PROZESU KIMIKOEN INSTRUMENTAZIO ETA KONTROLA

PROZESU KIMIKOEN INSTRUMENTAZIO ETA KONTROLA Unai Iriarte Velaso EUSKARA ETA ELEANIZTASUNEKO ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA Liburu honek UPV/EHUko Euskara eta Eleaniztasuneko Errektoreordetzaren dirulaguntza jaso du

Egilea: Unai Iriarte Velaso EHUko Zientzia eta Teknologia Fakultateko irakaslea Ingeniaritza Kimikoa Saila unai.iriarte@ehu.es ISBN: 978-84-69-300-6 Leioa, 009ko maiatza

AURKIBIDEA GAIA: SARRERA. Sarrera. Kanpo-eraginak konpentsatzea 3.3 Egonkortasuna ziurtatzea 7.4 Prozesua optimizatzea 7.5 Prozesu kimiko bateko aldagaien sailkapena 8.6 Kontrol-sistema baten diseinua 9.7 Instalazio kimiko sinple baten kontrola.8 Kontrol-sistema baten osagaiak 3 GAIA: EREDU MATEMATIKOAK INGENIARITZA KIMIKOAN. Eredu motak 5. OINARRIAK: eredu teorikoak 6.3 CSTR SERIEAK: ISOTERMOAK ETA BOLUMEN KONSTANTEA 8.4 CSTR SERIEAK: ISOTERMOAK ETA BOLUMEN ALDAKORRA 0.5 BEROTURIKO BI GORDAILU SERIEAN.6 CSTR ez-isotermoa 3 GAIA: LAPLACE TRANSFORMATUA 3. Ekuazio motak 6 3. Definizioa 7 3.3 Oinarrizko funtzioen Laplae transformatua 8 3.4 Ekuazio diferentzialen ebazpena Laplae transformatua erabiliz 3 3.5 Erroen esanahi fisikoa 38 3.6 Laplae transformatuaren beste propietate batzuk 39 4 GAIA: LEHEN MAILAKO SISTEMEN ERANTZUN DINAMIKOA 4. Transferentzia-funtzioa 43 4. Maila-aldaketako perturbazio baten aurreko erantzuna 46 4.3 Bulkada baten aurreko erantzuna 47 4.4 Perturbazio sinusoidala 48 4.5 Bode-ren diagrama 50 4.6 NYQUIST-en diagrama 5 4.7 Lehen mailako sistemen adibideak 5 i

5 GAIA: LINEALIZAZIOA ETA SISTEMEN ARTEKO INTERAKZIOA 5. Linealizazio-teknikak 58 5. Lehen mailako sistemen erantzuna 66 5.3 Maila-aldaketa batekiko erantzuna 7 6 GAIA: BIGARREN MAILAKO SISTEMAK 6. Maila-aldaketa motako perturbazio baten aurreko erantzuna 74 6. Sistemaren identifikazioa 79 6.3 Bulkada baten aurreko erantzuna 8 6.4 Erantzun frekuentziala 84 6.5 Sistema linealen erantzun frekuentziala. Metodo orokorra 85 6.6 Bode-ren diagrama 88 6.7 Nyquist-en diagrama 89 7 GAIA: DENBORA HILA 7. Perturbazioekiko erantzuna 90 8 GAIA: SEINALEEN NEURKETA ETA TRANSMISIOA 8. Osagai nagusiak 93 8. Neurketaren ezaugarriak 93 8.3 Neurgailuen sailkapena 93 8.4 Transmisioa 94 8.5 Kalibrazioa 94 8.6 Diagramak 95 9 GAIA: AZKEN KONTROL-ELEMENTUA 9. Eragileak 0 9. Azken kontrol-elementua 0 9.3 Kontrol balbula 0 0 GAIA: ATZERAELIKADURAZKO KONTROL-SISTEMAK ETA KONTROL-AKZIOAK 0. Kontrol proportzionala 07 0. Akzio integrala 08 0.3 Akzio deribatua 09 0.4 Kontrol proportzional eta integrala 0 0.5 Kontrol proportzional deribatua 0.6 Kontrol proportzionala akzio integral eta deribatuarekin 4 ii

GAIA: KONTROL-BEGIZTA ITXIKO TRANSFERENTZIA-FUNTZIOA. EGONKORTASUN KONTZEPTUA. Kontrol-akzio proportzionalaren eragina KONTROL-BEGIZTA itxian 8. Kontrol-akzio integralaren eragina KONTROL-BEGIZTA itxian.3 Kontrol-akzio deribatuaren eragina KONTROL-BEGIZTA itxian 3.4 Kontrol-akzio KONBINATUEN eragina KONTROL-BEGIZTA itxian 3.5 Egonkortasunerako irizpideak 3 GAIA: PID kontroladoreen sintonizazioa. Atzeraelikadurazko kontroladoreen sintonizazioa 5. Irizpide motak 6.3 Erantzun-irizpide sinpleak 6.4 Denboraren eremuko erantzunean oinarritutako irizpideak 8.5 Kontroladorearen parametroak sintonizatzeko metodoak 3.6 Kontroladoreak sintonizatzeko metodoak 43 3 GAIA: ROUTH-EN IRIZPIDEA ETA ERROEN KOKAPENA 3. Routh-en irizpidea 46 3. Erroen kokapena 47 3.3 Erroen kokapenaren eskema marrazteko arauak 50 3.4 Denbora hilaren eragina erroen kokapenaren marrazketan 5 4 GAIA: ERANTZUN FREKUENTZIALA. BODE-REN ETA NIQUIST-EN EGONKORTASUN-IRIZPIDEAK 4. Bode-ren egonkortasun-irizpidea 53 4. Irabazi- eta fase-marjinak 56 4.3 Niquist-en egonkortasun-irizpidea 59 iii

iv

GAIA: SARRERA. Sarrera Instalazio kimiko bat hainbat prozesuren konbinazioa baino ez da (erreaktorea, bero-trukagailua, destilazio-zutabea, absorbatzailea, gordailu, eta abar). Edozein lantegiren helburu nagusia da erreaktibo batzuk produktu bihurtzea. Prozesu hori modu kontrolatu batean egin behar izaten da. Zergatik? - Instalazioak kanpo-eraginak jasaten dituztelako (erregulazio-arazoa) - Operazio-baldintzak aldatu nahi izaten direlako (serbo-arazoa) - Automatizazioak hauxe dakar: efizientzia handiagoa, segurtasun gehiago, langile gutxiago, garestiagoa, konplexuagoa (adituak),... Zertarako? - Kontrol-sistemaren (KS) betebeharrak: segurtasuna (presioa, tenperatura, likido-maila,...) kalitatea (produktuaren purutasuna) ingurumena (ISO 400) operazio-baldintzak (gordailuen maila, tenperatura, ponpen kabitazio-presioa, eta abar) optimizazio ekonomikoa Nola? Atzeraelikadura: kontrolatu behar den irteera neurtu, eta sarrerako erreferentziarekin konparatzen da. Bien artean errorerik agertzen bada, errore hori erabiltzen da kontrolatutako irteerak erreferentziari jarrai diezaion.

- Oro har, kontrol-sistema baten betekizunak hauek dira: kanpo eraginak konpentsatzea prozesuaren egonkortasuna ziurtatzea optimizazioa IKASGAIAREN HELBURUAK - Kontrol-teoriaren oinarrizko ezagutzak lortzea. - Edozein adituk proposaturiko sistema konplexuak ulertzeko gaitasuna lortzea. - Prozesuaren kontrol-arazo sinpleak ebazteko gaitasuna garatzea ( Lehen artea zena orain zientzia da ). - Etorkizunean aditu-mailako ezagutza lortzeko gaitasuna izatea.

