5. Να γράψετε την τριγωνική ανισότητα για το µέτρο αθροίσµατος διανυσµάτων.

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο " ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ" ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο :" ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ"..:Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ. ώστε τον ορισµό του διανύσµατος i) Ποιο διάνυσµα ονοµάζουµε µηδενικό; ii) Τι ονοµάζουµε µέτρο ή µήκος διανύσµατος; iii) Πότε ένα διάνυσµα λέγεται µοναδιαίο;. Πότε δύο διανύσµατα λέγονται: i) Παράλληλα ή συγγραµµικά; ii) Οµόρροπα iii) Αντίρροπα iv) Ίσα v) Αντίθετα 3. Αν AB = Γ και ΑΒ //Γ, τι συµπέρασµα προκύπτει για το τετράπλευρο ΑΒΓ ; 4. Πως ορίζεται η γωνία δύο διανυσµάτων;..:προσθεση ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ. Πως ορίζεται η πρόσθεση δύο διανυσµάτων α και β ;. Να γράψετε τις ιδιότητες της πρόσθεσης διανυσµάτων. 3. Να δείξετε ότι αν έχουµε δύο διανύσµατα α και β τότε υπάρχει µοναδικό διάνυσµα x τέτοιο ώστε β + x = α 4. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα θέσεως ένος σηµείου Μ; 5. Να γράψετε την τριγωνική ανισότητα για το µέτρο αθροίσµατος διανυσµάτων.

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο " ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ"... Ορισµός: Το διάνυσµα ορίζεται ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγµένα. Το πρώτο άκρο λέγεται αρχή και το δεύτερο άκρο λέγεται πέρας. Το διάνυσµα που έχει αρχή το σηµείο Α και πέρας το σηµείο Β συµβολίζεται µε AB και παριστάνεται µε ένα βέλος, Β (πέρας) όπως βλέπουµε στο σχήµα. i) Όταν η αρχή και το πέρας συµπίπτουν τότε το διάνυσµα λέγεται µηδενικό. ηλαδή το διάνυσµα MM είναι µηδενικό και παριστάνει σηµείο και συµβολίζεται 0 ii) Αν AB ένα διάνυσµα τότε το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ ονοµάζεται µέτρο ή µήκος του AB και συµβολίζεται AB. iii) Αν AB = τότε το διάνυσµα λέγεται µοναδιαίο Α (αρχή). i) ύο διανύσµατα α και β λέγονται παράλληλα ή συγγραµµικά όταν οι φορείς τους είναι ευθείες παράλληλες ή συµπίπτουν. Συµβολίζονται α //β. ii) ύο διανύσµατα α και β λέγονται οµόρροπα όταν: είναι παράλληλα. έχουν την ίδια φορά συµβολίζονται α ÆÆβ. iii) ύο διανύσµατα α και β λέγονται αντίρροπα όταν: είναι παράλληλα. έχουν την αντίθετη φορά συµβολίζονται α Æ β. iv) ύο διανύσµατα α και β λέγονται ίσα όταν: είναι οµόρροπα έχουν ίσα µέτρα συµβολίζονται α =β. ν) ύο διανύσµατα α και β λέγονται αντίθετα όταν: είναι αντίρροπα έχουν ίσα µέτρα συµβολίζονται α =-β. 3. Το τετράπλευρο ΑΒΓ είναι παραλληλόγραµµο Πράγµατι: AB = Γ ΑΒ // Γ και ΑΒ = Γ ή ΑΒ=Γ Γ Α Β

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο " ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ" 3 ηλαδή το ΑΒΓ έχει τις δύο απέναντι πλευρές ίσες και παράλληλες,άρα είναι παραλληλόγραµµο. 4. Έστω α και β δύο µη µηδενικά διανύσµατα. Με αρχή Ο παίρνουµε τα διανύσµατα OA = α και ΟΒ = β β Β α α Ο ω Α Ο Α Β Β Ο Α β α β Την κυρτή γωνία ΑΟΒ που ορίζουν οι ηµιευθείες ΟΑ και ΟΒ την ονοµάζουµε γωνία των διανυσµάτων α και β ^ ^ και συµβολίζεται ( α,β) ή ( β,α) ή µε ένα µικρό γράµµα ω ω=0 αν α ÆÆβ. ω=π αν α Æ β. αν ω=π/ τότε τα διανύσµατα α και β είναι κάθετα µεταξύ τους ( α β )... Έστω δύο διανύσµατα α και β. Με αρχή ένα σηµείο Ο παίρνουµε διανύσµατα OA = α και έπειτα µε αρχή το Α γράφουµε διάνυσµα ΑΜ = β το διάνυσµα ΟΜ λέγεται άθροισµα ή συνισταµένη των διανυσµάτων α και β και συµβολίζεται α +β. β β α α α β +. Ιδιότητες πρόσθεσης α +β =β + α (αντιµεταθετική ιδιότητα) (α + β) + γ = α + (β + γ) (προσεταιριστική ιδιότητα) α +0 = α (ουδέτερο στοιχείο) α + ( α) = 0

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο " ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ" 4 Από τον τρόπο µε τον οποίο ορίσαµε την πρόσθεση δύο διανυσµάτων προκύπτει ότι για να προσθέσουµε δύο διανύσµατα τα καθιστούµε διαδοχικά, έτσι το άθροισµα τους θα είναι το διάνυσµα που έχει ως αρχή την αρχή του πρώτου και πέρας το πέρας του τελευταίου 3. Αν α και β δύο διανύσµατα τότε υπάρχει µοναδικό διάνυσµα x τέτοιο ώστε β + χ = α Πράγµατι: β + χ = α (- β) + (β + χ) = ( β) + α 0 + χ = α β χ = α β 4. Έστω O ένα σηµείο του χώρου. Για το σηµείο Α του χώρου ορίζεται διάνυσµα το οποίο λέγεται διάνυσµα θέσεως ή διανυσµατική ακτίνα του Α. Το σηµείο Ο που είναι κοινή αρχή όλων των διανυσµατικών ακτινών των σηµείων του χώρου λέγεται σηµείο αναφοράς στον χώρο. Κάθε διάνυσµα στο χώρο είναι ίσο µε τη διανυσµατική ακτίνα του πέρατος µείον τη διανυσµατική ακτίνα της αρχής. 5. Στο διπλανό σχήµα βλέπουµε το άθροισµα των διανυσµάτων α και β. Η εφαρµογή της τριγωνικής ανισότητας στο τρίγωνο ΟΑΒ µας δίνει: ( ΟΑ ) ( ΟΒ) (ΟΒ) (ΟΑ) + (ΑΒ) ή α β α + β α + β Ο Α Β Ειδικότερα ισχύει: i) αν α ÆÆβ τότε α + β = α + β και αντίστροφα ii) αν α Æ β τότε α β = α + β και αντίστροφα iii) αν ένα τουλάχιστον από τα και β είναι το µηδενικό διάνυσµα τότε ισχύει: α β = α + β = α + β

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο " ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ" 5 ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ F 5. Για να µην µετακινηθεί το σώµα Σ χρειάζεται να εφαρµοστεί δύναµη ίση µε την αντίθετη της συνισταµένης ΣF των δυνά- µεων που ασκούνται στο σώµα Σ. ηλαδή Β=-ΣF=-(F +F +F 3 +F 4 +F 5 ) ΣF F F F 4 F 3 Β. i) Έχουµε α + γ = β + δ α β = δ γ ΟΑ ΟΒ = Ο ΟΓ ΟΑ + ΒΟ = Ο + ΓΟ ΒΑ = Γ. Άρα το ΑΒΓ είναι παραλληλόγραµµο. ii) α γ = β δ ΟΑ ΟΓ = ΟΒ Ο ΓΑ = Β (ΓΑ) = (Β ) Άρα το τετράπλευρο ΑΒΓ έχει ίσες διαγώνιες. iii) Από τα προηγούµενα ερωτήµατα προκύπτει ότι το ΑΒΓ είναι παραλληλόγραµµο µε ίσες διαγώνιες. ηλαδή είναι ορθογώνιο. 3. (i) x α χ = α + β β (ii) γ x β α χ = α + β γ (iii) α χ β γ δ ε ζ

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο " ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ" 6 x = ζ ε δ + γ β α 4. Αν για δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Ε ισχύει AB + AΓ = Α + ΑΕ έχουµε: ΑΒ Α = ΑΕ ΑΓ ΑΒ + Α = ΑΕ + ΓΑ Β = ΓΕ Άρα το τετράπλευρο Β ΓΕ είναι παραλληλόγραµµο. 5. Μέθοδος:Πολλές φορές για να αποδείξουµε µια ισότητα ξεκινάµε από αυτή και µε ισοδυναµίες καταλήγουµε σε κάτι που ισχύει (εδώ για παράδειγµα στο ότι το Ο είναι µέσο του ΑΓ). Λύση Έχουµε διαδοχικά: OB + O = ΑΒ Γ ΟΒ + ΑΒ = Ο + Γ Α Β ΟΑ = ΓΟ το οποίο ισχύει αφού το Ο είναι µέσο του ΑΓ. 6. Έστω Ο το κέντρο του εξαγώνου. Ξέρουµε ότι οι πλευρές του εξαγώνου είναι ίσες µε την ακτίνα. Άρα θα ισχύει: Γ = ΓΟ + Ο = ΟΓ + Ο όµως ΟΓ = ΑΒ και Ο = ΒΓ Γ = ΑΒ + ΒΓ = α + β 7. Έχουµε διαδοχικά: P P + PP4 + P3P5 + P4P6 + P5P + P6 3 P ( P P3 + P3P5 + P5P ) + (PP4 + P4P6 + P6P ) = ( P P5 + P5P ) + (PP6 + P6P ) P P + P = 0 + 0 = 0 P = Ζ Α Ε α Ο Ο Β Γ β Γ.3.: ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΑΝΥΣΜΑ

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο " ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ" 7. ώστε τον ορισµό του πολλαπλασιασµού αριθµού µε διάνυσµα.. Γράψτε τις ιδιότητες του πολλαπλασιασµού αριθµού µε διάνυσµα. 3. Τι ονοµάζεται γραµµικός συνδυασµός των α και β ; 4. Πότε διανύσµατα α και β είναι παράλληλά και γιατί ; 5. Αν AB διάνυσµα και Ο ένα σηµείο αναφοράς να υπολογίσετε τη διανυσµατική ακτίνα OM του µέσου Μ του ΑΒ. 6. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Να αποδείξετε ότι: i) Ένα σηµείο G είναι το βαρύκεντρο του αν και µόνο αν ισχύει GA + GB + GΓ = 0 ii) Αν G είναι το βαρύκεντρο του τότε για οποιοδήποτε σηµείο Ο ισχύει OG = (OA + OB + OΓ) 3. Έστω λ R µε λ 0 και α ένα µη µηδενικό διάνυσµα. Ονοµάζουµε γινόµενο του λ µε το α και το συµβολίζουµε µε λ α ένα διάνυσµα το οποίο: -Είναι οµόρροπο του α αν λ>0 και αντίρροπο του α αν λ<0 -Έχει µέτρο λ α δηλαδή λα = λ α -Ειδικά αν λ=0 ή α =0 τότε ως λ α ορίζουµε το µηδενικό διάνυσµα 0.. Ιδιότητες: Αν α και β δύο διανύσµατα και λ, µ R ισχύουν: -λ(α +β )=λ α +λβ -(λ+µ) α = λ α +µ α -λ(µα )=(λµ) α - α = α Από τον ορισµό του διανύσµατος λ α και τις παραπάνω ιδιότητες προκύπτουν λ α =0 (λ=0 ή α =0) (-λ) α = λ(-α )=-(λα )

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο " ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ" 8 λ(α -β )=λ α -λβ (λ-µ) α = λ α -µ α Αν λ 0 και λ α =λβ τότε α =β Αν α 0 και λ α =µ α τότε λ=µ 3. Κάθε διάνυσµα της µορφής ν = κα + λβ ονοµάζεται γραµµικός συνδιασµός των διανυσµάτων α και β. 4. Αν α και β δύο διανύσµατα µε β 0 τότε α //β α =λβ, λ R. Απόδειξη: Αν α =λβ τότε τα διανύσµατα είναι παράλληλα. Αντιστρόφως, αν τα α και β είναι παράλληλα και β 0 τότε υπάρχει µοναδικός αριθµός λ τέτοιος ώστε α =λβ α. Πράγµατι, αν θέσουµε κ= τότε α = κ β οπότε β : Αν α ÆÆβ τότε α =κβ Αν α Æ β τότε α =-κβ Αν α =0β Σε κάθε περίπτωση λοιπόν υπάρχει λ και µάλιστα µοναδικό τέτοιο α =λβ 5. Επειδή το Μ είναι µέσο του AB έχουµε ΑΜ = ΜΒ ΑΟ + ΟΜ = ΜΟ + ΟΒ Α Μ ΟΜ = ΟΑ + ΟΒ Ο Β ΟΜ = ΟΑ + ΟΒ Η παραπάνω ισότητα είναι βασική για τη λύση ασκήσεων και είναι γνωστή ως ιδιότητα της διαµέσου τριγώνου. Έτσι, αν ΑΒΓ τρίγωνο και ΑΜ, ΒΝ και ΓΚ οι διάµεσοι του, τότε ισχύουν οι ισότητες: AM = AB + AΓ ΒΑ + ΒΓ ΓΑ + ΓΒ,ΒΝ = καιγκ =

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο " ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ" 9 6. i) Είναι γνωστό ότι αν G το κέντρο βάρους του τριγώνου ΑΒΓ θα ισχύει ΑG=GΜ, οπότε έχουµε : Β GA + GB + GΓ = GA + (GB + GΓ) = GA + GM = GA + AG = GG = 0 Άρα GA + GB + GΓ = 0 Έστω τώρα ότι ισχύει GA + GB + GΓ = 0 θα δείξουµε ότι το G είναι βαρύκεντρο, δηλαδή ότι AG = GM. Στο τρίγωνο ΒGΓ η GM είναι διάµεσος άρα ισχύει GM = GB + GΓ, οπότε έχουµε GA + GB + GΓ = 0 GA + GM = 0 AG = GM Άρα το G είναι το κέντρο βάρους του τριγώνου ΑΒΓ. ii) Έχουµε διαδοχικά: GA + GB + GΓ = 0 OA OG + OB OG + OΓ ΟG = 0 Άρα OG = (OA + OB + OΓ) 3 Α G M Γ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο " ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ" 0 Α' ΟΜΑ ΑΣ. Το διάνυσµα α = α είναι της µορφής α =λ α µε λ= >0 δηλαδή είναι το α α γινόµενο του θετικού αριθµού α µε το α. Εποµένως είναι οµόρροπο του α και α έχει µέτρο α = α = =. α α α. i) Έχουµε διαδοχικά: (χ + α) = (χ + β) 3(χ + α) = (χ + β) 3χ + 3α = χ + β 3 χ = β 3α ii) χ + 3(α + β) = 4(α β) 3χ χ + 3α + 3β = 4α 4β 3χ 7 4χ = 4α 3α 3β 4β 4χ = α 7β χ = α β 4 4 3. Ισχύει ΒΜ = ΜΓ ΒΑ + ΑΜ = (ΜΑ + ΑΓ) BA + AM = MA + ΑΓ ΑΜ + ΑΜ = ΑΓ ΒΑ 3ΑΜ = ΑΒ + ΑΓ 3χ = β + γ χ = (β + γ) 3 Α 4. i) h Β = Α + ΑΒ = β + α hισχύει Β = Ε + ΕΒ EB = Β Ε = Β ΕΒ 3 ΕΒ = Β ΕΒ = Β B 3 ΕΒ = (β + α) α Ε 3 A hγβ = Γ + Α + ΑΒ = α + β + α β h AE = AΒ + ΒΕ = ΑΒ ΕΒ = (β + α) + α = β + α 3 3 3 AE = / 3(α + β) heγ = ΕΒ + ΒΓ = ΕΒ ΓΒ = (β + α) (β α) = β + α β + α 3 3 3 β Β χ γ Μ Γ α

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο " ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ" EΓ = (α β) 3 ii) Παρατηρούµε ότι: EΓ = (α β) και ΑΕ = (α β ) δηλαδή ΕΓ = ΑΕ και άρα τα Α, Ε, 3 3 και Γ είναι συνευθειακά. ΓΕΝΙΚΑ: Όταν σε ασκήσεις θα µας ζητάνε να υπολογίσουµε ένα διανυσµατικό άθροισµα ή να προσδιορίσουµε κάποιο σηµείο ή να αποδείξουµε µια ισότητα ή να αποδείξουµε µια ισότητα, θα εργαζόµαστε ως εξής: Θα θεωρούµε ένα σηµείο ως σηµείο αναφωράς και θα εκφράζουµε τα διανύσµατα µας ως συνάρτηση των διανυσµατικών ακτίνων των άκρων τους. Έπειτα θα εφαρµόζουµε τις ιδιότητες που έχει η διανυσµατική ακτίνα του µέσου ευθύγραµµου τµήµατος, της διαµέσου τριγώνου, του κέντρου βάρους κ.τ.λ. 5. Μέθοδος: Για να δείξουµε ότι 3 σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά αρκεί να δείξουµε ότι τα διανύσµατα A Β και ΒΓ είναι παράλληλα. ηλαδή ότι υπάρχει λεr τέτοιο ώστε A Β =λβγ AΓ = ΑΒ + ΒΓ = α + β ΓΕ = Γ + Ε = 3α + 3β = 3(α + β) ΑΓ = 3ΓΕ Άρα τα Α, Γ, Ε είναι συνευθειακά 6. Μέθοδος: Αρκεί να δείξουµε ότι ΚΛ = λκμ

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο " ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ" Με σηµείο αναφοράς το Κ η ισότητα γράφεται διαδοχικά: KA 3KB (KA KB) = (KΛ ΚΒ) + 3(ΚΜ ΚΑ) KA 3KB KA KB = KΛ ΚΒ + 3ΚΜ 3ΚΑ ΚΛ = 3ΚΜ Άρα τα Κ, Λ, Μ είναι συνευθειακά. 7. Ξέρουµε ότι ΑΒ + ΑΓ ΒΑ + ΒΓ ΓΑ + ΓΒ A =,ΒΕ =,ΓΖ = Οπότε ΑΒ + ΑΓ ΒΑ + ΒΓ ΓΑ + ΓΒ A + ΒΕ + ΓΖ = + + = (AB AΓ ΒΑ ΒΓ ΓΑ ΓΒ) 0 0 + + + + + = = Β Ζ Α Ο Ε Γ 8. Μέθοδος: Θεωρούµε ένα σηµείο αναφοράς Ο και χρησιµοποιούµε την ιδιότητα της διανυσµατικής ακτίνας µέσου ευθύγραµµου τµήµατος. Α Το Μ είναι µέσο του ΑΒ OA + OB οπότε ισχύει OM = όµοια και για τα Κ και Λ έχουµε αντίστοιχα Β Μ Λ Γ OB + OΓ ΟΑ + ΟΓ OK = και ΟΛ = Οπότε OK + OΛ + ΟΜ = (ΟΒ + ΟΓ + ΟΑ + ΟΓ + ΟΑ + ΟΒ) OK + OΛ + ΟΜ = (ΟΓ + ΟΑ + ΟΒ) = OA + OB + OΓ Κ Ο 9. Μέθοδος: χρησιµοποιούµε την ιδιότητα της διανυσµατικής ακτίνας µέσου ευθύγραµµου τµήµατος για το µέσο Ν της Β, το µέσο Μ της ΑΓ.

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο " ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ" 3 Το Ν είναι µέσο της Β, άρα AN = AB + A ΓΒ + Γ όµοια ΓΝ = και Οπότε έχουµε ΝΑ + ΝΓ ΝΜ = Α Ν Μ Β ΑΒ + Α + ΓΒ + Γ = (ΑΒ + Α ) + (ΓΒ + Γ ) = Γ ΑΝ + ΓΝ = (ΑΝ + ΓΝ) = ΝΜ = 4ΜΝ 0. Μέθοδος: Χρησιµοποιούµε την ισότητα AB = AΓ + ΓΒ. Έχουµε AB = AΓ + ΓΒ = AΓ ΒΓ = λαβ µ ΑΒ ΑΒ = ( λ µ )ΑΒ λ-µ=. Μέθοδος: Θα πρέπει να δείξουµε ότι Ε = µ ΒΓ. Χρησιµοποιούµε την ισότητα Ε = ΑΕ Α. Ε = ΑΕ Α = ( λab + καγ) (καβ + λαγ) = (λ κ)αβ (λ κ) ΑΓ = = ( λ κ)(αβ ΑΓ) = (λ κ)γβ = (κ λ) ΒΓ Άρα Ε // ΒΓ B' ΟΜΑ ΑΣ. Μέθοδος: Για να δείξουµε ότι είναι παραλληλόγραµµο αρκεί να δείξουµε Ε Α G

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο " ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ" 4 ότι AE = G ή Α G = E Παίρνουµε το Α ως σηµείο αναφοράς και έχουµε E = ΕΑ + Α = Α ΑΕ = ΑΒ ( ΑΓ) = 3 3 = (AB + AΓ) = ΑΖ = ΑG 3 3 ηλαδή Α G = E άρα το ΑG Ε είναι παραλληλόγραµµο.. Μέθοδος: Για να δείξουµε ότι είναι συνευθειακά τα Ε, Γ, Ζ αρκεί να δείξουµε ότι EZ = µεγ, µ R, οπότε παίρνουµε ως σηµείο αναφοράς µια από τις κορυφές του παραλληλογράµµου και δουλεύουµε την ισότητα EZ = AZ AE Παίρνουµε το Α ως σηµείο αναφοράς και έχουµε Α Β EZ = AZ AE = λαβ κα = κ κ ΑΒ κα = (ΑΒ + ( κ)α ) κ κ () Γ Επίσης EΓ = ΑΓ ΑΕ = ΑΒ + Α κα = ΑΒ + ( κ)α () Από τις () και () προκύπτει κ EZ = ΕΓ Άρα τα Ε, Ζ, Γ είναι συνευθειακά. κ 3. Μέθοδος: Θα θεωρήσουµε αρχικώς ότι ισχύει η η και η η ισότητα και θα αποδείξουµε την 3 η και έπειτα θα θεωρήσουµε ότι ισχύει η και η 3 η και θα αποδείξουµε την η.

