3. Κεφάλαιο Μετασχηματισμός Fourier
|
|
- Θήρα Σαμαράς
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 3 Κεφάλαιο 3 Ορισμοί Ο μετασχηματισμός Fourir αποτελεί την επέκταση των σειρών Fourir στη γενική κατηγορία των συναρτήσεων (περιοδικών και μη) Όπως και στις σειρές οι συναρτήσεις θα εκφράζονται με τη βοήθεια μιγαδικών εκθετικών διαφόρων συχνοτήτων Ωστόσο, οι συχνότητες αυτές δεν είναι διακριτές αλλά συνεχείς Έτσι η συνάρτηση έχει ένα συνεχές φάσμα Από την αναπαράσταση μίας συνάρτησης με εκθετική σειρά Fourir γνωρίζουμε ότι T / T / T / j T T T / T / T / c f ( ) d f ( ) d c T f ( ) d T Εδώ j είναι η φανταστική μονάδα ( j συνηθισμένο συμβολισμό i ) τη χρησιμοποιούμε αντί τον Παίρνοντας το όριο T τότε c T f ( ) d Συμβολίζουμε με F( ) f ( ) d και με αυτό το ολοκλήρωμα μετασχηματίζουμε τη συνάρτηση f() σε μία συνάρτηση με μεταβλητή τη κυκλική συχνότητα ω Αυτό ισχύει διότι T / οπότε και το ολοκλήρωμα θα εξαρτάται από το ω Παρατήρηση: Πολλές φορές στη βιβλιογραφία η μεταβλητή του ολοκληρώματος είναι t ωστόσο για επιλέγουμε τη χρήση της μεταβλητής είμαστε σε αρμονία με το συμβολισμό που επιλέξαμε στις σειρές Fourir Ο μετασχηματισμός αυτός ονομάζεται μετασχηματισμός Fourir και συμβολίζεται { f ( )} F( ) f ( ) d Την αντίστροφη δουλειά κάνει ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourir f ( ) { F( )} F( ) d Με το μετασχηματισμό Fourir μας δίνεται η δυνατότητα να περιγράψουμε μη περιοδικές συναρτήσεις με τη χρήση συναρτήσεων με συχνότητα Δηλαδή μπορούμε να μετασχηματίσουμε συναρτήσεις στο πεδίο του χρόνου σε συναρτήσεις στο πεδίο συχνοτήτων Το αποτέλεσμα του μετασχηματισμού είναι γενικά μία μιγαδική συνάρτηση Αυτό το βλέπουμε εύκολα διότι:
2 j F( ) f ( ) d f ( )(cos j si ) d f ( )cos d j f ( )si d Συμπεραίνουμε επίσης ότι, εάν η f( ) είναι άρτια συνάρτηση το ολοκλήρωμα f ( )si d είναι ως ολοκλήρωμα περιττής συνάρτησης σε συμμετρικό διάστημα Δηλαδή, ο μετασχηματισμός Fourir άρτιων συναρτήσεων είναι πραγματική συνάρτηση Όμως εάν η f( ) είναι περιττή συνάρτηση το ολοκλήρωμα f ( )cos d είναι ως ολοκλήρωμα περιττής συνάρτησης σε συμμετρικό διάστημα Δηλαδή, ο μετασχηματισμός Fourir περιττών συναρτήσεων είναι συναρτήσεις με φανταστικό μέρος μόνο Συμβολίζουμε A( ) f ( )cos d, ( ) f ( )si d οπότε F( ) ( ) jb( ) Το μέτρο F( ) A ( ) B ( ) και η φάση ( ) arcta B( ) A ( ) Για τον παλμό με πλάτος τ έχουμε συνεχές φάσμα : 9 8 F( ) Σχέση μετασχηματισμού Fourir με μετασχηματισμό Laplac Εάν ορίσουμε τη συνάρτηση g( ) f( ) s j L{ f ( )}( s) F( s) f ( ) d f ( ) d g( ) d { g( )}( ) G( ) όπου θεωρήσαμε ότι s j
3 33 Γραμμικότητα Από τον ορισμό του, εύκολα προκύπτει ότι ο μετασχηματισμός Fourir και αντίστροφός του είναι γραμμικός Δηλαδή έστω { f ( )} F( ), { g( )} G( ) τότε ισχύει: { af ( ) bg( )} a { f ( )} b { g( )} F( ) G( ) { af( ) bg( )} a { F( )} b { G( )} f( ) g( ) 34 Παραδείγματα υπολογισμού μετασχηματισμού Fourir α) Ο μετασχηματισμός Fourir τετραγωνικού παλμού με πλάτος και διάρκεια, δηλαδή f ( ) u( / ) u( / ) y / / / / F( ) f ( ) d d d j ' / / / / j j j j si sic Όπου χρησιμοποιήσαμε ότι j j cos cos jsi jsi j j j si β) Ο μετασχηματισμός Fourir της συνάρτησης f ( ) u( ) 3
4 ' ( a j ) ( a j ) F( ) f ( ) d d d d lim b b ( a j ) ( a j ) b ( a j ) ( a j ) lim ( a j ) b ( a j ) ( a j ) ( a j ) γ) Ο μετασχηματισμός Fourir της συνάρτησης f ( ) u( ) ( a j ) ( a j ) F( ) f ( ) d d d d ( a j ) b lim ( a j ) ( a j ) ( a j ) b lim ( a j ) b ( a j ) ( a j ) ( a j ) b ε) Για τη συνάρτηση δ του Dirac ' ( ) lim f ( ) lim ( ) ο μετασχηματισμός Fourir είναι ο ακόλουθος: F( ) { ( )} ( ) d ( ) d ( ) d ( ) d Αυτό ισχύει αφού η συγκεκριμένη συνάρτηση μηδενίζει όλες τις άλλες τιμές εκτός αυτής στο και η τιμή της εκθετικής συνάρτησης στο είναι Ωστόσο, το συγκεκριμένο ολοκλήρωμα υπολογίζει το εμβαδό του χωρίου που περικλείει η συνάρτηση και ο άξονας των Αυτό το εμβαδό ισούται με διότι από τον ορισμό της η συνάρτηση είναι ένα όριο της συνάρτησης που βλέπουμε στο παρακάτω σχήμα Το σκιασμένο εμβαδό είναι φανερά ίσο με 4
5 / Οπότε έχουμε ότι F( ) { ( )} και επίσης ισχύει {} ( ) στ) Ο μετασχηματισμός Fourir της σταθερής συνάρτησης f ( ) Δεν υπολογίζεται άμεσα με τη χρήση του ορισμού διότι το γενικευμένο ολοκλήρωμα d δεν συγκλίνει Όμως μπορούμε να γράψουμε: f ( ) lim u( ) lim u( ) lim a a a u( ) u( ) Οπότε από τα γραμμικότητα και τα παραπάνω παραδείγματα έχουμε ότι: F( ) { f ( )} lim { u( )} { u( )} a a lim lim a ( a j ) ( a j ) a a Tο παραπάνω όριο όταν είναι άπειρο που σημαίνει ότι η συνάρτηση F ( ) για τη σταθερή συνάρτηση f ( ) είναι ένας στιγμιαίος παλμός (ρεύμα εκτόνωσης) ως προς Η ισχύς ενός στιγμιαίου παλμού ισούται με το εμβαδό της περιοχής που βρίσκεται ανάμεσα στην F ( ) και τον άξονα Το εμβαδό αυτό υπολογίζεται από το ολοκλήρωμα: ά a a d d 4a d 4a lim d a a a a b 4a b lim arcta arcta 4 a b b 5
