ΚΕΦΛΙΟ 1 Οι βασικές έννοιες 1.1 όριστες έννοιες, αξιώµατα Ηαρχή είναι λίγο δύσκολη. Τούτο διότι υπεισέρχονται οι λεγόµενες αόριστες έννοιες. Έννοιες που είναι τόσο απλές και οικείες από την εµπειρία µας, ώστε δεν µπορούµε να βρούµε πιο απλές µε τη βοήθεια τν οποίν να τις περιγράψουµε ([Hel76]). Τέτοιες έννοιες στη γεµετρία είναι το σηµείο, το επίπεδο, ο χώρος, η ευθεία, η έννοια του σηµείου µεταξύ δύο άλλν σηµείν και η έννοια της ισότητας δύο σχημάτν. Μαθαίνουµε ναχειριζόµαστεαυτές τις έννοιες βάσειτνιδιοτήτν τους ή αξιµάτν που περιγράφουν κάποια χαρακτηριστικά τους και τα οποία αποδεχόμεθα χρίς απόδειξη. Ξεκινάµε λοιπόν µε τις αόριστες έννοιες. Περιγράφουµε τις βασικές ιδιότητές τους µε αξιώµατα και από κει και πέρα, συνδυάζοντας τις βασικές ιδιότητες µε τη λογική συµπεραίνουµε άλλες ιδιότητες, τα θερήµατα ή προτάσεις και τα πορίσµατα (άµεσες λογικές συνέπειες τν θερηµάτν). Τα µέχρις ενός σηµείου αποδειχθέντα θερήµατα, µαζί µε τα αξιώµατα, χρησιµοποιούνται για να συµπεράνουµε νέες ιδιότητες, δηλαδή νέα θερήµατα. Με τον τρόπο αυτό χτίζουµε σιγά-σιγά ένα καλά οργανµένο και δοµηµένο πνευµατικό οικοδόµηµα που συγκροτεί τη γνώση µας στη γεµετρία. Εάν σε κάποιο σηµείο κάνουµε µια παραδοχή λ.χ. = και, στηριζόµενοι στη λογική, καταλήξουµεότι αυτό οδηγεί σε αντίφαση προς κάποιο αξίµα ή εν τ µεταξύ αποδειχθέν θεώρηµα, τότε λέµε ότι η υπόθεσή µας οδηγεί σε άτοπο και είµαστε υποχρεµένοι να δεχθούµε ότι ισχύει η λογική άρνηση της ιδιότητας (στο παράδειγµα ). Ηµέθοδος αυτή του συλλογισµού λέγεται εις άτοπον απαγγή και χρησιµοποιείται κατά κόρον στη γεµετρία. ΗΕυκλείδεια εµετρία εξετάζει τις ιδιότητες σχηµάτν στο χώρο και το επίπεδο και κυρίς αυτές που σχετίζονται µε µετρήσεις. Ως σχήµα θερούµε οποιαδήποτε συλλογή σηµείν του επιπέδου (επίπεδο σχήµα) ή του χώρου (σχήµα στο χώρο). Μετράµε µήκη, γνίες και εµβαδά. Στο χώρο µετράµε και όγκους. Συνήθς το µάθηµα χρίζεται σε δύο µέρη. Στο πρώτο µέρος, που ονοµάζεται επιπεδοµετρία εξετάζονται ιδιότητες σχηµάτν του επιπέδου, όπς το τρίγνο, το τετράγνο, ο κύκλος κ.τ.λ. Στο δεύτερο µέρος, που ονοµάζεται στερεοµετρία, εξετάζονται ιδιότητες τν σχηµάτν του χώρου, όπς ο κύβος, η σφαίρα κ.τ.λ. Σχόλιο-1 Τα αξιώµατα που θα επιλέξουµε ς βασικές ιδιότητες και σηµείο εκκίνησης της µελέτης µας δεν είναι πραγµατικά ανεξάρτητα µεταξύ τους. Ορισµένα από αυτά είναι συνέπειες τν άλλν. Εποµένς, θα µπορούσαµε να ξεκινήσουµε µε λιγότερα, ανεξάρτητα µεταξύ τους, αλλά επαρκή για να αποδείξουµε όλες τις υπόλοιπες ιδιότητες ς θερήµατα. υτό, στόσο, θα είχε τη συνέπεια να χρονοτριβήσουµε σε πολύ απλές ιδιότητες, αποδεικνύοντάς τις και αυτές ς συνέπειες τν λίγν α- ξιµάτν µας. Προτίµησα να ενσµατώσ λοιπόν, κάποιες από αυτές τις ιδιότητες στα αξιώµατα,
2 ΚΕΦΛΙΟ 1. ΟΙ ΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ µε τη φιλοσοφία ότι η αποκάλυψη πιο κρυφών ιδιοτήτν δηµιουργεί περισσότερο ενδιαφέρον από την επιβεβαίση τν προφανών. ια µια διαφορετική πορεία, όπου εξετάζεται λεπτοµερώς το θέµα τν αξιµάτν µπορεί κανείς να δει το πολύ γνστό βιβλίο [Hil03] του Hilbert (1862-1943), που είναι αφιερµένο εξ ολοκλήρου στη συζήτηση τν αξιµάτν, την ανεξαρτησία τους και τη µεταξύ τους µη αντιφατικότητα. πό αυτό το βιβλίο προέρχονται και τα περισσότερα τν αξιµάτν της ευθείας που διατυπών παρακάτ. ντικαθιστώ στόσο µερικά από αυτά µε αξιώµατα από το σύστηµα του irkhoff (1884-1944) ([ir32]), που εξασφαλίζουν το ότι οι ευθείες είναι στην ουσία αντίγραφα του συνόλου τν πραγµατικών αριθµών. ς σηµειθεί πάντς ότι η θεµελίση της Ευκλείδειας εµετρίας µπορεί να γίνει και µε πολύ λίγα αξιώµατα. Ο Hilbert στο προαναφερθέν βιβλίο του, καθώς και ο Cairns (1904-1982) ([Cai33]), δίνουν συστήµατα µε τέσσερα µόνον αξιώµατα. Ο achmann (1909-1982) ([ac73]) δίνει ένα σύστηµα πέντε αξιµάτν. Σε όλα αυτά τα συστήµατα όµς υπεισέρχονται πιο σύνθετες µαθηµατικές δοµές (τοπολογικοί χώροι, µετασχηµατισµοί, οµάδες κ.ά.). Σχόλιο-2 Τα Στοιχεία του Ευκλείδη (περίπου 325-265 π.χ.) ([Hei85], [Hea08]) αρχίζουν µε την παράθεση 23 ορισµών οι 4 πρώτοι εκ τν οποίν και ο τελευταίος είναι οι εξής: (1) Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν. (2) ραμμὴ δὲ μῆκος ἀπλατές. (3) ραμμῆς δὲ πέρατα σημεῖα. (4) Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐϕ ἑαυτῆς σημείοις κεῖται....... (23) Παράλληλοί εἰσιν εὐθεῖαι, αἵτινες ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι καὶ ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον ἐϕ ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ μηδέτερα συμπίπτουσιν ἀλλήλαις. µέσς µετά τους 23 ορισµούς ακολουθούν τα 5 ιτήµατα που εµείς ονοµάζουµε αξιώµατα: 1. Ηιτήσθ ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ πᾶν σημεῖον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν. 2. Καὶ πεπερασμένην εὐθεῖαν κατὰ τὸ συνεχὲς ἐπ εὐθείας ἐκβαλεῖν. 3. Καὶ παντὶ κέντρῳ καὶ διαστήματι κύκλον γράϕεσθαι. 4. Καὶ πάσας τὰς ὀρθὰς γνίας ἴσας ἀλλήλαις εἶναι. 5. Καὶἐὰνεἰςδύοεὐθείαςεὐθεῖαἐμπίπτουσατὰςἐντὸςκαὶἐπὶτὰαὐτὰμέρηγνίαςδύοὀρθῶνἐλάσσοναςποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ ἄπειρον συμπίπτειν, ἐϕ ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες. Στους ορισµούς αυτούς περιέχονται τόσο έννοιες που εµείς περιγράψαµε ς αόριστες (1, 2, 4), όσο και κανονικοί ορισµοί, όπς τους δίνουµε και σήµερα (3, 23). Τα πέντε αξιώµατα του Ευκλείδη, δυστυχώς, δεν φθάνουν για την απόδειξη όλν τν προτάσεν που ακολουθούν στο βιβλίο του. Συχνά χρησιµοποιεί κάποιες ιδιότητες που δεν προκύπτουν από τα πέντε αυτά αξιώµατα, που είναι όµς σστές. πλά χρειάζεται η προσθήκη και άλλν αξιµάτν ώστε να προκύψει αυτό που σήµερα λέµε πλήρες σύστημα αξιμάτν, το οποίο είναι ικανό να στηρίξει τις αποδείξεις όλν τν ιδιοτήτν τν σχηµάτν που ανακαλύπτουµε και να τις βάλει σε µια λογική σειρά. Σχετικά µε τον λίγο χρόνο που αναλίσκει ο Ευκλείδης στους ορισµούς και τα αξιώµατα συνηγορώ, γιατί κατ επανάληψιν έχ παρατηρήσει ότι όταν ο µαθητής πολιορκείται µε διασαφήσεις και ανάλυση λεπτοµερειών για έννοιες τν οποίν έχει µια φυσική διαίσθηση, τότε αρχίζει να αµφιβάλλει και για
1.2. ΕΥΘΕΙ ΚΙ ΕΥΘΥΡΜΜΟ ΤΜΗΜ 3 αυτά που ήξερε και να µπερδεύεται περισσότερο αντί να φτίζεται. Χρειάζεται λοιπόν προσοχή ώστε περισσότερο να ενισχυθεί η φυσική του διαίσθηση για αυτά που καταλαβαίνει µε κάποιο τρόπο, παρά να αµφισβητηθεί η διαίσθησή του και οι προηγούµενες εµπειρικές γνώσεις του. κολουθώντας λοιπόν τον Ευκλείδη δεν θα σταθώ ιδιαίτερα στις αόριστες έννοιες και τα αξιώµατα. Θα δώσ ένα σύστηµα πλήρες, ικανό να στηρίξει όλες τις µετέπειτα προτάσεις µας και θερήµατα. Εµπιστευόµενος στόσο τη διαίσθηση του αναγνώστη δεν θα συζητήσ ιδιαίτερα τις αλληλεξαρτήσεις τν αξιµάτν αυτών και τις αόριστες έννοιες στις οποίες αυτά αναφέρονται ([Log80]). 1.2 Ευθεία και ευθύγραµµο τµήµα Το επίπεδο αποτελείται από σηµεία που συµβολίζουµε µε κεφαλαία γράµµατα,,,..., ή κεφαλαία µε τόνους,,,...ή κεφαλαία µε δείκτες 1, 2,...κ.τ.λ. Ένα από τα πιο απλά σχήµατα του επιπέδου είναι η ευθεία που συµβολίζουµε µε µικρά γράµµατα ε, ζ,..., ή γράµµατα µε τόνους ε ΣΧΗΜ 1.1: Ευθεία ε ε, ζ,...ή γράµµατα µε δείκτες ε 1,ε 2,...κ.τ.λ. ια τις ευθείες δεχόµαστε τις εξής αρχικές ιδιότητες (αξιώµατα): ξίµα 1.2.1 ύο διαφορετικά σημεία, ορίζουν μία ακριβώς ευθεία που συμβολίζουμε με. ΣΧΗΜ 1.2: Ευθεία ξίµα 1.2.2 Κάθε ευθεία έχει άπειρα σημεία. ια κάθε ευθεία υπάρχουν άπειρα σημεία του επιπέδου που δεν ανήκουν σε αυτήν. ια κάθε σημείο υπάρχουν άπειρες ευθείες που δεν διέρχονται απόαυτό. ξίµα 1.2.3 Κάθε ευθεία χρίζει το επίπεδο σε δύο μέρη που λέγονται ηµιεπίπεδα, που δεν έχουν κοινά σημεία με την ευθεία. Μια ευθεία που έχει δύο σημεία και σε διαφορετικά ημιεπίπεδα της ευθείας ε τέμνει την ευθεία ε (το πρώτο θεώρημα παρακάτ λέει ότι υπάρχει τότε ένα ακριβώς σημείο τομής της ε με την ευθεία ). Συχνά χρησιμοποιούμε τη λέξη µεριά της ευθείας, εννοώντας ένα από τα δύο ημιεπίπεδα αυτής. ΣΧΗΜ 1.3: Ηµιεπίπεδα οριζόµενα από µία ευθεία ξίµα 1.2.4 ύο σημεία, μιας ευθείας ε ορίζουν ένα ευθύγραµµο τµήµα που συμβολίζουμε επίσης με. Το αποτελείται απότα, καθώς και όλα τα σημεία που βρίσκονται µεταξύ του ΣΧΗΜ 1.4: Ευθύγραµµο τµήµα και του. Τα και λέγονται άκρα του ευθύγραμμου τμήματος. Τα σημεία του ευθύγραμμου τμήματος, εκτός τν άκρν, λέμε ότι αποτελούν το εστερικό του ευθύγραμμου τμήματος.
