Dbić N Извод као појам се први пут појављује крајем XVII вијека у вези са израчунавањем неравномјерних кретања. Прецизније, помоћу извода је било могуће увести појам тренутне брзине праволинијског кретања. Уопште, помоћу извода се може представити брзина промјене величина које се неравномјерно мијењају нпр. температуре тијела, електричне струје, масе тијела при радиоактивном распадању итд.. Појам извода се појавио и увези са налажењем тангенте криве у тачки. У том смислу, појам извида заузима значајно мјесто у математици и њеним примјенама. Појам извода настао је из проблема тангенте криве линије и проблема брзине кретања.. Први проблем је разрадио Лајбниц -7, а проблему брзине кретања пажњу је посветио Њутн -77. Многи математичари су прије Лајбница покушавали да ријеше проблем тангенте. Карактеристично је за те покушаје да у себи садрже такве аналитичке и геометријске поступке који јасно показују како се из настојања да се ријеши проблем тангенте нужно рађао појам извода. Тада се и испољила идеја да се тангента криве схвати као гранична сјечица којој тежи сјечица криве, када се једна од пресјечних тачака бескрајно приближава по кривој другој пресјечној тачки. Основна препрека на коју су наилазили Лајбницови претходници, када су рјешавали проблем тангенте, јесте природа рачуна са бескрајно малим величинама. Велики значај за појаву извода имао је Декарт 9- када је засновао методу координата, објављивањем Геометрије 7. године. Наиме, на тај начин је омогућио да се криве линије означавају једначинама и то је био битан предуслов за откриће опште методе ријешења проблема тангенте. Лајбниц, схвативши значај и смисао Декартове промјенљиве, као и занчај методе координата, је успио да ријеши проблем тангенте увођењем појма извода односно диференцијала Nov Mthods pro mimis itmq tgtibs t glr pro illis clcli gs, 8. Односно схватио је тангенту као граничну сјечицу, док су се ова два појма у периоду прије њега увијек посматрали одвојено. У обом открићу му је веома помогао његов филозофски став изражен,,законом континуитета``, према којем се свака промјена дешава постепено, без скокова,,ntr o cit slts``. - -
Њутн је дошао до појма извода студирајући проблем брзине кретања. У својој расправи Метод флуксија и бескрајних редова, Њутн је наприје ријешио проблем проналажења брзине кретања у датом тренутку када је пређени пут познат као функција времена, а затим проблем проналажења пута када је брзина позната као функција времена. Величину која зависи непрекидно од времена, Њутн је назвао флуента lr лат. тећи, а брзину којом се мијења флуента у току времена флуксијом lio лат. струјање. За типичан примјер флуенте Њутн је узео пут покретне тачке. Схватање извода као флуксије указује на пријекло појма извода, односно како је тај појам проистекао из проблема кретања, из проблема до којих се долази посматрањем и пручавањем свијета, и показује су и закони математичког мишљења,, закони извучени из стварног свијета`` Ф. Енгелс и како,, идеално није ништа друго до материјално пресађено у човјекову главу и преображено у њој`` К. Маркс. Тангента Нека је дата крива C са једначином и произвољна тачка М, на њој слика. Да бисмо нашли тангенту ове криве у тачки М повуцимо, кроз тачку М и још једну тачку М, на кривој, сјечицу ММ. Када се тачка Мдуж криве C пиближава тачки М, онда ће се сјечица ММ приближавати правој МТ, која се зове тангента криве C у тачки М,. слика Тангента МТ криве C у тачки М је гранични положај сјечице ММкад тачка М тежи тачки М. Ако се са β означи угао који сјечица ММ гради са О осом, а са α угао који тангента МТ заклапа са О осом, онда је према дефиницији тангенте, β α MM Ако ова гранична вриједност постоји онда постоји и тангента криве у тачки М, ако пак гранична вриједност не постоји онда нема ни тангенте криве. Тачка М може се налазити било са лијеве, било са десне сране тачке М. Ако се тачка М налази са десне стране тачке М и ако постоји гранична вриједност - -
