5. ΟΡΜΗ ΩΘΗΣΗ. Ορμή - ορισμός

Transcript

1 5. ΟΡΜΗ ΩΘΗΣΗ Στο παρόν κεφάλαιο θα μελετηθούν δυο πολύ σημαντικές ποσότητες της Φυσικής, η ορμή και η ώθηση. Η σημασία της πρώτης ποσότητας είναι ότι κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις διατηρείται σταθερή και από τον νόμο της διατήρησης μπορούμε να υπολογίσουμε τις ταχύτητες διαφόρων σωμάτων, συνήθως πριν ή μετά από κάποια κρούση. Η δεύτερη ποσότητα η ώθηση, έχει να κάνει με την χρονική διάρκεια μιας δύναμης και είναι χρήσιμη σε περιπτώσεις όπου θέλουμε να υπολογίσουμε διάφορες μεταβολές της ορμής. Επίσης σε αυτό το κεφάλαιο θα δώσουμε έναν εναλλακτικό αλλά πιο γενικό ορισμό του νόμου του Νεύτωνα ο οποίος ισχύει και σε περιπτώσεις μεταβαλλόμενης μάζας (ενώ η διατύπωση του νόμου στο προηγούμενο κεφάλαιο ισχύει μόνο για συστήματα σταθερής μάζας). Ορμή - ορισμός Μια χρήσιμη ποσότητα στη Φυσική είναι η "ορμή" η οποία ορίζεται ως το γινόμενο της μάζας ενός σώματος επί την ταχύτητά του. Η ορμή είναι πολύ χρήσιμη στις συγκρούσεις σωμάτων και μας επιτρέπει τον υπολογισμό διαφόρων κινητικών μεγεθών. Επίσης, όπως θα δούμε, μας επιτρέπει να γράψουμε τον 2 ο νόμο του Νεύτωνα σε πιο γενική μορφή ο οποίος ισχύει και στην περίπτωση μεταβαλλόμενης μάζας του κινητού. Η ορμή είναι ένα διανυσματικό μέγεθος και ορίζεται από την p = mv ΟΡΜΗ ΟΡΙΣΜΟΣ (5.1) Οι μονάδες της είναι τα kg m/s. Από τις ιδιότητες πολλαπλασιασμού αριθμού με διάνυσμα που μελετήσαμε σε προηγούμενο κεφάλαιο, κατανοούμε ότι η ορμή p έχει την ίδια φορά με την ταχύτητα v και μέτρο ίσο με p = mv. Επίσης βλέπουμε ότι οι συνιστώσες της p x και p y στις δυο διαστάσεις είναι οι εξής: p x = mv x p y = mv y ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΟΡΜΗΣ (5.2) Μερικές φορές μας ενδιαφέρει και η μεταβολή της ορμής μεταξύ δυο διαφορετικών στιγμών και η οποία ορίζεται ως Δp = p p 0 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΟΡΜΗΣ (5.3) όπου p είναι η τελική και p 0 η αρχική ορμή αντίστοιχα.