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο " ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ" 5 Έστω xka + ykb + zkγ = 0 και χ ΛΑ + yλβ + zλγ = 0 τις αφαιρούµε κατά µέλη και έχουµε: ( xka + ykb + zkγ) ( χλα + yλβ + zλγ) = 0 x(ka ΛB) + y(kb ΛΒ) + z(kγ ΛΓ) = 0 xkλ + ykλ + zkλ = 0 (x + y + z)kλ = 0 (x + y + z) = 0 ή ΚΛ = 0 όµως Κ Λ Οπότε (x + y + z) = 0 xka + ykb + zkγ = 0 και (x + y + z) = 0 Θεωρούµε το Λ σηµείο αναφοράς και η πρώτη ισότητα γίνεται: x(λα ΛK) + y(λβ ΛK) + z(λγ ΛK) = 0 xλα + yλβ + zλγ (x + y + z)λκ = 0 όµως (x + y + z) = 0 Οπότε xλα + yλβ + zλγ = 0. 4. Μέθοδος: Θεωρούµε ένα σηµείο αναφοράς Ο και από τη σχέση ζητούµενη. MA κ = καταλήγουµε στη MB λ Αν το Μ είναι εσωτερικό του ΑΒ έχουµε κ MA = ΜΒ λ(οα ΟΜ) = κ(οβ ΟΜ) λ λα + κβ λοα κοβ = κομ + λομ λα κβ = (κ + λ)r r = λ + κ Όµοια αν το Μ είναι εξωτερικό σηµείο του ΑΒ έχουµε: κ MA = ΜΒ λ(οα ΟΜ) = κ(οβ ΟΜ) λ λα κβ λοα κοβ = λομ κομ λα κβ = (λ κ)r r = λ κ 5. Μέθοδος: Παίρνουµε µια από τις κορυφές για σηµείο αναφοράς και δουλεύουµε µε τη σχέση που µας δίνεται. Α Β Γ

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο " ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ" 6 Θεωρούµε το Α ως σηµείο αναφοράς MA + MB + MΓ = Μ ΑΜ + ΑΒ ΑΜ + ΑΓ ΑΜ = Α ΑΜ AM = AB AΓ + Α ΑΜ = ΑΒ + ΑΓ Α όµως ΑΓ = ΑΒ + Α ΑΜ = ΑΒ + (ΑΒ + Α ) Α ΑΜ = ΑΒ ΑΜ = ΑΒ Μ=Β Άρα το ζητούµενο σηµείο είναι η κορυφή Β του παραλληλογράµµου. 6. Μέθοδος: Παίρνουµε ως σηµείο αναφοράς την κορυφή Α του τετραπλεύρου και δουλεύοντας τη σχέση 4MN = A ΒΓ προσπαθούµε να καταλήξουµε στην Α = ΒΓήΑΒ = Γ η οποία αποδεικνύει ότι το ΑΒΓ είναι παραλληλόγραµµο. Α Β 4MN = A ΒΓ 4 (AN AM) = A ΑΓ + ΑΒ () Ξέρουµε ότι το Μ είναι µέσο της AΓ ΑΓ άρα θα ισχύει AM = Επίσης το Ν είναι µέσο της Β άρα Θα ισχύει AB + A AN =. Οπότε η () γίνεται: AB + A ΑΓ 4 ( ) = Α ΑΓ + ΑΒ ΑΒ + Α ΑΓ = Α ΑΓ + ΑΒ ΑΒ + Α = ΑΓ = ΑΒ + ΒΓ Α = ΒΓ Άρα το ΑΒΓ είναι παραλληλόγραµµο. Ν Μ Γ 7. Μέθοδος: Θεωρούµε ένα σηµείο Ο ως σηµείο αναφοράς και ξεκινάµε από το πρώτο µέλος της ζητούµενης σχέσης και προσπαθούµε να καταλήξουµε στο δεύτερο µέλος. Α Α G Γ G Β Β

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο " ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ" 7 AA ' + BB' + ΓΓ' = ( ΟΑ' ΟΑ) + (ΟΒ' ΟΒ) + (ΟΓ' ΟΓ) = ( ΟΑ' + ΟΒ' + ΟΓ') (ΟΑ + ΟΒ + ΟΓ) = 3 ΟG' 3OG = 3(OG OG') = 3GG' 8. Μέθοδος: Παίρνουµε σηµείο αναφοράς το Α και δουλεύουµε την παράσταση 3 MA 5MB + MΓ προσπαθώντας να καταλήξουµε σε διάνυσµα που δεν εξαρτάται από το Μ. 3 MA 5MB + MΓ = 3 AM 5(AB AM) + (AΓ ΑΜ) = = 3ΑΜ 5ΑΒ + 5ΑΜ + ΑΓ ΑΜ= = ΑΓ 5ΑΒ Το τελευταίο διάνυσµα είναι σταθερό (ανεξάρτητο του Μ). 9. i) Μέθοδος: Χρησιµοποιούµε το ότι τα τρίγωνα ΚΑΒ και ΚΓ είναι όµοια, οπότε από τις ισότητες που ισχύουν για τα όµοια τρίγωνα προκύπτει η ζητούµενη. Ι Γ KΓ Κ Γ Ισχύουν : = = = ΚΑ ΚΒ ΑΒ Οπότε επειδή το Κ είναι εσωτερικό της ΑΓ θα είναι: KΓ = ΚΑ και Κ = ΚΒ Α Κ Β ii) Μέθοδος: Λ Για να δείξουµε ότι είναι συνευθειακά αρκεί να δείξουµε ότι ΚΙ = λκλ Κ + ΚΓ ΚΙ = = (Κ + ΚΓ) = ( ΚΒ ΚΑ) = (ΚΑ + ΚΒ) = (ΚΛ) 4 4

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο " ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ" 8 ΚΙ = ΚΛ 4 Άρα ΚΙ // ΚΛ, οπότε τα Κ, Ι, Λ είναι συνευθειακά..4.: ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο " ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ" 9. Πως ορίζονται οι συντεταγµένες στο επίπεδο ενός διανύσµατος α ;. Να γράψετε και να αποδείξετε πως υπολογίζουµε το άθροισµα α β + και το γινόµενο λ α, αν α =(χ,y ) και β =(χ,y ). 3. Έστω Α(χ,y ) και Β(χ,y ) δύο σηµεία του επιπέδου να υπολογίσετε τις συντεταγµένες του µέσου Μ του τµήµατος ΑΒ. 4. Αν Α(χ,y ) και Β(χ,y ) να υπολογίσετε τις συντεταγµένες του AB. 5. Πώς υπολογίζουµε το µέτρο ενός διανύσµατος α =(χ,y) Πώς υπολογίζουµε το µέτρο ενός διανύσµατος AB µε Α(χ,y ) και Β(χ,y ) 6. Αν α =(χ,y ) και β =(χ,y ) να δείξετε ότι α //β x y = 0 x y 7. i) Να ορίσετε το συντελεστή διεύθυνσης διανύσµατος. ii) Αν λ ο συντελεστή διεύθυνσης του α και λ ο συντελεστή διεύθυνσης του β τι πρέπει να ισχύει για να είναι τα διανύσµατα α)παράλληλα β) κάθετα. Έστω Οxy ένα σύστηµα συντεταγµένων στο επίπεδο και α ένα διάνυσµα του επίπέδου Σχεδιάζουµε το διάνυσµα Y Α α Α j Ο i Α x

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο " ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ" 0 OA = α. Αν Α και Α οι προβολές του Α στο χ χ και στον y y αντίστοιχα τότε είναι OA = OA + OA Αν (x,y) είναι οι συντεταγµένες του Α τότε OA = x i + yj ή α= x i + yj βλέπουµε ότι το α γράφεται σαν γραµµικός συνδιασµός των i και j. Τα x και y είναι µοναδικοί. Τα διανύσµατα x i καιyj λέγονται συνιστώσες του α ενώ οι αριθµοί χ και y λέγονται συντεταγµένες του α. Ο χ λέγεται τετµηµένη και ο y τεταγµένη του α. Συµβολίζουµε α =(x,y). Έστω τα διανύσµατα α =(χ,y ) και β =(χ,y ) τότε έχουµε α +β =( xi + yj )+( x i + y j )=( x + x )i + (y + y ) j και λ α =λ( xi + y j )=( λx )i + (λy ) j Άρα α +β =(x +x,y +y ) και λ α =(λx,λy ) 3. Αν Μ το µέσο του ΑΒ τότε η τεταγµένη του σηµείου Μ είναι ίση µε το µέσο όρο των τεταγµένων των σηµείων Α και Β. y + y y =. Όµοια θα ισχύει και για την τετµηµένη x = x + x. y y B(x,y ) y M(x,y) y A(x,y ) O x x x Θα είναι: OM = (OA + OB) OM=(x,y), OA = (x,y ) και OB =(x,y ) οπότε θα είναι: x + x y + y (x,y)= [(x,y ) + (x,y )] = (, ) 4. Έστω Α και Β δύο σηµεία µεoa = (x,y ) και OB =(x,y ). Αν υποθέσουµε ότι ΑΒ = (χ,y) τότε από την ισότητα ΑΒ = OA -OB προκύπτει ότι (χ,y)= (x,y )- (x,y ) ή (χ,y)= (x -x,y - y ) ηλαδή τετµηµένη ΑΒ = τετµηµένη Β - τετµηµένη Α τετµηµένη ΑΒ = τεταγµένη Β - τεταγµένη Α 5. Αν α =(x,y) τότε το µέτρο του είναι: α = χ + y

