ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Παρασκευή 16 Οκτωβρίου 2007 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (15:00-18:00) ΘΕΜΑ 1 ο (2,5) [Το κυνήγι του ελαφιού] Κάθε ένας από µία οµάδα κυνηγών έχει δύο επιλογές: Είτε να παραµείνει προσηλωµένος στο κυνήγι του ελαφιού (που είναι και ο στόχος της οµάδας), είτε να παρατήσει την οµάδα και να κυνηγήσει έναν λαγό. Εάν όλοι οι κυνηγοί παραµείνουν προσηλωµένοι στο κυνήγι του ελαφιού, τότε θα πιάσουν σίγουρα ένα ελάφι, το οποίο και θα µοιραστούν εξίσου. Εάν έστω και ένας κυνηγός παρατήσει την οµάδα και ασχοληθεί µε το κυνήγι του λαγού, τότε το ελάφι δεν θα πιαστεί, ενώ κάθε κυνηγός που θα ασχοληθεί µε το κυνήγι του λαγού θα πιάσει από έναν λαγό. Κάθε κυνηγός προτιµά ένα µερίδιο του ελαφιού από έναν ολόκληρο λαγό. α) Μοντελοποιείστε το παραπάνω παιχνίδι (κανονική µορφή αναπαράστασης) για 3 κυνηγούς. Χρησιµοποιείστε δικές σας απολαβές, οι οποίες όµως να είναι σύµφωνες µε την εκφώνηση. (1,25) β) Βρείτε όλα τα σηµεία ισορροπίας Nash. (1,25) Σηµείωση: Εάν λύσετε την άσκηση για 2 κυνηγούς, τα δύο ερωτήµατα αποδίδουν από 1 µονάδα. Έστω Α, Β και Γ οι τρεις παίκτες. Κάθε παίκτης έχει δύο επιλογές, έστω Ε(λάφι) και Λ(αγός) αυτές. Επειδή έχουµε τρεις παίκτες θα κατασκευάσουµε περισσότερους πίνακες, όπου οι γραµµές κάθε πίνακα θα αντιστοιχούν στις επιλογές του Α, οι στήλες κάθε πίνακα θα αντιστοιχούν στις επιλογές του Β, ενώ τέλος κάθε πίνακας θα αντιστοιχεί σε µία από τις επιλογές του Γ (άρα θα έχουµε 2 πίνακες αφού τόσες είναι οι διαθέσιµες επιλογές του Γ). Θα θεωρήσουµε ότι το όφελος ενός παίκτη εάν πάρει ένα µερίδιο του ελαφιού είναι 2, εάν πάρει έναν ολόκληρο λαγό είναι 1 και εάν δεν πάρει τίποτα είναι 0. Οι πίνακες λοιπόν είναι οι εξής: Α\Β Ε Λ Α\Β Ε Λ Ε 2,2,2 0,1,0 Ε 0,0,1 0,1,1 Λ 1,0,0 1,1,0 Λ 1,0,1 1,1,1 Γ=Ε Γ=Λ Από τους παραπάνω πίνακες φαίνεται ότι υπάρχουν δύο σηµεία ισορροπίας Nash (φαίνονται µε κίτρινη σκίαση). ΘΕΜΑ 2 ο (2.5 + 0,5 bonus) Ένα έγκληµα έχει Ν αυτόπτες µάρτυρες. Κάθε ένας από αυτούς θέλει να ενηµερωθεί η αστυνοµία αλλά προτιµά αυτό να γίνει από κάποιον από τους υπόλοιπους. Έστω v η αξία που αποδίδει κάθε ένας από τους αυτόπτες µάρτυρες στο να ενηµερωθεί η αστυνοµία και c το κόστος που αναλαµβάνει κάθε αυτόπτης µάρτυτας εάν αυτός ειδοποιήσει την αστυνοµία (εάν η αστυνοµία ειδοποιηθεί