2 Παράδειγμα 5.1 Μια σημειακή μάζα m = 0.6 kg κινείται με ταχύτητα 5 m/s όταν ξαφνικά μια δύναμη ασκείται πάνω της κατά τη διεύθυνση της ταχύτητας για 2 δευτερόλεπτα και της προσδίδει επιτάχυνση 1.2 m/s 2. Να βρεθεί η μεταβολή της ορμής της μάζας πριν και μετά την δράση της δύναμης. Λύση: Το πρόβλημα είναι μονοδιάστατο οπότε δεν χρειάζεται να χρησιμοποιούμε διανύσματα. Από την Εξ. 5.1 η αρχική ορμή ισούται με p 0 = mv 0 = = 3 kg m/s Από τις εξισώσεις της ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης, βρίσκουμε για την τελική ταχύτητα και επομένως η τελική ορμή ισούται με v = v 0 + at = = 7.4 m/s p = mv = = 4.44 kg m/s Η μεταβολή της ορμής σύμφωνα με την Εξ. 5.3 ισούται με Δp = p p 0 = = 1.44 kg m/s Παράδειγμα 5.2 Μια μπάλα ποδοσφαίρου μάζας m = 0.1 kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα 10 m/s απειροστά πριν κτυπήσει το δοκάρι της εστίας. Να υπολογισθεί η μεταβολή της ορμής απειροστά πριν απειροστά μετά με την πρόσκρουση στο δοκάρι. Λύση: Σύμφωνα με την Εξ. 5.1, η αρχική ορμή ισούται με p 0 = mv 0 = = 1 kg m/s Όταν η μπάλα αναπηδάει στο δοκάρι, επειδή είναι πολύ ελαστική, το μέτρο της ταχύτητάς της δεν μεταβάλλεται σημαντικά, απλά αντιστρέφεται η κατεύθυνση της. Επομένως η τελική ταχύτητα ισούται προσεγγιστικά με v = 10 m/s και η τελική ορμή είναι ίση με p = mv = = 1 kg m/s Η μεταβολή της ορμής σύμφωνα με την Εξ. 5.3 ισούται με Δp = p p 0 = 1 1 = 2 kg m/s Παράδειγμα 5.3

3 Μια μπάλα του τένις μάζας 0.02 kg προσπίπτει στο έδαφος με ταχύτητα 25 m/s και γωνία 40 0 ως προς αυτό. Να υπολογισθεί η μεταβολή της ορμής αμέσως πριν αμέσως μετά την αναπήδηση από το έδαφος v 0x v 0 v v 0y v 0 v v y 40 0 v x Λύση: Όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα, η μπάλα αναπηδάει με την ίδια γωνία με την οποία προσπίπτει, όπως γνωρίζουμε και από την καθημερινή μας εμπειρία. Αναλύουμε την αρχική ταχύτητα v 0 = 25 m/s σε συνιστώσες v 0x = v 0 cos40 0 = 19.1 m/s v 0y = v 0 sin40 0 = 16.1 m/s Οι αντίστοιχες συνιστώσες της ορμής σύμφωνα με την Εξ. 5.2 είναι οι p 0x = mv 0x = = kg m/s p 0y = mv 0y = = kg m/s Η y-συνιστώσα είναι αρνητική επειδή η μπάλα κινείται προς τα κάτω. Μετά την αναπήδηση όμως, η μπάλα κινείται προς τα πάνω και επομένως αυτή η συνιστώσα αναγκαστικά αλλάζει πρόσημο. Για να παραμένει ίδια η γωνία πρέπει οι συνιστώσες να μην αλλάζουν κατά μέτρο. Επομένως Οι αντίστοιχες συνιστώσες της ορμής είναι οι v x = v 0 cos40 0 = 19.1 m/s v y = v 0 sin40 0 = 16.1 m/s p x = mv x = = kg m/s p y = mv y = = kg m/s Μπορούμε να βρούμε την μεταβολή της ορμής είτε από τις συνιστώσες είτε γραφικά. Από τις συνιστώσες έχουμε Δp x = p x p 0x = 0 Δηλαδή η x-συνιστώσα δεν μεταβάλλεται. Αντιθέτως για την y-συνιστώσα έχουμε

