Notes. Notes. Notes. Notes

Transcript

1 Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 9 Οκτωβρίου 0 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα 9 Οκτωβρίου 0 / 5 Ανάγκη θεωρίας επιλογής υπό αβεβαιότητα Η Θεωρία καταναλωτή εξετάζει την επιλογή καλαθιών από τον καταναλωτή υπό συνθήκες βεβαιότητας: Βεβαιότητα για τιμές, ποιότητα, εισόδημα κλπ. Υπόκεινται πάντοτε οι επιλογές που κάνουμε σε συνθήκες βεβαιότητας; Ασφαλώς όχι. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα 9 Οκτωβρίου 0 / 5 Παραδείγματα αβεβαιότητας Αγοράζετε λαχνό. Θέλετε να επιλέξετε μεταξύ κρατικού και λαϊκού. Μπορούν τα εργαλεία που έχουμε αναπτύξει στη θεωρία καταναλωτή ως τώρα να αναλύσουν την επιλογή σας; Τηλεπαιχνίδι: Θέλετε αυτό που κρύβεται πίσω από την κουρτίνα ή από την κουρτίνα ; Πώς επιλέγετε; Ψηφίζετε. Είστε σίγουροι για τα χαρακτηριστικά των υποψηφίων και την ικανότητά τους να αντιμετωπίσουν διαφορετικές αβέβαιες μελλοντικές καταστάσεις; Με τί κριτήρια επιλέγετε ως ψηφοφόροι; Αγοράζετε μεταχειρισμένο αυτοκίνητο. Πώς επιλέγετε ανάμεσα σε διαφορετικούς πωλητές όταν υπάρχει αβεβαιότητα για την ποιότητα του αυτοκινήτου που θα σας πουλήσουν (π.χ. αν είναι ατρακάριστο όπως διατείνονται); Επιλέγετε χαρτοφυλάκιο μετοχών. Τί σχέση απόδοσης ρίσκου προτιμάτε; Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα 9 Οκτωβρίου 0 / 5 Ανάλυση αβεβαιότητας Για την ανάλυση επιλογής υπό αβεβαιότητα, χρειαζόμαστε τα παρακάτω: Εναν καταναλωτή. Ενα σύνολο n το πλήθος δράσεων: G = {g,... g i,... g m ). π.χ. δράση να αγοράσω λαϊκό λαχείο, δράση να αγοράσω εθνικό, δράση τρία να παίξω lotto κ.ο.κ. Ενα σύνολο ενδεχομένων A = {a,... a i,... a n }. π.χ. a = Κερδίζω μικρό ποσό ( 0). a = Κερδίζω μεσαίο ποσό ( 50). a = Κερδίζω μεγάλο ποσό ( ). 4 a 4 = Δεν κερδίζω τίποτα. 5 a = Κερδίζω έναν άλλο λαχνό. ένα ενδεχόμενο μπορεί να είναι με τη σειρά του ένας λαχνός (5). 4 Μια συνάρτηση πιθανότητας p : A [0, ] με p(a) = που για κάθε ενδεχόμενο a i στο A ορίζει p(a i ) [0, ] με i p(a i ) =. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα 9 Οκτωβρίου 0 4 / 5