από περισσότερους αυτόπτες µάρτυρες, κάθε ένας από αυτούς αναλαµβάνει κόστος c), όπου v>c>0. α) Βρείτε τα σηµεία ισορροπίας Nash µε καθαρές στρατηγικές. (1) β) Βρείτε τα συµµετρικά σηµεία ισορροπίας Nash. (1.5) γ) Ποια η πιθανότητα ότι τουλάχιστον ένας αυτόπτης µάρτυρας θα ενηµερώσει την αστυνοµία; (Bonus: 0,5) Σηµείωση: Εάν λύσετε την άσκηση για 2 µόνο αυτόπτες µάρτυρες, το ερώτηµα (α) αποδίδει 0,5 µονάδες, ενώ το ερώτηµα (γ) δεν έχει νόηµα.
Κάθε παίκτης έχει δύο κινήσεις: Ε(ιδοποίηση) και Α(ποσιώπηση). Το όφελος ενός αυτόπτη µάρτυρα, εάν ή αστυνοµία ειδοποιηθεί από κάποιον άλλο είναι v. Το όφελος του αυτόπτη µάρτυρα εάν η αστυνοµία ειδοποιηθεί από τον ίδιο είναι v-c. Και τέλος το όφελος του αυτόπτη µάρτυρα εάν η αστυνοµία δεν ειδοποιηθεί από κανέναν είναι 0. Προφανώς ισχύει: v>v-c>0. α) Τα σηµεία ισορροπίας Nash µε καθαρές στρατηγικές είναι όλοι οι συνδυασµοί κινήσεων όπου µόνο ένας από τους N παίκτες επιλέγει Ε και όλοι οι άλλοι επιλέγουν Α. Σε µια τέτοια περίπτωση κανείς από τους Ν παίκτες δεν αλλάζει την κίνησή του, µιας και εάν την αλλάξει αυτός που επέλεξε Ε, θα µειώσει το όφελός του από v-c σε 0, ενώ αν την αλλάξει κάποιος από αυτούς που επέλεξαν Α, θα µειώσει το όφελός του από v σε v-c. Συνολικά υπάρχουν Ν τέτοια σηµεία ισορροπίας Nash και είναι εύκολο να δείξουµε ότι δεν υπάρχει κανένα άλλο σηµείο ισορροπίας Nash. Πράγµατι, αν υποθέσουµε ότι υπάρχει και άλλο σηµείο ισορροπίας Nash, όπου k>1 παίκτες έχουν επιλέξει Ε κερδίζοντας v-c έκαστος, τότε κάθε ένας από τους k παίκτες θα είχε την τάση να αλλάξει την κίνηση του από Ε σε Α για να αυξήσει το όφελός του σε v. Άρα δεν υπάρχει σηµείο ισορροπίας Nash όπου περισσότεροι από ένας παίκτες επέλεξαν Ε. Τέλος, το να επιλέξουν όλοι οι παίκτες Α δεν αποτελεί σηµείο ισορροπίας Nash, µιας και κάθε ένας από αυτούς τείνει να αλλάξει την κίνησή του σε Ε και να αυξήσει το όφελός του από 0 σε v-c. Άρα αποδείχθηκε ότι τα µοναδικά σηµεία ισορροπίας Nash µε καθαρές στρατηγικές είναι αυτά όπου µόνο ένας παίκτης επιλέγει Ε και οι υπόλοιποι επιλέγουν Α. Το πλήθος των σηµείων αυτών είναι προφανώς.