EKSAMENMEMO'S Die uitdrukking is ongedefinieerd vir 3x - 9 = 0 Deling deur nul is ongedefinieerd. â 3x = 9 â x =

Transcript

1 EKSAENE'S NASINALE EKSEPLAAR VRAESTEL.. ie uitdrukking is ongedefinieerd vir eling deur nul is ongedefinieerd. â 9 â. ( ) & ➋ â â... ➊ ALGERA EN VERGELYKINGS EN NGELYKHEE [7].. ( - )( + 5) 0-0 of â â â -5 a % b 0 a 0 of b ( - )( + ) - 9 ( - ) + vir < - + â < 0 â ( + )( - ) < 0 Stel ➊ & ➋ gelk: â â â ( - )( - 9) 0 â of 9 As : () As 9: (9) 6 â ie oplossings: (; ) of (9; 6) â - (-) ± (-) - ()() () ± 6-8 ± 8 ±... ±.. 5 (5 ) 5... (a m ) n a mn 5... ( ± ).. ( )( ) % % ie formule: - b ± b - ac a Let wel: Geen formuleblad word vir die Gr -eksamen verskaf nie. F: 5 derdemagswortel van is 5 5 'EL': Eerste, inneste, uitenste, Laaste! â - < <.. ie eelgetalle tussen - en is: - ; - ; - ; 0 en.. â ie som van die eelgetalle (-) + (-) + (-) ( + ) % ie uitdrukking a m + n a m.a n (ab) n a n.b n t. t Sien < 0 in reël in... F: - ( + ) ie wortels van 'n kwadratiese vergelking is: ± - 8p d.w.s. ie wortels is + - 8p en p.. ie wortels sal GELYK wees as - 8p 0 Vergelk die wortels... â -8p - (-8) â p + en -- is die enigste deel wat verskillend is... ie wortels sal NIE-REËEL wees as - 8p < 0 â -8p < - (-8) â p >.. eide die volgende voorwaardes geld: a slegs waar indien a 0 EN â - -5 % (-) â â - â - 5 'n neg. getal is nie-reëel a gedefinieer as + a vir alle a 0 Vergelking slegs waar as RK 0 EKSAENE'S: VRAESTEL

2 EKSAENE'S: VRAESTEL Eksamenmemo's: Vraestel â ( ) 5 - ( + ) â â â ( + )( - ) 0 â - of aar sien.. â Slegs F: Toets... Vir -: LK 9 & RK - â - Vir : LK RK.. ie oplossing: - â LW: it is die ongeldige antwoord in..! Kwadrering van die vergelking sal dieselfde berekening soos in.. oplewer bealwe dat wanneer ons toets, + negatief moet wees. FINANSIES, GREI EN VERVAL [8]. A P( - in)... A? ; P R5 000 ; i 7% ,7 ; n 5 â A 5 000[ - (0,7)(5)] R ie kwartaallikse koers, i 8% % 0,0 i nom Formule vir waardevermindering op die reguitlnmetode... + i eff +... LW: i nom 8% ( + 0,0) Let wel: (,0) A P( + i eff ),08... en â i eff 0,08... A P i + nom l 8,% per jaar. alfjaarliks i 9% 0,09 n maandeliks i 7,5% 0,075 n T 0 T T T T T 5 alfjaarlikse maandelikse betalings betalings P P A 0,09 P P + 0,075 A P + P R 000 â ie opgeoopte bedrag, A 0,09 0,075 R l R0 755,08 5. ie waarde (van beide beleggings) aan die begin (d.w.s. b 0) R Enkelv. rente... reguitln waardeveroging 5. i? ; P R5 000 ; n 6 ; A R 000 Sien punt A A P( + in) â [ + (i)(6)] 5 000) â + 6i,06 i â 6i,06 i â i 0,7 i â i 7,78% 5. epaal w: (; w) is 'n punt op umisani se grafiek. Stel in n ; P R5 000 ; i 7, in A P( + in)... umisani se formule i â w 5[ + (0,7) ()] LW: A, P en w l 7 verteenwoordig Stel in punt (; 7) in 'duisende rande' A P( + i) n... Astin se formule â 7 5( + i) â ( + i), i â + i, â i 0, ,0% PATRNE EN RYE [] 6. ; ; 8 ;... ; Vermenigvuldig 8 met : T 6... ; ; ;... F: ie terme is: - ; - ; - ;... ; -0 â T ie n de term, T n... die vierde term - vier n of -n... sien probeer en tref! â 0 0 of -0 â ie aantal terme in die r, n ; 8 ; 0 ; ; ie 5 de term, T ie algemene term van 'n lineêre patroon is T n an + b Hierdie reeks et 'n gemeenskaplike ste verskil van -8 â a -8 en T a + b T a() + b â -8 + b 56 â b 6 â 'n Algemene formule: T n -8n T n negatief, d.w.s. T n < 0-8n + 6 < 0 â -8n < -6 (-8) â n > 0 â ie ste negatiewe term is die ste term

