Jy weet mos dt, om n vergelyking te kn oplos, moet jy ontsle rk vn lles wt nie die vernderlike is nie, n die linkerknt. Bv. As jy het =, dn sl jy weersknte deel met, om te kry =, of s jy werk met kwdrtiese vergelykings, soos + 3, sl gee ( +)( 1), en dit lewer dn die oplossings = - of = 1. Wt jy egter moet rksien, is dt jy elke keer eindig met +1 1! Jy rk dus ontsle vn lle negtiewes, lle getlle ehlwe 1, en ook lle eksponente wt nie 1 is nie, om die vrg te kn fsluit. As jy egter in vergelykings werk wr die eksponent vn die vernderlike nie n ntuurlike getl is, mr n reuk, en jy moet sorg dt die finle eksponente wel 1 is, dn kn jy die volgende onthou: Om enige reuk om te skkel n 1, moet dit vermenigvuldig word met die omgekeerde (ruil die teller en noemer om). Dus, s jy 3 wil omskkel n 1, ml jy dit met 3, 3 1. 3 Of s jy wil omskkel, ml dit met 3 3 3, 1. 3 Hierdie tegniek het nou ie prktiese impliksies om vergelykings op te los wr die eksponent vn die vernderlike n rsionle getl (reuk) is, solnk s wt jy net onthou dt, wt jy n die een knt doen, moet jy n die nder knt ook doen. Bv. 3 5 11
Heel eerste sl jy, soos gewoonlik, eers die -5 oorvt: 3 16 Deel dn ook, soos gewoonlik, eers met die getl voorn (): 3 Nou moet ons die eksponent vn die vernderlike omskkel n 1, mr net gou n wenk: Proeer sover s moontlik om jou grondtlle s produkte vn priemfktore te skryf, en skryf die eksponente dn s reuke op 1. 1 Die n die regterknt sl dus geskryf word s. 3 3 1 3 Nou kn die eksponente knselleer, en die finle ntwoord is 3 8 Los op: ) 1 16 3 3 3 1) Los op vir : ) 7 3 6 ) Los op vir : ) 5 0 3 d) 53 6 0 1
3 3 f) 7 0 3) Los op vir : 1 ) 3 ) Los op vir : 1 ) 3 0 1 VERGELYKINGS MET WORTELS Jy ehoort nou l met verskeie soorte vergelykings te gewerk het: (1) lineêre vergelykings, () kwdrtiese vergelykings, (3) eksponensiële vergelykings, en () vergelykings met rsionle eksponente. Punt no kon ook gesien geword het s vergelykings met wortels, wnt iets soos 16 kon gegee gewees het s: 1 16. Wnneer die wortelteken egetr oor meer s een term gespn is, dn is dit prtyml voordelig om te onthou dt jy vn die vierkntswortel ontsle kn rk deur te kwdreer, of n derdemgswortel deur tot die derde mg te verhef, ensovoorts. Hou mr net in gedgte dt jy verkieslik eers die wortel lleen n die linkerknt moet kry. Ander elngrike punte om te onthou, is die volgende: NB!! is reëel s 0 onthou dt die vierkntswortel vn n negtiewe getl nie estn nie negtiewe getl die ntwoord vn n vierknstwortel sl ltyd positif wees, nooit negtief nie
- s jy n vierknstwortel kwdreer, vl die wortelteken weg TOETS ook ltyd jou oplossings As n vooreeld, kyk n die volgende vrg: 3 0 1) Vt die 3 oor: 3 ) Deel weersknte met -1 (om die teken voor die wortel positief te kry) 3 3 ) Dn vl die wortelteken weg, en die ntwoord is = 9 3) Kwdreer weerksnte: Om te toets, vervng ons die in die oorspronklike vergelyking dn met 9: 3 0 3 9 3 3 0 Dus is die Linkerknt = Regterknt Los op vir : ) 3 0 ) 3 0 c) 7 d) 5 6 e) 3 0 f) 5 1 0 g) 5 0 h) 5 0