β α ММ онда је МТ десна тангента криве ц у тачки М. А ако је тачка М са лијеве стране тачке М и ако постоји гранична вриједност β α MM Онда је МТ лијева тангента криве C у тачки М слика. слика Ако је α β, онда се десна и лијева тангента поклапају, тј. постоји тангента у тачки М криве C. Нека је крива,, њена оближња тачка, тада је слика. OP PM, OP P M A одавде је NM P M P N tgβ MN OP OP Kада тачка М тежи тачки М, тј. кад тежи ка, тада ће сјечица ММтежити тангенти МТ а угао β тежити углу α. Према томе је tgα tgβ Под условом да ова гранична вриједност постоји и у том случају она представља угаони коефицијент тангенте МТ криве у тачки М, слика. Ако ставимо да је h, гдје h кад, онда се једначина граничне вриједности може написати у облику h tgα h h На основу ове релације ријешавамо проблем тангенте, што се може приказати следећим примјером дефинисана у близини тачке М и нека је М - -
ПРИМЈЕР Одредити једначину тангенте параболе кроз тачку М, на параболи. Једначина тангенте криве кроз тачку има облик k на основу чега имамо k, гдје је k tgα коефицијент правца који се израчунава по формули једначине граничне вриједности: k tgα па ће из овога jдначина тангенте бити, или. Дефиниција извода Нека је у интервалу а, b и нека је М, једна тачка у томе интервалу слика. Aкo је h прираштај аргумента, у том случају ће прираштај функције бити тј. Или h h Количник прираштаја функције и прираштаја независно промјенљиве h h претставља средњи прираштај функције у интервалу [, h ], а уједно претставља и нагиб функције у интервалу [, h] односно нагиб сјечице ММ, која пролази кроз тачке М, и М [ h h ],, према оси О. - -
- - Уколико овај количник тежи некој граничној вриједности коначној или бесконачној кад h тежи нули ма на који начин, онда се та гранична вриједност назива извод функције у тачки и обиљежава се h h h Према томе, извод функције у тачки је гранична вриједност количника прираштаја функције и прираштаја независно промјенљиве у тачки кад прираштај независно промјемљиве тежи нули. Ако се умјесто тачке узме произвољна тачка у интервалу а, b, онда ће извод функције у тој тачки гласити: h h Извод функције обиљежава се још и са ознакама,,,, D D d d Ријешавањем проблема везаних за проблем тенутне брзине тијела и проблем тангенте криве, можемо дати следеће формулације: механичко тумачење извода - извод функције у тачки представља тренутну брзину у моменту тијела које се креће правилно праволинијски по закону геометријско тумачење извода извод функције у тачки представља коефицијент правца тангенте графика те функције у тачки М на графику са апсцисом Примјер Одредити извод функције према дефиницији
- - Примјер Одредити извод функције према дефиницији [ ] Изводи елементарних функција Нека је. cost C, за свако. Тада је за призвољно : C, па је Дакле, извод константе једнак је нули тј. C Примјер, а извод ове функције ће бити Нека је тада је:, а из овога слиједи: Примјер
- 7 - Дата је функција при чему N. / гдје смо искористили граничну вриједност за добија се,...,,, На основу претходног закључујемо да је, или. Примјери 7 7 За функцију,, > имамо да је l тј. l приликом чега смо примјенили граничну вриједност l,. Примјер l Уколико замјенимо са тј. за извод такве функције ће бити: па је Овдје смо примјенили следећу граничну вриједност l.
