ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΠΑΡΑ ΟΣΕΙΣ Θ. ΠΑΝΙ ΗΣ ΠΑΤΡΑ 009

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σηµειώσεις αυτές έχουν σκοπό να βοηθήσουν τους φοιτητές του Τµήµατος Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών του Πανεπιστηµίου Πατρών κατά την παρακολούθηση του µαθήµατος Φαινόµενα Μεταφοράς στο 9 ο εξάµηνο των σπουδών τους. Οι σηµειώσεις αυτές βρίσκονται στα αρχικά στάδια της ανάπτυξής τους και γι αυτό έχουν πολλά κενά και πιθανότατα πολλά λάθη. εν µπορούν να θεωρηθούν ένα αυτοτελές σύγγραµµα αλλά σηµατοδοτούν το περιεχόµενο του µαθήµατος µε σκοπό να διευκολύνουν την παρακολούθηση του, να µειώσουν τον όγκο των σηµειώσεων που χρειάζεται να κρατούν οι φοιτητές κατά την παράδοση και να αποτελέσουν βάση για παραπέρα αναζητήσεις στην Ελληνική και τη ιεθνή βιβλιογραφία. Οι σηµειώσεις αυτές ή κατοπινές τους µορφές και βελτιώσεις διατίθενται στην ιστοσελίδα http://www.mech.upatas.g/~pands/books/

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΆΛΑΙΟ 1... 1 Εισαγωγή Στα Φαινόµενα Μεταφοράς... 1 Εισαγωγή... 1 Μεταφορά µάζας... 1 Μοριακή διάχυση της ορµής - Ιξώδες... Μοριακή διάχυση της θερµότητας - Αγωγή.... 3 Μοριακή διάχυση µάζας... 4 Οµοιότητες και ιαφορές... 5 ιαφορές... 5 ΚΕΦΆΛΑΙΟ... 7 Ορισµοί... 7 Ταχύτητα... 8 Ρυθµός Ροής... 9 Ο Νόµος της ιάχυσης του Fck... 13 Προσδιορισµός συγκεντρώσεων στο µεθόριο... 13 Υγρό-Ατµός...13 Στερεό που διαλύεται σε υγρό...14 Απορρόφηση αερίου από υγρό...14 ιάλυση αερίου σε στερεό...14 Εξάρτηση των Συντελεστών Μοριακής ιάχυσης από την Πίεση και την Θερµοκρασία... 15 Συντελεστές ιάχυσης σε Αέρια µε Χαµηλή Πυκνότητα... 3 Απλή Κινητική Θεωρία...3 Θεωρία Chapman-Enskog (µε βάση δυναµικό τύπου Lennad-Jones)...3 Μίγµα Αερίων...4 Αναλογίες µεταξύ ειδικών µορφών των εξισώσεων αγωγής θερµότητας και διάχυσης µάζας... 6 Αναλογίες µεταξύ Μετάδοσης θερµότητας και Μεταφοράς µάζας... 7 Άσκηση 1. ιάχυση υδρογόνου µέσα από χάλυβα...8 Άσκηση. ιάχυση ηλίου µέσα από γυαλί...30 Άσκηση 3. Συσχέτιση µεταφοράς θερµότητας µε µεταφορά µάζας...31 Άσκηση 4. Απώλειες θερµότητας µε µεταφορά και εξάτµιση...33 Άσκηση 5. Θερµόµετρα υγρού και ξηρού βολβού...34 Άσκηση 6. Εξάτµιση σταγόνας σε περιβάλλον µε χαµηλή θερµοκρασία...36 Ετερογενής καύση που εξαρτάται από την διάχυση (Χαµηλές Θερµοκρασίες)... 40 Άσκηση 7. Καύση σωµατιδίου άνθρακα (1000-1600 K)...4 Ετερογενής καύση που εξαρτάται από την διάχυση (Υψηλές Θερµοκρασίες)... 43 Εξάτµιση σταγόνας σε περιβάλλον µε υψηλή θερµοκρασία... 46 Άσκηση 8. Εξάτµιση σταγόνας σε περιβάλλον µε υψηλή θερµοκρασία...48 ΚΕΦΆΛΑΙΟ 3... 51 Εξισώσεις ιατήρησης...51 Ορισµοί... 51 Σύστηµα (υλικό)...51

Όγκος ελέγχου... 51 Εντατική ιδιότητα... 51 Εκτατική ιδιότητα... 51 Θεώρηµα του Reynolds...5 Θεώρηµα του Gauss...54 ιατήρηση της µαζας (Εξίσωση της συνεχειας)...55 ιατήρηση της µαζας σε πολυσυστατικο µιγµα...56 ιατήρηση της ορµης...58 ιατήρηση της ενεργειας...61 Εξίσωση Συνέχειας σε διάφορα συστήµατα συντεταγµένων...65 Εξίσωση Συνέχειας του είδους A σε διάφορα συστήµατα συντεταγµένων...65 Εξίσωση Συνέχειας του είδους A για σταθερά ρ και AB σε διάφορα συστήµατα συντεταγµένων66 Εξίσωση ιατήρησης της Oρµής σε Ορθογώνιες Συντεταγµένες (x, y, z)...67 Ως προς τ:... 67 Ως προς τις βαθµίδες της ταχύτητας για Νευτώνειο ρευστό µε σταθερά ρ και µ:... 67 Εξίσωση ιατήρησης της Oρµής σε Κυλινδρικές Συντεταγµένες (, θ, z)...68 Ως προς τ... 68 Ως προς τις βαθµίδες της ταχύτητας για Νευτώνειο ρευστό µε σταθερά ρ και µ... 68 Εξίσωση ιατήρησης της Oρµής σε Σφαιρικές Συντεταγµένες (, θ, φ)...69 Ως προς τ... 69 Ως προς τις βαθµίδες της ταχύτητας για Νευτώνειο ρευστό µε σταθερά ρ και µ... 69 Συνιστώσες του Τανυστή των Τάσεων για Νευτώνειο Ρευστό σε Ορθογώνιες Συντεταγµένες (x, y, z)...70 Συνιστώσες του Τανυστή των Τάσεων για Νευτώνειο Ρευστό σε Κυλινδρικές Συντεταγµένες (, θ, z)...70 Συνιστώσες του Τανυστή των Τάσεων για Νευτώνειο Ρευστό σε Σφαιρικές Συντεταγµένες (, θ, φ)71 Η Συνάρτηση Φ = 1 ( : ) u µ τ u Για Νευτώνειο Ρευστό...7 Συνιστώσες του Ρυθµού Ροής Ενέργειας...73 Η Εξίσωση ιατήρησης Ενέργειας ως προς τους Ρυθµούς Ροής Ενέργειας και Ορµής...74 Η Εξίσωση ιατήρησης Ενέργειας ως προς τις Ιδιότητες Μεταφοράς για Νευτώνειο Ρευστό µε Σταθερά ρ και k...75 Εξισώσεις διατήρησης για καθαρά ρευστά ως προς αντίστοιχους ρυθµούς ροής...76 ΚΕΦΆΛΑΙΟ 4...79 Συνηθισµένες Οριακές Συνθήκες...79 Ορµή... 79 Θερµότητα... 79 Μεταφορά µάζας... 79 Απλοποιήσεις των Εξισώσεων ιατήρησης...80 Μόνιµη κατάσταση... 80 Περιορισµός διαστάσεων... 80 Φύση του µέσου... 80 Εξάρτηση ιδιοτήτων από θερµοκρασία, πίεση, κ.λ.π... 80 Ισόθερµη ροή... 80 Μη ιξώδης ροή... 80 Ασυµπίεστη ροή... 81 Οριακό στρώµα... 81 Αδιάστατες εξισώσεις Μεταφορά θερµότητας...81 Αδιάστατα µεγέθη... 8 Εξαναγκασµένη ροή... 8