. Kanpo-eraginak konpentsatzea - Egoera ohikoena. - Prozesuan beharrezko aldaketak egin beharko dira. F i, T i Q T h F, T Kondentsatua Condensado F st Vapor Ur- de lurruna agua. irudia. Berotutako nahasketa perfektuko erreaktore jarraitua (CSTR).. irudian gordailu bateko tenperatura erregulatzeko sistema ageri da. Gordailuko T tenperatura, sarrerako jarioaren tenperaturaren (Ti), emariaren (Fi) eta gehitutako beroaren (Q) menpekoa izango da. 3

T i, F i = Konstante Kontsigna-puntua T + s Termoparea T - ε Q T F, T Kontroladorea F st. irudia. Berotutako CSTRa, tenperaturaren atzeraelikadurazko kontrol-sistema duena.. irudian tenperatura erregulatzeko erabiltzen den begizta itxiko kontrol-sistema ageri da. Neurgailuak T irteera-aldagaia neurtu, eta Ts erreferentziarekin konparatzen du. Bien artean errorerik bada, balbularen posizioa mugitzen du, eta, horrenbestez, Q bero-fluxua aldatzen da. 4

F i T = konstante i Q T Kontroladorea ε + h s - Kontsigna- h puntua Likido-mailaren neurgailua Likido-mailaren neurgailua h - h s + Kontsigna- ε puntua Kontroladorea F i T i = konstante Q T.3 irudia. Berotutako CSTRa, bolumenaren atzeraelikadurazko kontrol-sistema duena. Bi kontrol estrategia posible..3 irudian, aldagai kontrolatua berbera izanik, aldagai manipulatua ezberdina izan daitekeela ikusten da. 5

F i = Konstante T i T i Termoparea Kontroladorea Q T F, T.4 irudia. Berotutako CSTRa, tenperaturaren feedforward kontrol-sistema duena. 6

.3 Egonkortasuna ziurtatzea Edozein prozesutako aldagai batean perturbazio bat gertatzen bada: Prozesua egonkorra izatea nahi da. Ezegonkorra bada kontrol-sistema (KS) beharrezkoa. Energia, al/denbora T T T 3 Tenperatura.5 irudia. Erreakzio exotermiko bat, hozte-atorra daukan CSTR batean..4 Prozesua optimizatzea - Betebehar garrantzitsuenak: segurtasuna eta kalitatea. - Ondoren, errentagarritasuna hobetzea. 7

.5 Prozesu kimiko bateko aldagaien sailkapena - Bi talde bereiz daitezke: Sarrera-aldagaiak: inguruaren eragina prozesuan Manipulatuak: langileek doitu/manipulatu ditzaketenak Perturbazioak: ez dira KSren ondorio Neurgarriak: zuzenean neur daitezke Neurgaitzak: ezin daitezke zuzenean neur Irteera-aldagaiak: prozesuaren eragina inguruan Neurgarriak: zuzenean neur daitezke Neurgaitzak: ezin daitezke zuzenean neur Kontroladorea Perturbazioak... Aldagai manipulatuak Prozesua Irteera-aldagai neurgarriak..... Irteera-aldagai neurgaitzak.6 irudia. Prozesu kimiko bateko sarrera- eta irteera-aldagaiak. 8

.6 Kontrol-sistema baten diseinua - Kontrol-sistema (KS) prozesuarekin batera diseinatu behar da. Bestela, kontrola kaskarra da, bideraezina. - Helburu orokorra da sistemaren erantzun azkarra lortzea eta perturbazioen magnitude eta maiztasuna txikia izatea. (Instalazioaren izaera eta diseinuaren arabera). - Eman beharreko pausoak:. Helburuak finkatu: kanpo-eraginak konpentsatzea, egonkortasuna lortzea, optimizazio ekonomikoa iristea ala denak batera.. Neur daitezkeen aldagaiak identifikatu (helburuaren arabera) Irteera neurgaitza (aldagai sekundarioak, KS inferentziala) 3. Manipula daitezkeen aldagaiak identifikatu. Kontrolaturiko eta neurturiko aldagaiak finkatu ondoren, horien eragina nola konpentsatuko den erabaki behar da. 4. KSren konfigurazioa aukeratu. Feedforward/atzeraelikadura Manipulatu berdina / neurketa ezberdina Feedforward/atzeraelikadura Neurketa berdina / manipulatu ezberdina (.3,.4,.7 irudiak) Aldagai manipulatu/neurtuen kopuruaren arabera: SISO (single input / single output). Adibidez: likido-maila, irteerako edo sarrerako emaria manipulatuz. MIMO (multiple input / multiple output). Adibidez: likido-maila eta tenperatura, sarrerako emaria eta lurrun-emaria manipulatuz. 9

a) b) Errefluxua Hozte-ura Kondentsadorea Destilatua Kontroladorea Elikadura Konposizioanalisia Konposizioanalisia Errefluxua Destilatua Destilazio-zutabea Kontroladorea Ur-lurruna Kontsignapuntua Elikadura Irakingailua Osagai astunak Osagai astunak ) Kontsignapuntua Kontrola: destilatuarentzat estimaturiko kontzentrazio balioak Ordenagailua: destilatuaren kontzentrazioa estimatzen da tenperaturaren arabera T,T eta T 3 T T T 3 Errefluxua Destilatua Elikadura Osagai astunak.7 irudia. Hainbat kontrol-konfigurazio. Kontrolaren helburua: destilatuaren kontzentrazioa. a) atzeraelikadurazkoa, b) feedforward, ) atzeraelikadurazko inferentziala. 0

5. Kontroladoreak diseinatu/sintonizatu. Manipulazioaren magnitudea eta iraupena, abiadura egokitzeko. a) Errorea (Tsp-T) Kontroladore gabe Denbora b) Errorea (Tsp-T) Kontroladore gabe (α=0) Denbora.8 irudia. Tenperaturaren erantzuna hainbat kontrol-legetarako. a) Kontrol-akzio proportzionala, b) Kontrol-akzio integrala. Q = α T T + Qs Kontrol-akzio proportzionala ( sp ), Kontrol-akzio integrala ( sp ) t Q = α T T dt + Qs 0 6. Instrumentazioa aukeratu. Sentsoreak, transmisoreak, azken kontrol-elementua, eta abar.

.7 Instalazio kimiko sinple baten kontrola Destilazio zutabea Kondentsatua Hozteura Urlurruna Urlurruna.9 irudia. Instalazio kimiko sinple bat. - Helburuak: Kalitatea: C emaria eta purutasuna Segurtasuna: Erreaktoreko likido-maila mantendu (ez lehortzeko, ez urak gainezka egiteko moduan) Destilazio-zutabean likido-maila zaindu - Perturbazioak: Erreaktiboen emariak, kontzentrazioa eta tenperatura Destilazio-zutabeko presioa Hoztailearen tenperatura - Aldagai manipulatuak: Destilazio-zutabeko errefluxua Erreaktoreko F A /F B erlazioa

.8 Kontrol-sistema baten osagaiak Prozesu-unitateak (erreaktorea, bero-trukagailua, ponpatze-sistema,...) - Sentsoreak (aldagai kontrolatua, perturbazioa, aldagai sekundarioak, manipulatuak,...) Termopareak, venturimetroak, kromatografoak,... - Transduktoreak Neurketa transmititzeko seinalea eraldatu behar da. Adibidez: venturimetro batean sortutako karga-galera, Bar-etik V-ra - Transmisio-lerroak (anplifikadoredunak) - Kontroladorea Neurtutako seinalearen arabera kontrol-akzioa erabakiko du - Azken kontrol-elementua Kontroladoreak erabakitakoa egingo duten elementuak: balbulak, abiadura aldakorreko ponpak,... - Erregistradorea Neurketak grabatzeko, prozesuaren egoeraren jarraipena egiteko Tenp. erregistradorea Tenp. Kontsigna-puntua Termoparea Likido-mailaren erregistradorea Presio dif. neurgailua Kontroladorea Kontroladorea Kontrolbalbula Transmisio-lerroak Kontrolbalbula h s Kontsigna-puntua Transmisio-lerroak.0 irudia. Beroturiko gordailu bateko kontrol-begiztaren osagaiak. 3

Oro har: - Ez da prozedura/metodologia zeharo matematikoa, erabakiak fenomeno fisiko-kimikoen ezagutzan oinarrituta baitaude. - Kontrol-teoria ezagutzea beharrezkoa da, hain zuzen, prozesuaren erantzun dinamikoa, KSren konfigurazioa eta kontroladoreak sintonizatzeko teknikak ezagutzea. - Instrumentazioaren ezagutza zabala. 4

GAIA: EREDU MATEMATIKOAK INGENIARITZA KIMIKOAN ZERTARAKO? Sistemaren erantzun dinamikoa adierazteko. - Prozesua ulertzeko Ikerkuntza Prozesuaren garapena Optimizazio ekonomikoa - Aldagai manipulatu/kontrolatu bikoteen erlazioa ezartzeko Manipulatuaren aldaketa batek zenbat aldatuko du aldagai neurtua? Zer abiaduratan gertatuko da aldaketa hori? I) II) Korronte hotza Korronte hotza Korronte beroa Korronte beroa Korronte hotzaren by-pass-a. irudia. Bi kontrol-konfigurazio posible. Kontrol-helburua: bero-trukagailuko irteera-tenperatura. - Aldagai manipulatuaren mugek ezarriko dituzte aldagai kontrolatuaren mugak - Kontrol-begiztaren ezaugarriak finkatzeko: kontrol zuzena/alderantzizkoa (noranzkoa), magnitudea, abiadura. Eredu motak Teorikoak (ebazpen analitiko konplexua) Enpirikoak (fidagarritasun-eremu mugatua, esperimentazio mugatua) 5