4 ΚΕΦΛΙΟ 1. ΟΙ ΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ξίµα 1.2.5 ν τα σημεία και βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο της ευθείας ε, τότε και όλα τα σημεία του ευθύγραμμου τμήματος περιέχονται στο ίδιο ημιεπίπεδο. ν τα σημεία και βρίσκονται σε διαφορετικά ημιεπίπεδα της ευθείας ε, τότε το σημείο τομής E της ευθείας ε και της ευθείας βρίσκεται μεταξύ τν και. ε E ΣΧΗΜ 1.5: και σε διαφορετικά ηµιεπίπεδα της ε Σχόλιο-1 Στο ξίµα 1.2.4 η λέξη µεταξύ είναι αόριστη. Θα γίνει σαφής όµς στην επόµενη παράγραφο µε τη βοήθεια της έννοιας του µήκους του ευθύγραµµου τµήµατος. Σχόλιο-2 Ηχρήση του ίδιου συµβόλου για το ευθύγραµµο τµήµα καθώς και την ευθεία που ορίζεται από τα και δεν πρέπει να µας παραπλανά. Κάθε φορά η σηµασία του συµβόλου θα προκύπτει από τα συµφραζόµενα. Συχνά θα γράφουµε για την ευθεία ε =,θερώνταςότιαυτότο σύµβολο αντιπροσπεύει τη φράση ηευθεία ε που ορίζεται από τα σηµεία και. Συχνά επίσης θα θερούµε ότι το ευθύγραµµο τµήµα καθορίζει µία κατεύθυνση επί της ευθείας και ότι το είναι η αρχή και το είναι το πέρας (ή τέλος) του τµήµατος. Παράλληλες ονοµάζουµε δύο ευθείες που δεν τέµνονται. Συχνά την ευθεία, στην οποία περιέχεται ένα ευθύγραµµο τµήµα, ονοµάζουµε φορέα του ευθύγραµµου τµήµατος. Παράλληλα λέµε δύο ευθύγραµµα τµήµατα τν οποίν οι φορείς είναι ευθείες παράλληλες. ' ' ΣΧΗΜ 1.6: Παράλληλες και Πρόταση1.2.1 ύο διαφορετικές ευθείες ή είναι παράλληλες ή τέμνονται σε ένα ακριβώς σημείο. ε' ε ΣΧΗΜ 1.7: Τεµνόµενες ευθείες ε και ε πόδειξη: Στην Πρόταση 1.13.1 θα δούµε ότι υπάρχουν όντς παράλληλες ευθείες. ν οι δύο ευθείες ε και ε δεν τέµνονται, τότε είναι εξ ορισµού παράλληλες. ν τέµνονται τότε θα έχουν ένα µόνο κοινό σηµείο. Τούτο διότι αν είχαν και δεύτερο σηµείο τοµής, διαφορετικό του, θα είχαµε δύο διαφορετικές ευθείες ε και ε διερχόµενες από τα δύο σηµεία και, που είναι αδύνατον διότι αντιφάσκει στο ξίµα 1.2.1, ό.έ.δ.
1.3. ΜΗΚΟΣ, ΠΟΣΤΣΗ 5 Άσκηση 1.2.1 ίνεται ευθεία ε. είξε ότι αν το ευθύγραμμο τμήμα δεν τέμνει την ευθεία ε τότε τα σημεία και περιέχονται στο ίδιο ημιεπίπεδο. ε ΣΧΗΜ 1.8:, από την ίδια µεριά της ε Υπόδειξη: Χρήση της εις άτοπον απαγγής. Υπόθεσε ότι το δεν τέµνει την ε και τα, περιέχονται σε διαφορετικά ηµιεπίπεδα της ε. Τότε κατά το ξίµα 1.2.5 το ευθύγραµµο τµήµα θα τέµνει την ε σε ένα σηµείο E, αντιφάσκοντας στην υπόθεση. Άσκηση 1.2.2 είξε ότι για κάθε σημείο O του επιπέδου υπάρχουν άπειρες ευθείες διερχόμενες από αυτό. O ε X Y Z ΣΧΗΜ 1.9: πειρία ευθειών διά του O Υπόδειξη: Θεώρησε µία ευθεία ε που δεν διέρχεται από το O. Κατά το ξίµα 1.2.2 υπάρχει µία τέτοια ευθεία. Όρισε κατόπιν τις ευθείες OX,OY,...κ.τ.λ. που διέρχονται από το O και ένα σηµείο αντίστοιχα X,Y,...,Zτης ε. Και πάλι κατά το ξίµα 1.2.2 υπάρχουν άπειρα σηµεία X,Y,...,Zεπί της ε και κάθε ένα από αυτά ορίζει µια διαφορετική ευθεία που διέρχεται από το O. 1.3 Μήκος, απόσταση ξίµα 1.3.1 ια κάθε ζεύγος σημείν και ορίζεται ένας πραγματικός αριθμός 0 που ονομάζουμε απόσταση τν σημείν και ικανοποιεί τις ιδιότητες = και = 0 τότε και μόνον, όταν τα σημεία αυτά ταυτίζονται. Μήκος του ευθύγραµµου τµήµατος ονοµάζουµε την απόσταση τν άκρν του. Λέµε ότι δύο ευθύγραµµα τµήµατα και της ίδιας ευθείας ή διαφορετικών ευθειών είναι ίσα,όταν έχουν το ίδιο µήκος. ξίµα 1.3.2 ια κάθε τριάδα διαφορετικών σημείν, και E της ίδιας ευθείας, ένα εκ τν τριών είναι ανάμεσα στα άλλα δύο. ν το E είναι μεταξύ τν και τότε = E + E. Και αντίστροφα, αν ισχύει αυτή η σχέση τότε το E είναι μεταξύ τν και. Ε ΣΧΗΜ 1.10: = E + E
6 ΚΕΦΛΙΟ 1. ΟΙ ΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ξίµα 1.3.3 Ένα σημείο ευθείας ε χρίζει την ευθεία σε δύο μέρη ε και ε, που έχουν μοναδικό κοινόσημείο το και λέγονται ηµιευθείες με άκρο ή αρχή το. ια κάθε θετικόαριθμόδ υπάρχει ένα ακριβώς σημείο στην ε με = δ και ένα ακριβώς σημείο στην ε με = δ. Το είναι το µέσον του ευθύγραμμου τμήματος. δ δ ε' ε'' ' '' ΣΧΗΜ 1.11: Σηµεία σε απόσταση δ απότοάκροαντικείµεννηµιευθειών Οι δύο ηµιευθείες που ορίζονται από το σηµείο επί της ευθείας ε λέγονται αντικείµενες. Παράλληλες ονοµάζουµε δύο ηµιευθείες που περιέχονται σε παράλληλες ευθείες. Σχόλιο Το ξίµα 1.3.3 τν ευθειών σηµαίνει ότι µπορούµε να κατασκευάσουµε ευθύγραµµο τµήµα οποιουδήποτε µήκους θέλουµε. Ηπρακτική κατασκευή λ.χ. περιοριζόµενοι µόνο στα δύο όργανα σχεδίασης του κανόνα (χάρακα) και του διαβήτη, όπς συνηθίζεται, είναι ένα άλλο θέµα που θα µας απασχολήσει κατά καιρούς. Π.χ. η κατασκευή του µέσου M ενός δοθέντος ευθύγραµµου τµήµατος µε τη βοήθεια του κανόνα και του διαβήτη απαιτεί γνώση τν ιδιοτήτν του κύκλου που δεν έχουµε µάθει ακόµη. Ωστόσο, η απόδειξη της ύπαρξης του M, βάσει τν παραπάν ιδιοτήτν, είναι απλή. Άσκηση 1.3.1 Έστ ότι και E είναι δύο σημεία στην ίδια ημιευθεία X με άκρο το. είξε ό τι η E > συνεπάγεται ότι το είναι μεταξύ τν και E. Και αντίστροφα, αν το είναι ανάμεσα στο και το E τότε ισχύει η προηγούμενη σχέση. Ε X ΣΧΗΜ 1.12: Το ανάµεσα στο και το E Υπόδειξη: Έστ ότι το δεν είναι µεταξύτν και E. Τότεή το θα ταυτίζεται µε το E και συνεπώς = E που είναι άτοπο, ή το E θα είναι µεταξύ τν και, οπότε κατά το ξίµα 1.3.2 θα ισχύει E + E =. υτό όµς συνεπάγεται ότι > E, αντίθετα µε την υπόθεση. Άσκηση 1.3.2 (ιπλασιασμός ευθύγραμμου τμήματος) ίνεται ευθύγραμμο τμήμα. είξε ό τι στην ευθεία υπάρχουν δύο σημεία E και Z έτσι ώστε το να είναι το μέσον του E και το να είναι το μέσον του Z. Ζ Ε ΣΧΗΜ 1.13: ιπλασιασµός του Υπόδειξη: Πάρε το E επί της ηµιευθείας µε άκρο το που δεν περιέχει το και σε απόσταση από το. νάλογαπράξεγιατοz. Άσκηση 1.3.3 είξε ότι για κάθε ευθύγραμμο τμήμα υπάρχει ένα ακριβώς σημείο M (το μέσον του ) έτσιώστε M = M. Υπόδειξη: ν = λ τότε το σηµείο M σε απόσταση λ/2 από το προς τη µεριά του, που εξασφαλίζεται από το ξίµα 1.3.3, είναι το ζητούµενο.
