Aldagai Anitzeko Funtzioak

Aldagai Anitzeko Funtzioak

Bi aldagaiko funtzioak Funtzio hauen balioak bi aldagai independenteen menpekoak dira: 1. Adibidea: x eta y aldeetako laukizuzenaren azalera, S, honela kalkulatzen da: S = x y Beraz, bi aldagaien (x eta y aldagaien) menpekoa da S eta hori honela adieraz genezake: S = S(x,y)

Bi aldagaiko funtzioak 2. Adibidea: v 0 hasierako abiaduraz eta horizontearekiko ϕ angeluz jaurfkitako proiekflaren distantzia, R, hurrengo formulaz adierazten da (airearen erresistentzia kontutan ez hartuta): R = v 0 2 sin2ϕ g non g grabitatearen azelerazioa den, eta konstantetzat hartzen denez, R = R(v 0, ϕ)

Bi aldagaiko funtzioak Definizioa: x eta y bi aldagai independenteen (x,y) bikote bakoitzari balio bakarra ematen dion araua, f, x eta y aldagaien funtzioa deitzen da, f(x,y). Definizioa: x eta y balioen (x,y) bikoteek, zeintzuetarako f(x,y) funtzioa definituta dagoen, multzo bat osatzen dute. Multzo horri funtzioaren definizio- eremu edo existenzi eremu deritzogu.

Bi aldagaiko funtzioak Funtzioaren definizio- eremua geometrikoki adieraz daiteke. (x,y) bikote bakoitzari OXY planoan dagokion puntua egokitzen badiogu, orduan definizio- eremua izango da OXY planoko zafa (edo plano bera oso- osorik). Definizio- eremuko puntu bat inguratzen dituen gainontzeko puntu guzfak definizio- eremukoak ere badira, puntu hori barne- puntua deitzen da.

Bi aldagaiko funtzioak Puntu baten inguruan, bai definizio eremukoak, bai definio- eremukoak ez diren puntuak daudenean, muga- puntua deitzen zaio. Barne- puntuz soilik eratutako eremua, eremu irekia deituko dugu. Muga- puntu guzfak definizio- eremukoak ba dira, eremu horri itxia deituko diogu.

Bi aldagaiko funtzioak Definizio- eremuak bornatuak edo ez bornatuak izan daitezke. C konstante posifboa exisftzen bada, non eremuaren edozein puntuaren, (x,y), eta koordenatu- jatorriaren, (0,0), arteko distantzia C baino txikiago den, definizio- eremu horri bornatu deituko diogu: x 2 + y 2 < C

Bi aldagaiko funtzioak 1. Adibidea: Aurkitu f (x, y) = 2x y, funtzioaren definizio- eremua. x eta y hautazko balio guzfetarako definituta dago funtzioa. Hortaz, bere definizio- eremua OXY plano osoa da. 2. Adibidea: Aurkitu f (x, y) = 1 x 2 y 2, funtzioaren definizio- eremua. Funtzioa kalkulatu daiteke soilik errokizuna posifbo (edo zero) denean. Beraz, definizio- eremua izango da jatorrian zentratuta dagoen eta 1 erradioa duen zirkulua: x 2 + y 2 1

Bi aldagaiko funtzioak 3. Adibidea: Aurkitu f (x, y) = ln( x + y), funtzioaren definizio- eremua. funtzioa exisftzeko x+y balioak posifboa izan behar du (ezin da 0 izan). Hortaz, definizio- eremua x+y>0 baldintza betetzen duten (x,y) puntuek osatzen dute. Hau da, definizio- eremua y=- x zuzenaren gainefk dagoen planoerdia izango da, zuzena bera kenduta.

n aldagaiko funtzioak Funtzio hauen balioak n aldagai independenteen menpekoak dira: Adibidea: x, y eta z aldeak dituen paralelepipedo baten V bolumena, V, honela kalkulatzen da: V = x y z Beraz, hiru aldagaien (x, y eta z aldagaien) menpekoa da V eta hori honela adieraz genezake: V = V(x,y,z)

n aldagaiko funtzioak Definizioa: x 1, x 2,, x n n aldagai independenteen (x 1, x 2,, x n ) n- kote bakoitzari balio bakarra ematen dion araua, f, x 1, x 2,, x n aldagaien funtzioa deitzen da, f(x 1, x 2,, x n ). Definizioa: x 1, x 2,, x n balioen (x 1, x 2,, x n ) n- koteek, zeintzuetarako f(x 1, x 2,, x n ) funtzioa definituta dagoen, multzo bat osatzen dute. Multzo horri funtzioaren definizio- eremu edo existenzi eremu deritzogu.