\ β) Τα παραπάνω σηµεία ισορροπίας Nash δεν είναι συµµετρικά, µιας και δεν επιλέγουν όλοι οι παίκτες την ίδια κίνηση σε αυτά. Για να βρούµε λοιπόν συµµετρικά σηµεία ισορροπίας Nash πρέπει να καταφύγουµε σε µικτές στρατηγικές. Έστω λοιπόν ότι κάθε παίκτης επιλέγει Ε µε πιθανότητα p και Α µε πιθανότητα 1-p. Για να αποτελεί η στρατηγική αυτή καλύτερη απάντηση στις επιλογές των υπολοίπων παικτών θα πρέπει οι δύο επιµέρους κινήσεις Ε και Α που συµµετέχουν στη µικτή στρατηγική να είναι ισοδύναµες ό,τι και αν επιλέξουν οι αντίπαλοι. Έστω λοιπόν ότι ο παίκτης µας επέλεξε Ε. Τότε το όφελός του είναι v-c στα σίγουρα, ανεξαρτήτως τι επέλεξαν οι υπόλοιποι παίκτες. Έστω ότι ο παίκτης µας επέλεξε Α. Τότε εφόσον όλοι οι υπόλοιποι παίκτες επέλεξαν Α, το όφελος του είναι 0, ενώ αν έστω και ένας από τους υπόλοιπους παίκτες επέλεξε Ε, το όφελος του είναι v. Η πιθανότητα όλοι οι υπόλοιποι παίκτες να επέλεξαν Α είναι (1-p) N-1, ενώ η πιθανότητα έστω και ένας από τους υπόλοιπους παίκτες να επέλεξε Ε είναι 1-(1-p) N-1. Άρα για τον παίκτη που επιλέγει Α, το αναµενόµενο όφελος του είναι 0 (1-p) N-1 +v [1-(1-p) N-1 ]. Για να έχουµε λοιπόν συµµετρική ισορροπία µε µικτές στρατηγικές θα πρέπει να ισχύει: v-c= v [1-(1-p) N-1 ] ή c= v (1-p) N-1 και τελικά p=1-(c/v) 1/(N-1). Παρατήρηση: Όσον µεγαλώνει το N, η πιθανότητα p για κάθε αυτόπτη µάρτυρα να καλέσει την αστυνοµία µειώνεται. Το αναµενόµενο όφελος όµως είναι πάντα v-c. γ) Η πιθανότητα να µην καλέσει κανένας αυτόπτης µάρτυρας είναι (1-p) N = (c/v) N/(N-1). Η πιθανότητα αυτή µεγαλώνει καθώς µεγαλώνει το Ν (τείνει στο 1), άρα όσο περισσότεροι είναι οι αυτόπτες µάρτυρες, τόσο µικρότερη προκύπτει η πιθανότητα να ειδοποιηθεί η αστυνοµία. ΘΕΜΑ 3 ο (2.5) α) Εξηγείστε µε δικά σας λόγια γιατί στο πεπερασµένα επαναλαµβανόµενο δίληµµα των φυλακισµένων δεν υπάρχει κανένα άλλο τέλειο σηµείο ισορροπίας Nash για υποπαίγνια πέραν του να οµολογούν συνεχώς οι δύο παίκτες σε όλους τους γύρους. (1.5 βαθµούς) β) Ποια είναι η αναγκαία προϋπόθεση ώστε ένας συνδυασµός στρατηγικών που δεν αποτελεί σηµείο ισορροπίας Nash σε κάποιο παιχνίδι ενός γύρου, να εµφανίζεται σε τέλειο σηµείο ισορροπίας Nash για υποπαίγνια ενός πεπερασµένα επαναλαµβανόµενου παιχνιδιού. (1 βαθµός)
