MEETKUNDE VAN 2D VORMS A + B + C = 180

Transcript

1 MEETKUNDE VAN 2D VORMS HERSIENING: DRIEHOEKE Algemeen: Die som van die binnehoeke van enige driehoek is gelyk aan 180. A + B + C = 180 Gelyksydige driehoek Al die sye van n gelyksydige driehoek is ewe lank. Al die hoeke van n gelyksydige driehoek is ewe groot (elkeen = 60 ). Gelykbenige driehoek Twee sye van n gelykbenige driehoek is ewe lank. Twee hoeke van n gelykbenige driehoek (die hoeke oorkant die gelyke sye) is ewe groot. Reghoekige driehoek Een hoek in n reghoekige driehoek = 90. Die sy oorkant die 90 -hoek word die skuinssy genoem. In enige driehoek is die langste sy altyd oorkant die grootste hoek. In n reghoekige driehoek is die skuinssy dus die langste sy. Pythagoras se Stelling (kyk Eenheid 4.3): [sy 1 ] 2 + [sy 2 ] 2 = [skuinssy] 2 a 2 + b 2 = c 2 HERSIENING: VIERHOEKE Algemeen: Enige vierhoek kan in twee driehoeke verdeel word. Ons weet die som van die binnehoeke van n driehoek = 180. In n vierhoek is die som van die binnehoeke dus = 360. Parallelogram Die teenoorstaande sye van n parallelogram is ewe lank. Die teenoorstaande hoeke van n parallelogram is ewe groot Die teenoorstaande sye van n parallelogram is ewewydig (parallel). (Twee lyne is ewewydig as hulle altyd ewe ver van mekaar af is.) Die hoeklyne halveer mekaar.

2 Spesiale parallelogramme Reghoeke, ruite en vierkante is spesiale parallelogramme. Hulle het al bogenoemde eienskappe asook die volgende spesiale eienskappe. Reghoek Al die hoeke van n reghoek is ewe groot (elkeen = 90 ). Ruit (rombus) Al die sye van n ruit is ewe lank. Vierkant Al die sye van n vierkant is ewe lank. Al die hoeke van n vierkant is ewe groot (elkeen = 90 ). Ander vierhoeke Trapesium Een paar teenoorstaande sye (met ander woorde twee sye) is ewewydig. Vlieër Twee pare aangrensende sye is gelyk. Een paar teenoorstaande hoeke is gelyk. Gelykvormige figure As twee figure gelykvormig is, het hulle dieselfde grootte hoeke, maar die een is n vergroting van die ander. Soos die volgende drie pare figure: Omdat die een figuur n vergroting van die ander is, is hulle sye altyd in verhouding.

3 Voorbeeld 1 Kyk na die volgende figure en bespreek hulle gelykvormigheid. Oplossing: Driehoeke ABC en DEF is sigbaar gelykvormig. As jy na hulle sye kyk, kry jy die volgende: AB 12 1 BC 7 1 AC 14 1 ; en DE 24 2 EF 14 2 DF 28 2 Gevolglik kan ons aflei dat ABC die helfde so groot is as DEF. Die skaalfaktor = ABC is gevolglik gelykvormig aan DEF en in Wiskunde skryf ons ABC III DEF. Kongruente figure As twee figure kongruent is, is hulle dieselfde in elke opsig. Hulle het gelyke hoeke en gelyke sye As twee figure kongruent is, sal ons dit as volg skryf ABC DEF.

4 Prismas n Prisma is n 3D figuur wat plat kante het en n konstante deursnit. n Deursnit is die figuur wat jy kry as jy deur n voorwerp sny (soos n brood of n pakkie reghoekige of vierkantige koekies). MEETKUNDE VAN 3-D VOORWERPE Die nette van prismas: Aangesien prismas plat kante het, bestaan die net van n prisma uit twee kongruente figure (wat funksioneer as die deksels ) en reghoeke of soms vierkante. Driehoekige prisma n Driehoekige prisma is n 3D figuur met twee driehoeke as sy basis. Dit kan enige soort driehoek wees; reghoekig; gelykbenig; ongelyksydig of gelyksydig. Die net van n driehoekige prisma. Die net van n driehoekige prisma bestaan uit twee driehoeke en drie reghoeke. Reghoekige prismas n Reghoekige prisma is n 3D figuur met twee reghoeke as sy basis. Die net van n reghoekige prisma. Omdat die sye van n reghoekige prisma ook reghoekig is (of vierkantig), bestaan die net uit ses reghoeke. Enige van die sye kan dien as die basis van n reghoekige prisma. Ander prismas en hulle nette: Pentagonale prisma (Vyfhoekige prisma) Die net van n pentagonale prisma. Heksagonale prisma (Seshoekige prisma) Die net van n heksagonale prisma.