VERGELYKINGS EN ONGELYKHEDE VIERKANTSVOLTOOIING Jy het l verskeie mniere teëgekom wrmee jy kwdrtiese vergelykings kn oplos, en een vn hierdie tegnieke stn ekend s vierkntsvoltooiing. Jy moet egter n drieterm se vierknt kn voltooi, sonder dt dit in n vergelyking vir jou gegee word, mr net om die sis te lê, gn ons wegspring deur n kwdrtiese vergelyking te herskryf met ehulp vn vierkntsvoltooiing. Eerstens, onthou om die terme wt vir jou gegee word in twee groepe te skei een vir die terme wt evt n die linkerknt, en die gewone getlle n die regterknt. Indien nodig deel ook regdeur met n spesifieke getl om die koëffisiënte vn die kwdrtiese terme gelyk n 1 te kry. Gestel jy word gegee: 0. Mk dit n kwdrtiese vergelyking deur =0 n die regterknt y te sit: 0 0 Dn deel ons regdeur met : 0 0 Vt die gewone getlle dn oor n die regterknt, mr los n spsie n die linkerknt wr dit gestn het: 0 Binne die spsies sit jy dn nou leë hkies wt gekwdreer is, en ONTHOU om dit n die regterknt ook te doen: ( ) 0 ( ) Neem nou die helfte vn die koëffisiënt vn die -term en sit dit inne die hkies:
( ) 0 ( ) Wt jy met nder woord nou het n die linkerknt is n drieterm wt n perfekte vierknt is, en dit kn dienooreenkomstig gefktoriseer word: 1 1 Bring nou die regterknt terug n die linkerknt, en los die =0 om weg te rk: 1 1 Met vierkntsvoltooiing kn ons dn n drieterm soos herskryf in die vorm p q c LET WEL: n Volkome vierknt kn ltyd s ( ) geskryf word. Bv. 16 = 6 9 3 10y 5 y 5 y ens. Ondersoek die smestelling vn die 3 terme en hul ooreenkoms met die gefktoriseerde vorm en/of mekr. Afleidings: Die eerste term word verkry deur... Die middelste term word verkry deur... Die lste term word verkry deur... (i.e. die vierknt word voltooi) Bepl die derde term en voltooi dus die vierknt: )... ) 3... c) y 8y...
d) c 1cd... e) 3 8 1) Voltooi die vierknt vir elk vn die volgende kwdrtiese uitdrukkings: ) ) 5 c) 8 10 d) 10 e) 6 f) 6 8 Skryf die gegewe uitdrukking in die vorm: p q ) 9 ) c) 7 d) 3 6 [Let wel: Koeffisiënt vn is nie 1 nie] 1) Voltooi die vierknt vir elk vn die volgende: ) 3 6 6 ) ) Wys deur middel vn vierkntsvoltooiing dt 9 5
3) Voltooi die vierknt vir die volgende: 8 6 MAKSIMA EN MINIMA AFGELEI VAN: p q As jy die vergelyking vn n prool sou neem, en die y = gedeelte lt wegvl, en eerder n =0 n die regterknt sit, kn jy die vergelyking vn die prool se vierknt voltooi, en die vergelyking in hierdie vorm skryf: p q Sit nou net weer die y= gedeelte terug, en die prool se vergelyking vernder vn y c n y p q Wt kry jy uit hierdie vorm vn die vergelyking? Wt kry jy uit hierdie vorm vn die vergelyking? Stel y = 0 om die - fsnitte deur fktorisering te epl Stel = 0 om die y-fsnit se wrde te epl (die wrde vn c) Bepl die s vn simmetrie met die formule Bepl die koördinte vn die dripunt deur die s vn simmetrie in die oorspronklike vergelyking te vervng Onthou:. Stel y = 0 om die - fsnitte deur fktorisering te epl Stel = 0 om die y-fsnit se wrde te epl (die wrde vn c) Die s vn simmetrie is die wrde vn p. Onthou, s dr v. Stn ( + 3), dn is die wrde vn p = -3, om die + te kon veroorsk het Die y-koördint vn die dripunt is die wrde vn q
Dus, s jy kyk n die teken vn die getl voor die hkie, sl jy lreeds weet of die vergelyking n mksimum- of minimumwrde het, die wrde vn q in die vergelyking gee vir jou hierdie mksimum of minimum, en die wrde vn p gee vir jou die - wrde wt hierdie mksimum- of minimumwrde lt geeur. Doen die volgende vir elkeen vn die vre: ) Skryf die volgende uitdrukkings in die vorm p q (indien nodig) ) Het die uitdrukking n mksimum of n minimum? 1) 3 6 ) 5 3) 3 8 ) 6 11
