Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Στόχοι- Υποστόχοι- Δραστηριότητες Ασημίνα Ασβεστά, Κωνσταντίνα Ζαχαροπούλου, Σοφία Αιζενμπαχ
Πείραμα Τύχης Πιθανότητα Ενδεχομένου
ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΥΧΗΣ Α Β Γ Δ Ε ΣΤ Περιγράφουν όλα τα δυνατά αποτελέσματα (δειγματικός χώρος) σε απλά πειράματα τύχης ενός σταδίου. Χαρακτηρίζουν ένα παιχνίδι τύχης δίκαιο- άδικο (τριών ή περισσότερων ενδεχομένων). Διερευνούν τα αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης πραγματοποιώντας πολλές δοκιμές. Καταγράφουν τα χαρακτηριστικά ενός πειράματος τύχης και προβλέπουν τη συχνότητα εμφάνισης ενός ενδεχομένου κατά την επανάληψη ενός πειράματος. Διερευνούν τη σχετική συχνότητα εμφάνισης ενός ενδεχομένου κατά την επανάληψη ενός πειράματος τύχης. Περιγράφουν το δειγματικό χώρο ενός πειράματος τύχης δύο σταδίων. Συνδυάζουν μικρό αριθμό αντικειμένων. Συνδυάζουν και διατάσσουν μικρό αριθμό αντικειμένων. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΟΥ Περιγράφουν ένα ενδεχόμενο ως βέβαιο, πιθανό, απίθανο, αδύνατο. Συγκρίνουν ενδεχόμενα ως προς την πιθανότητα εμφάνισής τους (λιγότερο πιθανό, περισσότερο πιθανό, ισοπίθανο). Εκτιμούν την πιθανότητα ενός ενδεχομένου σε κλίμακα με εύρος από αδύνατο ενδεχόμενο έως βέβαιο ενδεχόμενο. Εκτιμούν την πιθανότητα ενός ενδεχομένου σε κλίμακα με εύρος από αδύνατο ενδεχόμενο έως βέβαιο ενδεχόμενο- η μέση αντιπροσωπεύει το ίδιο πιθανό να συμβεί όσο το να μη συμβεί (50-50). Υπολογίζουν την πιθανότητα ενός ενδεχομένου χρησιμοποιώντας κλάσματα. Υπολογίζουν την πιθανότητα ενός ενδεχομένου ως κλάσμα και την συγκρίνουν με τη σχετική συχνότητα των αποτελεσμάτων που προκύπτουν από την πραγματοποίηση ενός πειράματος τύχης.
Πείραμα Τύχης Πιθανότητα Ενδεχομένου
ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΥΧΗΣ Α Β Γ Δ Ε ΣΤ Περιγράφουν όλα τα δυνατά αποτελέσματα (δειγματικός χώρος) σε απλά πειράματα τύχης ενός σταδίου. Χαρακτηρίζουν ένα παιχνίδι τύχης δίκαιο- άδικο (τριών ή περισσότερων ενδεχομένων). Διερευνούν τα αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης πραγματοποιώντας πολλές δοκιμές. Καταγράφουν τα χαρακτηριστικά ενός πειράματος τύχης και προβλέπουν τη συχνότητα εμφάνισης ενός ενδεχομένου κατά την επανάληψη ενός πειράματος. Διερευνούν τη σχετική συχνότητα εμφάνισης ενός ενδεχομένου κατά την επανάληψη ενός πειράματος τύχης. Περιγράφουν το δειγματικό χώρο ενός πειράματος τύχης δύο σταδίων. Συνδυάζουν μικρό αριθμό αντικειμένων. Συνδυάζουν και διατάσσουν μικρό αριθμό αντικειμένων.