4 Δp y = p y p 0y = ( 0.322) = 6.44 kg m/s Επομένως η μεταβολή τη ορμής είναι κατακόρυφη. Αυτό μπορούμε να το δούμε και γραφικά. Θυμηθείτε από την αφαίρεση διανυσμάτων ότι μπορούμε να γράψουμε Δp = p p 0 = p + ( p 0 ) οπότε προσθέτουμε το αντίθετο της αρχικής ορμής στην τελική ορμή. Όπως είδαμε στο κεφάλαιο με τα διανύσματα, για να προσθέσουμε δυο διανύσματα, φέρνουμε το πέρας του ενός στην αρχή τον άλλου. Τότε το άθροισμά τους βρίσκεται εάν ενώσουμε τα δυο ελεύθερα άκρα. p p 0 Δp Βλέπουμε ότι και με αυτή τη μέθοδο, το Δp είναι κατακόρυφο. Όπως θα δούμε στο επόμενο εδάφιο, αυτό δεν είναι τυχαίο αλλά η διαφορά της ορμής είναι ανάλογη της δύναμης που δέχεται μια μάζα. Σε αυτή τη περίπτωση η δύναμη είναι η κατακόρυφη αντίδραση από το έδαφος για αυτό και το Δp είναι κατακόρυφο. Θεώρημα Ώθησης Ορμής Έστω ότι μια δύναμη F δρα σε μια μάζα m και της προσδίδει επιτάχυνση a = dv /dt. Από τον 2 ο νόμο του Νεύτωνα μπορούμε να καταλήξουμε στο εξής αποτέλεσμα F = ma => F = m dv dt => F dt = mdv Ολοκληρώνοντας από τη χρονική στιγμή t 1 έως την t 2 και από ταχύτητα v 1 έως και v 2 έχουμε t 2 v 2 F dt = d(mv ) t 1 Η ποσότητα μέσα στο 2 ο ολοκλήρωμα είναι ένα τέλειο διαφορικό, το διαφορικό της ορμής p = mv, οπότε ολοκληρώνεται εύκολα. Το 1 Ο ολοκλήρωμα ονομάζεται "ώθηση", είναι διανυσματικό μέγεθος και έχει μονάδες N s. v 1 t 2 Ω = F dt ΩΘΗΣΗ (5.4) t 1

5 Επομένως έχουμε το εξής θεώρημα ώθησης - ορμής Ω = p 2 p 1 ΘΕΩΡΗΜΑ ΩΘΗΣΗΣ- ΟΡΜΗΣ (5.5) Η ποσότητα p 2 p 1 είναι στην ουσία η τελική μείον την αρχική ορμή δηλαδή το Δp που είδαμε στο προηγούμενο εδάφιο. Παράδειγμα 5.4 Ένας αθλητής άλματος εις ύψος με μάζα 75 kg προσγειώνεται μετά το άλμα του με ταχύτητα 8 m/s σε στρώμα και έρχεται σε πλήρη ακινησία μετά από 3 s. (α) Να υπολογισθεί η δύναμη που δέχεται από το στρώμα εάν αυτή θεωρηθεί σταθερή και (β) Να γίνει το ίδιο εάν ο άλτης προσέπιπτε σε τσιμεντένιο επίπεδο με πολύ μικρότερο χρόνο επιβράδυνσης 0.25 s. Λύση: (α) Από το θεώρημα ώθησης ορμής Εξ. 5.5 στη μια διάσταση (την κατακόρυφη) έχουμε: t 2 Fdt = p 2 p 1 t 1 Αφού η δύναμη είναι σταθερή, βγαίνει εκτός ολοκληρώματος. Επίσης η τελική ορμή είναι μηδέν αφού ο αθλητής έρχεται σε ακινησία. Έτσι: t 2 F dt t 1 = 0 p 1 => FΔt = mv => F = mv Δt (β) Ο υπολογισμός είναι ο ίδιος, μόνο ο χρόνος αλλάζει F = mv Δt = 75 ( 8) 0.25 = 75 ( 8) 3 = 2400 N = 200 N Αυτή είναι μια μεγάλη δύναμη για το ανθρώπινο σώμα, ειδικά εάν λάβει κανείς υπόψιν του ότι ένα οστό μπορεί να σπάσει με δυνάμεις της τάξεως των 3000 Ν και επομένως γίνεται κατανοητό γιατί χρησιμοποιούνται μαλακά στρώματα σε τέτοιες περιπτώσεις και όχι σκληρά υλικά. Ο 2 ος Νόμος του Νεύτωνα ως μεταβολή της Ορμής Εάν στην Εξ. 4.1 που περιγράφει τον 2 ο νόμο του Νεύτωνα F = ma γράψουμε την επιτάχυνση ως a = dv /dt, τότε οδηγούμαστε στο αποτέλεσμα