6 Οπότε έχουμε ότι {} είναι ένας στιγμιαίος παλμός με ισχύ δηλαδή {} ( ) και από τη γραμμικότητα { A} A ( ) 35 Άλλες ιδιότητες Όταν { f ( )} F ( ) αποδεικνύεται ότι ισχύουν οι κάτωθι ιδιότητες: { f( )} { f( )} F( ) j a { f ( a)} F( ) { f ( )} F( ) a a {cos( ) f ( )} ( F( a) F( a)) Αν οι συναρτήσεις f ( ), g( ), είναι συνεχείς ή κατά τμήματα συνεχείς σε όλο το σύνολο των πραγματικών ορίζουμε ως συνέλιξη f ( )* g( ) των δύο συναρτήσεων ( f * g)( ) f( ) * g( ) f( u) g( u) du Για τη συνέλιξη ισχύουν τα εξής: { f * g ( )} { f( )} { g( )} F( ) G( ) { F( ) G( )} { F( )} * { G( )} f( ) * g( ) όταν { f ( )} F( ), { g( )} G ( ) Παραδείγματα υπολογισμών μετασχηματισμών Fourir με τη χρήση των παραπάνω ιδιοτήτων: α) Ο μετασχηματισμός Fourir της συνάρτησης f ( ) υπολογίζεται ως εξής: { } { } {} ( ) β) Ο μετασχηματισμός Fourir της συνάρτησης f ( ) cos( ) υπολογίζεται ως εξής: j j j j {cos( )} { } { } { } ( ) ( ) ( ) ( ) γ) Ο μετασχηματισμός Fourir της συνάρτησης f ( ) si( ) υπολογίζεται ως εξής: 6
7 j j j j {si( )} { } { } { } j j ( ) ( ) ( ) ( ) j j j ( ) ( ) Αφού ισχύει: ja cos a j si a () ja cos a j si a () ja ja ()+() cos a ja ja ()-() j si a ε) Ο μετασχηματισμός Fourir τετραγωνικού παλμού με πλάτος και διάρκεια ο οποίος έχει μετατοπιστεί δεξιά κατά α y / a / j a Από την ιδιότητα { f ( a)} F ( ) και χρησιμοποιώντας ότι συμπεραίνουμε ότι si { u( / ) u( / )} j a si F ( ) στ) Ορίζουμε της συνάρτηση πρόσημο γραμμικότητας έχουμε:, sg( ), με τη χρήση της, {sg( )} { u( ) u( )} { u( )} { u( )} { u( )} { u( )} ( ) ( ) j j( ) j Αφού ( ) είναι άρτια και ισχύει ( ) ( ) 7
8 36 Τυπολόγιο χαρακτηριστικών μετασχηματισμών Fourir: f() { f ( )} δ() A u() sg()=u()-u(-) Παλμός u(-τ/)- u(+τ/) - u() u(-) jφ cos(φ) si(φ) παδ(ω) πδ(ω)+/(jω) /(jω) si(ω τ/)/ω /(a+jω) /(a-jω) πδ(ω-φ) π[δ(ω+φ)+ δ(ω-φ)] jπ[δ(ω+φ)- δ(ω-φ)] Όλες τις παραπάνω ιδιότητες τις έχουμε αποδείξει εκτός από την { u ( )} ( ) j 37 παραγώγου συνάρτησης: όταν όπως είπαμε F( ) { f ( )} ( ) { f ( )} j F( ) Παράδειγμα Θα υπολογίσουμε τον μετασχηματισμό Fourir της συνάρτησης f ( ) Παραγωγίζουμε και έχουμε f '( ) af ( ) Εφαρμόζουμε μετασχηματισμό Fourir και στα δύο μέλη: { f '( )} { af ( )} j { f ( )} { } a { f ( )} ( j ) { f ( )} { } ( j ) { f ( )} { f( )} ( j ) ( j ) Δηλαδή από τη σχέση { } ( j ) συμπεραίνουμε ότι { } ( j ) 8
9 Παράδειγμα Θα γενικεύσουμε το προηγούμενο παράδειγμα και θα δείξουμε ότι όταν f ( ) ισχύει { }! ( j ) Η απόδειξη θα βασιστεί στην μαθηματική επαγωγή Για = ισχύει { } ( j ) όπως είδαμε στο προηγούμενο παράδειγμα Δέχομαι ότι ισχύει για, δηλαδή { }! ( j ) () και με βάση αυτό θα δείξω ότι ισχύει για + Δηλαδή ισχύει, Θέτουμε g( ) ( )! { } ( )! ( j ) Παραγωγίζουμε και έχουμε g'( ) ( ) a ag( ) ( )! ( )!! Εφαρμόζουμε μετασχηματισμό Fourir και στα δύο μέλη: {g'( )} { ag( )} j { g( )} { } a { g( )}!! j { g( )} a { g( )} ( j ) ( j ) { g( )} { g( )} ( j ) ( j ) { } ( )! ( j ) Οπότε ισχύει για + και η απόδειξη ολοκληρώθηκε () Παράδειγμα 3 Θα υπολογίσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourir f ( ) { } 5j 6 Παραγοντοποιούμε τον παρονομαστή 5j 6 ( 3 j)( j) j ( 3 j)( j) j( 3 j) j( j) ( j 3 j )( j j ) (3 j )( j ) Διότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι: οπότε οι ρίζες του είναι: 5 j 4( )6 5 4 j, 9
10 5 j j 5j j 5 5, j j j j j 3 j ( ) ( ) ( ) ( ) Θέλουμε να υπολογίσουμε το { } (3 j )( j ) Αυτό μπορεί να γίνει με δύο τρόπους α) με ανάλυση σε κλάσματα A B (A 3 B) j( A B) (3 j)( j) (3 j) ( j) (3 j)( j) Από όπου έχουμε A B B A B A B A A 3B A 3B A 3A A Οπότε { } { } { } { } (3 j )( j ) (3 j ) ( j ) (3 j ) ( j ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 u u u Εδώ χρησιμοποιήσαμε ότι { u( )} ( j ) β) Εναλλακτικά, με τη χρήση της συνέλιξης έχουμε: { } { } { }* { } (3 j)( j) ( j) (3 j) ( j) (3 j) 3 t 3( t) 3 t u( ) * u( ) u( t) u( t) dt u( t) u( t) dt 3 t 3 3 dt ( ) u( ) u( ) Στους παραπάνω υπολογισμούς χρησιμοποιήσαμε τις σχέσεις u( t) u( t) t 38 Εφαρμογές: ά και 38 Εφαρμογές στα συστήματα Έστω ότι έχουμε το σύστημα: t dt ( ) u( ) ά f( ) y ( ) στο οποίο η είσοδος και η έξοδος σχετίζονται από τη διαφορική εξίσωση:
11 d y dy a a a y bf ( ) d d Εφαρμόζουμε το μετασχηματισμό Fourir και στα δύο μέρη: d y dy a a a y bf ( ) d d d y dy a a a y b f ( ) d d j a y j a y a y b f ( ) j a ( ) j a ( ) a ( ) bf( ) Όπου ( y ( )) Υ(ω), ( ( )) αντίστοιχα Λύνουμε και έχουμε ( ( )) ( ) b b y F( ) F( ) H( ) F( ) j a j a a a j a a b όπου η H( ) ονομάζεται συνάρτηση μεταφοράς ή a j a a f F(ω) οι μετασχηματισμοί των y(),f() απόκριση του συστήματος και συνδέει τους μετασχηματισμούς Fourir της εισόδου και της εξόδου του συστήματος Παίρνοντας τους αντίστροφους μετασχηματισμούς έχουμε τη λύση y( ) { H( ) F( )} { H( )} * { F( )} Παράδειγμα: Έστω έχουμε ένα σύστημα στο οποίο η είσοδος και η έξοδος σχετίζονται μέσω της διαφορικής εξίσωσης: dy d y ( ) Παρατηρούμε ότι έχουμε είσοδο ( ) οπότε ( ( )) ( ( )) οπότε εφαρμόζουμε το μετασχηματισμό Fourir και στα δύο μέρη: όπου ( y( )) Y ( ) Λύνουμε και έχουμε dy y ( ) d dy y ( ) d j ( y) ( y) ( ( )) j ( ) ( ) ( ( )) ( y( )) ( ) ( ( )) H( ) ( ( )) j j j
