Θέμα : ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 Ενδεικτική πορεία διδασκαλίας Α. Συντεταγμένες. Δίνουμε στους εκπαιδευόμενους έτοιμες γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων, διάφορα παιγνίδια με συντεταγμένες, ένα απόκομμα χάρτη [μιας πόλεως] για την εύρεση συγκεκριμένης οδού κλπ και τους οδηγούμε να "αριθμητικοποιήσουν" τις θέσεις στο επίπεδο. Μπορούμε επίσης, ορίζοντας γραμμές και στήλες να "αντικαταστήσουμε "τα ονόματα τους με ένα ζευγάρι αριθμών. Β. Πυρετός αρρώστου-κατασκευή διαγράμματος. Ιδανικός αριθμός παλμών της καρδιάς αθλούμενων. Ταχογράφος. Βιβλιάρια παιδιών: Εθνικά πρότυπα. Γ. Ανάλογα ποσά-ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων. Σχεδίαση. Προβλήματα. Δ. Σχεδίαση τυχαίας ευθείας-χρεώσεις με πάγιο. Παράλληλες ευθείες. Ε. Συγκρίσεις προσφορών [π.χ. συνδέσεων σε internet]-σχεδίαση πολλών ευθειών σε ένα σύστημα συντεταγμένων. Ζ. Κλίση κατεύθυνση άνεμοι - ορολογία. Μήκος κύκλου προς διάμετρο Ερμηνεία του π. Η. Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Υπερβολή-Προβλήματα. Θ. Προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού Ι. Προβλήματα μεγιστοποίησης κέρδους ελαχιστοποίησης κόστους. Συνάρτηση. Σχεδίαση. [Λύση με τη μέθοδο των διαδοχικών προσεγγίσεων] Κ. Αριθμητική και γεωμετρική πρόοδος. Ο μύθος για την ανακάλυψη του σκακιού. Μέσα-Υλικά Φωτοτυπίες από εφημερίδες περιοδικά για τις εξελίξεις διαφόρων γεγονότων [Πωλήσεις αυτοκινήτων, τιμές μετοχών, σχέση ευρώ και δολαρίου, πληθυσμιακά θέματα κλπ]. Φωτοτυπίες από διαφημίσεις εταιρειών για φθηνότερα προϊόντα σε σχέση με τις ανταγωνιστικές εταιρείες. Το φύλλο που είναι αναρτημένο μπροστά στο κρεβάτι κάθε αρρώστου και δείχνει την εξέλιξη του πυρετού, της αρτηριακής πίεσης κλπ. Διάφορες χρεώσεις υπηρεσιών [χώροι στάθμευσης ( π.χ. αεροδρόμιο Θεσ/νίκης: 11,9 για τις πρώτες 24 ώρες και 0,3 κάθε επόμενη ώρα), ταξί, κλπ] Άνεμοι ονομασίες. Προβλήματα από την καθημερινή ζωή που οδηγούν στην δημιουργία συνάρτησης [ιδίως προβλήματα που δεν έχουν μοναδική απάντηση αλλά η επιλογή λύσης εξαρτάται από τις προτιμήσεις καθενός] Προβλήματα με ποσά ανάλογα, αντιστρόφως ανάλογα, προβλήματα βελτιστοποίησης.