6 F = m dv dt = d(mv ) dt όπου η μάζα m εισήλθε μέσα στην παραγώγιση επειδή είναι σταθερή. Ο όρος μέσα στην παρένθεση είναι η ορμή οπότε καταλήγουμε σε μια εναλλακτική μορφή του νόμου του Νεύτωνα: F = dp dt 2 ος ΝΟΜΟΣ του ΝΕΥΤΩΝΑ (5.6) Δηλαδή με λόγια μπορούμε να πούμε ότι: Η δύναμη ισούται με την χρονική μεταβολή της ορμής Εάν υπάρχουν περισσότερες της μιας δύναμης τότε ως F θεωρείται η συνισταμένη δύναμη. Παρόλο που αποδείξαμε αυτή τη σχέση για σταθερή μάζα, έχει γενικότερη ισχύ ακόμα και για συστήματα μεταβαλλόμενης μάζας όπως π.χ. ένα βλήμα που εκρήγνυται σε πολλαπλά κομμάτια ή στην περίπτωση ενός πυραύλου που χάνει συνεχώς καύσιμη μάζα. Θα μπορούσαμε να πούμε ότι η σταθερής μάζας F = ma είναι ειδική περίπτωση της Εξ. 5.6 για σώματα Παράδειγμα 5.5 Πύραυλος μάζας Μ 0 κινείται στο διάστημα με σταθερή αρχική ταχύτητα v 0 χωρίς ενεργοποιημένο τον μηχανισμό προώθησης. Ξαφνικά στο t = 0 ενεργοποιείται ο μηχανισμός ο οποίος καίει υδρογόνο με ρυθμό κ χιλιόγραμμα ανά δευτερόλεπτο (θετικός αριθμός) τα μόρια του οποίου εκτοξεύονται λόγω της υψηλής θερμοκρασίας τους στο διάστημα με μεγάλη ταχύτητα V σχετικά με τον πύραυλο. Να βρεθεί η ταχύτητα του πυραύλου σε κάθε χρονική στιγμή t > 0 ενόσω υπάρχει ακόμα διαθέσιμο καύσιμο στον πύραυλο. M V dm M dm v v + dv Λύση: Έστω ότι την χρονική στιγμή t ο πύραυλος έχει συνολική μάζα M (καύσιμο + σώμα πυραύλου) και ταχύτητα v. Την επόμενη χρονική στιγμή t + dt ο πύραυλος χάνει μάζα dm

7 και έτσι η μάζα του γίνεται M dm. Θα υποθέσουμε ότι η ταχύτητά του αλλάζει σε v + dv. Εάν η υπόθεσή μας είναι λάθος, εάν δηλαδή η ταχύτητα του πυραύλου είναι σταθερή, τότε θα καταλήξουμε σε dv = 0. Χάριν απλότητας θα θεωρήσουμε ότι ο πύραυλος κινείται προς τα δεξιά οπότε η ταχύτητά του v είναι θετική και έτσι εάν το dv βρεθεί θετικό, τότε ο πύραυλος θα επιταχύνεται και αντιστρόφως εάν το dv βρεθεί αρνητικό. Η ορμή του πυραύλου χρονική στιγμή t ισούται με: p 1 = Μv Η ολική ορμή του πυραύλου χρονική στιγμή t + dt περιλαμβάνει δυο όρους: Τη ποσότητα του αερίου μάζας dm που εξέρχεται και τον πύραυλο μαζί με το παραμένον καύσιμο με συνολική μάζα M dm. Η μάζα dm κινείται με σχετική ταχύτητα V προς τα πίσω ως προς τον πύραυλο αλλά επειδή ο πύραυλος κινείται με ταχύτητα v προς μπρος, η απόλυτη ταχύτητα της dm ισούται με v V. Όπως προαναφέρθηκε, η ταχύτητα του πυραύλου είναι ίση με v + dv οπότε η ολική ορμή ισούται με : p 2 = (M dm)(v + dv) + (v V)dM Όταν απαλειφθούν οι παρενθέσεις, εμφανίζονται πολλοί όροι, ένας από τους οποίους είναι και ο dvdm. Αυτό είναι το λεγόμενο διαφορικό 2 ης τάξης το οποίο είναι εξαιρετικά μικρό νούμερο ως γινόμενο δυο διαφορικών και έτσι το αγνοούμε (όταν πολλαπλασιάσουμε δυο μικρούς αριθμούς όπως π.