12 Άρα το σύστημα έχει συνάρτηση μεταφοράς απόκρισή του συστήματος στην είσοδο ( ) : H( ) j Οπότε η y( ) { Y( )} { H( )} { } u( ) j Εδώ χρησιμοποιήσαμε ότι { u( )} ( j ) Παράδειγμα: Έστω έχουμε ένα σύστημα στο οποίο η είσοδος και η έξοδος σχετίζονται μέσω της διαφορικής εξίσωσης: d y dy 5 6 y ( ) d d Παρατηρούμε ότι έχουμε είσοδο ( ) οπότε ( ( )) ( ( )) οπότε εφαρμόζουμε το μετασχηματισμό Fourir και στα δύο μέρη: d d y dy 5 6 y ( ) d d y dy d y 5 6 d j y j y y 5 6 ( ) 5 j ( ) 6 ( ) ( 5 j 6) ( ) όπου ( y( )) Y ( ) Λύνουμε και έχουμε ( y( )) ( ) ( ( )) H( ) ( ( )) 5j 6 Άρα το σύστημα έχει συνάρτηση μεταφοράς H( ) απόκρισή του συστήματος στην είσοδο ( ): Οπότε η 5j 6 3 y( ) { Y( )} { H( )} { } ( ) u( ) 5j 6 Εδώ χρησιμοποιήσαμε τα αποτελέσματα του παραδείγματος που είχαμε λύσει πιο πάνω 38 Εφαρμογές στα ηλεκτρικά κυκλώματα Έστω ένα κύκλωμα το οποίο αποτελείται από μία πηγή ηλεκτρεργετικής δύναμης Ε (Volt), η οποία μπορεί να είναι σταθερή ή να εξαρτάται από το χρόνο δηλαδή Ε=Ε(t), πυκνωτή χωρητικότητας C (Farad), πηνίο αυτεπαγωγής l (Hry), ωμική αντίσταση R (Ohm) και διακόπτη Δ, συνδεδεμένα σε σειρά
13 E ir di l dt Q C C R l Θεωρούμε το κύκλωμα ως ένα σύστημα με είσοδο την εφαρμοζόμενη τάση και έξοδο την ένταση του ρεύματος Δεχόμαστε ότι i()= Εφαρμόζουμε τον δεύτερο νόμο του Kirchhoff ο οποίος μας δίνει: di Q l R i E( t) dt C Παραγωγίζοντας τη διαφορική εξίσωση που προκύπτει από τον πρώτο νόμο του Kirchhoff οδηγούμαστε στη δευτέρας τάξης διαφορική εξίσωση d i di de dt dt C dt l R i Εφαρμόζουμε το μετασχηματισμό Fourir και στα δύο μέρη: d i di de l R i dt dt C dt d i di de dt dt C dt l R i j l I( ) j R I ( ) I( ) j ( E( t)) C όπου ( i( t)) I( ) Λύνω και έχω j I( ) ( E( t)) ( E( t)) j l j R j l R C C j Δηλαδή η συνάρτηση μεταφοράς ή απόκριση του συστήματος είναι οπότε jc H ( ) j l R C j lc jrc I( ) H( ) ( E( t)) από όπου εφαρμόζοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourir και χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της συνέλιξης έχουμε i( t) H ( ) * E( t) Παρόμοια, για το φορτίο, όπως έχουμε δει ισχύει dq() t di d Q it () dt dt dt 3
14 di Q d Q dq Q d Q dq Q l R i E l R E l R E dt C dt dt C dt dt C d Q dq l R Q E dt dt C j l Q j R Q Q E C Q ( E( t)) H( ) ( E( t)) j l j R C Όπου C H( ) lc j RC j l j R C Εφαρμόζοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourir και χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της συνέλιξης έχουμε Παράδειγμα Q( t) H ( ) * E( t) Έστω ένα κύκλωμα RLC το οποίο αποτελείται από μία πηγή ηλεκτρεργετικής δύναμης Ε=3 Volt σταθερή, πυκνωτή χωρητικότητας C= Farad, πηνίο αυτεπαγωγής l= Hry, ωμική αντίσταση R=6 Ohm και διακόπτη Δ Το φορτίο του πυκνωτή τη χρονική στιγμή t= είναι Με τη χρήση του Μετασχηματισμού Fourir, βρείτε το φορτίο του πυκνωτή και στη συνέχεια υπολογίστε την ένταση του ρεύματος τη χρονική στιγμή t> Σύμφωνα με τα όσα έχουμε πει ο νόμος του Kirchhoff δίνει d Q R dq E d Q 6 dq 3 Q Q u () t dt lc l dt l dt dt d Q dq d Q dq 5Q 8 5 u( t) { } 5 { Q} 8 { } {5 u( t)} dt dt dt dt ( j) { Q} 8 j { Q} 5 { Q} {5 u( t)} ( j) 8 j 5 { Q} {5 u( t)} { Q} ( j ) 8 j {5 u( t)} Q { {5 u( t)}} 5 ( j) 8 j5 Q { }* {5 u( t)} Q { }* 5 u( t) ( j) 8 j 5 8 j 5 Παραγοντοποιούμε τον παρονομαστή j 8 j 5 ( 3 4 j)( 3 4 j) j ( 3 4 j)( 3 4 j) j( 3 4 j) j( 3 4 j) ( j 3 j 4 j )( j 3 j 4 j ) j 4 Διότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι: 64 j 4( ) , 4
15 οπότε οι ρίζες του είναι 8 j 36 8 j 6 8 j 36 8 j j, 3 4 j ( ) ( ) ( ) ( ) Θέλουμε να υπολογίσουμε το { } j 4 j A B 3 j 4 3 j 4 3 j 4 3 j 4 4 A B j A B 3( A B) j (3 j)( j) Από όπου έχουμε 4 A B 3( A B) j 3( A B) j 3( A ( A)) j A B j B A B A A 6Aj 6 j B A B A 6 j Οπότε { } { } 3 j 4 3 j 4 6 j 3 j 4 6 j 3 j 4 { } { } 6 j 3 j 4 6 j 3 j 4 { } { } 6 j j 4 6 j j j j 4 6 j j 4 3 jt 3 jt { } { } 6 j 6 j j 4 3 jt 3 jt { } 3jt 3jt 4t jsi 3t 4t 4t u( t) u( t) si 3 t u( t) 6 j 6 j 3 Αφού ισχύουν: j { f ( )} { f ( )} F( ) { u( )} ( j) ja cos a jsi a () ja cos a jsi a () ja ja ()-() jsi a Συνοψίζοντας έχουμε 5
16 4t Q { }* 5 u( t) si 3 t u( t) * 5 u( t) 8 j 5 3 4t si 3 t u( t) * u( t) 5 si 3 u( ) u ( t ) d 5 si 3 d Στους παραπάνω υπολογισμούς χρησιμοποιήσαμε τη σχέση t u( ) u( t ) ά Για διευκόλυνση υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα: I si bd cos( b) a d b cosb cos bd b b a cos b (si b) d b b a cosb si b a si bd b b a a I cosb si b I b b b t I bcos b a si b C a b Λύνοντας ως προς Ι έχουμε και τελικά t 4 t 4 t si 3 d 4 3 Οπότε 3cos 3 4si 3 ά t 4 t 4 ( ) 5 si 3 5 3cos 3 4si 3 ( ) 4 3 Q t d u t 4t 4t 4t t t u t t t 3cos 3 4si 3 3 ( ) 6 6 cos 3 8 si 3, όταν t Παραγωγίζοντας παίρνουμε dq() t 4t 4t 4t 4t i( t) i( t) 4 cos 3t 8 si 3t 3 si 3t 4 cos 3t dt 4t 5 si 3 t 37 Συμπληρωματικές Ασκήσεις Υπολογίστε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourir f ( ) { } 7j Λύση Παραγοντοποιούμε τον παρονομαστή 7j ( 5 j)( j) j ( 5 j)( j) j( 5 j) j( j) ( j 4 j )( j j ) (5 j )( j ) 6