Одредимо извод функције l Нека је > фиксирано а такво да је >. Тада се примјеном граничне l t вриједности добија t t l l l / Дакле, l 7 Одредити изводе функција: а б а Како је те се добија / t гдје смо искористили граничну вриједност и непрекидност функције t t. На основу претходног је. б А извод функције ће бити: Како је добиће се следеће / t, с тим да смо опет искористили исту граничну вриједност тј. па из овога t t добијамо таблични извод - 8 -
- 9 - Основне теореме о изводу У претходним примјерима је приказано како се помоћу примјене дефиниције извода могу наћи изводи неких елементарних функција у произвољној унутрашњој тачки њихових области дефинисаности. Међутим, у неким функцијама које су сложеније структуре, тај поступак може да буде компликован, односно задавао би многе аналитичке потешкоће. Да бисмо избегли овај проблем настојаћемо да користимо одређена правила која ће нам помоћи да на што једноставнији начин пронађемо изводе осталих функција. извод збира, разлике, производа и количника Теорема Ако свака од функција и v има свој извод у тачки, тада функција cost. C C и збир, разлика, производ и количник функција и у случају количника треба претпоставити да је v такође имају извод у тачки и при том важе следеће формуле: а [ ] C C б [ ] v v ± ± в [ ] v v v г v v v v Примјери Примјеном таблица извода и основних правила извода одредити изводе функција дефинисаних формулама.
l l 7 Ако је l l l l, израчунати. l l l Већ смо спомињали да изводи имају велики значај при израчунавању тангенте криве, односно изводи нам омогућавају да израчунамо једначину тангенте криве у различитим случајевима што ћемо и показати на следећим примјерима. Примјер Одредити једначину тангенте на графику дате функције у датој тачки која припада графику у тачки A, ; - -
- - 8 k tg k ϕ k Значи једначина тангенте криве је Примјер Одредити једначину тангенте, параболе 7, која је нормална на праву одређену координатним почетком и тјеменом дате параболе. Наиме, прво ћемо израчунати тјеме ове криве на следећи начин: b c b T, 7, T 8, T, T На основу претходног закључујемо да тјеме параболе јесте у тачки са координатама, и то претставља минимум ове криве јер је >. Коефицијент тангнте ћемо добити на следећи начин: k гдје је k коефицијент нормале, а коефицијент тнгенте параболе k ћемо добити из следеће формуле k k k k Знамо да је k једнак изводу функције у датој тачки па на основу тога имамо
k 7 7 а онда уврштавамо у почетну функцију 9 9 8 9 8 Тачка коју смо добили, јесте заједничка тачка параболе и тангенте, те на основу 9 свега претхоног добијамо једначину тангете 8 9 8 9 9 8 9 9 8 9 8 Лијеви и десни извод Као и код граничних вриједности и непрекидности, тако и код извода имамо појам лијевог и десног извода. Лијевим изводом функције у тачки назива се лијева гранична вриједност дата релацијом, уколико она постоји. Прецизније, ако се са _ означи лијеви извод у тачки, биће: _ На сличан начин се дефинише и десни извод функције тј. Десним изводом функције у тачки назива се десна гранична вриједност дата релацијом, уколико она постоји. Тако, ако се са означи десни извод у тачки, слиједи: - -
Примјер Одредити лијеви и десни извод функције у тачки. Како је, према дефиницији апсолутне вриједности,,, < за тачку вриједиће следеће:,, < тако да је, а. Лијеви и десни извод у тачки су различити, па сходно одговарајућем тврђењу за лијеву и десну граничну вриједност, закључујемо да не постоји. Теорема Потребан и довољан услов да функција има извод у тачки јесте да постоје лијеви и десни извод функције у истој тачки и да су међусобно једнаки Извод сложене функције Изводе сложених или посредних функција као што су нпр. l, tg, и сл. израчунавамо на основу следеће теореме: Теорема Ако функција има извод у фиксираној тачки, а функција има извод у тачки, тада и функција има извод у тачки и при том важи формула Доказ Са означимо прираштај који одговара прираштају у тачки, тј., а са прираштај функције који одговара прираштају. Ако постоји околина тачке у којој је тада је: - -
јер када, што слиједи из непрекидности функције у тачки. Ако је на бесконачно много мијеста, произвољно близу тачки, тада је на бесконачно много мијеста произвољно близу тачки, тј. и однос би био једнак нули на беконачно много мијеста, произвољно близу тачки, па је. Дакле формула важи и овом случају и она се често пише у облику Међутим, у случају неких више сложенијих функција, као нпр. g имаћемо сличну формулу: g итд. Тако да ће на основу претходног таблични изводи постати:. g 8.. 9. log log.. l... tg.. ctg. rc rc rctg l. rcctg 7. Примјер Одредити први извод функције tg l tg tg tg - -
- - Примјер Доказати да извод следеће функције не зависи од : Примјер Одредити први извод функције l rctg Примјер Одредити први извод сложене функције l.