Πείραμα Τύχης Πιθανότητα Ενδεχομένου
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΟΥ Α Β Γ Δ Ε ΣΤ Περιγράφουν ένα ενδεχόμενο ως βέβαιο, πιθανό, απίθανο, αδύνατο. Συγκρίνουν ενδεχόμενα ως προς την πιθανότητα εμφάνισής τους (λιγότερο πιθανό, περισσότερο πιθανό, ισοπίθανο). Εκτιμούν την πιθανότητα ενός ενδεχομένου σε κλίμακα με εύρος από αδύνατο ενδεχόμενο έως βέβαιο ενδεχόμενο. Εκτιμούν την πιθανότητα ενός ενδεχομένου σε κλίμακα με εύρος από αδύνατο ενδεχόμενο έως βέβαιο ενδεχόμενο- η μέση αντιπροσωπεύει το ίδιο πιθανό να συμβεί όσο το να μη συμβεί (50-50). Υπολογίζουν την πιθανότητα ενός ενδεχομένου χρησιμοποιώντας κλάσματα. Υπολογίζουν την πιθανότητα ενός ενδεχομένου ως κλάσμα και την συγκρίνουν με τη σχετική συχνότητα των αποτελεσμάτων που προκύπτουν από την πραγματοποίηση ενός πειράματος τύχης.
Περιγράφουν όλα τα δυνατά αποτελέσματα (δειγματικός χώρος) σε απλά πειράματα τύχης ενός σταδίου. Α! Παίζουν παιχνίδια πραγματοποιώντας απλά πειράματα τύχης ενός σταδίου (π.χ. ζάρι, κέρμα, χρωματιστές μπάλες σε σακουλάκι, τροχός της τύχης).! Χρησιμοποιούν καθημερινή γλώσσα για να περιγράφουν την διαδικασία ενός πειράματος τύχης καθώς και τα δυνατά αποτελέσματά του. Ρίξε ένα ζάρι 5 φορές. Τι αριθμούς έφερες; Απάντησε στις παρακάτω ερωτήσεις: Τι αριθμούς μπορείς να φέρεις; Τι έφερες την πρώτη φορά; Τη δεύτερη; Εφερες κάποιον αριθμό πάνω από μια φορές;
Συνδυάζουν μικρό αριθμό αντικειμένων. Α! Συνδυάζουν ζεύγη από πεπερασμένο αριθμό αντικειμένων. Ο Κωστής θέλει να πάει σε ένα πάρτι, αλλά δεν ξέρει τι να φορέσει. Εχει μια πράσινη και μια μπλε μπλούζα, ένα μαύρο και ένα άσπρο παντελόνι. Βοήθησε τον Κωστή να βρει με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να φορέσει τα ρούχα του.
Συνδυάζουν και διατάσσουν μικρό αριθμό αντικειμένων. Β! Συνδυάζουν ζεύγη από πεπερασμένο αριθμό αντικειμένων και να τα οργανώνουν σε πίνακα. Η Μαρία θέλει να πάει σε ένα πάρτι, αλλά δεν ξέρει τι να φορέσει. Εχει μια πράσινη, μια μπλε μπλούζα, ένα μαύρο, ένα άσπρο παντελόνι, μια κίτρινη φούστα και μια ροζ φούστα. Βοήθησε τη Μαρία να βρει με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να φορέσει τα ρούχα της. Οργανώστε τις απαντήσεις σας σε ένα πίνακα. Σε αυτό το στόχο συνδυάζουν μεγαλύτερη ποικιλία αντικειμένων από ότι στης Α και οργανώνουν τις απαντήσεις σε πίνακα.