17 Διότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι: 49 j 4( ) j, οπότε οι ρίζες του είναι: 7 j 9 j 7 j 3 j , j j j j j 5 j ( ) ( ) ( ) ( ) Θέλουμε να υπολογίσουμε το { } (5 j )( j ) Αυτό μπορεί να γίνει με ανάλυση σε κλάσματα A B A 5B j A B (5 j )( j ) (5 j ) ( j ) (5 j )( j ) Από όπου έχουμε B A A B B A B A 3 A 5B A 5B A 5A A 3 Οπότε { } { } (5 j )( j ) 3 (5 j ) 3 ( j ) { } { } 3 (5 j ) 3 ( j ) 5 5 u( ) u( ) ( ) u( ) Έστω έχουμε ένα σύστημα στο οποίο η είσοδος και η έξοδος σχετίζονται μέσω της διαφορικής εξίσωσης: d y dy 7 y ( ) d d Υπολογίστε την έξοδο του συστήματος Λύση Παρατηρούμε ότι έχουμε είσοδο ( ) οπότε ( ( )) ( ( )) οπότε εφαρμόζουμε το μετασχηματισμό Fourir και στα δύο μέρη: d d y dy 7 y ( ) d d y dy d y 7 d j y j y y 7 7
18 ( ) 7 j( ) ( ) ( 7 j ) ( ) όπου ( y( )) Y ( ) Λύνουμε και έχουμε ( y( )) ( ) ( ( )) H( ) ( ( )) 7j Άρα το σύστημα έχει συνάρτηση μεταφοράς H( ) απόκρισή του συστήματος στην είσοδο ( ): Οπότε η 7j 5 y( ) { Y( )} { H( )} { } ( ) u( ) 7j 3 Για τον υπολογισμό του παρονομαστή ( j 5 j )( j j ) (5 j )( j ) { } 7j Παραγοντοποιούμε τον 7j ( 5 j)( j) j ( 5 j)( j) j( 5 j) j( j) Διότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι: οπότε οι ρίζες του είναι: 49 j 4( ) j, 7 j 9 j 7 j 3 j , j j j j j 5 j ( ) ( ) ( ) ( ) Θέλουμε να υπολογίσουμε το { } (5 j )( j ) Αυτό μπορεί να γίνει με ανάλυση σε κλάσματα A B A 5B j A B (5 j )( j ) (5 j ) ( j ) (5 j )( j ) Από όπου έχουμε B A A B B A B A 3 A 5B A 5B A 5A A 3 Οπότε 8
19 { } { } (5 j )( j ) 3 (5 j ) 3 ( j ) 5 5 { } { } u( ) u( ) ( ) u( ) 3 (5 j ) 3 ( j ) Έστω έχουμε ένα σύστημα στο οποίο η είσοδος και η έξοδος σχετίζονται μέσω της διαφορικής εξίσωσης: dy y ( ) d Υπολογίστε την έξοδο του συστήματος Λύση Παρατηρούμε ότι έχουμε είσοδο ( ) οπότε ( ( )) ( ( )) oπότε εφαρμόζουμε το μετασχηματισμό Fourir και στα δύο μέρη: d y d y y ( ) y d d j y y ( ) ( ) ( ) ( ) όπου ( y( )) Y ( ) Λύνουμε και έχουμε ( y( )) ( ) ( ( )) H( ) ( ( )) Άρα το σύστημα έχει συνάρτηση μεταφοράς απόκρισή του συστήματος στην είσοδο ( ): H ( ) Οπότε η y( ) { Y( )} { H( )} { } u( ) u( ) { } ( j ) ( j ) Αφού ( j ) ( j ) και ισχύει ( j )( j ) επίσης A B ( A B) ( A - B) jw ( j ) ( j ) από όπου A B A-B 4 Έστω έχουμε ένα σύστημα στο οποίο η είσοδος και η έξοδος σχετίζονται μέσω της διαφορικής εξίσωσης: dy d 5 y u( ) και 9
20 Υπολογίστε την έξοδο του συστήματος Λύση Ξέρουμε ότι ισχύει { u( )} (5 j) μετασχηματισμό Fourir και στα δύο μέρη: 5 οπότε εφαρμόζουμε το dy 5 dy 5 y u( ) y u( ) d d ( ) ( ) ( ) ( ) (5 j) (5 j) j y y j ( ) (5 j)( j) όπου Y( ) ( y( )), οπότε θέλουμε να υπολογίσουμε το { } (5 j )( j ) Αυτό μπορεί να γίνει με ανάλυση σε κλάσματα A B A 5B j A B (5 j )( j ) (5 j ) ( j ) (5 j )( j ) Από όπου έχουμε B A A B B A B A 3 A 5B A 5B A 5A A 3 Οπότε y (5 j )( j ) 3 (5 j ) 3 ( j ) 5 5 { } { } u( ) u( ) ( ) u( ) 3 (5 j ) 3 ( j ) ( ) { } { } ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το παρόν υλικό δεν αποτελεί αυτόνομο διδακτικό υλικό, βασίζεται στο σύγγραμμα που διανέμεται και στην προτεινόμενη βιβλιογραφία του μαθήματος Το περιεχόμενο του αρχείου απλά αποτελεί περίγραμμα των παραδόσεων του μαθήματος Αποτελούν τις διαφάνειες της διδασκαλίας μαθήματος από το διδάσκοντα για δική του χρήση και παρακαλώ να μη χρησιμοποιηθεί και να μην αναπαραχθεί και διανεμηθεί για άλλο σκοπό Ιδιαίτερα παραδείγματα και σχήματα έχουν αντληθεί από τα συγγράμματα : Fourir Sris, W Bolto Σήματα και συστήματα, Καραμπόγιας, Θεοδωρίδης ΕΑΠ
21
Κεφάλαιο 1 Μετασχηματισμός Laplace
Κεφάλαιο. Εισαγωγή και ορισμός.. Γενικευμένα Ολοκληρώματα Έστω ότι η f() μία πραγματική ορισμένη στο διάστημα a. Τότε το ολοκλήρωμα a f ( ) lim f ( ) b b a Ονομάζεται γενικευμένο ολοκλήρωμα (πρώτου είδους)
Διαβάστε περισσότερα2.1 Περιοδικές συναρτήσεις και τριγωνομετρικά αναπτύγματα
Σειρές Fourier. Σειρές Fourier. Περιοδικές συναρτήσεις και τριγωνομετρικά αναπτύγματα Μία συνάρτηση f() είναι περιοδική με περίοδο όταν ισχύει f(+)=f(). Η ελάχιστη δυνατή περίοδος λέγεται και θεμελιώδης
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων
Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Μετασχηματισμός aplace της εκθετικής συνάρτησης e Είναι Άρα a a a u( a ( a ( a ( aj F( e e d e d [ e ] [ e ] ( a e (c ji, με a (4.9 a a a [ e u( ] a, με a (4.3 Η σχέση
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί
Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί 0 Βασικοί ορισμοί και πράξεις Είναι γνωστό ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που επαληθεύει την εξίσωση x Η ανάγκη επίλυσης τέτοιων εξισώσεων οδηγεί στο σύνολο των μιγαδικών