2 Σκοποί -Στόχοι-Επιδιώξεις Οι εκπαιδευόμενοι θα πρέπει να μπορούν να χρησιμοποιούν μεταβλητές για τις τιμές των διαφόρων ποσών. Να εκφράζουν μια μεταβλητή με τη βοήθεια μιας άλλης. Να συντάσσουν ένα πίνακα τιμών μιας συνάρτησης. Να γίνουν ικανοί να διαβάζουν και να κατανοούν μια γραφική παράσταση. Να μάθουν με ποιό τρόπο οι γραφικές παραστάσεις βοηθούν τους ανθρώπους να προβαίνουν σε επιτυχείς επιλογές για το παρόν, κατανόηση του παρελθόντος και προβλέψεις για το μέλλον. Να είναι ικανοί να μοντελοποιούν καταστάσεις της καθημερινής ζωής και να τις αναπαριστούν με μεταβλητές, συναρτήσεις, πίνακες, γραφήματα. Να αποκτήσουν την ικανότητα να κατασκευάζουν απλές γραφικές παραστάσεις. Να είναι ακριβείς στα σχεδιαγράμματα που κατασκευάζουν. Να χρησιμοποιούν τη γραφική παράσταση για τη λύση προβλημάτων. Ενδεικτικός χρόνος [Α,4] [Β,4] [Γ,8] [Δ,4] [Ε,4] [Ζ,8] [Η,8] [Θ,8] [Ι,8] [Κ,4] Ειδικές παρατηρήσεις Με την βοήθεια των συντεταγμένων μπορούμε να δείξουμε στους εκπαιδευόμενους μια ακόμα εφαρμογή των αρνητικών αριθμών [αλλαγή κατεύθυνσης]. Μπορούμε επίσης με την βοήθεια της γήινης σφαίρας να αναφερθούμε στο γεωγραφικό πλάτος και μήκος ενός τόπου. Την έννοια της συνάρτησης θα την αντιλαμβανόμαστε "με τον τρόπο του Bernoulli", δηλαδή ως "έκφραση που κατασκευάζεται με ορισμένο τρόπο από ένα μεταβλητό μέγεθος και από σταθερές". Το νόημα αυτό ισοδυναμεί, ουσιαστικά, με μιαν επακριβώς διατυπωμένη οδηγία για το τι πρέπει να κάνουμε στον αριθμό χ ούτως ώστε να λάβουμε το ψ. Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων μεταβλητών [π.χ.πρόσθεση: ζ = χ + ψ,εμβαδόν, όγκος κλπ] Τα προβλήματα βελτιστοποίησης παρέχουν ιδεώδες υλικό για τη διδασκαλία του συλλογίζεστε, της επινοητικότητας, της επιστημονικής ευελιξίας και της υπερπήδησης νοητικών δυσκολιών.
3 Φύλλα εργασίας Σύστημα συντεταγμένων 5-5 5-5 -
4 Ανάλογα ποσά y=8x y=2x y=x 5 y=0.5x y=0.1x 5 Συναρτήσεις με πάγιο
y=2χ+3 y=2x 5 5 y=0.1x+5 y=0.1x 5 Κλίση 5 H E Z Μ 5 15
6 5 Θ H B E Ν Z Ξ A Δ Ο Π 5 15 Επιλογή Κινητού Ας υποθέσουμε ότι θέλετε νά αγοράσετε κινητό τηλέφωνο και μετά από έρευνα στην αγορά καταλήξατε μεταξύ τριών αξιόπιστων εταιρειών...α Β Γ. Η Α χρεώνει το μηνιαίο πάγιο 15 και 0,30 το κάθε λεπτό τηλεφωνικής κλήσης. Η Β χρεώνει το μηνιαίο πάγιο 12 και 0,40 το κάθε λεπτό τηλεφωνικής κλήσης. Η Γ χρεώνει το μηνιαίο πάγιο 9 και 0,50 το κάθε λεπτό τηλεφωνικής κλήσης. Ποιά εταιρεία σας συμφέρει να επιλέξετε τελικά;
7 30 30 25 20 15.3 x 12.4 x 15 9.5 x 5 0 0 20 30 40 50 0 x 50
Ποσά αντιστρόφως ανάλογα 8 5 15 Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει εμβαδόν 20cm 2.Ποιές μπορεί να είναι οι διαστάσεις του; Για να ξεφορτώσουν ένα φορτηγό δύο εργάτες χρειάζονται ώρες. Σε πόσες ώρες θα ξεφορτώσουν το ίδιο φορτηγό 4 εργάτες;...8 εργάτες;...1 εργάτης; Πόσοι εργάτες χρειάζονται για να ξεφορτώσουν σε μία ώρα;... σε 2 ώρες;