Χαρακτηρίζουν ένα παιχνίδι τύχης δίκαιο- άδικο (τριών ή περισσότερων ενδεχομένων). Α! Ξεχωρίζουν ότι ένα αποτέλεσμα είναι πιο πιθανό να εμφανιστεί από κάποιο άλλο και έτσι να χαρακτηρίζουν ένα παιχνίδι τύχης ως δίκαιο ή άδικο.! Να προσαρμόζουν τους κανόνες ενός άδικου παιχνιδιού τύχης ώστε να γίνει δίκαιο. Χωριζόμαστε σε δύο ομάδες. Η κάθε ομάδα έχει από ένα τροχό που είναι χωρισμένος σε μέρη με διαφορετικό χρώμα. Ο ένας τροχός είναι χωρισμένος σε τρία μέρη: μπλε, κόκκινο και κίτρινο και ο άλλος σε δύο: κόκκινο και μπλε. Γυρνάμε τον τροχό και κερδίζει η ομάδα που θα δείξει το βέλος του τροχού της περισσότερες φορές κόκκινο. Ποια ομάδα είναι πιο εύκολο να νικήσει; Γιατί; Τι πρέπει να κάνουμε για να είναι το ίδιο εύκολο να τύχουν οι δύο ομάδες κόκκινο;
Διερευνούν τα αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης πραγματοποιώντας πολλές δοκιμές. Γ! α. Περιγράφουν όλα τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης ενός σταδίου.! β. Κάνουν προβλέψεις για τα αποτελέσματα που θα προκύψουν από την επανάληψη του πειράματος.! γ. Εκτελούν πολλές επαναλήψεις του πειράματος και καταγράφουν κάθε φορά τα αποτελέσματα.! δ. Συγκρίνουν τα αποτελέσματα που προκύπτουν από την επαναλαμβανόμενη εκτέλεση του πειράματος με τις προβλέψεις τους. Εχουμε ένα μαύρο κουτί με δύο κίτρινες και δύο μπλε μπάλες. Ο κάθε μαθητής της τάξης τραβάει μια μπάλα και μετά την επανατοποθετεί στο κουτί. α. Ποια είναι τα δυνατά χρώματα που μπορεί να τραβήξει; β. Ποιο χρώμα πιστεύετε ότι θα εμφανιστεί περισσότερες φορές; γ. Καταγράψτε τα αποτελέσματα του παιχνιδιού. δ. Συγκρίνετε τα αποτελέσματα με τις προβλέψεις σας. Η ίδια διαδικασία επαναλαμβάνεται με κουτί που περιέχει μια κίτρινη και τρεις μπλε μπάλες. Σε αυτή την δραστηριότητα δίνεται έμφαση στο δειγματικό χώρο και κατά πόσο επηρεάζει αυτός τα αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης.
Καταγράφουν τα χαρακτηριστικά ενός πειράματος τύχης και προβλέπουν τη συχνότητα εμφάνισης ενός ενδεχομένου κατά την επανάληψη ενός πειράματος. Δ! α. Περιγράφουν το δειγματικό χώρο ενός πειράματος τύχης ενός σταδίου.! β. Κάνουν προβλέψεις για τα αποτελέσματα που θα προκύψουν από την επανάληψη του πειράματος.! γ. Εκτελούν πολλές επαναλήψεις του πειράματος και καταγράφουν κάθε φορά τα αποτελέσματα.! δ. Συγκρίνουν τα αποτελέσματα που προκύπτουν από την επαναλαμβανόμενη εκτέλεση του πειράματος με τις προβλέψεις τους. Εχουμε ένα μαύρο κουτί με 1 μπλε και 3 κίτρινες μπάλες. Ο κάθε μαθητής της τάξης τραβάει μια μπάλα και μετά την επανατοποθετεί στο κουτί. α. Ποιος είναι ο δειγματικός χώρος; β. Ποιο χρώμα πιστεύετε ότι θα εμφανιστεί περισσότερες φορές αν τραβήξουν 3 μαθητές; γ. Καταγράψτε τα αποτελέσματα του παιχνιδιού. δ. Συγκρίνετε τα αποτελέσματα με τις προβλέψεις σας. Επαναλαμβάνουμε το παιχνίδι για όλους τους μαθητές της τάξης. Δίνονται επιπλέον οι έννοιες με ορισμούς όσων εμπειρικά έψαχναν οι μαθητές στην Γ τάξη (εννοιολόγηση). Ειδικότερα, με αφορμή αυτόν τον υποστόχο θα δοθούν οι εξής όροι κατά τη διάρκεια του μαθήματος: δειγματικός χώρος πειράματος τύχης ενδεχόμενα και ευνοϊκά ενδεχόμενα. Σε αντιδιαστολή με την αντίστοιχη δραστηριότητα της Γ τάξης στη συγκεκριμένη δραστηριότητα ο δειγματικός χώρος παραμένει ίδιος και δίνεται έμφαση στον διαφορετικό αριθμό επαναλήψεων του πειράματος τύχης.