1.4. ΩΝΙΕΣ 7 Άσκηση 1.3.4 είξε ότι, αν δύο σημεία και είναι απότην ίδια μεριά ευθείας ε, τότε το ευθύγραμμο τμήμα δεν τέμνει την ε. Υπόδειξη: ν το έτεµνε την ε, τότε το σηµείο τοµής θα ήταν διαφορετικό τν και, άραθα ήταν µεταξύ αυτών και θα είχαµε αντίφαση στο ξίµα 1.2.5. Άσκηση 1.3.5 είξε ότι μία ευθεία ε είναι παράλληλη της ε τότε και μόνον, όταν ένα εκ τν δύο ημιεπιπέδν της ε, περιέχει κάθε ζεύγος διαφορετικών σημείν της ε. Υπόδειξη: ν υπάρχουν δύο σηµεία και της ε περιεχόµενα σε διαφορετικά ηµιεπίπεδα της ε,τότε, κατά το ξίµα 1.2.5, η ε θα τέµνει την ε. ντίστροφα, αν ένα από τα δύο ηµιεπίπεδα της ε περιέχει όλαταδυνατάζεύγησηµείντηςε, τότε αυτή δεν µπορεί να τέµνει την ε. ν την έτεµνε στο σηµείο, τότετο θα όριζε δύο αντικείµενες ηµιευθείες επί της ε και επιλέγοντας από ένα σηµείο σε κάθε ηµιευθείαθαβρίσκαµεδύοσηµείατηςε σε διαφορετικά ηµιεπίπεδα της ε. Άσκηση 1.3.6 είξε ότι τα σημεία και της ευθείας ε είναι απότην ίδια μεριά του σημείου της ε, τότε και μόνον, όταν =. Υπόδειξη: ν τα, είναι στην ίδια ηµιευθεία του, τότεήτο θα είναι µεταξύ του και, οπότε = +, ήτο θα είναι µεταξύ τν και, οπότε = +. Συνεπώς, και στις δύο περιπτώσεις =, δηλαδή το ζητούµενο. Παρόµοιος συλλογισµός αποδεικνύει και το αντίστροφο. Άσκηση 1.3.7 Έστ M το μέσον του ευθύγραμμου τμήματος. είξε ότι αν το σημείο είναι στο εστερικότου, τότεηαπόσταση M = 1 2. Εάντο είναι στην ευθεία αλλά εκτός του τμήματος, τότε M = 1 2 ( + ). 1.4 νίες ύο ηµιευθείες OX, OY µε κοινό άκρο O, χρίζουν το επίπεδο σε δύο µέρη και ορίζουν µία κυρτή γνία ή απλά γνία και µία µηκυρτή γνία. Κυρτή γνία ή απλά γνία λέγεται το σχήµα που συµβολίζουµε µε XOY και αποτελείται από τις δύο ηµιευθείες OX και OY µαζί µε το ένα από τα δύο µέρη του επιπέδου που λέγεται εστερικό της γνίας. Το εστερικό της γνίας είναι το µέρος του επιπέδου που αποτελείται από τα σηµεία P που ικανοποιούν τις δύο ιδιότητες: α) το P και η ηµιευθεία OY είναι από την ίδια µεριά της ευθείας OX, β) το P και η ηµιευθεία OX είναι από την ίδια µεριά της ευθείας OY. Το σηµείο O λέγεται κορυφή της γνίας. Οι ηµιευθείες OX, OY λέγονται πλευρές της γνίας. Y P O X ΣΧΗΜ 1.14: νία XOY Μηκυρτή γνία λέγεται το σχήµα που ορίζεταιπάλιαπότιςηµιευθείεςox και OY και συνίσταται από το υπόλοιπο µέρος του επιπέδου εκτός του εστερικού της γνίας XOY και τν ηµιευθειών που την ορίζουν. Το υπόλοιπο αυτό µέρος του επιπέδου ονοµάζουµε εστερικό της µη κυρτής γνίας XOY, ή εξτερικό της κυρτής γνίας XOY. Συχνά θα µιλάµε για γνίες χρίς να κάνουµε διάκριση
8 ΚΕΦΛΙΟ 1. ΟΙ ΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Υ μη κυρτή γνία Ο γνία Χ ΣΧΗΜ 1.15: Μη κυρτή γνία XOY για το αν είναι κυρτή ή µη κυρτή. Το ακριβές νόηµα, δηλαδή αν πρόκειται για κυρτή ή µη κυρτή, θα προκύπτει τότε από τα συµφραζόµενα. Στην περίπτση που οι δύο ηµιευθείες περιέχονται στην ίδια ευθεία ορίζουµε τις επόµενες ειδικές γνίες. Πεπλατυσµένηγνία ή ευθεία γνία ονοµάζουµε το σχήµα που αποτελείται από δύο αντικείµενες ηµιευθείες. Οποιοδήποτε από τα δύο ηµιεπίπεδα πουορίζειηευθείαox µπορεί να θερηθεί εστερικό ή εξτερικό της πεπλατυσµένης γνίας. 180 O X Y X O ΣΧΗΜ 1.16: Πεπλατυσµένη γνία Μηδενική γνία Μηδενική γνία ονοµάζουµε το σχήµα που αποτελείται από δύο ταυτιζόµενες ηµιευθείες OX και OY. Θερούµε ότι η γνία αυτή δεν έχει εστερικό, ενώ ολόκληρο το επίπεδο πλην της OX θερείται το εξτερικό αυτής της γνίας. Πλήρηστροφή ή πλήρηγνία ονοµάζουµε το σχήµα που αποτελείται από δύο ταυτιζόµενες ηµιευθείες OX και OY. Εδώ, ς εστερικό της γνίας θερούµε ολόκληρο το επίπεδο πλην της OX,ενώ δεν υπάρχει εξτερικό. O X Y ΣΧΗΜ 1.17: Πλήρης στροφή Οι βασικές ιδιότητες (αξιώµατα) τν γνιών είναι οι εξής: ξίµα 1.4.1 ια κάθε γνία (κυρτή ή μη) XOY ορίζεται ένας αριθμός XOY = YOX 0 που λέγεται µέτρο της γνίας σε µοίρες. Ισχύει XOY =0τότε και μόνον όταν η γνία είναι η μηδενική. ξίµα 1.4.2 ια κάθε αριθμό με 0 <<180 υπάρχουν δύο ακριβώς ημιευθείες O, O στις δύο πλευρές της ευθείας OX έτσι ώστε οι γνίες XOκαι XO να ικανοποιούν την XO = XO =. Η πεπλατυσμένη γνία έχει μέτρο 180 μοίρες. Εκ παραδόσες, το µέτρο σε µοίρες συµβολίζεται µε.έτσι,γνία30 σηµαίνει γνία 30 µοιρών. Το 1/60-οστό της µοίρας λέγεται πρώτο τηςµοίραςήλεπτό καισυµβολίζεταιµεέναντόνο. Το 1/60-οστό του λεπτού λέγεται δεύτερο της µοίρας και συµβολίζεται µε δύο τόνους. Έτσι, 30 23 11 συµβολίζει το µέτρο που ισούται µε 30 + 23 60 + 11 3600 µοίρες. ύο γνίες λέγονται ίσες τότε και µόνον όταν τα µέτρα τους είναι ίσα.
1.4. ΩΝΙΕΣ 9 Ο Χ ΣΧΗΜ 1.18: Ίσες γνίες εκατέρθεν της OX ξίµα 1.4.3 ια κάθε σημείο P στο εστερικότης γνίας XOY (κυρτής ή μη κυρτής) τα μέτρα τν γνιών XOY, XOP και POY ικανοποιούν τη XOY = XOP + POY. Σε κάθε τέτοια περίπτση λέμε ότι η γνία XOY είναι το άθροισµα τν γνιών XOP και POY. Υ β Ρ α Ο Χ ΣΧΗΜ 1.19: XOY = XOP + POY ύο γνίες που έχουν κοινή κορυφή και µία πλευρά επίσης κοινή και µη τεµνόµενα αντίστοιχα εστερικά (όπς οι XOP και POY του σχήµατος 1.19)λέγονταιεφεξής. νία δύο ευθύγραµµν τµηµάτν και, που έχουν κοινό άκρο το σηµείο, λέµε τη γνία που σχηµατίζεται από τις αντίστοιχες ηµιευθείες και. ΣΧΗΜ 1.20: νία δύο ευθύγραµµν τµηµάτν και Άσκηση 1.4.1 ρες τη διχοτόμο μιας πεπλατυσμένης γνίας XOY. είξε ότι το μέτρο μιας πλήρους στροφής είναι 360 μοίρες. Άσκηση 1.4.2 Έστ γνία XOY με μέτρο XOY = α και P σημείο στο εστερικότης γνίας. είξε ότι XOP < α. ντίστροφα δείξε ότι για κάθε θετικό β < α υπάρχει σημείο P εστερικότης γνίας έτσι ώστε XOP = β. είξε ακόμη ότι όλα αυτά τα σημεία P περιέχονται σε ημιευθεία με άκρο το O. Άσκηση 1.4.3 Έστ ότι τα σημεία και περιέχονται στο εστερικότης κυρτής γνίας XOY.είξε ότι και κάθε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος περιέχεται στο εστερικότης γνίας XOY.είξε ότι η ανάλογη ιδιότητα δεν ισχύει για μη κυρτές γνίες. Άσκηση 1.4.4 (Ύπαρξη διχοτόμου) είξε ότι για κάθε γνία XOY υπάρχει μία ακριβώς ημιευθεία OZ στο εστερικότης που τη χρίζει σε δύο ίσες γνίες XOZ, ZOY με XOZ = ZOY = XOY /2. Σχόλιο-1 Το ξίµα 1.4.2 τν γνιών σηµαίνει ότι µπορούµε να κατασκευάσουµε οποιαδήποτε γνία θέλουµε και από τις δύο µεριές µιας ηµιευθείας. Όπς όµς και για ευθύγραµµα τµήµατα έτσι και για γνίες, η πρακτική κατασκευή συγκεκριµένης γνίας µε τη βοήθεια του κανόνα και του διαβήτη, όταν αυτό είναι εφικτό, όπς λ.χ. η γνία 60 µοιρών, είναι ένα διαφορετικό ζήτηµα και θα χρειαστούν και πάλι ιδιότητες του κύκλου για να µπορέσουµε να δικαιολογήσουµε την κατασκευή.