Πυθαγόρειος πυρετός 9 Ο Πυθαγόρας αρρώστησε βαριά και μεταφέρθηκε στο νοσοκομείο την Τετάρτη το πρωί με πυρετό 39.Του εφαρμόζεται μια θεραπεία και τα αποτελέσματα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. Τετάρτη Πέμπτη Παρασκευή Σάββατο Κυριακή Πρωί 39 39,8 40 39 37,5 Βράδυ 39,2 40,2 40 38,5 37 Να παρουσιάσετε την εξέλιξη της κατάστασης του Πυθαγόρα με ένα διάγραμμα. 1.Στον οριζόντιο άξονα Τ π, Τ β, Π π, Π β, κλπ,ανα 1cm. 2.Στον κατακόρυφο άξονα 2,5 δέκατα ανά 0,5cm. 3.Αρχή το σημείο (Τ π, 36) 5 5 15
ΜΕΓΙΣΤΟ ΒΙΟΤΕΧΝΙΑΣ Σε μια μικρή βιοτεχνία που κατασκευάζει παιγνίδια οι 4 εργάτες της πληρώνονται με το κομμάτι και παίρνουν 8 το μήνα για κάθε κομμάτι που κατασκευαζουν.αν όμως κατασκευάσουν περισσότερα από 200 παιχνίδια το μήνα, τότε η αμοιβή τους για κάθε επιπλέον κομμάτι μειώνεται κατά 0,02 το κομμάτι και για όλη την παραγωγή τους πληρώνονται με τη νέα τιμή του παιχνιδιου.ποσα παιχνίδια πρέπει να κατασκευάζουν το μήνα για να έχουν την μεγαλύτερη δυνατή αμοιβή; αν κατασκευάσουν 0 παιχνίδια το μήνα, τότε ποια είναι η αμοιβή τους; αν κατασκευάσουν 150 παιχνίδια το μήνα, τότε ποια είναι η αμοιβή τους; αν κατασκευάσουν 200 παιχνίδια το μήνα, τότε ποια είναι η αμοιβή τους; αν κατασκευάσουν 2 παιχνίδια το μήνα, τότε ποια είναι η αμοιβή τους; ποια είναι η μείωση της τιμής κάθε κομματιού; πόσο πληρώνονται τώρα για κάθε κομμάτι; πόσο θα πληρωθούν για τα 2 κομμάτια; αν κατασκευάσουν 280 παιχνίδια το μήνα, τότε ποια είναι η αμοιβή τους; ποια είναι η μείωση της τιμής κάθε κομματιού; πόσο πληρώνονται τώρα για κάθε κομμάτι; πόσο θα πληρωθούν για τα 280 κομμάτια; αν κατασκευάσουν 300 παιχνίδια το μήνα, τότε ποια είναι η αμοιβή τους; ποια είναι η μείωση της τιμής κάθε κομματιού; πόσο πληρώνονται τώρα για κάθε κομμάτι; πόσο θα πληρωθούν για τα 300 κομμάτια; αν κατασκευάσουν 320 παιχνίδια το μήνα, τότε ποια είναι η αμοιβή τους; ποια είναι η μείωση της τιμής κάθε κομματιού; πόσο πληρώνονται τώρα για κάθε κομμάτι; πόσο θα πληρωθούν για τα 320 κομμάτια; αν κατασκευάσουν 400 παιχνίδια το μήνα, τότε ποια είναι η αμοιβή τους; ποια είναι η μείωση της τιμής κάθε κομματιού; πόσο πληρώνονται τώρα για κάθε κομμάτι; πόσο θα πληρωθούν για τα 400 κομμάτια;
παιχνίδια επιπλέον των μείωση για αμοιβή για συνολική 200 κάθε κομμάτι κάθε κομμάτι αμοιβή 0 0 0 8 8*0 11 150 200 0 0 8 201 1 [201-200] 1*0,02 [8-0,02]7,98 7,92*201 202 2 2*0,02 2 [2-200] *0,02 [8-0,2]7,8 7,8*2 1638 220 280 300 320 5,6*320 1792 380 400 450 500 600 400*0,02 0 650 450 9 ;;; χ χ-200 ( )* 8-..
