ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ - ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ

Transcript

1 Τµ. Επιστήµης των Υλικών

2 Συνάρτηση Κατανοµής Ορισµός F(x) = P(X x) = f(t) x t x f(t)dt, X διακριτή τ.µ., X συνεχής τ.µ. Ιδιότητες 0 F(x). 2 F είναι αύξουσα συνάρτηση. 3 F είναι συνεχής εκ δεξιών. 4 lim F(x) = 0, lim F(x) =. x x + Παρατήρηση Αν X είναι συνεχής τ.µ., τότε f(x) = df(x) dx.

3 Ποσοστιαία σηµεία µιας κατανοµής Ορισµός Εστω η τ.µ. µε συνάρτηση κατανοµής F, η τιµή x p, για την οποία F(x p ) p F(x p ) () ονοµάζεται p οστό ποσοστιαίο σηµείο της κατανοµής. Παρατήρηση Αν p = 2, τότε το x 2 ονοµάζεται διάµεσος. Παρατήρηση 2 Αν X είναι διακριτή τ.µ., τότε x p ορίζεται από τη σχέση, F(x p ) p F(x p ) 2 Αν X είναι συνεχής τ.µ., τότε x p ορίζεται από τη σχέση, p = F(x p ) = xp f(t)dt

4 Παραδείγµατα Παράδειγµα Εστω X U(0, ), να προσδιοριστούν τα x /2 και x /3. 2 Εστω X B(5, /4), να υπολογιστεί η διάµεσος.

5 Ροπές τυχαίων µεταβλητών Ορισµός - Μέση τιµή xf(x), X διακριτή τ.µ. x EX = + xf(x)dx, X συνεχής τ.µ. Ορισµός - Ροπή n τάξης x n f(x) x EX n = + x n f(x)dx, X διακριτή τ.µ., X συνεχής τ.µ.

6 Ροπές τυχαίων µεταβλητών Ορισµός - Ροπή γύρω από το c (x c)f(x), X διακριτή τ.µ. x E(X c) = + (x c)f(x)dx, X συνεχής τ.µ. Ορισµός - Ροπή γύρω από το c n τάξης (x c) n f(x), X διακριτή τ.µ. x E(X c) n = + (x c) n f(x)dx, X συνεχής τ.µ. Παρατήρηση c = EX, n = 2, τότε E(X EX) 2 = VarX διαπορά της τ.µ. X.

7 Ροπές τυχαίων µεταβλητών Αν X τ.µ. και g : R R Ορισµός - Μέση τιµή g(x)f(x) x Eg(X) = + g(x)f(x)dx, X διακριτή τ.µ., X συνεχής τ.µ. Ορισµός - Ροπή n τάξης g(x) n f(x) x E(g(X)) n = + g(x) n f(x)dx, X διακριτή τ.µ., X συνεχής τ.µ.

8 Ροπές τυχαίων µεταβλητών Ιδιότητες - Μέση τιµή Ec = c, c σταθερά. 2 E(aX + b) = aex + b 3 X 0 EX 0. 4 EX E X. Ιδιότητες - ιασπορά Varc = 0, c σταθερά. 2 Var(aX + b) = a 2 VarX 3 VarX = EX 2 (EX) 2 4 VarX = EX(X )+EX (EX) 2

9 Παραδείγµατα Παράδειγµα 2 Η διάρκεια Ϲωής µιας τηλεφωνικής συνδιάλεξης είναι µία τ.µ. µε π.π. την f(x) = xe x I [0, ) (x), x R. Το αντίτιµο c(x) της συνδιάλεξης διάρκειας x είναι c(x) = 2I (0,3] (x)+(2+6(x 3))I (3, ) (x). Πόσο στοιχίζει κατά µέσο όρο µια συνδιάλεξη; Παράδειγµα 3 Τέσσερις ϕίλοι αριθµούνται από το εώς το 4 και παίζουν το εξής παιχνίδι. Ρίχνουν ένα Ϲάρι (µε έξι πλευρές) και εάν εµφανισθεί η πλευρά κ, κ 4, ο παίκτης µε τον αριθµό κ κερδίζει ένα ευρώ από καθένα από τους τρεις υπόλοιπους παίκτες (δηλαδή, ο παίκτης m, m κ χάνει ένα ευρώ). Εάν όµως εµφανισθεί η πλευρά 5 ή 6 κανείς παίκτης δεν κερδίζει. Εστω X το κέρδος του παίκτη µε τον αριθµό, µετά από δύο ϱίψεις Ϲαριού. Να ϐρεθεί το αναµενόµενο κέρδος του παίκτη.

10 Μέση τιµή και ιασπορά γνωστών κατανοµών ιωνυµική κατανοµή, X B(n, p) f(x) = P(X = x) = ( n x) px ( p) n x, x = 0,,...,n, 0 < p <. EX = np, VarX = np( p). Poisson κατανοµή, X P(λ) f(x) = P(X = x) = e λλx x! Γεωµετρική κατανοµή, X Ge(p), x = 0,,..., λ > 0. EX = VarX = λ. f(x) = P(X = x) = p( p) x, x = 0,, 2,... EX = p p, VarX = p p 2.