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο " ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ" Αν Α(χ,y ) και Β(χ,y ) τότε το µέτρο του ΑΒ είναι: AB = (x x) + (y y) 6. Αν α //β τότε α =λβ (x,y )=λ(x,y ) (x =λx και y =λ y ) οπότε x y - x y x y = λx y -λ y x =0 = 0 x y x y x Αντίστροφα: Αν = 0 τότε x y = x y αν x 0 γίνεται y = y x y x x θέτουµε λ= οπότε x = λx και y =λ y άρα α =λβ α //β x 6. i)έστω α =(x,y) µη µηδενικό διάνυσµα και σηµείο Α τέτοιο ώστε OA = α. α Η γωνία που σχηµατίζει ο άξονας Οχ µε την ηµιευθεία ΟΑ ονοµάζεται Α(x,y) γωνία που σχηµατίζει το διάνυσµα α y µε τον άξονα χ'χ. Από την τριγωνοµετρία γνωρίζουµε y j ω ότι εφω= Ο x i x x y O λόγος λ= της τεταγµένης προς την τετµηµένη ενός διανύσµατος α =(χ,y ) µε χ y χ 0 καθορίζει τη διεύθυνση του, αφού κάθε άλλο διάνυσµα β = (χ,y) µε = λ x έχει την ίδια διεύθυνση µε το α y. Ο λόγος λ= λέγεται συντελεστής διεύθυνσης του x διανύσµατος α. ii) α) Έτσι η συνθήκη παραλληλίας δύο διανυσµάτων α και β διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα γίνεται: α //β αν και µόνο αν λ =λ µε συντελεστές β) Ενώ για να είναι κάθετα µεταξύ τους τα δύο διανύσµατα θα πρέπει λ λ =- ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο " ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ" Α' ΟΜΑ ΑΣ. i) x = x = y - x ii) y x < < x < - x iii) y y > y < ή y> x -

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο " ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ" 3 iv) y=-x y y=x x = y x = y ή x=-y x. Μέθοδος: Η απόσταση ενός τυχαίου σηµείου Α(x,y) από τους άξονες χχ' και yy' είναι y και x αντιστοίχως. Έτσι έχουµε από τον χχ' από τον yy' Α: Β: 4 3 Γ: 6 5 : β + α Μ: y x y y χ Α(x,y) x 3. Μέθοδος: Για να αποδείξουµε ότι δύο σηµεία ταυτίζονται ή ότι δύο διανύσµατα του επιπέδου Οχy είναι ίσα αρκεί να αποδείξουµε ότι έχουν τις ίδιες συντεταγµένες. Για να δείξουµε ότι ένα διάνυσµα α =(χ, y) είναι παράλληλο στον άξονα χχ' ή στον yy' αρκεί να δείξουµε ότι y=0 ή χ=0 αντίστοιχα. ηλαδή α // χχ' y=0 και α // yy' χ=0

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο " ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ" 4 i) α =0 ( λ -4, λ -3λ+)=(0, 0) λ -4=0 () και λ -3λ+=0 () οπότε () λ= ή λ=- () =3-4 = άρα λ=(3±)/ λ= ή λ= λ= ii) α //χχ' λ -3λ+=0 λ= ή λ= όµως για λ= είναι α =0 άρα η τιµή αυτή απορρίπτεται. Έτσι είναι λ=. 4. Μέθοδος: Ισχύει α =β αν και µόνο αν λ -3λ+=λ -5λ+6 και λ -3λ-=-3λ +7λ- λ -3λ+=λ -5λ+6 λ=4 λ= λ -3λ-=-3λ +7λ- 5λ -0λ=0 5λ(λ-)=0 λ=0 ή λ= λ= 5. Μέθοδος: Θα πρέπει πρώτα να βρούµε για ποιές τιµές του χ τα διανύσµατα α και β είναι παράλληλα και έπειτα από αυτές τις τιµές θα επιλέξουµε εκείνη για την οποία ισχύει α =λ β µε λ>0. Ξέρουµε ότι α //β x = 0 χ -4=0 χ= ή χ=- 4 x Για χ= έχουµε α =(,) και β =(4,) δηλαδή β =α Για χ=- έχουµε α =(-,) και β =(4,-) δηλαδή β =-α Άρα η ζητούµενη τιµή είναι χ=- 6. Μέθοδος: Έστω v =(χ,y) το ζητούµενο διάνυσµα. Θα πρέπει u // v δηλαδή v =λ u () και v = u () Από τις () και () έχουµε: v = u λu = u λ u = u λ = λ= ή λ=-

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο " ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ" 5 Άρα το ζητούµενο διάνυσµα είναι v =(6,8) ή v =(-6,-8). 7. (α) OΓ = ΟΑ = i O = i + j OE = i + j OZ = j OK = i + j OH = i + j Ο Β j Ε Γ i Θ Η Κ Α x (β) Γ = Ο ΟΓ = i + j i = i + j KA = OA OK = i j H = Ο ΟΗ = i K = Ο ΟΚ = i + j HΘ = ΟΘ ΟΗ = i ZA = OA OZ = i j 3 KZ = OZ OK = i + j 8. Μέθοδος: Έστω Κ(x,y) το ζητούµενο σηµείο. Θα πρέπει να ισχύει KA = KB Το Κ(x,y) είναι σηµείο του άξονα χχ' άρα θα έχει τεταγµένη 0 δηλαδή Κ(x,0). Οπότε έχουµε KA = KB KA = KB Όταν σε µια ισότητα έχουµε και στα δύο µέλη µέτρα διανυσµάτων υψώνουµε στο τετράγωνο για να µην έχουµε τετραγωνικές ρίζες και έτσι οι πράξεις γίνονται πιο εύκολα.

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο " ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ" 6 (χ+) +6 =(χ+9) + 6χ=-48 χ=-3 Άρα το ζητούµενο σηµείο είναι το Μ(-3,0) Β' ΟΜΑ ΑΣ. Μέθοδος: Έστω Α(χ,y ), Β(χ,y ), Γ(χ 3,y 3 ), (χ 4,y 4 ) και Ε (χ 5,y 5 ) οι κορυφές του πενταγώνου. Ξέρουµε ότι οι συντεταγµένες µέσου π.χ. του δίνονται από τους τύπους x + x y + y 3 5 Κ=, =, χ +χ =3 και y +y =5. Όµοια και µε τα υπόλοιπα σηµεία προκύπτουν δέκα εξισώσεις µε δέκα αγνώστους. Έχουµε: χ +χ =3 y +y =5 χ +χ 3 =6 y +y 3 =7 χ 3 +χ 4 =8 y 3 +y 4 =5 Σ Σ χ 4 +χ 5 =6 y 4 +y 5 = χ 5 +χ =3 y 5 +y = Προσθέτουµε κατά µέλη τις εξισώσεις του Σ και έχουµε χ +χ +χ 3 +χ 4 +χ 5 =3 όµως χ +χ 3 =6 και χ 4 +χ 5 =6 Άρα χ +=3 χ = Όµοια βρίσκουµε: χ +=3 χ =, χ 3 +9=3 χ 3 =4, χ 4 +9=3 χ 4 =4 και χ 5 = Με όµοιο τρόπο λύνουµε και το σύστηµα Σ και βρίσκουµε : y = y =4 y 3 =3 y 4 = y 5 =0

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο " ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ" 7. Μέθοδος: Έστω (χ,y ) και (χ,y ) οι συντεταγµένες των Α και Β αντίστοιχα. Θα πρέπει οι ρίζες της εξίσωσης να είναι χ και χ. Ξέρουµε ότι αν αχ+βy+γ=0 ένα τριώνυµο και χ και χ οι ρίζες του ισχύει χ +χ =-β. Οπότε και εδώ θα έχουµε χ +χ =λ -4λ+3. Αν x x Μ(x,y) το µέσο του ΑΒ θα έχουµε x = + x x x + λ 4λ + = = λ 4λ + 3 όµως χ=4 4= λ=5 ή λ= 3 λ -4λ+3=8 λ -4λ-5=0 3. Μέθοδος: Ξεκινάµε από την υπόθεση ότι τα Μ, Μ, Μ 3, Μ 4 είναι µέσα διαδοχικών πλευρών του τετραπλεύρου ΑΒΓ και δουλεύουµε µε τις ισότητες που προκύπτουν. Ισχύουν οι ισότητες: χ + χ y + y κ = και λ = χ + χ3 y + y3 κ = και λ = χ3 + χ 4 y3 + y 4 κ3 = και λ3 = χ 4 + χ y κ 4 = και 4 + y λ 4 = Οπότε προσθέτοντας έχουµε: Μ 4 Α Μ Μ 3 Β Μ Γ

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο " ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ" 8 + + χ χ χ3 χ 4 κ + κ3 = = κ + κ 4 και λ y + y + y3 + y4 + λ3 = = λ + λ 4 + 4. Μέθοδος: Η ανισότητα που µας δίνεται να αποδείξουµε θυµίζει την τριγωνική ανισότητα του µέτρου διανυσµάτων, οπότε αν θεωρήσουµε τους αριθµούς που µας δίνει η άσκηση ως συντεταγµένες σηµείων θα προκύψει η ζητούµενη ανισότητα. Έστω τα σηµεία Α(α.β ), Β(α,β ) και Γ(χ, y). Θα ισχύει: ΓΑ + ΓΒ ΑΒ ) + (y β) + (χ α ) + (y β ) (α α) + (β β) ( χ α 5. Μέθοδος: Θέλουµε να δείξουµε ότι αν α, β µη συγγραµµικά διανύσµατα τότε για κάθε διάνυσµα r υπάρχουν µοναδικά κ και λ µε r = κα + λβ Σχεδιάζουµε τα α, β και r µε κοινή αρχή και βασιζόµενοι στον κανόνα του παραλληλογράµµου προκύπτει το ζητούµενο. Σχεδιάζουµε τα α, β και r µε κοινή αρχή Ο και είναι OA = α,οβ = β και ΟP = r Φέρνουµε παράλληλές από το Ρ προς τα OA καιοβ έτσι σχηµατίζεται το παραλληλόγραµµο ΟΓΡ. Ο Ξέρουµε ότι υπάρχουν χ και y τέτοια ώστε O = χοα = χα και ΟΓ = yob = yβ, οπότε από τον κανόνα του παραλληλογράµµου προκύπτει OP = O + ΟΓ r = χα + yβ Γ r Α Ρ Β