PRAKTIESE TOEPASSINGS Bewys dt 3 n mksimumwrde vn - het. Die reghoeksye vn n reghoekige driehoek is ( ) en ( + ) ) Skryf die oppervlkte vn die driehoek itv neer. ) Wt is die mksimumoppervlkte s = 1? 1) Bepl of elk vn die volgende uitdrukkings n mksimum of minimum het en epl dn die wrde: ) 9 ) ) Toon dt 1 ltyd positief is vir lle reële wrdes vn. 3 n Boer het 100 meter ogiesdrd wrmee hy n reghoekige hoenderhok wil ou. Hy epln om twee estnde ngrensende sye vir die reghoekige omheining te geruik. ) Bepl n formule vir die ingeslote oppervlkte in terme vn. ) Bepl die fmetings wt die mksimum ingeslote oppervlkte sl gee.
OPLOS VAN KWADRATIESE VERGELYKINGS n Kwdrtiese vergelyking word onderskei vn n lineêre vergelyking in die sin dt die hoogste eksponent vn die vernderlike is. Dit impliseer ook dt hierdie tipe vergelyking gewoonlik twee oplossings het. Ons moet net hier stilstn vir n oomlik. Wt presies eteken dit s een vergelyking meer s een oplossing het? n Vergelyking het mos n oplossing, of gld nie! Hoe kn dit twee verskillende oplossings hê sonder dt enige een die nder een vervng? Om sin te mk hiervn, kom ons kyk n n ie eenvoudige lineêre vergelyking: =. Wnneer ons die oplossing epl het, wt in hierdie gevl = sl wees, dn kn ons die oplossing toets deur dit in die vernderlike in te vervng, en te sien of die Linkerknt gelyk is n die Regterknt. Dus, LK = () = RK =...en ons sien die linkerknt is inderdd gelyk n die regterknt. Sou ons esluit het om die regterknt eers oor te ring (of die vergelyking op enige mnier te herskryf), sl die linkerknt nog steeds gelyk wees n die regterknt: = 0 LK = () = 0 RK = 0 Wnneer die linkerknt n nder getl produseer s wt n die regterknt is, dn weet jy dt die oplossing verkeerd is. As ons nou kyk n n kwdrtiese vergelyking, v. iets soos ² = 8, dn sl die oplossing wees dt =. Vervng dit in die verndelike se plek in, en die linkerknt sl gelyk wees n die regterknt:
LK = ()² = 8 RK = 8 Nou moet jy egter oplet dt = - ook n oplossing sl wees! LK = (-)² = 8 RK = 8 Hoe is ons dn nou vernderstel om te weet dt dr só n oplossing ook is? Wel, n goeie eginpunt is om AL jou terme n die linkerknt te kry, eerder s om n kwdrtiese vergelyking te hnteer soos n gewone lineêre vergelyking wr jy die vernderlike n die linkerknt en die getlle n die regterknt het. Ons vergelyking vn hiero sl dn só lyk: ² - 8 = 0 Die 0 n die regterknt is ie elngrik, soos jy innekort sl sien. Die logiese, volgende stp sl wees om die uitdrukking n die linkerknt te fktoriseer: ( )( + ) = 0 Omdt dr n getl voorn stn (nie s dr n vernderlike stn nie!) kn jy weersknte drmee deel, en dn word die uitdrukking ( )( + ) = 0 Nou moet ons kyk n die rede wrom dr n nul n die regterknt moes gewees het. Dink weer n die hele idee vn die linkerknt wt gelyk moet wees n die regterknt: As jy gegee word: = 0 dn spreek dit mos vnself dt die nie nul is nie, en die enigste mnier om die linkerknt gelyk te kry n die regterknt is om die gelyk te stel n nul. As jy dus nou het: = 0 dn kn die linkerknt gelyk wees n die regterknt s = 0 of = 0, nie wr nie?
Om dus nou terug te kom n ons kwdrtiese vergelyking: ( )( + ) = 0 kn jy sien dt die twee hkies eintlik in dieselfde plek stn s die en? Enige vn hierdie twee hkies kn dus nul wees, om die vergelyking op te los. Dus: = 0 of + = 0 Nou sit jy egter met twee lineêre vergelykings, en nie l klr met twee oplossings nie! As jy nou oplos vir in elkeen vn hierdie twee vergelykings, sl jy kry dt = of = - presies wt ons vroeër gesien het! Nou, s jy enige vn hierdie twee wrdes in die oorspronklike vergelyking terugvervng, sl die linkerknt gelyk wees n die regterknt: ² = 8 LK = ()² = 8 RK = 8 LK = (-)² = 8 RK = 8 As jy hierdie vergelyking op enige mnier wil herskryf, sl die linkerknt ltyd gelyk wees n die regterknt. Om egter te kon oplos, ws dit nodig om n nul n die regterknt te hê. n Uitdrukking soos ² - 7 0 is ook n kwdrtiese vergelyking, l is dr n derde term ygevoeg, wnt dit kn gefktoriseer word. Dus sl ² - 7 0 = 0 n kwdrtiese vergelyking wees met twee oplossings. Ons definieër dus n kwdrtiese vergelyking se stndrdvorm s die volgende: c 0, wr die wrdes vir, of c enige getl kn wees, en hierdie tipe vergelyking het oplossings / wortels. Dr is ook drie mniere om só n vergelyking op te los, wrvn fktorisering slegs een is:
3 oplossingsmetodes As = 0 = 0 en/of = 0 Kwdrtiese formule Vierkntsvoltooiing As = 0 = 0 en/of = 0 Hierdie metode ehels vereistes nl. 0 eenknt eenterm/fktore nderknt Los op: ) 5 3 ) 16 c) 1 0 d) e) 5 7 f) g) 13 1 h) 36 3 i) 1 3 6
j) 9 k) 6 0 l) 7 0 m) 1 LOS OP MET VIERKANTSVOLTOOIING Onderskei tussen Vierkntsvoltooiing y n uitdrukking (Kn mksimum en minimum epl) Vierkntsvoltooiing y n vergelyking (Bepl oplossings) As jy n drieterm soos die volgende, ² + 3, fktoriseer, dn sl jy twee verskillende hkies kry: ( + )( 1) As jy egter n drieterm soos ² - + fktoriseer, dn kry jy twee vn dieselfde hkies: ( )( ) wt ook geskryf kn word s ( )² - n volkome vierknt! Wnneer jy n kwdrtiese vergelyking, wt nie n volkome vierknt is nie, nps om wel een te word sodt jy die vergelyking kn oplos sonder om fktorisering te geruik (onthou nie lle drieterme kn gefktoriseer word nie, en hoe gn jy dn die vergelyking oplos?), dn kn jy Vierkntsvoltooiing inspn om te help. Eerstens, onthou om die terme wt vir jou gegee word in twee groepe te skei een vir die terme wt evt n die linkerknt,
