Ορμή - Κρούσεις. ΦΥΣ Διαλ.23 1

Transcript

1 Ορμή - Κρούσεις ΦΥΣ Διαλ.3 1

2 Χτύπημα καράτε ΦΥΣ Διαλ.3 q Σπάσιμο μιας σανίδας ξύλου με την ώθηση I = FΔt = Δp = mδυ Δt πολύ μικρό και Δp = σταθ. è F μεγάλη Ø Σώματα: ü Χέρι: M xεριού =3Kg, ταχύτητα υ χεριού =15m/s, ορμή p χεριού =45Κg m/s ü Σανίδα: l=30 cm, κινείται ~1cm πριν σπάσει, ~500Nt για 1cm λύγισμα Αν υποθέσουμε ότι η σανίδα σταματά το χέρι τότε: Δl = υ Δt Δt = Δl υ 1cm = (υ f υ i ) / = 1cm 7.5m /s Δt =10ms F = Δp Δt = 45Κgm /s 0.001s = N!!!

3 ΦΥΣ Διαλ.3 3 Παράδειγµα Δυο όµοιες µπάλες αφήνονται να πέσουν στο έδαφος από το ίδιο ύψος. Και στις δυο περιπτώσεις οι µπάλες έχουν την ίδια ταχύτητα προς τα κάτω καθώς χτυπούν στο έδαφος. Στην περίπτωση 1 η µπάλα αναπηδά ενώ στη περίπτωση η µπάλα παραµένει κολληµένη στο έδαφος. Σε ποιά περίπτωση το µέγεθος της ώθησης από το έδαφος στη µπάλα είναι µεγαλύτερη; (Α) Περίπτωση 1 (Β) Περίπτωση (Γ) Ίδια και στις δυο περιπτώσεις Περίπτωση 1 - Αναπήδηση Ι = Δ p Ι = m υ f m υ i Ι = m υ f ( υ i ) = mυ Περίπτωση Μη αναπήδηση Ι = Δ p Ι = m υ f m υ i Ι = m 0 ( υ i ) = mυ y x v i v f

4 ΦΥΣ Διαλ.3 4 Παράδειγµα Ο Γιώργος µάζας 75kg και η Μαρία µάζας 50kg είναι ακίνητοι στηριζόµενοι στα πατίνια τους κοιτάζοντας ο ένας τον άλλο. Η Μαρία σπρώχνει το Γιώργο µε µια σταθερή δύναµη F = 45N για Δt = 3sec. Ποιός από τους δύο θα κινείται µε µεγαλύτερη ταχύτητα µετά την ώθηση; (Α) Γιώργος (Β) Μαρία (Γ) Έχουν την ίδια ταχύτητα Γιώργος (κίνηση σε + διεύθυνση) Ι = Δ p! = F Μ Γ Δt = 45N 3s = 135N sec! Ι = m Γ υ f! υ i ( ) = m Γ υ Γ Από τις παραπάνω σχέσεις υ Γ = 135N sec 75kg = 1.8m/ s Μαρία (κίνηση σε διεύθυνση) Ι = Δ p! = F Γ Μ Δt = ( 45N ) 3s = 135N sec Ι = m Μ υ f υ i ( ) = mυ Μ Από τις παραπάνω σχέσεις υ Μ = 135Ns 50kg =.7m/ s Σηµειώστε: P! Γ + P! M = 75kg 1.8 m s +50kg.7m s = 135Ns 135Ns = 0Ns P f Γ / M = 0 = P i Γ / M

5 Κρούσεις ΦΥΣ Διαλ.3 5 q Αν δύο σώματα συγκρουστούν τότε: Ø Υπάρχει ώθηση (ο χρόνος αλλαγής ορμής είναι μικρός) Ø Οι δυνάμεις είναι ίσες και αντίθετες και πολύ μεγαλύτερες από οποιαδήποτε εξωτερική δύναμη (σύστημα απομονωμένο) m1 v 1 v m (1) F 1 q Ξέρουμε ότι -F 1 m 1 () m υ 1 m 1 υ m (3) F = d p dt d p = Εξετάζουμε τη μάζα m 1 : F dt Εξετάζουμε τη μάζα m : p p = p 1 p 1 = dp = t f t i t f t i F dt F dt F dt = Δ p = Δ p 1 Από τη στιγμή που οι δυνάμεις είναι ίσες και αντίθετες p 1 + p = p1 + p Δ p 1 = Δ p

6 ΦΥΣ Διαλ.3 6 Ελαστική κρούση 1 διάσταση q Σε ελαστικές κρούσεις διατηρούνται η κινητική ενέργεια και η ορμή m 1 v 1 + m v = m 1v 1 + m v Διατήρηση ορμής 1 m v m v = 1 m v m v Διατήρηση κινητικής ενέργειας Έχουμε εξισώσεις και αγνώστουs: v' 1 και v'. Λύνουμε για v' 1 και v' Μετά από πράξεις μπορούμε να δείξουμε ότι για κρούσεις σε 1-διάσταση: m v 1 = v 1 m m 1 + v m 1 + m m 1 + m m v = v 1 m 1 + v m 1 m 1 + m m 1 + m Aν m 1 = m τότε: v' = v 1 και v' 1 =v τα σώματα ανταλλάσουν ταχύτητες v 1 v m m 1 v v 1 m 1 m

7 ΦΥΣ Διαλ.3 7 Ελαστική κρούση q Μπορούμε να δείξουμε ότι v 1 v = v v 1 Δηλαδή οι σχετικές τους ταχύτητες είναι ίδιες πριν και μετά την κρούση ακόμα και αν οι μάζες τους είναι διαφορετικές Μή Ελαστικές και Πλαστικές κρούσεις q Σε μή ελαστικές κρούσεις ΔΕΝ ΔΙΑΤΗΡΕΙΤΑΙ η μηχανική ενέργεια q Επομένως υπάρχει μόνο μια εξίσωση, αυτή της διατήρησης της ορμής p 1 + p = p 1 + p q Σε πλαστικές κρούσεις τα σώματα μένουν κολλημένα μετά την κρούση

8 Κρούση σε 1-διάσταση - Παράδειγμα m υ σϕ. i d d = 1 1 m + M σϕ. τουβ. m σϕ. υ i ( ) ( m σϕ. + M ) 1 m υ σϕ. i τουβ. ΦΥΣ Διαλ.3 8 Μια σφαίρα 7gr όταν φεύγει από ένα πιστόλι προς ένα ακλόνητο ξύλινο τούβλο µάζας 1kg διεισδύει στο τούβλο σε βάθος 8cm. Το τούβλο κατόπιν τοποθετείται πάνω σε λεία επιφάνεια και είναι ελεύθερο να κινηθεί. Μια δεύτερη όµοια σφαίρα πυροβολείται µε την ίδια ταχύτητα και ίδια απόσταση από το όπλο προς το τούβλο. Σε πόσο βάθος θα εισχωρήσει η σφαίρα µέσα στο τούβλο στην δεύτερη περίπτωση; Λύση Υποθέτουµε ότι οι ταχύτητες των σφαιρών είναι ίσες και ότι η ίδια δύναµη απαιτείται ώστε οι σφαίρες να διεισδύσουν µέσα στο τούβλο. Αυτή η δύναµη δρα στη σφαίρα αντίθετα µε τη φορά της κίνησής της Ø Για την 1 η σφαίρα, από το θεώρηµα έργου-ενέργειας έχουµε: Ø Ø f i i W = E κιν. E κιν. = E κιν. Fd 1 = 1 (1) m υ F = m υ σϕ. i σϕ. i d Όµοια για τη η σφαίρα: (το τούβλο µπορεί να κινηθεί 1 τώρα) Fd = 1 m ( + m 1 σϕ σϕ + M τουβ. )υ f 1 f i m υ W = E κιν. E κιν. σϕ i Από διατήρηση της ορµής στη η περίπτωση παίρνουµε: p i = p f m σϕ υ i = (m σϕ + M τουβ. )υ f υ f = m σϕ υ i (m σϕ + M τουβ. ) () (3) Αντικαθιστούµε την (1) και (3) στη () d = m + M σϕ. τουβ. ( m σϕ. + M ) d 1 τουβ.

9 ΦΥΣ Διαλ.3 9 Κρούσεις σε διαστάσεις q Για ελαστικές κρούσεις p 1 + p = p 1 + p όπου p = (p x,p y ) Δηλαδή είναι εξισώσεις, µια για κάθε διεύθυνση (x,y) και υπάρχει και µια τρίτη εξίσωση λόγω διατήρησης της µηχανικής ενέργειας Αν m 1, m, v 1, v είναι γνωστά τότε έχουµε 3 εξισώσεις µε 4 αγνώστους p' 1x, p' 1y, p' x, p' y Ø Εποµένως χρειαζόµαστε κάτι ακόµα για τη τελική κατάσταση

10 ΦΥΣ Διαλ.3 10 Κρούσεις σε διαστάσεις - Παράδειγµα Ø Το σώμα 1 πριν την κρούση κινείται με ταχύτητα v 1i ενώ το σώμα είναι σε ηρεμία v i =0 Πριν τη κρούση Ø Στη x-διεύθυνση η αρχική ορμή είναι m 1 v 1i Ø Στη y-διεύθυνση η αρχική ορμή είναι μηδέν q Μετά την κρούση τα σώματα κινούνται με κάποιες γωνίες θ και φ ως προς την x-διεύθυνση Μετά την κρούση Το σώμα 1 έχει ταχύτητα: f υ 1x f υ x = υ 1 f cosθ = υ f cosφ q Μετά την κρούση τα σώματα έχουν συνιστώσες ταχύτητας στη y-διεύθυνση. Το σώμα 1 έχει ταχύτητα: ενώ το σώμα έχει ταχύτητα: f υ 1y f υ y = υ 1 f sinθ = υ f sinφ Η ορµή στην x-διεύθυνση είναι m 1 υ 1 f cosθ + m υ f cosφ ( ) Η ορµή στην y-διεύθυνση είναι m 1 υ f sinθ + m υ f sin φ m 1 υ f sinθ m υ f sinφ f υ y = υ f sin( φ) (κανονικά )

11 Μεθοδολογία λύσης ασκήσεων q Προσδιορίστε ένα σύστηµα συντεταγµένων και ορίστε τις ταχύτητες των σωµάτων του συστήµατος ως προς τους άξονες αυτού του συστήµατος q Σχεδιάστε και προσδιορίστε όλα τα διανύσµατα των ταχυτήτων και ότι άλλη πληροφορία σας δίνεται στο πρόβληµα q Γράψτε τις εξισώσεις για την x- και y- συνιστώσα της ορµής κάθε σώµατος πριν και µετά την κρούση. Μην ξεχνάτε τα απαραίτητα πρόσηµα ανάλογα µε τη διεύθυνση q Γράψτε τις εξισώσεις για την ολική ορµή του συστήµατος στην x-διεύθυνση πριν και µετά την κρούση και εξισώστε Επαναλάβετε και για την ολική ορµή στην y-διεύθυνση q Εξετάστε το είδος της κρούσης: Ø Για µη ελαστική κρούση, η µηχανική ενέργεια δεν διατηρείται και θα χρειάζεστε και άλλες πληροφορίες από το πρόβληµα. Ø Για πλαστική κρούση, τα σώµατα έχουν την ίδια ταχύτητα µετά την κρούση. Λύστε τις εξισώσεις των ορµών ως προς τους αγνώστους. Ø Για ελαστική κρούση, η µηχανική ενέργεια διατηρείται. Εξισώστε την µηχανική ενέργεια πριν και µετά την κρούση για να βρείτε επιπλέον σχέσεις µεταξύ των ταχυτήτων ΦΥΣ Διαλ.3 11

12 Κρούσεις - Παραδείγματα ΦΥΣ Διαλ.3 1 q Θα αποδείξουμε ότι σε ελαστική μη κεντρική κρούση δύο σωμάτων ίδιας μάζας, ένα εκ των οποίων αρχικά είναι ακίνητο, η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων των τελικών ταχυτήτων είναι πάντοτε 90 ο m 1 v 1 Πριν ŷ m q Από διατήρηση της ορμής έχουμε: (1) ˆ x mv = m v 1 cosθ 1 + m v cosθ () ˆ y = m v 1 sinθ 1 m v sinθ q Από διατήρηση της ενέργειας έχουμε: 1 mv = 1 m v m v (3) v 1 = v 1 + v v 1 v 1 v = 0 Έχουμε 3 εξισώσεις και θέλουμε να ξέρουμε θ 1 +θ xˆ θ 1 θ v 1 = v 1 cosθ 1 + v cosθ 0 = v 1 sinθ 1 v sinθ Μετά

13 ΦΥΣ Διαλ.3 13 Παράδειγμα (συνέχεια) Υψώνουμε στο τετράγωνο τις σχέσεις (1) και () οπότε και παίρνουμε (1) v 1 = v 1 cosθ 1 + v cosθ v 1 = v 1 cos θ 1 + v cos θ + v 1 v cosθ 1 cosθ () 0 = v 1 sinθ 1 v sinθ 0 = v 1 sin θ 1 + v sin θ v 1 v sinθ 1 sinθ Προσθέτοντας τις δύο παραπάνω σχέσεις παίρνουμε: ( ) v 1 = v 1 + v + v 1 v cosθ 1 cosθ sinθ 1 sinθ ( ) = cosθ 1 cosθ sinθ 1 sinθ cos θ 1 +θ Άρα καταλήγουμε με την σχέση: (3) v 1 = v 1 + v + v 1 v cos θ 1 +θ v 1 v 1 v = v 1 Το αριστερό μέλος όμως είναι η (3) και επομένως v 1 v cos θ 1 +θ ( ) ( ) v cos θ 1 +θ ( ) = 0 cos( θ 1 +θ ) = 0 θ 1 +θ = 90 0 Σε -D τα σώματα είναι 90 ο μακριά. Για 1-D η θ 1 δεν ορίζεται

14 ΦΥΣ Διαλ.3 14 Παράδειγμα Ελαστική κρούση που περιέχει μάζες και ελατήρια. v 1 v m 1 m Tη χρονική στιγµή t', η µάζα m 1 έχει ταχύτητα v' 1 και το ελατήριο συσπειρώνεται. Ποιά είναι η ταχύτητα v' τη στιγµή t'? Ø Από διατήρηση της ορμής:!!!! m v1 1 + m v = m v1 1 + m v Mόνο η v' είναι άγνωστη Ø Από διατήρηση της ενέργειας: 1 m v m v = 1 m v m 1 v + 1 kx Αυτή η σχέση δίνει την συσπείρωση του ελατηρίου τη στιγμή t'

15 ΦΥΣ Διαλ.3 15 Παράδειγμα - Πλαστική κρούση 1-D m v Πριν M M+m Μετά Από διατήρηση της ορµής: ( ) v! m! v + 0 = m + M v! = v! m M + m Αν οι µάζες ήταν ίδιες τότε Μ=m και η παραπάνω σχέση δίνει:! v =! v Παρατηρούµε ότι η κινητική ενέργεια πριν και µετά την κρούση είναι: K i = 1 mv K f = 1 ( m ) v = m v 4 = K i ΔK = K f K i = m v 4 Ένα µέρος της ενέργειας έχει χαθεί σε µορφή θερµότητας.

16 ΦΥΣ Διαλ.3 16 Παράδειγμα Πλαστική κρούση -D m v 30 ο 45 ο v m u=? m θ=? Πριν την κρούση p x = mvcos mvcos45 0 p y = mvsin mvsin45 0 Σύµφωνα µε τη διατήρηση της ορµής: p x = p x (1) p y = p y () Ποια είναι η τελική ταχύτητα u και η γωνία θ? Η ορµή p είναι ένα διάνυσµα. Εποµένως όπως έχουµε δει αυτό σηµαίνει διατήρηση ως προς κάθε κατεύθυνση (αν ήµασταν στο χώρο 3-d) Μετά την κρούση p x = mυ cosθ p y = mυ sinθ Δηλαδή εξισώσεις µε αγνώστους (υ και θ) Διαιρώντας την (1) µε την () έχουµε: = tanθ θ = 7.5 Aπό την εξίσωση: p x = p x mv = mυ cos7.5 0 υ = 0.79v

17 ΦΥΣ Διαλ.3 17 Quiz Ø Γράψτε σε μια σελίδα το όνομά σας και τον αριθμό ταυτότητάς σας Έτοιµοι;

18 ΦΥΣ Διαλ.3 18 Προβλήµατα ορµής/ώθησης µε µεταβαλλόµενη µάζα Τρένο κινείται µε σταθερή ταχύτητα, v=1m/sec, κάτω από ένα σιλό το οποίο αποθέτει σιτάρι µε ρυθµό 1kgr/sec. Τι δύναµη χρειάζεται για να συνεχίσει να κινείται το τρένο? Λύση Ποιο είναι το σύστηµά µας? Το τρένο και το σιτάρι στο τρένο dm dt = 1kgr / sec ρυθµός αύξησης του σιταριού Σιτάρι που πέφτει: p x = 0 αλλά υπάρχει p y. v Χτυπά στο τρένο, οπότε p y= 0, ενώ αναπτύσσει p x To τρένο πρέπει να προσφέρει τη δύναµη για την αλλαγή αυτή της ορµής Το τρένο έχει σαν «εργαλεία» την κάθετη δύναµη και την τριβή Το σιτάρι ασκεί στο τρένο ίση και αντίθετη δύναµη και το τρένο επιβραδύνεται Η µηχανή είναι αυτή που πρέπει να δώσει την ώθηση που χρειάζεται

19 ΦΥΣ Διαλ.3 19 Τρένο (συνέχεια) Θεωρείστε ένα µικρό χρονικό διάστηµα Δt M f = M i + dm dt Δt p x i f = M i v p x αφού θέλουµε v τρένου =σταθ. I x = Δp x = F x Δt = p x f = M i + dm dt Δt v p x i F x = dm dt v = 1 m sec 1kgr sec = 1N = v dm dt Δt Αλλαγή της µάζας του τρένου Αυτή είναι η δύναµη που πρέπει να αναπτυχθεί από την µηχανή του τρένου ώστε το τρένο να εξακολουθεί να κινείται µε σταθερή ταχύτητα

20 ΦΥΣ Διαλ.3 0 ο Παράδειγµα - Πύραυλοι, αεροπλάνα κλπ q Κίνηση πυραύλων Κλασικό πρόβληµα Πύραυλος µε αρχική µάζα M Π Εκτοξεύει µάζα µε ταχύτητα V εκτ (σχετικά µε τον πύραυλο). Ποια είναι η ταχύτητα όταν η µάζα του είναι m Λύση Για ένα αποµονωµένο σύστηµα (πύραυλος-εξάτµιση) ξέρουµε ότι d p! dt = 0 p = σταϑ. Ας υποθέσουµε ότι η µάζα του πυραύλου αλλάζει από Μ+dm σε Μ και η ταχύτητά του από v σε v+dv dm dm Μ Μ i =M+dm v v-v εκτ Μ v+dv

21 Πύραυλος ΦΥΣ Διαλ.3 1 Εφαρµόζοντας διατήρηση της ορµής έχουµε: p i = p f ( M + Δm)v = M v + Δv ( ) + Δm( v v εκτ ) ( ) Mv + vδm = Mv + MΔv + vδm v εκτ Δm MΔv = v εκτ Δm Έστω τώρα ότι Δt 0 τότε Δm dm και ΔΜ dm ενώ dm = -dm. Δt 0 dm Mdv = v εκτ dm dv = v εκτ M v f M f dm dv = v v εκτ i v M i M f v i = v εκτ ln M v f = v i v εκτ ln M f ln M i ( ) ( ) Mi M f v f = v i + v εκτ ln M i M f Απειρίζεται καθώς το M f 0 Αν η αρχική µάζα του πυραύλου είναι M = 10 x m τότε v =.3v εκτ Αν η µάζα είναι Μ = 100 x m τότε v = 4.6v εκτ Το κέρδος σε ταχύτητα πολύ µικρό µεγαλώνοντας τη µάζα του πυραύλου