Bi aldagaiko funtzioaren adierazpen geometrikoa f(x,y), bi aldagaiko funtzio baten definizio - eremua OXY planoan dago. Eremu horren puntuetafk eta plano horrekiko z=f(x,y) koordenatu berfkalak hartuta lortzen da holako f(x,y) funtzioaren grafikoa hiru dimentsiotan, hau da, OXYZ espazioan.

Bi aldagaiko funtzioaren adierazpen geometrikoa

Bi aldagaiko funtzioaren adierazpen geometrikoa 1. Adibidea: f (x, y) = x 2 + y 2 +1, funtzioaren grafikoa hau da:

Bi aldagaiko funtzioaren adierazpen geometrikoa 2. Adibidea: f (x, y) = y + 2, funtzioaren grafikoa hau da:

Bi aldagaiko funtzioaren adierazpen geometrikoa 3. Adibidea: f (x, y) = y 2 x 2, funtzioaren grafikoa hau da:

Funtzioaren Gehikuntza partziala eta totala f(x,y) funtzioaren aldagai indenpendenteak x eta y dira, eta bietako edozein aldatuz, funtzioa aldatu egiten da. Demagun x aldagaiaren Δx gehikuntza dugula, z= f(x,y) funtzioaren gehikuntza x- rekiko z- ren gehikuntza partziala deituko dugu eta idatziko dugu Δ x z eta honela kalkulatuko dugu: Δ x z = f ( x + Δx, y) f ( x, y)

Funtzioaren Gehikuntza partziala eta totala Era berean, y aldagaiaren Δy gehikuntza badugu, funtzioaren gehikuntza y- rekiko z- ren gehikuntza partziala deituko dugu eta idatziko dugu Δ y z eta honela kalkulatuko dugu: Δ y z = f ( x, y + Δy) f ( x, y) Berriz, bi aldagaietan, aldi berean, gehikuntzak ba ditugu, z- ren funtzioaren gehikuntzari totala deituko diogu, eta idatziko dugu Δz eta honela kalkulatuko dugu: Δz = f ( x + Δx, y + Δy) f ( x,y)

Funtzioaren Gehikuntza partziala eta totala Kontuan hartu behar dugu, kasu orokorrean, hau dugula: hurrengo adibide honetan egiaztatzen den bezala: z = f x, y Δz Δ x z + Δ y z ( ) = xy Δ x z = ( x + Δx)y xy = yδx Δ y z = x( y + Δy) xy = xδy Δz = ( x + Δx) ( y + Δy) xy = xδy + yδx + ΔxΔy

Funtzioaren Gehikuntza partziala eta totala Edozein aldagai- kopurutarako funtzioaren gehikuntza total eta partzialak era berean kalkulatzen dira. Honela, u=f(x,y,z) hiru aldagaiko funtziorako hauxe dugu: Δ x u = f x + Δx, y,z ( ) f x, y,z ( ) Δ y u = f ( x, y + Δy,z) f ( x, y,z) Δ z u = f ( x, y,z + Δz) f ( x, y,z) Δu = f ( x + Δx, y + Δy,z + Δz) f ( x, y,z)

Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna Datozen kontzeptuak azaltzeko, bi aldagaiko funtzioak, f(x,y), aztertuko ditugu, zeren eta hiru edo aldagai gehiagoko funtzioen azterketak berdintsu izango bait ziren eta, ikuspegi prakfkofk, problema korapilatu baino ez du egiten.

Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna Lehenik eta behin (x 0,y 0 ) puntu baten ingurunea definituko dugu: ( x x ) 2 0 + y y 0 ( ) 2 < r desberdintza egiaztatzen duten puntu guzfen multzoa, r erradiodun (x 0,y 0 ) puntuaren ingurunea izango da; hots, r erradiodun eta (x 0,y 0 ) zentrudun zirkulu barnean dauden puntu guzfen multzoa.

Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna f(x,y) funtzioak (x 0,y 0 ) puntuaren ingurune batean propietate bat betetzen duela esaten dugunean, zera adierazi nahi dugu: (x 0,y 0 ) puntuan zentrua duen zirkulu bat exisftzen dela, non zirkulu horren puntu guzfetan propietate hori egiaztatzen den. Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna azaldu baino lehen, azter dezagun aldagai anitzeko funtzioaren limitearen kontzeptua.

Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna Definizioa: (x,y) puntua (x 0,y 0 ) punturantz doanean, A zenbakia f(x,y) funtzioaren limitea dela esango dugu, baldin eta edozein ε > 0 zenbakirako r > 0 zenbakia exisfzen bada, non (x,y) - (x 0,y 0 ) < r desberdintza egiaztatzen duten puntu guzfetarako f(x,y)- A < ε betetzen den. Hala bada, honela adieraziko dugu: lim x x0 y y 0 f (x, y) = A

Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna Aurreko definizioa, sinbolikoki adierazia, honela berridatz daiteke: lim x x 0 y y 0 f (x, y) = A ε > 0, r > 0 / (x, y) (x 0,y 0 ) < r f (x, y) A < ε Definizioak ez du zehazten zein (x,y) puntufk hasi behar den (x 0,y 0 ) puntura joaten. (x,y) puntua inguruko edozein izan daiteke. Gainera ez du esaten zein bidefk joan behar den (x 0,y 0 ) punturantz; bidea aukeran dago. Bide guzfetafk limitearen balio bera lortu beharko genuke; bestela ez dago f(x,y) funtzioaren limiteaz hitzegiterik (x 0,y 0 ) puntuan.

Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna Adibidea: f (x, y) = 2xy x 2 + y 2 funtzioa puntu guzfetan definituta dago, (0,0) puntuan izan ezik. Halere, puntu horretan limiterik egon liteke. Demagun puntu horretara hurbiltzen garela y=kx zuzenafk (non k konstantea zuzenaren malda den). Orduan: lim 2xy x 0 x 2 + y = lim 2kx 2 2 x 0 x 2 + k 2 x = lim 2k 2 x 0 1+ k = 2k 2 1+ k 2 y 0 beraz, limitea ez da exisftzen (0,0) puntuan zeren eta balio desberdinak erdiesten baifra k desberdinetarak (jatorrira gerturatuz zuzen desberdinetafk).

Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna Definizioa: Bedi f(x,y) funtzioaren definizio- eremuko (x 0,y 0 ) puntu bat. f funtzioa (x 0,y 0 ) puntuan jarraia dela esango dugu baldin eta ondorengo berdintza betetzen bada: lim f (x, y) = f (x,y ) 0 0 x x 0 y y 0

Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna Aurreko formula honela ere berridatz daiteke: lim f (x 0 + Δx,y 0 + Δy) = f (x 0,y 0 ) Δx 0 Δy 0 (non x = x 0 + Δx eta y = y 0 + Δy diren) edo honela ere bai: lim [ f (x + Δx, y + Δy) f (x, y ) 0 0 0 0 ] = 0 Δx 0 Δy 0 Baina, funtzioaren gehikuntza totala. Δz = f (x 0 + Δx, y 0 + Δy) f (x 0,y 0 ) da z=f(x,y)

Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna BestaldeFk, Δρ = ( Δx) 2 + ( Δy) 2, desplazamendu txiki bat hartuta (x 0,y 0 ) puntuaren inguruan, funtzioaren jarraitasuna puntu horretan honela ere idatz daiteke: lim Δz = 0 Δρ 0 Eremu bateko puntu bakoitzean f jarraia bada, orduan eremu horretan f jarraia dela esango dugu.

Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna Definizioa: f funtzioa (x 0,y 0 ) puntuan jarraia ez bada, puntu horri funtzioaren etengune deritzo. Ezjarraitasunak (etenguneak) arrazoi desberdinengafk ager daitezke: 1. (x 0,y 0 ) puntuan limitea egon daiteke, baina puntu horretan funtzioa definituta ez badago, funtzioak etengune bat izango du. Ezjarraitasun mota hau ekidigarria da. (Funtzioa definituz puntu horretan limitearen balioaz).

Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna 2. (x 0,y 0 ) puntuan limiterik ez badago, funtzioa ere ezin da jarraia izan.( f (x, y) = adibidearekin gertatzen zen bezala.) 2xy x 2 + y 2 3. (x 0,y 0 ) puntuan limitea badago eta puntu hori definizio- eremukoa bada, baina, bertan, funtzioaren balioa, f(x 0,y 0 ), limitearen berdina ez denean, etengunea ere izango da.

Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna Adibidea: z = f (x, y) = x 2 + y 2 funtzioa jarraia da bere definizo- eremu osoan, hau da, OXY plano osoan: Δz = Beraz [( x + Δx) 2 + ( y + Δy) 2 ( x 2 + y 2 )] = 2xΔx + 2yΔy + Δx lim Δz = 0 Δx 0 Δy 0 ( ) 2 ( ) 2 + Δy

Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna Eremu itxi eta bornatu batean jarraia den aldagai anitzeko funtzio baten bi propietate azalduko ditugu: (Tarte batean jarraia den aldagai bakardun funtzioaren propietateen analogoak dira.)

Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna 1. Propietatea: f(x,y, ) aldagai anitzeko funtzioa definizio- eremu itxi eta bornatu batean jarraia bada, eremu horretan badaude gutxienez bi puntu (x 0,y 0, ) eta (x 0,y 0, ), non eremuaren puntu guzfetarako: f (x 0, y 0, ) f (x, y, ) eta f (x 0, y 0, ) f (x, y, ) f(x 0,y 0, ) funtzioaren maximoa deitzen dugu, M, eta f(x 0,y 0, ) funtzioaren minimoa, m. Esan bezala, M eta m horiek agertuko zaizkigu gutxienez bi puntutan.

Aldagai anitzeko funtzioen jarraitasuna 2. Propietatea: f(x,y, ) aldagai anitzeko funtzioa definizio- eremu itxi eta bornatu batean jarraia bada eta M eta m funtzioaren balio maximoa eta minimoa badira, bitarteko µ edozein baliorako, m µ M, badago gutxienez (x*,y*, ) puntua non beteko den. f (x*, y*, ) = µ Korolario: 2.propietate honen korolario bat zera da: f(x,y, ) aldagai anitzeko funtzioa definizio- eremu itxi eta bornatu batean jarraia bada eta bertan bai balio posifboak bai negafboak hartzen baditu, eremuaren barnean egongo da gutxienez punturen bat non f(x,y, ) = 0 izango den.

Aldagai anitzeko funtzioen deribatu partzialak Definizioa: Δ x z gehikuntza partzialaren eta Δx gehikuntzaren arteko zafduraren limitea, Δx zerorantz doanean, z=f(x,y) funtzioaren x- rekiko deribatu partziala deitzen dugu eta honela idazten dugu: z x = lim Δ z x Δx 0 Δx = lim Δx 0 f (x + Δx, y) f (x, y) Δx

Aldagai anitzeko funtzioen deribatu partzialak Beste idazkerak ere erabiltzen ohi dira: z' x, f ' x (x,y), f x, x f (x,y) (a,b) puntu zehatz bateko x- rekiko deribatu partziala honela idatz dezakegu: z x (a,b ) = lim Δ xz Δx 0 Δx = lim Δx 0 f (a + Δx,b) f (a,b) Δx

Aldagai anitzeko funtzioen deribatu partzialak Definizioa: Δ y z gehikuntza partzialaren eta Δy gehikuntzaren arteko zafduraren limitea, Δy zerorantz doanean, z=f(x,y) funtzioaren y- rekiko deribatu partziala deitzen dugu eta honela idazten dugu: z y = lim Δ z y Δy 0 Δy = lim Δy 0 f (x, y + Δy) f (x, y) Δy

Aldagai anitzeko funtzioen deribatu partzialak Beste idazkerak ere erabiltzen ohi dira: z' y, f ' y (x,y), f y, y f (x,y) (a,b) puntu zehatz bateko x- rekiko deribatu partziala honela idatz dezakegu: z y (a,b ) = lim Δ yz Δy 0 Δy = lim Δx 0 f (a,b + Δy) f (a,b) Δy

Aldagai anitzeko funtzioen deribatu partzialak Deribatu partzialak kalkulatzerakoan, aldagai bat aldatu eta bestea(k) konstante mantentzen da (dira). Horrela, bi aldagaiko f(x,y) funtzio baten x- rekiko deribatu partziala kalkulatzeko, y konstante mantenduko dugu, eta soilik x- ren funtzioa den f(x,y=kte)- ren deribatu arrunta kalkulatuko dugu.