en die gewone getlle n die regterknt. Indien nodig deel ook regdeur met n spesifieke getl om die koëffisiënte vn die kwdrtiese terme gelyk n 1 te kry. Gestel jy word gegee: 0 0. Dn deel ons regdeur met : 0 0 Vt die gewone getlle dn oor n die regterknt, mr los n spsie n die linkerknt wr dit gestn het: 0 Binne die spsies sit jy dn nou leë hkies wt gekwdreer is, en ONTHOU om dit n die regterknt ook te doen: ( ) 0 ( ) Neem nou die helfte vn die koëffisiënt vn die -term en sit dit inne die hkies: 0 Wt jy met nder woord nou het n die linkerknt is n drieterm wt n perfekte vierknt is, en dit kn dienooreenkomstig gefktoriseer word: 1 1 Bie elngrik! Leer hierdie stppe!! Los op mv vierkntsvoltooiing: ) 6 ) 3 0 Rond f tot 1 desimle syfer. 1) Los op vir deur vierkntsvoltooiing en lt die ntwoord in eenvoudigste wortelvorm. d) 3 5 0
) Wys deur vierkntsvoltooiing dt die oplossings vir die vergelyking, 1 en is. 3) Los op vir deur vierkntsvoltooiing en lt die ntwoord in eenvoudigste wortelvorm. f) 6 8 0 FORMULE: c Dit gn dlk prtyml vir jou nodig wees om met vierkntsvoltooiing n drieterm op te los, s jy dit nie in twee hkies kn fktoriseer nie. Dr is egter ook nog n nder metode, wt ekend stn s Die Formule, en jy gn drmee kennis mk in hierdie fdeling. Eerstens moet ons die formule flei. Ons doen dit ook deur vierkntsvoltooiing: Begin y die stndrdvorm vn n drieterm ² + + c = 0 1) Deel deur om die ²-term se koëffisiënt 1 te kry: c ) Sit die hkies kwdrt in c 3) Sit die helfte vn die koëffisiënt vn in die hkies c
) Fktoriseer die linkerknt, en vereenvoudig die regterknt c c c 5) Trek die vierkntswortel n weersknte c c 6) Kry lleen n die linkerknt, en vereenvoudig die reuke n die regterknt c c As jy twee hkies gefktoriseer het om die vergelyking op te los, v. ( )( + 3) = 0, dn sou jy jou ntwoorde geskryf het s: = of = -3. Met hierdie formule kn jy dieselfde doen: Jy geruik net die + en - tekens prt, sodt jy dn twee ntwoorde kn formuleer: c of c Kom ons kyk gou n n pr vooreelde
Los op vir : ² - 5 + 1 = 0 Ons kn nie fktoriseer nie, en ons esluit om die formule geruik. Vir die vergelyking is : = = -5 c = 1. Dit word nou in die formule invervng ² c ( 5) ( 5)² ( )( 1) = ( ) 5 17 5 17 of 5 17 Jy kn ie keer sommer die ntwoord só in wortelvorm los, of dr kn vn jou verwg word om dit in desimle vorm neer te skryf. As ons die ntwoord ender tot twee desimle syfers, kry ons =,8 of = 0, As die getl in die vierkntswortel n negtiewe getl is, dn is die oplossing nie moontlik nie Byvooreeld: Ons het die formule geruik en toe gekry 6 5 Dus, s opsomming: Deur die vierknt te voltooi, toon n dt die oplossings vn enige kwdrtiese vergelyking vn die vorm c 0 met
0, epl kn word deur die formule te geruik: c (Dit stn ekend s die kwdrtiese formule) Los op: ) 5 3 15 [Los oplossing(s) in wortelvorm] ) 3 1 1 [Rond f tot 1 desimle syfer] 1) Gegee die kwdrtiese vergelyking: 1 0 Wys deur vierkntsvoltooiing dt die vergelyking geen reële oplossing het nie. ) Los die volgende vergelyking op deur geruik te mk vn die kwdrtiese formule. Los jou ntwoord in wortelvorm indien nodig. ) 3 9 ) 3 1 3) Los die volgende vergelyking op deur geruik te mk vn die kwdrtiese formule. Rond jou ntwoord f tot een desiml. 1 3 11 ) Los op vir y: y 3 5y 0