Извод инверзне функције Нека за функцију постоји инверзна функција у околини фиксиране тачке. Ако постоји извод функције у таквој тачки и при том је, тада постоји и извод инверзне функције у тачки и једнак је. На основу ове теореме можемо да нађемо изводе функција које су инверзне неким функцијама, чији су нам изводи познати. Доказ Имајући у виду да можемо да напишемо:, тј. - -
Примјер Одредити изводе следећеих функција а rc б rc в rctg г rcctg π π, а Како је rc биће: према томе је rc б На сличан начин као под а се добија извод функције rc па ће бити rc в rctg π π Из дефиниције имамо да је < < и tg, због тога је / дакле tg tg rctg г Сличним поступком као по в добићемо извод функције rcctg Ccost. Таблица неких извода l 7 8 log l rcctg - 7 -
- 8-9 l tg ctg rc rc rctg 7 rcctg Ове вриједности извода које смо добили користићемо као табличне изводе при израчунавању сложенијих функција. Примјери сложене инверзне функције: Примјер Одредити први извод сложене функције rc Примјер Наћи први извод функције l rctg
- 9 - Други извод. Изводи вишег реда. Нека функција има извод за свако, b. Извод је сада функција од, па можемо тражити извод функције. Извод од извода функције назива се другим изводом функције и означава се са. Према томе, по дефиницији ће бити: [ ] Примјер Одредити други извод функција: а б l
По аналогији са другим изводом може се дефинисати и извод трећег, четвртог, петог,..., -тог реда. Тачније, -тим изводом функције називамо извод извода -ог реда функције. Извод -тог реда обиљежава се са или. Дакле, према дефиницији слиједи да је или. Примјер Одредити трећи извод функција: а l б l l l l Примјер Одредити -ти извод функција: а b π π π 8 π 8...... π Имплицитне функције Нека је функција дефинисана имплицитно једначином F,, Што значи да је F, За свако, b, гдје је, b интервал у коме је функција дефинисана и диференцијабилна. Примјењујући правило диференцирања сложене функције на релацију F,, сматрајући да непосредно зависи од и посредно преко, диференцирањем по добијамо релацију [ F, ] Ф,, Линеарну у односу на, из које се добија - -
- -., ϕ Примјер Одредити изводе имплицитних функција дефинисаних једначинама: а r кружница r а извод ове функције ће бити исти: Извод је: r r r б b b b b : / b b b b b Дата је функција. rc Ријешити једначину rc по.
- - rc rc rc rc rc rc rc rc rc rc а затим ћемо ову вриједност извода функције уврстити у дату једначину rc rc rc rc а одавде ће бити: rc, а умјесто ћемо писати rc па ће бити / / rc rc rc rc ± ± Дата је функција b b, реални бројеви. а Одредити реалне бројеве и b ако је и. б За добијене вриједности и b одредити в Ријешити систем неједначина < <
а b b b b b b ове две једначине добићемо вријености и b тј. b сабраћемо ове двије и биће: а затим можемо да добијемо и b : b b b 9 на основу б b, а за добијене вриједности и b 9 кад тежи 9 9 9 в < b < < 9 < Први систем ће бити: 9 >,,,, 9 ± ± 8 9 ± ±,,, А ријешење ове неједначине је А други систем : - -
,,,, 9 < ± ± ± ± 8, Ријешење овог система је, А пресјек ова два система биће следеће ријешење:, - -