Aldagai anitzeko funtzioen deribatu partzialak Halaber, bi aldagaiko f(x,y) funtzio baten y- rekiko deribatu partziala kalkulatzeko, y konstante mantentzen da, eta soilik x- ren funtzioa den f(x=kte,y)- ren deribatu arrunta kalkulatzen da. 1. Adibidea: z = x 2 sin y z x = 2x sin y ; z y = x 2 cos y

Aldagai anitzeko funtzioen deribatu partzialak 2. Adibidea: z = x y z x = yx y 1 ; z y = x y ln x 3.Adibidea: f (x, y,z,t) = x 2 + y 2 + xtz 3 f x = 2x + tz3 ; f y = 2y ; f z = 3xtz2 ; f t = xz3

Bi aldagaiko funtzioaren deribatu partzialen adierazpen geometrikoa g(x) f (x,b) = g(x) f ' x (a,b) = g'(a)

Bi aldagaiko funtzioaren deribatu partzialen adierazpen geometrikoa Aurreko irudian ikus dezakegu z = f(x,y) funtzioaren grafoa (gainazala espazioan). Mozten badugu gainazal hori y=b planoaz lortzen dugu kurba bat, z=f(x,b), gainazalean. Kurba hau irudikatu daiteke z=g(x) funtzioa bezala, non aldagai independente bakarra x den. Aldagai bakardun g(x) honen deribatu arrunta x=a puntuan da, hain zuzen, jatorrizko bi aldagaiko f(x,y)- ren deribatu partziala x- rekiko (a,b) puntuan: d dx f (x,b) x =a = d dx g(x) x =a = g(a + Δx) g(a) lim Δx 0 Δx = lim Δx 0 f (a + Δx,b) f (a,b) Δx = x f (x, y) (a,b)

Bi aldagaiko funtzioaren deribatu partzialen adierazpen geometrikoa Era berean ulertzen da hurrengo beste funtzio baten deribatu partziala y- rekiko (x 0,y 0 ) puntuan. d dy f (x 0,y) y =y 0 = lim f (x 0,y 0 + Δy) f (x 0,y 0 ) Δy 0 Δy = x f (x, y) (x 0,y 0 )

Bi aldagaiko funtzioaren deribatu partzialen adierazpen geometrikoa z = f (x, y) f y ( x0,y 0 ) x 0 y 0 x = x 0 planoa

Gehikuntza totala eta diferentzial totala Gogora dezagun z=f(x,y) funtzioaren gehikuntza totalaren definizioa: ( ) f ( x,y) Δz = f x + Δx, y + Δy adierazpen hau honela ere berridatz daiteke: Δz = [ f ( x + Δx, y + Δy) f ( x, y + Δy) ] + f ( x, y + Δy) f ( x, y) non bigarren parentesi karratua agertzen [ ] zitzaigun ere deribatu partzialaren definizioan: z y = f ' (x, y) = lim y Δy 0 f (x, y + Δy) f (x, y) Δy

Gehikuntza totala eta diferentzial totala funtzioaren y- rekiko deribatu partzial hori exisftzen bada (x, y) eta (x,y+δy) puntuen tartean, Lagrangeren teoremaren arabera egon behar du honelako y* puntu bat (gutxienez bat): f ( x, y + Δy) f ( x,y) = f ' y (x,y*) Δy non: y y* y + Δy

Gehikuntza totala eta diferentzial totala Era berean argudiatu genezake lehengo adierazpenaren lehenengo parentesiarekin, suposatuz funtzioaren x- rekiko deribatu partziala exisftzen dela (x+δx, y+δy) eta (x,y+δy) puntuen tartean: f ( x + Δx, y + Δy) f ( x, y + Δy) = f ' x (x*,y + Δy) Δx non: x x* x + Δx

