Solido zurruna 1: biraketa, inertzia-momentua eta momentu angeluarra

Solido zurruna 1: biraketa, inertzia-momentua eta momentu angeluarra Gaien Aurkibidea 1 Definizioa 1 2 Solido zurrunaren zinematika: translazioa eta biraketa 3 2.1 Translazio hutsa........................... 3 2.2 Biraketa................................ 4 3 Solido zurrunaren momentu angeluarra eta inertzia-tentsorea 5 4 Inertzia-ardatz nagusiak eta inertzia-momentuak 6 5 Ardatz finko baten inguruko biraketa eta Steiner-en teorema 8 Erreferentziak Física Universitaria 13. edizioa. Sears eta Zemansky. Pearson: 9. eta 1. kapituluak Fisika zientzialari eta ingeniarientzat. Fishbane, Gasiorowicz eta Thornton. UPV/EHU: 9. eta 1. kapituluak Fisika orokorra. UEUko Fisika Saila. UEU: 8. eta 9. kapituluak 1 Definizioa Solido zurruna partikula-sistema bat da. Hortaz, partikula-sistema bati dagozkion lege fisiko guztiak ere aplikatzen zaizkie solido zurrunei. Ordea, solido zurrun bat partikula-sistema berezi bat da, solidoa zurruna osatzen duten partikulen arteko ditantzia ez baita aldatzen. Horregatik deritzo zurruna. 1 irudian erakusten denez, solido zurrun bateko i eta j puntuen posiziobektoreak ~r i eta ~r j baldin badira kanpoko erreferentzia-sistema batean eta ~r i eta 1

z! ri r! j! r MZ ri x' z' MZ r j r! ' i = r! j r! i r j y' O y x Irudia 1: Solido zurrun bateko edozein bi punturen posizio-bektorea kanpoko eta masa-zentroko erreferentzia-sistemetan. Edozein bi punturen arteko distantzia konstante mantentzen da solido zurrun batean. ~r j masa-zentroaren erreferentzia-sisteman, bi puntuen arteko distantzia konstantea da, hau da, ~r i ~r j = ~r i ~r j = kte. (1) Zurruntasun baldintza honek asko errazten digu solido zurrunaren deskribapena. Solido zurrunak duen forma ezagutzen badugu, horrek esan nahi du solido zurruneko puntu bat masa-zentroaren erreferentzia-sisteman non dagoen ezagutzen dugunean beste puntu guztiak masa-zentroaren erreferentzia-sisteman non dauden ere jakingo dugula. Horregatik, solido zurrun osoaren egoera edo posizio zehazteko nahikoak dira 6 aldagai: masa zentroaren ~r MZ posizio-bektorearen 3 osagai kartesiarrak eta solidoko puntu bakar baten ~r i posizio-bektorearen osagai kartesiarrak masa-zentroaren erreferentzia-sisteman. Nolabait ~r MZ -k esaten digu non dagoen solido zurruna eta ~r i posizio-bektoreak nola dagoen orientatuta solido zurruna masa-zentroarekiko. Solido zurrunak masa zentroarekiko duen orientazioa zehazteko puntu baten ~r i posizio-bektorea adierazi beharrean 3 angelu eman ohi dira. Hauei Euler-en angelu deritze. 2 irudian erakusten da Euleren (prezesio-angelua), (nutazioangelua) eta (biraketa propioaren angelua) angeluen esangura. Lehenik solidoa z ardatzarekiko biratzen da angeluz. Ondoren, x ardatzarekiko angeluz. Azkenik, z ardatzarekiko angeluz. Euleren hiru angelu hauek guztiz zehaztu 2

Irudia 2: Euleren, eta angeluak nahikoak dira solidoaren orientazioa zehazteko masa-zentroarekiko. dezakete zein den solido zurrunaren orientazioa masa-zentroarekiko. 2 Solido zurrunaren zinematika: translazioa eta biraketa Solido zurruneko edozein punturen ~r i posizio-bektorea kanpoko behatzaile batek ikusita honelaxe deskriba dezakegu: ~r i = ~r MZ + ~r i. (2) Adierazpen hau garbi islatzen da 1 irudian. Noski, adierazpen hau denborarekiko deribatuz lortuko dugu zein den kanpoko behatzaile batek eta masa-zentroko behatzaileak behatzen duten abiaduren arteko harremana: ~v i = ~v MZ + ~v i, (3) non ~v i kanpoko behatzaileak solidoko i partikularentzako neurtuko duen abiadura den, ~v MZ kanpoko behatzaileak masa-zentroarentzako neurtuko duen abiadura den eta ~v i i partikularentzako masa-zentroko behatzaileak neurtuko duen abiadura partikularentzako masa-zentroko behatzaileak neurtzen duen abiadura. Aztertu dezagun orain nolakoa izango den solido zurruneko partikulen abiadura bi kasu partikuletan, translazio hutsa eta biraketa hutsa dugunean. 2.1 Translazio hutsa Translazio hutsa dugunean esan nahi dugu slido zurruna ez dagoela biratzen. Hau da, edozein i punturen posizio-bektorea masa-zentroaren erreferentziasisteman konstantea dela, ~r i = kte. Beste modu batera esanda, Euleren angeluak ez dira denborarekin aldatzen. Translazio hutsa dugunean beraz ~v i = eta solido zurruneko edozein puntuk masa-zentroaren abiadura izango du: ~v i = ~v MZ. (4) 3