. OINARRIAK: eredu teorikoak.. Materia/energia/higidura kantitate-balantzeak Materia-balantzea orokorra edo osagai batekiko izan daiteke: Masa/energia-emaria Masa/energia-emaria= Sistemako masa/energiaren sistemara SARTU sistematik IRTEN METATZE-abiadura.. Garraio-legeak:. taula. Garraio-legeak. Beroa Masa Higidura kantitatea Emaria q N A τ rz Maila molekularrean Indar eragilea T C A v z z z r Legea Fourier Fik Newton Propietatea Eroaletasun Difusibitatea Biskositatea termikoa k T D A µ Maila makroskopikoan Indar eragilea T () C A Erlazioa q=h T T N A =k L C A () Presio partziala edo frakzio molarra ere erabil daitezke. () Eskuarki, marruskadura-koefizientea izaten da: f=(gd P/L)/vρ...3 Termodinamika - Egoera-ekuazioak: gas idealen ekuazioa - Oreka-ekuazioak: oreka kimikoa, fase arteko oreka, lurrunkortasun erlatiboa P () Oreka kimikoa n ν jµ j = 0 (.) j= ν a A k ν k bb (.) µj = µj 0 + RT ln Pj (.3) νb(µb 0 + RT ln PB) - νa(µa 0 + RT ln PA) = 0 (.4) RT ln(pb) ν b - RT ln(pa) ν a = νa µa 0 - νb µb 0 (.5) 6

ln P B ν b PA ν a Kp = P B ν b PA ν a = ν a µa 0 - νb µb 0 RT (.6) (.7)..4 Zinetika kimikoa Erreakzio motaren arabera -A+B R = E r k C C RT exp a a b A,0 A B (.8) A R r R = 0,5 S r S = C A / T r T = 3C A A B = exp E a X A r C A Aok,0 RT X Ae (.9) 7

.3 CSTR SERIEAK: ISOTERMOAK ETA BOLUMEN KONSTANTEA F Ao F A F A F A3 C Ao C A C A C A3 Q o X Ao (0) T o. irudia. CSTR erreaktore sorta seriean. Balantze orokorra: d( ρv ) = ρf dt o - ρf = 0 (.0) F,s = F o,s (.) Era berean, F 3,s = F,s = F,s = F o,s = F Materia-balantzea A osagaiarekiko: V dc A dt V dc A dt V 3 dc A3 dt = F(C Ao - C A ) - V k C A (.) = F(C A - C A ) - V k C A (.3) = F(C A - C A3 ) - V 3 k 3 C A3 (.4) Erreakzio-abiadura, k n, Arrhenius-en arabera adieraz daiteke: k n = α e -E/RT n (.5) n =,,3 8

Emariak, tenperaturak eta bolumenak konstante eta berdinak badira hiru erreaktoreetan: dc A dt + (k + τ ) C A = t C A0 (.6) dc A dt + (k + τ ) C A = t C A (.7) dc A3 dt + (k + τ ) C A3 = t C A (.8) Horrela, sistemak 3 ezezagun ditu, eta 3 ekuazioren bitartez deskribatu da. 9

.4 CSTR SERIEAK: ISOTERMOAK ETA BOLUMEN ALDAKORRA (grabitatez hustea) F Ao C Ao Q o X Ao T o V F A C A V F A C A V3 F A3 C A3.3 irudia. CSTR erreaktore sorta seriean, grabitatez hustea. dv erreaktorea: = F dt o - F d( VC A ) dt = F o C Ao - F C A - V k (C A ) n (.9) dv erreaktorea: = F dt - F d( VC A ) dt = F C A - F C A - V k (C A ) n (.0) dv3 3 erreaktorea: = F dt - F 3 d( V3C A 3 ) dt = F C A - F 3 C A3 - V 3 k 3 (C A3 ) n (.) Tenperatura ezaguna denez, K, K eta K3 ezagunak (*) dira. Beraz, 6 ekuazio eta 9 ezezagun (**) ditu sistema horrek: C A, C A, C A3, V, V, V 3, F, F eta F 3. Beste 3 ekuazio (eredu) behar dira. Irteera-emaria eta -bolumena erlazionatzen dituztenak erabil daitezke. F = f (V ) F = f (V) F 3 = f (V3) * Ez dira aldagaiak. Haien balioa ezaguna eta konstantea da, eta haien araberakoak izango dira ezezagunen azken balioak, hau da, sistemaren operazio-baldintzak (V -3, C A-3, F -3 ). ** Sistemaren aldagaiak dira; sarrera- edo irteera-aldagai izan daitezke. Horrela, adibidez, F mailaaldaketa (sarrera) gisa aldatuz, V 3 (irteera) nola aldatzen den aurrez esan liteke eredu horien bitartez. 0

.5 BEROTURIKO BI GORDAILU SERIEAN (bolumen konstantea) Emaria, bolumena, dentsitatea konstante badira, bero-transmisioa lehen gordailuan bakarrik, Q : F Ao C Ao Q o X Ao (0) T o F A C A F A C A Q.4 irudia. Beroturiko bi gordailu seriean. Energia-balantzea gordailuan: Energia-balantzea gordailuan: d( ρcpv T ) = ρcp(f dt o T o - F T ) + Q (.) d( ρcpvt ) = ρcp(f dt T - F T ) (.3) Emariak, dentsitateak eta bolumenak konstante direnez: CpV dt dt ρcpv dt dt = ρcpf(t o - T ) + Q (.4) = ρcpf(t - T ) (.5) Ezagunak: ρ, Cp, V, V, F, Q, T o. Beraz, ezezagun (T, T ) eta ekuazio ditugunez, sistema osoa deskribatuta dago. Hau da, irteera-aldagai guztien (*) erantzun dinamikoa azter genezake. * Gogoratu irteera-aldagaiak T eta T direla, adibide honetan horrela aukeratu baita. Irteera-aldagai gehiago kontrolatu nahi izanez gero, noski, bakoitzarentzat beste ekuazio/eredu bat eratorri beharko litzateke.

.6 CSTR ez-isotermoa (hozte-atorra) Demagun hau dugula: F A A B n ordenakoa A-rekiko. C A F J Erreakzio beroa: λ (exotermikoa) V T C A T J Bero-galera baztergarriak F J Pareten altzairu-masa baztergarria T Jo F A C A.5 irudia. CSTR ez-isotermoa..6. Jarraitutasunaren legeak ERREAKZIOETAN: Materia-balantzea: Materia-balantze orokorra: dv dt = F o F (.6) A materia-balantzea: d(vc A ) dt = F o C Ao - F C A - Vk(C A ) n (.7) Energia-balantzea: ρ d(vcpt) = ρ(f dt o CpT o - F CpT) + λvk(c A ) n - UA H (T - T J ) (.8) non k=α exp(-e/rt) egiaztatzen baita.

ATORREAN: a) Nahasketa perfektua izanik (emaria oso handia bada, T J kte fluxu motak ez du eraginik) d(cpt J) ρ J V J = F dt J ρ J (CpT Jo - CpT J ) + UA H (T - T J ) (.9) Ezagunak: T 0, T J0, F 0, C A0 eta F J. Ezezagunak: V, A H, F, C A, T eta T J. Beraz, 4 ekuazio (.6-.9) eta 6 ezezagun!!! Beste bi ekuazio behar dira. Erreaktore-irteerako emaria honela adieraz daiteke: F = K V V (.30) Gainera, A H likido-mailaren (bolumenaren) menpe dago: A H = 4 D V. b) Atorrako pistoi-fluxua T JA = T J0 + T Js (.3) Bero-balantzea: ρ J V J C J dt JA dt = F J ρ J C J (T Jo - T Js ) + UA H (T - T JA ) (.3) Hau da, bi aldagai berri ditugu: T JA, T Js ; eta beste bi ekuazio berri: (.3) eta (.3). 3

) Atorran eredu elkartua erabilirik Atorra banaturik V bereko nahasketa perfektuko 4 ontzitan: F A C A F J V T C A T J4 T J3 T J F J T J dt J 4 ρ J V J C J dt dt J 4 ρ J V J C J dt 4 ρ J V J C J dt J3 dt = F J ρ J C J (T Jo - T J ) + 4 UA H (T - T J ) = F J ρ J C J (T J - T J ) + 4 UA H (T - T J ) = F J ρ J C J (T J - T J3 ) + 4 UA H (T - T J3 ) T Jo T J F A C A 4 ρ J V J C J dt J4 dt = F J ρ J C J (T J3 - T J4 ) + 4 UA H (T - T J4 ).6 irudia. CSTR ez-isotermoa. Atorrako jario-eredu elkartua. Era berean, 4 ezezagun berri agertzen dira (atorraren tarte bakoitzean tenperatura aurrez esatea lor genezake) eta 4 ekuazio berri ere planteatu dira. Sistema ebatzi egin daiteke. 4

d) Pareten masa kontuan harturik Zehaztasun osoz deskribatu nahi izanez gero sistema, denbora eta posizioarekiko deribatu partzialak ebatzi beharko lirateke: T m =f(t,z,r) T hurbilketa ez da posizioarekin aldatzen, denborarekin bakarrik: T m =f(t) Erreaktorean, ρ Cp d(vt) dt = ρ Cp(Fo To - F T) + λ V(CA)n α e-e/rt - hi Ai(T - T M ) (.33) Atorran, ρ J V J C J dt J dt = F J ρ J C J (T Jo - T J ) + h 0 A 0 (T M - T J ) (.34) Paretan, ρ M V M C M dt M dt = h i A i (T - T M ) - h o A o (T M - T J ) (.35) Hor ezezagun hauek ditugu: h o: beroaren transmisiorako koefizientea kanpo-geruzan h i: beroaren transmisiorako koefizientea barne-geruzan ρ m: metalaren dentsitatea C M: metalaren bero espezifikoa V M: paretaren bolumena A i: beroaren transmisiorako paretaren barne-gainazala A o: beroaren transmisiorako paretaren kanpo-gainazala INGENIARI KIMIKOAREN EGINBEHARRA KONPROMISOA EDO OREKA BILATZEA BEHARREZKOA DA!!! Eredu zehatzenek Eredu sinpleenek ebazpen konplexua dute. ebazpen zehaztugabea emango dute. Eta horretarako hainbat sinplifikazio edo suposizio onartu behar dira. 5