Gehikuntza totala eta diferentzial totala Lortu ditugun azkeneko bi adierazpen hauek, hasierako gehikuntza totalaren ekuazioan ordezkatuz: Δz = f ' x (x*, y + Δy) Δx + f ' y (x, y*) Δy Orain, Δx eta Δy gehikuntzen zeroranzko limiteak hartuz: lim f ' (x*, y + Δy) = f ' (x, y), lim f ' (x, y*) = f ' x x y y Δx 0 Δx 0 Δy 0 Δy 0 (x, y)

Gehikuntza totala eta diferentzial totala Ondorengo ekuazioan lortzen den, dz, balio honi deitzen zaio z=f(x,y) funtzioaren diferentziala edo diferentzial totala: dz = f ' x (x, y) dx + f ' y (x, y) dy = f f dx + x y dy Diferentzial totalaren balio hau da gehikuntza totalaren balioaren hurbilpen lineala, Δx eta Δy gehikuntzak infinitesimalak direnean.

Gehikuntza totala eta diferentzial totala Hurrengo adibidean egiaztatu daitezke nola diferentzial totalaren eta gehikuntza totalaren balioak desberdinak diren, Δx eta Δy gehikuntzak infinitesimalak ez badira.

Gehikuntza totala eta diferentzial totala Adibidea: Kalkulatu z=xy funtzioaren diferentzial total eta gehikuntza totala (2,3) puntuan, Δx=0.1 eta Δy =0.2 direnean. Difentzialak emandako hurbilpen lineala : δz = z x δx + z x Benetako gehikuntza totala : Δz = ( x + Δx) ( y + Δy) xy = xδy + yδx + ΔxΔy Δz = 2.1 3.2 2 3 = 0.72 δy = yδx + xδy = 3 0.1+ 2 0.2 = 0.7

Gehikuntza totala eta diferentzial totala Aldagai anitzeko f(x 1, x 2,, x n ) funtzioa badugu eta (x 1, x 2,, x n ) puntuan deribatu partzialak jarraiak badira, puntu horretako difentzial totala hau da: dz = f x 1 dx 1 + f x 2 dx 2 + + f x n dx n

Gehikuntza totala eta diferentzial totala Adibidea: Kalkulatu hurrengo u(x,y,z) funtzioaren difentzial totala: u = e x 2 +y 2 sin 2 z u x = 2 2xex +y 2 sin 2 z ; u y = 2 2yex +y 2 sin 2 z ; u z = 2 ex +y 2 2sinzcosz = e x 2 +y 2 sin2z du = 2e x 2 +y 2 sinz( x sinzdx + y sinzdy + coszdz)

Funtzio konposatuaren deribatua. Deribatu totala Demagun z=f(u,v) funtzioan u eta v aldagaiak, x eta y aldagai independenteen funzfoak direla: u=ϕ(x,y) eta v=ψ(x,y). Honelakoetan esaten da z, x- ren eta y- ren funtzio konposatua dela: z=f[ϕ(x,y),ψ(x,y)] Adibidea: z = u 3 v 3 + u +1 ; u = x 2 + y 2 ; v = e x +y +1 orduan ( ) 3 ( e x +y +1) 3 + x 2 + y 2 +1 z = x 2 + y 2

Funtzio konposatuaren deribatua. Deribatu totala Behin z, x eta y aldagaien funtzio bezala dugun, kalkula ditzakegu z- ren deribatu partzialak bai x- rekiko, bai y- rekiko. Dena den, horiek ere kalkula genitzake u eta v ordezkatu gabe. Azter dezagun nola: Demagun z=f(u,v), u=ϕ(x,y) eta v=ψ(x,y) funtzioen deribatu partzialak jarraiak direla. x aldagaiak Δx gehikuntza badu (y aldagaia aldatu gabe), orduan bai u, bai v biak aldatuko dira eta haien gehikuntza partzialak Δ x u eta Δ x v izango dira. u eta v aldatzen direnez, z ere aldatuko da eta aldaketa honi Δ x z deituko diogu eta hurrengo hau baieztatzen da: Δ x z = z u Δ u + z x v Δ v + α Δ u + α Δ v x 1 x 2 x non α 1 eta α 2, biak, anulatuko diren Δ x u, Δ x v 0 izango direnean

Funtzio konposatuaren deribatua. Deribatu totala Orain Δx gehikuntzaz zaftzen badugu: Δ x z Δx = z u Δ x u Δx + z v Δ x v Δx + α 1 Δ x u Δx + α 2 Δ x v Δx eta honen zeroranzko limitea hartzen badugu: lim Δ z x Δx 0 Δx = z x ; lim Δ u x Δx 0 Δx = u x ; lim Δ v x Δx 0 Δx = v x lim α = 1 Δx 0 Δ x u 0 Δ x v 0 eta, ondorioz : lim α 1 = 0 ; Δx 0 z x = z u lim α 2 = Δ x u 0 Δ x v 0 u x + z v lim α 2 = 0 v x

Funtzio konposatuaren deribatua. Deribatu totala Era berean kalkulatuko genuke z- ren deribatu partziala y- rekiko, x aldagaia konstante mantenduz eta y- ren gehikuntza baten bidez: z y = z u u y + z v v y

Funtzio konposatuaren deribatua. Deribatu totala Hurrengo funtzioekin kalkulatu z- ren deribatu partzialak x- rekiko eta y- rekiko: z = ln( u 2 + v) ; u = e x +y 2 ; v = x 2 + y u x = 2 ex +y z u = ; v x = 2x 2u u 2 + v = 2e x +y e 2 ( x +y 2 ) + x 2 + y z x = 2e x +y e 2 ( x +y 2 ) + x 2 + y 2 2 e x +y 2 + ; z v = 1 u 2 + v = 1 e 2 ( x +y 2 ) + x 2 + y 1 2x = 2 ( ) + x 2 + y e 2 x +y 2 x + e 2 ( x +y 2 ) ( ) + x 2 + y e 2 x +y 2

Funtzio konposatuaren deribatua. Deribatu totala u y = 2 2yex +y ; v y =1 z y = 2e x +y e 2 ( x +y 2 ) + x 2 + y 2 2ye x +y 2 + 1 ( ) + x 2 + y e 2 x +y 2 = 1+ 4ye2 x +y 2 ( ) e 2 x +y 2 ( ) + x 2 + y

Funtzio konposatuaren deribatua. Deribatu totala Noski, aldagai anitzeko funtzioen konposatuen kasuisfka oso zabala izan daiteke. Adibidez, w=f(z,u,v,s) z, u, v eta s aldagaien funtzioa bada, eta aldagai bakoitza x eta y aldagaien funtzioak badira, orduan: w x = w z w y = w z z x + w u z y + w u u x + w v u y + w v v x + w s v y + w s s x s y

Funtzio konposatuaren deribatua. Deribatu totala z=f(x,y,u,v) x, y, u eta v aldagaien funtzioa bada, eta y, u eta v aldagaiak x aldagai bakardun funtzioak badira, orduan, z bera izango da x aldagai bakardun funtzioa eta, beraz, honela kalkula genezake bere deribatu totala (deribatu arrunta, ez partziala) x- rekiko: dz dx = z x Baina x x x x + z y y x + z u u x + z v v x =1 denez eta y, u eta v soilik x ren funtzioak direnez : dz dx = z x + z y dy dx + z u du dx + z v dv dx non, noski, dz dx z x

Funtzio konposatuaren deribatua. Adibidez: Deribatu totala z = x 2 + y ; y = sin x dz dx = z x + z y dy dx = 2x + 1 2 y cos x = 2x + 1 2 sin x cos x

Funtzio inplizituen deribatua Problema honen azalpenean, aldagai bakardun funtzio inplizitua aztertuz hasiko gara: Bedi y x- ren aldagai bakardun funtzioa, F(x,y)=0 ekuazioaren bidez inplizituki definitua. Suposa dezagun F(x,y), F x (x,y) eta F y (x,y) funtzio jarraiak direla definizio- eremuan eta F y (x,y) 0 (x,y) puntuan. Hala bada, puntu horretan x- ren y funtzioaren deribatua honela kalkula daiteke: y' x (x) = F' x (x, y) F' y (x, y) Frogapena : F(x, y) = 0 F x + F y dy dx = 0 dy dx = F x F y

Funtzio inplizituen deribatua Adibidez: Kalkulatu hurrengo funtzioa inplizituaren y- ren deribatua x- rekiko: e y e x + xy = 0 F x = ex + y ; dy dx = F x F y F y = ey + x = ex y e y + x