α) Το δίληµµα των φυλακισµένων είναι ένα παιχνίδι που έχει µόνο ένα σηµείο ισορροπίας Nash (το οποίο µάλιστα σχηµατίζεται από τις κυρίαρχες στρατηγικές των δύο παικτών, δηλαδή να οµολογούν οι παίκτες). Στον τελευταίο γύρο οι δύο παίκτες είναι υποχρεωµένοι να οµολογήσουν, µιας και όποιος δεν οµολογήσει θα ζηµιωθεί, χωρίς δυνατότητα «ανταπόδοσης» της ζηµιάς σε επόµενους γύρους, αφού είµαστε στον τελευταίο. Το ερώτηµα λοιπόν είναι εάν θα µπορούσαν οι δύο παίκτες να επιλέξουν κάτι διαφορετικό στους προηγούµενους γύρους. Καταρχήν βρίσκουµε εύκολα ότι, µε δεδοµένο ότι στον τελευταίο γύρο οι δύο παίκτες σίγουρα θα οµολογήσουν, το ίδιο θα κάνουν και στον προτελευταίο. Πράγµατι, ακόµη και αν οι δύο παίκτες είχαν συµφωνήσει να µην οµολογήσουν στον προτελευταίο γύρο, ο καθένας τους θα είχε συµφέρον να σπάσει τη συµφωνία και να οµολογήσει, αυξάνοντας έτσι το κέρδος του για τον συγκεκριµένο γύρο, µιας και στον επόµενο (τελευταίο) γύρο ούτως ή άλλως οι δύο παίκτες θα οµολογήσουν. Βρήκαµε λοιπόν ότι οι δύο παίκτες θα οµολογήσουν στον Ν και στον Ν-1 γύρο. Επαγωγικά µπορούµε να πούµε ότι εάν από τον N-k έως τον Ν γύρο οι δύο παίκτες έχουν σκοπό να οµολογήσουν, το ίδιο θα συµβεί και στον Ν-k-1 γύρο, µιας και ακόµη και αν οι δύο παίκτες είχαν συµφωνήσει να µην οµολογήσουν στον Ν-k-1 γύρο, ο καθένας τους θα είχε συµφέρον να σπάσει τη συµφωνία και να οµολογήσει, αυξάνοντας έτσι το κέρδος του για τον συγκεκριµένο γύρο, µιας και από τον επόµενο (N-k) γύρο µέχρι και τον τελευταίο (Ν) γύρο οι δύο παίκτες ούτως ή άλλως θα οµολογούν συνεχώς οπότε δεν υπάρχει τρόπος τιµωρίας αυτού που έσπασε τη συµφωνία στον N-k-1 γύρο. Επειδή το k είναι τυχαίος αριθµός 0 k<n-1, και επειδή ήδη έχουµε αποδείξει ότι οι δύο παίκτες θα οµολογήσουν στους γύρους Ν και Ν-1, έχει αποδειχθεί επαγωγικά ότι οι δύο παίκτες θα οµολογούν σε όλους τους γύρους. β) Η αναγκαία προϋπόθεση είναι να υπάρχουν περισσότερα από ένα σηµεία ισορροπίας Nash, τα οποία µάλιστα να έχουν διαφορετικό όφελος για τους δύο παίκτες (το ένα να είναι καλύτερο και το άλλο χειρότερο και για τους δύο παίκτες). Σε τέτοιες περιπτώσεις οι δύο παίκτες µπορούν να συµφωνήσουν να παίξουν στον τελευταίο γύρο (ή στους τελευταίους γύρους) το καλό σηµείο ισορροπίας Nash και στους προηγο µενους γύρους συµφερότερους συνδυασµούς κινήσεων που όµως δεν αποτελούν κατ ανάγκη σηµεία ισορροπίας Nash. Εάν η συµφωνία στους προηγούµενους γύρους σπάσει, στον τελευταίο γύρο (ή στους τελευταίους γύρους) οι δύο παίκτες θα επιλέξουν το κακό σηµείο ισορροπίας Nash, τιµωρώντας έτσι τον παίκτη που έσπασε τη συµφωνία. ΘΕΜΑ 4 ο (2.5) ύο παίκτες έχουν εµπλακεί σε µια διαµάχη. Ο παίκτης Α δεν γνωρίζει εάν ο