ω!" z' z ri v! ' i! r MZ x' MZ y' O y x Irudia 3: Masa-zentroarekiko ~! abiadura angeluarraz biratzen ari den solido zurrunaren abiadura-bektorea masa-zentroaren erreferentzia-sisteman ~v i = ~! ~r i da. 2.2 Biraketa Suposa dezagun orain translazioaz gain solido zurruna biratzen ari dela masazentroaren inguruan ~! abiadura angeluarraz. Abiadura angeluar bektorearen norabideak biraketa ardatza zehazten du eta bere noranzkoak, eskuin eskuko legearen arabera, biraketaren noranzkoa zehazten du. Solidoa zurruna denez, solidoko edozein puntu ariko da ~! abiadura angeluarraz biratzen masazentroarekiko. 3 irudian iradokitzen den bezala, edozein punturen abiadurabektorea masa-zentroaren erreferentzia-sisteman ~v i = ~! ~r i (5) izango da. Hori ulertzeko, pentsa edozein puntuk r i sin erradioko higidura zirkularra deskribatuko duela! abiadura angeluarrarekin, angelua ~! eta ~r i bektoreek osatzen duten angelua izanik. Ondorioz, solido zurruneko edozein i punturen abiadura kanpoko erreferentzia-sistema batetik neurtuta izango da. ~v i = ~v MZ +! ~r i (6) 4

3 Solido zurrunaren momentu angeluarra eta inertziatentsorea Har dezagun masa-zentroarekiko ~! abiadura angeluarraz biratzen ari den solido zurruna. Solido zurruna partikula-sistema bat denez, bere momentu angeluarra ~L = ~ L MZ + ~ L = M~r MZ ~v MZ + m i ~r i ~v i = (7) moduan kalkula daiteke, non ~ L MZ masa-zentroaren momentua angeluarra den, ~L masa-zentrotik neurtutako momentu angeluarra eta M solido zurrunaren masa totala. Ikus dezagun nola berridatz daitekeen ~ L (5) ekuazioa kontuan hartzen badugu: ~L = m i ~r i ~v i = m i ~r i (~! ~r i)= non biderkadura bektorialaren m i r 2 i ~! (~r i ~! )~r i, (8) ~a ( ~ b ~c )=(~a ~c ) ~ b (~a ~b)~c (9) propietatea erabili baitugun. (8) ekuazio bektorialaren osagaiak honela idatz daitezke: " n # " n # " n # L x = m i (ri 2 x 2 i )! x m i x iyi! y m i x izi! z (1) L y = L z = " n # " n # " n # m i x iyi! x + m i (ri 2 yi 2 )! y m i yiz i! z (11) " n # " n # " n # m i x izi! x m i x izi! y + m i (ri 2 zi 2 )! z (12) Ekuazio hauek matrize eta bektore baten biderkadura bitartez berridatz daitezke: 1 1 1 L x I xx I xy I xz! x @ L A y = @ I xy I yy I yz A @! y A (13) L z I xz I yz I zz! z edo notazio matrizialean ~L = I~!. (14) 5