Διερευνούν τη σχετική συχνότητα εμφάνισης ενός ενδεχομένου κατά την επανάληψη ενός πειράματος τύχης. Ε! Υπολογίζουν ως κλάσμα τη σχετική συχνότητα (εμπειρική πιθανότητα): ΦΟΡΕΣ ΠΟΥ ΕΜΦΑΝΙΣΤΗΚΕ ΤΟ ΕΥΝΟΪΚΟ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΟ ΣΥΝΟΛΟ ΔΟΚΙΜΩΝ Εχουμε ένα ζάρι με δειγματικό χώρο 1,2,3,4,5 και 6. Αφού ρίξαμε το ζάρι 5 φορές τύχαμε 2,4,1, 6, 2. Ποια είναι η σχετική συχνότητα του αριθμού 4; Του 2;! Συγκρίνουν τη σχετική συχνότητα (εμπειρική πιθανότητα) που προκύπτει από την επανάληψη ενός πειράματος τύχης ενός σταδίου με τις προβλέψεις τους. Ρίχνουμε ένα ζάρι 20 φορές. Πόσες φορές πιστεύετε πως θα εμφανιστεί το 6; Καταγράψτε τα αποτελέσματα από την ρίψη του. Υπολογίστε με κλάσμα τη σχετική συχνότητα εμφάνισης του 6. Συγκρίνετε με τη πρόβλεψή σας.
Περιγράφουν το δειγματικό χώρο ενός πειράματος τύχης δύο σταδίων. ΣΤ! Αναπαριστούν τον δειγματικό χώρο ενός πειράματος τύχης δύο σταδίων είτε με λίστα είτε με δενδροδιάγραμμα.! Διερευνούν αν τα προηγούμενα αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης επηρεάζουν τα επόμενα: α. Δίνοντας καθημερινά παραδείγματα. β. Εξετάζοντας περιπτώσεις πειραμάτων τύχης δύο σταδίων με ή χωρίς αντικατάσταση αντικειμένων. Ρίξτε τα ζάρια δύο φορές το ένα μετά το άλλο. Να αναπαραστήσετε το δειγματικό χώρο με λίστα και δενδροδιάγραμμα. Ο Παύλος και ο Γιώργος μόλις αγόρασαν ένα κουτί με 7 σοκολατάκια πραλίνας, 5 φράουλας, 5 κεράσι και 7 μπανάνας. Η μαμά τους για να μην μαλώνουν ποιος θα φάει τα περισσότερα με την πραλίνα και τη φράουλα, που είναι τα αγαπημένα τους, τους έβαλε να διαλέξουν από ένα σοκολατάκι. Ποια είναι η πιθανότητα να φάει ο Γιώργος σοκολατάκι πραλίνας; Ο Παύλος τι πιθανότητα θα έχει να φάει πραλίνας πάλι; Αν η μαμά τους πριν διαλέξουν τα παιδιά πάρει 2 σοκολατάκια κεράσι και 2 μπανάνας και τα αντικαταστήσει με 4 πραλίνας τι πιθανότητες έχουν τώρα τα αγόρια να φάνε σοκολατάκι πραλίνας; Σοκολατάκι μπανάνας; Σε αντίθεση με όλες τις προηγούμενες τάξεις γίνεται λόγος για πειράματα τύχης δύο σταδίων και όχι για απλά πειράματα τύχης ενός σταδίου.
Περιγράφουν ένα ενδεχόμενο ως βέβαιο, πιθανό, απίθανο, αδύνατο. Α! Λένε ότι ένα γεγονός «θα συμβεί», «ίσως συμβεί» και «δεν θα συμβεί». Ποιο από τα παρακάτω σίγουρα θα συμβεί, ίσως θα συμβεί, σίγουρα δεν θα συμβεί: Εχεις μια σακούλα που μέσα έχει μόνο πράσινες μπάλες, άμα τραβήξεις μια μπάλα θα είναι πράσινη. Ρίχνεις ένα κέρμα. Θα τύχεις κορώνα. Θα σε πάρει τηλέφωνο ένας φίλος σου. Είσαι κορίτσι, μπορείς αύριο να ξυπνήσεις αγόρι. Θα ξημερώσει. Θα μιλήσεις με ένα σκύλο.