Γραφική παράσταση της εξέλιξης των αμοιβών 12 8x. 2000 2000 1800 1600 1400 0 12 x 0.02 x 2 00 800 600 400 200 0 0 0 200 300 400 500 600 0 x 600 Προβλήματα από τα σχολικά βιβλία Μια τάξη ετοιμάζει μία εκδρομή στο τέλος της σχολικής χρονιάς. Δύο γραφεία ταξιδιών Α και Β προσφέρουν τις υπηρεσίες τους νοικιάζοντας εκδρομικά λεωφορεία όπως φαίνεται παρακάτω: Γραφείο Α: 0 και 40 λεπτά για κάθε χιλιόμετρο, Γραφείο Β: 200 και 20 λεπτά για κάθε χιλιόμετρο. Ποία είναι η πιο συμφέρουσα προσφορά; [ Β γυμν, σελ.91] Αν η μεταβλητή χ συμβολίζει το ύψος σε εκατοστά ενός ενήλικου άνδρα, τότε το «ιδανικό» του βάρος ψ σε κιλά, εκφράζεται με τη συνάρτηση : ψ = 0,90 (χ-0). α)να βρείτε το «ιδανικό» βάρος των ανδρών με ύψη 1,75 μ - 1,80 μ - 1,85 μ - 1,90 μ. β)να βρείτε το ύψος των ανδρών με «ιδανικό» βάρος 90 κιλά, 0 κιλά. γ)να κάνετε πίνακα τιμών και γραφική παράσταση της συνάρτησης.[β Γυμν, σελ.156] Οι ανθρωπολόγοι εκτιμούν ότι το ύψος του ανθρώπου δίνεται από τις συναρτήσεις: Α(χ) = 2,89χ + 70,64 για τους άνδρες και Γ(χ) = 2,75χ + 71,48 για τις γυναίκες όπου χ είναι το μήκος του βραχίονα σε εκατοστά. Σε μια ανασκαφή βρέθηκε ένα οστό από βραχίονα μήκους 45cm. a) Αν προέρχεται από άνδρα ποιο ήταν το ύψος του; b) Αν προέρχεται από γυναίκα ποιο ήταν το ύψος της; [Γ Λυκείου, θετική, σελ.145]
Ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού Ένας παραγωγός φρουτοχυμών παράγει δύο είδη χυμών για πώληση: πορτοκάλι μήλο μήλο- πορτοκάλι Για να φτιαχτούν αυτά τα προϊόντα αναμιγνύεται καθαρός χυμός μήλου με καθαρό χυμό πορτοκαλιού στις ακόλουθες αναλογίες: 13 3 4 του λίτρου χυμός πορτοκαλιού και 1 4 για ένα λίτρο χυμό πορτοκάλι-μήλο 2 4 του λίτρου χυμός πορτοκαλιού και 2 4 για ένα λίτρο χυμό μήλο-πορτοκάλι του λίτρου χυμός μήλου του λίτρου χυμός μήλου Ο παραγωγός αυτός έχει στη διάθεσή του 200 τέταρτα του λίτρου χυμό πορτοκαλιού και 0 τέταρτα του λίτρου χυμό μήλου. Το κέρδος του από ένα λίτρο χυμό πορτοκάλι-μήλο είναι 3 και από ένα λίτρο χυμό μήλο-πορτοκάλι είναι 4. Πόσα λίτρα χυμό πορτοκάλι-μήλο και πόσα μήλο-πορτοκάλι πρέπει να παραχθούν για να έχει ο παραγωγός το μεγαλύτερο δυνατό κέρδος, χωρίς φυσικά να υπερβεί τα διαθέσιμα αποθέματα; 1. Ποιοι είναι οι πόροι; 2. Ποια ποσότητα κάθε πόρου είναι διαθέσιμη; 3. Ποια είναι τα προϊόντα; 4. Ποιες είναι οι συνταγές δημιουργίας των προϊόντων από τους πόρους; 5. Ποιο είναι οι άγνωστοι; 6. Ποιος είναι ο τύπος του κέρδους; Περιορισμοί που προέρχονται από τους πόρους. Στόχος. Ανισώσεις Εξισώσεις με συγκεκριμένα κέρδη