11 Μέση τιµή και ιασπορά γνωστών κατανοµών Κανονική κατανοµή ή κατανοµή του Gauss, X N(µ,σ 2 ) f(x) = 2πσ 2 e (x µ)2 2σ 2, x R, µ R, σ > 0. Γάµµα κατανοµή, X G(a, β) f(x) = EX = µ, VarX = σ 2. Γ(a)β a xa e x/β, x > 0, a,β > 0. Εκθετική κατανοµή, X E(λ) EX = aβ, VarX = aβ 2. f(x) = λ e λx, x > 0, λ > 0. Παρατήρηση: E(λ) G(a =,β = /λ). EX = λ, VarX = λ 2.

12 Παραδείγµατα Παράδειγµα Ο χρόνος που χρειάζεστε για να απαντήσετε σε κάθε ένα από τα ϑέµατα που σας έχουν δοθεί είναι µία εκθετική τ.µ. µε µέσο χρόνο απάντησης τα 20 λεπτά. Υπολογίστε την πιθανότητα να απαντήσετε σε ένα ϑέµα, σε λιγότερο από 5 λεπτά. 2 Στη συγκεκριµένη εξέταση έχετε 5 διαφορετικά ϑέµατα, ποια είναι η πιθανότητα να απαντήσετε σε λιγότερο από 5 λεπτά, σε τουλάχιστον 2 από αυτά. 3 Ποια είναι η πιθανότητα να απαντήσετε στο 2ο ϑέµα σε περισσότερο από 5 λεπτά, ενώ στο ο ϑέµα έχετε δώσει την απάντηση σε λιγότερο από 5 λεπτά. 4 Ποιος είναι ο αναµενόµενος χρόνος απάντησης όλων των ϑεµάτων;

13 Ανισοτικές Σχέσεις ϱοπής και πιθανότητας Θεώρηµα Εστω X µια τ.µ. και g : R R. τέτοια ώστε g(x) είναι µια τ.µ. και c > 0, τότε P(g(X) c) Eg(X) c Εφαρµογές Εστω X τ.µ. µε EX = µ, ϑέτουµε g(x) = X µ r, r > 0, τότε P( X µ r c r ) = P( X µ c) E X µ r c r 2 r = 2, Ανισότητα Markov P( X µ 2 c 2 E X µ 2 ) = P( X µ c) c 2 = VarX c 2 Ανισότητα Chebysev.

14 Παραδείγµατα Παράδειγµα 2 Ενα συµµετρικό και οµοιογενές νόµισµα αναρρίπτεται ανεξάρτητα n ϕορές και έστω X η τ.µ. που παριστάνει τον αριθµό εµφανίσεων του Γράµµα. ( ) ( ) X X Να υπολογιστούν οι ποσότητες E και Var. n n 2 Αν n = 00, να ϐρεθεί ένα κατώτερο όριο για την πιθανότητα, όπως η σχετική συχνότητα X διαφέρει του 0.5, κατ απόλυτη τιµή, n περισσότερο του Να ϐρεθεί η ελάχιστη τιµή n, για την οποία η πιθανότητα, όπως η σχετική συχνότητα X δεν διαφέρει του 0.5, κατ απόλυτη τιµή, n περισσότερο του 0. είναι τουλάχιστον ( ) X 4 Αν υποθέσουµε τώρα ότι n = 50 και ότι P n 0.5 c 0.9, να προσδιορισθεί η τιµή της σταθεράς c.

15 Ροπογεννήτρια Τυχαίας Μεταβλητής Ορισµός M X (t) = Ee tx, για εκείνα τα t που υπάρχει η µέση τιµή. Παρατήρηση Αν γνωρίζουµε τη ϱοπογεννήτρια µιας τ.µ. X και υπάρχει σε µια περιοχή του 0, τότε γνωρίζουµε την κατανοµή αυτής και αντίστροφα. Ιδιότητες M X (0) = 2 M ax+b = e tb M X (at) d k M ax+b (t) 3 t=0 = EX k dt k

16 Ροπογεννήτρια Τυχαίας Μεταβλητής Παραδείγµατα γνωστών κατανοµών X B(n, p), M X(t) = (pe t + p) n, t R. 2 X P(λ), M X(t) = e λet λ, t R. 3 X N(µ,σ 2 ), Παρατήρηση : X N(0, ), M X(t) = e tµ+ 2 σ2 t 2, t R. M X(t) = e 2 t2, t R. 4 X G(a,β), M X(t) = 5 X E(λ) G(a =,β = /λ), M X(t) = ( tβ) a, t < β. λ (λ t) a, t < λ.