaio determinantearen balioa ez da aldatzen a 11 a 1n a 11 a 1n a 11 a 1n 3- a i1 + a i1 a in + a in = a i1 a in + a i1 a in a n1 a nn a n1 a nn a n1 a nn Antzeko propietatea betezen da zutabeekin Teorema 523 de( t A)=det(A) Teorema 524 det(ab)=det(a)det(b) 5 OCW Proiektua Txomin Ramirez eta M Asun Garcia

6 Determinanteak 6 53 Determinantearen Garapena Herrenkada edo Zutabe Baten Elementuez Definizioa 531 Izan bedi A M n (IK) matrizea a ij elementuaren adjuntua, A ij moduan adierazten duguna hurrengo balioa da: a 11 a 1,j 1 a 1,j+1 a 1n A ij = ( 1) i+j a det i 1,1 a i 1,j 1 a i 1,j+1 a i 1,n a i+1,1 a i+1,j 1 a i+1,j+1 a i+1,n a n1 a n,j 1 a n,j+1 a nn (Ohartu azkenengo determinantean agertzen den matrizea A matrizeari i herrenkada eta j zutabea kenduz lortzen dela, a ij elementua aurkitzen deneko lerroa eta zutabea hain zuzen ere) Teorema 532 (i)( Determinantearen garapena i herrenkadado elementuak erabiliz) deta = a i1 A i1 + a i2 A i2 + + a in A in (ii)( Determinantearen garapena j zutabeko elementuak erabiliz) deta = a 1j A 1j + a 2j A 2j + + a nj A nj Adibidea Aurreko teoremako garapenaren bitartez, hurrengo determinantearen balioa kalkulatu ahal dugu (era honetako determinante bati Vandermonderen determinantea esaten zaio): 1 1 1 x 1 x 2 x n det x 2 1 x 2 2 x 2 n = (x i x j ) i>j x n 1 1 x n 1 2 xn n 1 (Argibidea: Determinante honetan A ( i) A ( i) x 1 A ( i 1), i = n, n 1,, 2 aldaketak eginez n ordenako eta n 1 ordenako determinanteen arteko 6 OCW Proiektua Txomin Ramirez eta M Asun Garcia

Determinanteak 7 7 erlazio bat lortzen da Erlazio horretan oinarrituz eta n gaineko indukzioa erabiliz frogatzen da emandako formula) Definizioa 533 A M n (IK) bada, A-ren matrize adjuntua, adj(a) denotatuko duguna, A-ko elementuen adjuntuek osatutakoa da: adj(a) = (A ij ) M n (IK) Teorema 534 Izan bedi A M n (IK) Orduan: A GL n (IK) det(a) 0 Gainera, kasu horretan A 1 = 1 t (adj(a)) da det(a) 54 Cramerren Sistemak Definizioa 541 n ekuazio linealeko eta n ezezaguneko sistema bat, a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a n1 x 1 + + a nn x n = b n Cramerren sistema deitzen da det(a) 0 bada (Hau da A alderanzgarria edo rg(a) = n bada) Teorema 542 (Cramerren Erregela) Izan bedi AX = B Cramerren sistema bat Orduan sistema bateragarri determinatua da eta soluzioa: a 11 b 1 a 1n x i = a n1 b n a nn det(a), i = 1,, n a 11 b 1 a 1n a 11 a 11 x 1 + + a 1n x n a 1n Frogapena 543 = a n1 b n a nn a n1 a n1 x 1 + + a nn x n a nn Determinantearen propietateak erabiliz azken determinatea hurrengoaren berdina da: 7 OCW Proiektua Txomin Ramirez eta M Asun Garcia

8 Determinanteak 8 a 11 a 11 x 1 a 1n a 11 a 1n x n a 1n + + a n1 a n1 x 1 a nn a n1 a nn x n a nn Ohartu determinante guztietan x j kanpora atera ahal dugula eta i batugaian izan ezik beste determinanteak nuluak dira kasu horietan matrizea bi zutabe berdinak bait ditu Ondorioz aurreko batura ondokoa da: x i det(a) Adibidea Azter dezagun hurrengo sistema: x 1 x 2 + x 3 = 0 x 2 + x 3 = 1 x 1 + x 2 = 0 Alde batetik sistemaren koefizienteen matrizearen determinantea 3 da beraz Cramerren sistema da Ondorioz bateragarri determinatua da eta soluzioa: 0 1 1 1 1 1 0 1 0 x 1 = = 1/3 3 1 0 1 0 1 1 1 0 0 x 2 = = 1/3 3 1 1 0 0 1 1 1 1 0 x 3 = = 2/3 3 8 OCW Proiektua Txomin Ramirez eta M Asun Garcia

Determinanteak 9 9 55 Matrize Baten Heinaren Kalkulua Determinanteen Bidez Definizioa 551 Izan bedi A M m n (K) Demagun i 1,, i r {1,, m} eta j 1,, j s {1,, n} Orduan hurrengo matrizea A-ren azpimatrizea deitzen da a i1 j 1 a i1 j s a irj1 a irjs 1 4 7 10 Adibidea Izan bedi A = 2 5 8 11 matrizea Aukera ditzagun: 3 6 9 12 1 eta 3 herrenkadak eta 1, 3 eta 4 zutabeak Orduan A-ren azpimatrizea hurrengoa da: ( 1 7 ) 10 3 9 12 Definizioa 552 Azpimatrize karratu, r = s, baten determinantea minorea deitzen da Eta minorearen ordena azpimatrizearen ordena da Teorema 553 Matrize baten heina bere minore ez-nuluen ordenen maximoa da Hau da rg(a) = r da baldin eta soilik baldin existitzen bada r ordenako minore ez-nulu bat eta r + 1 ordenado minore guztiak nuluak badira 1 1 1 1 1 2 1 1 Adibidea Kalkula dezagun matrizearen heina 4 3 6 1 0 0 0 2 1 1 1 1 1 2 1 1 4 ordenako minore bakarra dago: = 0 (laugarren her- 4 3 6 1 0 0 0 2 renkadako elementuez garaztuz) 9 OCW Proiektua Txomin Ramirez eta M Asun Garcia

10 Determinanteak 10 3 ordenako minoreen artean badago bat, 1, 2 eta 4 herrenkadak eta 1, 2 eta 4 zutabeak osatzen duten azpimatrizearen determinantea, non determinantea 2 den Beraz, hasierako matrizearen heina 3 da 10 OCW Proiektua Txomin Ramirez eta M Asun Garcia