Ελεύθερη µεταφορά...8 Αδιάστατοι αριθµοί...8 Αδιάστατες Εξισώσεις Ελεύθερη µεταφορά θερµότητας (Άλλη Μορφή)... 83 Οριακές συνθήκες...83 Αδιάστατα µεγέθη...84 Αδιάστατες εξισώσεις...84 Οριακές συνθήκες...84 Αδιάστατες Εξισώσεις Μεταφορά Μάζας... 84 Αδιάστατα µεγέθη...85 Αδιάστατες εξισώσεις...85 ΚΕΦΆΛΑΙΟ 5... 87 ιανύσµατα και Τανυστές... 87 Ορισµοί... 87 Το δέλτα του Konecke...87 Το σύµβολο µετάθεσης...87 Χρήσιµες σχέσεις...87 Η ορίζουσα µε χρήση του συµβόλου µετάθεσης...88 ιανύσµατα... 88 ιάνυσµα συναρτήσει µοναδιαίων διανυσµάτων βάσης...88 Μέτρο διανύσµατος...88 Εσωτερικά γινόµενα µοναδιαίων διανυσµάτων βάσης...88 Εξωτερικά γινόµενα µοναδιαίων διανυσµάτων βάσης...88 Άθροισµα διανυσµάτων...89 Γινόµενο βαθµωτού µε διάνυσµα...89 Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων...89 Εξωτερικό γινόµενο διανυσµάτων...89 Ο διαφορικός τελεστής...89 Η κλίση ενός βαθµωτού πεδίου...89 Η απόκλιση ενός διανυσµατικού πεδίου...90 Ιδιότητες...90 Η περιστροφή ενός διανυσµατικού πεδίου...90 Ο τελεστής Laplace επί βαθµωτού πεδίου...90 Ο τελεστής Laplace σε καρτεσιανές συντεταγµένες...91 Ο τελεστής Laplace επί διανυσµατικού πεδίου (καρτεσιανές συντεταγµένες)...91 Ο τελεστής Laplace επί διανυσµατικού πεδίου (γενική µορφή)...91 Η ουσιαστική (υλική) παράγωγος...91 Η ουσιαστική παράγωγος βαθµωτού µεγέθους...91 Η ουσιαστική παράγωγος διανυσµατικού µεγέθους...91 Ο διαφορικός τελεστής επί γινοµένων...9 Τανυστές... 9 Τανυστής δεύτερης τάξης...9 Συζυγής (ανάστροφος) τανυστής...9 υαδικό γινόµενο (δυάδα)...9 Μοναδιαίος τανυστής...9 Ορισµός διανύσµατος...93 Ορισµός τανυστή...93 Μοναδιαίες δυάδες...93 Παράσταση τανυστή και δυαδικού µε βάση τις µοναδιαίες δυάδες...93 Γινόµενα µοναδιαίων δυάδων και διανυσµάτων...94 Πράξεις µεταξύ τανυστών και διανυσµάτων...95 Θεωρήµατα που συνδέουν ολοκληρώµατα όγκου µε ολοκληρώµατα επιφάνειας...97 Αλλαγή Συστήµατος Συντεταγµένων... 98 Κυλινδρικό σύστηµα συντεταγµένων...98 Σφαιρικό σύστηµα συντεταγµένων...99

Μερικές Παράγωγοι των Ανυσµάτων Βάσης και ο Τελεστής... 100 Σε Κυλινδρικό Σύστηµα Συντεταγµένων...100 Σε Σφαιρικό Σύστηµα Συντεταγµένων...100 Σχέσεις µε τον Τελεστή σε Ορθογώνιες Συντεταγµένες (x, y, z)... 101 Σχέσεις µε τον Τελεστή σε Κυλινδρικές Συντεταγµένες (, θ, z)... 10 Σχέσεις µε τον Τελεστή σε Σφαιρικές Συντεταγµένες (, θ, φ)... 103 ΠΑΡΑΡΤΉΜΑΤΑ... 104 Παράτηµα Α... 105 Ορισµοί... 105 Το σύµβολο µετάθεσης...105 Συµβολισµός µε επαναλαµβανόµενoυς δείκτες... 105 Παράρτηµα Β... 106 Εξισώσεις Εφαρµογής Σε Προβλήµατα Μεταφοράς Θερµότητας... 106 Ορισµοί και παρατηρήσεις για τη χρήση των εξισώσεων εφαρµογής...106 Εξαναγκασµένη Μεταφορά Θερµότητας Σε Πλάκες...108 Εξαναγκασµένη Μεταφορά Θερµότητας Σε Σωλήνες...109 Ελεύθερη (Φυσική) Μεταφορά Θερµότητας...111 Παράρτηµα Γ... 11 Ιδιότητες ξηρού αέρα σε ατµοσφαιρική πίεση... 11 Ιδιότητες διάφορων αερίων σε ατµοσφαιρική πίεση... 114 Ιδιότητες κορεσµένου νερού... 117 Ιδιότητες Ατµων Νερού... 118 Ιδιότητες διάφορων κορεσµένων υγρών... 119 Ιδιότητες υγρών µετάλλων... 11 Βιβλιογραφία... 1