3 6.. ste verskil (tussen T en T van die kwadratiese patroon) a + b ie de verskil, a -8 â a - â (-) + b 56 â b 68 T 5 a(5) + b(5) + c -... gegee T 5 - â 5a + 5b + c - â 5(-) + 5(68) + c - â c - â c -76 T n -n + 68n - 76 aar is verskeie ander metodes! 7. T n an + bn + c T a() + b() + c a + b + c 0 T a() + b() + c 6a + b + c 0 & de verskil, a â a 6 ➋ - ➊: a + b 0 â 6a + b 0 ➊: (6) + (-6) + c 0 â c â c 8 T a() + b() + c 9a + b + c 9(6) + (-6) aar is verskeie ander metodes! â 6 + b 0 â b -6 FUNKSIES EN GRAFIEKE [] 8. (vertikale asimptoot) & - (orisontale asimptoot) 8. R ; ➊... ➋ 8. d tan 76º l & e -6 F: epaal e deur d en (; 6) in g() d + e in te stel: 6 ()() + e 6 + e -6 e 8. A & C: % ( - ) â - ( - ) ( - 6)( - ) â â â 0 ( - )( - ) â b A en b C g() () en g â A(; -) en C ; < of... g is bokant of op f [LW: ä f() is ongedefinieerd b ] 8.6 ( - ) -... â - - (; -) - e (; 6) 6 ie simmetrie-as,, van k skuif eenede na regs & eeneid af F: Simmetrie-as: Stel in (; -): Eksamenmemo's: Vraestel + c - + c â - c â Vergelking: - 9. f() afsnit: (0; ) afsnitte: Stel in % (-) â â ( - )( + ) 0 â of - raaipunt: Simmetrie-as: (Halfpad tussen die wortels) & aksimum -() + () + g() - â raaipunt is (; ) -afsnit: Stel in 0 â â (0; 0)... â ook die -afsnit vergelking van asimptoot: (; ) - g f Kk na en dan, - reflekteer in die -as - en dan, + - : skuif eeneid op EKSAENE'S: VRAESTEL

4 Eksamenmemo's: Vraestel 9. f(-) -(-) + (-) & f(0) -(0) - (0) + â Gemid. gradiënt tussen - en 0 f(0) - f(-) 0 - (-) Gemid. gradiënt - (-) verskil in verskil in 5 - ok: of (; ) f().g() > 0 f().g() > 0 f().g() < 0 f().g() < 0 - And f().g() 0 at -, 0 & g f Kk na f() en g(), die -waardes van f en g. ie vraag vra vir watter waardes van, van links tot regs, is die produk van die grafieke positief of nul? d.w.s. vir watter waardes van et die grafieke dieselfde teken, óf beide positief óf beide negatief en vir watter waardes van is beide grafieke nul. 9.6 k() - - Wanneer punte (of grafieke) in die -as gereflekteer word, word deur - vervang. bv. (; -) op g word (-; -) op k. 0. ie waardevers., (- ; 7], dui die -waardes aan. aks. f() 7 en a < 0 ; Simmetrie-as: - b a is negatief;... dit is gegee dat b < 0 en afgelei dat a < 0. Een wortel positief & een negatief wortels aan die teenoorgestelde kante van die -as LW: Waardeversamelingnotasie: ( beteken uitgesluit & ] beteken ingesluit WAARSKYNLIKHEI [9] (-; -) (; ) k g 7. etode P(W en T) 0,... gegee â P(W T) 0 â W en T is nie onderling uitsluitende gebeurtenisse nie etode P(W of T) 0,6 + 0, + 0, 0,6 P(W) + P(T) 0, + 0,5 0, ,6 â P(W of T) P(W) + P(T) â W en T is nie onderling uitsluitende gebeurtenisse nie. P(W en T) 0,... gegee P(W) % P(T) (0,)(0,5) 0, â P(W en T) P(W) % P(T). â W en T is onafanklike gebeurtenisse H c 8 a 5 b N S EKSAENE'S: VRAESTEL 9. c t() -( - ) die -afsnit, 0 â 0 â (0; ) - () f() + 'n getal. f As f die -as net raak, moet dit een. af skuif. â 'die getal' moet - wees. : t. W 0, - 0, 0,6 0, LW: W sluit die deel wat met T oorvleuel in (net soos T die deel wat met W oorvleuel, insluit). â ie oorvleueling moet afgetrek word om W sonder T en T sonder W te bepaal. T 0,5-0, 0, Gebeurtenisse A en is onderling uitsluitend indien: P(A ) 0, of as: P(A of ) P(A) + P() Gebeurtenisse A en is onafanklik indien: P(A en ) P(A) % P().. a 5... reël b... reël c 8 d... reël 6 e 6 T d e 6 Reëls, en 7 is nie gebruik om die waardes van a tot e te bepaal nie.... reël 5, maar nadat a bepaal is... e n(s) - n(h T N) n(s) LW: n(h T N) die waarde van e, die aantal nie in H, T of N nie LW: In Vr..., word die aantal leerders benodig. In Vr... &.. word die waarsknlikeid benodig.