10 ΚΕΦΛΙΟ 1. ΟΙ ΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σχόλιο-2 ξίζει τον κόπο να παρατηρήσει κανείς ορισµένες κοινές ιδιότητες µεταξύ γνιών και ευθύγραµµν τµηµάτν, ιδιαίτερα όσον αφορά τις έννοιες μεταξύ, διαδοχικές και μέτρο. Το παρακάτ σχήµα δείχνει πόσο φυσιολογική είναι αυτή η συσχέτιση. πό ένα σταθερό σηµείο O εκτός της σταθερής ευθείας ε και για κάθε ευθύγραµµο τµήµα αυτής κατασκευάζεται η γνία O. Μέσ αυτής της αντιστοίχισης ευθύγραµµν τµηµάτν-γνιών οι έννοιες που ανέφερα µεταφέρονται από την ευθεία στις γνίες µε κορυφή το O (δες επόµενο σχήµα). Έτσι, το είναι το άθροισµα τν και και η αντίστοιχη γνία O είναι το άθροισµα τν O και O.Το είναι µεταξύ τν και και ανάλογα η O είναι µεταξύ τν O και O, σε δύο διαδοχικά ευθύγραµµα τµήµατα αντιστοιχούν εφεξής γνίες κ.ο.κ. Ο α β γ ε ΣΧΗΜ 1.21: ντιστοίχιση ευθύγραµµν τµηµάτν και γνιών Με την ευκαιρία του τελευταίου σχήµατος µπορούµε να θέσουµε αµέσς δύο προβλήµατα, τα οποία, όµς, για να λύσουµε θα πρέπει πρώτα να µάθουµε να χειριζόµαστε κάποια εργαλεία (δες για τη λύση τους Άσκηση 3.9.4 και 3.8.8). Πρόβληµα 1.4.1 Υπόθεσε ότι στο τελευταίο σχήμα η γνία O έχει σταθερόμέτρο O = α και περιστρέφεται περί το O. ια ποια θέση της γίνεται το μήκος του αντίστοιχου ευθύγραμμου τμήματος ελάχιστο; Πρόβληµα 1.4.2 Υπόθεσε ότι στο τελευταίο σχήμα το τμήμα γλιστρά πάν στην ευθεία ε χρίς να αλλάζει το μήκος του. ια ποια θέση του γίνεται η αντίστοιχη γνία O μέγιστη; Άσκηση 1.4.5 Ξεκινώντας απόγνία O μέτρου, κατασκευάζουμε ίσες με αυτήν εφεξής προς το ίδιο μέρος O, O, κ.τ.λ. ια ποια μέτρα ηδιαδικασίααυτήμετάαπόν βήματα ορίζει γνία OΩ, της οποίας η πλευρά OΩ συμπίπτει με την αρχική O; Ο ΣΧΗΜ 1.22: Άθροισµα ίσν γνιών
1.5. ΩΝΙΩΝ ΕΙ Η 11 1.5 νιών είδη ύο τεµνόµενες στο σηµείο O ευθείες OX και OY ορίζουν τέσσερις γνίες. Οι γνίες αυτές ανά δύο σχηµατίζουν ζεύγη κατά κορυφήν γνιών, δηλαδή γνιών εκ τν οποίν έκαστη έχει ς πλευρές X' Y Y' 2 1 3 O 4 X ΣΧΗΜ 1.23: νίες δύο ευθειών τις προεκτάσεις της άλλης. ια τις δύο πεπλατυσµένες XOX και YOY έχουµε 180 = XOX = XOY + YOX.Επίσης180 = YOY = YOX + XOY.Επειδή XOY = YOX συµπεραίνουµε ότι οι κατά κορυφήν γνίες YOX και XOY είναι ίσες. νάλογα δείχνουµε και ότι οι XOY και X OY είναι ίσες. ποδείξαµε συνεπώς την: Πρόταση1.5.1 Κατά κορυφήν γνίες είναι ίσες. ύο γνίες που έχουν άθροισµα µέτρν 180 λέγονται παραπληρµατικές. Στο προηγούµενο σχήµα κάθε ζεύγοςδιαδοχικών γνιών αποτελείται από παραπληρµατικές γνίες. Ορθή λέγεται µία γνία που έχει µέτρο 90. Προφανώς, µια ορθή είναι ίση µε την παραπληρµατική της. Προεκτείνοντας Ο ΣΧΗΜ 1.24: Κάθετες ευθείες τιςπλευρέςµίαςορθήςγνίαςστοσηµείοo, δηλαδή θερώντας και τις αντικείµενες ηµιευθείες τν πλευρών, ορίζουµε τέσσερις ορθές γνίες γύρ από το σηµείο αυτό, που ανά δύο είναι ή κατά κορυφήν ή παραπληρµατικές. Έτσι, δύο ευθείες που τέµνονται στο σηµείο O και σχηµατίζουν µία (από τις τέσσερις) γνίες ορθή θα σχηµατίζουν και τις υπόλοιπες ορθές. ύο τέτοιες ευθείες λέγονται κάθετες. Οξεία λέγεται µία γνία XOY της οποίας το µέτρο XOY < 90. µβλεία λέγεται µία γνία της οποίας το µέτρο XOY > 90. Προφανώς, αν µία γνία είναι οξεία τότε η παραπληρµατική της θα είναι αµβλεία και τούµπαλιν. Λέµε ότι η γνία α είναι µικρότερη/µεγαλύτερη της γνίας β αν ισχύει Υ Υ Ο οξεία αμβλεία Χ Ο Χ ΣΧΗΜ 1.25: Οξεία και αµβλεία γνία κάτι ανάλογο για τα µέτρα τους: α < β (αντίστοιχα α > β ). Προφανώς, κάθε αµβλεία είναι µεγαλύτερη της ορθής που µε τη σειρά της είναι µεγαλύτερη κάθεοξείας. Συµπληρµατικές λέγονται δύο γνίες τν οποίν τα µέτρα α, β έχουν άθροισµα α + β =90. Προφανώς, συµπληρµατικές γνίες είναι οξείες και οι δύο. Ένα σηµείο X στο εστερικό µιας ορθής γνίας XOY ορίζει δύο συµπληρµατικές γνίες α = XOX,β= X OY.
12 ΚΕΦΛΙΟ 1. ΟΙ ΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πρόταση1.5.2 ύο γνίες XOX και YOY που έχουν τις πλευρές τους αντίστοιχα κάθετες είναι ή ίσες ή παραπληρματικές. Υ' Υ Ο β α Χ' Χ Υ'' ΣΧΗΜ 1.26: νίες µε κάθετες πλευρές πόδειξη: Εάν οι OY και OY είναι προς το ίδιο µέρος της OX τότε οι γνίες α = XOX και α = YOY είναι ίσες ς έχουσες κοινή συµπληρµατική γνία β. Εάν οι OY και OY είναι σε διαφορετικά µέρη της OX τότε η αντικείµενη ηµιευθεία OY της OY σχηµατίζει παραπληρµατική της γνίας α = YOY και είναι από το ίδιο µέρος της OX µε την OY, άρα κατά το προηγηθέν 180 α = α, ό.έ.δ. Άσκηση 1.5.1 είξε ότι από σημείο ευθείας ε διέρχεται μία ακριβώς ευθεία ζ κάθετη στην ε. Υπόδειξη: Άµεση συνέπεια του ξιώµατος 1.4.2, κατά το οποίο υπάρχει µία ακριβώς γνία 90 µε κορυφή στο, µία πλευρά ταυτιζόµενη µε την ε και περιεχόµενη σε ένα από τα δύο ηµιεπίπεδα της ε. ζ ε ΣΧΗΜ 1.27: Ευθεία ζ κάθετη της ε 1.6 Τρίγνα Τρίγνο λέγεται το σχήµα που ορίζεται από τρία σηµεία, και, µη περιεχόµενα σε µία και µόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραµµα τµήµατα που τα ενώνουν. Τα τρία σηµεία αυτά λέγονται κο- c α b β a γ ΣΧΗΜ 1.28: Τρίγνο ρυφές του τριγώνου. Τα ευθύγραµµα τµήµατα που ορίζονται από δύο κορυφές του τριγώνου λέγονται πλευρές του τριγώνου. νίες του τριγώνου ονοµάζουµε τις (κυρτές) γνίες που σχηµατίζονται σε κάθε κορυφή του από τις πλευρές του τριγώνου µε αρχή αυτήν την κορυφή. Τα µήκη τν πλευρών παριστάνονται συνήθς µε τα λατινικά γράµµατα a =, b =, c =
1.6. ΤΡΙΩΝ 13 και τα µέτρα τν γνιών του τριγώνου µε τα µικρά ελληνικά α =, β =, γ =. Τους συµβολισµούς αυτούς θα χρησιµοποιώ συχνά και στα επόµενα κεφάλαια. Λέµε ότι οι γνίες,, είναι αντίστοιχα απέναντι τν πλευρών, και. Τοάθροισµατνµηκών τν πλευρών p = a + b + c, λέγεται περίµετρος του τριγώνου. ύο τρίγνα και λέµε ότι είναι ίσα όταν έχουν ίσες αντίστοιχες πλευρές (a = a, b = b, c = c ) και αντίστοιχα ίσες γνίες (α = α, β = β, γ = γ ). Οι βασικές ιδιότητες (αξιώµατα) του τριγώνου είναι οι εξής: ξίµα 1.6.1 Κάθε τρίγνο χρίζει το επίπεδο σε δύο μέρη, το εστερικό και το εξτερικό. ύο σημεία X και Y, περιεχόμενα στο εστερικό του τριγώνου, ορίζουν ευθύγραμμο τμήμα XY που περιέχεται εξ ολοκλήρου στο εστερικότου τριγώνου. ύο σημεία X και Z, περιεχόμενα το ένα στο εστερικό και το άλλο στο εξτερικότου, ορίζουν ευθύγραμμο τμήμα XZ το οποίο ή περιέχει κορυφήτου τριγώνουή τέμνει μία ακριβώς πλευρά του τριγώνου σε εστερικότης πλευράς σημείο Ω. Χ Ω Υ Ζ ΣΧΗΜ 1.29: Εστερικό και εξτερικό τριγώνου ξίµα 1.6.2 (Ισότητας δύο τριγώνν) ύο τρίγνα και που έχουν αντίστοιχες πλευρές ίσες ( =, =, = ) είναιίσα.ηλαδήέχουνκαιτιςαντίστοιχεςγνίες ίσες. Μάλιστα, απέναντι απόαντίστοιχα ίσες πλευρές θα βρίσκονται ίσες γνίες. ' ' ' ΣΧΗΜ 1.30: Τρίγνα µε αντίστοιχες πλευρές ίσες ξίµα 1.6.3 (Του Pasch (1843-1940)) ν μία ευθεία ε τέμνει μία πλευρά τουτριγώνουκαιδεν διέρχεται απόμία κορυφή του, τότε θα τέμνει και μία απότις άλλες πλευρές. X Y ε ΣΧΗΜ 1.31: ξίµα του Pasch