2 Παρατηρήσεις Το σύνολο των ενδεχομένων μπορεί να είναι ο,τιδήποτε. Παραδείγματος χάριν θα μπορούσε να είναι καλάθια αγαθών. Σε αυτήν την περίπτωση, A = X. Μια άλλη δυνατότητα είναι να είναι χρηματικά ποσά που θα κερδίσει ο παίκτης σε ένα τυχαίο παίγνιο. Με αυτή τη δεύτερη περίπτωση θα ασχοληθούμε αποκλειστικά. Τα ενδεχόμενα μπορεί να μην είναι διακριτά. Για παράδειγμα θα μπορούσε κανείς να υποστηρίξει ότι τα κέρδη σε ένα χρηματιστηριακό παίγνιο είναι συνεχή: μπορεί να εμφανιστούν κέρδη όσο «κοντά» θέλουμε σε οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό. 4 Σε αυτήν την περίπτωση ασφαλώς θα έχουμε συνεχή αντί για διακριτή κατανομή πιθανότητας να λάβουμε κάποια κέρδη: f : A R + με + f(x)dx =. 5 Εμείς θα ασχοληθούμε σχεδόν αποκλειστικά με την περίπτωση διακριτών μεταβλητών. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα 9 Οκτωβρίου 0 5 / 5 Λαχνός Ορισμός (Απλός λαχνός) Ενας απλός λαχνός (g) είναι μια λίστα πιθανοτήτων (p, p,... p n ) με pi =, όπου p i είναι η πιθανότητα να συμβεί το ενδεχόμενο a i. Συμβολίζουμε g = (p a, p a,... p n a n ) ή (p (a ),... p n (a n )). Παράδειγμα: Ρίχνω κορώνα γράμματα με ένα «δίκαιο» νόμισμα. Με κορώνα κερδίζετε 0, με γράμματα κερδίζω 0 (κερδίζετε -0). { g = 0, } ( 0) = {p a, p a } Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα 9 Οκτωβρίου 0 6 / 5 g 0-0 Σχήμα: Απλός λαχνός. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα 9 Οκτωβρίου 0 7 / 5 Λαχνός Ορισμός (Σύνθετος λαχνός) Οπως ο απλός, μόνο που τουλάχιστον ένα ενδεχόμενο είναι λαχνός. Π.χ. Αν έρθει κορώνα παίζεις τον προηγούμενο λαχνό και αν έρθουν γράμματα παίρνεις 0. Συμβολίζουμε g = { g, 0} ή αν ορίσουμε g = 0 τότε g = { g, g } Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα 9 Οκτωβρίου 0 8 / 5

3 g 0 g g 0-0 Σχήμα: Σύνθετος λαχνός. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα 9 Οκτωβρίου 0 9 / 5 Λαχνός Ασφαλώς δεν υπάρχει όριο στο πόσο σύνθετος μπορεί να είναι ένας λαχνός. Π.χ. Αν ένα λαχείο προσφέρει στα κέρδη του με κάποια πιθανότητα ένα καινούριο λαχείο στην επόμενη κλήρωση, τότε υπάρχει πάντοτε μια πιθανότητα να κερδίζει κάποιος λαχείο σε κάθε κλήρωση και με μια (ελάχιστη αλλά υπαρκτή) πιθανότητα μπορεί κάποιος να συνεχίζει να παίζει για πάντα. Το Διάγραμμα τότε δεν τελειώνει. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα 9 Οκτωβρίου 0 0 / 5 g g g Σχήμα: Άπειρα σύνθετος λαχνός. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα 9 Οκτωβρίου 0 / 5 Λαχνοί και χρησιμότητα Ως τώρα έχουμε ορίσει χρησιμότητα πάνω σε σίγουρα ενδεχόμενα. Δηλαδή σε καλάθια αγαθών που ο καταναλωτής θεωρεί ότι μπορεί να αγοράσει και να καταναλώσει με βεβαιότητα. Πώς ορίζεται όμως η χρησιμότητα όταν ενέχεται αβεβαιότητα; Δηλαδή πώς ορίζεται η χρησιμότητα πάνω σε αβέβαια παίγνια/λαχνούς; Πολύ απλά συμβολίζουμε τη χρησιμότητα που έχει ένας λαχνός g για έναν καταναλωτή με U(g). Και πώς ορίζεται η χρησιμότητα από ένα ενδεχόμενο a i ; Επίσης απλά U(a i ). Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα 9 Οκτωβρίου 0 / 5