χ. στο γινόμενο , το αποτέλεσμα είναι ακόμα μικρότερο, εδώ ). Έτσι παραλείποντας τον όρο dvdm, το ανάπτυγμα των υπόλοιπων όρων στην παραπάνω διαφορά dp = p 2 p 1 οδηγεί στο αποτέλεσμα: Από την Εξ. 5.6 έχουμε dp = vdm + Μdv + vdm VdM = Μdv VdM F = dp dv dm = Μ V dt dt dt Εφόσον δεν υπάρχουν εξωτερικές δυνάμεις στο διάστημα, τότε αναγκαστικά F = 0 και η παραπάνω εξίσωση γίνεται Μ dv dm = V dt dt (εάν π.χ. ο πύραυλος κινείται σε βαρυτικό πεδίο κατακόρυφα, η δύναμη F θα ήταν το βάρος του πυραύλου). Ο πρώτος όρος στην παραπάνω έκφραση είναι παρόμοιος με τον αντίστοιχο όρο μάζα επιτάχυνση στην κλασσική έκφραση του νόμου του Νεύτωνα και επομένως αντιπροσωπεύει κάποιου είδος "δύναμης" η οποία στην ουσία είναι η δύναμη προωθήσεως του πυραύλου. Ο όρος dm/dt είναι ο ρυθμός κ που χάνει ο πύραυλος μάζα. Αφού το κ είναι σταθερό τότε μπορούμε να γράψουμε για τη μάζα του πυραύλου ότι M = M 0 κt και επομένως ή (M 0 κt ) dv dt = Vκ

8 dv dt = Vκ M 0 κt = V τ t όπου η σταθερά τ = Μ 0 /κ έχει διαστάσεις χρόνου. Το διαφορικό μιας σταθεράς είναι μηδέν και έτσι μπορούμε να γράψουμε d(τ t) = dt. Η παραπάνω σχέση τότε γράφεται και μπορεί να ολοκληρωθεί πολύ εύκολα οδηγώντας στην dv = V d(τ t) τ t v dv v 0 t d(τ t) = V τ t v = v 0 Vln(1 t/τ) H αντίστοιχη επιτάχυνση a = dv/dt ισούται με a = 0 V τ t Η γραφική παράσταση της ταχύτητας φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Παρόλο που η δύναμη προωθήσεως είναι σταθερή, η κλίση της v(t), δηλαδή η επιτάχυνση, αυξάνει ελαφρά επειδή ο πύραυλος χάνει μάζα. v v 0 t Διατήρηση της Ορμής Από την Εξ. 5.6 βλέπουμε ότι όταν δεν ασκείται κάποια δύναμη σε ένα σώμα, τότε η ορμή του παραμένει σταθερή, δηλαδή p = σταθερό. Εάν η μάζα του σώματος είναι σταθερή, τότε η παραπάνω συνθήκη οδηγεί στο v = σταθερό. Αυτό βέβαια για ένα σώμα δεν είναι τίποτε

9 άλλο παρά ο 1 ος νόμος του Νεύτωνα ο οποίος μας λέει ότι απουσία δυνάμεων, ένα σώμα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. Μπορεί αυτή η ιδέα να γενικευτεί στην περίπτωση ενός συστήματος δυο ή περισσοτέρων σωμάτων; Θεωρήστε το παρακάτω Σχήμα 5.1. όπου δυο σημειακές μάζες m 1 και m 2 αλληλοεπιδρούν μεταξύ τους ως εξής: f 12 είναι η δύναμη που δρα στην μάζα 1 εξαιτίας της μάζας 2 f 21 είναι η δύναμη που δρα στην μάζα 2 εξαιτίας της μάζας 1 Αυτές οι δυνάμεις μπορεί να είναι π.