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα φαινόµενα µεταφοράς είναι το µάθηµα στα πλαίσια του οποίου µελετάµε την µεταφορά ορµής σε ρευστά (ιξώδης ροή), τη µετάδοση θερµότητας και τη µεταφορά µάζας (διάχυση) κατά ενιαίο τρόπο. Η αντιµετώπιση αυτή είναι εφικτή µε την επισήµανση των κοινών χαρακτηριστικών και την αντιστοίχηση µηχανισµών των επί µέρους φαινοµένων. Για παράδειγµα η µοριακή διάχυση της ορµής (ιξώδες), η αγωγή της θερµότητας και η διάχυση της µάζας µπορούν να θεωρηθούν οµοειδή φαινόµενα µοριακής διάχυσης. Η κοινή αυτή θεώρηση είναι σηµαντική γιατί επιτρέπει την ενιαία αντιµετώπιση των προβληµάτων, την µεταφορά αποτελεσµάτων από τον ένα τοµέα στον άλλο (πολλές συσχετίσεις µεταφοράς θερµότητας χρησιµοποιούνται αυτούσιες στη µεταφορά µάζας) και την χρήση κοινών υπολογιστικών εργαλείων. εδοµένου ότι το µάθηµα απευθύνεται σε φοιτητές του Ε' έτους θεωρείται δεδοµένο ότι τα θέµατα ρευστοµηχανικής και µετάδοσης θερµότητας είναι ήδη αρκετά οικεία. Για το λόγο αυτό στα κεφάλαια αυτών των σηµειώσεων δίνεται µεγαλύτερη βαρύτητα σε θέµατα µεταφοράς µάζας και στην ενιαία αντιµετώπιση των φαινοµένων. ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΜΑΖΑΣ Μεταφορά µάζας παρατηρείται σε µίγµατα αερίων και σε υγρά και στερεά διαλύµατα. Υπάρχουν πολλοί µηχανισµοί που συµβάλλουν στην µεταφορά ενός είδους µέσα σ' ένα µέσο ή από ένα όριο. Στις σηµειώσεις αυτές θα ασχοληθούµε σχεδόν αποκλειστικά µε τους µηχανισµούς της απλής διάχυσης και της µεταφοράς (συναγωγής). Υπάρχει άµεση αντιστοίχηση της διάχυσης µε την αγωγή θερµότητας. Μερικά από τα φυσικά και τεχνικά

προβλήµατα στα οποία είναι απαραίτητο να υπολογιστούν παράµετροι της µεταφοράς µάζας αναφέρονται στη συνέχεια. Εξάτµιση νερού σε αέρα σ' ένα πύργο ψύξης. Ξήρανση ξύλου, χαρτιού, τροφίµων και προϊόντων υφαντουργίας. ιαρροή ηλίου από Lase φωτοαντιγραφικών. ιάχυση άνθρακα σε σίδηρο κατά την σκλήρυνση γραναζιών. Καταλυτική οξείδωση µονοξειδίου του άνθρακα και άκαυστων υδρογονανθράκων σε καταλυτικό µετατροπέα αυτοκινήτου. Μέτρηση υγρασίας µε υγρό και ξηρό θερµόµετρο. Καύση κονιοποιηµένου άνθρακα σε φούρνο παραγωγής ισχύος. Καύση σιδήρου κατά την κοπή χάλυβα µε φλόγα ασετιλίνης. Εκφόρτιση µπαταρίας µολύβδου. Αερισµός λυµάτων σε βιολογικό καθαρισµό. Αφαλάτωση υφάλµυρου νερού. ΜΟΡΙΑΚΗ ΙΑΧΥΣΗ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ - ΙΞΩ ΕΣ. Y t < 0, Ακίνητο ρευστό t = 0, Η κάτω επιφάνεια τίθεται σε ισοταχή κίνηση U u x (t, y) U t > 0, Μεταβατική ανάπτυξη της κατανοµής ταχύτητας y x u x (y) U t >> 0, Τελική κατανοµή ταχύτητας, µόνιµη κατάσταση Ας θεωρήσουµε δύο πολύ µεγάλες πλάκες εµβαδού A παράλληλες µεταξύ τους σε απόσταση Y. Οι πλάκες είναι αρχικά ακίνητες και µεταξύ τους υπάρχει κάποιό ρευστό. Την χρονική στιγµή t = 0 η κάτω πλάκα τίθεται σε κίνηση µε σταθερή ταχύτητα U. Καθώς περνάει ο χρόνος το ρευστό πάνω από τη πλάκα τίθεται σε κίνηση (αποκτά ορµή) και µετά από κάποια χρονική περίοδο το σύστηµα φτάνει σε µόνιµη κατάσταση και η κατανοµή της ταχύτητας γίνεται γραµµική. Για να διατηρείται η πλάκα σε κίνηση απαιτείται µία δύναµη F τέτοια ώστε:

F A U = µ (1.1) Y δηλαδή η δύναµη ανά µονάδα επιφάνειας είναι ανάλογη µε την µείωση της ταχύτητας στο διάκενο Y. Η σταθερά της αναλογίας είναι το ιξώδες του ρευστού. Η σχέση αυτή µπορεί να γραφεί επίσης ως: du x τ yx = µ (1.) dy όπου τ yx είναι η διατµητική τάση στην x διεύθυνση που ασκείται µεταξύ δύο γειτονικών στρωµάτων του ρευστού σε σταθερό y. Η εξίσωση αυτή αποτελεί τον νόµο του Νεύτωνα για το ιξώδες και τα ρευστά για τα οποία ισχύει (όλα τα αέρια και τα κοινά υγρά) λέγονται Νευτώνεια ρευστά. Ο νόµος του Νεύτωνα µπορεί να εξηγηθεί και κατά τον ακόλουθο τρόπο. Κοντά στην επιφάνεια y = 0 το ρευστό αποκτά ένα ποσό ορµής στην x-διεύθυνση. Με την σειρά του το ρευστό αυτό δίνει µέρος από την ορµή του στο γειτονικό του στρώµα ρευστού. Υπ' αυτήν την έννοια η ορµή στην διεύθυνση x µεταφέρεται µέσα στο ρευστό στη διεύθυνση y. Η διατµητική τάση τ yx µπορεί να θεωρηθεί ότι είναι η ροή της ορµής στην x διεύθυνση στην διεύθυνση y, δηλαδή η µοριακή διάχυσή της στη διεύθυνση y. ΜΟΡΙΑΚΗ ΙΑΧΥΣΗ ΤΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ - ΑΓΩΓΗ. Y t < 0, Ισοθερµοκρασιακό σύστηµα t = 0, Η κάτω επιφάνεια θερµαίνεται σε θερµοκρασία T 1 T 1 Τ(y, t) t > 0, Μεταβατική ανάπτυξη της κατανοµής θερµοκρασίας T 1 y x Τ(y) t >>0, Τελική κατανοµή θερµοκρασίας, µόνιµη κατάσταση T 1 Ας θεωρήσουµε ότι µεταξύ των δύο πλακών υπάρχει κάποιο στερεό µέσο. Όλο το σύστηµα βρίσκεται αρχικά σε σταθερή θερµοκρασία T 0 και ξαφνικά στη χρονική στιγµή t = 0 επιβάλλεται και διατηρείται κάποια ανώτερη θερµοκρασία T 1 στην κάτω επιφάνεια. Το σύστηµα θα περάσει από µια µεταβατική κατάσταση και η κατανοµή της θερµοκρασίας θα 3

µεταβάλλεται µέχρι να φτάσει σε γραµµική µορφή στη µόνιµη κατάσταση. Για να διατηρηθεί η µόνιµη αυτή κατάσταση απαιτείται µια ροή θερµότητας Q δια µέσου του στερεού. Για σχετικά µικρές διαφορές θερµοκρασίας T = T 1 - T 0 έχει παρατηρηθεί ότι ισχύει η σχέση: Q A k T = (1.3) Y δηλαδή η ροή θερµότητας ανά µονάδα επιφάνειας είναι ανάλογη µε τη µείωση της θερµοκρασίας στο πάχος Y. Η σταθερά της αναλογίας είναι η θερµική αγωγιµότητα του υλικού. Η παραπάνω σχέση µπορεί να γραφεί σε διαφορική µορφή αν θεωρήσουµε στερεό που το πάχος του τείνει στο µηδέν: q y = k dt (1.4) dy όπου q y (q y ) είναι η ροή θερµότητας ανά µονάδα επιφάνειας. Η εξίσωση αυτή είναι η µονοδιάστατη µορφή του νόµου της θερµικής αγωγής του Foue. ΜΟΡΙΑΚΗ ΙΑΧΥΣΗ ΜΑΖΑΣ Y t < 0, Μηδενική συγκέντρωση H m 0,H t = 0, Το κλάσµα µάζας αποκτά σταθερή τιµή ακριβώς µέσα από την κάτω επιφάνεια m ( y t), H m 0,H t > 0, Μεταβατική ανάπτυξη της κατανοµής κλάσµατος µάζας y x m0,h ( y) m 0,H t >>0, Τελική κατανοµή κλάσµατος µάζας, µόνιµη κατάσταση Ας θεωρήσουµε τώρα την περίπτωση ενός στερεού τοιχώµατος από γυαλί το οποίο διαχωρίζει δύο χώρους στους οποίους υπάρχει αρχικά αέρας. Τη χρονική στιγµή t = 0 ο κάτω χώρος γεµίζει µε υδρογόνο το οποίο αρχίζει να διαχέεται µέσα στο γυαλί και το κλάσµα µάζας (το ποσοστό δηλαδή του H κατά µάζα) στο κατώτερο µέρος του τοιχώµατος αποκτά την τιµή m. Με την πάροδο του χρόνου το σύστηµα θα περάσει µια µεταβατική 0,H 4

κατάσταση κατά τη οποία το υδρογόνο διαχέεται όλο και πιο µέσα στο τοίχωµα και η κατανοµή του κλάσµατος µάζας συνεχώς µεταβάλλεται. Μετά από αρκετό χρόνο και εφ όσον οι συνθήκες στους δύο χώρους διατηρούνται σταθερές, το σύστηµα θα καταλήξει σε µόνιµη κατάσταση που θα χαρακτηρίζεται από µια γραµµική κατανοµή του κλάσµατος µάζας µέσα στο τοίχωµα. Στη µόνιµη κατάσταση θα παρατηρείται διαρροή υδρογόνου µέσα από το m kg/s τέτοια ώστε τοίχωµα µε µαζική παροχή ( ) H m m m = ρ A Y H Y,H 0,H HGlass (1.5) δηλαδή η παροχή µάζας ανά µονάδα επιφάνειας είναι ανάλογη µε τη µείωση του κλάσµατος µάζας στο πάχος Y. Η σταθερά αναλογίας είναι ο συντελεστής διάχυσης. Η σχέση αυτή µπορεί να γραφεί σε διαφορική µορφή όπου j H είναι ο ρυθµός ροής µάζας (kg/m 3 s). j dm H = ρ H HGlass (1.6) Η εξίσωση αυτή είναι η µονοδιάστατη µορφή του νόµου της διάχυσης του Fck. dy ΟΜΟΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΙΑΦΟΡΕΣ Κοινή µορφή (µονοδιάστατη) j d = ( m ) dy ρ Νόµος Fck για ρ = ct (1.7) Ay AB A d τ yx = ν ( ρux ) Νόµος Νεύτωνος για ρ = ct (1.8) dy q y d = α ( ρcpt) Νόµος Foue για ρ cp = ct (1.9) dy ΙΑΦΟΡΕΣ Η ορµή είναι διανυσµατικό µέγεθος για το λόγο αυτό οι τάσεις σε τρισδιάστατη ροή εκφράζονται µε τον τανυστή των τάσεων. Οι άλλες δύο εξισώσεις µπορούν να γραφούν σε διανυσµατική µορφή. Στη µεταφορά µάζας οι συγκεντρώσεις παρουσιάζουν ασυνέχεια στα όρια ενώ η ταχύτητα και η θερµοκρασία έχουν συνεχείς τιµές (βλέπε σχήµα). 5