5 n Baie spesiale prismas: Kubus/ sesvlak/ heksaëder n Kubus het twee vierkante as sy basis, maar al die ander kante is ook vierkante. Die net van n kubus. Die net van n kubus bestaan uit ses kongruente vierkante en kan gevolglik op elf maniere gerangskik word! Piramides n Piramide is n 3D figuur waarvan die basis n veelhoek (poligoon) is. Die sye is driehoeke wat op die toppunt ontmoet. Driehoekige piramide/ viervlak/ tetraëder. Die net van n driehoekige piramide. Vierkantige piramide (soos die piramides in Egipte) Die net van n vierkantige piramide. Pentagonale piramide Die net van n pentagonale piramide. Reëlmatige veelvlakke n Reëlmatige veelvlak is n 3D figuur waarvan elke vlak n kongruente reëlmatige veelhoek is en dieselfde aantal veelhoeke by elke hoekpunt ontmoet. Die algemene reël is: h r + v = 2, waar h = aantal hoekpunte; r = aantal rande; v = aantal vlakke Tetraëder/ viervlak/ driehoekige piramide

6 3 driehoeke ontmoet by elke hoekpunt 4 Hoekpunte 6 Rande 4 Vlakke = 2 Heksaëder/ sesvlak/ kubus 3 vierkante ontmoet by elke hoekpunt 8 Hoekpunte 12 Rande 6 Vlakke = 2 Oktaëder/ agtvlak 4 driehoeke ontmoet by elke hoekpunt 6 Hoekpunte 12 Rande 8 Vlakke = 2 Die verskeidenheid nette van n tetraëder word hierbo gewys. Sommige van die verskeidenheid nette van n heksaëder word hierbo gewys. Net van n oktaëder. Dodekaëder/ twaalfvlak 3 pentagone ontmoet by elke hoekpunt 20 Hoekpunte 30 Rande 12 Vlakke = 2 Ikosaëder/ twintigvlak 5 driehoeke ontmoet by elke hoekpunt 12 Hoekpunte 30 Rande 20 Vlakke = 2 Net van n dodekaëder. Net van n ikosaëder.

7 MEETKUNDE VAN REGUIT LYNE Skerphoek Tussen 0 en 90. Regte hoek 90 Stomphoek Tussen 90 en 180. Gestrekte hoek/ Reguitlyn/ Supplementêre e 180 (reguit lyn) Inspringende hoek Tussen 180 en 360.

8 Omwenteling 360 Komplementêre hoeke Gee saam = 90 Supplementêre hoeke Gee saam = 180 Regoorstaande hoeke 1 = 2 3 = 4 Loodregte lyne AB CD Parallelle lyne AB CD

9 Verwisselende hoeke B 1 = E 2 (verwisselende e ; AC DF) Ooreenkomstige hoeke B 2 = E 2 (ooreenkomstige e ; AC DF) Ko-binnehoeke x + y = 180 (ko-binne e ; AB DC) Binnehoeke van n driehoek = 180 x + y + z = 180 Hoeke van n gelykbenige driehoek B = C

10 Hoeke van n gelyksydige driehoek A = B = C = 60 Buitehoek van n driehoek = die som van die teenoorstaande binnehoeke z = x + y (buite van ) Reghoekige driehoek Het een hoek = 90. Skerphoekige driehoek Al die hoeke is skerphoeke. Stomphoekige driehoek Een hoek is n stomphoek.