παίκτης Β είναι ισχυρός ή ασθενής αντίπαλος. Η πιθανότητα ο παίκτης Β να είναι ισχυρός αντίπαλος είναι θ. Ο παίκτης Β έχει πλήρη πληροφόρηση. Κάθε παίκτης έχει δύο επιλογές: Να Π(ολεµήσει) ή να Φ(υγοµαχήσει). Το όφελος από τη φυγοµαχία είναι πάντα 0 για κάθε παίκτη, ενώ εάν ο ένας παίκτης πολεµήσει και ο άλλος φυγοµαχήσει τότε αυτός που πολέµησε έχει όφελος 1. Τέλος εάν και οι δύο παίκτες πολεµήσουν, τα οφέλη τους είναι (-1,1) εάν ο Β είναι ισχυρός και (1,-1) εάν ο Β είναι ασθενής. Βρείτε τα σηµεία ισορροπίας Bayes-Nash µε καθαρές στρατηγικές για το παιχνίδι. Έχουµε δύο τύπους για τον παίκτη Β και έναν τύπο για τον παίκτη Α. Οι πίνακες του παιχνιδιού για τους διαφορετικούς τύπους του παίκτη Β είναι οι εξής: Α\Β Π Φ Α\Β Π Φ Π -1,1 1,0 Π 1,-1 1,0 Φ 0,1 0,0 Φ 0,1 0,0 Β=ισχυρός Β=ασθενής
Το σηµείο ισορροπίας Bayes-Nash θα έχει τη µορφή (Α*, (Β 1 *,Β 2 *)), όπου Β 1 * η καλύτερη απάντηση του ισχυρού παίκτη Β στην επιλογή Α* του παίκτη Α, Β 2 * η καλύτερη απάντηση του ασθενή παίκτη Β στην επιλογή Α* του παίκτη Α και τέλος Α* η καλύτερη απάντηση του παίκτη Α στο συνδυασµό επιλογών (Β 1 *,Β 2 *) των δύο τύπων του παίκτη Β (µε πιθανότητες εµφάνισης θ και 1-θ). Ο ισχυρός παίκτης Β έχει κυρίαρχη στρατηγική την Β 1 *=Π. Ο ασθενής παίκτης Β όπως και γενικότερα ο παίκτης Α δεν έχουν κυρίαρχη στρατηγική. Ψάχνουµε λοιπόν τους διάφορους συνδυασµούς για τις Α* και Β2*, ώστε να εντοπίσουµε τυχών σηµεία ισορροπίας Bayes-Nash µε καθαρές στρατηγικές. Έστω ότι ο Α επιλέγει Π. Η καλύτερη απάντηση του ασθενή Β είναι Φ. Για να είναι λοιπόν η επιλογή Α*=Π καλύτερη απάντηση στο συνδυασµό επιλογών (Π,Φ) των δύο τύπων του παίκτη Β θα πρέπει να ισχύει: θ (-1)+(1-θ) 1 θ 0+(1-θ) 0 -θ+1-θ 0 2θ 1 θ ½ Έστω ότι ο Α επιλέγει Φ. Η καλύτερη απάντηση του ασθενή Β είναι Π. Για να είναι λοιπόν η επιλογή Α*=Φ καλύτερη απάντηση στο συνδυασµό επιλογών (Π,Π) των δύο τύπων του παίκτη Β θα πρέπει να ισχύει: θ 0+(1-θ) 0 θ (-1)+(1-θ) 1 0 -θ+1-θ 2θ 1 θ ½ Άρα βρήκαµε δύο σηµεία ισορροπίας Bayes-Nash για διαφορετικές τιµές του θ. Ειδικότερα, για θ ½ έχουµε το σηµείο ισορροπίας (Π, (Π,Φ)), ενώ για θ ½ έχουµε το σηµείο ισορροπίας (Φ, (Π,Π)). ΘΕΜΑ 5 ο (2.5) Έστω µια δηµοπρασία πρώτης τιµής µε σφραγισµένες προσφορές, όπου η αξία του δηµοπρατούµενου αντικειµένου για κάθε έναν από τους υποψήφιους αγοραστές επιλέγεται οµοιόµορφα