14 ΚΕΦΛΙΟ 1. ΟΙ ΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σχόλιο-1 Το αξίµα για το εστερικό και εξτερικό του τριγώνου είναι µια από τις περιπτώσεις που ανέφερα στην αρχή του κεφαλαίου. Συνάγεται από τα υπόλοιπα αξιώµατα, συνεπώς θα µπορούσε να αποδειχθεί ς θεώρηµα. Ηαπόδειξη στόσο περιέχει λεπτοµέρειες στις οποίες δεν κρίν σκόπιµο να εµπλακεί ο µαθητής. Έτσι, το βάζ εδώ ς αξίµα. Το τελευταίο ξίµα 1.6.3 φαίνεται αυτονόητο, στόσο η ιδιότητα που εκφράζει δεν συνάγεται από τα προηγούµενα αξιώµατα. Ηχρησιµότητά του φαίνεται και από την επόµενη πρόταση καθώς και την άσκηση που ακολουθεί. Οι δύο αυτές προτάσεις παρατίθενται απλώς για να δώσουν µια γεύση τν λεπτοµερειών που πρέπει να προσέξει κανείς, αν θέλει να αποδείξει όλους τους ισχυρισµούς του βάσει τν αξιµάτν. Ένα πλήθος παρόµοιν «αυτονόητν» προτάσεν µπορεί να δει κανείς στα [Efi80, σ. 42-84], [el07]. Πρόταση1.6.1 Εάν το είναι ένα εστερικόσημείο του τριγώνου, τότε η τέμνει την απέναντι πλευρά του τριγώνου. Χ Z E ΣΧΗΜ 1.32: Τοµή απέναντι πλευράς πόδειξη: Πάρε σηµείο E στο ευθύγραµµο τµήµα. Θεώρησε κατόπιν το τρίγνο και την τέµνουσα E.Κατάτοξίµα1.6.3η E θα συναντά και µία δεύτερη πλευρά του τριγώνου. Επειδή η πλευρά αυτού του τριγώνου είναι εκτός της γνίας X η E θα συναντά την σε ένα σηµείο Z. Θεώρησε τότε το τρίγνο Z και την ευθεία E που συναντά την πλευρά του Z. Κατά το 1.6.3 η E θα συναντά και µία άλλη πλευρά του τριγώνου που δεν µπορεί να είναι η Z, διότι τότε η E θα συνέπιπτε µε τη Z. ΆραηE, που είναι η ίδια µε την ευθεία θα συναντά την πλευρά του τριγώνου Z, που είναι και πλευρά του τριγώνου, ό.έ.δ. Άσκηση 1.6.1 ίνεται ευθεία ε. είξε ότι η σχέση μεταξύ δύο σημείν και : τα και περιέχονται στο ίδιο ημιεπίπεδο της ε, είναι μεταβατική. ηλαδή, αν τα και είναι στο ίδιο ημιεπίπεδο και τα και είναι επίσης στο ίδιο ημιεπίπεδο τότε και τα και είναι στο ίδιο ημιεπίπεδο. Ε Ζ ε ΣΧΗΜ 1.33: Το νόηµα του αξιώµατος 1.6.3 Υπόδειξη: Υπόθεσε ότι τα, είναι στο ίδιο ηµιεπίπεδο και ότι τα, είναι επίσης στο ίδιο η- µιεπίπεδο αλλά τα, δεν είναι. Τότε (ξίµα 1.2.5) υπάρχει σηµείο E της ευθείας ε επί του και µεταξύ τν και. Με άλλα λόγια η ε τέµνει την.επειδήηε δεν περιέχει τα,, και τέµνει τη µία πλευρά του τριγώνου ( ) θα τέµνει κατά το ξίµα 1.6.3 και µία από τις άλλες δύο. ν τέµνει τη σε σηµείο Z, έχουµε άτοπο, διότι τότε τα, θα είναι σε διαφορετικές πλευρές της ε. ντέµνειτην θα έχουµε ανάλογο άτοπο. Άρα η δενµπορείνατέµνειτηνε.
1.7. Η ΙΣΟΤΗΤ ΣΧΗΜΤΩΝ 15 ιάµεσος του τριγώνου λέγεται το ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει µια κορυφή του µε το µέσον της απέναντι πλευράς. ιχοτόµος του τριγώνου λέγεται το ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει µια κορυφή µε την απέναντι πλευρά του και χρίζει τη γνία της κορυφής σε δύο ίσες γνίες. Συχνά ονοµάζουµε διχοτόµο και ολόκληρη την ευθεία ή ηµιευθεία που διχοτοµεί τη γνία του τριγώνου. Εξτερική Χ εξ. διχοτόμος διχοτόμος ύψος διάμεσος Υ M ΣΧΗΜ 1.34: ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος γνία του τριγώνου λέγεται µία παραπληρµατική γνίας τριγώνου λ.χ. της, που προκύπτει προεκτείνοντας µία από τις πλευρές του τριγώνου, λ.χ. την (δηλαδή θερώντας την ευθεία ), οπότε προκύπτει η X (σχήµα 1.34). Εξτερική διχοτόµος τριγώνου λέγεται η διχοτόµος µιας εξτερικής γνίας του. Ύψος του τριγώνου λέγεται το ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει την κορυφή του τριγώνου µε ένα σηµείο της απέναντι πλευράς της και είναι κάθετο στην πλευρά αυτή (την ύπαρξη του ύψους θα εξασφαλίσουµε λίγο αργότερα στην Παράγραφο 1.12). Όπς θα δούµε αργότερα, οι τρεις διάµεσοι του τριγώνου διέρχονται από κοινό σηµείο (Θεώρηµα 2.8.1), οι τρεις διχοτόµοι διέρχονται από άλλο κοινό σηµείο (Θεώρηµα 2.2.2) και τέλος τα τρία ύψη διέρχονται και αυτά από τρίτο κοινό σηµείο (Θεώρηµα 2.8.2). Οι διάµεσοι, τα ύψη και οι διχοτόµοι (εστερικές και εξτερικές) τριγώνου αναφέρονται συχνά ς δευτερεύοντα στοιχεία του τριγώνου. Σχόλιο-2 Συχνάηγνώσητνµηκώντριώναπόαυτάταστοιχείααρκείγιατηνακριβήκατασκευή του τριγώνου. ια παράδειγµα, στην Άσκηση 2.13.9, θα δούµε ότι το τρίγνο κατασκευάζεται εύκολα, όταν γνρίζουµε τα τρία µήκη Y, και M, ύψους, διχοτόµου και διαµέσου από την ίδια κορυφή. Συνήθς, στις κατασκευές τριγώνν απαιτούµε τη χρήση αποκλειστικά και µόνον του κανόνα και του διαβήτη. Ένα, σχετικά σύνθετο, πρόβληµα είναι να αποδείξουµε ότι µια ορισµένη κατασκευή είναι αδύνατη (µε κανόνα και διαβήτη). ια παράδειγµα, η κατασκευή του τριγώνου από ύψος Y και διάµεσο M από την ίδια κορυφή, αλλά διχοτόµο από µιαν άλλη κορυφή και όχι την, αποδεικνύεται αδύνατη ([Fur37, σ. 38]). Φυσικά, το να µην κατασκευάζεται το τρίγνο µε τα συγκεκριµένα δεδοµένα µέσ κανόνα και διαβήτη, δεν σηµαίνει ότι το τρίγνο δεν κατασκευάζεται µε άλλα µέσα. Έτσι, για παράδειγµα, δοθέντν τριών θετικών αριθµών υπάρχει ακριβώς ένα τρίγνο που έχει αυτούς τους αριθµούς ς µήκη τν διχοτόµν του. Ωστόσο, το τρίγνο αυτό δεν µπορεί να κατασκευαστεί µε τον κανόνα και το διαβήτη ([MP94], [Oxm08]). Άσκηση 1.6.2 είξε ότι η εστερική και εξτερική διχοτόμος μιας κορυφής τριγώνου είναι κάθετες ευθείες. 1.7 Η ισότητα σχηµάτν Ένα σηµείο, µία ευθεία, µία ηµιευθεία, ένα ευθύγραµµο τµήµα, ένα τρίγνο, είναι σχήµατα. ενικότερα, σχήµα (του επιπέδου) ονοµάζουµε οποιοδήποτε συγκεκριµένο σύνολο σηµείν του. υτά που εξετάσαµε µέχρι τώρα είναι τα απλούστερα σχήµατα. Στα επόµενα µαθήµατα θα γνρίσουµε άλλα πιο σύνθετα σχήµατα και θα µελετήσουµε ιδιότητες που ισχύουν για καθένα από αυτά και είναι οι ίδιες για τα λεγόµενα ίσα σχήµατα.