Συγκρίνουν ενδεχόμενα ως προς την πιθανότητα εμφάνισής τους (λιγότερο πιθανό, περισσότερο πιθανό, ισοπίθανο). Β! Περιγράφουν ένα ενδεχόμενο ως βέβαιο, πιθανό και αδύνατο.! Αναλύουν το «ίσως συμβεί- πιθανό» σε: «λιγότερο πιθανό», «ισοπίθανο- ίδιο πιθανό» και «περισσότερο πιθανό». Ποιο από τα παρακάτω «Σίγουρα θα συμβεί. Είναι βέβαιο», «Ισως να συμβεί. Είναι πιθανό», «Σίγουρα δεν θα συμβεί. Είναι αδύνατο»: Εχεις μια σακούλα που μέσα έχει μόνο πράσινες μπάλες, άμα τραβήξεις μια μπάλα θα είναι πράσινη. Ρίχνεις ένα κέρμα θα τύχεις κορώνα. Θα σε πάρει τηλέφωνο ένας φίλος σου. Είσαι κορίτσι, μπορείς αύριο να ξυπνήσεις αγόρι. Θα ξημερώσει. Θα μιλήσεις με ένα σκύλο. Χρησιμοποιούνται οι έννοιες βέβαιο, αδύνατο, πιθανό στη θέση των εκφράσεων «θα συμβεί», «ίσως συμβεί», «δεν θα συμβεί», που χρησιμοποιήθηκαν στην Α τάξη. Ακόμα αναλύεται η έκφραση «ίσως συμβεί» περαιτέρω. Πόσο πιθανό είναι: Να βρέξει το καλοκαίρι ή το χειμώνα; Να γεννηθεί αγόρι ή κορίτσι; Να κάνει κρύο στην Β. Ελλάδα ή στη Ν. Ελλάδα; Να τύχεις κορώνα ή γράμματα ρίχνοντας ένα κέρμα;
Εκτιμούν την πιθανότητα ενός ενδεχομένου σε κλίμακα με εύρος από αδύνατο ενδεχόμενο έως βέβαιο ενδεχόμενο. Γ! Κατηγοριοποιούν τα ενδεχόμενα μιας λίστας καθημερινών γεγονότων ή τα ενδεχόμενα απλών πειραμάτων τύχης ενός σταδίου στις εξής κατηγορίες: αδύνατο, απίθανο, πιθανό και βέβαιο.! Δίνουν απλά παραδείγματα αδύνατων, απίθανων, πιθανών και βέβαιων γεγονότων στην καθημερινή ζωή. Τοποθετήστε τις παρακάτω προτάσεις στον πίνακα: Να φέρεις 2 με ένα ζάρι. Να βρέχει τον Ιούλιο στην Ελλάδα. Να φέρεις 8 με ένα κανονικό ζάρι. Να συναντήσεις ένα φίλο σου στο σχολείο. Να είσαι ταυτόχρονα και στην κουζίνα και στην αυλή. Να πέσει ένα αεροπλάνο. Αν κοπείς θα βγάλεις αίμα. Να καταστραφεί η γη από μετεωρίτη. αδύνατο απίθανο πιθανό βέβαιο Σε αυτήν την τάξη εισάγεται η έννοια του απίθανου ενδεχομένου και γίνεται η διάκριση με το αδύνατο ενδεχόμενο. Δώστε δικά σας παραδείγματα αδύνατων, απίθανων, πιθανών και βέβαιων γεγονότων από την καθημερινή ζωή.