5 LW: ie waarsknlikeid dat 'n gebeurtenis (E) plaasvind die aantal maniere waarop E kan plaasvind die totale aantal uitkomste.. ie aantal leerders wat SLEGS netbal speel ie waarsknlikeid dat 'n leerder slegs netbal die aantal wat slegs netbal speel speel die aantal leerders (j 0,).. ie aantal leerders wat okkie of netbal (of albei) speel 6... n(h N). â ie waarsknlikeid dat 'n leerder okkie of netbal (of albei) speel n(h N) n(s) 60% ( 0,6) 6 (l 0,78) P('n leerder neem Wiskunde) P('n meisie neem Wiskunde) + P('n seun neem Wiskunde) (60% % 5%) + (0% % 5%) 0,7 + 0, 0,... % F: G WG 55% ( 0,55) 5% ( 0,5) W WG 0% ( 0,) 65% ( 0,65) 5% ( 0,5) W Gebruik slegs desimale: P() P( en W) + P(S en W) (0,6 % 0,5) + (0, % 0,5) 0,7 + 0, 0, NASINALE EKSEPLAAR VRAESTEL STATISTIEK [] Sakrekenaar instruksies om: die gemiddelde, en standaardafwking (vir ongegroepeerde data) te bepaal Casio f-8es [E] [ : STAT] [ : - VAR] Gee elke waarde, gevolg deur [] na die laaste waarde: [] [AC] ie gemiddelde: [SHIFT] [STAT] [5 : VAR] [ : ] [] ie S.A.: [SHIFT] [STAT] [5 : VAR] [ : σn] []. ie gemiddelde, l,7. ie standaardafwking, σ l 7,8. + σ 9,8... die boonste limiet - σ,66... die onderste limiet â ie aantal persone wat daagliks ingeënt word, moet tussen,66 en 9,8 wees. ie getalle in die reeks is: it gebeur op dae. 5 J sal sien: X FREK outomaties ingeskrf as Eksamenmemo's: Vraestel. ie 9 tellings moet van die kleinste tot die grootste gerangskik word. 'n Stingel-en-blaardiagram: Hierdie diagram is nuttig vir die bepaling ie stingel ie blare van kwartiele. 0 5 Q Q Q Q die 5 de telling 8 (Q, die mediaan die 0 de telling ).5 die linker 'punt' in Q die 5 de telling 6 â ie IKV Q - Q die ouer is 'n uitskieter... sien die stingel-en-blaardiagram Al die ander tellings is na aan mekaar. Hulle verskil deur nie meer as nie, terwl die telling 5 7 minder is as die volgende telling (). Q Q Q 6 die regter 'punt' aks 7 'n Uitskieter is 'n telling wat nie die tendens van die data pas nie. Interessantsalwe, die volgende formule (nie in die kurrikulum nie) bestaan om uitskieters te identifiseer: As 'n telling verder van die ouer as,5 keer die IKV lê, dan is dit 'n uitskieter. In ons voorbeeld:,5 keer die IKV,5 % 8 Q - 6 â 5 is 'n uitskieter Q + 8 â 7 is nie 'n uitskieter nie EKSAENE'S: VRAESTEL