16 ΚΕΦΛΙΟ 1. ΟΙ ΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Κάθε σχήµα έχει έναν κανόνα που καθορίζει πότε είναι ίσο µε ένα άλλο. Τα ευθύγραµµα τµήµατα έχουν το µήκος τους. Είναι ίσα τότε ακριβώς όταν έχουν το ίδιο µήκος. Οι γνίες το ίδιο. Έχουν και αυτές το µέτρο τους. Είναι ίσες όταν έχουν ίσα µέτρα. Στα τρίγνα η ισότητα περιλαµβάνει περισσότερα στοιχεία. Ο ορισµός τις ισότητας απαιτεί από δύο τρίγνα να έχουν ίσες αντίστοιχες πλευρές και ίσες αντίστοιχες γνίες. Το ξίµα 1.6.2 δίνει το βασικό κριτήριο ισότητας τριγώνν. Λέει ότι όταν δύο τρίγνα έχουν αντίστοιχες πλευρές ίσες, τότε είναι ίσα. ηλαδή και οι αντίστοιχες γνίες τους (οι απέναντι από τις ίσες πλευρές) θα είναι και αυτές ίσες. Παρακάτ (Παράγραφος 1.9) θα δούµε και άλλα κριτήρια ισότητας τριγώνν. Όσο πιο πολύπλοκο είναι το σχήµα, τόσο περισσότερα στοιχεία του πρέπει να συγκρίνουµε για να καταλήξουµε ότι είναι ίσο µε ένα άλλο. ΟΕυκλείδηςσταΣτοιχεία του δεν χρονοτριβεί στην ανάλυση της έννοιας της ισότητας. Υιοθετεί µια απλοϊκή έννοια ισότητας, κατά την οποία δύο σχήµατα είναι ίσα, τότε και µόνον όταν µπορούµε να µετατοπίσουµε το ένα και να το τοποθετήσουµε πάν στο άλλο, έτσι ώστε τα δύο σχήµατα να συµπέσουν ακριβώς. Τι θα πει όµς μετατοπίσουμε; Ηέννοια της µετατόπισης είναι σύνθετη. Θεµελιώνεται µε τη γενική έννοια του μετασχηματισμού και ειδικότερα της ισομετρίας, για την οποία θα µιλήσουµε πολύ αργότερα (Παράγραφος 7.1). ρχικά, θεµελιώνουµε την ισότητα δίνοντας για κάθε σχήµα τον κανόνα του, πότε είναι ίσο µε ένα άλλο. Ωστόσο, δεν βλάπτει να σκεφτόµαστε και µε τον τρόπο του Ευκλείδη. Στο επίπεδο, δύο σχήµατα που είναι ίσα µε τον κανόνα ισότητάς τους, είναι ίσα και κατά την έννοια του Ευκλείδη, µέσ µετατόπισης και σύµπτσης. Και αντίστροφα, αν µπορούν να τοποθετηθούν ώστε να συµπέσουν, τότε είναι ίσα και µε τον κανόνα που δίνουµε σε κάθε περίπτση. Το πρόβληµα είναι ότι για να α- ποδείξουµε αυτή την ισοδυναµία, πρέπει να µελετήσουµε διάφορα ζητήµατα που η καταγραφή τους σε αυτό το σηµείο θα δηµιουργούσε κάποιες δυσκολίες κατανόησης. Περιοριζόµαστε λοιπόν στην παραδοχή αυτής της αρχής του Ευκλείδη. υτό πρακτικά σηµαίνει ότι το επίπεδο είναι σαν µια πλαστική διαφάνεια και τα σχήµατα µπορούν να κοπούν από το µέρος που έχουν αρχικά σχεδιαστεί και να µετατεθούν στο µέρος που είναι το άλλο σχήµα, να τοποθετηθούν πάν σε αυτό και να συµπέσουν. Πολύ αργότερα, στην Παράγραφο 7.5, που τη συνιστώ για µια δεύτερη ανάγνση, γίνεται η αυστηρή θεµελίση της ισότητας. Σηµειών µια ιδιαιτερότητα της έννοιας της ισότητας που φανερώνεται στο επόµενο σχήµα και έχει να κάνει µε τον λεγόµενο προσανατολισµό τν σχηµάτν. Τα δύο τρίγνα είναι ίσα µε τη δική µας έννοια. Έχουν όµς την ιδιαιτερότητα ότι η διαδοχή είναι κατά τη φορά του ρολογιού, ενώ η διαδοχή είναι αντίθετη της φοράς του ρολογιού. Το τρίγνο λέγεται αρνητικά προσανατολισµένο, ενώτο λέγεται θετικά προσανατολισµένο. ιανα κάνουµε το να συµπέσει µε το µε την έννοια της µετατόπισης πρέπει να το κόψουµε και να το γυρίσουµε από την πίσ µεριά, µε τον τρόπο που γυρίζουµε µια σελίδα και πάµε στην από πίσ της. Τα πράγµατα γίνονται λίγο πιο σύνθετα στο χώρο, όπουπαρουσιάζεταιτο ανάλογοφαινόµενο και εκεί δενυπάρχει κάτι έξαπό το χώρο για να κάνουµε αυτό το αναποδογύρισµα του προσανατολισµού. Εκεί, η έννοια της ισότητας µε τον τρόπο που την ορίζουµε, για κάθε σχήµα ξεχριστά, δεν είναι ισοδύναµη µε την έννοια της σύµπτσης (δες λ.χ. το σχόλιο στην Παράγραφο 9.2 και σε µια δεύτερη ανάγνση την πλήρη περιγραφή της ισότητας στο χώρο στην Παράγραφο 12.5). Ο τρόπος, λοιπόν, που χειριζόµαστε την ισότητα είναι πιο ασφαλής από αυτόν της μετατόπισης, όσο δεν µπαίνουµε στις λεπτοµέρειες του ακριβούς ορισµού αυτής της έννοιας. * * ΣΧΗΜ 1.35: Ίσα αλλά αντίθετα προσανατολισµένα τρίγνα *
1.8. ΤΟ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΚΙ ΤΟ ΟΡΘΟΩΝΙΟ ΤΡΙΩΝΟ 17 Σχόλιο-1 ια ορισµένα σχήµατα η ισότητα µε την έννοια της µετατόπισης είναι προφανής. Έτσι, λ.χ. δύο οποιεσδήποτε ευθείες α και β είναι ίσες, µε την έννοια ότι η α µπορεί να µετατοπιστεί και να τοποθετηθεί επί της β, έτσι ώστε οι δύο ευθείες να συµπέσουν. Παρόµοια, δύο τεµνόµενες ευθείες α και β, που σχηµατίζουν µεταξύ τους µία γνία µέτρου συγκροτούν ένα σχήµα που είναι ίσο µε το σχήµα δύο άλλν ευθειών α και β που σχηµατίζουν µεταξύ τους µία γνία του ίδιου µέτρου. Σχόλιο-2 Και ένα σχόλιο για την ορολογία. Συχνά, για την ισότητα δύο σχηµάτν που έχουν γνίες, κορυφές ή άλλα παρόµοια χαρακτηριστικά, κάνουµε αντιστοιχίσεις µεταξύ τν κορυφών τους, βάζοντας σε αντίστοιχες κορυφές το ίδιο γράµµα µε κάποιο δείκτη ή τόνο ή άστρο ή άλλο σηµάδι. Έτσι, όταν λέµε ότι τα τρίγνα και είναι ίσα διότι έχουν αντίστοιχες πλευρές ίσες, εννοούµε ότι η πλευρά είναι αντίστοιχα ίση προς την,η προς τη κ.τ.λ. Τον κανόνα αυτό ακολουθούµε και στα σχήµατα του χώρου. Το να µπορούµε να βάλουµε τα ίδια γράµµατα στα υποψήφια για ισότητα σχήµατα είναι το πρώτο βήµα για να αποδείξουµε την ισότητά τους, που συνήθς, ανάγεται στην ισότητα αντίστοιχν και απλούστερν στοιχείν τους. Άσκηση 1.7.1 Το επόμενο σχήμα αποτελείται από ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους δ και τις ευθείες που είναι κάθετες σε αυτόστα άκρα του. είξε ότι κάθε ευθύγραμμο τμήμα, του ίδιου μήκους δ, ορίζει ανάλογα ένα σχήμα ίσο προς το προηγούμενο με την έννοια της μετατόπισης. ΣΧΗΜ 1.36: Ένα απλό σχήµα Υπόδειξη: Λόγ της ισότητας τν µηκών, το τµήµα µπορεί να µετατοπιστεί ώστε να συµπέσει µε το. Τότε, κατά το ξίµα 1.4.2, θα συµπέσουν και οι κάθετες προς το σταάκρατουµε τις αντίστοιχες κάθετες του στα άκρα του. 1.8 Το ισοσκελές και το ορθογώνιο τρίγνο Ισοσκελές λέγεται το τρίγνο που έχει δύο πλευρές ίσες. Οι δύο ίσες πλευρές λέγονται σκέλη και η τρίτη πλευρά βάση του ισοσκελούς. Ηκορυφή στην οποία συντρέχουν τα σκέλη λέγεται κορυφή του ισοσκελούς. Ορθογώνιο τρίγνο λέγεται το τρίγνο που έχει µία γνία του ορθή. Οι πλευρές που ΣΧΗΜ 1.37: Το ισοσκελές και το ορθογώνιο τρίγνο ορίζουν αυτή τη γνία λέγονται κάθετες πλευρές του ορθογνίου. Ηπλευρά που είναι απέναντι από την ορθή γνία λέγεται υποτείνουσα τουορθογώνιουτριγώνου.
18 ΚΕΦΛΙΟ 1. ΟΙ ΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Θεώρηµα 1.8.1 Σε κάθε ισοσκελές τρίγνο ( = ) οι παρά τη βάση γνίες (στα και )είναι ίσες. M ΣΧΗΜ 1.38: Το θεώρηµα του ισοσκελούς πόδειξη: Θεώρησε τα δύο τρίγνα M και M που σχηµατίζονται φέρνοντας την M,όπουM το µέσον της βάσης. Τα δύο τρίγνα αυτά έχουν τις πλευρές τους αντίστοιχα ίσες: = εξ υποθέσες, M = M διότι το M είναι µέσον της και τέλος την M κοινή. Κατά το ξίµα 1.6.2 τν τριγώνν τα δύο αυτά τρίγνα θα είναι ίσα, άρα και οι γνίες τους στα και θα είναι αντίστοιχα ίσες, ό.έ.δ. Πόρισµα 1.8.1 Σε κάθε ισοσκελές τρίγνο ( = ) η ευθεία που ενώνει την κορυφή του με το μέσον M της απέναντι πλευράς διχοτομεί τη γνία της κορυφής. (ες την Άσκηση 1.9.8 για το αντίστροφο.) Πόρισµα 1.8.2 Σε κάθε ισοσκελές τρίγνο ( = ) η ευθεία που ενώνει την κορυφή του με το μέσον M της απέναντι πλευράς είναι κάθετη στη βάση και χρίζει το τρίγνο σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγνα (M και M ). (ες την Άσκηση 1.9.9 για το αντίστροφο.) M ΣΧΗΜ 1.39: ιαίρεση ισοσκελούς σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγνα Μεσοκάθετο του ευθύγραµµου τµήµατος ονοµάζουµε την ευθεία που είναι κάθετη στο µέσον του ευθύγραµµου τµήµατος. Το προηγούµενο πόρισµα µπορεί επίσης να διατυπθεί στην επόµενη µορφή. Πόρισµα 1.8.3 ια κάθε ισοσκελές τρίγνο με βάση, η κορυφή του βρίσκεται επί της μεσοκαθέτου του ευθύγραμμου τμήματος. Ισοδύναµη επίσης είναι και η διατύπση: Πόρισµα 1.8.4 Κάθε σημείο P που ισαπέχει απότα σημεία και βρίσκεται επί της μεσοκαθέτου του ευθύγραμμου τμήματος.