3 GAIA: LAPLACE TRANSFORMATUA Sistema linealen erantzun dinamikoa aztertzeko tresna. Eredu matematikoko ekuazio diferentzialak ekuazio aljebraikoak. TRANSFERENTZIA-FUNTZIO kontzeptua Egonkortasuna Erantzun kualitatiboa Bloke-diagramak (blokeen aljebra) 3. Ekuazio motak 3.. Ekuazio diferentzial arruntak Mendeko aldagai bat edo gehiago, eta aske bakarra: n n d y d y dy n n n n 0 a + a +... + a + a y = x(t) (3.) dt dt dt 3.. Ekuazio diferentzial partziala Mendeko aldagai bat edo gehiago, eta aldagai aske anitz: T T = k x t 3..3 Ekuazio diferentzial lineala Lehen mailako terminoen batuketa da. T T = k x t 3..4 Ekuazio diferentzial ez-lineala Lineala ez dena. (3.) (3.3) dy + y 0 dt = edo d y Cosy 0 dt + = edo d y dt dy + x + y = 0 dt 6

Ekuazio hauek egoeren espazioan (espaio de estados) ebatz daitezke. Kontrolean, hain zuzen, Laplae eremuan ebazten dira. Laplae transformatuak erabiltzen dira ekuazio diferentzial arrunt linealak ebazteko. Esan bezala: ekuazio diferentzialak ekuazio aljebraikoak 3. Definizioa f(t) funtzio baten Laplae transformatua: st { } = L u(t) e f(t)dt 0 (3.4) Laplae transformatuaren ezaugarriak: - s aldagaia zenbaki konplexu bat da (alde erreala eta alde konplexua ditu). t (denbora) eremutik s (Laplae) eremura pasatzen garela esaten dugu. - Laplae transformatuak, f(s)-k, ez dauka f(t)-ri buruzko informaziorik t<0 denerako. Kontrolean ez du garrantzirik. Izatez, f(t)=0, t<0 izanik, egiaztatzeko definitzen dira aldagaiak. - Laplae transformatua integral inpropio batek definitzen duenez, f(t) funtzio guztiek ez dute Laplaeren transformaturik. - Laplae transformatua lineala da. Matematikoki adierazita: L{af(t) + bf(t)} = al{f(t)} + bl{f(t)} (3.5) - f(t) funtzioak eta haren f(s) Laplae transformatuak bikote bakana osatzen dute. Hau da, ez dago Laplae transformatu bera duten bi f(t) eta g(t) funtzio. 7

3.3 Oinarrizko funtzioen Laplae transformatua 3.3. Maila-aldaketa 0 t < 0 f(t) = t 0 Maila-aldaketa unitarioa denean [aurrerantzean, u(t)], anplitudeak balio du, eta haren Laplae transformatua hauxe da: { } st L u(t) e dt 0 st e = = = s s (3.7) 0 (3.6) Anplitudea A izanez gero: 3.3. Funtzio esponentziala A s 0 t < 0 f(t) = u(t)e at = e t 0 at (3.8) at (s a)t L{u(t)e } = e dt 0 (s+ a)t e (3.9) + = s a = + s + a s+a > 0 bete behar da; hau da, s > -a. 0 3.3.3 Arrapala-funtzioa 0 t < 0 f(t) = = tu(t) t t 0 st L{t u(t)} = t e dt 0 (3.0) (3.) Zatika integratuz: t = u du = dt e -st dt = dv v = -e -st /s st st st st 0 0 0 0 t t L{t u(t)} = e e dt e e 0 s = + = + s s s = (3.) s 8

3.3.4 Sinu-funtzioa 0 t < 0 f(t) = = u(t)senkt senkt t 0 st { } L u(t) sen kt = sen kt e dt 0 (3.3) (3.4) Zatika integratuz: u = e -st du = -se -st dt dv =senkt dt v = - k oskt st s st L{ u(t) sen kt} = e oskt e osktdt = 0 k k s st s st e senkt e senktdt 0 k k + = k 0 k s st s e senktdt L{u(t) senkt} 0 = k k k k 0 (3.5) Beraz: s + L{u(t)senkt} = k k / k k L{u(t)senkt} = = + s / k s + k (3.6) (3.7) 3.3.5 Kosinu-funtzioa 0 t < 0 f (t) = u(t)oskt oskt t 0 = (3.8) Aurreko kasuan bezala: L{u(t)oskt} = s s + k (3.9) 9

3.3.6 Deribatuen Laplae transformatua Oso ezaugarri baliagarria da, deribazioa biderketa bihurtzen baitu. df(t) L = sf(s) f(0) dt non f(s) baita f(t)-ren Laplae transformatua (f(s) = L{f(t)}) eta f(0) aldiz f(t) funtzioaren balioa t = 0 betetzen denerako. (3.0) df(t) = dt df dt st L e dt 0 (3.) Zatika integratuz: u = e -st du = -se -st dt dv= df dt v =f dt Beraz: df(t) dt st st L = fe + s fe dt = = -f(0)+sf(s) 0 (3.) 0 Kontrolean, normalean, f(0) = 0 betetzen denez, lehen deribatuaren Laplae transformatua sf(s) izaten da. Bigarren deribatuaren Laplae transformatua kalkulatzeko: d f(t) d df df df(t) L L sl s = [ sf(s) - f(0) ] - f'(0) = dt dt dt = = dt dt t= 0 =s f(s) - sf(0) - f'(0) (3.3) eta t = 0 denean, f = 0 eta df/dt = 0 betetzen bada, orduan: d f(t) = L dt = s f(s) (3.4) Ekuazio orokorra honela idatz daiteke, n-garren (n>3) deribatuaren Laplae transformatua kalkulatzeko: n d f(t) n n- n- () (n-) (n-) L s f(s)-s f(0)-s f (0)-...-sf (0)-f (0) n = dt non f (i) (0) baita f(t)-ren i-garren deribatua t-rekiko, t=0 baliorako. (n>3 izanik) (3.5) 30

3.4 Ekuazio diferentzialen ebazpena Laplae transformatua erabiliz. Laplae transformatua kalkulatu ekuazioaren bi aldeetarako. Hasierako balioak (t=0) kontuan hartu.. Lortutako berdinketa ebatzi, funtzio ezezaguna, f(s), askatuz. 3. Lortutako Laplae transformatuari dagokion f(t) funtzioa kalkulatu. Azken hori da alderik konplexuena, Laplae transformatuaren alderantzizkoa kalkulatzea. Teknika ugari erabil daitezke. Ikasgai honetan frakzio partzialetan hedaturik egingo dugu. 3.4. 3. adibidea: funtzioa: dy dt + y = y(0) = 0; y (0) = 0. Laplae transformatua bi aldeetan: sy(s) +y(s) = s (3.7). Ekuazioa ebatzi, funtzio ezezaguna, f(s), askatuz: (3.6) y(s) = s(s + ) 3. Frakzio partzialetan hedatu: A B y(s) = = + s(s + ) s s + (3.8) (3.9) non A eta B konstante baitira. Taulaturiko Laplae transformatu zuzenei erreparaturik: y(t) = A + Be t (3.30) A eta B kalkulatuz sistema ebatzita legoke. A eta B kalkulatzeko, (3.9) berdinketa erabiliko da. = s(s + ) A s B + s + (3.9) 3

3.9 ekuazioaren bi aldeetan s biderkatuz: (s + ) = Bs A + s + (3.3) Eta s-ren balio guztietarako betetzen denez, s=0 denean ere betetzen da. s=0 ordeztuz: A=. B kalkulatzeko, (s+)-z biderkatu: A = (s + ) + B s s eta s=- eginez: B =-. (3.3) Beraz, s(s + ) = s s + (3.33) y(t) = - e t (3.34) 3.4. 3. adibidea: funtzioa: 3 d y d y dy + y = 4 + e 3 dt dt dt t = 0 y(0) = ; dy dt d y = 0; dt t = Laplae transformatua kalkulatuz eta y(s) askatuz: 4 s 6s + 9s 8 A B C D E y(s) = = + + + s(s )(s + )(s + )(s ) s s s + s + s (3.35) + (3.36) 3