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο " ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ" 9 Για να δείξουµε τώρα ότι οι χ και y είναι µοναδικοί θα υποθέσουµε ότι υπάρχουν και χ' και y' τέτοιοι ώστε r = χ' α + y' β. Τότε θα έχουµε: χα + yβ = χ' α + y' β ( χ χ' )α = (y y' ) β y y' Αν χ χ' τότε θα µπορούσαµε να γράψουµε α = β το οποίο σηµαίνει ότι τα χ χ' α,β είναι παράλληλα που είναι άτοπο. Άρα είναι χ=χ' και εποµένως y=y'. ηλαδή το r εκφράζεται κατά µοναδικό τρόπο ως γραµµικός συνδυασµός των α, β..5.: ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο " ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ" 30. Να δώσετε τον ορισµό του εσωτερικού γινοµένου.. Αν α(x,y) και β(x,y ), να βρεθεί µε τι ισούται το εσωτερικό τους γινόµενο ( αναλυτική έκφραση γινοµένου ). 3. Να γράψετε ποιες ιδιότητες ισχύουν για το εσωτερικό γινόµενο. 4. Να αποδείξετε ότι συνθ = x x x + y σχηµατίζουν στο επίπεδο τα διανύσµατα. + y x y + y όπου θ η γωνία που 5. i) Να αποδείξετε τη σχέση α ν = α προβ ν α ν ii) Να δείξετε ότι προβαν = α α α. Ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο µη µηδενικών διανυσµάτων α και β και το συµβολίζουµε µε α β = α β συνφ όπου α φ β

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο " ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ" 3 φ είναι η δεξιόστροφη γωνία που θα σχηµατίσει το α για να πέσει πάνω στο β. Αν α =0 ή β =0 τότε ορίζουµε το εσωτερικό γινόµενο α. β =0. Με αρχή το Ο παίρνουµε τα διανύσµατα OA = α και OB = β Από το νόµο των συνηµιτόνων για το τρίγωνο ΟΑΒ έχουµε: (ΑΒ) =(ΟΑ) +(ΟΒ) -(ΟΑ)(ΟΒ)συνθ όµως είναι (ΑΒ) =(χ -χ ) +(y -y ), (OA) =χ +y y y B(x,y ) β y A(x,y ) θ α O x x και (ΟΒ) = χ +y. Εποµένως η αρχική ισότητα γίνεται: (χ -χ ) +(y -y ) =χ +y +χ +y -(ΟΑ)(ΟΒ)συνθ χ +χ -χ χ +y +y -y y = χ +y +χ +y -(ΟΑ)(ΟΒ)συνθ επειδή όµως (ΟΑ)(ΟΒ)συνθ = α β θα έχουµε τελικά α β = x x + yy Άρα το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων από τα οποία γνωρίζουµε τις συντεταγµένες τους είναι ίσο µε το άθροισµα των γινοµένων των οµώνυµων συντεταγµένων τους α β = x + x yy 3. Ι ΙΟΤΗΤΕΣ: α β = β α (αντιµεταθετική ιδιότητα ) Αν Αν α β τότε α β = 0 και αντίστροφα α β τότε α β = α β και αντίστροφα

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο " ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ" 3 Αν α β τότε α β = α β και αντίστροφα α(β + γ) = α β + α γ (επιµεριστική ιδιότητα ) (λ α ) β = α (λβ) = λ(α β ), λ R (λα) (µβ) = λµ(α β) λ, µ R 4. Ξέρουµε ότι α β = α β συνφ () Από αυτά γνωρίζουµε ότι: α β = x x + yy, α = x + y και β = x + y. Με αντικατάσταση αυτών στην σχέση () θα έχουµε: συνφ = αβ α β = x x + x y + y x y + y 5. i) Έστω α και ν δύο διανύσµατα του επιπέδου. Με αρχή ένα σηµείο Ο θεωρούµε τα OA = α και ΟΒ = ν. Από το Β φέρνουµε κάθετο στη διεύθυνση του OA και έστω Μ το ίχνος της καθέτου. Β Το διάνυσµα OM ονόµάζεται προβολή του ν στο α και ν συµβολίζεται προβ α ν. φ Για το εσωτερικό γινόµενο των α Ο και ν Μ α Α έχουµε: α ν = α (ΟΜ + ΜΒ) = α ΟΜ + α ΜΒ όµως α ΜΒ α ΜΒ = 0 α ν = α ΟΜ = α προβαν

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο " ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ" 33 Άρα α ν = α προβ ν () α ii) Επειδή OM // α θα υπάρχει λ R τέτοιο ώστε OM = λα (). Αρκεί να υπολογίσουµε το λ. Από τις () και () έχουµε: α ν α ν = α (λα) = λα λ = α Άρα από την () προκύπτει ότι: α ν προβαν = α α

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο " ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ A OMA ΑΣ. i) Μέθοδος: Χρησιµοποιούµε τις ιδιότητες του εσωτερικού γινοµένου διανυσµάτων και τον τύπο α β = x x + yy και υπολογίζουµε τα ζητούµενα εσωτερικά γινόµενα. α β = (-)+3 5=-+5=3 (α) ( 3β) = -6 α β =-6 3=-6 ( α β)(3α + β) = 3α + α β 3α β β =3( +3 )- 3-( +5 ) =30-6-9 =-5 ii) Μέθοδος: Χρησιµοποιούµε τις ιδιότητες του εσωτερικού γινοµένου διανυσµάτων και τον τύπο α β = x x + yy και δουλεύουµε τη σχέση u β = 0 u β = (κ, λ)(,5) = κ + 5λ =0 Άρα όλα τα διανύσµατα u (κ,λ) µε κ+5λ=0 είναι κάθετα στο διάνυσµα β και παράλληλα µεταξύ τους.. Μέθοδος: Χρησιµοποιούµε τις ιδιότητες του εσωτερικού γινοµένου διανυσµάτων και τον τύπο του µέτρου διανύσµατος α = (χ, y) : α = χ + y u (7v + w) = 7u v + u w =7(,)(4,)+(,)(6,0)=7(4+4)+6=56+6=6 u(v w) = + 4 = 4 5 (u v)w = 8w = 8 w = 8 6 + 0 = 8 6 = 48 ( u v)w = u(v w) = 5 4 = 4 5 KEMA

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο " ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 3. Μέθοδος: ύο διανύσµατα α και β είναι κάθετα µεταξύ τους αν και µόνο αν α β = 0. Βασιζόµενοι σε αυτήν την ιδιότητα υπολογίζουµε το λ. i) Πρέπει α (α + λβ) = 0 α + λα β = + λ = λ + = 0 λ=- ii) Οµοίως β (α + λβ) = 0 α β + λβ = + λ = 0 λ = 4. Μέθοδος: Ονοµάζουµε v = (χ, y) τα ζητούµενα διάνυσµατα και για να είναι κάθετα στο u θα πρέπει u v =0 και x + y = ή χ +y = u v =0 (3,-)(x,y)=0 3x-y=0 () επίσης πρέπει να ισχύει χ +y = () Λύνουµε το σύστηµα και προκύπτει: () χ=y/3 και αντικαθιστώντας το χ στη () έχουµε: 4y 3 + y = 4y + 9y = 9 3y = 9 y = ± 9 3 Άρα από την () έχουµε χ= ± 3 Οπότε τα ζητούµενα διανύσµατα είναι: (x,y)=( 3 3, ) και (x,y)=(, ) 3 3 3 3 5. Μέθοδος: ύο διανύσµατα α και β είναι κάθετα µεταξύ τους αν και µόνο αν α β = 0. Βασιζόµενοι σε αυτήν την ιδιότητα υπολογίζουµε το κ. Εδώ για να υπολογίσουµε το εσωτερικό γινόµενο δεν χρησιµοποιούµε τον τύπο µε τις συντεταγµένες αλλά τον τύπο του ορισµού: α β = α β συνφ. KEMA

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο " ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ u v u v = 0 (3α β)(κα + β) = 0 3κα + 6αβ καβ β = 0 π 3κ α + (6 κ) ( α β συν ) β = 0 3 3 κ 4 + (6 κ)( 3 ) 9 =0 κ=0 6. i) Έχουµε α β = 0 4κ+3=0 κ=-3/4 ii) Μέθοδος: Χρησιµοποιούµε τον τύπο συνφ= x x x + y + y y x + y Έχουµε π συν 4 = κ 4κ + 3 + 4 + 3 5 κ κ + 5 = 4κ + 3 + = 8κ + 6 Υψώνουµε τα µέλη της τελευταίας ισότητας στο τετράγωνο και λύνουµε τη δευτεροβάθµια που προκύπτει. 7κ +48κ-7=0. Υπολογίζουµε κ=±/7. Από αυτές τις τιµές του κ µόνο η /7 επαληθεύει την εξίσωση. Άρα κ=/7 iii) Μέθοδος: Χρησιµοποιούµε την ιδιότητα χ χ α // β y y = 0 α // β χ y χ y = 0 3κ-4=0 κ=-4/3 7. Μέθοδος: KEMA

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο " ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Για να υπολογίσουµε τη γωνία φ των διανυσµάτων u και v u v χρησιµοποιούµε τον τύπο συνφ= Αρα θα πρέπει να υπολογίσουµε u v τα µέτρα των διανυσµάτων u και v και το εσωτερικό τους γινόµενο. Έχουµε u v = (α + 4β)(α β) = α u v = + ( )-4 u v =-3 αβ + 4αβ 4 β = α + αβ 4 β Τώρα υπολογίζουµε τα µέτρα των u και v : u = (α + 4β) = 4α + 6αβ + 6β = 4 + 6( ) + 6 = u = 3 v = (α β) = α αβ + β = ( ) + ν = 3 u v Εποµένως συνφ= u v = 3 = Άρα φ=π/3 3 3 8. α (α β) α(α β) = 0 α α = αβ α αβ = 0 ^ ^ = α β συν(α,β) συν(α,β) = α β 9. Μέθοδος: Αρκεί να δείξουµε ότι u v =0 u v = ( α β + β α)( α β β α) = α β β α = α β β α = 0 0. KEMA