Εκτιμούν την πιθανότητα ενός ενδεχομένου σε κλίμακα με εύρος από αδύνατο ενδεχόμενο έως βέβαιο ενδεχόμενο - η μέση αντιπροσωπεύει το ίδιο πιθανό να συμβεί όσο το να μη συμβεί (50-50). Δ! Εκτιμούν την πιθανότητα ενός ενδεχομένου αξιοποιώντας μια κλίμακα με τις εξής διαβαθμίσεις: αδύνατο, απίθανο, σπάνιο ισοπίθανο, πιθανό, σχεδόν βέβαιο και βέβαιο.! Αντιστοιχίζουν το βέβαιο ενδεχόμενο με τον αριθμό 100 σε μια κλίμακα από το 0 έως το 100, το αδύνατο με το 0 και το ισοπίθανο με το 50, δηλαδή έχει την ίδια πιθανότητα και να συμβεί με αυτή να μην συμβεί. Παίζετε με τους φίλους σας τροχό της τύχης. Κατατάξτε στην παρακάτω κλίμακα τα εξής ενδεχόμενα: Να τύχω πορτοκαλί χρώμα. Να τύχω κόκκινο χρώμα. Να τύχω το άσπρο τρεις συνεχόμενες φορές. Να σταματήσει ο δείκτης στη μαύρη διαχωριστική γραμμή. Να δείξει ο δείκτης ένα χρώμα. Να δείχνει ο δείκτης ένα χρώμα κάθε φορά. Στην Δ εισάγονται επιπλέον οι έννοιες σπάνιο ενδεχόμενο και σχεδόν βέβαιο ενδεχόμενο και χρησιμοποιείται πρώτη φορά κλίμακα αριθμημένη από το 0 έως το 100 για την εκτίμηση της πιθανότητας ενός ενδεχομένου. Ετσι γίνεται μια εισαγωγή στον υπολογισμό της πιθανότητας με ποσοστά. Στην παραπάνω κλίμακα πού θα μπορούσε να αντιστοιχεί ο αριθμός 100, 50 και 0;
Υπολογίζουν την πιθανότητα ενός ενδεχομένου χρησιμοποιώντας κλάσματα. Ε! Υπολογίζουν ως κλάσμα την πιθανότητα ενδεχομένου: ΠΛΗΘΟΣ ΕΥΝΟΪΚΩΝ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠΛΗΘΟΣ ΔΥΝΑΤΩΝ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΩΝ! Αναγνωρίζουν ότι οι πιθανότητες κυμαίνονται από το 0 έως το 1. Στην Ε δίνεται πρώτη φορά ο τύπος υπολογισμού της πιθανότητας, ενώ στις προηγούμενες τάξεις χρησιμοποιούνταν ποιοτικοί χαρακτηρισμοί για να εκφράσουμε την πιθανότητα εμφάνισης ενός ενδεχομένου. Εκφράστε με κλάσμα την πιθανότητα για τα παρακάτω ενδεχόμενα, όταν ρίχνουμε ένα ζάρι: Η ένδειξη είναι 1, η ένδειξη είναι άρτιος αριθμός, η ένδειξη είναι πολλαπλάσιο του 3, η ένδειξη είναι διαιρέτης του 6. Ο Αγγελος παίζει μουτζούρη με την Αρετή. Η Αρετή έχει μείνει με ένα 7 και ο Αγγελος με το μουτζούρη και με το άλλο 7. Ο Αγγελος ισχυρίζεται πως η Αρετή έχει πιθανότητα 2/1 να τραβήξει το 7, αλλά η Αρετή του λέει πως κάνει λάθος και έχει πιθανότητα ½. Ποιος έχει δίκιο; Θα μπορούσε η πιθανότητα να τραβήξει η Αρετή 7 να είναι 3/1 αν ο Αγγελος είχε 7, 8 και τον μουτζούρη; Υπάρχει περίπτωση να είναι η πιθανότητα να τραβήξει η Αρετή 7 ίση με το 1/5, με το 0; Με το 1; Με το 4; Αιτιολογείστε την απάντησή σας. (Προαπαιτούμενες γνώσεις: λόγοι.)