χ. δυνάμεις επαφής κατά τη διάρκεια μιας σύγκρουσης ή θα μπορούσαν να είναι και ηλεκτρικές δυνάμεις εάν οι δυο μάζες ήταν φορτισμένες κτλ. και ονομάζονται "εσωτερικές δυνάμεις" του συστήματος των δυο μαζών. m 1 f 12 f 21 F 2 F 1 m 2 Σχήμα 5.1. Εσωτερικές και εξωτερικές δυνάμεις σε ένα σύστημα δυο μαζών. Επιπλέον στο σχήμα φαίνονται και κάποιες "εξωτερικές δυνάμεις" που δρουν στα δυο σώματα από κάποιο άλλο σώμα, ξένο με το σύστημα των δυο μαζών. Η F 1 δρα στην μάζα m 1 και η F 2 δρα στη μάζα m 2. Αυτές οι δυνάμεις θα μπορούσαν να είναι π.χ. δυνάμεις βαρύτητας, τάση κάποιου νήματος, δυνάμεις τριβής ή κάθετης αντίδρασης από κάποια επιφάνεια κ.τ.λ. Ο 2 ος νόμος του Νεύτωνα, Εξ. 5.6 για τη κάθε μάζα ξεχωριστά δίνει: F 1 + f 12 = dp 1 dt F 2 + f 21 = dp 2 dt Οι δυνάμεις f 12 και f 21 έχουν την μορφή δράσης-αντίδρασης και από τον 3 ο νόμο του Νεύτωνα γνωρίζουμε ότι είναι ίσες και αντίθετες. Επομένως εάν προσθέσουμε τις δυο παραπάνω εξισώσεις, αυτές οι δυο δυνάμεις αλληλοαναιρούνται και έτσι έχουμε: F 1 + F 2 = dp 1 dt + dp 2 dt Εάν ορίσουμε την συνολική ορμή του συστήματος των μαζών ως Σp = p 1 + p 2 και την συνισταμένη όλων των εξωτερικών δυνάμεων που δρουν στο σύστημα ως ΣF = F 1 + F 2, τότε έχουμε

10 ΣF = d(σp ) dt Η παραπάνω εξίσωση μπορεί να γενικευτεί για ένα σύστημα με οποιοδήποτε αριθμό σωμάτων που αλληλοεπιδρούν μεταξύ τους και στο οποίο σύστημα δρα ένα σύνολο εξωτερικών δυνάμεων με συνισταμένη ΣF ΕΞ. Σε αυτή την περίπτωση ΣF ΕΞ = d(σp ) dt ΕΞΩΤ. ΔΥΝΑΜΕΙΣ - ΟΡΜΗ (5.7) όπου η ποσότητα Σp είναι η συνολική ορμή του συστήματος και δίνεται από την: Σp = p 1 + p p N ΟΛΙΚΗ ΟΡΜΗ (5.8) Η Εξ. 5.7 μας θυμίζει την Εξ. 5.6 που ισχύει για ένα μοναδικό σώμα για ένα σώμα με την μόνη διαφορά ότι εδώ μιλάμε για ολικά μεγέθη και λαμβάνουμε υπόψη μόνο εξωτερικές δυνάμεις, ακόμα και εάν οι εσωτερικές δυνάμεις είναι τεράστιες όπως στην περίπτωση μιας έκρηξης. Όταν εξετάζουμε το σύνολο των θραυσμάτων, οι δυνάμεις της έκρηξης είναι εσωτερικές δυνάμεις. Από την Εξ. 5.7 είναι προφανές ότι εάν δεν υπάρχουν εξωτερικές δυνάμεις στο σύστημα, τότε d(σp )/dt = 0 που σημαίνει ότι Σp : σταθερό. Αυτός ο νόμος είναι γνωστός ως "η διατήρηση της ορμής" και εκφράζεται με λόγια ως εξής: Απουσία εξωτερικών δυνάμεων, η συνολική ορμή ενός συστήματος μαζών διατηρείται. Συνήθως η διατήρηση της ορμής εφαρμόζεται σε δυο σώματα που αλληλεπιδρούν μεταξύ τους, όπως στο παρακάτω Σχήμα 5.2 και έτσι οι δυνάμεις είναι μόνο εσωτερικές, θεωρώντας ότι δεν υπάρχουν εξωτερικές τριβές ή άλλες εξωτερικές δυνάμεις. Σε αυτή τη περίπτωση ο νόμος γράφεται ως Σp πριν = Σp μετά ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ (5.9) ΠΡΙΝ ΕΠΑΦΗ ΜΕΤΑ v u 1 2 u v 2 Σχήμα 5.2. Ταχύτητες δυο σωμάτων πριν και μετά τη σύγκρουση.