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο " ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Για να είναι κάθετο θα πρέπει ν β = 0 Έχουµε ν β = (β α (α β)β) β = β (α β) (α β)β = 0. i) Έχουµε AB =(6-3,-4+)=(3,-) και Γ =(--,-5)=(-,-3) Άρα το εσωτερικό γινόµενο των AB και Γ θα είναι: AB Γ =3(-)+(-)(-3)=-6+6=0 ii) Επειδή AB Γ =0 τα διανύσµατα AB και Γ είναι κάθετα µεταξύ τους. Γενικά για να λύσουµε ασκήσεις µε τη βοήθεια του εσωτερικού γινοµένου συνήθως κάνουµε κάτι από τα παρακάτω: Αξιοποιούµε τη συνθήκη καθετότητας, αντικαθιστώντας ένα από τα δύο διανύσµατα του εσωτερικού γινοµένου µε την προβολή του πάνω στο άλλο. Χρησιµοποιούµε την ιδιότητα : α β = (α + β)(α β) Όταν έχουµε ισότητα µέτρων υψώνουµε στο τετράγωνο εµφανίζοντας κατόπιν τη διαφορά τετραγώνων. ουλεύουµε µε τη βοήθεια του ορισµού. KEMA

B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Μέθοδος: Το β θα είναι της µορφής : β = λα + ν όπου ν α Παίρνουµε το εσωτερικό γινόµενο α β και υπολογίζουµε το λ. α β = λα + v α α β =λ α ( ν α = 0 αφού ν α ) (-8)+(-4)5=λ 0-36=0λ 9 λ= 5 Εποµένως το διάνυσµα β γράφεται: 9 9 β = α + ν ν = β + α ν = ( 8,5) + 5 5 ν = (, ) 5 5 ηλαδή το β τελικά γράφεται: 9 β = α + (, ) 5 5 5 3. Μέθοδος: 9 5 8 36 (, 4) = ( 8 +,5 ) 5 5 Η µια διαγώνιος θα έχει µήκος ίσο µε το µέτρο του διανύσµατος (5α + β) + (α 3β) = 6α β ενώ η άλλη διαγώνιος θα έχει µήκος ίσο µε το µέτρο του διανύσµατος (5α + β) (α 3β) = 4α 5β α 3β 4α 5β 6α β 5α + β 6α β = (6α β) = 36α α β + β = 36 α α β συν45 + β = 36 8 3 + 9 6α β = 5 6α β = 5 ΚΕΜΑ

B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Οµοίως υπολογίζουµε και το µήκος της άλλης διαγωνίου: 4α + 5β = (4α + 5β) = 6α + 40α β + 5β = 6 8 + 40 = 593 4 α + 5β = 593 3 + 5 9 4. Μέθοδος: Θεωρούµε ως άξονα των χ την ευθεία Ε και αρχή των αξόνων το σηµείο Α, οπότε µπορούµε να υπολογίσουµε τις συντεταγµένες του κάθε διανύσµατος. Έχουµε: AB AΓ + ΑΒ + Γ = ΑΒ(ΑΓ + Γ ) = ΑΒΑ Είναι ΑΒ = ( 3,4) και Α = (5,0 ) οπότε AB AΓ + ΑΒ + Γ = ΑΒΑ = ( 3,4)(5,0) = 5 5. Μέθοδος: Υψώνουµε στο τετράγωνο τα δύο µέλη της ισότητας και κάνουµε πράξεις. i) α + β = α + β ΚΕΜΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο.. : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε εξίσωση γραµµής C;. Πως υπολογίζουµε το συντελεστή διεύθυνσης λ µιας ευθείας όταν γνωρίζουµε ότι αυτή διέρχεται από δύο σηµεία Α(χ, y ) και Β(χ, y ); 3. Γράψτε τις συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών. 4. Να γράψετε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από ένα σηµείο Α και έχει γνωστό συντελεστή διεύθυνσης λ. 5. Να γράψετε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από δύο γνωστά σηµεία Α και Β.. Μια εξίσωση µε δύο αγνώστους χ, y λέγεται εξίσωση µιας γραµµής C, όταν οι συντελεστές των σηµείων της C, και µόνο αυτές, την επαληθεύουν.. Αν Α(χ, y ) και Β(χ, y ) τότε ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από αυτά είναι: y y λ = x x Τονίζουµε ότι: -Αν ε//yy τότε ο συντελεστής διεύθυνσης λ δεν ορίζεται -Αν ε//χχ τότε ο συντελεστής διεύθυνσης είναι λ=0 3. Οι συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας είναι: ε //ε λ =λ και ε ^ε λ λ =-

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο 4. Έστω Α(χ ο, y ο ) το σηµείο του επιπέδου από το οποίο περνάει η ευθεία µε συντελεστή διεύθυνσης λ, τότε η εξίσωση της θα είναι: y-y o =λ(χ-χ ο ) 5. Έστω Α(χ, y ) και Β(χ, y ) τα σηµεία από τα οποία διέρχεται η ευθεία, τότε η εξίσωση της θα είναι: y y y-y = (x x) x x ΓΕΝΙΚΑ: Μια ευθεία στο επίπεδο καθορίζεται πλήρως όταν γνωρίζουµε: Ένα σηµείο της και τον συντελεστή διεύθυνσης της. ύο σηµεία της. ΕΠΙΣΗΜΑΙΝΟΥΜΕ ΟΤΙ: Όταν µας ζητείται η εξίσωση µιας ευθείας η οποία διέρχεται από ένα σηµείο Α(χ ο,y o ) και η οποία ικανοποιεί κάποιες συνθήκες, θα πρέπει να έχουµε υπόψη µας ότι από ένα σηµείο Α(χ ο,y o ) διέρχονται: ευθείες µε συντελεστή διεύθυνσης λ R και οι οποίες περιγράφονται από τις εξισώσεις: y-y o =λ(χ-χ ο ) ή y=λχ+β και η ευθεία µε εξίσωση: χ=χ ο Τέλος η χρήση του τύπου y=λχ+β είναι συνήθως καταλληλότερη για την εύρεση της εξίσωσης της ευθείας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Α ΟΜΑ ΑΣ. Μέθοδος: y y Εφαρµόζουµε τον τύπο: λ= για τα i) και ii) και για το iii) x x χρησιµοποιούµε και την ιδιότητα ε ^ε λ λ =-. Λύση i) Υπολογίζουµε το συντελεστή διεύθυνσης της ζητούµενης ευθείας. y y 6 4 λ = = = = x x + y y 0 ii)όµοια έχουµε : λ = = = = x x 0 + iii) Θα πρέπει να ισχύει: λ 3 λ =- λ 3 =-/. Μέθοδος: y y Εφαρµόζουµε τον τύπο λ= για να βρούµε το συντελεστή x x διεύθυνσης και έπειτα από τη σχέση εφω=λ υπολογίζουµε τη γωνία ω. Λύση (i) Η ευθεία που διέρχεται από τα σηµεία ΑΒ έχει συντελεστή y y διεύθυνσης λ= =. Άρα εφω=λ= ω=π/4=45 x x (ii) Η ευθεία που διέρχεται από τα σηµεία Α(-, 4) και Β(, 6) έχει y y 4 3 συντελεστή διεύθυνσης λ= = =. Άρα εφω=λ= ω=π/4=45 x x 0 + (iii) Τα Α και Β έχουν την ίδια τετµηµένη άρα η ευθεία ΑΒ θα είναι κάθετη στον άξονα χχ. Εποµένως ο συντελεστής διεύθυνσης δεν ορίζεται και η γωνία που σχηµατίζει η ευθεία ΑΒ µε τον χχ είναι ω=90.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο (iv) Τα Α και Β έχουν την ίδια τεταγµένη άρα η ευθεία ΑΒ θα είναι παράλληλη στον άξονα χχ. ηλαδή ω=0. 3. Μέθοδος: Υπολογίζουµε το συντελεστή διεύθυνσης λ της ζητούµενης κάθε φορά ευθείας από τις σχέσεις: ε //δ λ =λ δ και ε ^δ λ λ δ =-. Έπειτα βρίσκουµε την εξίσωση από τον τύπο y-y o =λ(χ-χ ο ) βάζοντας όπου (χ ο, y ο ) το Α(, -) Λύση (i) Είναι λ δ =-/3 άρα λ =-/3. Άρα η εξίσωση της ευθείας θα είναι: y+=-/3(χ-) y= x 3 3 (ii) Το λ δ δεν ορίζεται γιατί η τετµηµένη είναι µηδέν, δηλαδή το διάνυσµα δ είναι κάθετο στον άξονα χχ, εποµένως και η ζητούµενη ευθεία θα είναι κάθετη στον άξονα χχ. Άρα η εξίσωση είναι: χ= (iii) λ=εφ45 λ=. Άρα η εξίσωση της ευθείας θα είναι: y-y o =λ(χ-χ ο ) y+= (χ-) y=x- 4. Μέθοδος: Ξέρουµε ότι για να βρούµε την εξίσωση µιας ευθείας χρειαζόµαστε ένα σηµείο και το συντελεστή διεύθυνσης. Εδώ για τις εξισώσεις των υψών θα έχουµε ως σηµείο την αντίστοιχη κορυφή και τον συντελεστή θα τον υπολογίσουµε από την καθετότητα µε την αντίστοιχη πλευρά. Λύση Α (i) Ισχύει : Α ΒΓ οπότε θα έχουµε λ Α λ ΒΓ =-. 4 Είναι λ ΒΓ = =, άρα η 3 3 3 Α θα έχει συντελεστή διεύθυνσης λ Α =3. Έτσι η εξίσωση της Α θα είναι: y-y Α =λ(χ-χ Α ) y-0=3(χ+) y=3χ+3 Β Ζ Ε Γ Οµοίως υπολογίζουµε και τις εξισώσεις των υψών ΒΕ και ΓΖ. Ισχύει : ΒΕ ΑΓ οπότε θα έχουµε λ ΒΕ λ ΑΓ =-.Είναι λ ΑΓ =-, άρα η ΒΕ θα έχει συντελεστή διεύθυνσης λ ΒΕ =/. Έτσι η εξίσωση της ΒΕ θα είναι: y-y Β =λ(χ-χ Β ) y=/(χ+)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο Ισχύει : ΑΒ ΓΖ οπότε θα έχουµε λ ΑΒ λ ΓΖ =-.Είναι λα Β =/, άρα η ΓΖ θα έχει συντελεστή διεύθυνσης λ ΓΖ =-. Έτσι η εξίσωση της ΓΖ θα είναι: y-y Γ =λ(χ-χ Γ ) y=-χ- (ii) Είναι προφανές ότι και οι µεσοκάθετοι θα έχουν τους ίδιους συντελεστές διεύθυνσης µε τα αντίστοιχα ύψη και θα περνάν από το µέσο της αντίστοιχης πλευράς. Άρα έχουµε 3 3 + 4 Έστω Μ το µέσο της ΒΓ θα είναι Μ(, ) = (0,3 ) οπότε η εξίσωση της µεσοκαθέτου θα είναι: y-3=3(χ-0) y=3χ+3 3 + 0 Έστω Κ το µέσο της ΑΒ θα είναι Κ(, ) = (, ) οπότε η εξίσωση της µεσοκαθέτου θα είναι: y=-χ+3 4 4 Έστω Λ το µέσο της ΑΓ θα είναι Λ(, ) = (,) οπότε η εξίσωση της µεσοκαθέτου θα είναι: y= χ+3. 5. Μέθοδος: Α Αρκεί να δείξουµε ότι το ΑΒΓ είναι παραλληλόγραµµο και ότι ΑΓ Β. Λύση Β Έχουµε: λ Α =/ και λ ΒΓ =/, άρα Α //ΒΓ. Επίσης έχουµε λ ΑΒ =λ Γ,, άρα ΑΒ//Γ Εποµένως το τετράπλευρο ΑΒΓ είναι Γ παραλληλόγραµµο. Επιπλέον είναι λ ΑΓ = και λ Β =-, οπότε λ ΑΓ λ Β =- δηλαδή οι ΑΓ και Β είναι κάθετες µεταξύ τους. Άρα το παραλληλόγραµµο ΑΒΓ είναι ρόµβος. Ξέρουµε ότι η ΑΓ έχει συντελεστή διεύθυνσης λ ΑΓ = και διέρχεται από το σηµείο Α(3, ) οπότε θα έχει εξίσωση y-=-(x-3) y=-x+4. Επίσης ξέρουµε ότι η Β έχει συντελεστή διεύθυνσης λ Β = και διέρχεται από το σηµείο Β(5, 5) οπότε θα έχει εξίσωση y-5=(x- 5) y=x. 6. Μέθοδος: Για να είναι συνευθειακά τα Α, Β, Γ θα πρέπει οι ευθείες ΑΒ και ΑΓ να έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης, γιατί τότε θα είναι παράλληλες µε ένα κοινό σηµείο το Α, δηλαδή θα ταυτίζονται.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο Λύση Έχουµε 0 + λ ΑΒ = = συνευθειακά. 3 + και λ ΑΓ = =. Οπότε λ ΑΒ =λ ΑΓ. Άρα τα Α, Β, Γ είναι 7. Μέθοδος: Υπολογίζουµε την εξίσωση της ευθείας ΑΒ µε το γνωστό τρόπο και έπειτα για να βρούµε για ποια τιµή του θ περνάει από την αρχή των αξόνων βάζουµε στην εξίσωση όπου χ και y το µηδέν και υπολογίζουµε το θ. Λύση Ο συντελεστής διεύθυνσης της ζητούµενης ευθείας ε είναι: συνθ ηµθ ηµθ συνθ λ= = = (αφού είναι θ π/4) ηµθ συνθ ηµθ συνθ Άρα η ευθεία ε που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ=- και διέρχεται από το σηµείο Α(συνθ, ηµθ) έχει εξίσωση : y-ηµθ=-(χ-συνθ) y=-χ+(ηµθ+συνθ) Η ευθεία αυτή θα διέρχεται από την αρχή των αξόνων αν και µόνο αν: 8. Μέθοδος: 0=-0+(ηµθ+συνθ) ηµθ=-συνθ εφθ=- θ=-π/4, αφού -π/<θ<π/ Θα πρέπει να υπολογίσουµε τι συντεταγµένες του κέντρου βάρους G. Αυτό µπορεί να γίνει εφαρµόζοντας τους τύπους: xa + xb + xγ ya + yb + yγ xg = και yg = 3 3 Έπειτα αφού θα έχουµε τις συντεταγµένες του Α και του G θα µπορούµε να βρούµε την εξίσωση της ΑG Λύση Έχουµε: και x y G G xa + xb + xγ 4 + 3 = = 3 3 ya + yb + yγ 3 + 5 4 = = 3 3 = = 3 4 3