Υπολογίζουν την πιθανότητα ενός ενδεχομένου ως κλάσμα και την συγκρίνουν με τη σχετική συχνότητα των αποτελεσμάτων που προκύπτουν από την πραγματοποίηση ενός πειράματος τύχης. (Ι) ΣΤ! Εκφράζουν τη σχετική συχνότητα (εμπειρική πιθανότητα) και την πιθανότητα (θεωρητική πιθανότητα) με κλάσματα, ποσοστά και δεκαδικούς και τις μετατρέπουν από τη μια μορφή αναπαράστασης στην άλλη. Ο Παύλος και ο Γιώργος μόλις αγόρασαν ένα κουτί με 7 σοκολατάκια πραλίνας, 5 φράουλας, 5 κεράσι και 7 μπανάνας. Η μαμά τους για να μην μαλώνουν ποιος θα φάει τα περισσότερα με την πραλίνα και τη φράουλα, που είναι τα αγαπημένα τους, τους έβαλε να διαλέξουν από ένα σοκολατάκι. Ποια είναι η πιθανότητα να φάει ο Γιώργος σοκολατάκι πραλίνας; Ο Παύλος τι πιθανότητα θα έχει να φάει πραλίνας πάλι; Αν η μαμά τους πριν διαλέξουν τα παιδιά πάρει 2 σοκολατάκια κεράσι και 2 μπανάνας και τα αντικαταστήσει με 4 πραλίνας τι πιθανότητες έχουν τώρα τα αγόρια να φάνε σοκολατάκι πραλίνας; Σοκολατάκι μπανάνας; Υπολογίστε τις παραπάνω πιθανότητες με κλάσμα, δεκαδικό και ποσοστό. Στη Στ χρησιμοποιούνται και ποσοστά και δεκαδικοί αριθμοί, εκτός από το κλάσμα που είχε εισαχθεί από τις προηγούμενες τάξεις, για την έκφραση της σχετικής συχνότητας και της (θεωρητικής) πιθανότητας.
Υπολογίζουν την πιθανότητα ενός ενδεχομένου ως κλάσμα και την συγκρίνουν με τη σχετική συχνότητα των αποτελεσμάτων που προκύπτουν από την πραγματοποίηση ενός πειράματος τύχης. (ΙΙ) ΣΤ (συνέχεια)! Συγκρίνουν την υπολογισμένη πιθανότητα (θεωρητική), υπό την μορφή κλάσματος, ποσοστών ή δεκαδικών, με τη σχετική συχνότητα (εμπειρική) των αποτελεσμάτων που έχουν προκύψει από την επαναλαμβανόμενη εκτέλεση ενός πειράματος τύχης. Παρατηρούν ότι όσο αυξάνονται οι επαναλήψεις του πειράματος τύχης τόσο η εμπειρική πιθανότητα προσεγγίζει την θεωρητική πιθανότητα.! Αναπαριστούν τα αποτελέσματα που έχουν προκύψει από την επαναλαμβανόμενη εκτέλεση ενός πειράματος τύχης με εικονογράμματα, ραβδογράμματα, σημειογράμματα. Ρίχνουμε ένα ζάρι 20 φορές. Καταγράψτε τα αποτελέσματα από την ρίψη του. Υπολογίστε αρχικά τη θεωρητική πιθανότητα εμφάνισης του 6 και ύστερα υπολογίστε τη σχετική συχνότητα εμφάνισής του. Συγκρίνετέ τα. Εχουμε ένα μαύρο κουτί με 3 κόκκινες, 3 κίτρινες και 3 μπλε μπάλες. Καθένας από τους μαθητές της τάξης (π.χ. 20 μαθητές)) τραβάει μια μπάλα, καταγράφει το αποτέλεσμα και την επανατοποθετεί στο κουτί. Αναπαραστήστε τα αποτελέσματα με εικονόγραμμα, ραβδόγραμμα και σημειόγραμμα. Στη Στ γίνεται και σύγκριση της σχετικής συχνότητας με την (θεωρητική) πιθανότητα, ενώ στην Ε τάξη γινόταν απλώς υπολογισμός. Ακόμα γίνεται ξεκάθαρο πως η σχετική συχνότητα είναι αυτή που προκύπτει από τα αποτελέσματα του πειράματος, με εμπειρικά δεδομένα, ενώ η πιθανότητα υπολογίζεται θεωρητικά πριν την εκτέλεση του πειράματος. Ακόμα, στη Στ γίνεται διασύνδεση με την στατιστική για πρώτη φορά, καθώς χρησιμοποιούνται ραβδογράμματα κ.λ.π.
Υπολογίζουν την πιθανότητα ενός ενδεχομένου ως κλάσμα και την συγκρίνουν με τη σχετική συχνότητα των αποτελεσμάτων που προκύπτουν από την πραγματοποίηση ενός πειράματος τύχης. (ΙΙΙ) ΣΤ (συνέχεια)! Βρίσκουν στρατηγικές είτε για να νικήσουν σε ένα παιχνίδι είτε για να κάνουν ένα παιχνίδι πιο δίκαιο Στην Α ο στόχος ήταν να μάθουν τα παιδιά να ξεχωρίσουν ένα παιχνίδι ως δίκαιο ή άδικο, ενώ στην Στ καλούνται να βρουν στρατηγικές. Θα χρειαστείτε: ένα χαρτί με εκτυπωμένο το σχήμα του αστεριού ως ταμπλό, δύο ζάρια, αρκετά πιόνια δύο χρωμάτων Πώς θα παίξετε το επιτραπέζιο παιχνίδι: Χωριστείτε σε ομάδες των δύο ατόμων. Κάθε παίκτης επιλέγει έναν, δύο ή τρεις αριθμούς. Στη συνέχεια, ρίξτε τα ζάρια και προσθέστε κάθε φορά τα αποτελέσματα. Οταν το άθροισμα των ζαριών είναι ένας από τους αριθμούς που έχει επιλέξει ένας από εσάς, τοποθετείστε ένα πιόνι στον κύκλο του αριθμού αυτού. Για παράδειγμα, παίζουν ο Μάριος και ο Λουκάς. Ο Μάριος επιλέγει τους αριθμούς 2, 4 και 6, ενώ ο Λουκάς επιλέγει τους αριθμούς 7, 8 και 9. Ο Λουκάς ρίχνει τα ζάρια και το αποτέλεσμα είναι 4 και 2. Το άθροισμα είναι 6, έτσι ο Μάριος (που έχει επιλέξει τον αριθμό 6) μπορεί να τοποθετήσει ένα πιόνι στο 6. Νικητής του παιχνιδιού είναι εκείνος που θα συμπληρώσει πρώτος και τους τρεις κύκλους ενός από τους αριθμούς που έχει επιλέξει! Παίξτε αρκετές παρτίδες του παιχνιδιού. Καταγράψτε κάθε φορά ποιος από τους δύο νίκησε και με ποιον αριθμό.
Πείραμα τύχης ονομάζεται εκείνη η διαδικασία την οποία όσες φορές κι αν την επαναλάβουμε κάτω από τις ίδιες συνθήκες, δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμά της. Πείραμα τύχης ενός σταδίου είναι π.χ. το πείραμα του στριψίματος ενός νομίσματος ή το πείραμα της ρίψης ενός ζαριού. Πείραμα τύχης δύο σταδίων είναι π.χ. το πείραμα της ρίψης δύο ζαριών ή της ρίψης ενός ζαριού δύο φορές. Δειγματικός χώρος ονομάζεται το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων που μπορούν να εμφανιστούν κατά την εκτέλεση ενός πειράματος τύχης. Ενδεχόμενο ονομάζεται ένα Βέβαιο ενδεχόμενο είναι αυτό που πραγματοποιείται πάντα. Αδύνατο ενδεχόμενο είναι αυτό που δεν πραγματοποιείται σε καμία εκτέλεση ενός πειράματος τύχης. Σχετική συχνότητα ή εμπειρική πιθανότητα ονομάζεται το κλάσμα που έχει ως αριθμητή τις φορές που εμφανίστηκε το ευνοϊκό ενδεχόμενο κατά την εκτέλεση ενός πειράματος τύχης και ως παρανομαστή το σύνολο των δοκιμών. Θεωρητική πιθανότητα ονομάζεται το κλάσμα που έχει ως αριθμητή το πλήθος των ευνοϊκών ενδεχομένων και ως παρανομαστή όλα τα δυνατά ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου ενός πειράματος τύχης. Γενικά, η πιθανότητα ενός ενδεχομένου είναι το μαθηματικό μέγεθος που δίνει
ς ύ π ύ!