Διαβάστε περισσότερα0 f(t)e st dt. L[f(t)] = F (s) =
Α. Δροσόπουλος 3 Ιανουαρίου 29 Περιεχόμενα Μετασχηματισμοί Laplace 2 Αντιστάσεις, πυκνωτές και πηνία 2 3 Διέγερση βαθμίδας σε L κυκλώματα 5 3. Φόρτιση.....................................................
Διαβάστε περισσότεραΚυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση
Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση ονομάζονται εκείνα στα οποία επιβάλλεται τάση της μορφής: = ( ω ϕ ) vt V sin t όπου: V το πλάτος (στιγμιαία μέγιστη τιμή) της τάσης ω
Διαβάστε περισσότερα6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE
6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier 1. Μετασχηματισμός Fourier
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων
Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 7: Μεταβατική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου 1. Μοναδιαία Βηματική Συνάρτηση 2. Κρουστική Συνάρτηση ή
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων
Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 16: Απόκριση συχνότητας Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 12: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός aplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace 1. Ιδιότητες
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων
Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 13: Ισχύς σε κυκλώματα ημιτονοειδούς διέγερσης Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ.
Διαβάστε περισσότεραΑόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα.
Αόριστο ολοκλήρωμα Αντιπαράγωγος μίας συνάρτησης f() ορισμένης σε ένα διάστημα [α,β] λέγεται κάθε συνάρτηση F() που επαληθεύει την ισότητα F( ) f ( ) F( ) c επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα
Διαβάστε περισσότεραΜεταβατική Ανάλυση - Φάσορες. Κατάστρωση διαφορικών εξισώσεων. Μεταβατική απόκριση. Γενικό μοντέλο. ,, ( ) είναι γνωστές ποσότητες (σταθερές)
Μεταβατική Ανάλυση - Φάσορες Πρόσθετες διαφάνειες διαλέξεων Αλέξανδρος Πίνο Δεκέμβριος 2017 Γενικό μοντέλο Απόκριση κυκλώματος πρώτης τάξης, δηλαδή με ένα μόνο στοιχείο C ή L 3 Μεταβατική απόκριση Ξαφνική
Διαβάστε περισσότερα4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER
4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων
Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 11: Η ημιτονοειδής διέγερση Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177
Διαβάστε περισσότερα( ) = ( ) Ηλεκτρική Ισχύς. p t V I t t. cos cos 1 cos cos 2. p t V I t. το στιγμιαίο ρεύμα: όμως: Άρα θα είναι: Επειδή όμως: θα είναι τελικά:
Η στιγμιαία ηλεκτρική ισχύς σε οποιοδήποτε σημείο ενός κυκλώματος υπολογίζεται ως το γινόμενο της στιγμιαίας τάσης επί το στιγμιαίο ρεύμα: Σε ένα εναλλασσόμενο σύστημα τάσεων και ρευμάτων θα έχουμε όμως:
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 6: Ανάλυση Σημάτων σε Ανάπτυγμα Σειράς Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 6: Ανάλυση Σημάτων σε Ανάπτυγμα Σειράς Fourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ανάλυση Σημάτων σε Ανάπτυγμα Σειράς Fourier 1. Ανάπτυγμα σήματος σε Σειρά Fourier
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 7: Μετασχηματισμός Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 7: Μετασχηματισμός Fourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μετασχηματισμός Fourier 1. Ορισμός του Μετασχηματισμού Fourier 2. Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού
Διαβάστε περισσότεραΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Το ιδανικό κύκλωμα LC του σχήματος εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις, με περίοδο
ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. Ιδανικό κύκλωμα LC εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Να αποδείξετε ότι η στιγμιαία τιμή i της έντασης του ρεύματος στο κύκλωμα δίνεται σε συνάρτηση με το στιγμιαίο
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΑΠΛΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΑΠΛΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ 1 Ο συντονισμός είναι μια κατάσταση κατά την οποία το φανταστικό μέρος της σύνθετης αντίστασης ενός κυκλώματος RCL μηδενίζεται. Αυτό συμβαίνει γιατί
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 2. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 1.1 Εισαγωγή 1.1 1.2 Συμβολισμοί και μονάδες 1.3 1.3 Φορτίο, τάση και ενέργεια 1.5 Φορτίο και ρεύμα 1.5 Τάση 1.6 Ισχύς και Ενέργεια 1.6 1.4 Γραμμικότητα 1.7 Πρόσθεση
Διαβάστε περισσότεραΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ
ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ : «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Πρόλογος...13
Περιεχόμενα Πρόλογος...3 Κεφάλαιο : Στοιχεία ηλεκτρικών κυκλωμάτων...5. Βασικά ηλεκτρικά μεγέθη...5.. Ηλεκτρικό φορτίο...5.. Ηλεκτρικό ρεύμα...5..3 Τάση...6..4 Ενέργεια...6..5 Ισχύς...6..6 Σύνοψη...7.