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο 4 5 3 άρα ο συντελεστής διεύθυνσης θα είναι: λ= 3 = 3 = 5 3 3 Οπότε η ζητούµενη εξίσωση θα είναι: y-3=(x-) ή y=x+ Β ΟΜΑ ΑΣ. Μέθοδος: y Θεωρούµε Β και Γ τα σηµεία που τέµνουν τους άξονες οι ζητούµενες ευθείες. Τότε θα πρέπει να ισχύει: (ΟΒ)=(ΟΓ). A χ Εφόσον η ζητούµενη ευθεία περνάει από το σηµείο Α θα έχει εξίσωση: y-=λ(χ+) () ηλαδή τα σηµεία Β και Γ που τέµνει τους άξονες θα είναι λ + λ + Β(,0) και Γ( 0, λ + ). Έτσι αφού (ΟΒ)= και (ΟΓ)= λ + λ λ το τρίγωνο είναι ισοσκελές αν και µόνο αν λ + λ + = λ + = λ + λ = λ = ή λ = λ λ Άρα η () γίνεται: y-=λ(χ+) y-=χ+ y=χ+3 ή y-=λ(χ-+) y-=-χ- y=-χ+ Εποµένως οι ζητούµενες ευθείες που σχηµατίζουν β µε τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο είναι: y=χ+3 και y=-χ+. Μέθοδος Όταν θα έχουµε σηµείο ή σηµεία και την εξίσωση κάποιας γραµµής θα ελέγχουµε αν το σηµείο ανήκει ή όχι στη γραµµή.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο Ξέρουµε τις εξισώσεις των υψών οπότε από την καθετότητα τους µε τις αντίστοιχες πλευρές µπορούµε να βρούµε τους συντελεστές διεύθυνσης των ΑΓ και ΑΒ. Έπειτα για να βρούµε τις συντεταγµένες των Β και Γ λύνουµε τα συστήµατα των εξισώσεων των ΑΒ,Β Β και ΓΑ και ΓΕ αντίστοιχα. Ε Α Γ Λύση Παρατηρούµε ότι το Α δεν επαληθεύει καµία από τις εξισώσεις που δίνονται. Άρα οι εξισώσεις αυτές αντιστοιχούν στα ύψη Β και ΓΕ. 3 Έστω ότι η y = x + είναι η εξίσωση του Β και η y=-x+ του ΓΕ, τότε επειδή Β ΑΓ και ΓΕ ΑΒ θα είναι λ Β λ ΑΓ =- λαγ =- λ ΑΓ = και λ ΓΕ λ ΑΒ =- -λ ΑΒ =- λ ΑΒ =. Άρα οι εξισώσεις των ΑΓ και ΑΒ θα είναι αντιστοίχως οι: y-4=-(x-) y=-x+6 : ΑΓ y-4=(x-) y=x+3 :ΑΒ Για να βρούµε τις συντεταγµένες του Γ λύνουµε το σύστηµα: ΑΓ: y=-x+6 ΓΕ: y=-x+ (χ, y)=(4,-)=γ Για να βρούµε τις συντεταγµένες του Β λύνουµε το σύστηµα: ΑΒ: y=x+3 3 Β : y = x + (χ, y)=(-3,0)=β Τέλος υπολογίζουµε από τα Β και Γ τον συντελεστή διεύθυνσης της ΒΓ και έπειτα την εξίσωση της. - - 0 λ ΒΓ = = Άρα η εξίσωση της ΒΓ θα είναι: 4 + 3 7 6 y-0= (x+3)y= x 7 7 7

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο 3. Μέθοδος Με τη βοήθεια του τύπου των συντεταγµένων του µέσου ευθύγραµµου τµήµατος, θα µεταφέρουµε τις άγνωστες συντεταγµένες ενός σηµείου πάνω σε γνωστές ευθείες, διαµέσους, µεσοκαθέτους, ευθείες που προκύπτουν από συµµετρία. Όταν θα µας ζητείται η εξίσωση µιας ευθείας η οποία διέρχεται από ένα σηµεία, δε θα πρέπει να παραλείπουµε την ευθεία µε εξίσωση χ=χ ο Α τρόπος: Οι ευθείες που διέρχονται από το σηµείο Μ(, ) είναι η κατακόρυφη µε εξίσωση χ= και οι µη κατακόρυφες µε εξισώσεις y-=λ(x-) Η ευθεία χ= τέµνει την y=x+ στο σηµείο Β(,3) και την y=-x+ στο σηµείο Γ(,-).Το ΒΓ έχει µέσο το σηµείο µε συντεταγµένες + 3 (, ) = (, ) που είναι οι συντεταγµένες του Μ. Άρα η κατακόρυφη χ= είναι µια από τις ζητούµενες ευθείες. Η ευθεία y-=λ(x-), τέµνει τις y=x+ και y=-x+ στα σηµεία Β και Γ αντιστοίχως που οι συντεταγµένες είναι λύσεις των συστηµάτων y=x+ y-=λ(x-) () και y=-x+ () y-=λ(x-) λ 3λ Από το () έχουµε : x=, y = και λ - λ λ λ Από το () έχουµε : χ=, y = λ + λ + Άρα οι συντεταγµένες των Β και Γ αντίστοιχα είναι: λ 3λ λ λ Β(, ) και Γ (, ) οπότε το µέσο του ΒΓ θα έχει λ - λ λ + λ + συντεταγµένες: λ λ 3λ λ Μ =( ( + ), ( + )) λ - λ + λ λ +