και ανεξάρτητα από το διάστηµα [0,1]. είξτε ότι εάν υπάρχουν 2 αγοραστές, τότε η στρατηγική κάθε ένας να προσφέρει το µισό της για αυτόν αξίας του αντικειµένου αποτελεί συµµετρικό σηµείο ισορροπίας Nash µε καθαρές στρατηγικές. Υπόδειξη: Αποδείξτε ότι εάν ο ένας παίκτης καταθέσει προσφορά ίση µε το µισό της αξίας που έχει για αυτόν το προϊόν, η καλύτερη απάντηση του άλλου παίκτη είναι να καταθέσει και αυτός προσφορά ίση µε το µισό της αξίας που έχει για αυτόν το προϊόν. Έστω οι δύο παίκτες Α και Β και έστω v A και v B η αξία του δηµοπρατούµενου αντικειµένου για κάθε έναν από τους δύο παίκτες αντίστοιχα, όπου 0 v A 1 και 0 v B 1. Έστω ότι ο παίκτης Β καταθέτει προσφορά s B =v B /2. Θα υπολογίσουµε την καλύτερη απάντηση του παίκτη Α. Εάν αυτή είναι ίση µε s A =v A /2, τότε ο συνδυασµός προσφορών (s A *=v A /2, s B *=v B /2) αποτελεί συµµετρικό σηµείο ισορροπίας Nash. Έστω ότι ο παίκτης Α καταθέτει προσφορά sa. Το αναµενόµενο όφελός του σε αυτή την περίπτωση είναι: Εu A =P(s A >s B ) (v A -s A ) Αφού s B =v B /2, είναι φανερό ότι s B [0, 0,5] και επειδή όλες οι τιµές του s B (όπως και του v B ) είναι ισοπίθανες, η κατανοµή του s B είναι η εξής: P(s B ) 2 1 0 0 0,5 1 s B
Για δεδοµένη τιµή του s A [0,1], η πιθανότητα να ισχύει P(s A >s B ) ισούται µε 2 s A, µε µέγιστη τιµή την τιµή 1. ηλαδή: 2 sa, εάν sa < 0,5 P ( sa > sb) = 1, εάν sa 0,5 Έστω ότι s A <0,5. Το αναµενόµενο κέρδος του παίκτη Α είναι Eu A =2 s A (v A -s A ). Παραγωγίζοντας ως προς s A και µηδενίζοντας την πρώτη παράγωγο βρίσκουµε ότι το Eu A µεγιστοποιείται για s A *=v A /2. Μάλιστα σε αυτή την περίπτωση το αναµενόµενο κέρδος γίνεται: Eu A =2 v A /2 (v A -v A /2)=v 2 A /2. Εάν θεωρήσουµε ότι s A >0,5, τότε το αναµενόµενο κέρδος είναι v A -s A. Η αναµενόµενη τιµή αυτής της ποσότητας είναι αρνητική, µιας και Ε(v A )=0,5 ενώ υποθέσαµε ότι s>0,5. Άρα η καλύτερη απάντηση του Α είναι η s A *=v A /2. Με δεδοµένο ότι το πρόβληµα είναι συµµετρικό, εκτελώντας τους ίδιους ακριβώς υπολογισµούς για τον παίκτη Β καταλήγουµε ότι και για αυτόν η καλύτερη απάντηση στην επιλογή s A *=v A /2 είναι η s Β *=v Β /2. Άρα ο συνδυασµός επιλογών (s A *=v A /2, s B *=v B /2) αποτελεί συµµετρικό σηµείο ισορροπίας Nash. ΑΠΑΝΤΗΣΤΕ 4 ΑΠΟ ΤΑ ΠΑΡΑΠΑΝΩ 5 ΘΕΜΑΤΑ (Ενδεικτικές λύσεις θα αναρτηθούν µετά την εξέταση στο site του µαθήµατος)