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Πρόλογος...13
Περιεχόμενα Πρόλογος...3 Κεφάλαιο : Στοιχεία ηλεκτρικών κυκλωμάτων...5. Βασικά ηλεκτρικά μεγέθη...5.. Ηλεκτρικό φορτίο...5.. Ηλεκτρικό ρεύμα...5..3 Τάση...6..4 Ενέργεια...6..5 Ισχύς...6..6 Σύνοψη...7.
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 8: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 8: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier 1. Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier 2. Θεώρημα
Διαβάστε περισσότερα1. Μεταβατικά φαινόμενα Κύκλωμα RC
. Μεταβατικά φαινόμενα.. Κύκλωμα RC Το κύκλωμα του Σχήματος είναι το απλούστερο κύκλωμα Α τάξης και αποτελείται από μια πηγή συνεχούς τάσης, που είναι η διέγερσή του, εν σειρά με μια αντίσταση και έναν
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων
Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 11: Η ημιτονοειδής διέγερση Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177
Διαβάστε περισσότεραορίσουμε το Μετασχηματισμό Laplace (ML) και το Μονόπλευρο Μετασχηματισμό Laplace (MML) και να περιγράψουμε τις βασικές διαφορές τους.
Όταν θα έχουμε τελειώσει το κεφάλαιο αυτό θα μπορούμε να: υπολογίσουμε το μετασχηματισμό aplac στοιχειωδών σημάτων. αναφέρουμε τις ιδιότητες του μετασχηματισμού aplac. 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE
Διαβάστε περισσότεραστη θέση 1. Κάποια χρονική στιγμή μεταφέρουμε το διακόπτη από τη θέση 1 στη
ΠΥΚΝΩΤΗΣ ΣΥΝΔΕΔΕΜΕΝΟΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΜΕ ΠΗΓΗ. Στο διπλανό κύκλωμα η πηγή έχει ΗΕΔ = V και ο διακόπτης είναι αρχικά στη θέση. Κάποια χρονική στιγμή μεταφέρουμε το διακόπτη από τη θέση στη θέση και αρχίζουν οι
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης
6 Nv 6 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Ανάπτυξη σε Σειρές Furier Αθανάσιος
Διαβάστε περισσότεραv(t) = Ri(t). (1) website:
Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση και Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 10 Μαρτίου 2017 1 Βασικά μεγέθη ηλεκτρικών
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότερα[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)
[] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Κυκλωμάτων. Φώτης Πλέσσας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών
Ανάλυση Κυκλωμάτων Στοιχεία Δύο Ακροδεκτών Φώτης Πλέσσας fplessas@inf.uth.gr Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Δομή Παρουσίασης Εισαγωγή Αντιστάτης Πηγές τάσης και ρεύματος Πυκνωτής
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Εικόνα: Επισκευή μιας πλακέτας κυκλωμάτων ενός υπολογιστή. Χρησιμοποιούμε καθημερινά αντικείμενα που περιέχουν ηλεκτρικά κυκλώματα, συμπεριλαμβανομένων και κάποιων με πολύ μικρότερες πλακέτες από την εικονιζόμενη.
Διαβάστε περισσότεραΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΣΑΣ ΚΙ 2014
ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ http://wwwstudy4examsgr/ ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. z x y 2xyi. Re z x y. Θα δείξουμε ότι για τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει ότι. z z zz. zz zz z z 1 0 z z 1 (1)
Αριθμός Εξέτασης 7 α.α) ος τρόπος: Έστω z i. Τότε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ z i και Re z. Θα δείξουμε ότι για τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει ότι z z,ισχύει επίσης ότι. Είναι z z z z z z z z z z z
Διαβάστε περισσότερα7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ z
7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ο μετασχηματισμός είναι ο αντίστοιχος Laplace για σήματα διακριτού χρόνου και αποτελεί γενίκευση του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου. Σκοπός του Κεφαλαίου είναι να ορίσει
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : Μετασχηματισμός LAPLACE (Laplace Tranform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά μοντέλα συστημάτων
Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων 1. Γενικά Για να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε διάφορα πολύπλοκα συστήματα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποιο ποσοτικό μοντέλο των συστημάτων αυτών. Έτσι, είναι απαραίτητο να
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. Στις ημιτελείς προτάσεις - 4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία τη συμπληρώνει σωστά.. Το μέτρο της
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Εικόνα: Επισκευή μιας πλακέτας κυκλωμάτων ενός υπολογιστή. Χρησιμοποιούμε καθημερινά αντικείμενα που περιέχουν ηλεκτρικά κυκλώματα, συμπεριλαμβανομένων και κάποιων με πολύ μικρότερες πλακέτες από την εικονιζόμενη.
Διαβάστε περισσότερα1. Ιδανικό κύκλωμα LC εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώσεις και η χρονική εξίσωση του φορτίου του πυκνωτή
Εισαγωγικές ασκήσεις στις ηλεκτρικές ταλαντώσεις 1. Ιδανικό κύκλωμα L εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώσεις και η χρονική εξίσωση του φορτίου του πυκνωτή δίνεται από τη σχέση q = 10 6 συν(10 ) (S.I.). Ο συντελεστής
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Εικόνα: Επισκευή μιας πλακέτας κυκλωμάτων ενός υπολογιστή. Χρησιμοποιούμε καθημερινά αντικείμενα που περιέχουν ηλεκτρικά κυκλώματα, συμπεριλαμβανομένων και κάποιων με πολύ μικρότερες πλακέτες από την εικονιζόμενη.