Η µεταφορά µάζας πέρα από την βαθµίδα της συγκέντρωσης επηρεάζεται από τη βαθµίδα της θερµοκρασίας και της πίεσης όπως και από πεδιακές δυνάµεις. 6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΣΜΟΙ Στην ανάλυση των φαινοµένων µεταφοράς µάζας θα περιοριστούµε µόνο στην ανάλυση για συνεχή µέσα που παρουσιάζει και το µεγαλύτερο ενδιαφέρον για τους µηχανικούς. Αναφορά στην µοριακή φύση των φαινοµένων θα γίνει σε πολύ περιορισµένο βαθµό και µόνο για την διευκόλυνση της κατανόησής τους. Για την περιγραφή των φαινοµένων που περιλαµβάνουν πολυσυστατικά µέσα είναι αναγκαίο να ορίσουµε παραµέτρους που θα περιγράφουν την συγκέντρωση και την κινητική των επιµέρους ειδών. Η συγκέντρωση ενός συγκεκριµένου είδους µπορεί να δοθεί µε πολλούς τρόπους. Θεωρώντας ένα στοιχειώδη όγκο V το πρόβληµα είναι να προσδιορίσουµε το υλικό που περιέχεται µέσα σ αυτόν. Μαζική συγκέντρωση του είδους είναι η µερική πυκνότητα ρ = µάζα του είδους ανά µονάδα όγκου µίγµατος [ kg m -3 ] kg 3 m. Η συνολική µαζική συγκέντρωση είναι η συνολική µάζα ανά µονάδα όγκου δηλαδή η πυκνότητα ρ = Σρ. Το κλάσµα µάζας του είδους ορίζεται ως m ρ ρ = (άρα Σm = 1) Κατ αντιστοιχία σε γραµµοµοριακή βάση ορίζονται: 7

Μοριακή συγκέντρωση του είδους αν c = αριθµός γραµµοµορίων του ανά µονάδα όγκου M kg είναι το µοριακό βάρος του είδους kmol 3 kmol m c ρ M =. Η συνολική γραµµοµοριακή συγκέντρωση είναι η γραµµοµοριακή πυκνότητα c = Σc. Το γραµµοµοριακό κλάσµα του είδους ορίζεται ως x c c = (άρα και Σx = 1). Από τους παραπάνω ορισµούς προκύπτουν άµεσα κάποιες ιδιαίτερα χρήσιµες σχέσεις. Το µέσο µοριακό βάρος ενός µίγµατος (ή διανύσµατος) µπορεί να γραφεί M ρ = = xm ή c 1 m = M M Το κλάσµα µάζας µπορεί να εκφραστεί συναρτήσει των γραµµοµοριακών κλασµάτων και των µοριακών βαρών m x M M = = x x jm j M Αντίστοιχα το γραµµοµοριακό κλάσµα συναρτήσει των κλασµάτων µάζας και των µοριακών βαρών είναι x m M = = m j M j m M M ΤΑΧΥΤΗΤΑ Σ ένα µίγµα κάθε χηµικό είδος είναι δυνατόν να κινείται µε διαφορετική ταχύτητα. Με βάση τη θεώρηση του συνεχούς µέσου η ταχύτητα αυτή είναι η µέση ταχύτητα πολλών µορίων του συγκεκριµένου είδους µέσα σ ένα µικρό όγκο (αρκετά µικρό ώστε να έχει τοπικό χαρακτήρα σε σχέση µε τις κλίµακες της ροής αλλά αρκετά µεγάλο ώστε να περιέχει αρκετά µόρια και να έχει νόηµα η µέση τιµή). 8

Αν συµβολίσουµε µε u την ταχύτητα του είδους σε σχέση µε ένα σταθερό σύστηµα συντεταγµένων τότε η µέση µαζική ταχύτητα του µίγµατος ορίζεται ως u ρ u = ρ Το γινόµενο ρu είναι η τοπική παροχή µάζας ανά µονάδα επιφάνειας στη διεύθυνση της u. Η ταχύτητα αυτή αντιστοιχεί στην ταχύτητα ενός µονοσυστατικού ρευστού όπως χρησιµοποιείται στη ρευστοδυναµική. Μια άλλη µορφή της ταχύτητας που χρησιµοποιείται συχνά σε προβλήµατα διάχυσης και µεταφοράς µάζας είναι η µέση γραµµοµοριακή ταχύτητα που ορίζεται ως cu u * = c Σ αυτή την περίπτωση το γινόµενο cu είναι η τοπική παροχή γραµµοµορίων ανά µονάδα επιφάνειας στη διεύθυνση της u *. Σε πολλές περιπτώσεις παρουσιάζει µεγαλύτερο ενδιαφέρον η σχετική ταχύτητα ενός συστατικού ως προς την ταχύτητα του πολυσυστατικού µίγµατος. Για το λόγο αυτό ορίζονται η ταχύτητα διάχυσης του ως προς τη µαζική ταχύτητα του µίγµατος και = u u η ταχύτητα διάχυσης του ως προς τη γραµµοµοριακή ταχύτητα του µίγµατος = u u * Μερικές χρήσιµες σχέσεις που προκύπτουν από τους παραπάνω ορισµούς δίνονται στη συνέχεια 1 u = Σ ρu =Σmu ρ 1 u * = Σ cu =Σxu c u u * =Σm u u * u * u =Σx u u ( ) ( ) ΡΥΘΜΟΣ ΡΟΗΣ Με τον όρο ρυθµός ροής αναφερόµαστε ουσιαστικά στην παροχή ανά µονάδα επιφάνειας. Ανάλογα µε το σύστηµα αναφοράς µπορούµε να ορίσουµε µαζικούς ή γραµµοµοριακής ρυθµούς ροής ως εξής: Ως προς ακίνητο σύστηµα αναφοράς 9