VERGELYKINGS MET BREUKE Voordt ons egin, is dr n eginsel wt jy die HELE tyd in gedgte moet hou: n Noemer vn n reuk mg nooit nul wees nie! As jy n vergelyking kry met n vernderlike (v ) in die teller en dieselfde vernderlike in die noemer, is dit ie moontlik dt jy n kwdrtiese vergelyking sl kry wt jy moet oplos. Vooreeld: Los op vir s 5 0 Die KGV ( Kleinste Gemeenskplike Veelvoud) vir l die terme in die uitdrukking is. Vermenigvuldig elke term met die KGV: 5 0 Onthou n die regterknt ws dit nul vermenigvuldig met, wt weer nul sl gee Rngskik die terme in dlende mgte vn : ² + 5 + = 0 Fktoriseer (of geruik die formule of vierkntsvoltooiing s jy nie kn fktoriseer nie ) ( + )( + 1) = 0 Los dn op vir : = - of = -½ Nog n vooreeld: Los op vir : 3 ² 1 6 1 1 Onthou om elke teller en elke noemer eers te fktoriseer indien dit moontlik is!!!
3 6 ( 1)( 1) 1 1 Onthou: 1en -1 wnt nders is die reuke ongedefinieërd! Nou moet ons die Kleinste Gemeenskplike Veelvoud vn die noemers kry. Dit is ( - 1)( + 1), wnt elke fktor moet deel wees vn die KGV. Vermenigvuldig nou elke term met die KGV 3 ( 1)( 1) 6 ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 1 1 1 1 1 Vereenvoudig deur lles te vermenigvuldig wt oorly ndt jy die hkies geknselleer het 3 + 6( + 1) = ( 1) 3 + 6 + 6 = ² - Omdt dr n kwdrt is, kry ons NIE l die e n die een knt en die getlle n die nder knt nie, mr ring l die terme n links: -² + + 6 + 6 = 0 -² + 8 + 6 = 0 Hl n gemeenskplike fktor(-) uit, en deel weersknte drmee ² - - 3 = 0 Nou moet jy oplos vir, mr jy sl sien dt jy nie sl kn fktoriseer nie, dus moet jy die formule geruik. Onthou net, jou ntwoord moet ook die eperkings lys, met nder woorde die wrdes wt NIE MAG wees nie. Opsomming: NB! By n Vergelyking Verdwyn die reuke Kry EERS fktore vn die noemers. Bepl die KGV vn die noemers.
Ml ELKE term met die KGV. Spesile gevlle lle reële getlle geen oplossing Los op: 5 3 6 1) Los op vir en rond f tot een desimle plek: (wr nodig) 18 ) 3 ) 6 1 6 3 9 c) 3 3 9 SPESIALE GEVALLE EN BEPERKINGS OP OPLOSSINGS Los op: 7 3 1 3 1 Spesile gevlle: 0 = 0 Oneindig ie oplossings Vooreeld: Los op vir s: 3 + 6 = 3( + ) 3 + 6 = 3 + 6 0 = 0 ε Reële getlle 0 = getl Geen oplossing
Vooreeld: Los op vir s: 3 + 8 = 3( + ) 3 + 8 = 3 + 6 = 0 Geen oplossing 1) Los op vir en rond f tot een desimle plek: (wr nodig) 1 ) 1 ) 3 6 3 3 1 6 3 K-METODE Los op vir : 7 6 1) ) Los op: p 13 p ) Los vervolgens vir op indien: 1 13 1 ) 5 0 5