A kalkulatzeko, s biderkatuz eta s=0 eginez: A =-. Gainerakoak era berean. biderkatu s berdindu emaitza B s- B = / C s+ - C = /3 D s+ - D = -7/ E s- E = /3 Emaitza: 4 s 6s + 9s 8 y(s) = = s(s )(s + )(s + )(s ) 7 + + 3 + + 3 s s s + s + s 7 y(t) = + e + e e + e (3.37) t t t t 3 3 33

3.4.3 Erro konplexuak funtzioa: d y dy + + y = dt dt t = 0 y(0) = dy 0; dt = 0 (3.38) Laplae transformatua: A B C y(s) = = = + + + + + + + + + + s(s s ) s(s j)(s j) s (s j) (s j) (3.39) Erro konplexuek ez dute prozedura aldatzen. A kalkulatzeko, s biderkatuz 3.39 ekuazioaren alde bietan eta s = 0 eginez: A = = ( + j)( j) B kalkulatzeko, (s++j) biderkatuz eta s = (--j) eginez: B = = j ( j)( j) C lortzeko, (s+-j) biderkatuz eta s = (-+j) eginez: + j C = = ( + j)( j) Beraz, 3.39 ekuazioan A, B eta C ordeztuz: j j y(t) = + + s + (s j) + + (s + j) (3.40) 34

j j y(s) = + + s + (s j) + + (s + j) Alderantzizkoa kalkulatuz, /(s+a) e -at jakinik: j + j y(t) = + e + e ( + j)t ( j)t (3.4) (a+ bj)t e daiteke: at = e (os bt + jsen bt) berdinketa erabiliz, denboraren eremuko erantzuna kalkula t y(t) = e (os t + sen t) (3.4) Oro har, erro konplexuak konjugatuak badira, y(t) erreala da, jakina, eta oszilakorra. 35

3.4.4 Erro errepikatuak 3.3 adibidea: 3 d y d y dy + 3 + 3 + y = 3 dt dt dt dy t = 0 y(0) = 0; dt Laplae transformatua aplikatuz: d y = 0; dt y(s) = = s(s + 3 s + 3 s + ) s(s + ) 3 3 Frakzioetan hedaturik: = 0 A B C D y(s) = = + + + 3 3 s(s + ) s (s + ) (s + ) (s + ) (3.43) (3.44) (3.45) A kalkulatzeko, s biderkatuz eta s=0 eginez. Bs Cs Ds y(s) = = A + + + 3 3 (s + ) (s + ) (s + ) (s + ) 3.46 ekuaziotik, A =. (3.46) B kalkulatzeko, (s+) 3 biderkatuz: A(s + ) s s 3 = + B + C(s + ) + D(s + ) (3.47) eta s=-. 3.47 ekuaziotik, B = -. C kalkulatzeko, 3.45 ekuazioan, (s+) biderkatuz eta s=- eginez, A(s + ) B y(s) = = + + C + D(s + ) s(s + ) s (s + ) Baina batugaietariko bat infinitu bihurtzen da. Ezin daiteke ebatz prozedura honen bidez. (3.48) Berdin D kalkulatzeko. Indeterminazio hori saihesteko, 3.46 ekuazioa deribatu behar da: 36

s A(s + ) = s (s ) + C + D(s + ) (3.49) B desagertzea eta C askatzea lortu da. s=- eginez, C = - kalkulatzen da. D kalkulatzeko, 3.49 ekuazioa berriz deribatuko da: s 3 = (s A s=-, D = -. + )(s s 3 s + ) + D (3.50) Eta azken emaitza: y(s) = 3 s (s + ) (s + ) (s + ) (3.5) Eta denboraren eremuan: -t t y(t) = - e + t + (3.5) 37

3.5 Erroen esanahi fisikoa Y(t)-ren itxura y(s)-ren izendatzailearen erroen araberakoa izango da. 3. irudia. Laplae transformatuaren izendatzailearen erroen esanahi fisikoa. 3. taula. Erroen balioaren eta denboraren eremuko erantzunaren arteko erlazioa. Erroak y(t), t > 0 izanik s C e -at s,s * e -at (C osb t + C senb t) s 3,s 3 * C osb 3 t + C senb 3 t s 4,s 4 * e a4t (C osb 4 t + C senb 4 t) s 5 C e a5t s 6 C 38

3.6 Laplae transformatuaren beste propietate batzuk 3.6. Azken balioaren teorema f(s) bada f(t)-ren Laplae transformatua: lim t [ f (t)] = lim [ sf (s)] s 0 (3.53) Teoremaren baliagarritasun-eremua: sf(s) ez denean infinitu bihurtzen s-ren edozein balio erreal positibotarako, Re(s) 0. Baldintza hori betetzen ez bada, f(t)-k ez dauka limiterik t doanean. 3.4 adibidea: y( s) = + 3 + 3 +. 3 s(s s s ) Azken balioaren teorema aplikatuz y(s) funtzioari: [ ] = = = + 3 + 3 + + lim y(t) lim t s 0 s 3 s s s ( ) 3 sy(s), s =- egiaztatzen denean, infinitua denez, BETE egiten da teorema hau. (3.54) 3.5 adibidea: 4 s 6s + 9s 8 3 + y(s) = s(s )(s s s ) sy(s) eralda daiteke: sy (s) 4 s 6s + 9s 8 = (s )(s + )(s + )(s ) (3.55) (3.56) s= eta s= betetzen denean, sy(s) infinitu denez, ez da teoremaren baliagarritasunerako baldintza betetzen, eta, beraz, y(s) funtzioak ez dauka limiterik. 39

3.6. Hasierako balioaren teorema f(s) bada f(t)-ren Laplae transformatua: lim t 0 [ f (t)] = lim [ sf (s)] s Teorema hau edozein f(t)-rentzat betetzen da. (3.57) 3.6.3 Transformatuaren translazioa f(s) bada f(t)-ren Laplae transformatua: { e f (t)} = f (s a) L at + Laplae transformatuaren aldagaia a unitate transladatu da. (3.58) 3.6.4 Funtzioaren translazioa f(s) bada f(t)-ren Laplae transformatua: st { f (t t )} = e f (s) L 0 0 t<0 izanik, f(t)=0 bada. (3.59) f(t-t 0 )-ren eta f(t)-ren arteko erlazioa irudian adierazitakoa da. f(t)-ren translazio horizontala baino ez da f(t-t 0 ), t 0 distantzia batera dagoena. 3. irudia. f(t-to)-ren eta f(t)-ren arteko erlazioa. 40

3.6 adibidea. Kalkulatu Laplae transformatua f (t) 0 = h 0 t < 0 0 < t < h t > h /h f(t) 0 h t f(t) bi funtzioren arteko kenketa gisa adieraz daiteke: [ ] f(t) = u(t) - u(t - h) h non u(t-h) baita maila-aldaketa unitarioko funtzioa h unitate transladatua (atzeratua). Beraz: (3.60) -hs e - e f(s) = - h s s = h s -hs Bulkada unitarioari dagokion Laplae transformatua kalkulatzeko baliagarria. 3.6.5 Bulkada unitarioa h 0 denean, puntu guztietan zero balio duen funtzioa lortzen da, jatorrian izan ezik, han infinitu balioa baitu. Funtzio horri δ(t) deritzo, Dira-en delta. Haren azpiko azalera unitatea da. (3.6) + δ(t)dt = δ(t)-ren Laplae transformatua kalkula daiteke, h 0 denean (L Hopital aplikatuz): (3.6) hs hs e se L{ (t)}= lim = lim = (3.63) h 0 hs h 0 s Bulkada-funtzioa oso baliagarria da kontrol-sistemen diseinurako. 4

3.6.6 Integral baten transformatua f(s) bada f(t)-ren Laplae transformatua: L { t } f ( t) dt 0 = f ( s) s (3.64) Integrazioa deribazioaren alderantzizkoa da!!! 4