µαζικός n = ρu γραµµοµοριακός N = cu Ως προς τη µαζική µέση ταχύτητα Μαζικός j = ρ ( u u ) γραµµοµοριακός J = c ( u u ) Ως προς τη γραµµοµοριακή µέση ταχύτητα Μαζικός j* = ρ ( u u *) γραµµοµοριακός J * = c ( u u *) Κάθε ένας τύπος από τους παραπάνω ρυθµούς ροής είναι αρκετός για να περιγράψει όλα τα προβλήµατα διάχυσης. Ο λόγος της ύπαρξης και της παρουσίασης όλων είναι ότι καθένας από αυτούς παρουσιάζει πλεονεκτήµατα σε ορισµένα επιµέρους προβλήµατα. Για παράδειγµα ο N είναι ιδιαίτερα χρήσιµος σε πολλά προβλήµατα µηχανικού για τον υπολογισµό των παραµέτρων σε διεργασίες ως προς σταθερό σύστηµα αναφοράς. Από την άλλη οι τύποι j και J * χρησιµοποιούνται συχνά σαν µέτρο του ρυθµού διάχυσης στην κατάστρωση των εξισώσεων διατήρησης για πολυσυστατικά συστήµατα. Μερικές χρήσιµες σχέσεις που προκύπτουν από τους µέχρι τώρα ορισµούς είναι j = n mσn j J * = N xσn Σ j = 0 Σ J * = 0 j Στον ακόλουθο πίνακα παρουσιάζεται µία περίληψη των ορισµών και χρήσιµες σχέσεις για δυαδικά συστήµατα (συστήµατα δύο συστατικών). 10

Βασικοί ορισµοί Σχέσεις µεταξύ των ρυθµών ροής ΜΑΖΙΚΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΟΜΟΡΙΑΚΟΙ ΡΥΘΜΟΙ ΡΟΗΣ ΣΕ ΥΑ ΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέγεθος Προς σταθερούς άξονες Προς u Προς u* Ταχύτητα είδους Α 1 cm sec u Α (A) u u A (B) u u A * (C) ( ) Μαζικός ρυθµός ροής είδους Α 1 gcm sec A = ρ A A ( ) Γραµµοµοριακός ρυθµός ροής είδους Α g molescm sec 1 ( ) A A A n u (D) j = ρ ( u u ) (E) * = ρ ( *) A A A N = c u (G) = c ( ) A A A Άθροισµα µαζικών ρυθµών ροής 1 gcm sec na + nb = ρu (J) A + B = 0 ( ) Άθροισµα γραµµοµοριακών ρυθµών ροής g molescm sec 1 ( ) Ρυθµός ροής συναρτήσει των n A και n B j u u (F) A A A J u u (H) * = c ( *) J u u (I) A A A j j (K) * + * = ( *) j j u u (L) A B ρ NA + NB = cu * (M) JA + JB = c( u* u ) (N) JA* + J B* = 0 (O) A N A (P) A = A ma( A B) M A = n Ρυθµός ροής συναρτήσει των na = N AM A (S) N A και N B Ρυθµός ροής συναρτήσει των j A και u Ρυθµός ροής συναρτήσει των J A * και u* n A = ja + ρ Au (V) M A j n n n (Q) ja* = na xa na + n B (R) M B = m M + B A A A A B M A J N N N (T) * = x ( + ) = j J N N N (U) A A A A B A J A (W) j A * = j A (X) M A M B M B NA = JA* +cau * (Y) JA = J A* (Z) ja* = J A* M A (AA) M M 11

Ο ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΙΑΧΥΣΗΣ ΤΟΥ FICK Με βάση τους προηγούµενους ορισµούς ο νόµος του Fck, που γενικά λεει ότι ένα είδος διαχέεται στην κατεύθυνση που µειώνεται η συγκέντρωσή του, µπορεί να γραφεί µε πολλούς ισοδύναµους τρόπους. Μερικοί από αυτούς παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα για ένα δυαδικό σύστηµα. Ρυθµός ροής Βαθµίδα Μορφή του 1 ου Νόµου του Fck n A m A na ma( na + nb) = ρdab ma (A) N A x A NA xa( NA + NB) = cdab xa (B) j A m A ja = ρdab ma (C) J A * xa J A * = cd AB x A (D) j A c x A ja = M AMBDAB xa ρ (E) J A * ( υ ) c υ ma A B xa ( ) AB ρ JA* = DAB ma cm AM B (F) cd c ua ub = xa xx (G) A B ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΕΩΝ ΣΤΟ ΜΕΘΟΡΙΟ Ασυνέχεια συγκεντρώσεων θεωρούµε εκατέρωθεν επιφάνειες u και s απειροστά κοντά στο µεθόριο Θεωρούµε ότι στην περιοχή του µεθόριου υπάρχει θερµοδυναµική ισορροπία Υγρό-Ατµός Με βάση την µερική πίεση των ατµών P= P, P = ρ T = ρ T M P ρ T T c T P M P P P = = c = x = x x = 1 HO x H O, s x H O Για νερό σε T = 310 K και P = 10 5 ba 5 P Sat = 0, 064 x10 Pa u s x, 0.064 HOs PHO = = P

m HOs, x HOs, M HO 0.064 18 0.064 18 + 1 0.064 9 = = = M ( ) 0.0396 Στερεό που διαλύεται σε υγρό Με βάση τη διαλυτότητα Για αλάτι σε νερό στους 30 ºC m = 1 NaCl ιάλυµα αλατιού σε νερό m NaCl, s διαλυτότητα = 36.3g 100g 0.363 m NaCl, s = = = 0.66 1+ 1+ 0.363 u s m NaCl Απορρόφηση αερίου από υγρό Νόµος του Heny x = He x, όπου He ο αριθµός Heny s, u, He ( ) He P = C T, όπου Για CO σε πίεση 3 ba και νερό 300 K C = 1710 ba He C He η σταθερά Heny ιάλυµα CO σε νερό x CO x CO, s x = 1 CO 1710 He CO = = 570 3 u s x CO, u xco, s 1 = = = 0.00175 He 570 CO ιάλυση αερίου σε στερεό Αντιστρεπτή Σε αρκετές περιπτώσεις η διάλυση του αερίου στο στερεό γίνεται αντιστρεπτά (π.χ. διάλυση Υδρογόνου σε Τιτάνιο) Για αντιστρεπτή διάλυση µία συνήθης µορφή σχέσεως για τον προσδιορισµό του κλάσµατος µάζας στην εσωτερική προς το στερεό πλευρά του µεθόριου Καθαρό Ο ή αέρας TO m O, s u O διαλυµένο σε Τιτάνιο m O 14