14 x 0 y 0 3 2 x+ y 50 4 4 1 2 x+ y 25 4 4 x 0 y 0 3x+ 2y 200 x+ 2y 0 x 0 y 0 y 1.5x+ 0 y 0.5x+ 50 Συνάρτηση κέρδους 3x+ 4y 3x+ 4y= 0 3x+ 4y= 160 3x+ 4y= 360 3x+ 4y= 200 1 0 90 80 1.5. x 0 0.5 x 50 70 60 50 40 30 20 0 0 20 30 40 50 60 70 80 90 0 1 0 x
15 1 0 90 1.5. x 0 0.5 x 50 0.75. x 40 0.75. x 90 80 70 60 50 40 30 20 0 0 20 30 40 50 60 70 80 90 0 1 0 x 1 0 90 1.5. x 0 0.5 x 50 0.75. x 40 0.75. x 90 0.75. x 62.5 80 70 60 50 40 30 20 0 0 20 30 40 50 60 70 80 90 0 1 0 x
16 0 90 80 70 60 50 Γ 40 30 20 Η O - 20 30 40 50 60 70 80 90 0 - -20-30 Ζ Η περιοχή λύσης είναι η πολυγωνική περιοχή ΟΖΗΓ. Κάθε σημείο αυτού του πολύγωνου αποτελεί λύση η οποία ικανοποιεί τους περιορισμούς του προβλήματος. Ενδιαφερόμαστε για την λύση η οποία δίνει το μέγιστο της συνάρτησης: 3χ+4ψ Εξετάζουμε τα ακραία σημεία του (κυρτού) συνόλου των δυνατών λύσεων.
Βιβλιογραφία 17 1. Σχολικά βιβλία Μαθηματικών, εκδ. ΟΕΔΒ. 2. Τουμάσης, Μ, Πως να ενεργοποιήσουμε τα παιδιά στο μάθημα των Μαθηματικών, εκδ.κωστογιαννος, Χαλκίδα, 1999. 3.Τουμάσης,Μ-Αρβανίτης Τ., Διδασκαλία Μαθηματικών με χρήση Η/Υ, εκδ.σαββαλας,αθήνα,2003. 4.Σακωνίδης, Χ., Κλωθου, Α., Βαρναβα -Σκουρα.Τ.,"Smile" [Πιλοτικά Προγρ. Ενισχ. Διδασκαλίας] 5. Κριτικός, Ν. Μαθηματικά, εκδ. Ιδρυματος Ευγενιδου, Αθήνα, 1972 6. Παυλίδου Μ., Γραμμικός Προγραμματισμός,Θεσσαλονίκη, 1972 7. Εξαρχάκος Θ.,Η Διδακτική των μαθηματικών, Αθήνα, 1988. 8. Μπαλλής Σ., Διδακτική Εμπειρία: Η έννοια της παραγώγου μέσα από Προβλήματα, Σημειώσεις Π.Ε.Κ. 9. Kenneth B. Henderson-Robert E. Pingry, Τα Μαθηματικά Εν χρήσει, μετ Κ.Παναγάκη, εκδ. Μ. Πεχλιβάνης και Σία Α.Ε., Αθήνα 1961..Consortium for Mathematics and its Applications, Τα Σύγχρονα Μαθηματικά στη Ζωή μας, επιμ.στ.παπασταυρίδης, εκδ.w.h.freeman & CO,Γιαλλελης-Μανωλάκης,Αθήνα,1990. 11.G.Polya, Πώς να το λύσω, μετάφρ.ξανθή Ψυακκή, εκδ.καρδαμίτσα, Αθήνα, 1991 12.V.M.Tikhomirov,Ιστορίες για Μέγιστα και Ελάχιστα, μετ.κ.γαβράς-γ.κατσιλιέρης, εκδ. Κάτοπτρο, Αθήνα, 1999. 13.The Open University, Εισαγωγή στην Ανάλυση,μετ.Λαμπροπούλου Ε., εκδ. Π.Κουτσουμπος Α.Ε., Αθήνα,1985. 14. Malba Tahan, Ο Άνθρωπος που Μετρούσε, μετ.τσιτσώνης Σ., εκδ. Κάτοπτρο,Αθήνα,2002. Αριθμητικός Γραμματισμός ΣΔΕ Νεάπολης Μάρτιος 2005