4 GAIA: LEHEN MAILAKO SISTEMEN ERANTZUN DINAMIKOA Oinarrizko sistemen dinamika aztertuz gero, sistema konplexuagoen azterketa erraztu daiteke. Horretarako, sistema konplexuak oinarrizkoen konbinazioa direla joko da. Maila honetan ikasiko diren oinarrizko dinamikak lehen eta bigarren ordenakoak dira. Sistema bat lehen ordenakoa da (bere dinamika lehen ordenakoa da), hura deskribatzen duten ekuazio diferentzialak lehen mailako deribatuak direnean. 4. Transferentzia-funtzioa Demagun merkuriozko termometro bat dugula egoera ezegonkorrean. konbekzio-geruza y merkurioa x = giro-tenperatura y= neurtutako tenperatura beirazko pareta 4. irudia. Merkuriozko termometro baten ebakidura-gainazala. Demagun giro-tenperatura (x) denboran zehar aldatzen ari dela. Kalkulatu beharrekoa hau da: Tenperatura-aldaketa denborarekiko, y(t), x(t)-ren aldaketa mota (maila-aldaketa, bulkada, sinusoidala) kontuan izanda. Hurbilketak:. Bero-transmisiorako erresistentzia konbekzio-geruzan gertatzen da. Hau da, merkurio- eta beira-masa osoan zehar tenperatura uniformea da.. Merkurioak dauka bero-ahalmen osoa. 3. Pareta ez da uzkurtzen, ezta dilatatzen 43

Energia-balantzea egoera ezegonkorrean: dy ha(x - y) = mcp dt (4.) A: termometroaren azalera (m ) C p : merkurioaren bero espezifikoa (kal/kgºc) m: merkurioaren masa (kg) t: denbora (h) h: beroaren transmisiorako koefiziente indibiduala (kal/hm ºC). Orekan: ha(x - y ) = 0 t < 0 s s (4.) 4. eta 4. ekuazioen arteko kenketa eginez: s [ ] mcp ha (x - x ) - (y - y ) s Laburtzeko: X = x-x s eta Y = y-y s s d(y - y ) dt = (4.3) Beraz: [ ] ha X - Y mcp ha dy = mcp dt = τ, definituz: dy X - Y = τ dt Laplae transformatua: X(s) Y(s) = τsy(s) (4.4) (4.5) (4.6) Berrantolaturik: Y(s) X(s) = τ s + (4.7) Eskuineko funtzioari transferentzia-funtzio deritzo. Laplae eremuan, termometroaren neurketa / irteera-aldagaia eta giro-tenperatura / sarrera (maila-aldaketa, arrapala, eta abar) erlazioak adierazten ditu. 44

Haren alderantzizkoa kalkulatuz gero, denboraren eremuan erlazio bera lor daiteke, erantzun dinamikoa alegia. Edozein sistema aztertzean helburua izango da haren transferentzia-funtzioa lortzea. Oro har, lehen mailako sistema batentzat: Y(s) K G(s) = X(s) = τ s + G(s): transferentzia-funtzioa adierazteko sinboloa K: sistemaren irabazkina, (dimentsioa du). Sarrera-aldagaian maila-aldaketa unitario bat gertatzean, egoera egonkor berrian irteera-aldagaiak jasandako aldaketa da τ: denbora konstantea (denbora-unitateak) (4.8) Transferentzia-funtzioak sistemaren portaera dinamikoa OSOKI deskribatzen du. X(t) sarrera batentzat X(s) kalkula daiteke, eta, ondoren, sistemaren erantzuna, Y(s). Azken hori honela kalkulatzen da: Y(s) = G(s)X(s) (4.9) Y(s)-ren alderantzizkoa den Y(t) kalkulatuz. Grafikoki adierazita, bloke-diagrama baten bitartez: X(s) G(s) Y(s) 45

4. Maila-aldaketako perturbazio baten aurreko erantzuna Demagun sarrera maila-aldaketa gisa gertatu dela. A X(s) = s Lehen mailako sistema baten transferentzia-funtzioa: Y(s) X(s) K = τ s + (4.0) X(s) = A/s moduan adieraz daitekeen sarrera bat (A anplitudeko maila-aldaketa), lehen mailako dinamika duen sistema bati (lehen mailako transferentzia-funtzioa bati) eraginez, sistemaren erantzuna, Y(s), honela adieraz daiteke, K A Y(s) = τ s + s Laplae eremuan ebatziz gero, frakzioetan hedaturik: AK / τ C C Y(s) = = + s(s + / τ ) s s + / τ (4.) (4.) C =AK eta C =-AK kalkula daitezke. Ordeztuz eta alderantzizkoa kalkulatuz: Y(t) = 0 t<0 Y(t) = AK(-e -t/τ ) t 0. ordenako sistemen ezaugarri batzuk: t=τ denean, erantzuna azken balioaren % 63, da. t=τ,3τ, 4τ denean, erantzunak, hurrenez hurren, hauek izango dira % 86,5, % 95 eta % 98. Erantzunaren malda jatorrian: AK/τ. 4. irudia. Lehen ordenako sistema baten erantzuna maila-aldaketa baten aurrean. 46

4.3 Bulkada baten aurreko erantzuna Demagun A magnitudeko bulkada bat dugula: X(t) = Aδ(t) Errealitatean, bulkada perfektua ezinezkoa da. Ahalik eta iraupen laburreneko maila-aldaketa bat gertatu ohi da. Maila-aldaketaren kasuan bezala ebatziz, X(s) = sarrera lehen mailako transferentzia-funtzio bati eraginez, sistemaren erantzun hau lortzen da: K Y(s) = τ s + Berrantolaturik: K / Y(s) = τ s + / τ (4.3) Eta alderantzizkoa kalkulatuz: K = τ -t / Y(t) e τ (4.4) 4.3 irudia. Lehen ordenako sistema baten erantzuna bulkada baten aurrean. 47

4.4 Perturbazio sinusoidala Sarrera sinusoidal bat matematikoki honela adieraz daiteke: X(t) = 0 t<0 X(t) = A senωt t 0 Laplae eremuan: X(s) = Aω s + ω (4.5) (4.6) Sarrera mota horren aurrean sistemak duen erantzuna aztertzea oso baliagarria da kontrolteorian. Erantzun frekuentzialean oinarritutako hainbat diseinu-teoria daude. X(s) ordeztuz transferentzia-funtzioan: K / τ Aω Y(s) = G(s)X(s) = (4.7) s + / τ s + ω -t / τ AωKτe AωKτ AK Y(t) = - osω t + senωt τ ω + τ ω + τ ω + (4.8) Honako baliokidetasun trigonometriko hauek erabiliz: p osa + q sena = r sen(a+ θ) non r = p + q tanθ = q p 4.7 ekuazioa garatuz, adierazpen hau lortzen da: AωKτ AK Y(t) = e + sen( ω t + φ) -t / τ τ ω + τ ω + (4.9) (4.0) non φ = tan - (-ωτ)=- tan - (ωτ) betetzen baita. 48

Sistemaren erantzun dinamikoa aurrera doan heinean (t ), lehen batugaia zerorantz doa. Horregatik, egoera egonkorrean bigarren batugaia da erantzuna. AK Y(t) s = sen( ω t + φ) τ ω + (4.) Sarrera eta irteera konparatuz: X(t) = 0 t< 0 X(t) = A senωt t 0 AK Y(t) s = sen( ω t + φ) τ ω + (4.) Lehen ordenako sistema baten erantzun frekuentziala azterturik, ondorio nagusi hauek atera daitezke:. Erantzuna/irteera ere funtzio sinusoidala da, eta sarreraren frekuentzia (ω) berdina du.. Anplitude-erlazioa K/ τ ω + da, beti prozesuaren irabazkina (K) baino txikiagoa. 3. Erantzuna atzeratua izango da, angelu-fasea (φ) negatiboa delako, φ = -tan (ωτ). K eta τ ezagunak dituen lehen mailako sistema batean, anplitude-erlazioa eta erantzunaren fase-atzerapena w frekuentziaren menpekoak dira bakarrik. 49

4.5 Bode-ren diagrama Grafikoki sistema baten erantzun frekuentziala laburtzeko metodoa da. - log(anplitude-erlazioa) vs log(τω) - φ (fase-atzerapena) vs log(τω) Bode-ren diagrama, K-ren eta τ-ren hainbat baliotarako marraztu ohi da. ( ) artan ( ) φ = artan τ ω = τ ω (4.) Anplitude-erlazioa: B K A = τ ω + (4.3) Fase-angelua, ϕ Anplitude-erlazioa, B/A/K τ 4.4 irudia. Lehen mailako sistema bateko Bode-ren diagrama. Ohartu: w 0 w B/A=K B/A=0 50

4.6 NYQUIST-en diagrama G(iw)-ren alde erreal eta konplexuaren adierazpen grafikoa. Bode-ren informazio bera (anplitude-erlazioa hainbat frekuentziatarako) jasotzen da, baina irudian ez da adierazten B/A bakoitzari dagokion w-ren balioa. Angelu-fasea (φ) eta anplitude-erlazioa (B/KA) koordenatu polarretan adierazita daude. Alde imaginarioa B/A/K Alde erreala 4.5 irudia. Lehen mailako sistema baten Nyquist-en diagrama. 5