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε. O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων
Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 3: Συνδυασμός αντιστάσεων και πηγών Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:
Διαβάστε περισσότεραΠροηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών
Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Το εκπαιδευτικό υλικό που ακολουθεί αναπτύχθηκε στα πλαίσια του έργου «Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών», του Μέτρου «Εισαγωγή
Διαβάστε περισσότεραΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΑΝΑΛΥΣΗ στο πεδίο των ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
Pierre-Simn Laplace ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΑΝΑΛΥΣΗ στο πεδίο των ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ /4 Τι περιλαμβάνει Ορισμοί Μετασχ. Laplace απλών σημάτων Ιδιότητες Εφαρμογή στη λύση ΔΕ Μετασχηματισμένο
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ
[] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» σελ β) Ας είναι ux (, ) = x+ cos( π ) και vx (, ) = cos( π x) το πραγματικό και το φανταστικό μέρος
Διαβάστε περισσότεραΤηλεπικοινωνίες. Ενότητα 2.2: Ανάλυση Fourier (Συνέχεια) Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ
Τηλεπικοινωνίες Ενότητα 2.2: Ανάλυση Fourier (Συνέχεια) Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8 Διαφορικές Εξισώσεις
Διαφορικές Εξισώσεις Κεφάλαιο 8 Διαφορικές Εξισώσεις 8. Ορισμοί Έστω ένα κύκλωμα το οποίο αποτελείται από μία πηγή ηλεκτρεργετικής δύναμης Ε (Volt), η οποία μπορεί να είναι σταθερή ή να εξαρτάται από το
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων
Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 12: Ανάλυση κυκλωμάτων ημιτονοειδούς διέγερσης Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ.
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 11: Μετασχηματισμός Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη : Μετασχηματισμός Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Laplace. Μαθηματικός ορισμός μετασχηματισμού Laplace 2. Η περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων
Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 8: Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Ηλεκτρικό κύκλωμα ονομάζεται μια διάταξη που αποτελείται από ένα σύνολο ηλεκτρικών στοιχείων στα οποία κυκλοφορεί ηλεκτρικό ρεύμα. Τα βασικά ηλεκτρικά στοιχεία είναι οι γεννήτριες,
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία R, L, C στο AC
Στοιχεία R, L, C στο AC Εμπέδηση (περιγραφή, υπολογισμός για κάθε στοιχείο) Νόμος OHM στο AC Στόχοι μαθήματος Προηγούμενο Εύρεση phasors αρμονικών συναρτήσεων Πράξεις (Πρόσθεση/αφαίρεση κλπ) ημιτονοειδών
Διαβάστε περισσότεραΜιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Διδάσκων : Επίκ Καθ Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4. Απόκριση συχνότητας
Κεφάλαιο 4 Απόκριση συχνότητας Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε την απόκριση συχνότητας ενός κυκλώματος, δηλαδή τον τρόπο με τον οποίο μεταβάλλεται μία τάση ή ένα ρεύμα του κυκλώματος όταν μεταβάλλεται
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace 1. Επίλυση Γραμμικών
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟΚΡΙΣΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΣΕ HMITONIKH ΔΙΕΓΕΡΣH (HMITONIKH ANAΛYΣΗ)
ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΣΕ HMITONIKH ΔΙΕΓΕΡΣH (HMITONIKH ANAΛYΣΗ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ 1/5 Τι περιλαμβάνει Εκθετική διέγερση Φάσορας Επίλυση κυκλώματος μετασχηματισμός των στοιχείων Εμπέδηση Ισχύς
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτρική και Μηχανική ταλάντωση στο ίδιο φαινόμενο
Ηλεκτρική και Μηχανική ταλάντωση στο ίδιο φαινόμενο Στο σχήμα φαίνεται μια γνώριμη διάταξη δύο παράλληλων αγωγών σε απόσταση, που ορίζουν οριζόντιο επίπεδο, κάθετο σε ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης.
Διαβάστε περισσότεραHMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι
Σύγκλιση Σειρών Fourier Ιδιότητες Σειρών Fourier Παραδείγματα HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #10 Τρεις ισοδύναμες μορφές: () = = = = Σειρές Fourier j( 2π ) t Τ.. x () t FS a jω0t xt () = ae =
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ 1 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ OHM (ΩΜ) Για πολλά υλικά ο λόγος της πυκνότητας του ρεύματος προς το ηλεκτρικό πεδίο είναι σταθερός και ανεξάρτητος από το ηλεκτρικό
Διαβάστε περισσότεραπεριεχομενα Πρόλογος vii
Πρόλογος vii περιεχομενα ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: Κυκλώματα Συνεχούς Ρεύματος... 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ... 3 1.1 Εισαγωγή...4 1.2 Συστήματα και Μονάδες...5 1.3 Φορτίο και Ρεύμα...6 1.4 Δυναμικό...9 1.5 Ισχύς
Διαβάστε περισσότεραΣτο μαγνητικό πεδίο του πηνίου αποθηκεύεται ενέργεια. Το μαγνητικό πεδίο έχει πυκνότητα ενέργειας.
Αυτεπαγωγή Αυτεπαγωγή Ένα χρονικά μεταβαλλόμενο ρεύμα που διαρρέει ένα κύκλωμα επάγει ΗΕΔ αντίθετη προς την ΗΕΔ από την οποία προκλήθηκε το χρονικά μεταβαλλόμενο ρεύμα.στην αυτεπαγωγή στηρίζεται η λειτουργία
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ
ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ 1 .1 ΤΟ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΚΙΝΟΥΜΕΝΟΥ ΦΟΡΤΙΟΥ Ας θεωρούμε το μαγνητικό πεδίο ενός κινούμενου σημειακού φορτίου q. Ονομάζουμε τη θέση του φορτίου σημείο πηγής
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι
ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Εκθετική Ορισμοί & Ιδιότητες Επιμέλεια: Αθανάσιος Ν. Σκόδρας, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας, Υπ. Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ. Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.