4 Χρησιμότητα από ενδεχόμενο και χρησιμότητα από παίγνιο. ΠΡΟΣΟΧΗ! Προσέξτε τη διάκριση: U(a i ) είναι η χρησιμότητα που λαμβάνει ένας καταναλωτής όταν του κληρώνεται το ενδεχόμενο (π.χ. δώρο) a i. Π.χ. αν ένας καταναλωτής κερδίσει το πρώτο βραβείο στην κλήρωση του Joker με έπαθλο τότε θα λάβει χρησιμότητα U( ). U(g) είναι η χρησιμότητα εκ των προτέρων του να παίξει/αγοράσει το λαχνό g. Το U(g) ενέχει αβεβαιότητα (ως προς το αποτέλεσμα της τυχαίας διαδικασίας, εδώ της κλήρωσης του λαχείου). Το βασικό θέμα της θεωρίας αβεβαιότητας στη θεωρία καταναλωτή είναι το πώς συνδέονται τα δύο. Πως συνδέεται η χρησιμότητα που λαμβάνουμε από ενδεχόμενα με τη χρησιμότητα που λαμβάνουμε από λαχνούς/παίγνια. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα 9 Οκτωβρίου 0 / 5 U(g) U(a i ) Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα 9 Οκτωβρίου 0 4 / 5? U(g) U(a i ) Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα 9 Οκτωβρίου 0 5 / 5 Π.χ., αν έχουμε ένα λαχνό g με τα εξής χαρακτηριστικά: 0 U (0) = 0 U (0) = 4 Τί χρησιμότητα έχει για έναν καταναλωτή αυτός ο λαχνός; Χρειαζόμαστε να ορίσουμε τον κανόνα της προσδοκώμενης χρησιμότητας. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα 9 Οκτωβρίου 0 6 / 5

5 Κανόνας Προσδοκώμενης Χρησιμότητας Ορισμός (Κανόνας Προσδοκώμενης Χρησιμότητας Expected Utility Rule των von-neumann-morgenstern) Μια συνάρτηση U(g) έχει την ιδιότητα της προσδοκώμενης χρησιμότητας εάν: U(g) = n p i U(a i ) = p U(a ) + p U(a ) +... p n U(a n ) () i= Μια τέτοια συνάρτηση ονομάζεται και συνάρτηση von Neumann-Morgenstern. Μια τέτοια συνάρτηση είναι προφανώς η μαθηματική ελπίδα των στοιχειωδών χρησιμοτήτων U(a) με βάρη τις πιθανότητες p i. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα 9 Οκτωβρίου 0 7 / 5 Το ερώτημα που μας απασχολεί ανάλογα με τη θεωρία του καταναλωτή σε περιβάλλον βεβαιότητας είναι: Υπάρχει τέτοια συνάρτηση που να αναπαριστά τις προτιμήσεις ενός καταναλωτή για λαχνούς; Η απάντηση είναι: Αν οι προτιμήσεις του καταναλωτή ικανοποιούν 6 αξιώματα, τότε υπάρχει. Ας δούμε τί είδους προτιμήσεις πρέπει να έχει ένας καταναλωτής ώστε αυτές να αναπαριστώνται από μια συνάρτηση χρησιμότητας vn-m. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα 9 Οκτωβρίου 0 8 / 5 Αξίωμα () Πληρότητα: Για δύο λαχνούς g, g είτε g g;, είτε g g. (όπως και με βεβαιότητα). Αξίωμα () Μεταβατικότητα: Για τρεις λαχνούς g, g g με g g και g g g g. (όπως με βεβαιότητα) Από τα αξιώματα και έπεται ότι μπορούμε να διατάξουμε τα στοιχειώδη ενδεχόμενα ανάλογα με το ποιο προτιμάται περισσότερο, ονόμάζοντας a το πιο επιθυμητό ενδεχόμενο για τον καταναλωτή και a n το λιγότερο επιθυμητό: a a... a n Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα 9 Οκτωβρίου 0 9 / 5 Αξίωμα () Συνέχεια: Για κάθε g G, υπάρχει πιθανότητα p [0, ] τέτοια ώστε g {p a, ( p) a n } Η συνέχεια μας λέει ότι οποιοδήποτε παίγνιο θα πρέπει να είναι ισοδύναμο για τον καταναλωτή με το να έρθει το καλύτερο δυνατό ενδεχόμενο a με πιθανότητα p και το χειρότερο δυνατό ενδεχόμενο a n με πιθανότητα p. Είναι λογικό αυτό; Σκεφτείτε το εξής σύνολο ενδεχομένων: A = { , 0, Θάνατος } Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα 9 Οκτωβρίου 0 0 / 5