4.7 Lehen mailako sistemen adibideak 4.7. Gordailu bateko likido-mailaren aldaketa q(t) h(t) 4.6 irudia. Gordailu bateko likido-mailaren aldaketa. R q 0 (t) Balbulako emaria (q 0 ) altuerarekiko linealki proportzionala dela jota: q o h R =, m m s = s m 3 Sistema honentzat kalkula dezagun transferentzia-funtzioa: Materia-balantzea: dh q(t) - q 0(t) = A dt Aurreko bi ekuazioak konbinatuz: h dh q(t) - = A R dt Egoera egonkorrean, dh/dt = 0 betetzen bada: hs q - = 0 R s (4.4) (4.5) (4.6) (4.7) Azken bi ekuazioen kenketa eginez: d(h - h s) (q - q s) = (h - h s) + A R dt (4.8) Desbideratze-aldagaiak definituz: Q = q q s H = h h s Azkenean: dh Q = H + A R dt (4.9) 5

Laplae transformatua kalkulatuz: Q(s) = H(s) + AsH(s) R Berrantolaturik: H(s) R = Q(s) τ s + non τ = AR. ( ) m s m = s egiaztatzen baita (gogoratu τ-ren dimentsioa beti denbora (4.30) (4.3) dela). R = prozesuaren irabazkina. Azken balioa da egoera egonkor berrirako, sarreran maila- m aldaketa unitario bat eginez gero. Unitateak: 3 m s. - Q(t) maila-aldaketa unitario bat eginez gero, zenbat aldatuko litzateke H(t)? Q(t) Q(s) = /s Beraz: H(s) = R s τ s + (4.3) Azken balioaren teorematik: R H( t) = t lim [ sh( s) ] lim R s 0 = s 0τs + = Kontuan izan: Gordailuaren azalera (A, m ) handituz, τ altuagoa izango da; hau da, erantzuna geldoagoa izango da. 53

4.7. Nahasketa-prozesua Demagun nahasketa-gordailu bat dugula. x(t) q V 4.7 irudia. Nahasketa- edo homogeneizazio-sistema bat. y(t) y(t) q Hurbilketak: Nahasketaren dentsitatea konstantea da. Bolumena ez da aldatzen. Hau da, sarrerako eta irteerako emari bolumetrikoak konstante eta berdinak dira. Kalkula dezagun sarrerako eta irteerako kontzentrazioen arteko erlazioa. Materia-balantzea hau izango da: d(vy) qx - qy = dt Egoera egonkorrean: (4.33) qx - qy = s s 0 (4.34) Berrantolaturik eta desbideratze-aldagaiak harturik: X = x - x s Y = y y s Beraz: qx - qy = dy V dt (4.35) Laplae transformatua: Y(s) X(s) = τ s + non τ = V/q egiaztatzen baita. (4.36) 54

4.7.3 Beroturiko gordailua Demagun irudiko nahasketa perfektuzko erreaktore jarraitua dugula. Sarrera- eta irteeratenperaturak t eta t dira, hurrenez hurren. Kalkula dezagun nolako eragina duen t -eko eta t o - ko aldaketa batek erreaktoreko tenperaturan (t ). q,t V t 0 q,t (ur-lurruna, tenp. kte.) 4.8 irudia. Beroturiko CSTR bat. Energia-balantzea hau izango litzateke: dt q Cpt - q Cpt UA(t - t ) V Cp dt ρ ρ + 0 = ρ (4.37) U: bero-transmisiorako koefiziente globala A: bero-transmisiorako azalera t 0 Egoera egonkorreko energia-balantzea: qρcpt - qρ Cpt + UA(t - t ) = (4.38) s s 0s s 0 Desbideratze-aldagaiak definituz: T = T = T 0 = t t s t t s t0 t 0 s 4.37 eta 4.38 ekuazioen kenketa eginez hau lortzen da: dt ρ ρ + = ρ (4.39) [ ] q CpT - q CpT UA T0 - T V Cp dt 55

Laplae transformatua: [ ] qρcpt (s) - qρ CpT (s) + UA T (s) - T (s) = Vρ CpsT (s) (4.40) Berrantolaturik: 0 qρcp UA T (s) - T (s) + T 0(s) = τst (s) UA + qρ Cp UA + qρcp VρCp τ = UA + qρcp (4.4) (4.4) Eta hauek definituz: K K qρcp = UA + qρcp UA = UA + qρcp (4.43) (4.44) KT (s) - T (s) + K T 0(s) = τ st (s) (4.45) Eta T (s) askatuz: K K T (s) = T (s) + T 0(s) + τ s + τs (4.46) T (s) eta T (s) erlazionatzen dituen transferentzia-funtzioa hau izango da: T (s) K = = G (s) T (s) + τs (4.47) Era berean, T (s) eta T 0 (s) erlazionatzen dituen transferentzia-funtzioa hau da: T (s) K = = G (s) T (s) + τs 0 (4.48) 56

Kontuan izan: Erantzunaren azkartasunari dagokionez (4.4 ekuazioa): a) V handituz, τ handitu egiten da. Horrela, 4.47 eta 4.48 ekuazioen arabera, T -ren aldaketa motelagoa da T -en edo T 0 -ren aldaketa baten aurrean. V b) q>> bada, τ = izango da orain. T -ren erantzuna azkarrago gertatuko da. q VρCp ) q<< bada, τ = da. UA Operazio-baldintzek eragina dute prozesuaren dinamikan! Irabazkinari dagokionez (4.43 eta 4.44 ekuazioak), a) q>> bada, K = eta K =0 egiaztatzen da. T -ren azken balioa ez da berotze-atorraren menpekoa, bakarrik T -en aldaketaren araberakoa. b) q<< bada, K =0 eta K = egiaztatzen da. Aldiz, T -ren azken balioa ez da sarrerako emariaren tenperaturaren (T 0 -ren) aldaketaren menpekoa. Bloke-diagrama baten bitartez: T (s) G (s) T 0 (s) G (s) + + T (s) 4.9 irudia. Gordailu baten tenperaturaren bloke-diagrama. 57

5 GAIA: LINEALIZAZIOA ETA SISTEMEN ARTEKO INTERAKZIOA Orain arte sistema linealak ikusi dira, baina errealitatean ez-linealak ugariago dira. Hurbilketa onargarriak lor daitezke linealizatuz eta Laplae transformatua erabiliz. Ordenagailuak ekuazio diferentzial korapilatsuen emaitza aljebraikoki ebatz dezake. Baina dinamika ez, emaitza partikularra. da. Ez da oso baliagarria KSren diseinurako. Aldiz, gogoratu Laplae transformatua erabili ahal izateko prozesuak lineala izan behar duela. Mugak: egoera nominalaren inguruan eta ez-linealtasuna oso nabaria ez denean bakarrik dira erabilgarriak linealizazio-teknikak. Adibidez, NaOH gehituz (sarrera-aldagaia) egiten den neutralizazio-prozesu bat (ph-aldaketa da irteera-aldagaia) oso ez-lineala da; beraz, ezinezkoa litzateke honelako teknikak erabiltzea. 5. Linealizazio-teknikak Aurreko adibidera itzulita: q(t) h(t) 5. irudia. Nahasketa-sistema baten likido-maila. Erresistentzia ez-lineala q 0 (t) Irteerako emariaren eta likido-altueraren arteko erlazioa koadratikoa da: q 0 = Ch / non C konstante bat baita. (5.) Materia-balantzea: dh q(t) - q 0(t) = A dt (5.) 58

Berrantolaturik: / dh q - Ch = A dt (5.3) Ondorioz, sistema deskribatzen duen 5.3 ekuazio diferentziala ez-lineala denez, ezin daiteke ohiko prozedurarik erabili. Aldiz, q 0 (h) funtzioa Taylor serie gisa heda daiteke polinomio batera, h s -ren inguruan: n n q 0(h s)(h - h s) q 0(h s)(h - h s) q0 = q0s + q 0(h s)(h - h s) + +... + (5.4)! n! q 0 (h s ): q 0 -ren lehen deribatua h s puntuan q 0 (h s ): q 0 -ren bigarren deribatua h s puntuan 5.4 ekuazioan termino lineala bakarrik kontuan hartuz: q = q (h ) + q (h )(h - h ) 0 0 s 0 s s (5.5) - / 5. ekuazioaren bidez q 0(h s) = Chs kalkulatuz eta 5.5 ekuazioan ordeztuz: - / q0 = q 0(h s) + Chs (h - h s) = q 0(h s) + (h - h s) (5.6) R Eta han: Ch s R = - / 5.6 ekuazioa 5. ekuazioan ordeztuz, materia-balantzea honela gelditzen da: h - h R = s q - q0s - A dh dt Egoera egonkorrean: q s = q 0s (5.7) (5.8) (5.9) Aldiz, 5.8 eta 5.9 ekuazioen kenketa eginez: dh A dt h - h R s + = q - q s (5.0) Desbideratze-aldagaiak erabiliz: Q = q - q s eta H = h h s 59