1.9. ΚΡΙΤΗΡΙ ΙΣΟΤΗΤΣ ΤΡΙΩΝΩΝ 19 Ρ Μ ΣΧΗΜ 1.40: Ηµεσοκάθετος του Άσκηση 1.8.1 Έστ ότι τα τρίγνα και είναι ισοσκελή με κορυφή στο και κοινή την πλευρά. είξε ότι οι πλευρές και ή θα περιέχονται στην ίδια ευθεία ή θα σχηματίζουν ισοσκελές τρίγνο. ΣΧΗΜ 1.41: Συγκόλληση ισοσκελών 1.9 Κριτήρια ισότητας τριγώνν Εκτός από το βασικό ξίµα 1.6.2 ισότητας τριγώνν που αναφέρεται και ς ΠΠΠ-κριτήριο (πλευράπλευρά-πλευρά κριτήριο) ισότητας, ισχύουν και άλλα δύο κριτήρια ισότητας που προκύπτουν ς θερήµατα βάσει του ΠΠΠ-κριτηρίου. υτά αναφέρονται ς ΠΠ-κριτήριο ισότητας (πλευρά-γνίαπλευρά κριτήριο) και Π-κριτήριο ισότητας (γνία-πλευρά-γνία κριτήριο). ' ' ' ΣΧΗΜ 1.42: ΠΠ-κριτήριο Πρόταση1.9.1 (ΠΠ-κριτήριο) ύο τρίγνα, που έχουν δύο αντίστοιχες πλευρές ίσες ( =, = ) και τις περιεχόμενες σε αυτές γνίες επίσης ίσες ( = ) είναι ίσα. πόδειξη: Τοποθέτησε τη γνία πάν στην έτσι ώστε να συµπέσουν οι ηµιευθείες και καθώς και οι και. υτό είναι δυνατόν λόγ της υποτιθέµενης ισότητας τν γνιών στα και αντιστοίχς. Λόγ της επίσης υποτιθέµενης ισότητας τν µηκών = θα συµπέσουν και τα και (σύµφνα µε το ξίµα 1.3.3) και για τον ίδιο λόγο θα συµπέσουν και τα και
20 ΚΕΦΛΙΟ 1. ΟΙ ΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Συνεπώς θα συµπέσουν και οι πλευρές και και εποµένς τα µήκη τους θα είναι ίσα =. Ηαλήθεια της πρότασης προκύπτει εφαρµόζοντας το ΠΠΠ-κριτήριο, ό.έ.δ. Πρόταση1.9.2 (Π-κριτήριο) ύο τρίγνα, που έχουν δύο αντίστοιχες γνίες ίσες ( = και = ) και τις περιεχόμενες σε αυτές πλευρές επίσης ίσες ( = ) είναι ίσα. ' ' ' ΣΧΗΜ 1.43: Π-κριτήριο πόδειξη: Ηαπόδειξη είναι παρόµοια µε την προηγούµενη. Τοποθέτησε τα τρίγνα έτσι ώστε να συµπέσουν οι και, καθώς και οι γνίες στα, και,. υτό είναι δυνατόν λόγ του αξιώµατος 1.4.2. Τότε θα συµπέσουν οι ευθείες, καθώς και οι,,άραθασυµπέσουν και οι τοµές τους που ορίζουν αντίστοιχα τα και. πό αυτή τη σύµπτση έπεται ότι = και =. Ηαλήθεια της πρότασης προκύπτει εφαρµόζοντας πάλι το ΠΠΠ-κριτήριο, ό.έ.δ. Πρόταση1.9.3 ν το τρίγνο έχει δύο γνίες του ίσες τότε είναι ισοσκελές. ' ΣΧΗΜ 1.44: ύο ίσες γνίες παράγουν ισοσκελές ' ' πόδειξη: Θεώρησε ένα τρίγνο ίσο προς το και εφάρµοσε το Π-κριτήριο. Τα δύο τρίγνα έχουν ίσες τις πλευρές και αντίστοιχα και τις γνίες και ίσες καθώς και τις και ίσες, άρα είναι ίσα. Ηπλευρά που είναι απέναντι στη γνία θα είναι ίση µε την πλευρά που είναι απέναντι στην ίση προς την προηγούµενη γνία.όµςεκ κατασκευής η είναι ίση προς την, άρατελικάοι και θα είναι ίσες, ό.έ.δ. Σχόλιο-1 Ηαπόδειξη αυτή (οφείλεται στον Πάππο) έχει ένα λεπτό και παράδοξο σηµείο όπου δύο ίσα τρίγνα ξανααποδεικνύονταιίσα. ίνεται εδώένα παιχνίδι µετονπροσανατολισµό του τριγώνου. Το είναι µεν ίσο µε το, αλλά έχει τοποθετηθεί µε αντίστροφο προσανατολισµό πάν στο. Το επόµενο σχήµα δείχνει τη διαφορά µε ένα µη ισοσκελές. Τα δύο τρίγνα ενώ είναι ίσα, τοποθετούµενα µε αυτόν τον τρόπο δεν συµπίπτουν εν γένει. Το νόηµα της πρότασης είναι ότι τα δύο τρίγνα τοποθετούµενα κατ αυτόν τον τρόπο συµπίπτουν τότε και µόνον, όταν είναι ισοσκελή. Πόρισµα 1.9.1 Σημείο ανήκει στη μεσοκάθετο ε του ευθύγραμμου τμήματος τότε και μόνον όταν ισαπέχει από τα σημεία και.
1.9. ΚΡΙΤΗΡΙ ΙΣΟΤΗΤΣ ΤΡΙΩΝΩΝ 21 ' =' =' ΣΧΗΜ 1.45: Επανατοποθέτηση ίσου τριγώνου µε αντίθετο προσανατολισµό πόδειξη: Στο Πόρισµα 1.8.4 είδαµε ότι κάθε σηµείο που ισαπέχει από τα και είναι επί της µεσοκαθέτου. ια το αντίστροφο, παίρνουµε το επί της µεσοκαθέτου και δείχνουµε ότι τα τρίγνα M και M είναι ίσα (M το µέσον του ) εφαρµόζοντας το ΠΠ-κριτήριο, ό.έ.δ. Σχόλιο-2 Το τελευταίο πόρισµα χαρακτηρίζει τη µεσοκάθετος γεµετρικό τόπο σηµείν που έχουν µια ορισµένη ιδιότητα. Λέµε συχνά: ο γεμετρικός τόπος τν σημείν που έχουν την τάδε ιδιότητα είναι το δείνα σύνολο. Έτσι λοιπόν θα λέµε στο εξής: ο γεμετρικός τόπος τν σημείν που ισαπέχουν απόδύο σημεία και είναι η μεσοκάθετος του. Όπς στην περίπτση της µεσοκαθέτου έτσι και στη γενική περίπτση ενός γεµετρικού τόπου πρέπει να δείξουµε δύο πράγµατα: α) ότι κάθε σηµείο του γεµετρικού τόπου έχει την τάδε ιδιότητα, β) ότι αν ένα σηµείο έχει την τάδειδιότητα τότε ανήκει αναγκαστικά στον γεµετρικό τόπο (περισσότερα στην Παράγραφο 2.15). Άσκηση 1.9.1 ύο ορθογώνια τρίγνα που έχουν αντίστοιχες κάθετες πλευρές ίσου μήκους είναι ίσα. Υπόδειξη: Εφάρµοσε το ΠΠ-κριτήριο µε αντίστοιχες γνίες τις ορθές τν δύο τριγώνν. Άσκηση 1.9.2 ύο ορθογώνια τρίγνα που έχουν μία κάθετο και την προσκείμενη οξεία αντίστοιχα ίσες είναι ίσα. Υπόδειξη: Εφάρµοσε το Π-κριτήριο. Άσκηση 1.9.3 Έστ E το μέσον της πλευράς του τριγώνου.προέκτεινετηe (διάμεσο) κατά το διπλάσιο μέχρι το. είξε ότι το τρίγνο είναι ίσο με το. Ε ΣΧΗΜ 1.46: Προέκταση της διαµέσου Υπόδειξη: είξε πρώτα µε το ΠΠ-κριτήριο ότι τα τρίγνα E και E είναι ίσα. είξε ανάλογα ότι και τα E και E είναι ίσα. Συµπέρανε κατόπιν µε το ΠΠΠ-κριτήριο ότι τα και είναι ίσα. Άσκηση 1.9.4 Έστ ισοσκελές τρίγνο με ίσες γνίες στις κορυφές και. είξε ότι οι διάμεσοι από τις κορυφές αυτές είναι ίσες. είξε επίσης ότι και οι διχοτόμοι από τις κορυφές αυτές είναι ίσες.