6 EKSAENE'S: VRAESTEL Eksamenmemo's: Vraestel.. Kumulatiewe frekwensie KLAS FREKWENSIE KUULATIEWE FREKWENSIE 0 m < 7 7 m < 5 m < m < m < m < m < 58 m < Aantal SS-boodskappe. ie mediaan is ongeveer 8 boodskappe Lees vanaf 80 op die -as van die ogief af om die (middelste) waarde op die -as te bepaal.. ie aantal leerders wat minder as boodskappe gestuur et 0 â ie aantal leerders wat meer as boodskappe gestuur et 0 â ie aantal leerders wat meer as boodskappe gestuur et as 'n breuk van die totale aantal leerders 0 ( 0,875) 60 â ie % is 0 60 % 00% 8,75%.5 aar is geen noemenswaardige skeefeid nie. ANALITIESE EETKUNE [9]. C(; ) E θ (; 0) Punt E is ;, ; â E 7 ;. m C m -. tan θ θ l 8,º. m A m C & m A â m A % m A â A A A(; 6) (-) -... A C.5 ns moet die gradiënt van die ln bepaal. â moet ons die ø van inklinasie bepaal. Trek 'n orisontale ln ( -as) deur punt A. ie ø van inklinasie van die ln is θ + 5º, d.w.s. 6,º. â ie gradiënt van die ln is tan 6,º l ie vergelking: - m( - ) ` Stel in pt. A(; 6): - 6 ( - ) â + of m + c â 6 ()() + c â c â Verg.: + F: Verleng die ln om die -as (b E) te sn 5º A(; 6) α E (; 0) AC ˆ 90º... ko-binne. ø e ; A C â AX ˆ 90º + 8,º 08,º â EA ˆ 5º... ø e op 'n reguit ln â α 08,º - 5º... buiteø van ΔAE 6,º m EA tan 6,º l, ens. θ 5º θ A(; 6) (; 0) C(; ) θ C(; ) A C â Hulle et gelke ø e van inklinasie. 6

7 . m QP m S 6... QP S in m & Vervang punt P(-; 7): - 7 6( + ) â Q: en - â Q(-5; 5) â â 7-5 â -5 & â 5 F: 7 (6)(-) + c â 5 c â Verg.: P(-; 7) Q -. Q Stell. van Ptag. 50 Q â Q eenede % 5 5 α S 6 TRIGNETRIE [5] 5.. cos α r tan(80º - α) -tan α... b... 5:: Δ ; Ptag. â tan α -5 â tan(80º - α) Uitdrukking sin θ. cos θ. (- tan θ) - sin θ sin θ + cos θ %... cos θ sin θ 5.. ie vergelking: sin θ 0,5... 0º θ 60º â θ 0º dit is 'n identiteit â waar vir ALLE waardes van α. P(-5; b) b -5 α tan θ sin θ cos θ Eksamenmemo's: Vraestel F: ie identiteit wat bews moet word, is gelkstaande aan: 8 sin A + cos A + - cos A RK ( - cos A) + ( + cos A) ( + cos A)( - cos A) - cos A + + cos A - cos A 8 sin A LK Hierdie identiteit is waar. â ie oorspronklike identiteit is waar. 5.. ie identiteit is ongedefinieerd as enige noemer 0 â vir: sin A 0 of cos A - of cos A Verws na jou bekende basiese sinus- en kosinusgrafieke.. tan ˆ QX -... m Q - â ˆ QX 5º tan SX ˆ 6... m S 6 â SX ˆ 80,5º â α 5º - 80,5º 5,6º.5 In ΔQS: QS Q + S - Q.S cos α cos 5,6º 97,99... â QS j 9,90 eenede of θ 80º - 0º 50º LK - cos A - + cos A 8 ( + cos A)( - cos A) - + cos A 8 - ( - cos A) ( + cos A)( - cos A) cos A ( + cos A)( - cos A) + cos A ( + cos A)( - cos A) ( + cos A) ( + cos A)( - cos A) - cos A RK sin A 0º 80º 60º cos A 0º - ie identiteit is ongedefinieerd vir: A 0º ; 80º of 60º 80º 60º EKSAENE'S: VRAESTEL 7