11 Ongelyksydige driehoek Al die sye het verskillende lengtes. Vierhoek Die som van die binnehoeke van n vierhoek is 360. Trapesium 1. Slegs een paar teenoorstaande sye is parallel. Parallellogram 1. Beide teenoorstaande sye is parallel. 2. Beide teenoorstaande sye is gelyk. 3. Beide pare teenoorstaande hoeke is gelyk. Ruit / Rombus 1. Alle eienskappe van n parallelogram geld ook hier. 2. Alle sye is gelyk.

12 Reghoek 1. Alle eienskappe van n parallelogram geld ook hier. 2. Al die hoeke is 90. Vierkant 1. Alle eienskappe van n parallelogram geld ook hier. 2. Al die hoeke is Alle sye is gelyk. Voorbeelde 1. Beskou die volgende figuur en bepaal (met redes) die grootte van a en b. Oplossing a = 40 (regoorstaande e ) b = (aangrensende supplementêre e ) = Bereken (met redes) die grootte van a en b. Oplossing METODE 1 METODE 2 a = 30 (regoorstaande e ) a = 30 (regoorstaande e ) b = 30 (ooreenkomstige e ; AB FD) b = 30 (verwisselende e ; AB FD)

13 3. Bereken die onbekendes in elk van die volgende: Oplossings: x = 180 (ABC n reguit lyn) x = = x = 360 (omwenteling = 360 ) x = = x + 2x = 180 (ABC n reguit lyn) 3x = x = 75 x = x = 75 (regoorstaande e ) y + 75 = 180 (gestrekte ) y = = 105

14 x = 180 (ko-binne e ; AC DG) x = = 65 y = 41 (verwiss. e ; AC DG) x = 45 (verwiss. e ; AE BD) z = 55 (ooreenkomstige e ;AE BD) y = 180 (ABC n reguit lyn) y = y = 80 ONTHOU! Skryf dadelik die hoek wat jy gekry het op jou skets neer, sodat jy dit weer kan gebruik. Skryf met n potlood. Skryf altyd n rede by jou antwoord.

15 TRANSFORMASIE MEETKUNDE 1. TRANSLASIES: n Translasie/ gly is wanneer n punt(e) op die Cartesiese vlak geskuif word. 1.1 Translasie van A na A deur 3 eenhede na links te beweeg. 1.2 Translasie van B na B deur 2 eenhede links en 3 eenhede af te beweeg. 1.3 Skuif R(2;4) volgens die volgende translasiereël na R : (x; y) (x 2; y 3) R = (2 2; 4 3) = (0; 1) 2. REFLEKSIES: n Refleksie is n spieëlbeeld van n punt om n simmetrie-as. 2.1 Dui die refleksie van A om die x-as aan. Noem dit B. 2.2 Teken die refleksie van die reghoek A om die y-as. Noem dit B. 3. VERGROTING: Beskou die volgende figuur met sylengtes 1 cm. 3.1 Bereken die oppervlakte van die figuur. 3.2 Vergroot die sye van die vierkant in die verhouding 1:2.

16 3.3 Bereken die nuwe figuur se oppervlakte. 3.4 Wat is die verhouding tussen die oppervlakte van die eerste figuur en dié van die tweede? Oplossing 3.1 Oppervlakte = 1 cm Vergroting: nuwe sylengtes is 2 cm 3.3 Oppervlakte = 4 cm :4 4. VERKLEINING: Beskou die driehoek hierbo met sylengtes 8 cm en 10 cm. 4.1 Bereken die oppervlakte van die figuur. 4.2 Verklein die sye van die driehoek in die verhouding 2: Bereken die nuwe driehoek se oppervlakte. 4.4 Wat is die verhouding tussen die oppervlakte van die eerste driehoek en dié van die tweede? Oplossing 4.1 Oppervlak = 1 (10)(8) 2 cm2 = 40 cm Verkleining: 4.3 Oppervlak = 1 2 (5)(4) cm2 = 10 cm :1