είναι: ( ) m = C T P u, s, Μη Αντιστρεπτή 1 Οι µη αντιστρεπτή διάλυση µπορεί να συνοδεύεται και από άλλα φαινόµενα όπως για παράδειγµα η δηµιουργία διοξειδίου του τιτανίου σε συστήµατα Οξυγόνου-Τιτανίου. ΕΞΑΡΤΗΣΗ ΤΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ ΜΟΡΙΑΚΗΣ ΙΑΧΥΣΗΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΠΙΕΣΗ ΚΑΙ ΤΗΝ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ Οι συντελεστές µοριακής διάχυσης (ιξώδες για την ορµή, αγωγιµότητα για τη θερµότητα και µάζας για τη µάζα) εξαρτώνται από την πίεση και την θερµοκρασία. Πληροφορίες για την τιµή των συντελεστών αυτών βρίσκονται στην βιβλιογραφία συνήθως σε µορφή πινάκων. Η διαθεσιµότητα των δεδοµένων αυτών µειώνεται µε το ιξώδες στην αγωγιµότητα και ακόµη περισσότερο στον συντελεστή διάχυσης µάζας αντανακλώντας τον βαθµό διερεύνησης των επιµέρους τοµέων αλλά και την πολυπλοκότητα της εξάρτησής τους και του πειραµατικού προσδιορισµού κάθε συντελεστή. Στην συνέχεια παρουσιάζονται κάποιες συσχετίσεις που επιτρέπουν τον προσδιορισµό των συντελεστών όταν δεν υπάρχουν διαθέσιµα πειραµατικά δεδοµένα. Στο σχήµα 5 παρουσιάζονται διαγράµµατα που συνδέουν το ανηγµένο ιξώδες µ µ = µε µ την ανηγµένη θερµοκρασία T T = και πίεση P T = P. Οι παράµετροι αναγωγής c Pc αναφέρονται στο κρίσιµο σηµείο. Στο διάγραµµα αυτό φαίνεται ότι το ιξώδες ενός αερίου προσεγγίζει ένα συγκεκριµένο όριο (το όριο χαµηλής πυκνότητας) καθώς η πίεση τείνει στο µηδέν για δεδοµένη θερµοκρασία. Το ιξώδες των περισσότερων αερίων έχει ουσιαστικά πιάσει το όριο σε πίεση 1 atm. Από το διάγραµµα είναι επίσης φανερό ότι το ιξώδες ενός αερίου σε χαµηλή πυκνότητα αυξάνεται µε την αύξηση της θερµοκρασίας ενώ αντίθετα το ιξώδες ενός υγρού µειώνεται µε την αύξηση της θερµοκρασίας. c 15

Υγρό Πυκνό Αέριο Ανηγµένο Ιξώδες µ=µ/µc ιφασική Περιοχή Κρίσιµο Σηµείο Όριο Χαµηλής Πυκνότητας Ανηγµένη θερµοκρασία T =T/T c 16

Ανηγµένο Ιξώδες µ # =µ/µ 0 Ανηγµένη Πίεση p =p/p c Συνήθως δεν υπάρχουν πειραµατικές τιµές για το τιµής του µε δύο τρόπους. µ c. Είναι όµως δυνατή η εκτίµηση της Αν είναι γνωστή η τιµή του ιξώδους σε συγκεκριµένη ανηγµένη πίεση και θερµοκρασία (κατά προτίµηση σε συνθήκες παραπλήσιες προς τι ζητούµενες) τότε το µ µπορεί να υπολογιστεί ως µ µ c =. µ Αν είναι γνωστά µόνο δεδοµένα p.v.t. τότε το µ c µπορεί να εκτιµηθεί από τις σχέσεις ( M T ) ( V ) 1 µ 61.6 c c c 3 = ή µ = 7.70M p T 1 1 3 6 c c c c 17

από τις οποίες το µ c προκύπτει σε (µp) (µικρό-pose, 1p =1g / cm s), M είναι το µοριακό βάρος, T c σε ( ο Κ), (cm 3 / gam mole). P c σε (atm) και V ο ειδικός όγκος ανά γραµµοµόριο σε Ένας άλλος τρόπος για την εκτίµηση του ιξώδους βασίζεται στο διάγραµµα του σχήµατος 6. Το διάγραµµα αυτό παρουσιάζει την εξάρτηση του ανηγµένου ιξώδους µ # =µ/µ 0 από την ανηγµένη πίεση P και θερµοκρασία Τ. Το µ 0 είναι το ιξώδες σε ατµοσφαιρική πίεση και στην ίδια θερµοκρασία. Τα διαγράµµατα που παρουσιάστηκαν βρίσκονται σε καλή συµφωνία µεταξύ τους στην κοινή τους περιοχή. Για τον υπολογισµό του ιξώδους πολυσυστατικών µιγµάτων µε χρήση του πρώτου διαγράµµατος χρησιµοποιούνται οι ψευδοκρίσιµες ιδιότητες που ορίζονται εµπειρικά ως p =Σ xp, T =Σ xt, µ =Σ xµ c c c c c c Η µέθοδος αυτή δεν είναι ιδιαίτερα ακριβής όταν το µίγµα περιέχει χηµικά ανόµοια συστατικά ή όταν οι κρίσιµες ιδιότητες διαφέρουν σηµαντικά. Το δεύτερο διάγραµµα µπορεί επίσης να χρησιµοποιηθεί για πολυσυστατικά µίγµατα µε αντίστοιχη διαδικασία. Το µ* σ αυτή την περίπτωση δίνεται από την ανάλυση του ιξώδους των αερίων σε χαµηλή πυκνότητα που θα παρουσιαστεί σε επόµενη παράγραφο. Στο σχήµα 7 παρουσιάζεται ένα αντίστοιχο διάγραµµα που συνδέει την ανηγµένη θερµική αγωγιµότητα k k = (k k c στο κρίσιµο σηµείο) µε την ανηγµένη θερµοκρασία T = T και c Tc πίεση p p =. Το διάγραµµα αυτό αν και έγινε για µονοατοµικά υλικά µπορεί να pc χρησιµοποιηθεί προσεγγιστικά και για πολυατοµικά. Παρατηρείται και σ αυτή την περίπτωση ότι η αγωγιµότητα ενός αερίου προσεγγίζει στο όριο για χαµηλές πιέσεις µία συνάρτηση του Τ. Η αγωγιµότητα των περισσότερων αερίων έχει ουσιαστικά φτάσει σ αυτό το όριο σε πίεση 1 atm. Κατ αντιστοιχία µε το ιξώδες η αγωγιµότητα των αερίων σε χαµηλή πυκνότητα αυξάνεται µε την αύξηση της θερµοκρασίας και των περισσότερων υγρών µειώνεται µε την αύξηση της θερµοκρασίας. Η συσχέτιση αυτή είναι λιγότερο αξιόπιστη στην περιοχή του υγρού. Πολικά υγρά όπως το νερό είναι δυνατόν να παρουσιάζουν τοπικά µέγιστο στην καµπύλη k ως προς Τ. εδοµένα για την τιµή του k c δεν είναι συνήθως διαθέσιµα. Η τιµή αυτή όµως µπορεί να εκτιµηθεί κατ αντιστοιχία µε το µ c αν είναι γνωστή η τιµή του k για συγκεκριµένη θερµοκρασία και πίεση κατά προτίµηση σε συνθήκες κοντά σε ζητούµενες. Το k µπορεί σε περίπτωση που δεν υπάρχουν πειραµατικά δεδοµένα να υπολογιστεί στην περιοχή χαµηλών πυκνοτήτων από σχέσεις που θα παρουσιαστούν σε επόµενη παράγραφο. 18

