Ηλεκτρονική Μάθημα VIΙ Ψηφιακά Κυκλώματα Ψηφιακή Λογική. Καθηγητής Αντώνιος Γαστεράτος Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής και Διοίκησης, Δ.Π.Θ.

Transcript

1 Ηλεκτρονική Μάθημα VIΙ Ψηφιακά Κυκλώματα Ψηφιακή Λογική Καθηγητής Αντώνιος Γαστεράτος Τμήμα Ε.ΔΙ.Π. Μηχανικών Δρ. Αθανάσιος Παραγωγής Ψωμούλης και Διοίκησης, Δ.Π.Θ. Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής και Διοίκησης, Δ.Π.Θ.

2 Περιορισμοί των Ψηφιακών έναντι των Αναλογικών Κυκλωμάτων Ο πραγματικός κόσμος είναι αναλογικός οπότε απαιτούνται εξειδικευμένα κυκλώματα (ADC DAC) για την μετατροπή των αναλογικών σημάτων σε ψηφιακή μορφή και των ψηφιακών σε αναλογική, αντίστοιχα.

3 Αναλογικός κόσμος συνεχή σήματα Ψηφιακός κόσμος διακριτά σήματα

4 Πλεονεκτήματα των Ψηφιακών έναντι των Αναλογικών Κυκλωμάτων Ευκολότερος Σχεδιασμός (σημασία έχουν δύο περιοχές της τάσης LOW / HIGH και όχι η ακριβής τιμή της) Εύκολη αποθήκευση πληροφοριών σε ψηφιακή μορφή Επίτευξη μεγαλύτερης ακρίβειας Προγραμματισμός / επαναπρογραμματισμός της λειτουργίας Υλοποίηση πολύπλοκων συστημάτων Μικρότερες επιπτώσεις από τον θόρυβο και άλλους εξωγενείς παράγοντες (π.χ. θερμοκρασία κλπ.) Μεγάλος αριθμός ολοκληρωμένων κυκλωμάτων (ICs) διαθέσιμων στην αγορά από πολλές κατασκευάστριες εταιρείες.

5 Ψηφιακό σήμα V υψηλή στάθμη χαμηλή στάθμη t

6 Συστήματα αρίθμησης Ένα σύστημα αρίθμησης με βάση k έχει k σύμβολα, τα οποία είναι 0, 1,... k-1. Κάθε σύμβολο, ανάλογα με τη θέση του συμβολίζει μία δύναμη του k. Οι δυνάμεις του k είναι τοποθετημένες σε αυστηρή αύξουσα σειρά από δεξιά προς τα αριστερά στην παράσταση ενός αριθμού, δηλαδή: = (an-1an-2 a1a0)k an-1k n-1 + an-2k n-2 + a1k 1 + a0k 0

7 Δεκαδικό σύστημα Το δεκαδικό σύστημα έχει βάση το 10 και δέκα σύμβολα (ή ψηφία), τα οποία είναι τα 0, 1, 2, 3,4,5, 6, 7, 8 και 9. Κάθε ψηφίο, ανάλογα με τη θέση του συμβολίζει μία δύναμη του 10. Οι δυνάμεις του δέκα είναι τοποθετημένες σε αυστηρή αύξουσα σειρά (δεν παραλείπουμε καμία) από δεξιά προς τα αριστερά στην παράσταση ενός αριθμού, δηλαδή ένας δεκαδικός αριθμός n ψηφίων παριστάνεται ως εξής: = (dn-1dn-2 d1d0)10 dn-110 n-1 + dn-210 n-2 + d d010 0

8 Δυαδικό σύστημα αρίθμησης Για τα διακριτά ηλεκτρονικά, στα οποία έχουμε δύο διακριτές στάθμες τάσης, είναι ευνόητο το κατάλληλο σύστημα αρίθμησης να είναι το δυαδικό. Σύμφωνα λοιπόν με τα παραπάνω, το σύστημα αυτό διαθέτει δύο ψηφία, τα 0, 1. Κάθε δυαδικό ψηφίο (b-inary dig-it ή bit), ανάλογα με τη θέση του συμβολίζει μία δύναμη του 2. Οι δυνάμεις του δύο είναι τοποθετημένες σε αυστηρή αύξουσα σειρά από δεξιά προς τα αριστερά στην παράσταση ενός αριθμού, δηλαδή ένας δυαδικός αριθμός n ψηφίων παριστάνεται ως εξής: (bn-1bn-2 b1b0)2 = bn-12 n-1 + bn-22 n-2 + b b02 0

9 Δυαδικό σύστημα αρίθμησης Εύρος ακέραιων αριθμών που μπορούν να παρασταθούν από έναν n-bit δυαδικό αριθμό χωρίς πρόσημο: από 0 έως +(2 n -1) [π.χ. για n=8 από 0 έως = 255]

10 Δεκαεξαδικό σύστημα αρίθμησης Επειδή για την παράσταση ακόμη και μικρών αριθμών σε δυαδικό σύστημα απαιτείται ιδιαίτερα μεγάλος αριθμός ψηφίων, πολλές φορές ομαδοποιούμε τους δυαδικούς αριθμούς σε τετράδες ή ακόμη και οκτάδες. Το δεκαεξαδικό σύστημα έχει δεκαέξι ψηφία, τα 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, Α, Β, C, D, E, F και βάση το 16 (συμβολίζεται με δείκτη 16 ή h, εκ του hexadecimal). Μία οκτάδα δυαδικών ψηφίων ονομάζεται λέξη ή byte και μπορεί να παρασταθεί με δύο ψηφία του δεκαεξαδικού. Ένας αριθμός του δεκαεξαδικού παριστάνεται ως: (hn-1hn-2 h1h0)16 = hn-116 n-1 + hn-216 n-2 + h h016 0

11 Αναπαράσταση αριθμών στο Δεκαδικό, Δυαδικό και Δεκαεξαδικό Σύστημα Αρίθμησης

12 Μετατροπή Δυαδικού Αριθμού σε δεκαδικό = = = = σε δεκαεξαδικό = (0001) (0011) (1010)2 = 13A16 010, = (0010),(1010) (1000)2 = 2,A816 (κάθε δεκαεξαδικό ψηφίο αντιστοιχεί σε 4 δυαδικά ψηφία - bits)

13 Μετατροπή Δεκαεξαδικού Αριθμού σε δεκαδικό χ χ χ16 0 = = A, F 16 2χ χ χ χ16-1 = ,9375 = 634, σε δυαδικό 27A,F16 = (0010) (0111) (1010),(1111)2 (κάθε δεκαεξαδικό ψηφίο αντιστοιχεί σε 4 δυαδικά ψηφία - bits)

14 Παράδειγμα Να παρασταθεί ο αριθμός στο δυαδικό σύστημα. Υπάρχουν διάφοροι αλγόριθμοι μετατροπής αριθμών από δεκαδικό σε δυαδικό σύστημα αρίθμησης. Ο πλέον προφανής είναι με συνεχείς διαιρέσεις με το 2 μέχρις εξαντλήσεως, δηλαδή μέχρι το πηλίκο να είναι μικρότερο του 2. Τα υπόλοιπα που αφήνουν οι διαιρέσεις αυτές αντιστοιχούν προφανώς την πρώτη φορά σε μονάδες, μετά σε δυάδες, σε τετράδες, κ.ό.κ. Άρα λαμβάνουμε το τελικό πηλίκο ως πλέον σημαντικό ψηφίο, το επόμενο σημαντικό ψηφίο είναι το υπόλοιπο της τελευταίας διαίρεσης, μετά το υπόλοιπο της προτελευταίας διαίρεσης, κ.ό.κ., όπως παρουσιάζεται στο σχήμα. Τελικά λοιπόν ο δυαδικός αριθμός που σχηματίζεται είναι ο =

15 Παράδειγμα Να παρασταθεί ο αριθμός στο δεκαεξαδικό σύστημα. Για την παράσταση δεκαεξαδικού μπορούμε να εργαστούμε με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, δηλαδή να διαιρούμε συνεχώς με 16, έως ότου το πηλίκο να είναι μικρότερο του Όμως αφού γνωρίζουμε ήδη την παράσταση σε δυαδικό σύστημα ένας άλλος τρόπος είναι να χωρίσουμε τον αριθμό σε τετράδες από δεξιά προς τα αριστερά. Δηλαδή στο παράδειγμά μας έχουμε δύο τετράδες 1110 και Οι τετράδες αυτές αντιστοιχούν στα ψηφία Ε και 9, άρα ο αριθμός είναι ο Ε916=

16 Παράσταση αριθμού Πρόσημο - μέτρο (Προσημασμένου-Μέτρου) 1 s (Συμπλήρωμα ως προς 1) 2 s (Συμπλήρωμα ως προς 2)

17 Σύστημα Προσημασμένου-Μέτρου MSB = 0 > + MSB = 1 > - Εύρος ακέραιων αριθμών που μπορούν να παρασταθούν από έναν n-bit δυαδικό αριθμό προσημασμένου μέτρου: από - (2 n-1-1) έως + (2 n-1-1) [π.χ. για n=8 από -127 έως 127] Πρόσημο Μέτρο Α =+6010 = Α =-6010 = Β =+4610 = Β =-4610 = Απαιτείται πολύπλοκο ψηφιακό κύκλωμα για την πραγματοποίηση αριθμητικών πράξεων πρόσθεσης / αφαίρεσης (έλεγχος των προσήμων και των μέτρων, ανάλογη αναδιάταξη των αριθμών, αριθμητική πράξη)

18 Συμπληρώματα Τα συμπληρώματα χρησιμοποιούνται στους ψηφιακούς υπολογιστές για: την αναπαράσταση αρνητικών αριθμών την απλοποίηση της αφαίρεσης λογικές πράξεις Υπάρχουν δύο είδη συμπληρωμάτων ενός δυαδικού αριθμού Ν: συμπλήρωμα ως προς 1 (1 s compl.) του Ν = (2 n -1)-N συμπλήρωμα ως προς 2 (2 s compl.) του Ν = 2 n -N

19 Συμπλήρωμα ως προς 1 (1 s compl.) Πρακτικά για να πάρουμε το συμπλήρωμα ως προς 1 ενός δυαδικού αριθμού θα πρέπει να αντιστρέψουμε όλα του τα bits. Το MSB ενός αριθμού σε αναπαράσταση συμπληρώματος ως προς 1 αποτελεί και το πρόσημο του αριθμού. MSB= 1 αρνητικός αριθμός = 0 θετικός αριθμός Εύρος ακέραιων αριθμών που μπορούν να παρασταθούν από έναν n-bit δυαδικό αριθμό σε παράσταση συμπληρώματος ως προς 1: από - (2 n-1-1) έως + (2 n-1-1) [π.χ. για n=8 από -127 έως 127] Το συμπλήρωμα του συμπληρώματος ενός αριθμού ως προς 1 μας δίνει τον αρχικό αριθμό

20 Συμπλήρωμα ως προς 2 (2 s compl.) Πρακτικά για να πάρουμε το συμπλήρωμα ως προς 2 ενός δυαδικού αριθμού υπάρχουν δύο τρόποι: 1. να πάρουμε πρώτα το συμπλήρωμά του ως προς 1 και στην συνέχεια να προσθέσουμε 1 στο λιγότερο σημαντικό bit - LSB - αυτού, 2. ή πιο πρακτικά να αφήσουμε ως έχουν όλα τα μηδενικά (0) και το πρώτο μημηδενικό (1) LSB του και να αντιστρέψουμε όλα τα υπόλοιπα bits inv inv inv inv inv inv

21 Συμπλήρωμα ως προς 2 (2 s compl.) Το MSB ενός αριθμού σε αναπαράσταση συμπληρώματος ως προς 1 αποτελεί και το πρόσημο του αριθμού. MSB = 1 αρνητικός αριθμός = 0 θετικός αριθμός Εύρος ακέραιων αριθμών που μπορούν να παρασταθούν από έναν n-bit δυαδικό αριθμό σε παράσταση συμπληρώματος ως προς 1: από - 2 n-1 έως + (2 n-1-1) [π.χ. για n=8 από -128 έως 127] Το συμπλήρωμα του συμπληρώματος ενός αριθμού ως προς 2 μας δίνει τον αρχικό αριθμό.

22 Παράδειγμα Να παρασταθεί ο αριθμός σε δυαδική μορφή ως συμπλήρωμα 2 s, συμπλήρωμα 1 s και πρόσημο-μέτρο. Ξέρουμε ότι = Επομένως το συμπλήρωμα 1 s είναι 0010 και το συμπλήρωμα 2 s είναι 0011 Σε μορφή οκτώ ψηφίων, που περιλαμβάνει και το πρόσημο επομένως ο παρουσιάζεται ως εξής: συμπλήρωμα 2 s: συμπλήρωμα 1 s: πρόσημο-μέτρο:

23 Πρόσθεση Για την πράξη της πρόσθεσης σε άλλα συστήματα αρίθμησης εργαζόμαστε ακριβώς όπως στο δεκαδικό, δηλαδή προσθέτουμε πρώτα τις μονάδες και σημειώνουμε το αποτέλεσμα. Αν προκύψει κρατούμενο σε μία βαθμίδα το μεταφέρουμε στην επόμενη βαθμίδα και το προσθέτουμε με τα ψηφία εκείνης της βαθμίδας.

24 Παράδειγμα Να προσθέσετε τους αριθμούς 9510 και 4210 στο δεκαδικό, το δυαδικό και το δεκαεξαδικό σύστημα αρίθμησης F +2A 1 89

25 Αφαίρεση Η αφαίρεση μπορεί επίσης να γίνει σε όλα τα αριθμητικά συστήματα με τον ίδιο ακριβώς τρόπο που έχει κανείς διδαχθεί για το δεκαδικό, δηλαδή αφαιρούμε τις μονάδες του αφαιρέτη από τις μονάδες του αφαιρετέου και αν αυτές δεν επαρκούν δανειζόμαστε από την επόμενη βαθμίδα.

26 Παράδειγμα Να αφαιρέσετε τον αριθμό 4210 από τον στο δεκαδικό, το δυαδικό και το δεκαεξαδικό σύστημα αρίθμησης F - 2A 35

27 Συμπλήρωμα Δύο φυσικοί αριθμοί Χ και Υ που απεικονίζονται στη βάση k με n ψηφία, θεωρείται ότι ο ένας είναι k s συμπλήρωμα του άλλου αν και μόνο αν ισχύει: Χ + Υ = k n Το συμπλήρωμα ενός αριθμού μπορούμε να το υπολογίσουμε αφαιρώντας απλά από το k n τον αριθμό αυτό.

28 Παράδειγμα Να υπολογίσετε το 10 s συμπλήρωμα των αριθμών 310, 1510 και Το συμπλήρωμα 10 s του 3 είναι το 7, γιατί 3+7=10 1 Το συμπλήρωμα 10 s του 15 είναι το 85, γιατί 15+85=10 2 Το συμπλήρωμα 10 s του 998 είναι το 2, γιατί 998+2=10 3 Στην τελευταία περίπτωση παρατηρούμε ότι το 10 s συμπλήρωμα του 998, αριθμού τριών ψηφίων είναι το 2, αριθμός ενός ψηφίου. Γενικά όταν το συμπλήρωμα ενός αριθμού n ψηφίων προκύπτει ότι είναι αριθμός με ψηφία λιγότερα του n, μπορούμε να συμπληρώσουμε τα ψηφία που λείπουν από τον αριθμό με μηδενικά από την αριστερή πλευρά του αριθμού (zero padding), δηλαδή μπορούμε να πούμε ότι το 10 s συμπλήρωμα του 998 είναι το 002. Επιπλέον, παρατηρούμε ότι το 10 s συμπλήρωμα του 2 είναι το 8 (για παράσταση ενός ψηφίου), ενώ για παράσταση δύο ψηφίων το συμπλήρωμα του 02 είναι το 98 και για παράσταση τριών ψηφίων του συμπλήρωμα του 002 είναι το 998 γενικά μπορούμε να πούμε ότι αν για ένα αριθμό ν ψηφίων ζητούμε το 10 s συμπλήρωμα του με n ψηφία, όπου n>ν, τότε υπολογίζουμε το 10 s συμπλήρωμα του αριθμού και στη συνέχεια συμπληρώσουμε τα n-ν ψηφία που λείπουν από τον αριθμό με 9 (=10-1).

29 Παράδειγμα Να υπολογίσετε το 2 s συμπλήρωμα του 102 και του Το συμπλήρωμα 2 s του 10 είναι το 10, γιατί 10+10=100=10 2 Το συμπλήρωμα 2 s του 1010 είναι το 0110, γιατί =10000=10 4 Παρατηρούμε και εδώ ότι το συμπλήρωμα του 1010, αριθμού τεσσάρων ψηφίων είναι το 0110, ο οποίος είναι αριθμός τριών ψηφίων που όμως συμπληρώθηκε με ένα μηδενικό από αριστερά. Επιπλέον, το 2 s συμπλήρωμα του 110 είναι το 010 (για παράσταση τριών ψηφίων), ενώ για παράσταση τεσσάρων ψηφίων το 2 s συμπλήρωμα του 0110 είναι το 1010, δηλαδή ισχύει και εδώ η γενίκευση ότι αν για ένα αριθμό ν ψηφίων ζητούμε το 2 s συμπλήρωμά του με n ψηφία, όπου n>ν, τότε υπολογίζουμε το συμπλήρωμα του αριθμού και στη συνέχεια συμπληρώσουμε τα n-ν ψηφία που λείπουν από τον αριθμό με 1 (=2-1).

30 2 s και 1 s συμπλήρωμα Ειδικά για το δυαδικό σύστημα που θα χρησιμοποιήσουμε ευρέως στο παρόν κεφάλαιο ένας τρόπος να υπολογίζουμε το 2 s συμπλήρωμα είναι αντιστρέφοντας τα ψηφία (τα 0 γίνονται 1 και τα 1 γίνονται 0) και στο ενδιάμεσο αποτέλεσμα που λαμβάνουμε, το οποίο ονομάζουμε 1 s συμπλήρωμα, προσθέτουμε 1.

31 Παράδειγμα Να υπολογίσετε το 1 s και το 2 s συμπλήρωμα του 102 και του Αντιστρέφοντας τα ψηφία, το συμπλήρωμα 1 s του 10 είναι το 01. Από αυτό προκύπτει το 2 s συμπλήρωμα ως 01+1=10. Ομοίως, το συμπλήρωμα 1 s του 1010 είναι το Από αυτό προκύπτει το 2 s συμπλήρωμα ως =0110.

32 Αφαίρεση με συμπληρώματα Έστω τώρα ότι θέλουμε να αφαιρέσουμε τον αριθμό Χ από έναν αριθμό Ζ. Αν προσθέσουμε στον Ζ το k s συμπλήρωμα του Χ, τότε Ζ+Υ = Ζ X+(k n ). Δηλαδή, όταν θέλουμε να υπολογίσουμε τη διαφορά δύο αριθμών, αρκεί στον αφαιρετέο να προσθέσουμε το συμπλήρωμα του αφαιρέτη και να αγνοήσουμε το πλέον σημαντικό ψηφίο που θα προκύψει από την πρόσθεση, το οποίο αντιστοιχεί στο k n. Το πλέον σημαντικό n+1 ψηφίο, που αγνοούμε στην πράξη της αφαίρεσης, ονομάζεται (για προφανείς λόγους) υπερχείλιση.

33 Παράδειγμα Να υπολογίσετε τη διαφορά χρησιμοποιώντας το 10 s συμπλήρωμα. Το συμπλήρωμα 10 s του 56 είναι το 44. Για να μπορέσουμε να προσθέσουμε τους δύο αριθμούς (4567 και 44) πρέπει να είναι ιδίου μήκους, συγκεκριμένα να είναι τεσσάρων ψηφίων και οι δύο. Έτσι συμπληρώνουμε το 44 με 9, και προκύπτει ότι το 10 s συμπλήρωμα του 56 (για τέσσερα ψηφία) είναι το Τώρα προσθέτουμε = = Επομένως αγνοώντας την υπερχείλιση η διαφορά που ζητούμε είναι 4511.

34 Αφαίρεση με συμπλήρωμα ως προς 2 1. Προσθέτουμε τον μειωτέο Μ στο συμπλήρωμα ως προς 2 του αφαιρετέου Ν [ M + (2 n - Ν) = M N + 2 n ]. 2. Αν Μ Ν το άθροισμα θα έχει τελικό κρατούμενο 2 n το οποίο αγνοείται. Ότι μένει είναι το αποτέλεσμα Μ-Ν. 3. Αν Μ < Ν το άθροισμα δεν έχει τελικό κρατούμενο οπότε ισούται με 2 n (N - M), το οποίο αποτελεί το συμπλήρωμα ως 2 του N M. Το αποτέλεσμα σε γνώριμη μορφή προκύπτει παίρνοντας το συμπλήρωμα ως προς 2 του αθροίσματος και βάζοντας ένα μείον (-) μπροστά. A - B = Α (= ) Β (= ) Α (= ) B (2 s compl.) Απόρριψη τελικού κρατουμένου Αποτέλεσμα Α Β = =

35 Αφαίρεση με συμπλήρωμα ως προς 2 A - B = Α (= 4610) Β (= 6010) Α (= 4610) B (2 s compl.) Αρνητικός αριθμός σε μορφή συμπληρώματος ως προς 2. Αποτέλεσμα Α Β = = -1410

36 Παράδειγμα Να υπολογίσετε τη διαφορά χρησιμοποιώντας το 2 s συμπλήρωμα. Το συμπλήρωμα 1 s του 11 είναι το 00. Από αυτό προκύπτει το 2 s συμπλήρωμα ως 00+1=01. Για να μπορέσουμε να προσθέσουμε τους δύο αριθμούς (1001 και 01) πρέπει να είναι ιδίου μήκους, συγκεκριμένα να είναι τεσσάρων ψηφίων και οι δύο. Έτσι συμπληρώνουμε το 01 με 1, και προκύπτει ότι το 2 s συμπλήρωμα του 11 (για τέσσερα ψηφία) είναι το Τώρα προσθέτουμε = = Επομένως αγνοώντας την υπερχείλιση η διαφορά που ζητούμε είναι 0110.

37 Πολλαπλασιασμός Ο πολλαπλασιασμός μπορεί επίσης να γίνει σε όλα τα αριθμητικά συστήματα με τον ίδιο ακριβώς τρόπο που έχει κανείς διδαχθεί για το δεκαδικό, δηλαδή πολλαπλασιάζουμε τον πρώτο αριθμό με τις μονάδες του δεύτερου και γράφουμε το αποτέλεσμα, μετά πολλαπλασιάζουμε τον πρώτο αριθμό με την επόμενη βαθμίδα του δεύτερου μετακινούμε μία θέση αριστερά και γράφουμε το αποτέλεσμα. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται τόσες φορές όσες τα ψηφία του δεύτερου αριθμού και αφού ολοκληρωθεί προσθέτουμε τα επί μέρους αποτελέσματα.

38 Παράδειγμα Να πολλαπλασιάσετε τους αριθμούς και στο δεκαδικό και στο δυαδικό σύστημα. 18 x x

39 Ολίσθηση Ολίσθηση είναι η πράξη κατά την οποία όλα τα ψηφία ενός αριθμού μετακινούνται προς μια κατεύθυνση. Αν η ολίσθηση γίνεται προς τα αριστερά, τότε μετακινούμε τα ψηφία του αριθμού τόσες θέσεις αριστερά όσες υπαγορεύει ο τελεστής της ολίσθησης. Αν η ολίσθηση είναι προς τα δεξιά μετακινούμε τα ψηφία του αριθμού τόσες θέσεις δεξιά όσες υπαγορεύει ο τελεστής της ολίσθησης. Στην αριστερή ολίσθηση αν ο αριθμός είναι ακέραιος προσθέτουμε το ίδιο πλήθος μηδενικών στα δεξιά του αριθμού, ενώ αν είναι δεκαδικός, απλά μετακινούμε τα ψηφία από αριστερά της υποδιαστολής δεξιά. Στη δεξιά ολίσθηση αν ο αριθμός είναι ακέραιος και θέλουμε να παραμείνει ακέραιος, κατά την ολίσθηση τα ψηφία που μετακινούνται δεξιά της υποδιαστολής απλά παραβλέπονται, διαφορετικά μετατρέπουμε τον ακέραιο σε δεκαδικό. Η αριστερή ολίσθηση ισοδυναμεί με γρήγορο πολλαπλασιασμό με δύναμη της βάσης του συστήματος στο οποίο εργαζόμαστε. Η δύναμη της βάσης είναι ίση με τον αριθμό των ψηφίων που ολισθαίνουν. Ομοίως, η δεξιά ολίσθηση ισοδυναμεί με γρήγορη διαίρεση.

40 Παράδειγμα Τον αριθμό (α) να τον πολλαπλασιάσετε επί χίλια και (β) να τον διαιρέσετε με εκατό (αγνοείστε το δεκαδικό μέρος) Ο αριθμός είναι η 3η δύναμη της βάσης του δεκαδικού συστήματος. Επομένως πολλαπλασιασμός με χίλια ισοδυναμεί με αριστερή ολίσθηση κατά τρία ψηφία. Δηλαδή ο ζητούμενος αριθμός είναι ο Ο αριθμός είναι η 2η δύναμη της βάσης του δεκαδικού συστήματος. Επομένως διαίρεση με εκατό ισοδυναμεί με δεξιά ολίσθηση κατά δύο ψηφία. Δηλαδή ο ζητούμενος ακέραιος αριθμός είναι ο

41 Παράδειγμα Να υπολογίσετε το διπλάσιο του αριθμού και στη συνέχεια να υπολογίσετε το εν όγδοο του αποτελέσματος. Για να υπολογίσω το διπλάσιο του αριθμού αρκεί να τον ολισθήσω κατά μία θέση αριστερά. Δηλαδή το αποτέλεσμα είναι: Το εν όγδοο του αποτελέσματος ισούται με το εν τέταρτο του αρχικού αριθμού, άρα αρκεί να ολισθήσω τον αρχικό αριθμό κατά δύο θέσεις δεξιά (2 2 = 4). Επομένως ο ζητούμενος αριθμός είναι ο 10110,1 2

42 Κώδικας BCD (Binary Coded Decimal) Ο BCD είναι ένας δυαδικός κώδικας που κωδικοποιεί δεκαδικούς αριθμούς με ένα συγκεκριμένο αριθμό δυαδικών ψηφίων. Ωστόσο, επειδή στο δεκαδικό σύστημα υπάρχουν 10 ψηφία χρειάζονται τουλάχιστον 4 δυαδικά ψηφία για μία τέτοια κωδικοποίηση, γιατί 2 4 = 16 > 10 ενώ 2 3 = 8 < 10. Έτσι οι καταστάσεις από το 1010 έως το 1111 δεν χρησιμοποιούνται. Δεκαδικό ψηφίο Κώδικας BCD

43 Παράδειγμα Να παρασταθεί ο αριθμός 27 και ο αριθμός 39,28 σε μορφή BCD. Tο ψηφίο 2 κωδικοποιείται σε BCD με τα ψηφία 0010 και το 7 με Επομένως το 27 σε παράσταση BCD είναι Για τον αριθμό 39,28 εργαζόμαστε με τον ίδιο τρόπο, χωρίς να μας ενοχλεί η υποδιαστολή. Επομένως ο αριθμός αυτός σε BCD είναι ,

44 Λογική Ας θεωρήσουμε μία μονοψήφια μεταβλητή x στο δυαδικό σύστημα. Είναι προφανές ότι η μεταβλητή αυτή μπορεί να λάβει τιμές μόνο από το σύνολο {0, 1}. Τέτοιου είδους μεταβλητές ονομάζονται λογικές ή Boolean μεταβλητές. Αν αντιστοιχίσουμε την τιμή 0 της μεταβλητής στο «ψευδές» και την τιμή 1 στο «αληθές» μπορούμε να παρουσιάσουμε με μαθηματικό τρόπο αντί φυσικής γλώσσας έννοιες της Αριστοτέλειας λογικής. Η Άλγεβρα Boole η πιο αποτελεσματική προσέγγιση για την ανάλυση και σύνθεση των λογικών κυκλωμάτων. Μία έκφραση Boole (λογική συνάρτηση) περιλαμβάνει: δυαδικές μεταβλητές Α, B, C, X, Y, κλπ. οι οποίες μπορούν να πάρουν μόνο τις διακριτές τιμές 0 και 1 (οι δύο αυτές τιμές αντιπροσωπεύουν δύο διαφορετικές καταστάσεις, όπως ψευδής αληθής, χαμηλό υψηλό, όχι ναι, ανοικτός κλειστός διακόπτης κλπ.) λογικές πράξεις ανάμεσα στις μεταβλητές αυτές (βασικές πράξεις είναι ο πολλαπλασιασμός, η πρόσθεση + και η αντιστροφή ].

45 Η λογική πράξη Ή Η λογική πράξη πρόσθεσης ή διάζευξης ή πράξη Ή συμβολίζεται με «+» ή με «Ή» ή με «OR». Έχει την έννοια της διάζευξης και χρησιμοποιείται όπως χρησιμοποιείται η διάζευξη στη φυσική γλώσσα, δηλαδή: «Θα τρέξω στο μαραθώνιο αν τρέξεις εσύ ή η Μαρία». Για να είναι αληθές ότι «θα τρέξω» πρέπει να αληθεύει ότι «θα τρέξεις εσύ» ή «θα τρέξει η Μαρία», φυσικά «θα τρέξω» επίσης αν τόσο «εσύ» όσο και «η Μαρία» τρέξετε. Αν λοιπόν στην έννοια «θα τρέξω» αντιστοιχίσω τη μεταβλητή z, τότε αν z=0 σημαίνει ότι «δεν θα τρέξω» και z=1 σημαίνει ότι «θα τρέξω». Ομοίως αν στην έννοια «θα τρέξεις εσύ» αντιστοιχίσω τη μεταβλητή x, τότε αν x=0 σημαίνει ότι «δεν θα τρέξεις» και x=1 σημαίνει ότι «θα τρέξεις». Τέλος αν στην έννοια «θα τρέξει η Μαρία» αντιστοιχίσω τη μεταβλητή y, τότε αν y=0 σημαίνει ότι «δεν θα τρέξει η Μαρία» και y=1 σημαίνει ότι «θα τρέξει η Μαρία». x y z=x+y

46 Η λογική πράξη ΚΑΙ Παρόμοια με τη λογική πράξη πρόσθεσης ορίζεται η πράξη του πολλαπλασιασμού ή σύζευξης ή πράξη ΚΑΙ, η οποία συμβολίζεται με ή με «ΚΑΙ» ή με «AND». Έχει την έννοια της σύζευξης και χρησιμοποιείται όπως χρησιμοποιείται και στη φυσική γλώσσα, δηλαδή: «Θα τρέξω στο Μαραθώνιο αν είμαι υγιής και ο καιρός είναι καλός». x y z=xy Για να είναι αληθές ότι «θα τρέξω στο Μαραθώνιο» πρέπει να αληθεύει ότι «θα είμαι υγιής» και «ο καιρός θα είναι καλός».

47 Η λογική πράξη ΟΧΙ Τέλος η λογική πράξη του αντιθέτου ή άρνησης ή πράξη ΟΧΙ συμβολίζεται με ή με «ΟΧΙ» ή με «ΝΟΤ». Έχει την έννοια της άρνησης και χρησιμοποιείται όπως και στη φυσική γλώσσα, δηλαδή: «Δεν θα τρέξω στο Μαραθώνιο αν βρέχει». x z=χ

48 Συνδυασμός λογικών πράξεων Είναι προφανές ότι οι τρεις αυτές πράξεις μπορούν να συνδυαστούν με άπειρους τρόπους σχηματίζοντας αυτό που ονομάζουμε λογικές ή Boolean συναρτήσεις. Έτσι η πρόταση «Θα τρέξω στο Μαραθώνιο αν τρέξεις κι εσύ ή η Μαρία και αν δεν είμαι άρρωστος» μπορεί να γραφτεί ως λογική συνάρτηση w = (x+y) z, όπου οι μεταβλητές w, x, y και z κωδικοποιούν αντίστοιχα αν εγώ τρέξω, αν εσύ τρέξεις, αν η Μαρία τρέξει και αν είμαι άρρωστος. Κάθε λογική συνάρτηση μπορεί να περιγραφτεί από έναν πίνακα αληθείας με 2 n γραμμές, όπου n ο αριθμός των ανεξάρτητων μεταβλητών της συνάρτησης.

49 Παράδειγμα Να σχηματίσετε τον πίνακα αληθείας για την πρόταση «Θα τρέξω στο Μαραθώνιο αν τρέξεις κι εσύ ή η Μαρία και αν δεν είμαι άρρωστος». Σύμφωνα με τα παραπάνω μπορούμε βασισμένοι στη λογική αυτή πρόταση να κατασκευάσουμε μία λογική συνάρτηση w = (x+y) z. Για την κατασκευή του πίνακα αληθείας της συνάρτησης αυτής εργαζόμαστε βαθμωτά. Δηλαδή πρώτα υπολογίζουμε τον πίνακα αληθείας για το z, στη συνέχεια για το x+y και τέλος για το (x+y) z. x y z z' x+y w=(x+y) z

50 Ταυτότητες x = (x ) x x = 0 ουδέτερο x x = x x + x = x x + x = 1 ουδέτερο x + y = y + x αντιμεταθετική x y = y x αντιμεταθετική (x + y) + z = x + (y + z) προσεταιριστική (x y) z = x (y z) προσεταιριστική (x + y) z = (x z) + (y z) επιμεριστική (x y) + z = (x + z) (y + z) επιμεριστική x + 0 = x x 0 = 0 x + 1 = 1 x 1 = x x + x y = x x (x + y) = x

51 Νόμοι De Morgan (x+y) = x y (x y) = x + y

52 Προτεραιότητα Τελεστών 1) Πράξεις μέσα σε παρενθέσεις 2) ΟΧΙ (NOT) 3) ΚΑΙ (AND) 4) Η (OR)

53 Συνάρτηση Boole Μία έκφραση που περιέχει Boolean μεταβλητές που σχετίζονται με λογικές πράξεις ονομάζεται λογική συνάρτηση ή συνάρτηση Boole. Μία τέτοια συνάρτηση αληθεύει ή όχι ανάλογα με την τιμή των μεταβλητών και τη μεταξύ τους σχέση. Μία συνάρτηση μπορεί να γραφτεί με πλήθος ισοδύναμων μορφών: Ένας τρόπος για να παρουσιάσουμε μία συνάρτηση είναι με το πίνακα αληθείας της (Πίνακας Αληθείας - όλοι οι δυνατοί συνδυασμοί των τιμών στις εισόδους ενός ψηφιακού κυκλώματος και οι προκύπτουσες κάθε φορά τιμές στις εξόδους του). Ένας άλλος τρόπος είναι με σχηματική αναπαράσταση του κυκλώματος που την υλοποιεί.

54 Παράδειγμα Να γράψετε αναλυτικά την λογική συνάρτηση: F = x y + x y + z Από την εξίσωση προκύπτει ότι η συνάρτηση F αληθεύει όταν: είτε το z = 1, είτε όταν ταυτόχρονα x=1 και y=1, είτε όταν ταυτόχρονα x=1 και y=0. Mπορούμε να εξάγουμε τον κοινό παράγοντα x και η συνάρτηση F μπορεί να γραφτεί ισοδύναμα: F = x (y + y ) + z και ισοδύναμα: x y z F F = x + z

55 Ελαχιστόροι Ο όρος που αποτελεί γινόμενο όλων των λογικών μεταβλητών σε ορθή ή συμπληρωματική μορφή ονομάζεται ελαχιστόρος (minterm). Κάθε λογική συνάρτηση στην πλέον ανεπτυγμένη ισοδύναμη μορφή της γράφεται ως άθροισμα ελαχιστόρων. Η παράσταση αυτή αποτελεί πρότυπη μορφή για τη συνάρτηση, διότι ως έκφραση αποτελεί απευθείας διατύπωση της συνάρτησης όπως διαβάζεται από τον πίνακα αληθείας. Οι ελαχιστόροι συμβολίζονται με m i, όπου ο δείκτης i αντιστοιχεί στη δυαδική τιμή του ελαχιστόρου.

56 Ελαχιστόροι συνάρτησης τριών μεταβλητών x y z Ελαχιστόρος m0 = x y z m1 = x y z m2 = x y z m3 = x y z m4 = x y z m5 = x y z m6 = x y z m7 = x y z

57 Παράδειγμα x y z F Η συνάρτηση F μπορεί να γραφτεί ως: F = m 1 + m 3 + m 4 + m 5 + m 6 + m 7 = Σ(m 1, m 3, m 4, m 5, m 6, m 7 )

58 Συμπλήρωμα συνάρτησης Ορίζεται το συμπλήρωμα μιας λογικής συνάρτησης F η λογική συνάρτηση F που αληθεύει όπου δεν αληθεύει η F ενώ ταυτόχρονα δεν αληθεύει όπου αληθεύει η F

59 Παράδειγμα Το συμπλήρωμα της συνάρτησης F είναι: F = m 0 + m 2 F = (F ) = (m 0 + m 2 ) = (x y z + x y z ) = (x y z ) (x y z ) = (x+y+z) (x+y +z) x y z F

60 Μεγιστόροι Μία άλλη λοιπόν μορφή έκφρασης μιας συνάρτησης είναι το γινόμενο των αντίστροφων των ελαχιστόρων στους οποίους δεν αληθεύει. Οι όροι αυτοί ονομάζονται μεγιστόροι και το γινόμενο μεγιστόρων αποτελεί τη δεύτερη πρότυπη μορφή έκφρασης μιας λογικής συνάρτησης. Οι μεγιστόροι συμβολίζονται με Μi, όπου ο δείκτης i αντιστοιχεί στη δυαδική τιμή του μεγιστόρου.

61 Μεγιστόροι συνάρτησης τριών μεταβλητών x y z Μεγιστόρος Μ0 = x+y+z Μ1 = x+y+z Μ2 = x+y +z Μ3 = x+y +z Μ4 = x +y+z Μ5 = x +y+z Μ6 = x +y +z Μ7 = x +y +z

62 Παράδειγμα x y z F η συνάρτηση F μπορεί να γραφτεί F = Μ0 Μ2 = Π(Μ0, Μ2)

63 Απλοποίηση συναρτήσεων Η απλούστερη μορφή μίας έκφρασης Boole είναι αυτή με: τον μικρότερο αριθμό όρων καθώς και τον μικρότερο αριθμό μεταβλητών σε κάθε όρο. Σε κάποιες περιπτώσεις το ζητούμενο είναι η ελαχιστοποίηση όχι του συνολικού αριθμού των όρων της έκφρασης (και κατ επέκταση και του αριθμού των πυλών) αλλά η ελαχιστοποίηση των επιπέδων από πύλες που απαιτούνται για την υλοποίησή της. Δύο συναρτήσεις n λογικών (δυαδικών) μεταβλητών είναι ίσες αν παίρνουν την ίδια τιμή και για τους 2 n δυνατούς συνδυασμούς των n μεταβλητών.

64 Απλοποίηση συναρτήσεων Ελαχιστοποίηση / Απλοποίηση συνάρτησης με αλγεβρικούς μετασχηματισμούς βάσει των αξιωμάτων / θεωρημάτων της άλγεβρας Boole (π.χ. κατάλληλη ομαδοποίηση όρων, πολλαπλασιασμός με πλεονάζουσες μεταβλητές, κλπ.) A+AB+BC = A(1+B)+BC = A+BC AB+AC+BC = AB(C+C)+AC+BC = ABC+ABC+AC+BC = BC(A+1)+AC(B+1) = BC+AC

65 Απλοποίηση συναρτήσεων Ελαχιστοποίηση / Απλοποίηση συνάρτησης με την μέθοδο του Χάρτη Karnaugh (ο χάρτης Karnaugh είναι ένα σχηματικό διάγραμμα όλων των δυνατών τρόπων με τους οποίους μία συνάρτηση μπορεί να εκφραστεί σε μορφή αθροίσματος γινομένων) η έκφραση που πρόκειται να ελαχιστοποιηθεί θα πρέπει να βρίσκεται σε μορφή αθροίσματος γινομένων γράφουμε 1 σε κάθε τετράγωνο του χάρτη που αντιστοιχεί σε ένα ελάχιστο όρο της έκφρασης ομάδες 2 ή 4 ή 8 ή 2 n γειτονικών τετραγώνων με 1 που μπορούν να συνδυαστούν, επιτρέπουν την απλοποίηση της έκφρασης βάσει του θεωρήματος: P(A+A )=P όπου P οποιαδήποτε έκφραση Boole οι μεταβλητές που απαλείφονται είναι αυτές που εμφανίζονται διαφορετικές στους αρχικούς ελάχιστους όρους της κάθε ομάδας - ομάδες 2 γειτονικών 1 οδηγούν σε ένα απλοποιημένο όρο γινομένου με μία μεταβλητή λιγότερη - ομάδες 4 γειτονικών 1 οδηγούν σε ένα απλοποιημένο όρο γινομένου με δύο μεταβλητές λιγότερες - ομάδες 8 γειτονικών 1 οδηγούν σε ένα απλοποιημένο όρο γινομένου με τρεις μεταβλητές λιγότερες κλπ. όλα τα τετράγωνα με 1 θα πρέπει να καλυφθούν με τον μικρότερο δυνατό αριθμό ομάδων και ταυτόχρονα με τις μεγαλύτερες (πολυπληθέστερες) κατά το δυνατόν ομάδες.

66 Απλοποίηση συναρτήσεων - Χάρτες Karnaugh x 0 1 yz m 0 m 1 m 3 m 2 m 4 m 5 m 7 m 6 yz wx m 0 m 1 m 3 m 2 m 4 m 5 m 7 m 6 m 12 m 13 m 15 m 14 m 8 m 9 m 10 m 11 v=0 yz wx m 0 m 1 m 3 m 2 m 4 m 5 m 7 m 6 m 12 m 13 m 15 m 14 m 8 m 9 m 10 m 11 yz wx m 16 m 17 m 19 m 18 v= m 20 m 21 m 23 m 22 m 28 m 29 m 31 m 30 m 24 m 25 m 27 m 26

67 Απλοποίηση συναρτήσεων - Χάρτες Karnaugh

68 Παραδείγματα Ομαδοποίησης σε Χάρτες Karnaugh

69 Παράδειγμα Να απλοποιήσετε τη λογική συνάρτηση: G(x,y,z) = y z + y z + x y z x y z G x 0 yz x yz G = z + x y

70 Παράδειγμα Να απλοποιήσετε τη λογική συνάρτηση: Η(x,y,z) = x y z + x y z + x y z + x y z x y z H x 0 yz

71 Παράδειγμα Να απλοποιήσετε τη λογική συνάρτηση: Ι(x,y,z) = Σ(m 0, m 2, m 4, m 6 ) x 0 yz x 0 yz I=z

72 Παράδειγμα Να απλοποιήσετε τη συνάρτηση: F(w,x,y,z) = y z + x y + x y z yz wx F = z + x y w x y z F

73 Παράδειγμα Να απλοποιήσετε τη συνάρτηση: J(w,x,y,z) = w x y z + w x y z + w x y z + w x y z wx 00 yz J = x z

74 Παράδειγμα Να απλοποιήσετε τη λογική συνάρτηση: Κ(v,w,x,y,z) = Σ(m 2, m 5, m 7, m 8, m 11, m 13, m 15, m 18, m 20, m 21, m 23, m 28, m 29, m 31 ) wx yz v= yz wx v=1 Κ = x z + v x y + w x y z + v w x z

75 Παράδειγμα Ας θυμηθούμε την οθόνη επτά τμημάτων που είδαμε στο 3ο κεφάλαιο. Η οθόνη ελέγχεται από επτά διακόπτες, οι οποίοι ανάλογα με το αν είναι κλειστοί ή ανοικτοί καθορίζουν το ποιο τμήμα LED της οθόνης θα ανάψει. Ο συνολικός έλεγχος της οθόνης γίνεται από έναν αποκωδικοποιητή BCD. Δηλαδή, για κάθε διακόπτη κατασκευάζεται μία λογική συνάρτηση, η οποία αποκωδικοποιεί ποιο από τα ψηφία BCD ενεργοποιεί τον κάθε διακόπτη και ποιο όχι D1 D7 D6 D5 D4 D2 D3 Για τον κώδικα BCD χρειάζονται τέσσερα ψηφία. Από τις 2 4 =16 πιθανές καταστάσεις που προκύπτουν μόνο οι δέκα είναι αυτές που χρησιμοποιούνται από τον κώδικα, δηλαδή οι καταστάσεις από 0000 έως Αντίθετα οι καταστάσεις από 1010 έως 1111 δεν είναι καταστάσεις του κώδικα και δεν πρόκειται ποτέ να εμφανιστούν ως είσοδοι σε καμία από τις επτά λογικές συναρτήσεις που ελέγχουν τους αντίστοιχους διακόπτες. Στο σχήμα έχουμε εισάγει παραστατικά στο καθένα από τα τετραγωνίδια του χάρτη Karnaugh, που αντιστοιχούν σε κάποιο ψηφίο του κώδικα BCD, τα LED που πρέπει να ενεργοποιηθούν. GND yz wx

76 Παράδειγμα D 1 = w + x z + x z + y z D 2 = x + y z + y z yz wx D yz wx D yz wx D D 3 = x + + z + y D 4 = x z + x y + y z + x y z Χ Χ Χ Χ 1 1 Χ Χ Χ Χ Χ Χ 1 1 Χ Χ Χ Χ Χ Χ 1 0 Χ Χ D 5 = x z + y z wx yz D wx yz D wx yz D D 6 = w + x y + y z + x y D 7 = w + x y + x z + y z Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ wx yz D Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ 1 1 Χ Χ

77 Ερωτήσεις Γιατί τα ψηφιακά ηλεκτρονικά είναι πιο ανεκτικά στο θόρυβο; Αναφέρατε ορισμένα γνωστά συστήματα αρίθμησης. Πώς μετατρέπουμε ένα δεκαδικό αριθμό σε δυαδικό; Πόσους δυαδικούς αριθμούς μπορούμε να αναπαραστήσουμε με 10 ψηφία; Πώς ορίζεται ένα ζεύγος συμπληρωματικών αριθμών; Πώς αφαιρούμε με τη χρήση συμπληρώματος; Τι ονομάζουμε υπερχείλιση; Τι είναι ο κώδικας BCD; Ποιες είναι οι βασικές πράξης της άλγεβρας Boole;

78 Ερωτήσεις Να γράψετε τον πίνακα αληθείας της λογικής πράξης Ή Να γράψετε τον πίνακα αληθείας της λογικής πράξης ΚΑΙ Να γράψετε τον πίνακα αληθείας της λογικής πράξης ΟΧΙ Να γράψετε τις ταυτότητες που ισχύουν για την αντιμεταθετικότητα, την επιμεριστικότητα και την προσετεριστικότητα στην άλγεβρα Boole. Να διατυπώσετε τους νόμους De Morgan. Να αποδείξετε τους νόμους De Morgan. Τι είναι η αρνητική λογική; Τι είναι συνάρτηση Boole; Τι ονομάζουμε ελαχιστόρο; Πώς ορίζεται το συμπλήρωμα μιας συνάρτησης;

79 Ερωτήσεις Τι ονομάζουμε μεγιστόρο; Ποιες είναι οι πρότυπες μορφές παράστασης λογικής συνάρτησης; Ποια τα πλεονεκτήματα και ποια τα μειονεκτήματα χρήσης πρότυπων μορφών λογικών συναρτήσεων; Ποια μέθοδο γνωρίζετε για την απλοποίηση λογικών συναρτήσεων; Τι είναι ο χάρτης Karnaugh και που χρησιμοποιείται;

80 Επιπλέον βιβλιογραφία Ndjountche, T., Digital Electronics 1: Combinational Logic Circuits, ISTE Ltd & John Wiley and Sons, London & New Jersey, Mano, M.M., Digital Design, Prentice Hall Inc., New Jersey, Rabaey, J.M., Chandrakasan, A. And Nikolic B., Digital Integrated Circuits, 2nd Edition, Pearson, London, 2003 Smith, R.J. and Dorf, R.C., Circuits, Devices and Systems: A First Course in Electrical Engineering, 5th Edition, John Wiley and Sons, New York, Streib, W.J., Digital Circuits, Goodheart-Wilcox Publisher, Tinley Park, 1997.