I matrizeari inertzia-tentsorea deritzo. Matrize simetrikoa da eta bere osagaiak I xx = I yy = I zz = I xy = I xz = I yz = m i (r 2 i x 2 i ) m i (r 2 i y 2 i ) m i (r 2 i z 2 i ) m i x iyi m i x izi m i yiz i dira. Inertzia-tentsorearen osagaiak solido zurrunaren forma geometrikoaren eta masa banaketaren araberakoak izango dira. (14) ekuazioak erakusten digu solido zurrun baten masa-zentroarekiko momentu angeluarra inertzia-tentsoaren eta abiadura angeluarraren arteko matrizebiderkadura bezala kalkula daitekeela. Orokorrean, beraz, momentu angeluarra eta abiadura angeluarra ez dira bektore paraleloak izango. Hau solido zurrunaren ezaugarri berezi bat da. Ardatz baten inguruan biraketa uniformea deskribatzen duen partikula puntual bat bagenu momentu angeluar eta abiadura angeluar bektoreak paraleloak lirateke. Inertzia-tentsorearen definizioa erabiliz, edozein erreferentzia-sisteman solido zurrunaren momentu angeluarra bezala kalkula daiteke. ~L = M~r MZ ~v MZ + I~! (15) 4 Inertzia-ardatz nagusiak eta inertzia-momentuak Orokorrean L ~ eta ~! bektoreak paraleloak ez badira ere, edozein solido zurrunean badaude gutxienez 3 ardatz berezi, elkarren artean perpendikularrak direnak. ~! bektorea adatz horietako baten paraleloa bada, orduan L ~ eta ~! bektoreak paraleloak izango dira. Ardatz berezi hauek inertzia-ardatz nagusiak dira. Koka dezagun orain geure masa-zentroko erreferentzia-sistema inertzia-ardatz nagusiek definitutako triedroarekin bat eginez. Kasu honetan inertzia-tentsorearen 6

x i ' x' MZ d i ri Irudia 4: Inertzia-ardatz nagusi batetako inertzia-momentuaren kalkulua. diagonaletik kanpoko osagaiak nuluak egiten dira, hau da, I x 1 I = @ I y A. (16) I z I x, I y eta I z x, y eta z inertzia-ardatz nagusietako inertzia-momentuak dira. Orain, abiadura angeluarra inertzia-ardatz nagusietako bektore bat bada momentua angeluarra ere ardatz berekoa izango da: ~! =!û x! ~ L = I x!û x = I x ~! (17) ~! =!û y! ~ L = I y!û y = I y ~! (18) ~! =!û z! ~ L = I z!û z = I z ~!. (19) Ikus dezagun orain nola kalkulatzen diren inertzia-ardatz nagusietako inertziamomentuak. Demagun x ardatzeko inertzia-momentua nahi dugula: I x = m i (r 2 i x 2 i ) (2) 4 irudian erakusten den moduan ri 2 x 2 i = d 2 i da, non d i inertzia-ardatz nagusitik solido zurruneko i puntura dagoen distantzia baiten. Beraz, I x = m i d 2 i. (21) Honek, noski, edozein ardatz nagusirako balio du eta ez soilik x ardatzekorako. 7

Sarritan solido zurrun bat ez dago partikula puntualez osatutako, masa jarraia dute baizik. Kasu horietan (21) ekuazioko batura integral batean bihurtzen zaigu: Z I x = d 2 dm. (22) M Integrala solido zurrun osora hedatu behar da. 5 irudian erakusten dira solido zurrun arrunt batzuen inertzia-momentuak. 5 Ardatz finko baten inguruko biraketa eta Steineren teorema Orain arte beti suposatu dugu solido zurruna masa-zentrotik pasatzen den ardatz baten inguruan ari dela biratzen. Batzuetan, ordea, solido zurrunaren biraketa ez da gertatzen masa-zentrotik pasatzen den ardatz baten inguruan, beste ardatz finko baten inguruan baizik. A ardatz finko hori paraleloa bada inertzia-ardatz nasusi batekiko solido zurrunaren momentu angeluarra erraz kalkula daiteke: ~L = I A ~!, (23) non ~ LAardatz horretan jatorria duen erreferentzia-sistema batek neurtuko duen momentu angeluarra den, ~! momentu angeluar bektorea den eta I A A ardatz horrekiko inertzia-momentua den. Inertzia-momentu hori I A = m i d 2 i (24) bezala kalkulatu daiteke partikula puntualez osatua badago sistema edo, masa jarraituko solido zurruna bada, Z I A = d 2 dm, (25) M d ardatzetik solidoko edozein puntura dagoen distantzia izanik. Steineren teoremak asko errazten digu inertzia-ardatz nagusi batekiko paraleloa den edozein A ardatz finko batekiko I A inertzia-momentua kalkulatzea. A ardatzarekiko paraleloa den eta masa-zentrotik pasatzen den inertzia-ardatz nagusiko inertzia-momentua I MZ baldin bada, I A = I MZ + Md 2 (26) izango A ardatz finko horretako inertzia-momentua. (26) ekuazioan M solido zurrunaren masa totala da eta d masa-zentrotik pasatzen inertzia-ardatz nagusitik A ardatzera dagoen distantzia. 8

9 Irudia 5: Solido zurrun desberdinen inertzia-momentuak.