8 Eksamenmemo's: Vraestel 5. 8 cos - cos - 0 â ( cos - )( cos + ) 0 â cos of cos - cos 60º + n(60º) I 6. p -5º... f is cos 5º na regs beweeg. Stel in om te toets: bv. cos(5º -- 5º) cos 0º q -... g is sin omgekeerd. LW: -sin 90º º -,5º 57,5º & -0,8 7.. sin R 7, sin º 7, 7, sin º â sin R 7, 0,76... â ˆR 6,0º ie sinusreël sê: ie sin van 'n ø gedeel deur die teenoorstaande s, is gelk aan die sin van enige ander ø gedeel deur die teenoorstaande s. (F, in omgekeerde vorm) of 60º - 60º + n(60º) F: 00º + n(60º), n Z ± 60º + n(60º), n Z IV I â (57,5º; -0,8) 6. f() - g() < 0 f() < g() (d.w.s. die waardes van waarvoor f onderkant g is) -80º < -,5º of 57,5º < 80º 7.. ie opp. van 'n Δ die produk van se % die sin van die ingeslote ø. ˆQ 80º - (º + 6,0º)...,97º pp. r p sin Q ; ns moet dus ˆQ bepaal. EKSAENE'S: VRAESTEL & cos - F: Watter een is die maklikste opsie? ( -0,5) 80º - 75,5º + n(60º) 0,8º + n(60º) of 80º + 75,5º + n(60º) 55,5º + n(60º), n Z ± (80º - 75,5º) + n(60º) â ± 0,8º + n(60º), n Z Hierdie opsies is gelkstaande - ulle lewer dieselfde ø e. II III II III IV 6.. () cos( - 5º + 0º) â () cos( - 5º) 6.. f et 'n minimum b -5º â et 'n minimum b -65º Konstruksie: Trek AC ews: In ΔA: c A c sin A & In ΔC: â c sin A â c sin A a sin C ac â sin A a b a sin C c a sin C â a sin C 0º links van -5º C â pp. van ΔPQR (7,)(7,) sin,97º 57,0 cm 7.. In ΔPSQ: PSQ ˆ 80º - (a + b) â sin PSQ ˆ sin[80º - (a + b)] sin(a + b) & SQ sin a â SQ R sin PSQ ˆ sin a sin(a + b)... ➊ 7.. In ΔSRQ: SQR ˆ 90º - b â sin SQR ˆ sin(90º - b) cos b & RS SQ sin SQR ˆ % SQ) â RS SQ cos b... ➋ Stel ➊ in ➋ in: â RS S â RS sin a sin(a + b).cos b sin a.cos b sin(a + b) P a b Q 8

9 ETING [6] 8. Volume van metaal (die keël) πr. π(,5). 8 9 π Volume van die emisfeer r π π. 8π â Volume van metaal A 8π - π 7 π â ie verouding: Volume van metaal A : Volume van metaal 7 π : π % ) 5π : π π) 6 : EUKLIIESE EETKUNE [0] alveer die koord 8 9 cm 9.. E (0) 0 cm â C 8 cm... CE cm r cm 9.. In ΔPC: PC P - C... Ptagoras 0-8 P 6 â PC 6 cm C r cm radiusse middelln â PQ cm... C koord PQ alveer PQ E Q 0. Konstruksie: Verbind en verleng dit na C ews: Laat ˆ dan is Â... basis ø e ; â ˆ gelke radiusse... buiteø van ΔA 0. Net so, ˆ â A ˆ + ( + ) A ˆ N 0.. (a) KA ˆ (8º)... 76º (b) T ˆ 8º... buiteø van kv. KTA (c) Ĉ 8º... dieselfde segment; boog KA onderspan of, buiteø van kv. CKTA (d) NAC ˆ 8º... basisø e van gelkb. Δ; NA NC â K ˆ 8º... buiteø van kv CKTA 0.. In ΔNKT: K ˆ T ˆ... beide 8º in 0.. â NK NT... gelke basis ø e 0.. KA ˆ (8º) & ˆN 80º - (8º) â C K ˆ KA + ˆN 80º 8º T middelpuntsø % omtreksø... sien 0..(a)... som van ø e van ΔNKT (sien 0..) â AKN is 'n koordevieroek... teenoorstaande ø e supplementêr A A C Eksamenmemo's: Vraestel.... gelk aan die oek onderspan deur die koord in die teenoorstaande segment.. G.. A ˆ â C ˆ â G ˆ... gegee â A ˆ verwisselende G ˆ â CG AE.. F ˆ C ˆ... raakln EA; koord A... raakln AC; koord C... buiteø van koordevieroek CGF E ˆ ( )... verwisselende ø e ; CG AE â AE is 'n raakln aan?fe... omgekeerde van raakln-koord stelling.. C ˆ C ˆ CAE... verwisselende ø e ; CG AE ˆ... raakln EA ; koord AC â A AC F 5 E A... gelke basis ø e in ΔAC EKSAENE'S: VRAESTEL 9