ΜΘΗΜ / ΤΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡ: η (ΘΕΡΙΝ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙ: /0/ ΘΕΜ ο ΛΥΣΕΙΣ Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις -4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί
Διαβάστε περισσότερααπόσβεσης, με τη βοήθεια της διάταξης που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Η σταθερά του ελατηρίου είναι ίση με k = 45 N/m και η χρονική εξίσωση της
1. Ένα σώμα μάζας m =, kg εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση μικρής απόσβεσης, με τη βοήθεια της διάταξης που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Η σταθερά του ελατηρίου είναι ίση με k = 45 N/m και η χρονική εξίσωση
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : ΣΥΝΘΕΤΗ ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΣΥΝΘΕΤΗ ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ Ο νόμος του Ohm σε κυκλώματα με στοιχεία R, L και C στο εναλλασσόμενο συνοψίζεται στον πιο κάτω πίνακα: Στοιχείο Νόμος του Ohm Παρατηρήσεις Ωμική αντίσταση (R) Επαγωγική
Διαβάστε περισσότεραΚυκλώματα δύο Ακροδεκτών στο Πεδίο της Συχνότητας
Ανάλυση Κυκλωμάτων Κυκλώματα δύο Ακροδεκτών στο Πεδίο της Συχνότητας Φώτης Πλέσσας fplea@inf.uth.gr Εισαγωγή (/2) Ένα κύκλωμα δύο ακροδεκτών διαθέτει μια θύρα, που είναι ταυτόχρονα είσοδος και έξοδος.
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων
Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 6: Παθητικά στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ.
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι
ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Σήματα και Συστήματα στο Πεδίο της Επιμέλεια: Αθανάσιος N. Σκόδρας, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας, Υπ. Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΠΛΑΝΟ 2019Κ7-1
ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΠΛΑΝΟ 19Κ7-1 ΤΟ ΜΑΥΡΟ ΚΟΥΤΙ Είσοδος ΜΑΥΡΟ ΚΟΥΤΙ Έξοδος 1. Το περιεχόμενο του μαύρου κουτιού (απλά ηλεκτρικά στοιχεία). Είσοδος: σήματα (κυματομορφές) διέγερσης 3. Έξοδος: απόκριση i.
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΤΕ Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού Ενότητα # 4: Αποκρίσεις χαρακτηριστικών συστημάτων με
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων
Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 7: Μεταβατική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:
Διαβάστε περισσότερα2π 10 4 s,,,q=10 6 συν10 4 t,,,i= 10 2 ημ 10 4 t,,,i=± A,,, s,,,
1. Ο πυκνωτής του σχήματος έχει χωρητικότητα C=5μF και φορτίο Q=1μC, ενώ το πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L=2 mh. Τη χρονική στιγμή t=0 κλείνουμε το διακόπτη και το κύκλωμα εκτελεί ηλεκτρική ταλάντωση.
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων
Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 13: Ισχύς σε κυκλώματα ημιτονοειδούς διέγερσης Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ.
Διαβάστε περισσότεραΟδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 03-04 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 0/0/03 ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α-Α4 και δίπλα
Διαβάστε περισσότερα6. Ορισμένο Ολοκλήρωμα
6. Ορισμένο Ολοκλήρωμα 6. Γενικά Ορισμοί Έστω ότι η f() είναι συνεχής συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα [,]. Χωρίζουμε το διάστημα [,] σε n υποδιαστήματα επιλέγοντας n+ σημεία τέτοια ώστε = < < < n-
Διαβάστε περισσότεραHMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων. Διάλεξη 20: Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform DFT)
HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 20: Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform DFT) Εισαγωγή Μέχρι στιγμής έχουμε δει το Μετασχηματισμό Fourier Διακριτού
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 4: Μελέτη των Γραμμικών και Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 4: Μελέτη των Γραμμικών και Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Μελέτη των Γραμμικών και Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων Η Κρουστική Απόκριση
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕΤΑΓΩΓΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ
ΜΕΤΑΓΩΓΗ ΑΠΟ ΤΟ ΕΝΑ ΚΥΚΛΩΜΑ LC ΣΤΟ ΑΛΛΟ. ΔΥΟ ΠΥΚΝΩΤΕΣ ΚΑΙ ΕΝΑ ΠΗΝΙΟ. Στο κύκλωμα του σχήματος το πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L = (A) (B) mh, ο πυκνωτής () έχει χωρητικότητα C = μf, ενώ ο πυκνωτής
Διαβάστε περισσότερα1.5 1 Ο νόμος των ρευμάτων του Kirchhoff 11 1.5 2 Ο νόμος των τάσεων του Kirchhoff 12 1.5 3 Το θεώρημα του Tellegen 13
Μέρος Α 1. Εισαγωγικές Έννοιες 3 1.1 Το αντικείμενο της θεωρίας των ηλεκτρικών κυκλωμάτων 4 1.2 Φυσικά και μαθηματικά μοντέλα 5 1.3 Συγκεντρωμένα και κατανεμημένα κυκλώματα 6 1.4 Ορισμοί Φορές αναφοράς
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Ι Από το πραγματικό κύκλωμα στο μοντέλο Μαθηματική μοντελοποίηση Η θεωρία κυκλωμάτων είναι
Διαβάστε περισσότεραΥπολογίζουμε εύκολα τον αντίστροφο Μετασχηματισμό Fourier μιας συνάρτησης χωρίς να καταφεύγουμε στην εξίσωση ανάλυσης.
4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Υπολογίζουμε εύκολα τον αντίστροφο Μετασχηματισμό Fourir μιας συνάρτησης χωρίς να καταφεύγουμε στην εξίσωση ανάλυσης. Υπολογίζουμε εύκολα την απόκριση
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Ηλεκτρικά Κυκλώματα
Κεφάλαιο Ηλεκτρικά Κυκλώματα. Μεταβατικά φαινόμενα.. Κύκλωμα C Το κύκλωμα του Σχήματος. είναι το απλούστερο κύκλωμα Α τάξης και αποτελείται από μια πηγή συνεχούς τάσης V, που είναι η διέγερσή του, εν σειρά
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ
Ε. Μ. Πολυτεχνείο Εργαστήριο Ηλεκτρονικής ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ Γ. ΠΑΠΑΝΑΝΟΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ : Συναρτήσεις Δικτύων Βασικοί ορισμοί Ας θεωρήσουμε ένα γραμμικό, χρονικά
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ 1 Μια μαθηματική συνάρτηση f(t) χαρακτηρίζεται ως εναλλασσόμενη όταν: Όταν η τιμή παίρνεις θετικές και αρνητικές τιμές (εναλλάσσεται) σε σχέση με το χρόνο. Όταν η εναλλαγή
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων
Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 6: Παθητικά στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 009 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 009. Πριν
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Μετασχηματισμός Laplace 1. Ο μετασχηματισμός
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΣΕ ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
Κεφάλαιο ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΣΕ ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Στη διαδικασία σχεδιασμού των Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου, η απαραίτητη και η πρώτη εργασία που έχουμε να κάνουμε, είναι να
Διαβάστε περισσότεραΚΥΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Καθηγητής: Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Εργαστηριακοί Συνεργάτες: Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ, Α. ΟΙΚΟΝΟΜΙΔΗΣ,
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Επεξεργασία Σημάτων
Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 6: Απόκριση Συχνότητας Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μετασχηματισμός Fourier Διακριτού Χρόνου Η έννοια της Απόκρισης Συχνότητας Ιδιότητες της Απόκρισης
Διαβάστε περισσότερα