Funtzio inplizituen deribatua Metodoa erabili daiteke F(x,y,z)=0 funtzio inplizitoekin ere, non z=f(x,y) bi aldagaiko funtziotzat hartzen den eta heuren deribatu partzialak x eta y- rekiko kalkulatu nahi diren: u = F(x, y,z) = 0 0 = u x = F x + F z z x = F x F z = F' x F' z ; z x = F' x +F' z z y = z x F y F z ; 0 = u y = F y + F z = F' y F' z z y = F' y +F' z z y

Funtzio inplizituen deribatua Era inplizituko hurrengo funtzioa erabiliz, kalkulatu z- ren deribatu partzialak x eta y- rekiko: e z + x 2 y + z + 5 = 0 F(x, y,z) = e z + x 2 y + z + 5 F' x = 2xy ; F' y = x 2 ; F' z = e z +1 z x = 2xy e z +1 ; z y = x 2 e z +1 zuzenean ere funtzio inplizitutik z ( x ez + x 2 y + z + 5) = 0 e z x + 2xy + z x = 0 z x = 2xy e z +1

Ordena goreneko deribatu partzialak z = f(x,y) funtzioaren deribatu partzialak kalkulatzean, f x eta f y, hauek ere, orokorrean, x eta y aldagaien funtzioak izango dira. Lehenengo deribatu partzial hauek ere deribagarriak badira, heuren deribatu partzialak ere kalkula daitezke: f x (x,y)- ren deribatu partziala x eta y- rekiko eta f y (x,y)- renak ere bai (guzfra lau). Hauei deitzen zaie f- ren bigarren (ordenako) deribatu partzialak: '' f xx '' f xy '' f yx '' f yy ' = f x x = x = f ' x y = y = f ' y x = x = f ' y y = y z x = 2 z x 2 z x = 2 z y x z y = 2 z x y z y = 2 z y 2 (lehen x rekiko, gero y rekiko) (lehen y rekiko, gero x rekiko)

Ordena goreneko deribatu partzialak Bigarren deribatu hauek ere, orokorrean, x eta y aldagaien funtzioak izango dira eta deribagarriak badira, kalkula daitezke hirugarren ordenako deribatu partzialak (guzfra zortzi): 3 z x 3 ; 3 z y x 2 ; 3 z x y x ; 3 z y 2 x ; 3 z x 2 y ; 3 z y x y ; 3 z x y ; 3 z 2 y 3

Ordena goreneko deribatu partzialak Orokorrean n- garren ordenako deribatu partzialak (n- 1)garren ordenako deribatuen deribatu partzialak dira. Adibidez: n- garren ordenako deribatua da non, lehen (n- p) aldiz y- rekiko, eta gero p bider x- rekiko deribatu den. n z x p y n p

Ordena goreneko deribatu partzialak Adibidea: Kalkulatu 4 u z y x 2 deribatu partziala. u = z 2 e x +y 2 funtzioaren u x = z2 e x 2 +y 2 u x = 2 z2 e x 2 +y 3 u y x = 2yz 2 e x 2 +y 4 u 2 z y x = 2 2 4yzex +y

Ordena goreneko deribatu partzialak 2 f 2 f Ikusten dugunez x y eta y x desberdinak izan zitezkeen. Dena den, hurrengo teoremak azaltzen digun zein baldintzatan berdinak diren: Teorema: z = f(x,y) eta beraren deribatu partzialak, f x, f y, f xy eta f yx (x,y) puntuaren ingurune batean definituta eta jarraiak badira, ingurune horretan, hurrengo berdintza baieztatzen da: 2 f x y = 2 f y x ( '' '' f yx = f ) xy

Ordena goreneko deribatu partzialak Teorema hedatu daiteke ordena goreneko deribatu partzialetara: n f x p y = n f n p y n p x p n f x p y eta n p n f y n p x p biak jarraiak badira Eta bi baino aldagai gehiagorekin ere, deribatu partzialen ordena edozein izan daiteke, hurrengo adibidean ikusten den bezala:

Ordena goreneko deribatu partzialak Adibidea: u = e xy sinz izanik, kalkulatu 3 u x y z eta 3 u y z x u z = exy cosz 2 u y z = xexy cosz u x = yexy sinz 2 u z x = yexy cosz 3 u x y z 3 u y z x = ( 1+ xy)e xy cosz = ( 1+ xy)e xy cosz