17 KONSTRUKSIE EN METING ONTHOU! Gebruik n liniaal en skerp potlood. Werk uiters akkuraat. Hoogtelyn / loodlyn van n driehoek CD is n hoogtelyn van ΔABC. CD AB. Swaartelyn / mediaan CD is die swaartelyn van ΔABC. AD = DB. Konstruksie Metode Oplossing 1. Lynsegment Trek n lynsegment van 40 mm. 2. Hoeke Konstrueer n hoek van 50. (a) Trek n lang lyn. (b) Merk A. (c) Meet 40 mm af op liniaal met passer. (d) Sit passerpunt op A en kap af by B. (a) Trek lyn AB. (b) Sit middelpunt van gradeboog by A. (c) Merk C af by 50. (d) Verbind AC. 3. Halvering van n hoek Halveer CAB. (a) (b) (c) Sit passerpunt by A en maak n bogie om AC en AB te sny. Sit passerpunt onderskeidelik by snypunte AC en AB en maak nog 2 kruisboë wat mekaar kruis om punt X te vorm. Verbind punt A met X.

18 4. Middelloodlyn Trek n middelloodlyn op AB. (a) (b) (c) Plaas passer op punt A en maak kruisboog wat lyn AB sny, met die snypunt nader aan punt B as aan punt A. Sonder om die passer te verstel, plaas die passer op punt B en maak n kruisboog wat lyn AB sny. Verbind die 2 punte waar die boë mekaar kruis. 5. Loodlyn vanaf n punt op n lyn Trek AB. Plaas punt C enige posisie op lyn AB. Trek XC AB. (a) (b) (c) (d) 6. Loodlyn vanaf n punt buite n lyn Konstrueer XC AB. (a) (b) (c) Sit passerpunt op C en maak bogies op AB aan weerskante van C. Sit passerpunt op die eerste snypunt van die lyn AB en maak n boog aan die bokant van die lyn AB. Sonder om die passer te verstel, plaas die passer op die ander snypunt op die lyn AB en maak nog n boog aan die bokant van lyn AB sodat die twee boë in X sny. Verbind X met C. Sit passerpunt op X en maak n bogie om AB te sny in twee punte. Maak n kruisboog vanaf albei snypunte aan die ander kant van AB as X en noem dit C. Verbind X met die kruisboog, C. 7. Konstrueer 60 hoek sonder n gradeboog Konstrueer ABC = 60 Dui die hoek aan op die skets. 8. Konstrueer 30 hoek sonder n gradeboog Konstrueer ABD = 30 Dui die hoek aan op die skets. (a) Trek lyn AB. (b) Meet AB met passer. (c) Sonder om passer te verstel, plaas passerpunt op A en maak boog aan bokant van AB. (d) Plaas passerpunt op B en maak kruisboog in C. (e) Verbind B en C. (a) (b) Kontrueer ABC = 60. Halveer ABC sodat ABD = 30.

19 9. Konstrueer 45 hoek sonder n gradeboog Konstrueer ABC = 45 Dui die hoek aan op die skets. (a) Trek AB = 50mm. (b) Trek loodlyn op A. (c) Kap 50mm op loodlyn vanaf A af en noem die snypunt C. (d) Verbind B en C. 10. ΔABC met 3 sylengtes gegee: AB 40 mm; AC 50 mm; BC 60 mm. (a) Trek AB = 40 mm. (b) Met passerpunt by B, maak n boog van 60 mm. (c) Met passerpunt by A, maak n boog van 50 mm. Waar hulle sny, is punt C. Verbind A met C en B met C. 11. ΔABC met n sy en twee hoeke gegee AB 40 mm; A = 40 ; B = 50. (a) Trek AB = 40 mm. (b) Meet n 40 -hoek by A af met gradeboog. (c) Meet n 50 -hoek by B af met gradeboog. (d) Waar lyne gekonstrueer in (b) en (c) sny, is C. Verbind A met C en B met C. 12. ΔABC met twee sye en n hoek gegee AB 40 mm; AC 65 mm; A = 100. (a) Trek AB = 40mm. (b) Meet n 100 -hoek by A met n gradeboog af. (c) Vanaf A, kap C af op lyn gekonstrueer in (b) met AC = 65 mm. (d) Verbind C en B. 13. ΔABC met n 90 hoek, n sy en die skuinssy gegee AB 30 mm; B = 90 ; AC 50 mm. (a) Trek AB = 30 mm. (b) Gebruik n passer om n stippelloodlyn by B te trek. Trek loodlyn onbepaald hoog. (c) Vanaf A, kap C af op loodlyn met AC = 50mm. (d) Verbind B en C.