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο και για να είναι Μ=Μ θα έχουµε: λ λ 3λ λ Μ =( ( + ), ( + )) =(,)=Μ λ - λ + λ λ + 4λ 3λ + λ λ + λ = 4 και = λ λ ή λ = λ και λ + 4λ = λ Η πρώτη από τις παραπάνω εξισώσεις είναι αδύνατη για κάθε πραγµατικό αριθµό λ, άρα δεν συναληθεύουν για κανένα λ. Έτσι η µόνη λύση του προβλήµατος είναι η κατακόρυφη ευθεία χ=. Β τρόπος: Θεωρούµε Α(x y ) και B(x,y ) τα σηµεία στα οποία τέµνει η ζητούµενη ευθεία ε τις ευθείες y=x+ και y=-x+ αντιστοίχως. Τότε θα έχουµε: x + x y + y = = x + x x x = + = x x + x x = 4 = 0 χ = και χ = Άρα (x y )=(, 3) και (x,y ) =(,-) οπότε τα ζητούµενα σηµεία είναι τα Α(,3) και Β(,-). Έτσι η ευθεία ε=αβ έχει εξίσωση χ=. 4. Μέθοδος i) Βρίσκουµε το συντελεστή διεύθυνσης της PQ και έπειτα υπολογίζουµε την εξίσωση της. ii) Θέτουµε στη εξίσωση της PQ χ=0 και έπειτα y=0 και βρίσκουµε τα Β και Α αντιστοίχως. Έπειτα αποδεικνύουµε την ζητούµενη ισότητα. Λύση i) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που ορίζεται από τα σηµεία P και Q είναι : λ κ =. Άρα η εξίσωση της ευθείας που λ κ κλ ορίζεται από τα σηµεία P και Q είναι :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο κ + λ y = ( χ κ ) δηλαδή y = χ + () κ κλ κλ κλ κ + λ ii) Από την () έχουµε, για χ=0, y = και, για y=0, έχουµε χ=κ+λ. κλ Άρα τα σηµεία τοµής της PQ µε τους άξονες y y και χ χ αντιστοίχως είναι τα: κ + λ Β 0, και Α(κ+λ,0) κλ Υπολογίζουµε τα ΑΡ και ΒQ : και Άρα ΑΡ=ΒQ. (ΑΡ)= ( κ κ λ) + ( 0) = λ + κ κ (ΒQ)= κ + λ ( λ 0) + ( ) = λ + λ κλ κ 5. Μέθοδος Υπολογίζουµε το συντελεστή διεύθυνσης ητς ζητούµενης ευθείας και έπειτα την εξίσωση της. Λύση Η ευθεία που διέρχεται από τα σηµεία Α(α,0) και Β(0,β) έχει β 0 β συντελεστή διεύθυνσης λ= = οπότε η εξίσωση της θα είναι: 0 α α 6. Μέθοδος β β χ y y-0=- ( χ α) y = χ + β αy + βχ = αβ + = α α α β Ο συντελεστής διεύθυνσης της ζητούµενης ευθείας ε θα έχει τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης µε την y= x δηλαδή λ= οπότε 3 3 3 υπολογίζοντας και τα σηµεία Α(α,0) και Β(0,β ) βρίσκουµε την εξίσωση της ε. Λύση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο Η εξίσωση της ευθείας θα έχει τη µορφή: y= 3 x+β, β 0. Τα Α και Β ανήκουν στην ευθεία, άρα οι συντεταγµένες τους θα είναι: Για y=0 η εξίσωση γίνεται χ= 3 β και για χ=0 γίνεται y=β. Άρα τα Α και Β θα είναι: Α ( 3 β,0) και Β(0,β). Επίσης από τα δεδοµένα της άσκησης έχουµε 3 β+β=5 5β=30 β=6. Άρα η ζητούµενη εξίσωση θα είναι y= 3 x+6.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο.. : ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ. Ποια είναι η γενική µορφή εξίσωσης της ευθείας.. Ποιος είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας Αχ+Βy+Γ=0, Β 0. 3. (i) ώστε δύο διανύσµατα παράλληλα στην ευθεία µε εξίσωση Αχ+Βy+Γ=0 (ii) ώστε δύο διανύσµατα κάθετα στην ευθεία µε εξίσωση Αχ+Βy+Γ=0 4. Έστω οι ευθείες: ε : α χ+β y+γ=0 ε : α χ+β y+γ=0 και δ και δ τα παράλληλα προς αυτές διανύσµατα. Πώς θα υπολογίσουµε την γωνία θ µεταξύ των ευθειών ε και ε ;

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο. Κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της µορφής Αχ+Βy+Γ=0 () µε Α 0 ή Β 0 και αντιστρόφως, κάθε εξίσωση της µορφής () παριστάνει ευθεία γραµµή.. Η ευθεία µε εξίσωση Αχ+Βy+Γ=0 αν Β 0 έχει συντελεστή A διεύθυνσης λ= B 3. (i) H ευθεία µε εξίσωση Αχ+Βy+Γ=0 είναι παράλληλη στο διάνυσµα δ (Β,-Α) ή στο διάνυσµα δ '(-Β,Α) (ii) H ευθεία µε εξίσωση Αχ+Βy+Γ=0 είναι κάθετη στο διάνυσµα η (Α,Β) ή στο διάνυσµα η' (-Α,-Β) 4. Η γωνία θ µεταξύ των ευθειών είναι ίδια µε τη γωνία φ µεταξύ των διανυσµάτων δ και δ οπότε δ δ συνθ= συνφ = δ δ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Α ΟΜΑ ΑΣ. Μέθοδος Για να παριστάνει ευθεία η εξίσωση (µ-)x + µy + µ = 0 θα πρέπει να µην µηδενίζονται ταυτόχρονα οι συντελεστές των x και y. Επίσης, µια ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα των x x όταν ο συντελεστής του x είναι µηδέν και παράλληλη στον άξονα των y y όταν ο συντελεστής του y είναι µηδέν. Παρατηρούµε ότι δεν υπάρχει τιµή του µ που να µηδενίζει ταυτόχρονα τους συντελεστές των x και y γιατί εφόσον µ-=0 και µ=0 µ= και µ=0 άτοπο-. Άρα για κάθε τιµή του µ η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Η ευθεία παράλληλη στον x x : µ-=0 µ= άρα η ευθεία γράφεται y+ =0 y=- Άρα όταν µ= τότε η ευθεία είναι // x x. Η ευθεία // στον y y: µ=0 οπότε η ευθεία γράφεται -x+0 =0 -x=0 x=0 Άρα για µ=0 είναι ε // yý. Για να περνάει η ε από την αρχή των αξόνων θα πρέπει ο σταθερός όρος να είναι µηδέν δηλαδή, µ =0 µ=0 οπότε η εξίσωση γράφεται x=0. Αρα για µ=0, περνάει από την αρχή των αξόνων.. Μέθοδος Για να βρούµε την εξίσωση µιας ευθείας χρειαζόµαστε ένα σηµείο και τον συντελεστή διεύθυνσης. Εδώ έχουµε ένα σηµείο και µπορούµε να υπολογίσουµε τον συντελεστή διεύθυνσης αφού η ζητούµενη ευθεία ε είναι κάθετη στην ε : x-3y+6=0, η οποία έχει συντελεστή διεύθυνσης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο a λ = β = =, οπότε θα είναι λ λ = - 3 3 λ λ = - 3 λ = - λ = - 3 και επειδή διέρχεται από το Α (-,3) θα έχει εξίσωση ε = y-3 =- 3 (x+) y =- 3 x Το σηµείο τοµής των δύο ευθειών θα είναι η λύση του συστήµατος των εξισώσεων τους 3 y = - x x = - 3 8 x-3y+6 = 0 y = 3 3. Μέθοδος : Βρίσκουµε το σηµείο τοµής λύνοντας το σύστηµα των εξισώσεων των ευθειών ε : x 5y +3 = 0 και ε = : x -3y 7 = 0. Έτσι θα γνωρίζουµε ένα σηµείο της ζητούµενης ευθείας ε. Έπειτα υπολογίζουµε και το συντελεστή διεύθυνσης από την καθετότητα µε την ε 3 : 4x + y =. Οι συντεταγµένες του συστήµατος του σηµείου τοµής θα είναι η λύση του συστήµατος : x - 5y + 3 = 0 x = -44 x 3y 7 = 0 y = -7 Άρα η ζητούµενη ευθεία διέρχεται από την αρχή το σηµείο Α (-44, -7). Η ευθεία ε 3 : 4x + y = έχει συντελεστή διεύθυνσης λ 3 = -4. Άρα η ζητούµενη ευθεία ε θα έχει συντελεστή διεύθυνσης λ: λ.λ 3 =- λ = 4. Άρα η εξίσωση της ε είναι : y + 7 = λ (x+44) δηλαδή, y + 7 = 4 (x+44) y = 4 x 6.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο 4. Μέθοδος : Ξέρουµε ότι: Α(-4,6) Β ΒΓ: χ+3y= και Γ : χ-y+=0 Γ(-,) (i) Για να υπολογίσουµε το (χ,y) θα χρησιµοποιήσουµε το γεγονός ότι ανήκει στις ευθείες Γ και Α. Την εξίσωση της ευθείας Α µπορούµε να την υπολογίσουµε αφού ξέρουµε ένα σηµείο και το συντελεστή διεύθυνσης ( είναι ίδιος µε το συντελεστή διεύθυνσης της ΒΓ αφού οι ΒΓ και Α είναι παράλληλες). (ii) Το συνηµίτονο της οξείας γωνίας των διαγωνίων το υπολογίζουµε αφού βρούµε διανύσµατα παράλληλα στις διαγώνιους, από τον τύπο: δ δ συνφ= δ δ (i) Έχουµε: λ Α =λ ΒΓ =-/3 Άρα η εξίσωση της Α θα είναι: 4 y-6= (x+4) y=- x+ 3 3 3 Εποµένως υπολογίζουµε τις συντεταγµένες του από τη λύση του συστήµατος: 4 Α : y==- x+ χ= 3 3 Γ : χ-y+=0 y=4 Άρα το σηµείο είναι (,4) 6 5 (ii) Ο συντελεστής διεύθυνσης της διαγωνίου ΑΓ είναι λ= = 4 + 3 οπότε η ΑΓ είναι παράλληλη στο διάνυσµα δ = (3, 5) (γιατί έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης). Ο συντελεστής διεύθυνσης της διαγωνίου Β είναι

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ίδιος µε το λ Κ όπου Κ το σηµείο τοµής των διαγωνίων. Το Κ είναι µέσο της ΑΓ άρα θα έχει συντεταγµένες: Α(-4,6) Β 4 + 6 5 7 Κ(, ) =Κ(, ) (,4) Γ(-,) 7 4 Άρα λ Β =λ Κ = 5 διάνυσµα: = 9 οπότε η Β θα είναι παράλληλη στο δ =(9,) Άρα η οξεία γωνία των ΑΓ και Β θα είναι: δ δ 3 9 5 697 συνφ= = = 0, 46 δ δ 3 + ( 5) 9 + 697 Άρα φ 65 5. Μέθοδος : Βρίσκουµε δύο διανύσµατα δ και δ εξετάζουµε πότε δ δ παράλληλα στις ευθείες και Η ευθεία µε εξίσωση (λ-)χ+λy+8=0 είναι παράλληλη προς το διάνυσµα δ = ( λ, λ) ενώ η ευθεία µε εξίσωση λχ+3y+-λ=0 είναι παράλληλη προς το διάνυσµα δ = (3, λ) έτσι οι δύο ευθείες είναι κάθετες αν και µόνο αν δ δ δ δ = 0 3λ+(-λ)(-λ)=0 λ +λ=0 λ(λ+)=0 λ=0 ή λ=- 6. Το σηµείο τοµής των ευθειών ε : 3χ +4y+6=0 και ε : 6χ+5y-9=0 είναι η λύση του συστήµατος: