ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-21

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-21"

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-2 ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΑΣΚΗΣΕΙΙΣ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΡΓΑΣΙΙΩΝ & ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ (ΚΑΤ ΑΛΦΑΒΗΤΙΚΗ ΣΕΙΡΑ): Γ. ΑΛΕΞΙΟΥ Χ. ΒΕΡΓΟΣ Κ. ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Γ. ΘΕΟΔΩΡΙΔΗΣ Χ. ΚΑΒΟΥΣΙΑΝΟΣ Ο. ΚΟΥΦΟΠΑΥΛΟΥ Κ. ΛΑΜΠΡΙΝΟΥΔΑΚΗΣ Φ. ΛΙΟΤΟΠΟΥΛΟΣ Α. ΜΟΣΧΟΒΟΣ Δ. ΜΠΑΚΑΛΗΣ Σ. ΝΙΚΟΛΑΪΔΗΣ Δ. ΝΙΚΟΛΟΣ Β. ΠΑΛΙΟΥΡΑΣ Ι. ΠΑΠΑΕΥΣΤΑΘΙΟΥ Δ. ΠΑΠΑΚΩΣΤΑΣ Α. ΣΤΟΥΡΑΙΤΗΣ Α. ΣΚΟΔΡΑΣ Β. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ Α. ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΕΚΔΟΣΗΣ: Φ. ΛΙΟΤΟΠΟΥΛΟΣ Δ. ΜΠΑΚΑΛΗΣ Χ. ΚΑΒΟΥΣΙΑΝΟΣ ΠΑΤΡΑ 28

2 ΠΛΗ-2: ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Το παρόν υλικό αποτελεί το κύριο τμήμα των ασκήσεων που δόθηκαν προς επίλυση στους φοιτητές του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου στα πλαίσια της Θεματικής Ενότητας ΠΛΗ-2: Ψηφιακά Συστήματα του Προγράμματος Σπουδών της Πληροφορικής κατά τα ακαδημαϊκά έτη ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Σύμφωνα με το Ν. 22/993, απαγορεύεται η συνολική ή αποσπασματική αναδημοσίευση του παρόντος υλικού ή αναπαραγωγή του με οποιοδήποτε μέσο χωρίς έγγραφη άδεια. Σελίδα 2 από 73

3 ΠΛΗ-2: ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Περιεχόμενα I. Αριθμητικά Συστήματα... 4 II. Κώδικες Αναπαράστασης Δεδομένων III. Άλγεβρα Boole IV. Σχεδίαση συνδυαστικών κυκλωμάτων με λογικές πύλες V. Αποκωδικοποιητές Πολυπλέκτες - Αθροιστές VI. Ακολουθιακά κυκλώματα VII. Σχεδίαση Καταχωρητών Σελίδα 3 από 73

4 ΠΛΗ-2: ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ I. Αριθμητικά Συστήματα Δίνονται οι αριθμοί: χ = και ψ = σε δεκαδική αναπαράσταση. Α. Να μετατραπούν σε δυαδική αναπαράσταση (χ 2, ψ 2 ) με 8 ψηφία για το ακέραιο μέρος και 4 ψηφία για το κλασματικό μέρος καθώς και σε δεκαεξαδική αναπαράσταση (χ 6, ψ 6 ) με 2 ψηφία για το ακέραιο μέρος και ψηφίο για το κλασματικό μέρος. Η μετατροπή να εξηγηθεί αναλυτικά μόνο για τον αριθμό χ. Β. Να μετατραπούν πάλι σε δεκαδική αναπαράσταση οι αριθμοί (χ 2, ψ 2 και χ 6, ψ 6 ) που προέκυψαν από το ερώτημα Α. Σχολιάστε τις διαφορές που παρατηρείτε ανάμεσα στις δεκαδικές αναπαραστάσεις που υπολογίσατε στο ερώτημα Β και στις αρχικές. (Υπόδειξη: Συμβουλευτείτε το Παράρτημα Α του Β τόμου Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Ι ). Λύση: A. Για να μετατρέψουμε τον αριθμό χ = σε δυαδική μορφή αντιμετωπίζουμε ξεχωριστά το ακέραιο (244) από το κλασματικό (.75) μέρος. Για τη μετατροπή του ακεραίου μέρους από δεκαδική σε δυαδική μορφή, εκτελούμε τη διαδικασία των διαδοχικών διαιρέσεων, ως εξής: ΛΣΨ 5 2 ακεραίου 7 2 μέρους 3 2 ΠΣΨ ακεραίου 2 μέρους όπου διαιρούμε το πηλίκο κάθε διαίρεσης με τη βάση στην οποία θέλουμε να μετατρέψουμε την αρχική αναπαράσταση, δηλ. με το δύο, μέχρις ότου το πηλίκο να μηδενιστεί. Τότε, το τελικό αποτέλεσμα σχηματίζεται από τα υπόλοιπα των διαιρέσεων, με το περισσότερο σημαντικό ψηφίο να είναι το υπόλοιπο το οποίο προέκυψε τελευταίο. Άρα η δυαδική έκφραση του ακεραίου μέρους είναι 2, το οποίο προκύπτει εκφρασμένο με 8 δυαδικά ψηφία. Για το κλασματικό μέρος, δηλ. το.75, εφαρμόζουμε τη μέθοδο των διαδοχικών πολλαπλασιασμών, ως εξής:.75 2 =.5 = +.5 ΠΣΨ κλασματικού μέρους.5 2 =. = =. = +. 2 =. = + ΛΣΨ κλασματικού μέρους όπου πολλαπλασιάζουμε διαδοχικά με τη βάση, δηλ. το 2, το κλασματικό μέρος του αποτελέσματος του προηγούμενου πολλαπλασιασμού. Η διαδικασία τερματίζεται όταν το κλασματικό μέρος απομείνει μηδέν ή όταν εξαντληθούν τα διαθέσιμα για την αναπαράσταση δυαδικά ψηφία. Στην άσκηση αυτή ζητείται η έκφραση του κλασματικού μέρους με τέσσερα ψηφία. Το αποτέλεσμα προκύπτει από τις τιμές των ακεραίων μερών των γινομένων, με λιγότερο σημαντικό το ψηφίο που υπολογίστηκε τελευταίο. Άρα το κλασματικό μέρος εκφράζεται σε δυαδική αναπαράσταση ως Σελίδα 4 από 73

5 ΠΛΗ-2: ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. Συνεπώς η τελική έκφραση του χ η οποία περιλαμβάνει ακέραιο και κλασματικό μέρος είναι χ 2 =. 2 Για τη μετατροπή στο δεκαεξαδικό, αντιστοιχίζουμε ένα δεκαεξαδικό ψηφίο σε κάθε τέσσερα δυαδικά. Έτσι:. {{ { F 4 C άρα η δεκαεξαδική αναπαράσταση είναι χ 6 = F4.C 6 Ομοίως για το , προκύπτει ότι η δυαδική έκφραση είναι ψ 2 =. 2. Επειδή ζητείται η έκφραση με οκτώ δυαδικά ψηφία ακεραίων ενώ αρκούν έξι, έχουν προστεθεί δύο μηδενικά στις δύο περισσότερο σημαντικές θέσεις. Η μετατροπή στο δεκαεξαδικό γίνεται ως εξής: {{{., δηλ. η δεκαεξαδική έκφραση είναι ψ 6 = Β. Η έκφραση χ 2 μετατρέπεται σε δεκαδική πολλαπλασιάζοντας κάθε δυαδικό ψηφίο με το αντίστοιχο βάρος εκφρασμένο σε δεκαδική μορφή: = Αντίστοιχα, η δεκαεξαδική έκφραση χ 6 μετατρέπεται σε δεκαδική ως ακολούθως: F C6 6 = = Παρατηρούμε ότι και στις δύο περιπτώσεις προκύπτει η αρχική έκφραση χ, ακριβώς. Αυτό συμβαίνει γιατί τα τέσσερα δυαδικά ψηφία είναι αρκετά για την ακριβή αναπαράσταση του συγκεκριμένου κλασματικού μέρους, μιας και το υπόλοιπο της διαδικασίας των διαδοχικών πολλαπλασιασμών για τη μετατροπή σε δυαδικό, είναι μηδέν. Επίσης τα οκτώ δυαδικά ψηφία αρκούν για την αναπαράσταση του ακεραίου μέρους, μιας και το 244 είναι μικρότερο από το 255(=2 8 -), ποσότητα η οποία είναι η μέγιστη αναπαραστάσιμη με 8 δυαδικά, όταν δεν έχουμε πρόσημο. Επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία για τα ψ 2 και ψ 6, προκύπτει ότι = και = = Παρατηρούμε ότι η ποσότητα που προκύπτει είναι κατά =.7 μικρότερη από την ψ. Αυτό οφείλεται στο ότι κατά τη μετατροπή της αναπαράστασης του κλασματικού μέρους σε δυαδική μορφή, με τους διαδοχικούς πολλαπλασιασμούς, έμεινε ένα μη μηδενικό υπόλοιπο. ΑΣΚΗΣΗ 2 Απαντήστε στις ακόλουθες ερωτήσεις. Δικαιολογήστε τις απαντήσεις σας και αναλύστε τον τρόπο επίλυσης, όπου χρειάζεται. Δίνονται οι αριθμοί α=375, β=568, γ=35, δ=6, ε=45.5 και ζ= α. Να γραφούν σε δυαδική και δεκαεξαδική αναπαράσταση. Να δηλωθεί σε κάθε περίπτωση, το περισσότερο και το λιγότερο σημαντικό ψηφίο. β. Να γραφούν οι αντίθετοί τους στο δυαδικό και στο δεκαεξαδικό σε μορφή συμπληρώματος του δύο και του δεκαέξι αντίστοιχα. γ. Να γίνουν αναλυτικά οι πράξεις α + β, β + γ, α γ, α + δ στο δυαδικό και στο δεκαεξαδικό. Οι διαφορές να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας συμπληρώματα ως προς τις αντίστοιχες βάσεις. Ομοίως, να υπολογιστεί στο δυαδικό το άθροισμα ε+ζ και η διαφορά ε ζ. Λύση: Ερώτημα (α) Σελίδα 5 από 73

6 ΠΛΗ-2: ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Το πλήθος των απαιτούμενων δυαδικών ψηφίων είναι n = log X + 2, άρα απαιτούνται n = log = 9 2 δυαδικά ψηφία. Άρα διαιρούμε με τις δυνάμεις του 2: 2 8, 2 7,..., Συνεπώς, από τα πηλίκα των ανωτέρω διαδοχικών διαιρέσεων και το υπόλοιπο της τελευταίας, προκύπτει ότι 375 =. 2 Υπάρχουν δύο τρόποι για τη μετατροπή σε δεκαεξαδικό. Τρόπος ος Η διαδικασία επαναλαμβάνεται για βάση 6: n = log X 6 + = log = 3. 6 Συνεπώς, απαιτούνται τρία δεκαεξαδικά ψηφία, άρα διαιρούμε με τις δυνάμεις του 6, 6: Άρα, το 375 γράφεται 375 = = 256 και Τρόπος 2ος Επίσης από τη δυαδική αναπαράσταση του 375, προκύπτει ότι 375 = = 2 {{{ = Δυαδική αναπαράσταση: ( ) 2. MSB LSB Δεκαεξαδική: 375 = ( 7 7 ) 6 MSB LSB Ομοίως για τους άλλους αριθμούς. Τα αποτελέσματα δίνονται στον Πίνακα Ι. Αριθμός Δεκαδική Δυαδική Δεκαεξαδική α β γ 35 5Ε δ 6 6A ε D.8 ζ C Πίνακας Ι: Δυαδική και Δεκαεξαδική Αναπαράσταση. Ερώτημα (β) Το συμπλήρωμα ως προς δύο του 375 προκύπτει αντιστρέφοντας τα δυαδικά ψηφία και προσθέτοντας μονάδα στο λιγότερο σημαντικό ψηφίο. Έτσι για το 375 ισχύει ότι: Σελίδα 6 από 73

7 ΠΛΗ-2: ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ αντιστροφη ψηφιων + συμπληρωμα του 2 Ομοίως για την δεκαεξαδική αναπαράσταση προκύπτει ότι: 77 (5 )(5 )(5 7)(5 7) = (5)(4)88 = FE88 + FE89 συμπληρωμα του 6 Αριθμός Δεκαδική Δυαδική Συμπληρώματος Δεκαεξαδικό Συμπλήρωμα α 375 FΕ89 β 568 FDC8 γ 35 FEA2 δ 6 F96 ε FD2.8 ζ FCF.4 Πίνακας ΙΙ: Δυαδική και Δεκαεξαδική Αναπαράσταση των Αντιθέτων. Άλλος τρόπος υπολογισμού του συμπληρώματος ως προς 2 του αριθμού Α, είναι με τη χρήση του τύπου 2 n A, ως εξής: Όπως προκύπει από το ερώτημα (α), το 375 χρειάζεται 9 δυαδικά ψηφία, και η αναπαράσταση του είναι. Παρατηρούμε ότι επειδή το περισσότερο σημαντικό ψηφίο είναι, πρέπει να προστεθεί ένα αρχικό μηδέν για να δηλωθεί ότι ο αριθμός είναι θετικός, δηλαδή να εκφραστεί ως. Άρα η δεκαδική αναπαράσταση του συμπληρώματος του 2 του 375 είναι = 649, γιατί απαιτούνται 9 + = ψηφία, εξαιτίας του αρχικού. Μετατρέποντας το 649 σε δυαδική μορφή, προκύπτει ότι το συμπλήρωμα ως προς 2 του 375 είναι το 2 το οποίο συμφωνεί με το αποτέλεσμα του άλλου τρόπου. Ομοίως εφαρμόζεται η διαδικασία για τους άλλους αριθμούς. Ερώτημα (γ) Το άθροισμα α + β υπολογίζεται ως εξής: (Κρατούμενα) + (Άθροισμα) Στο α προστίθεται ένα αρχικό μηδέν για να έχουν ίσο μήκος λέξης οι δύο αριθμοί. Το άθροισμα β +γ υπολογίζεται ως εξής + Η διαφορά α γ υπολογίζεται αθροίζοντας το α με το συμπλήρωμα του γ ως προς 2. (κρατούμενα) + ) (άθροισμα) Στο α προστίθεται ένα αρχικό μηδέν για να έχουν ίσο μήκος λέξης οι δύο αριθμοί. Στην περίπτωση αυτή το αποτέλεσμα είναι 25. Το κρατούμενο από την περισσότερο σημαντική θέση στην περίπτωση αυτή αγνοείται. Σελίδα 7 από 73

8 ΠΛΗ-2: ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Το άθροισμα α + δ υπολογίζεται ως εξής. (κρατούμενα) + (άθροισμα). Στο δεκαεξαδικό σύστημα, τα αθροίσματα υπολογίζονται ως εξής: Α F E F E A 2 ) A E Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζονται και τα αθροίσματα ε + ζ και η διαφορά ε ζ. Αρχικά σε δυαδικό:. +.. Η διαφορά υπολογίζεται με πρόσθεση σε συμπλήρωμα του ). Σε δεκαεξαδικό, οι πράξεις γίνονται ως εξής: 2 D C 5 E. 4 2 D. 8 + F C F. 4 )F F C. C ΑΣΚΗΣΗ 3 Δίνονται οι αριθμοί α=247, β=932 και γ=63. Α. Να γραφούν οι αριθμοί α,β,γ σε δυαδική αναπαράσταση με 2 ψηφία και σε δεκαεξαδική αναπαράσταση με 3 ψηφία. Η μετατροπή να εξηγηθεί αναλυτικά μόνο για τον αριθμό α. Β. Να γραφούν οι αντίθετοί τους στο δυαδικό και στο δεκαεξαδικό σε μορφή συμπληρώματος του δύο και του δεκαέξι, διατηρώντας το μήκος λέξης των αριθμών σε κάθε περίπτωση, δηλ. 2 δυαδικά ψηφία και 3 δεκαεξαδικά ψηφία. Γ. Να γίνουν αναλυτικά οι πράξεις α + β και α γ στο δυαδικό και στο δεκαεξαδικό σύστημα χρησιμοποιώντας την αναπαράσταση του πρώτου ερωτήματος. Οι διαφορές (α γ) να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας τα συμπληρώματα ως προς τις αντίστοιχες βάσεις από το ερώτημα Β. Λύση: Σελίδα 8 από 73

9 ΠΛΗ-2: ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Το πλήθος των απαιτούμενων δυαδικών ψηφίων είναι n = log X + 2, άρα απαιτούνται n = log = 8 2 δυαδικά ψηφία. Άρα διαιρούμε με τις δυνάμεις του 2: 2 7,2 6,..., Συνεπώς, από τα πηλίκα των ανωτέρω διαδοχικών διαιρέσεων και το υπόλοιπο της τελευταίας, προκύπτει ότι 247 =, 2 όπου απλώς προσθέτουμε τέσσερα μηδενικά στο περισσότερο σημαντικό μέρος, για να εκφραστεί ο αριθμός στη ζητούμενη μορφή των 2 δυαδικών ψηφίων. Υπάρχουν δύο τρόποι για τη μετατροπή στο δεκαεξαδικό σύστημα αναπαράστασης. Τρόπος ος Η διαδικασία μετατροπής σε βάση 2 επαναλαμβάνεται για βάση 6: n = log X 6 + = log = 2. 6 Συνεπώς, απαιτούνται δύο δεκαεξαδικά ψηφία, άρα διαιρούμε με 6: Άρα, το 247 γράφεται 247 = F7 = F7 6 6, γιατί 5 = F6. Τρόπος 2ος Επίσης η μετατροπή στο δεκαεξαδικό μπορεί να γίνει μετατρέποντας τα ψηφία της δυαδικής αναπαράστασης ανά τέσσερα σε ένα δεκαεξαδικό ψηφίο. Ξεκινώντας από τα λιγότερο σημαντικά ψηφία προκύπτει ότι: 247 = = 2 { { { = F 7. 6 F 7 Ομοίως για τους άλλους αριθμούς. Τα αποτελέσματα δίνονται στον Πίνακα Ι. Αριθμός Αναπαράσταση Δεκαδική Δυαδική Δεκαεξαδική α 247 F7 β 932 3Α4 γ 63 A3 Πίνακας Ι: Δυαδική και Δεκαεξαδική Αναπαράσταση. Β. Το συμπλήρωμα ως προς δύο του 247 προκύπτει αντιστρέφοντας τα δώδεκα δυαδικά ψηφία και προσθέτοντας μονάδα στο λιγότερο σημαντικό ψηφίο. Έτσι για το 247 ισχύει ότι: αντιστροφη ψηφιων + συμπληρωμα του 2 Με αντίστοιχο τρόπο, για την δεκαεξαδική αναπαράσταση προκύπτει ότι: Σελίδα 9 από 73

10 ΠΛΗ-2: ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( )( ) F7 (5 )(5 5)(5 7) = (5) 8 = F8 + F9 συμπληρωμα του 6 Αριθμός Δεκαδική Δυαδική Συμπληρώματος Δεκαεξαδικό Συμπλήρωμα α 247 F9 β 932 C5C γ 63 F5D Πίνακας ΙΙ: Δυαδική και Δεκαεξαδική Αναπαράσταση των Αντιθέτων. Άλλος τρόπος υπολογισμού του συμπληρώματος ως προς 2 του αριθμού Α, είναι με τη χρήση του τύπου 2 n A, ως εξής: Όπως προκύπει από το ερώτημα (α), το 247 αναπαριστάται με δώδεκα δυαδικά ψηφία, και η αναπαράσταση του είναι. Άρα η δεκαδική αναπαράσταση του συμπληρώματος του 2 2 του 247 είναι = Μετατρέποντας το 3849 σε δυαδική μορφή, προκύπτει ότι το συμπλήρωμα ως προς 2 του 247 είναι το 2 το οποίο συμφωνεί με το αποτέλεσμα του πρώτου τρόπου υπολογισμού του συμπληρώματος, ανά ψηφίο. Ομοίως εφαρμόζεται η διαδικασία για τους άλλους αριθμούς. Γ. Το άθροισμα α + β υπολογίζεται ως εξής: (Κρατούμενα) + (Άθροισμα) Η διαφορά α γ υπολογίζεται αθροίζοντας το α με το συμπλήρωμα του γ ως προς 2. (Κρατούμενα) + (Άθροισμα) Το αποτέλεσμα στο δεκαδικό σύστημα είναι ίσο με 84. Το κρατούμενο από την περισσότερο σημαντική θέση στην περίπτωση αυτή αγνοείται. Στο δεκαεξαδικό σύστημα, οι πράξεις υπολογίζονται ως εξής: F Α Β F 7 + F 5 D 5 4 ΑΣΚΗΣΗ 4 Δίνονται οι αριθμοί α=247, β=352, γ=46 και δ=. α. Να γραφούν οι αριθμοί α έως δ σε δυαδική αναπαράσταση με 2 ψηφία και σε δεκαεξαδική αναπαράσταση με 3 ψηφία. Η μετατροπή να εξηγηθεί αναλυτικά για τον αριθμό α και συνοπτικά για τους λοιπούς. β. Να γραφούν οι αντίθετοί τους στο δυαδικό και στο δεκαεξαδικό σε μορφή συμπληρώματος του δύο και του δεκαέξι, διατηρώντας το μήκος λέξης των αριθμών σε κάθε περίπτωση, δηλ. 2 δυαδικά ψηφία και 3 δεκαεξαδικά ψηφία. Σελίδα από 73

11 ΠΛΗ-2: ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ γ. Να γίνουν αναλυτικά οι πράξεις α + β, β + γ, α γ και α + δ στο δυαδικό και στο δεκαεξαδικό σύστημα χρησιμοποιώντας την αναπαράσταση του πρώτου ερωτήματος. Οι διαφορές να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας συμπληρώματα ως προς τις αντίστοιχες βάσεις. Λύση: Ερώτημα (α) Το πλήθος των απαιτούμενων δυαδικών ψηφίων είναι n = log X + 2, άρα απαιτούνται n = log = 8 2 δυαδικά ψηφία. Άρα διαιρούμε με τις δυνάμεις του 2: 2 7,2 6,..., Συνεπώς, από τα πηλίκα των ανωτέρω διαδοχικών διαιρέσεων και το υπόλοιπο της τελευταίας, προκύπτει ότι 247 =, 2 όπου απλώς προσθέτουμε τέσσερα μηδενικά στο περισσότερο σημαντικό μέρος, για να εκφραστεί ο αριθμός στη ζητούμενη μορφή των 2 δυαδικών ψηφίων. Άλλος τρόπος για μετατροπή σε δυαδικό Διαιρούμε διαδοχικά με τη βάση, δηλ. το 2, μέχρις ότου το πηλίκο να μηδενιστεί. Το τελικό αποτέλεσμα σχηματίζεται από τα υπόλοιπα των διαδοχικών διαιρέσεων, με περισσότερο σημαντικό ψηφίο το τελευταίο υπόλοιπο, δηλαδή όπως δείχνει το βέλος στο παρακάτω σχήμα Άρα, η δυαδική αναπαράσταση του 247 είναι 2. (Τοποθετήθηκαν τέσσερα μηδενικά στην αρχή της δυαδικής λέξης, γιατί αυτή ζητείται με δώδεκα ψηφία.) Υπάρχουν δύο τρόποι για τη μετατροπή στο δεκαεξαδικό σύστημα αναπαράστασης. Τρόπος ος Η διαδικασία μετατροπής σε βάση 2 επαναλαμβάνεται για βάση 6: n = log X 6 + = log = 2. 6 Συνεπώς, απαιτούνται δύο δεκαεξαδικά ψηφία, άρα διαιρούμε με 6: Άρα, το 247 γράφεται 247 = F7 = F7 6 6, γιατί 5 = F6. Σελίδα από 73

12 ΠΛΗ-2: ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Τρόπος 2ος Επίσης από τη δυαδική αναπαράσταση, προκύπτει ότι 247 = = { { { = F F 7 Ομοίως για τους άλλους αριθμούς. Τα αποτελέσματα δίνονται στον Πίνακα Ι. Αριθμός Αναπαράσταση Δεκαδική Δυαδική Δεκαεξαδική α 247 F7 β γ 46 CC δ 65 Πίνακας Ι: Δυαδική και Δεκαεξαδική Αναπαράσταση. Ερώτημα (β) Το συμπλήρωμα ως προς δύο του 247 προκύπτει αντιστρέφοντας τα δώδεκα δυαδικά ψηφία και προσθέτοντας μονάδα στο λιγότερο σημαντικό ψηφίο. Έτσι για το 247 ισχύει ότι: αντιστροφη ψηφιων + συμπληρωμα του 2 Με αντίστοιχο τρόπο, για την δεκαεξαδική αναπαράσταση προκύπτει ότι: F7 (5 )(5 5)(5 7) = (5) ( )( 8) = F8 + F9 συμπληρωμα του 6 Σελίδα 2 από 73

13 ΠΛΗ-2: ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αριθμός Δεκαδική Δυαδική Συμπληρώματος Δεκαεξαδικό Συμπλήρωμα α 247 F9 β 352 EΑ γ 46 E34 δ F9B Πίνακας ΙΙ: Δυαδική και Δεκαεξαδική Αναπαράσταση των Αντιθέτων. Άλλος τρόπος υπολογισμού του συμπληρώματος ως προς 2 του αριθμού Α, είναι με τη χρήση του τύπου 2 n A, ως εξής: Όπως προκύπει από το ερώτημα (α), το 247 αναπαριστάται με δώδεκα δυαδικά ψηφία, και η αναπαράσταση του είναι. Άρα η δεκαδική αναπαράσταση του συμπληρώματος του 2 2 του 247 είναι = Μετατρέποντας το 3849 σε δυαδική μορφή, προκύπτει ότι το συμπλήρωμα ως προς 2 του 247 είναι το 2 το οποίο συμφωνεί με το αποτέλεσμα του πρώτου τρόπου υπολογισμού του συμπληρώματος, ανά ψηφίο. Ομοίως εφαρμόζεται η διαδικασία για τους άλλους αριθμούς. Ερώτημα (γ) Το άθροισμα α + β υπολογίζεται ως εξής: (Κρατούμενα) + (Άθροισμα) Το άθροισμα β + γ υπολογίζεται ως εξής (Κρατούμενα) + (Άθροισμα) Η διαφορά α γ υπολογίζεται αθροίζοντας το α με το συμπλήρωμα του γ ως προς 2. (Κρατούμενα) + (Άθροισμα) Το άθροισμα α + δ υπολογίζεται ως εξής. (κρατούμενα) + (άθροισμα) Στο δεκαεξαδικό σύστημα, τα αθροίσματα υπολογίζονται ως εξής: F C C 3 2 C F 7 + E 3 4 F 2 B F C Σελίδα 3 από 73

14 ΠΛΗ-2: ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 5 Δίνονται οι δεκαεξαδικοί αριθμοί 85FA 6, 453A 6, FFFF 6, 6, 6. Να γραφούν σε δυαδική, οκταδική και δεκαδική μορφή. Να περιγραφεί αναλυτικά ο τρόπος μετατροπής. Λύση: α) Mετατροπή σε δυαδική μορφή. 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) FA 6 = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 453A = = = = FFFF = ( 3 2 ) ( 4 ) ( 3 2 ) ( 4 ) ( 3 2 ) 4 ( 3 2 ) = = = 2. 4 = 2 + = ( ) 2 = 2 = 2 = β) Μετατροπή σε οκταδικό. Χρησιμοποιούμε τις δυαδικές αναπαραστάσεις: FA6 = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) = = = A6 = = FFFF ( ) ( ) ( ) = = = = = K ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) = = = = 2 + = 2 2 = 2 8 = ( ) ( ) = = = = = = Σελίδα 4 από 73

15 ΠΛΗ-2: ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ γ) Mετατροπή σε δεκαδική μορφή FA6 = F 6 + A = = A6 = A = = FFFF6 = F 6 + F 6 + F 6 + F = = = 6 + = 6. 2 = = Άλλος τρόπος Για μετατροπή σε δυαδικό, αντιστοιχίζουμε δυαδικά ψηφία σε κάθε δεκαεξαδικό. 8{ 5{ { F { A Άρα το αποτέλεσμα είναι. Για μετατροπή σε οκταδικό, ξεκινώντας από τη δυαδική αναπαράσταση, προχωρούμε σε ορισμό τριάδων δυαδικών ψηφίων και αντιστοιχίζουμε σε κάθε τριάδα ένα οκταδικό ψηφίο.. Άρα σε οκταδική αναπαράσταση το αποτέλεσμα είναι {{{{{{ ΑΣΚΗΣΗ 6 Δίνονται οι δεκαεξαδικοί αριθμοί 8D4E 6, 34A2 6, FFFF 6, 2 6, 2 6. Να γραφούν σε δυαδική, οκταδική και δεκαδική μορφή. Να περιγραφεί αναλυτικά ο τρόπος μετατροπής. Λύση: α) Mετατροπή σε δυαδική μορφή D4E = ( ) ( ) ( ) ( ) = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 34A 2 = = = = FFFF = ( 3 2 ) ( 4 ) ( 3 2 ) ( 4 ) ( 3 2 ) 4 ( 3 2 ) = = = = = ( ) 2 2 = 2 2 = 2 2 = 2 = β) Μετατροπή σε οκταδικό. Χρησιμοποιούμε τις δυαδικές αναπαραστάσεις: Σελίδα 5 από 73

16 ΠΛΗ-2: ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ D4E6 = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) = = = A26 = = FFFF ( )( ) ( ) ( ) = = = = = K ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) = = = = = 2 2 = 4 8 = ( ) ( ) = = = = = = γ) Mετατροπή σε δεκαδική μορφή D4E6 = D E = = A26 = A = = FFFF6 = F 6 + F 6 + F 6 + F = = = = = = Άλλος τρόπος 7 Για μετατροπή δεκαεξαδικού σε δυαδικό, αντιστοιχίζουμε τέσσερα δυαδικά ψηφία σε κάθε δεκαεξαδικό ψηφίο. 8{ { D 4{ E { Άρα το αποτέλεσμα είναι. Για μετατροπή δεκαεξαδικού σε οκταδικό, ξεκινώντας από τη δυαδική αναπαράσταση, προχωρούμε σε ορισμό τριάδων δυαδικών ψηφίων και αντιστοιχίζουμε σε κάθε τριάδα ένα οκταδικό ψηφίο.. Άρα σε οκταδική αναπαράσταση το αποτέλεσμα είναι {{{{{{ Σελίδα 6 από 73

17 ΠΛΗ-2: ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 7 Δίνονται οι αριθμοί: χ = και ψ = σε δεκαδική αναπαράσταση. Α. Να μετατραπούν σε δυαδική αναπαράσταση (χ 2, ψ 2 ) με 8 ψηφία για το ακέραιο μέρος και 4 ψηφία για το κλασματικό μέρος καθώς και σε δεκαεξαδική αναπαράσταση (χ 6, ψ 6 ) με 2 ψηφία για το ακέραιο μέρος και ψηφίο για το κλασματικό μέρος. Η μετατροπή να εξηγηθεί αναλυτικά μόνο για τον αριθμό χ. Β. Να μετατραπούν πάλι σε δεκαδική αναπαράσταση οι αριθμοί (χ 2, ψ 2 και χ 6, ψ 6 ) που προέκυψαν από το ερώτημα Α. Σχολιάστε τις διαφορές που παρατηρείτε ανάμεσα στις δεκαδικές αναπαραστάσεις που υπολογίσατε στο ερώτημα Β και στις αρχικές. (Υπόδειξη: Συμβουλευτείτε το Παράρτημα Α του Β τόμου Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Ι ). Λύση A. Για να μετατρέψουμε τον αριθμό χ = σε δυαδική μορφή αντιμετωπίζουμε ξεχωριστά το ακέραιο (24) από το κλασματικό (.625) μέρος. Για τη μετατροπή του ακεραίου μέρους από δεκαδική σε δυαδική μορφή, εκτελούμε τη διαδικασία των διαδοχικών διαιρέσεων, ως εξής: ΛΣΨ ακεραίου μέρους ΠΣΨ ακεραίου μέρους όπου διαιρούμε το πηλίκο κάθε διαίρεσης με τη βάση στην οποία θέλουμε να μετατρέψουμε την αρχική αναπαράσταση, δηλ. με το δύο, μέχρις ότου το πηλίκο να μηδενιστεί. Τότε, το τελικό αποτέλεσμα σχηματίζεται από τα υπόλοιπα των διαιρέσεων, με το περισσότερο σημαντικό ψηφίο να είναι το υπόλοιπο το οποίο προέκυψε τελευταίο. Άρα η δυαδική έκφραση του ακεραίου μέρους είναι 2. Επειδή ζητείται η έκφραση με οκτώ δυαδικά ψηφία ακεραίων ενώ αρκούν πέντε, έχουν προστεθεί τρία μηδενικά στις τρεις περισσότερο σημαντικές θέσεις. Για το κλασματικό μέρος, δηλ. το.625, εφαρμόζουμε τη μέθοδο των διαδοχικών πολλαπλασιασμών, ως εξής: =.25 = =.5 = =. = +. 2 =. = + ΛΣΨ κλασματικού μέρους όπου πολλαπλασιάζουμε διαδοχικά με τη βάση, δηλ. το 2, το κλασματικό μέρος του αποτελέσματος του προηγούμενου πολλαπλασιασμού. Η διαδικασία τερματίζεται όταν το κλασματικό μέρος απομείνει μηδέν ή όταν εξαντληθούν τα διαθέσιμα για την αναπαράσταση δυαδικά ψηφία. Στην άσκηση αυτή ζητείται η έκφραση του κλασματικού μέρους με τέσσερα ψηφία. Το αποτέλεσμα προκύπτει από τις τιμές των ακεραίων μερών των γινομένων, με λιγότερο σημαντικό το ψηφίο που υπολογίστηκε τελευταίο. Άρα το κλασματικό μέρος εκφράζεται σε δυαδική αναπαράσταση ως. 2. Συνεπώς η τελική έκφραση του χ η οποία περιλαμβάνει ακέραιο και κλασματικό μέρος είναι χ 2 =. 2 Για τη μετατροπή στο δεκαεξαδικό, αντιστοιχίζουμε ένα δεκαεξαδικό ψηφίο σε κάθε τέσσερα δυαδικά. Έτσι:. {{{ 8 A άρα η δεκαεξαδική αναπαράσταση είναι χ 6 = 8.Α 6 Σελίδα 7 από 73

18 ΠΛΗ-2: ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ομοίως για το , προκύπτει ότι η δυαδική έκφραση είναι ψ 2 =. 2. Η μετατροπή στο δεκαεξαδικό γίνεται ως εξής:. {{ {, δηλ. η δεκαεξαδική έκφραση είναι ψ 6 = Β. Η έκφραση χ 2 μετατρέπεται σε δεκαδική πολλαπλασιάζοντας κάθε δυαδικό ψηφίο με το αντίστοιχο βάρος εκφρασμένο σε δεκαδική μορφή: = Αντίστοιχα, η δεκαεξαδική έκφραση χ 6 μετατρέπεται σε δεκαδική ως ακολούθως: A6 6 = = Παρατηρούμε ότι και στις δύο περιπτώσεις προκύπτει η αρχική έκφραση χ, ακριβώς. Αυτό συμβαίνει γιατί τα τέσσερα δυαδικά ψηφία είναι αρκετά για την ακριβή αναπαράσταση του συγκεκριμένου κλασματικού μέρους, μιας και το υπόλοιπο της διαδικασίας των διαδοχικών πολλαπλασιασμών για τη μετατροπή σε δυαδικό, είναι μηδέν. Επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία για τα ψ 2 και ψ 6, προκύπτει ότι = και = = Παρατηρούμε ότι η ποσότητα που προκύπτει είναι κατά =.23 μικρότερη από την ψ. Αυτό οφείλεται στο ότι κατά τη μετατροπή της αναπαράστασης του κλασματικού μέρους σε δυαδική μορφή, με τους διαδοχικούς πολλαπλασιασμούς, έμεινε μη μηδενικό υπόλοιπο. Επίσης τα οκτώ δυαδικά ψηφία αρκούν για την αναπαράσταση του ακεραίου μέρους, μιας και το 35 είναι μικρότερο από το 255, ποσότητα η οποία είναι η μέγιστη αναπαραστάσιμη με 8 δυαδικά, όταν δεν έχουμε πρόσημο. ΑΣΚΗΣΗ 8 Δίνονται οι αριθμοί α=47, β=3276 και γ=37. Α. Να γραφούν οι αριθμοί α,β,γ σε δυαδική αναπαράσταση με 2 ψηφία και σε δεκαεξαδική αναπαράσταση με 3 ψηφία. Η μετατροπή να εξηγηθεί αναλυτικά μόνο για τον αριθμό α. Β. Να γραφούν οι αντίθετοί τους στο δυαδικό και στο δεκαεξαδικό σε μορφή συμπληρώματος του δύο και του δεκαέξι, διατηρώντας το μήκος λέξης των αριθμών σε κάθε περίπτωση, δηλ. 2 δυαδικά ψηφία και 3 δεκαεξαδικά ψηφία. Γ. Να γίνουν αναλυτικά οι πράξεις α + β και α γ στο δυαδικό και στο δεκαεξαδικό σύστημα χρησιμοποιώντας την αναπαράσταση του πρώτου ερωτήματος. Οι διαφορές (α γ) να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας τα συμπληρώματα ως προς τις αντίστοιχες βάσεις από το ερώτημα Β. Λύση Α. Το πλήθος των απαιτούμενων δυαδικών ψηφίων είναι n = log X + 2, n 7 άρα απαιτούνται n = log 47 + = 8 2 δυαδικά ψηφία. Άρα διαιρούμε με 2 = 2 = 28 : Συνεπώς, από τα πηλίκα των ανωτέρω διαδοχικών διαιρέσεων και το υπόλοιπο της τελευταίας, προκύπτει ότι 47 =, 2 όπου απλώς προσθέτουμε τέσσερα μηδενικά στο περισσότερο σημαντικό μέρος, για να εκφραστεί ο αριθμός στη ζητούμενη μορφή των 2 δυαδικών ψηφίων. Υπάρχουν δύο τρόποι για τη μετατροπή στο δεκαεξαδικό σύστημα αναπαράστασης. Σελίδα 8 από 73

19 ΠΛΗ-2: ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Τρόπος ος Η διαδικασία μετατροπής σε βάση 2 επαναλαμβάνεται για βάση 6: n = log X 6 + = log 47 + = 2. 6 n Συνεπώς, απαιτούνται δύο δεκαεξαδικά ψηφία, άρα διαιρούμε με 6 = 6 = 6 : Άρα, το 47 γράφεται 47 = 936 = 936. Τρόπος 2ος Επίσης η μετατροπή στο δεκαεξαδικό μπορεί να γίνει μετατρέποντας τα ψηφία της δυαδικής αναπαράστασης ανά τέσσερα σε ένα δεκαεξαδικό ψηφίο. Ξεκινώντας από τα λιγότερο σημαντικά ψηφία προκύπτει ότι: 47 = 2 = {{{ = Ομοίως για τους άλλους αριθμούς. Τα αποτελέσματα δίνονται στον Πίνακα Ι. Αριθμός Αναπαράσταση Δεκαδική Δυαδική Δεκαεξαδική Α Β 3276 CCC Γ Πίνακας Ι: Δυαδική και Δεκαεξαδική Αναπαράσταση. Β. Το συμπλήρωμα ως προς δύο του 47 προκύπτει αντιστρέφοντας τα δώδεκα δυαδικά ψηφία και προσθέτοντας μονάδα στο λιγότερο σημαντικό ψηφίο. Έτσι για το 47 ισχύει ότι: αντιστροφη ψηφιων + συμπληρωμα του 2 Με αντίστοιχο τρόπο, για την δεκαεξαδική αναπαράσταση προκύπτει ότι: 93 (5 )(5 9)(5 3) = (5) ( 6)( 2) = F6C + F6D συμπληρωμα του 6 Αριθμός Δεκαδική Δυαδική Συμπληρώματος Δεκαεξαδικό Συμπλήρωμα α 47 F6D β * -* γ 37 ECD Πίνακας ΙΙ: Δυαδική και Δεκαεξαδική Αναπαράσταση των Αντιθέτων. * Ο αριθμός β=3276 και ο αντίθετός του δεν μπορούν να αναπαρασταθούν ως προσημασμένοι σε μορφή συμπληρώματος του δύο με 2 δυαδικά ψηφία καθώς η περιοχή των αριθμών που καλύπτεται με 2 δυαδικά ψηφία στο συμπλήρωμα ως προς 2 είναι από -2 =-248 ως 2 -=247. Θα μπορούσε να αναπαρασταθεί με περισσότερα από 2 δυαδικά ψηφία (π.χ. με 6 δυαδικά ψηφία θα είχαμε β=3276= =CCC και ο αντίθετος του β θα ήταν =F334. Άλλος τρόπος υπολογισμού του συμπληρώματος ως προς 2 του αριθμού Α, είναι με τη χρήση του τύπου 2 n A, ως εξής: Όπως προκύπει από το ερώτημα (α), το 47 αναπαριστάται με δώδεκα δυαδικά ψηφία, και η αναπαράσταση του είναι. Άρα η δεκαδική αναπαράσταση του συμπληρώματος του 2 2 του 47 είναι 2 47 = Μετατρέποντας το 3949 σε δυαδική μορφή, προκύπτει ότι το Σελίδα 9 από 73

20 ΠΛΗ-2: ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ συμπλήρωμα ως προς 2 του 47 είναι το 2 το οποίο συμφωνεί με το αποτέλεσμα του πρώτου τρόπου υπολογισμού του συμπληρώματος, ανά ψηφίο. Γ. Το άθροισμα α + β υπολογίζεται ως εξής: (Κρατούμενα) + (Άθροισμα) Η διαφορά α γ υπολογίζεται αθροίζοντας το α με το συμπλήρωμα του γ ως προς 2. (Κρατούμενα) + (Άθροισμα) Το αποτέλεσμα στο δεκαδικό σύστημα είναι ίσο με -6. Εύκολα μπορεί να αποδειχθεί ότι το -6 στο συμπλήρωμα ως προς 2 είναι το. Στο δεκαεξαδικό σύστημα, οι πράξεις υπολογίζονται ως εξής: C C C D 5 F E C D F 6 ΑΣΚΗΣΗ 9 Α. Δίνονται οι αριθμοί α= 2, σε δυαδική αναπαράσταση με 2 ψηφία και β=cd 6 σε δεκαεξαδική αναπαράσταση με 3 ψηφία. Να γίνουν οι απαραίτητες μετατροπές ώστε να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας. Αριθμός Αναπαράσταση Δεκαδική Δυαδική (2 ψηφία) Δεκαεξαδική (3 ψηφία) α β CD Πίνακας: Δεκαδική, Δυαδική και Δεκαεξαδική Αναπαράσταση. Β. Να γίνουν αναλυτικά οι πράξεις α + β και α β στο δυαδικό και στο δεκαεξαδικό σύστημα. Η διαφορά (α β) να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τα συμπληρώματα του αριθμού β ως προς 2 και 6 για το δυαδικό και το δεκαεξαδικό σύστημα αντίστοιχα. Επαληθεύστε τις πράξεις στο δεκαδικό. Γ. Δίνεται ο αριθμός: χ =24.65 σε δεκαδική αναπαράσταση. Να μετατραπεί σε δυαδική αναπαράσταση (χ 2 ) με 8 ψηφία για το ακέραιο μέρος και 4 ψηφία για το κλασματικό μέρος καθώς και σε δεκαεξαδική αναπαράσταση (χ 6 ) με 2 ψηφία για το ακέραιο μέρος και ψηφίο για το κλασματικό μέρος. Να μετατραπούν πάλι σε δεκαδική αναπαράσταση οι αριθμοί (χ 2 και χ 6 ) που προέκυψαν. Παρατηρείτε διαφορές ανάμεσα στις δεκαδικές αναπαραστάσεις που υπολογίσατε και στην αρχική; Σχολιάστε τις περιπτώσεις που θα εμφανιζόταν διαφορές. (Υπόδειξη: Συμβουλευτείτε το Παράρτημα Α του Β τόμου Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Ι ). Λύση A. O αριθμός α= 2 μετατρέπεται σε δεκαδική μορφή πολλαπλασιάζοντας κάθε δυαδικό ψηφίο με το αντίστοιχο βάρος εκφρασμένο σε δεκαδική μορφή: = 24. Σελίδα 2 από 73

21 ΠΛΗ-2: ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Για τη μετατροπή στο δεκαεξαδικό, αντιστοιχίζουμε ένα δεκαεξαδικό ψηφίο σε κάθε τέσσερα δυαδικά. Έτσι: {{{ 4 B 4 άρα η δεκαεξαδική αναπαράσταση είναι α 6 = 4Β4 6. Η αντίστροφη μετατροπή δεκαεξαδικού σε δυαδικό γίνεται και πάλι με αντιστοίχιση τεσσάρων δυαδικών ψηφίων σε κάθε δεκαεξαδικό: { {{ C D Η μετατροπή του δεκαεξαδικού σε δεκαδικό γίνεται πολλαπλασιάζοντας κάθε δεκαεξαδικό ψηφίο με το αντίστοιχο βάρος εκφρασμένο σε δεκαδική μορφή: C6 6 + D6 6 = = 25 Με βάση τα παραπάνω συμπληρώνεται ο πίνακας. Αριθμός Αναπαράσταση Δεκαδική Δυαδική (2 ψηφία) Δεκαεξαδική (3 ψηφία) α 24 4Β4 β 25 CD Πίνακας: Δεκαδική, Δυαδική και Δεκαεξαδική Αναπαράσταση. Β. Το άθροισμα (α+β) υπολογίζεται ως εξής: (Κρατούμενα) + 2 (Άθροισμα) (Κρατούμενα) 4 Β 4 + C D (Άθροισμα) Στο δεκαδικό το άθροισμα γράφεται: = 49 ή = οπότε επαληθεύεται η πράξη και στο δεκαδικό: = 49 Το συμπλήρωμα ως προς δύο του β προκύπτει αντιστρέφοντας τα δώδεκα δυαδικά ψηφία και προσθέτοντας μονάδα στο λιγότερο σημαντικό ψηφίο. Έτσι για το 25 ισχύει ότι: αντιστροφη ψηφιων + συμπληρωμα του 2 Με αντίστοιχο τρόπο, για την δεκαεξαδική αναπαράσταση προκύπτει ότι: CD (5 )(5 2)(5 3) = (5) ( 3)( 2) = F32 + F33 συμπληρωμα του 6 Η διαφορά α β υπολογίζεται αθροίζοντας το α με το συμπλήρωμα του β ως προς την αντίστοιχη βάση (2 ή 6). (Κρατούμενα) Σελίδα 2 από 73

22 ΠΛΗ-2: ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ + (Διαφορά α-β) 4 Β 4 + F E 7 (Διαφορά α-β) Στο δεκαδικό η διαφορά γράφεται: = 999 ή E = = οπότε επαληθεύεται η πράξη και στο δεκαδικό: = 999 Γ. Για να μετατρέψουμε τον αριθμό χ =24.65 σε δυαδική μορφή αντιμετωπίζουμε ξεχωριστά το ακέραιο (24) από το κλασματικό (.65) μέρος. Για τη μετατροπή του ακεραίου μέρους από δεκαδική σε δυαδική μορφή, εκτελούμε τη διαδικασία των διαδοχικών διαιρέσεων, ως εξής: ΛΣΨ ακεραίο υ ΠΣΨ ακεραίου 2 μέρους όπου διαιρούμε το πηλίκο κάθε διαίρεσης με τη βάση στην οποία θέλουμε να μετατρέψουμε την αρχική αναπαράσταση, δηλ. με το δύο, μέχρις ότου το πηλίκο να μηδενιστεί. Τότε, το τελικό αποτέλεσμα σχηματίζεται από τα υπόλοιπα των διαιρέσεων, με το περισσότερο σημαντικό ψηφίο να είναι το υπόλοιπο το οποίο προέκυψε τελευταίο. Άρα η δυαδική έκφραση του ακεραίου μέρους είναι 2. Επειδή ζητείται η έκφραση με οκτώ δυαδικά ψηφία ακεραίων ενώ αρκούν επτά, έχει προστεθεί ένα μηδενικό στην περισσότερο σημαντική θέση. Για το κλασματικό μέρος, δηλ. το.65, εφαρμόζουμε τη μέθοδο των διαδοχικών πολλαπλασιασμών, ως εξής:.65 2 =.3 = =.6 = =.2 = =.4 = +.4 ΠΣΨ κλασματικού μέρους ΛΣΨ κλασματικού μέρους όπου πολλαπλασιάζουμε διαδοχικά με τη βάση, δηλ. το 2, το κλασματικό μέρος του αποτελέσματος του προηγούμενου πολλαπλασιασμού. Η διαδικασία τερματίζεται όταν το κλασματικό μέρος απομείνει μηδέν ή όταν εξαντληθούν τα διαθέσιμα για την αναπαράσταση δυαδικά ψηφία. Στην άσκηση αυτή ζητείται η έκφραση του κλασματικού μέρους με τέσσερα ψηφία. Το αποτέλεσμα προκύπτει από τις τιμές των ακεραίων μερών των γινομένων, με λιγότερο σημαντικό το ψηφίο που υπολογίστηκε τελευταίο. Άρα το κλασματικό μέρος εκφράζεται σε δυαδική αναπαράσταση ως Σελίδα 22 από 73

23 ΠΛΗ-2: ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. Συνεπώς η τελική έκφραση του χ η οποία περιλαμβάνει ακέραιο και κλασματικό μέρος είναι χ 2 =. 2 Για τη μετατροπή στο δεκαεξαδικό, αντιστοιχίζουμε ένα δεκαεξαδικό ψηφίο σε κάθε τέσσερα δυαδικά. Έτσι:. {{{ 7 C A άρα η δεκαεξαδική αναπαράσταση είναι χ 6 = 7C.Α 6 Στο ίδιο αποτέλεσμα καταλήγουμε αν εφαρμόσουμε για το ακέραιο μέρος τη μέθοδο των διαδοχικών διαιρέσεων με τη βάση (6) μέχρις ότου το πηλίκο να μηδενιστεί και για το κλασματικό μέρος τη μέθοδο των διαδοχικών πολλαπλασιασμών με τη βάση (6). Για την μετατροπή των χ 2 και χ 6 σε δεκαδική μορφή πολλαπλασιάζουμε κάθε ψηφίο με το αντίστοιχο βάρος στην αντίστοιχη βάση εκφρασμένο σε δεκαδική μορφή: = ή C 6 + A 6 = = Παρατηρούμε ότι η ποσότητα που προκύπτει είναι κατά =.25 μικρότερη από την χ. Αυτό οφείλεται στο ότι κατά τη μετατροπή της αναπαράστασης του κλασματικού μέρους σε δυαδική μορφή, με τους διαδοχικούς πολλαπλασιασμούς, έμεινε μη μηδενικό κλασματικό μέρος. Παρατηρούμε επίσης ότι τα οκτώ δυαδικά ψηφία αρκούν για την αναπαράσταση του ακεραίου μέρους, μιας και το 24 είναι μικρότερο από το 255, ποσότητα η οποία είναι η μέγιστη αναπαραστάσιμη με 8 δυαδικά, όταν δεν έχουμε πρόσημο. ΑΣΚΗΣΗ Α. Δίνεται ο αριθμός α= 2, σε δυαδική αναπαράσταση. Μετατρέψτε τον αριθμό στο δεκαδικό σύστημα. Μετακινήστε όλα τα ψηφία του δυαδικού κατά μία θέση δεξιά και συμπληρώσετε το περισσότερο σημαντικό ψηφίο με (σημειώστε ότι το λιγότερο σημαντικό ψηφίο που χάνεται είναι ). Μετατρέψτε πάλι τον αριθμό στο δεκαδικό σύστημα. Τι παρατηρείτε; Σχολιάστε τα αποτελέσματα. Β. Δίνεται ο αριθμός β= 2F 6 σε δεκαεξαδική αναπαράσταση. Μετατρέψτε τον αριθμό στο δεκαδικό σύστημα και στο δυαδικό σύστημα. Μετακινήστε όλα τα ψηφία του δυαδικού κατά μία θέση αριστερά και συμπληρώστε το λιγότερο σημαντικό ψηφίο με. Μετατρέψτε τον νέο αριθμό από το δυαδικό στο δεκαδικό σύστημα. Τι παρατηρείτε; Σχολιάστε τα αποτελέσματα. (Υπόδειξη: Μπορείτε να επαναλάβετε τις μετακινήσεις περισσότερες από μία φορές για να κατανοήσετε το αποτέλεσμα που προκαλούν). Γ. Συμπληρώστε στον παρακάτω πίνακα τον μέγιστο και τον ελάχιστο ακέραιο αριθμό (στο δεκαδικό και στο αντίστοιχο σύστημα) καθώς και το πλήθος των αριθμών που μπορεί να παρασταθεί με συνολικά 6 δυαδικά ψηφία στο δυαδικό σύστημα (Bin842), στο δυαδικό σύστημα με προσημασμένους αριθμούς και στο συμπλήρωμα ως προς 2. Εξηγείστε σύντομα την απάντησή σας. Λύση Αριθμός Μέγιστος Ελάχιστος Πλήθος Αναπαράσταση Δυαδική (Bin842) Δυαδική (προσημασμένοι αριθμοί) Δυαδική (συμπλήρωμα ως προς 2) Α. O αριθμός α= 2 μετατρέπεται σε δεκαδική μορφή πολλαπλασιάζοντας κάθε δυαδικό ψηφίο με το αντίστοιχο βάρος, εκφρασμένο σε δεκαδική μορφή: = 8 Σελίδα 23 από 73

24 ΠΛΗ-2: ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μετακινώντας τα ψηφία του δυαδικού κατά μία θέση δεξιά προκύπτει ο αριθμός: 2 ο οποίος στο δεκαδικό γίνεται: = 9 Παρατηρούμε ότι η μετακίνηση των δυαδικών ψηφίων κατά μία θέση δεξιά ισοδυναμεί με διαίρεση του αριθμού με το 2. Στη διαδικασία αυτή βασίζεται η πράξη της διαίρεσης στην κεντρική μονάδα του υπολογιστή. Να σημειωθεί ότι, αν το λιγότερο σημαντικό ψηφίο που χάνεται είναι, τότε παραμένοντας σε ακέραια αναπαράσταση υπάρχει απώλεια πληροφορίας. Β. Η μετατροπή του δεκαεξαδικού σε δεκαδικό γίνεται πολλαπλασιάζοντας κάθε δεκαεξαδικό ψηφίο με το αντίστοιχο βάρος εκφρασμένο σε δεκαδική μορφή: F 6 6 = = 47 Η μετατροπή δεκαεξαδικού σε δυαδικό γίνεται με αντιστοίχιση τεσσάρων δυαδικών ψηφίων σε κάθε δεκαεξαδικό ψηφίο: { 2 { F οπότε ο αριθμός είναι β= 2 και, βέβαια, ισχύει: = 47 Μετακινώντας τα ψηφία του δυαδικού κατά μία θέση αριστερά προκύπτει ο αριθμός: 2 ο οποίος στο δεκαδικό γίνεται: = 94 Παρατηρούμε ότι η μετακίνηση των δυαδικών ψηφίων κατά μία θέση αριστερά ισοδυναμεί με πολλαπλασιασμό του αριθμού με το 2. Στη διαδικασία αυτή βασίζεται η πράξη του πολλαπλασιασμού στην κεντρική μονάδα του υπολογιστή. Γ. Η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να παρασταθεί από έναν δυαδικό αριθμό μήκους 6 ψηφίων είναι: 2 6 -=63 και η μικρότερη. Στους προσημασμένους δυαδικούς αριθμούς το πρώτο ψηφίο εκφράζει το πρόσημο και έτσι με τα υπόλοιπα 5 ψηφία η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να παρασταθεί είναι: =3 και προφανώς η μικρότερη είναι το -3. Τέλος στο συμπλήρωμα ως προς 2 η περιοχή αριθμών που καλύπτεται με 6 ψηφία είναι: από = -32 ως =3. Στους προσημασμένους δυαδικούς αριθμούς το μηδέν παριστάνεται είτε ως ή ως, οπότε το πλήθος των αριθμών που μπορούν να παρασταθούν είναι κατά μικρότερο. Έτσι προκύπτει ο ακόλουθος πίνακας: Αριθμός Αναπαράσταση Δυαδική (Bin842) Δυαδική (προσημασμένοι αριθμοί) Δυαδική (συμπλήρωμα ως προς 2) Μέγιστος 63 () +3 () +3 () Ελάχιστος () -3 () -32 () Πλήθος ΑΣΚΗΣΗ Α. Δίνονται οι αριθμοί α= 2, σε δυαδική αναπαράσταση με 2 ψηφία και β=d4 6 σε δεκαεξαδική αναπαράσταση με 3 ψηφία. Να γίνουν οι απαραίτητες μετατροπές ώστε να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας. Πίνακας: Δεκαδική, Δυαδική και Δεκαεξαδική Αναπαράσταση. Αριθμός Αναπαράσταση Δεκαδική Δυαδική (2 ψηφία) Δεκαεξαδική (3 ψηφία) α β D4 Σελίδα 24 από 73

25 ΠΛΗ-2: ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β. Να γίνουν αναλυτικά οι πράξεις α + β και α β στο δυαδικό και στο δεκαεξαδικό σύστημα. Οι διαφορά (α β) να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τα συμπληρώματα του αριθμού β ως προς 2 και 6 για το δυαδικό και το δεκαεξαδικό σύστημα αντίστοιχα. Επαληθεύστε τις πράξεις στο δεκαδικό. Γ. Μετακινήστε όλα τα ψηφία του δυαδικού αριθμού α κατά τέσσερις θέσεις αριστερά και συμπληρώστε τα λιγότερο σημαντικά ψηφία με. Μετατρέψτε τον νέο αριθμό από το δυαδικό στο δεκαδικό σύστημα και το δεκαεξαδικό σύστημα. Τι παρατηρείτε; Σχολιάστε τα αποτελέσματα. (Θεωρούμε αναπαράσταση μη προσημασμένου αριθμού) Λύση A. O αριθμός α= 2 μετατρέπεται σε δεκαδική μορφή πολλαπλασιάζοντας κάθε δυαδικό ψηφίο με το αντίστοιχο βάρος εκφρασμένο σε δεκαδική μορφή: = 49. Για τη μετατροπή στο δεκαεξαδικό, αντιστοιχίζουμε ένα δεκαεξαδικό ψηφίο σε κάθε τέσσερα δυαδικά. Έτσι: {{{ 9 5 άρα η δεκαεξαδική αναπαράσταση είναι α 6 = Η αντίστροφη μετατροπή δεκαεξαδικού σε δυαδικό γίνεται και πάλι με αντιστοίχιση τεσσάρων δυαδικών ψηφίων σε κάθε δεκαεξαδικό: { { D { 4 Η μετατροπή του δεκαεξαδικού σε δεκαδικό γίνεται πολλαπλασιάζοντας κάθε δεκαεξαδικό ψηφίο με το αντίστοιχο βάρος εκφρασμένο σε δεκαδική μορφή: D = = 22 Με βάση τα παραπάνω συμπληρώνεται ο πίνακας. Πίνακας: Δεκαδική, Δυαδική και Δεκαεξαδική Αναπαράσταση. Αριθμός Αναπαράσταση Δεκαδική Δυαδική (2 ψηφία) Δεκαεξαδική (3 ψηφία) α β 22 D4 Β. Το άθροισμα (α+β) υπολογίζεται ως εξής: (Κρατούμενα) + 2 (Άθροισμα) (Κρατούμενα) D (Άθροισμα) Στο δεκαδικό το άθροισμα γράφεται: = 36 ή = Σελίδα 25 από 73

26 ΠΛΗ-2: ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ οπότε επαληθεύεται η πράξη και στο δεκαδικό: = 36 Η αναπαράσταση του β σε κώδικα συμπληρώματος ως προς δύο προκύπτει αντιστρέφοντας τα δώδεκα δυαδικά ψηφία και προσθέτοντας μονάδα στο λιγότερο σημαντικό ψηφίο. Έτσι για το β ισχύει ότι: αντιστροφη ψηφιων + συμπληρωμα του 2 Με αντίστοιχο τρόπο, για την αναπαράσταση σε συμπλήρωμα ως προς 6 προκύπτει ότι: D4 (5 )(5 3)(5 4) = (5) ( 2)( ) = F2B + F2C συμπληρωμα του 6 Η διαφορά α β υπολογίζεται αθροίζοντας το α με το β σε κώδικα συμπληρώματος ως προς 2 ή 6, αντίστοιχα. (Κρατούμενα) + (Διαφορά α-β) F 2 C F C (Διαφορά α-β) Εφόσον το πρώτο ψηφίο στο δυαδικό είναι (και στο δεκαεξαδικό F), το αποτέλεσμα είναι αρνητικός αριθμός. Αντιστρέφοντας όλα τα ψηφία της δυαδικής αναπαράστασης (αφαιρώντας όλα τα ψηφία από το FFF στη δεκαεξαδική αναπαράσταση) και προσθέτοντας βρίσκουμε ότι η αναπαράσταση του μέτρου του αριθμού είναι (3F) = 63. Άρα το αποτέλεσμα είναι 63, οπότε επαληθεύεται η πράξη και στο δεκαδικό: = 63. Γ. Μετακινώντας τα ψηφία του δυαδικού κατά 4 θέσεις αριστερά προκύπτει ο αριθμός: 2 ο οποίος στο δεκαδικό (αναπαράσταση μη προσημασμένου αριθμού) γίνεται: = 2384 ( = 49 6) Παρατηρούμε ότι η μετακίνηση των δυαδικών ψηφίων κατά 4 θέσεις αριστερά ισοδυναμεί με πολλαπλασιασμό του αριθμού με το 2 4 =6. Για τη μετατροπή στο δεκαεξαδικό, αντιστοιχίζουμε ένα δεκαεξαδικό ψηφίο σε κάθε τέσσερα δυαδικά. Έτσι: {{{ 9 5 άρα η δεκαεξαδική αναπαράσταση είναι α 6 = Παρατηρούμε ότι η μετακίνηση των δυαδικών ψηφίων κατά 4 θέσεις αριστερά ισοδυναμεί με μετακίνηση των δεκαεξαδικών ψηφίων κατά μία θέση αριστερά. Στη διαδικασία αυτή βασίζεται γενικά η πράξη του πολλαπλασιασμού στην κεντρική μονάδα του υπολογιστή. Να σημειωθεί ότι, αν κάποιο από τα περισσότερο σημαντικά ψηφία που χάνονται είναι, τότε παραμένοντας σε αναπαράσταση 2 ψηφίων, υπάρχει απώλεια πληροφορίας και δεν θα ισχύει ο πολλαπλασιασμός του αριθμού με το 6 (λάθος αποτέλεσμα ). Σελίδα 26 από 73

27 ΠΛΗ-2: ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 2 II. Κώδικες Αναπαράστασης Δεδομένων Α. Να γραφούν σε κώδικα BCD οι δεκαδικοί αριθμοί 6, 25, 38 και 479 και να υπολογιστεί η τιμή του ψηφίου άρτιας ισοτιμίας για κάθε έναν αριθμό. Β. Αν οι κώδικες BCD των δεκαδικών αριθμών 6 και 25 θεωρηθούν δύο πηγαίες λέξεις να κατασκευαστεί για την καθεμία ο κώδικας Ηamming τεσσάρων ψηφίων περιττής ισοτιμίας. Λύση: Α. Ο κώδικας BCD κωδικοποιεί κάθε ψηφίο ενός αριθμού εκφρασμένου σε δεκαδική αναπαράσταση, με μία τετράδα δυαδικών ψηφίων, που είναι η αναπαράσταση του δεκαδικού ψηφίου σε δυαδική μορφή. Έτσι, εφαρμόζοντας τον ορισμό, προκύπτει ότι: Άρα στον κώδικ α BCD ο αριθμός 6 αντιστοιχίζεται στη λέξη. Η λέξη έχει τρία ψηφία με τιμή, άρα ο αριθμός μονάδων είναι περιττός. Συνεπώς, το ψηφίο άρτιας ισοτιμίας είναι. Ομοίως υπολογίζονται τα ψηφία άρτιας ισοτιμίας για τους υπόλοιπους αριθμούς. Τα αποτελέσματα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Δεκαδικός BCD Ψηφίο άρτιας ισοτιμίας Β. Έχουμε κωδικοποίηση τεσσάρων ψηφίων περιττής ισοτιμίας. Η πηγαία λέξη για τον αριθμό 6 είναι mmmmmmmm = 2. Οι τιμές των δυαδικών ψηφίων mi, i 7, απεικονίζονται στον πίνακα m m m2 m3 m4 m5 m6 m7 Τα ψηφία περιττής ισοτιμίας υπολογίζονται ως εξής: c3 = : p3m4m5m6m7 = p3 p3 = c2 = : p2mm 2m3m7 = p2 p2 = c = : pmmmmm = p p = c = : pmmm 3m4m6 = p p =. Άρα, αντικαθιστώντας τις τιμές των ψηφίων ισοτιμίας στη λέξη ppmpmmmpmmmm = pp p2 p3 =. Ομοίως για την περίπτωση του 25, σχηματίζουμε τον πίνακα m m m2 m3 m4 m5 m6 m7 Τα ψηφία περιττής ισοτιμίας υπολογίζονται ως εξής: Σελίδα 27 από 73

28 ΠΛΗ-2: ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ c = : p m m m m = p p = c = : p mm m m = p p = c = : pm m m m m = p p = c = : p m mm m m = p p = Άρα η κωδικοποίηση κατά Hamming θα είναι: p pmpmmmpmmmm pp p p =. 2 3 = ΑΣΚΗΣΗ 3 α. Από τι είδους λάθη προστατεύει o κώδικας Hamming, και με ποιό τρόπο; β. Δίνεται η δυαδική λέξη 2. Να κωδικοποιηθεί σε κώδικα Ηamming. γ. Είναι δυνατόν η λέξη 2 να είναι κωδικοποιημένη σε κώδικα Ηamming των τεσσάρων ψηφίων αρτιας ισοτιμίας; Αν ναι, ποια είναι η λέξη πληροφορίας; Λύση: Ερώτημα (α) Ο κώδικας Hamming μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να διορθώσει λάθη μετατροπής ενός ψηφίου ή να χρησιμοποιηθεί για να ανιχνεύσει μέχρι και λάθη μετατροπής δύο ψηφίων. Ερώτημα (β) Έστω κωδικοποίηση τεσσάρων ψηφίων άρτιας ισοτιμίας. Ο πηγαίος κώδικας είναι mmmmmmmm = Τα ψηφία άρτιας ισοτιμίας υπολογίζονται ως εξής: c3 = : p3m4m5m6m7 = p3 p3 = c2 = : p2mm 2m3m7 = p2 p2 = c = : pm m2m3m5m6 = p p = c = : p m mm m m = p p = Άρα, αντικαθιστώντας τις τιμές των ψηφίων ισοτιμίας στη λέξη ppmpmmmpmmmm = pp p2p3 = Ερώτημα (γ) Η λέξη έχει τέσσερα ψηφία ισοτιμίας, και συνολικό μήκος 2, άρα η πηγαία λέξη θα είναι μήκους 8 δυαδικών ψηφίων. Η οργάνωση της θα είναι όπως στο προηγούμενο ερώτημα. Έτσι, αντιστοιχίζοντας τις θέσεις της προηγούμενης αναπαράσταση με τη δοθείσα λέξη και θεωρώντας άρτια ισοτιμία, προκύπτουν οι τιμές των δυαδικών ψηφίων: ppmpmmmpmmmm = p3 : p3m4m5m6m7 = c3 =, σωστο p2 : p2mm 2m3m7 = c2 =, λαθος p: pm m2m3m5m6 = c = p : p m mm m m = c = Σελίδα 28 από 73

29 ΠΛΗ-2: ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άρα υπάρχει ένα λάθος, το οποίο καταδεικνύεται από τον αριθμό θέσης δηλαδή 4. Συνεπώς, το σφάλμα είναι στο ψηφίο p 2 της αρχικής λέξης. Η λέξη πληροφορίας είναι. ΑΣΚΗΣΗ 4 α. Δίνεται η δυαδική λέξη 2. Να κωδικοποιηθεί σε κώδικα Ηamming τεσσάρων ψηφίων περιττής ισοτιμίας. β. Είναι δυνατόν η λέξη 2 να είναι κωδικοποιημένη σε κώδικα Ηamming των τεσσάρων ψηφίων περιττής ισοτιμίας; Αν ναι, ποια είναι η λέξη πληροφορίας; Λύση: Ερώτημα (α) Έστω κωδικοποίηση τεσσάρων ψηφίων περιττής ισοτιμίας. Ο πηγαίος κώδικας είναι mmmmmmmm = Τα ψηφία περιττής ισοτιμίας υπολογίζονται ως εξής: c3 = : p3m4m5m6m7 = p3 p3 = c2 = : p2mm 2m3m7 = p2 p2 = c = : pm m2m3m5m6 = p p = c = : p m mm m m = p p = Άρα, αντικαθιστώντας τις τιμές των ψηφίων ισοτιμίας στη λέξη ppmpmmmpmmmm = ppp p = 2 3 Ερώτημα (β) Η λέξη έχει τέσσερα ψηφία περιττής ισοτιμίας, και συνολικό μήκος 2, άρα η πηγαία λέξη θα είναι μήκους 8 δυαδικών ψηφίων. Η οργάνωση της θα είναι όπως στο προηγούμενο ερώτημα. Έτσι, αντιστοιχίζοντας τις θέσεις της προηγούμενης αναπαράστασης με τη δοθείσα λέξη προκύπτουν οι τιμές των δυαδικών ψηφίων: ppmpmmmpmmmm = p3 : p3m4m5m6m7 = c3 =, p2 : p2mm 2m3m7 = c2 =, λαθος λαθος p: pmmmmm = c =, σωστο p : p m mm m m = c =, σωστο Άρα υπάρχει ένα λάθος, το οποίο καταδεικνύεται από τον αριθμό θέσης cccc 3 2 = 2 = 2. Συνεπώς, το σφάλμα είναι στο ψηφίο m7 της ληφθείσας λέξης, η ορθή τιμή του οποίου είναι και όχι το. Άρα η ορθή λέξη πληροφορίας προκύπτει από τις τιμές των mmmmmmmm αντιστρέφοντας το m7 και είναι. Σελίδα 29 από 73

30 ΠΛΗ-2: ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 5 α. Να υπολογίσετε την τιμή ψηφίου άρτιας και περιττής ισοτιμίας για τις ακόλουθες περιπτώσεις: 2, 2, 2. β. Σχεδιάστε ένα κύκλωμα που να υπολογίζει το ψηφίο άρτιας ισοτιμίας μίας λέξης δύο δυαδικών ψηφίων. γ. Σχεδιάστε ένα κύκλωμα που να υπολογίζει το ψηφίο περιττής ισοτιμίας μίας λέξης δύο δυαδικών ψηφίων. Λύση: Ερώτημα (α) Η λέξη έχει πέντε ψηφία με τιμή, άρα ο αριθμός μονάδων είναι περιττός. Συνεπώς, το ψηφίο άρτιας ισοτιμίας είναι και το ψηφίο περιττής ισοτιμίας. Ομοίως, για την, το ψηφίο άρτιας ισοτιμίας είναι και το περιττής είναι, γιατί η λέξη έχει άρτιο (2) αριθμό ψηφίων με τιμή. Τέλος, η έχει τέσσερα ψηφία με τιμή και ψηφίο περιττής ισοτιμίας, ψηφίο άρτιας ισοτιμίας. Ερώτημα (β) Ο πίνακας αληθείας είναι ο εξής: x y Πλήθος Ψηφίων τιμής Άρτια ισοτιμία Περιττή ισοτιμία 2 Παρατηρούμε ότι πρόκειται για τον πίνακα αλήθειας της ΧΟR. Άρα το ψηφίο ισοτιμίας μπορεί να υπολογιστεί από μία πύλη XOR. Ερώτημα (γ) Αντίστοιχα, παρατηρούμε ότι για την περιττή ισοτιμία, έχουμε τον πίνακα αλήθειας της ΧΝΟR. Άρα το ψηφίο ισοτιμίας μπορεί να υπολογιστεί από μία πύλη XΝOR, η αναπαράσταση της οποίας δίνεται στο ακόλουθο σχήμα. x p y XNOR ΑΣΚΗΣΗ 6 Α. Δίνεται η δυαδική λέξη 2. Να κωδικοποιηθεί σε κώδικα Ηamming τριών ψηφίων άρτιας ισοτιμίας. Β. Αν στον προορισμό φθάσει η δυαδική λέξη 2 κωδικοποιημένη σε κώδικα Ηamming των τριών ψηφίων άρτιας ισοτιμίας, βρείτε ποια είναι η σωστή δυαδική λέξη πληροφορίας που μεταδόθηκε από την πηγή. Λύση: Α. Έχουμε κωδικοποίηση τριών ψηφίων άρτιας ισοτιμίας. Η πηγαία λέξη αποτελείται από τέσσερα δυαδικά ψηφία και είναι mmmm 2 3 = 2. Οι τιμές των δυαδικών ψηφίων mi, i 7, απεικονίζονται στον πίνακα m m m2 m3 Τα ψηφία άρτιας ισοτιμίας υπολογίζονται ως εξής: Σελίδα 3 από 73

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-21

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-21 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-21 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΙΣ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΡΓΑΣΙΙΩΝ & ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 3 Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Μονάδα ελέγχου Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Δομή Αριθμητικής Λογικής Μονάδας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεµατική Ενότητα ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 2006 2007 Γραπτή Εργασία #2 Ηµεροµηνία Παράδοσης 28-0 - 2007 ΠΛΗ 2: Ψηφιακά Συστήµατα ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση : [5 µονάδες] Έχετε στη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος...9 ΚΕΦ. 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΚΩΔΙΚΕΣ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος...9 ΚΕΦ. 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΚΩΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος...9 ΚΕΦ. 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΚΩΔΙΚΕΣ 1.1 Εισαγωγή...11 1.2 Τα κύρια αριθμητικά Συστήματα...12 1.3 Μετατροπή αριθμών μεταξύ των αριθμητικών συστημάτων...13 1.3.1 Μετατροπή ακέραιων

Διαβάστε περισσότερα

Tα ψηφιακά συστήματα είναι κατασκευασμένα από κυκλώματα

Tα ψηφιακά συστήματα είναι κατασκευασμένα από κυκλώματα 2 κεφάλαιο Aριθμητικά συστήματα και κώδικες Tα ψηφιακά συστήματα είναι κατασκευασμένα από κυκλώματα τα οποία επεξεργάζονται δυαδικά ψηφία 0 και 1, όμως στην πράξη πολύ λίγα πραγματικά προβλήματα βασίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστικά Κυκλώματα

Συνδυαστικά Κυκλώματα 3 Συνδυαστικά Κυκλώματα 3.1. ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ Λ ΟΓΙΚΗ Συνδυαστικά κυκλώματα ονομάζονται τα ψηφιακά κυκλώματα των οποίων οι τιμές της εξόδου ή των εξόδων τους διαμορφώνονται αποκλειστικά, οποιαδήποτε στιγμή,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεµατική Ενότητα ΠΛΗ 2: Ψηφιακά Συστήµατα Ακαδηµαϊκό Έτος 24 25 Ηµεροµηνία Εξέτασης 29.6.25 Χρόνος Εξέτασης

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση και Σχεδίαση Υπολογιστών Η ιασύνδεση Υλικού και Λογισµικού, 4 η έκδοση. Κεφάλαιο 3. Αριθµητική για υπολογιστές

Οργάνωση και Σχεδίαση Υπολογιστών Η ιασύνδεση Υλικού και Λογισµικού, 4 η έκδοση. Κεφάλαιο 3. Αριθµητική για υπολογιστές Οργάνωση και Σχεδίαση Υπολογιστών Η ιασύνδεση Υλικού και Λογισµικού, 4 η έκδοση Κεφάλαιο 3 Αριθµητική για υπολογιστές Ασκήσεις Η αρίθµηση των ασκήσεων είναι από την 4 η έκδοση του «Οργάνωση και Σχεδίαση

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ για το Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ για το Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δραστηριότητα 8 ης εβδομάδας ΟΜΑΔΑΣ Α: Γ. Πολυμέρης, Χ. Ηλιούδη, Ν. Μαλλιαρός και Δ. Θεοτόκης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ για το Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Περιγραφή Η συγκεκριμένη δραστηριότητα αποτελεί μια πρόταση

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Ψηφιακής Σχεδίασης

Εργαστήριο Ψηφιακής Σχεδίασης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Εργαστήριο Ψηφιακής Σχεδίασης 8 Εργαστηριακές Ασκήσεις Χρ. Καβουσιανός Επίκουρος Καθηγητής 2014 Εργαστηριακές Ασκήσεις Ψηφιακής Σχεδίασης 2 Εργαστηριακές Ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Πραγµατικοί αριθµοί κινητής υποδιαστολής Floating Point Numbers. Σ. Τσιτµηδέλης - 2010 ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ

Πραγµατικοί αριθµοί κινητής υποδιαστολής Floating Point Numbers. Σ. Τσιτµηδέλης - 2010 ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ Πραγµατικοί αριθµοί κινητής υποδιαστολής Floating Point Numbers Σ. Τσιτµηδέλης - 2010 ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ Εκθετική Παράσταση (Exponential Notation) Οι επόµενες είναι ισοδύναµες παραστάσεις του 1,234 123,400.0

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή 1. Ηλεκτρονικός Υπολογιστής Ο Ηλεκτρονικός Υπολογιστής είναι μια συσκευή, μεγάλη ή μικρή, που επεξεργάζεται δεδομένα και εκτελεί την εργασία του σύμφωνα με τα παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 2 Φυσικοί

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Θεωρητική εισαγωγή

6.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 6 ΑΠΟΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΤΕΣ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΕΚΤΕΣ Σκοπός: Η κατανόηση της λειτουργίας των κυκλωµάτων ψηφιακής πολυπλεξίας και αποκωδικοποίησης και η εξοικείωση µε τους ολοκληρωµένους

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Αριθμητικά συστήματα Υπάρχουν 10 τύποι ανθρώπων: Αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2007

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2007 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2007 Μάθημα : Ψηφιακά Ηλεκτρονικά Τεχνολογία ΙΙ Τεχνικών Σχολών, Θεωρητικής Κατεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ 1 3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΜΕ ΚΟΜΠΙΟΥΤΕΡΑΚΙ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόσθεση αφαίρεση δεκαδικών Γίνονται όπως και στους φυσικούς αριθµούς. Προσθέτουµε ή αφαιρούµε τα ψηφία

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας Περιεχομένων ΚΕΦΑΛΑΙΟ I ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

Πίνακας Περιεχομένων ΚΕΦΑΛΑΙΟ I ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Πίνακας Περιεχομένων ΚΕΦΑΛΑΙΟ I ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1.1 Παράσταση ενός φυσικού αριθμού 1 1.2 Δεκαδικό σύστημα 1 1.3 Δυαδικό σύστημα 2 1.4 Οκταδικό σύστηνα 2 1.5 Δεκαεξαδικό σύστημα 2 1.6 Μετατροπές από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Ασκήσεις Εργαστηρίου

Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Ασκήσεις Εργαστηρίου Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Ασκήσεις Εργαστηρίου Ενότητα: ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ No 05 Δρ. Μηνάς Δασυγένης mdasyg@ieee.org Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Εργαστήριο Ψηφιακών Συστημάτων και

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο: Δομή υπολογιστή Συστήματα αρίθμησης

Περιεχόμενο: Δομή υπολογιστή Συστήματα αρίθμησης Περιεχόμενο: Δομή υπολογιστή Συστήματα αρίθμησης ΟΜΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ Ένας υπολογιστής αποτελείται από την Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας (ΚΜΕ), τη µνήµη, τις µονάδες εισόδου/εξόδου και το σύστηµα διασύνδεσης

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α : ΘΕΜΑΤΑ ΒΑΣΗΣ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ...11 2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ...30

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α : ΘΕΜΑΤΑ ΒΑΣΗΣ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ...11 2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ...30 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α : ΘΕΜΑΤΑ ΒΑΣΗΣ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ...11 1.1 Τι είναι Πληροφορική;...11 1.1.1 Τι είναι η Πληροφορική;...12 1.1.2 Τι είναι ο Υπολογιστής;...14 1.1.3 Τι είναι το Υλικό και το

Διαβάστε περισσότερα

[2] Υπολογιστικά συστήματα: Στρώματα. Τύποι δεδομένων. Μπιτ. επικοινωνία εφαρμογές λειτουργικό σύστημα προγράμματα υλικό

[2] Υπολογιστικά συστήματα: Στρώματα. Τύποι δεδομένων. Μπιτ. επικοινωνία εφαρμογές λειτουργικό σύστημα προγράμματα υλικό Υπολογιστικά συστήματα: Στρώματα 1 ΕΠΛ 003: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ επικοινωνία εφαρμογές λειτουργικό σύστημα προγράμματα υλικό δεδομένα Αναπαράσταση δεδομένων 2 Τύποι δεδομένων Τα δεδομένα

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών 2 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Προσθετέοι 18+17=35 α Προσθετέοι + β = γ Άθοι ρ σμα Άθοι ρ σμα 13 + 17 = 17 + 13 Πρόσθεση φυσικών αριθμών Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεµατική Ενότητα ΠΛΗ 21: Ψηφιακά Συστήµατα Ακαδηµαϊκό Έτος 2009 2010 Γραπτή Εργασία #3 Παράδοση: 28 Μαρτίου 2010 Άσκηση 1 (15 µονάδες) Ένας επεξεργαστής υποστηρίζει τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα. I Βασικές Γνώσεις 1

Περιεχόµενα. I Βασικές Γνώσεις 1 Περιεχόµενα I Βασικές Γνώσεις 1 1 Μοντελοποίηση Προγραµµάτων 3 1.1 Ψευδογλώσσα....................... 6 1.2 Διαγράµµατα Ροής..................... 6 1.3 Παραδείγµατα σε Ψευδογλώσσα και Διαγράµµατα Ροής.

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Εκτέλεση πράξεων. Ψηφιακά Ηλεκτρονικά και Δυαδική Λογική. Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς. Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς

Εκτέλεση πράξεων. Ψηφιακά Ηλεκτρονικά και Δυαδική Λογική. Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς. Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 24-5 Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς (λογικές πράξεις) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Μ.Στεφανιδάκης ; Ποιες κατηγορίες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏ ÉÙÁÍÍÉÍÙÍ ÓïöïêëÞò Ä. ÃáëÜíçò ÁíáðëçñùôÞò ÊáèçãçôÞò ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ É Ù Á Í Í É Í Á 0 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Γενικά. Αλγόριθμος του Συμπληρώματος 6.3

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Υπενθύμιση Δ τάξης Παιχνίδια στην κατασκήνωση Συγκρίνω δυο αριθμούς για να βρω αν είναι ίσοι ή άνισοι. Στην περίπτωση που είναι άνισοι μπορώ να βρω ποιος είναι μεγαλύτερος (ή μικρότερος). Ανάμεσα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ (Ι) ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Μάθημα : Μικροϋπολογιστές

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή

1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1.1 Τί είναι Αριθµητική Ανάλυση Υπάρχουν πολλά προβλήµατα στη µαθηµατική επιστήµη για τα οποία δεν υπάρχουν αναλυτικές εκφράσεις λύσεων. Στις περιπτώσεις αυτές έχουν αναπτυχθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 11 ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΟΙ ΚΑΙ ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 11 ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΟΙ ΚΑΙ ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΟΙ ΚΑΙ ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών ΑΡ2.5 Αναπαριστούν, συγκρίνουν και σειροθετούν ομώνυμα κλάσματα

Διαβάστε περισσότερα

Projects στο Εργαστήριο Αρχιτεκτονικής Υπολογιστών Version 2 Ισχύει από Φεβρουάριο 2009

Projects στο Εργαστήριο Αρχιτεκτονικής Υπολογιστών Version 2 Ισχύει από Φεβρουάριο 2009 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ 4 ο ΕΞΑΜΗΝΟ Projects στο Εργαστήριο Αρχιτεκτονικής Υπολογιστών Version 2 Ισχύει από Φεβρουάριο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Κωδικοποίηση Πηγής. Δρ. Α. Πολίτης

Κωδικοποίηση Πηγής. Δρ. Α. Πολίτης Κωδικοποίηση Πηγής Coder Decoder Μεταξύ πομπού και καναλιού παρεμβάλλεται ο κωδικοποιητής (coder). Έργο του: η αντικατάσταση των συμβόλων πληροφορίας της πηγής με εναλλακτικά σύμβολα ή λέξεις. Κωδικοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙ- ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙ- ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙ- ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΟΜΑΔΑ Α Α1. Για τις ημιτελείς προτάσεις Α1.1 και Α1. να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα σε κάθε αριθμό το γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

8.1 Θεωρητική εισαγωγή

8.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 8 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΝΗΜΗΣ ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΕΣ Σκοπός: Η µελέτη της λειτουργίας των καταχωρητών. Θα υλοποιηθεί ένας απλός στατικός καταχωρητής 4-bit µε Flip-Flop τύπου D και θα µελετηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής. Ακαδημαϊκό Έτος 2007-2008

Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής. Ακαδημαϊκό Έτος 2007-2008 Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Ακαδημαϊκό Έτος 2007-2008 ΠΑΡΑΔΟΤΕΟ: Έκθεση Προόδου Υλοποίησης του Μαθήματος Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Διδάσκοντες: Θ.Ανδρόνικος - Μ.Στεφανιδάκης Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΩΝ 1.1 Προτεραιότητα Πράξεων Η προτεραιότητα των πράξεων είναι: (Από τις πράξεις που πρέπει να γίνονται πρώτες,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΑΤΑΞΗ

1.1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΑΤΑΞΗ 1 1.1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΑΤΑΞΗ ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ 1. Φυσικοί αριθµοί : Είναι οι αριθµοί 0, 1, 2, 3,, 10000, 10001,.50000 2. Προηγούµενος επόµενος : Κάθε φυσικός αριθµός εκτός από το 0 έχει έναν προηγούµενο

Διαβάστε περισσότερα

Ύλη Λογικού Σχεδιασµού Ι

Ύλη Λογικού Σχεδιασµού Ι 4 η Θεµατική Ενότητα : Συνδυαστική Λογική Ύλη Λογικού Σχεδιασµού Ι Κεφ 2 Κεφ 3 Κεφ 4 Κεφ 6 Συνδυαστική Λογική 2 Εισαγωγή Λογικά Κυκλώµατα Συνδυαστικά: Οι έξοδοι είναι συνάρτηση των εισόδων Ακολουθιακά:

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας MY. Μέρος Α. Υλικό.

Ερωτήσεις θεωρίας MY. Μέρος Α. Υλικό. Ερωτήσεις θεωρίας MY Μέρος Α. Υλικό. 1. Η μνήμη ROM είναι συνδυαστικό ή ακολουθιακό κύκλωμα; 2. α) Να σχεδιαστεί μία μνήμη ROM που να δίνει στις εξόδους της το πλήθος των ημερών του μήνα, ο αριθμός του

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα)

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Πείραμα: διαδικασία που παράγει πεπερασμένο σύνολο αποτελεσμάτων Πληθικός αριθμός συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. (2 μονάδες) Δίνονται τα σημεία (-2, -16), (-1, -3), (0, 0), (1, -1) και (2, 0). Υπολογίστε το πολυώνυμο παρεμβολής Newton.

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. (2 μονάδες) Δίνονται τα σημεία (-2, -16), (-1, -3), (0, 0), (1, -1) και (2, 0). Υπολογίστε το πολυώνυμο παρεμβολής Newton. ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ - Τ. Ε. Ι. Σ Ε Ρ Ρ Ω Ν Σέρρες, 9 Ιανουαρίου ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Ομάδα Α ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΘΕΜΑ ον (+ μονάδες) Δίνεται ο πρόβολος, με μήκος = m, με κατανεμημένο φορτίο που

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΜΑΤΑ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΜΑΤΑ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΜΑΤΑ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ Στόχος αυτού του Κεφαλαίου είναι η γνωριμία με τον τρόπο με τον οποίο εκτελούνται οι πράξεις στο εσωτερικό του Υπολογιστή. Όπως ήδη έχει αναφερθεί, η Κεντρική Μονάδα

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιτεκτονική Υπολογιστών II 16-2-2012. Ενδεικτικές απαντήσεις στα θέματα των εξετάσεων

Αρχιτεκτονική Υπολογιστών II 16-2-2012. Ενδεικτικές απαντήσεις στα θέματα των εξετάσεων Αρχιτεκτονική Υπολογιστών II 6 --0 Ενδεικτικές απαντήσεις στα θέματα των εξετάσεων Θέμα. Τι γνωρίζετε για την τοπικότητα των αναφορών και ποιών μονάδων του υπολογιστή ή τεχνικών η απόδοση εξαρτάται από

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη. ΗΜΥ-210: Λογικός Σχεδιασµός Εαρινό Εξάµηνο 2005. Στοιχειώδης Λογικές Συναρτήσεις

Περίληψη. ΗΜΥ-210: Λογικός Σχεδιασµός Εαρινό Εξάµηνο 2005. Στοιχειώδης Λογικές Συναρτήσεις ΗΜΥ 2: Λογικός Σχεδιασµός, Εαρινό Εξάµηνο 25 Μαρ-5 ΗΜΥ-2: Λογικός Σχεδιασµός Εαρινό Εξάµηνο 25 Κεφάλαιο 4 -i: Βασικές Συνδυαστικές Συναρτήσεις και Κυκλώµατα Περίληψη Συναρτήσεις και συναρτησιακές (λειτουργικές)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Φώτης Κουνάδης Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ ΕΚ ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2007 Σειρά:

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ (Ι) ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Μάθημα : Μικροϋπολογιστές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-21

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-21 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-21 ΜΙΚΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΙΣ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΡΓΑΣΙΙΩΝ & ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

1. Το σύστημα κινητής υποδιαστολής 2. Αναπαράσταση πραγματικών δυαδικών αριθμών 3. Το πρότυπο 754 της ΙΕΕΕ

1. Το σύστημα κινητής υποδιαστολής 2. Αναπαράσταση πραγματικών δυαδικών αριθμών 3. Το πρότυπο 754 της ΙΕΕΕ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ (ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ) Γ Τσιατούχας Παράρτηµα Β ιάρθρωση 1 Το σύστημα κινητής υποδιαστολής 2 Αναπαράσταση πραγματικών δυαδικών αριθμών 3 Το πρότυπο

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία Υπολογιστικών Συστηµάτων & Λειτουργικά Συστήµατα Κεφάλαιο 1

Τεχνολογία Υπολογιστικών Συστηµάτων & Λειτουργικά Συστήµατα Κεφάλαιο 1 Τεχνολογία Υπολογιστικών Συστηµάτων & Λειτουργικά Συστήµατα Κεφάλαιο 1 Κεφάλαιο 1 Κατηγορίες Υπολογιστικών Συστηµάτων Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να παρουσιάσει την εξέλιξη των υπολογιστικών συστηµάτων,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ)

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) 0. Εισαγωγή Τα αποτελέσµατα πεπερασµένης ακρίβειας οφείλονται στα λάθη που προέρχονται από την παράσταση των αριθµών µε µια πεπερασµένη ακρίβεια. Τα αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Το κύριο αντικείμενο της Συνδυαστικής Οι τεχνικές υπολογισμού του πλήθους των στοιχείων πεπερασμένων συνόλων ή υποσυνό-

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΙΔΗΜΟΣ Θ. ΒΕΡΓΟΣ ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στην ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΧΑΡΙΔΗΜΟΣ Θ. ΒΕΡΓΟΣ ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στην ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΧΑΡΙΔΗΜΟΣ Θ. ΒΕΡΓΟΣ ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στην ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ & ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2 ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ OR, NOR, XOR

ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2 ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ OR, NOR, XOR ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2 ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ OR, NOR, XOR Σκοπός: Να επαληθευτούν πειραµατικά οι πίνακες αληθείας των λογικών πυλών OR, NOR, XOR. Να δειχτεί ότι η πύλη NOR είναι οικουµενική.

Διαβάστε περισσότερα

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ»

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο «ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» ΜΠΙΘΗΜΗΤΡΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΣΤΕΛΛΑ Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:...

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/06/2015 ΤΑΞΗ: A Αριθμητικά... ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1. Τι καλείται ψευδοκώδικας; 2. Τι καλείται λογικό διάγραμμα; 3. Για ποιο λόγο είναι απαραίτητη η τυποποίηση του αλγόριθμου; 4. Ποιες είναι οι βασικές αλγοριθμικές δομές; 5. Να περιγράψετε τις

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 Συνεχή Κλάσματα Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 5 Νοεμβρίου 204 Ορισμός και ιδιότητες: Ορισμός: Έστω a 0, a, a 2,...a n ανεξάρτητες μεταβλητές, n N σχηματίζουν την ακολουθία {[a 0, a,..., a n ] : n N} όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 4ο Συνδυασμοί 2 2.3 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Έστω Χ= {x 1, x 2,..., x ν } ένα πεπερασμένο σύνολο με ν στοιχεία x 1, x 2,...,

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Θεωρητική εισαγωγή

1.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ NOT, AND, NAND Σκοπός: Να εξοικειωθούν οι φοιτητές µε τα ολοκληρωµένα κυκλώµατα της σειράς 7400 για τη σχεδίαση και υλοποίηση απλών λογικών συναρτήσεων.

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα 7 Ο Μετασχηματισμός Z Βασικές Ιδιότητες Καθηγητής Χριστόδουλος Χαμζάς Ο Μετασχηματισμός Ζ Γιατί χρειαζόμαστε τον Μετασχηματισμό Ζ; Ανάγει την επίλυση των αναδρομικών

Διαβάστε περισσότερα

7. Βασικά στοιχεία προγραµµατισµού.

7. Βασικά στοιχεία προγραµµατισµού. 7. Βασικά στοιχεία προγραµµατισµού. ΗΜ01-Θ1Γ Δίνονται οι παρακάτω έννοιες: 1. Λογικός τύπος δεδοµένων 2. Επιλύσιµο 3. Ακέραιος τύπος δεδοµένων 4. Περατότητα 5. Μεταβλητή 6. Ηµιδοµηµένο 7. Πραγµατικός τύπος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

και έντασης ρεύματος I 0 που περιστρέφονται με γωνιακή ταχύτητα ω. Το κύκλωμα περιλαμβάνει: α. μόνο ωμική αντίσταση β. μόνο ιδανικό πηνίο

και έντασης ρεύματος I 0 που περιστρέφονται με γωνιακή ταχύτητα ω. Το κύκλωμα περιλαμβάνει: α. μόνο ωμική αντίσταση β. μόνο ιδανικό πηνίο ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 1 ΙΟΥΝΙΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Για να εξασκηθώ 2.600 2.000 + 600 + 2.000 + 600 4.000 + 1.200 = 5.200. ... +... =... β) 4.100... +... +... +...

Για να εξασκηθώ 2.600 2.000 + 600 + 2.000 + 600 4.000 + 1.200 = 5.200. ... +... =... β) 4.100... +... +... +... 2 Διαχειρίζομαι αριθμούς ως το 10. 00 Για να εξασκηθώ 1. Βρίσκω το διπλάσιο των αριθμών όπως στο παράδειγμα. 2.600 2.000 + 600 + 2.000 + 600 4.000 + 1.200 = 5.200 α) 3.400... +... +... +...... +... =...

Διαβάστε περισσότερα