6 A = { , 0, Θάνατος } Αν θεωρήσουμε ότι λογικά Θάνατος, το Α μας λέει ότι για το παίγνιο g = { , 0, 0 Θάνατος} υπάρχει πιθανότητα p τέτοια ώστε 0 {p , ( p) Θάνατος}. Δηλαδή ο καταναλωτής είναι αδιάοφορος μεταξύ 0 στο χέρι και ενός παιγνίου που του δίνει με πιθανότητα p και θάνατο με πιθανότητα p. Είναι λογικό αυτό; Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα 9 Οκτωβρίου 0 / 5 Αξίωμα (4) Μονοτονικότητα: Για κάθε p, q [0, ] έπεται ότι {p a, ( p) a n } {q a, ( q) a n } p q Το αξίωμα μας λέει ότι προτιμάται ένας λαχνός που παίζει το καλύτερο ενδεχόμενο με μεγαλύτερη πιθανότητα και το χειρότερο με μικρότερη. Αν και λογικό, περιμένουμε να ισχύει πάντοτε αυτό; Αξίωμα (5) Υποκατάσταση: έστω δύο παίγνια g = {p g,... p n g n } και h = {p h,... p n h n }. Τότε αν g i h i, i =,... n, έπεται ότι g h. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα 9 Οκτωβρίου 0 / 5 Αξίωμα (6) Αναγωγή σε απλούς λαχνούς: Ενας σύνθετος λαχνός g «ανάγεται» στον απλό λαχνό g s που προκύπτει αν αναγάγουμε το σύνθετο λαχνό σε απλά ενδεχόμενα: g g s = {q a,... q m a m }, όπου a i τα απλά ενδεχόμενα από τα οποία αποτελείται εντέλει ο σύνθετος λαχνός g και q i οι πιθανότητες με τις οποίες παίζονται αυτά τα απλά ενδεχόμενα. Το αξίωμα μας λέει ότι είμαστε αδιάφοροι μεταξύ ενός σύνθετου λαχνού g και του απλού λαχνού g s που αντιστοιχεί στον g, δηλαδή που παίζει τα τελικά απλά ενδεχόμενα του g με τις πιθανότητες που τα παίζει και ο g. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα 9 Οκτωβρίου 0 / 5 Παράδειγμα αναγωγής σε απλούς λαχνούς Ας θεωρήσουμε το λαχνό g = { 4 a, 4 g }, όπου g = { a, a }. Τότε λαχνός g ανάγεται στο λαχνό g s = { 4 a, 4 a }. Αυτό διότι η πιθανότητα να έρθει a αν παίξουμε τον g είναι η πιθανότητα να έρθει a κατευθείαν από τον g συν την πιθανότητα να έρθει αποτέλεσμα g όταν παίξουμε τον g και a όταν εν συνεχεία παίξουμε τον g : p g (a ) = 4 + pg (g ) p g (a ) = = 4 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα 9 Οκτωβρίου 0 4 / 5

7 Προτιμήσεις και συνάρτηση χρησιμότητας vn-m Τί έχουμε κάνει ως τώρα; Θεωρήσαμε αξιωματικά ότι οποιαδήποτε σχέση προτίμησης πάνω σε τυχαία ενδεχόμενα (λαχνούς), έχει 6 ιδιότητες που κρίνουμε λογικές. Το επόμενο θεώρημα μας λέει ότι αν μια σχέση προτίμησης ικανοποιεί πραγματικά τα παραπάνω αξιώματα, τότε υπάρχει και συνάρτηση vn-m που την αναπαριστά. Θεώρημα Εστω ότι μια σχέση προτίμησης ικανοποιεί τα αξιώματα έως 6. Τότε υπάρχει μια von Neumann-Morgenstern συνάρτηση χρησιμότητας U( ) που αναπαριστά τη σχέση προτίμησης αυτή. Δηλαδή U(g ) U(g ) g g U(g) = i p i U(a i ) Απόδειξη: Δείτε Jehle, G and Jeny, P (000), Advanced Microeconomic Theory, Addison Wesley, N.Y. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα 9 Οκτωβρίου 0 5 / 5