22 ΚΕΦΛΙΟ 1. ΟΙ ΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Υπόδειξη: Έστ ότι M και N είναι τα µέσα τν και αντιστοίχς. Τα τρίγνα M και N είναι ίσα ς έχοντα α) τη κοινή, β) τις M και N ίσες ς µισές ίσν πλευρών, γ) τις γνίες στα και ίσες. Εφαρµόζεται λοιπόν το ΠΠ-κριτήριο ισότητας τριγώνν. νάλογη είναι και η απόδειξη Μ Ν Ζ Η ΣΧΗΜ 1.47: Ίσες διάµεσοι Ίσες διχοτόµοι για τις διχοτόµους, µόνο που αυτή τη φορά εφαρµόζεται το Π-κριτήριο. Πράγµατι, έστ ότι H και Z είναι οι διχοτόµοι τν γνιών στα και αντίστοιχα. Τότε τα τρίγνα H και Z είναι ίσα ς έχοντα α) τη κοινή, β) τις γνίες στα και ίσες, γ) τις γνίες H = Z ς µισές ίσν γνιών. Σχόλιο-3 Ισχύει και η αντίστροφη της προηγούµενης πρότασης, αλλά, στη µεν περίπτση τν διαµέσν χρειαζόµαστε µια ιδιότητά τους που θα µάθουµε αργότερα (δες Άσκηση 2.8.1), στις δε διχοτόµους η απόδειξη του αντιστρόφου αναφέρεται ς θεώρηµα τν Steiner-Lehmus και είναι απροσδόκητα δύσκολη ([Ste71, σ. II, 321], [CG67, σ. 14]). ια µια υπολογιστική απόδειξη δες Άσκηση 3.12.7. Άσκηση 1.9.5 Έστ ισοσκελές τρίγνο με ίσες γνίες στις κορυφές και. είξε ότι τα ύψη απότις κορυφές αυτές είναι ίσα. Ζ Η Ε ΣΧΗΜ 1.48: Ίσα ύψη Υπόδειξη: Έστ ότι E και είναι τα ύψη αντίστοιχα από τις γνίες και.προέκτεινετηe κατά το διπλάσιο ές το σηµείο H και τη κατά το διπλάσιο ές το Z. ΤατρίγναE και HE είναι ίσα ς έχοντα α) την E κοινή, β) τις γνίες στο E ορθές και γ) τις πλευρές E και EH ίσες εκ κατασκευής (ΠΠ-κριτήριο). Συνεπώς το τρίγνο H είναι ισοσκελές. Παρόµοια αποδεικνύεται ότι και το Z είναι ισοσκελές. Τα δύο αυτά ισοσκελή είναι και ίσα ς έχοντα α) τη κοινή, β) τη Z ίση της H και γ) τις γνίες τους στα και ίσες ς διπλάσιες τν β και γ αντίστοιχα. Άρα οι Z και H, που είναι διπλάσιες τν υψών θα είναι ίσες. ια την αντίστροφη αυτής της ιδιότητας δες την Άσκηση 1.10.2. Σχόλιο-4 ργότερα θα δούµε ότι υπάρχει και ένα ακόµη κριτήριο ισότητας τριγώνν που θα µπορούσε να ονοµαστεί Π-κριτήριο. Κατ αυτό, αν δύο τρίγνα και έχουν τις γνίες τους α = α, β = β και τις πλευρές a = = = a, τότε είναι ίσα. Σε αυτή την περίπτση τα
1.9. ΚΡΙΤΗΡΙ ΙΣΟΤΗΤΣ ΤΡΙΩΝΩΝ 23 τρίγνα υποτίθεται ότι έχουν δύο γνίες ίσες και µία πλευρά αντίστοιχα ίση της άλλης, αλλά η πλευρά αυτή είναι η απέναντι της α και όχι η προσκείµενη της α (όπς στο Π-κριτήριο). υτό στόσο ανάγεται στο Π-κριτήριο, διότι από την ισότητα τν δύο γνιών και τη σχέση α + β + γ = 180, που θα δείξουµε αργότερα, προκύπτει η ισότητα όλν τν γνιών τν δύο τριγώνν. ' α α ΣΧΗΜ 1.49: µφίβολη περίπτση Το τελευταίο σχήµα δείχνει ότι δεν ισχύει αυτό που θα µπορούσε να ονοµαστεί ΠΠ-κριτήριο. Εν γένει (όταν το τρίγνο δεν είναι ορθογώνιο) υπάρχουν δύο τρίγνα και γιαταοποία ισχύει a = a, b = b και α = α. Και αυτό το σχήµα θα το αναλύσουµε παρακάτ, όταν θα έχουµε επαρκείς γνώσεις για τον κύκλο και τις ιδιότητές του. Άσκηση 1.9.6 είξε ότι αν τα τρίγνα και είναι ίσα τότε οι διάμεσοι/διχοτόμοι του είναι ίσες με τις αντίστοιχες διαμέσους/διχοτόμους του. Άσκηση 1.9.7 Έστ ότι τα ευθύγραμμα τμήματα και έχουν κοινή μεσοκάθετο ε και η συναντά την ε στο E. είξεότικαιη συναντά την ε στο E. ε Ε ΣΧΗΜ 1.50: Κοινή µεσοκάθετος Άσκηση 1.9.8 είξε ότι αν η διάμεσος M του τριγώνου διχοτομεί τη γνία, τότε το τρίγνο είναι ισοσκελές (αντίστροφο του Πορίσματος 1.8.1). Άσκηση 1.9.9 είξε ότι αν η διάμεσος M του τριγώνου είναι κάθετη στη βάση, τότε το τρίγνο είναι ισοσκελές (αντίστροφο του Πορίσματος 1.8.2). Άσκηση 1.9.10 είξε ότι δύο ίσα τρίγνα και έχουν αντίστοιχα ίσα ύψη.
24 ΚΕΦΛΙΟ 1. ΟΙ ΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ =' ' =' ΣΧΗΜ 1.51: Ίσα ύψη ίσν τριγώνν Υπόδειξη: Τοποθέτησε τα τρίγνα όπς στο σχήµα και χρησιµοποίησε το ότι το τρίγνο είναι ισοσκελές. 1.10 Σχετικά µεγέθηγνιών τριγώνου Πρόταση1.10.1 Σε κάθε τρίγνο η παραπληρματική κάθε γνίας είναι μεγαλύτερη εκάστης τν δύο άλλν γνιών. M N ΣΧΗΜ 1.52: Σύγκριση γνιών τριγώνου X πόδειξη: ς δείξουµε ότι η X (σχήµα 1.52), που είναι παραπληρµατική της είναι µεγαλύτερη της γνίας. ΈστM το µέσον της και N επί της ηµιευθείας M,έτσιώστε M = MN. Τα τρίγνα M και NM έχουν: α) τις γνίες M και MN ίσες ς κατά κορυφήν, β) τις πλευρές M και M ίσες διότι το M είναι το µέσον της,γ)τιςπλευρέςm και MN ίσες εκ κατασκευής. Συνεπώς, εφαρµόζοντας το ΠΠ-κριτήριο ισότητας (Πρόταση 1.9.1), τα τρίγνα είναι ίσα. πό την ισότητα τν τριγώνν προκύπτει ότι η γνία είναι ίση µε την N. Ητελευταία όµς είναι µικρότερη της X διότι το N είναι στο εστερικό της X (Άσκηση 1.10.10). νάλογα δείχνουµε και ότι η γνία είναι µικρότερη της X, ό.έ.δ. Σχόλιο-1 Συχνά η γνία X αναφέρεται ς εξτερική του τριγώνου (δες Παράγραφο 1.6) και το θεώρηµα παίρνει τη µορφή: Κάθε εξτερική γνία τριγώνου είναι µεγαλύτερη εκάστης τν εντός και απέναντι. Πρόταση1.10.2 Έστ ότι το σημείο είναι στο εστερικότου τριγώνου.τότεηγνία είναι μεγαλύτερη της. α Ε ε δ ΣΧΗΜ 1.53: α<ε<δ
1.10. ΣΧΕΤΙΚ ΜΕΕΘΗΩΝΙΩΝ ΤΡΙΩΝΟΥ 25 πόδειξη: Προέκτεινε µία από τις πλευρές της εστερικής γνίας λ.χ. τη και όρισε το σηµείο τοµής της, E, µετην.ηγνίαε = E >α= ς εξτερική και απέναντι της α στο τρίγνο E. Παρόµοια και δ = >ε. Συνολικά λοιπόν δ>α, ό.έ.δ. Θεώρηµα 1.10.1 Σε κάθετρίγνο απέναντι απόμεγαλύτερη πλευρά βρίσκεται μεγαλύτερη γνία. Ε ΣΧΗΜ 1.54: Μεγαλύτερη γνία απέναντι µεγαλύτερης πλευράς πόδειξη: ς υποθέσουµε ότι η πλευρά είναι µεγαλύτερη της. ΤότευπάρχεισηµείοE µεταξύ του και του έτσι ώστε E = (ξίµα 1.3.3, Άσκηση 1.3.1). Το τρίγνο E που σχηµατίζεται είναι ισοσκελές και κατά το προηγούµενο θεώρηµα η γνία E = E >. Επίσης > E διότι το E είναι στο εστερικό της γνίας. Συνολικά λοιπόν >, ό.έ.δ. Θεώρηµα 1.10.2 Σε κάθετρίγνο απέναντι απόμεγαλύτερη γνία βρίσκεται μεγαλύτερη πλευρά. πόδειξη: ιά της εις άτοπον απαγγής. Υπόθεσε λοιπόν ότι στο η γνία α>βκαι όµς a b. ποκλείεται a = b διότι τότε θα είχαµε και α = β (Θεώρηµα 1.8.1), αντίθετα µε την υπόθεσή µας. ποκλείεται όµς και a<bδιότι τότε, κατά την προηγούµενη πρόταση, θα έπρεπε να ισχύει και α<β, που είναι πάλι αντίθετο µε την υπόθεσή µας. Πρέπει λοιπόν να ισχύει a>b, ό.έ.δ. Πόρισµα 1.10.1 Σε κάθε τρίγνο το άθροισμα δύο γνιών του είναι μικρότερο τν 180 μοιρών. πόδειξη: Έστ α, β, γ οι γνίες του τριγώνου. Κατά την Πρόταση 1.10.1 κάθε µία από τις α, β είναι µικρότερη της 180 γ: άραα+γ <180, β + γ<180. νάλογα αποδεικνύεται και η α+β <180, ό.έ.δ. Πόρισµα 1.10.2 Ένα τρίγνο έχει το πολύ μία αμβλεία γνία. πόδειξη: ν είχε δύο αµβλείες λ.χ. την α και β τότε θα ήταν α + β>180, άτοπο, ό.έ.δ. Πόρισµα 1.10.3 Σε κάθε ισοσκελές τρίγνο οι δύο ίσες γνίες του είναι οξείες. πόδειξη: ν οι α και β ήταν ίσες και αµβλείες ή ορθές τότε α + β 180,άτοπο,ό.έ.δ. Πόρισµα 1.10.4 Κάθε ορθογώνιο τρίγνο έχει τις άλλες δύο γνίες του οξείες. πόδειξη: ν η α =90 και β και γ είναι οι άλλες γνίες του ορθογνίου, τότε η εξτερική τής α είναι πάλι 90 και είναι µεγαλύτερη και από τη β και από τη γ, ό.έ.δ. Πόρισµα 1.10.5 Έστ ότι η είναι κάθετη στην ευθεία XY,όπου σημείο της XY. Τότε τα σημεία, της ευθείας ικανοποιούν την < τότε και μόνον, όταν <.