Ανηγµένοη θερµική αγωγιµότητα, k=k/kc Ανηγµένη θερµοκρασία, T =T/T c Το διάγραµµα του σχήµατος 8 χρησιµοποιείται επίσης για τον προσδιορισµό της αγωγιµότητας. Στο διάγραµµα αυτό παρουσιάζεται η συναρτησιακή εξάρτηση της ανηγµένης # 0 αγωγιµότητας k = k/ k από την ανηγµένη πίεση p και θερµοκρασία Τ. Το k 0 είναι η θερµική αγωγιµότητα στην ζητούµενη θερµοκρασία αλλά σε ατµοσφαιρική πίεση. Πρέπει να σηµειωθεί ότι τα διαγράµµατα αυτά βασίζονται σε περιορισµένο αριθµό πειραµατικών δεδοµένων και η ακρίβειά τους είναι περιορισµένη ιδιαίτερα για πολυατοµικά είδη. 19

Για πολυσυστατικά µίγµατα χρησιµοποιούνται τεχνικές ανάλογες µε αυτές για το ιξώδες. Η ακρίβεια αυτών των τεχνικών είναι αµφισβητήσιµη ιδίως λόγω της έλλειψης πειραµατικών δεδοµένων για µίγµατα σε υψηλές πιέσεις. Ανηγµένη θερµική Αγωγιµότητα k # =k/k 0 Ανηγµένη Πίεση p =p/p c Οι πληροφορίες για τον συντελεστή διάχυσης µάζας είναι πολύ περιορισµένες. Για δυαδικά συστήµατα τα πειραµατικά δεδοµένα που υπάρχουν αφορούν µικρές περιοχές συνθηκών και η ακρίβειά τους είναι αµφισβητήσιµη. Επί πλέον ο συντελεστής AB εξαρτάται και από την σύνθεση του µίγµατος πέρα από την εξάρτηση από την πίεση και την θερµοκρασία. Για τους λόγους αυτούς οι συσχετίσεις που υπάρχουν για τον AB βασίζονται περισσότερο στη θεωρία παρά στο πείραµα και η αξιοπιστία τους είναι περιορισµένη. Για χαµηλές πιέσεις και µε βάση την κινητική θεωρία και την θεωρία αντίστοιχων καταστάσεων προτείνεται η σχέση 0

p AB 1 1 5 3 1 1 1 TcAT cb ca cb ca cb + MA MB ( p p ) ( T T ) T = a 1 όπου το AB είναι σε µονάδες cm sec, το p σε atm και το Τ σε ο k. Με βάση πειραµατικά δεδοµένα προσδιορίζονται οι τιµές των σταθερών α και b. b Για µη πολικά ζεύγη αερίων a 4 =.745 10 και b = 1.83. Για H O και ένα µη πολικό αέριο a 4 = 3.640 10 και b =.334. Η συσχέτιση αυτή παρουσιάζει ακρίβεια 8% σχετικά µε πειραµατικές µετρήσεις σε ατµοσφαιρική πίεση. Για ζεύγη µη πολικών αερίων για τα οποία είναι γνωστές οι παράµετροι Lennad Jones η σχέση που θα δοθεί σε επόµενη παράγραφο µε βάση την κινητική θεωρία είναι προτιµότερη. Για υψηλές πιέσεις υπάρχουν περιορισµένα δεδοµένα για τον συντελεστή αυτο-διάχυσης AA βασισµένα σε πειράµατα µε ισότοπα. Με βάση τέτοια δεδοµένα και την κινητική θεωρία για πυκνά αέρια κατά Enskog δηµιουργήθηκε το διάγραµµα του σχήµατος 9 όπου δίνεται η εξάρτηση του λόγου ( ) o p p σαν συνάρτηση της ανηγµένης AA θερµοκρασίας T = T Tc και πίεσης p = p pc. Ο εκθέτης ο δείχνει ότι το γινόµενο πρέπει να υπολογιστεί στην ίδια θερµοκρασία µε το ζητούµενο αλλά σε χαµηλή πίεση. Λόγω έλλειψης άλλων στοιχείων έχει προταθεί η χρήση του διαγράµµατος αυτού για τον προσδιορισµό του σε δυαδικά µίγµατα µε την αντικατάσταση των p c και T c από τις ψευδοκρίσιµες τιµές AB p c και c AA T. Η ακρίβεια µιας τέτοιας εκτίµησης είναι άγνωστη. 1