Laplae transformatua kalkulatuz: H(s) Q(s) R = τ s + (5.) C τ = AR non = R h Sistema linealarentzat lortu zen transferentzia-funtzio berbera lortu da. Erresistentzia (R) egoera egonkorrean ezarritako baldintzen menpekoa da. (5.) - Grafikoki, /R-ren balioa (q 0s, h s ) puntutik pasatzen den lerro tangentearen malda da. Ohartu 5.6 ekuazioa q0 = q0( hs ) + ( h - hs ) tangentearen ekuazioa dela. R - Hurbilketa lineala desegokia izango da, likido-maila egoera egonkorretik asko urruntzean. - Sistemaren oszilazioa nabaria bada, linealizazioak eredu desegokia emango luke. q Tangentearen malda= /R q 0s q 0 =Ch / 5. irudia. Irteera-emariaren eta altueraren arteko erlazioa. 0 0 h h s 60

5.. Sistema ez-lineal baten adibidea Demagun irudiko erreakzio-sistema dugula. Erreakzio exotermikoa lehen ordenakoa da, eta erreaktore eta atorra nahasketa perfektuan daude. Helburua izango da behean adierazitako sarrera- eta irteera-aldagaien arteko erlazioa. A B Erreaktorean Sarrera: C Ai,T i Irteera: T, C A Atorrean Sarrera: T i Irteera: T F, C Ai,T i F, T, C A V F, T F, T i 5.3 irudia. Nahasketa perfektuzko erreaktorea hozte-atorrarekin. Erreaktorean: A osagaiarekiko materia balantzea: d(vc ) dt -E /RT A Ai A 0 A = (5.3) FC - FC - k e VC Energia-balantzea: F C T - F C T (- H )k e VC - UA(T - T ) d(vρc T) -E/RT p ρ p i ρ p + R 0 A C = (5.4) dt E / RT e CA terminoa ez-lineala da; T s eta C As inguruan termino hori linealizatu behar da. 6

+ + = E /RT E /RT (e C ) (e C ) A As s A As T C (T,C ) A (T,C ) E /RT E /RTs A A e C e C (T T ) (C C ) s As s As -E /RT E s -E /RT s -E /RTs e CAs + e C As (T - T s) + e (CA - C As) RTs (5.5) E / RT Orain, e CA daiteke. terminoa T-rekiko eta C A -rekiko lineala den 5.5 ekuazioaren bidez ordeztu Bestalde, egoera egonkorrean materia eta energia-balantzeak: MB FC - FC - k e VC = EB: -E /RT s Ais As 0 As 0 FρC T - Fρ C T + (- H )k e VC - UA(T - T ) = (5.7) -E / RT s p is p s R 0 As s s 0 (5.6) Eta egoera ezegonkorrekoaren eta egoera egonkorrekoaren arteko kenketa eginez: k E dca F 0 -E /RTs -E /RTs = (C Ai - C A ) - e C As T - ( k 0 e ) C A dt V RTs dt F (- H R) E -E /RT s -E /RT UA s = (T i - T ) + k0 e C As T + e C A - (T - T C) dt V ρcp RTs ρcpv (5.8) (5.9) Han, desbideratze-aldagaiak defini daitezke (t=0 izanik, 0 balio dute): C = C - C A A As C = C - C Ai Ai Ais T = T - T T = T - T s i i is T = T - T C C Cs k E dca F 0 -E /RTs -E /RTs = (C Ai - C A ) - e C As T - ( k 0 e ) C A dt V RTs (5.0) 6

dt F (- H R) E -E /RT s -E /RT UA s = (T i - T ) + k0 e C As T + e C A - (T - T C) dt V ρcp RTs ρcpv (5.) 5.0 eta 5. ekuazioen Laplae transformatuak kalkulatuz: F k 0E -E /RT s s sc ( -E /RT A(s) = (C Ai(s) - C A(s)) - e CAs T (s) - k 0e ) C A(s) V RTs F (- H R) E -E /RT s -E /RTs st (s) = (T(s) i - T (s)) + k0 e C As T (s) + e C A(s) V ρcp RTs UA (T (s) T C (s)) ρc V p (5.) (5.3) 5. eta 5.3 ekuazioak berrantolaturik: F -E /RT F k s 0E -E /RT s s + + k 0e C A(s) = C Ai(s) - e C As T (s) V V RTs F (- H R ) E -E /RT UA F s s + - k0 e C As + T (s) = T(s) i + V Cp RTs CpV ρ ρ V (- H ) UA C ρc V R + 0 A + ρcp -E /RTs k e C (s) T (s) p (5.4) (5.5) 63

C A (s) eta T (s) askatuz: VCAsk 0E F RTs -E/RTs -E/RTs F + Vk0e Fe + Vk0 C A(s) = C Ai(s) - T (s) V V s + s -E/RT + s -E/RT s F + Vk0e F + Vk0e (5.6) FCpRT s -E /RTs FρCpRTs - (- H R)k 0VCAsEe + UART s T (s) = T(s) i + ρcpvrt s s + -E /RTs F CpRTs - (- H R )k 0VCAsEe UART ρ + s VRT (- H )k e FρC RT - (- H )k VC Ee + + ρc VRT FρC RT - (- H )k VC Ee + -E /RTs s R 0 -E /RTs p s R 0 As UARTs p s -E /RTs p s R 0 As UARTs C A(s) + s + UART s -E /RTs FρCpRTs - (- H R)k 0VCAsEe + UART s + T C(s) ρcpvrts s + -E /RTs F CpRTs - (- H R)k 0VCAsEe UART ρ + s (5.7) 64

Laplae eremuan ekuazio hauek edukiko genituzke: K K C A(s) = C Ai(s) - T (s) ( τ s + ) ( τ s + ) K K K T (s) = T(s) + C (s) + T (s) τ + τ + τ + 3 4 5 i A C s s s (5.8) (5.9) τ eta τ denbora konstanteak dira, eta K,...,K 5 irabazkinak. Haien balioa 5.6 eta 5.7 ekuazioen bidez kalkula daiteke. Azkenik, 5.8 eta 5.9 ekuazioak honela laburtu daitezke: C (s) = G C (s) - G T (s) A Ai (5.30) T (s) = G T (s) + G C (s) + G T (s) (5.3) 3 i 4 A 5 C 65

5. Lehen mailako sistemen erantzuna Eskuarki, edozein sistema errealen erantzuna adieraz daiteke lehen mailako hainbat sistema seriean baleude bezala. Sistema horien artean bi egoera gerta daitezke. A) Interakziorik gabe B) Interakzioarekin A) q(t ) B) A q (t ) A h R A q h R h R h A R q q q 5.4 irudia. Bi gordailuetako likido-mailaren aldaketa. A) Interakziorik gabe. B) Interakzioarekin. 5.. Interakziorik gabe Helburua da h aldagaia q emariarekiko nola aldatzen den aztertzea (erantzun dinamikoa). Lehen gordailuko materia-balantzea idatziz: = dh q - q A dt (5.3) Bigarren gordailuko materia-balantzea: = dh q - q A dt (5.33) Emaria eta gordailuaren altuera erresistentzia konstante baten bidez erlazionatuta daudela (hau da, erlazioa lineala dela) onartuz: q q h = R h = R (5.34) (5.35) 66

5.3 eta 5.34 konbinatuz eta desbideratze-aldagaiak hartuz: Q (s) Q(s) = τ s + (5.36) non Q =q -q s, Q=q-q s eta τ =R A egiaztatzen baitira. Era berean, bigarren gordailuan: H (s) R = Q (s) τ + s (5.37) non H =h -h s, eta τ =R A egiaztatzen baitira. Azkenik, kalkulatu nahi genuen transferentzia-funtzioa: H (s) R = Q(s) τ s + τ s + (5.38) Oro har, interakziorik gabeko n sistematarako: X 0 K X K X X i- Ki K X n n τ + τ s + τ s + τ s + s i X i X n- n Transferentzia-funtzio indibidualak hauek badira: X (s) X (s) K X (s) K = ; = ;...; τ + X (s) τ s + 0 s X (s) K = X (s) τ s + n n n- n Transferentzia-funtzio orokorra honela idatz daiteke: X (s) X (s) n n i = 0 τ is + i= K (5.39) 67

5.5 irudia. Erantzun dinamikoa, maila-aldaketa unitario baten aurrean, lehen mailako n prozesuz osaturiko sistema batentzat. n altuagoa bada, erantzuna geldoagoa izango da. n=, jatorrian, (t=0) erantzunaren abiadura maximoa da. n>, jatorrian, erantzunaren malda zero da. 68

5.. Interakziodun sistemak q (t ) A A h R h R q q 5.6 irudia. Interakziodun sistema bat. Materia-balantzea lehen gordailuan: = dh q - q A dt (5.40) Materia-balantzea bigarren gordailuan: = dh q - q A dt (5.4) Emariaren eta altueraren arteko erlazioak: q = (h - h ) q R h = R (5.4) (5.43) Egoera egonkorrean, materia-balantzea: q s q s = 0 q s q s = 0 (5.44) (5.45) 69