11 όπου Σp πριν και Σp μετά είναι η συνολική ορμή των δυο σωμάτων πριν και μετά την αλληλεπίδραση (π.χ. επαφή) αντιστοίχως. Σε αυτό το κεφάλαιο θα χρησιμοποιήσουμε τον εξής συμβολισμό - ονοματολογία: u 1 : ταχύτητα του σώματος 1 πριν τη σύγκρουση u 2 : ταχύτητα του σώματος 2 πριν τη σύγκρουση v 1 : ταχύτητα του σώματος 1 μετά τη σύγκρουση v 2 : ταχύτητα του σώματος 2 μετά τη σύγκρουση Με τη χρήση του παραπάνω συμβολισμού, η Εξ. 5.9 γράφεται και ως: m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ (5.10) Υπάρχει μια ειδική περίπτωση όπου ακόμα και όταν δρα μια εξωτερική δύναμη σε ένα σύστημα, μπορούμε και πάλι προσεγγιστικά να χρησιμοποιήσουμε την διατήρηση της ορμής Εξ Αυτό γίνεται όταν εξετάζουμε δυο χρονικές στιγμές απειροστά κοντά. Θεωρήστε την Εξ. 5.7 η οποία μπορεί να γραφτεί ως d(σp ) = ΣF ΕΞ dt Ακόμα και εάν οι εξωτερικές δυνάμεις ΣF ΕΞ που δρουν σε ένα σώμα ή σε ένα σύστημα σωμάτων είναι πολύ ισχυρές, επειδή dt 0 τότε αναγκαστικά και d(σp ) 0 οπότε η μεταβολή της ορμής είναι ανεπαίσθητη. Πάρτε για παράδειγμα μια πέτρα μάζας m που πετιέται κατακόρυφα προς τα πάνω. Ως γνωστόν η ταχύτητά της v μειώνεται συνεχώς λόγω της δράσης της εξωτερικής δύναμης που δεν είναι άλλη από τη βαρύτητα και επομένως και η ορμής της mv μειώνεται συνεχώς. Έτσι δεν έχει νόημα να μιλάμε για την διατήρηση της ορμής. Εάν όμως η ταχύτητά της πέτρας κατά τη χρονική στιγμή t = 1 s είναι για παράδειγμα ίση με 0.6 m/s, δεν περιμένουμε πρακτικώς να έχει αλλάξει δραματικά κατά μια αμέσως επόμενη κοντινή χρονική στιγμή t = s και έτσι μπορούμε με πολύ μεγάλη ακρίβεια να πάρουμε την διατήρηση της ορμής κατά τις δυο αυτές κοντινές χρονικές στιγμές. Εάν π.χ. αντί για πέτρα είχαμε ένα ιπτάμενο πυροτέχνημα το οποίο τη χρονική στιγμή t 1 εκρήγνυται και διαχωρίζεται στα φλεγόμενα φωτεινά θραύσματά του, μπορούμε να πάρουμε τη διατήρηση της ορμής κατά τις χρονικές στιγμές t 1 + και t 1 για να υπολογίσουμε διάφορες ποσότητες του συστήματος όπως π.χ. την ταχύτητα ενός θραύσματος. Παράδειγμα 5.6 Ένα κορίτσι 20 kg και ένα αγόρι αγνώστου μάζας κάνουν πατινάζ και αρχικά στέκονται αντικριστά. Ωθούν ο ένας τον άλλον όσο πιο δυνατά μπορούν, και το αγόρι κινείται προς τα αριστερά με ταχύτητα 2 m/s, ενώ η κοπέλα κινείται προς τα δεξιά με ταχύτητα 3 m/s. Πόση είναι η μάζα του αγοριού; Λύση:

12 Στο σύστημα αγοριού-κοριτσιού η μεταξύ τους ώθηση είναι εσωτερική δύναμη και επομένως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη διατήρηση της ορμής. Όλες οι ταχύτητες είναι οριζόντιες και επομένως δεν χρειάζεται να χρησιμοποιήσουμε διανύσματα αλλά πρέπει να προσέξουμε με τα πρόσημα. Θα λάβουμε ως κινητό Νο. 1 το κορίτσι και κινητό Νο. 2 το αγόρι και έτσι m 1 = 20 kg ενώ ο άγνωστος είναι το m 2. Οι ταχύτητες θεωρούνται θετικές όταν η φορά τους είναι προς τα δεξιά και αρνητικές στην αντίθετη περίπτωση. Από τα δεδομένα έχουμε u 1 = u 2 = 0 (πριν και οι δυο είναι ακίνητοι), v 1 = 3 m/s (το κορίτσι κινείται προς τα δεξιά μετά την επαφή), ενώ v 2 = 2 m/s (το αγόρι κινείται προς τα αριστερά μετά την επαφή). Από την Εξ έχουμε στη μια διάσταση: Παράδειγμα 5.7 m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 u 1 + m 2 u m 2 ( 2) = 0 m 2 = 30 kg Ένα παιδί 30 kg κάνει πατινάζ και αρχικά είναι ακίνητο. Ο πατέρας του από έξω του πετάει μια μπάλα 0.8 kg με ταχύτητα 15 m/s. Τι ταχύτητα θα έχει το παιδί όταν θα πιάσει την μπάλα; Λύση: Από τα δεδομένα έχουμε: m 1 = 30 kg, m 2 = 0.8 kg, u 1 = 0 (αρχικά το παιδί είναι ακίνητο), u 2 = 15 m/s (θεωρούμε αυθαίρετα ότι η μπάλα ταξιδεύει προς τα δεξιά). Αφού το παιδί πιάσει τη μπάλα, και οι δύο κινούνται με την ίδια ταχύτητα και έτσι μπορούμε να γράψουμε v 1 = v 2 = v (δίνουμε μια κοινή μεταβλητή v στης δυο ταχύτητες). Από τη διατήρηση της ορμής Εξ. 5.10: m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 u 1 + m 2 u 2 30v + 0.8v = v = 0.39 m/s Προσέξτε ότι η Εξ είναι διανυσματική που σημαίνει ότι ισχύει ξεχωριστά για την κάθε της συνιστώσα, π.χ. στην x και y εάν δουλεύουμε στις 2 διαστάσεις όπως στο παρακάτω παράδειγμα. Επίσης υπάρχει περίπτωση να ισχύει μόνο σε μια από τις δυο διαστάσεις, π.χ. εάν το σύνολο των δυνάμεων είναι μηδέν κατά την διεύθυνση x αλλά όχι κατά y, τότε διατηρείται μόνο η x-συνιστώσα της ορμής. Παράδειγμα 5.8 Δυο μικρές μπάλες κυλούνε σε λείο έδαφος χωρίς τριβές και συναντιούνται κάθετα όπως στο παρακάτω σχήμα. Δίνονται m 1 = 0.2 kg, m 2 = 0.3 kg, u 1 = 2.5 m/s και u 2 = 1.5 m/s πριν

13 τη σύγκρουση. Εάν η m 1 αναδύεται με ταχύτητα v 1 = 2.2 m/s και γωνία 30 0 ως προς τον άξονα x, να βρεθεί η ταχύτητα της m 2 μετά τη σύγκρουση. y m 2 u 2 m 1 u 1 Σύγκρουση x Λύση: Αφού η m 1 αναδύεται με αρνητική γωνία ως προς τον άξονα x, τότε κατευθύνεται προς τα κάτω όπως στο παρακάτω σχήμα. Έστω ότι η m 2 αναδύεται με γωνία θ ως προς τον άξονα x και με ταχύτητα v 2. Από την πρακτική εμπειρία περιμένουμε και η θ να είναι αρνητική αλλά θα εργαστούμε σαν να μην το γνωριζουμε αυτό και θα δούμε το νούμερο στο τέλος. y m 2 v Σύγκρουση v 1 θ m 1 x Επειδή το πρόβλημα είναι στις δυο διαστάσεις, αναλύουμε την Εξ σε δυο συνιστώσες: m 1 u 1x + m 2 u 2x = m 1 v 1x + m 2 v 2x m 1 u 1y + m 2 u 2y = m 1 v 1y + m 2 v 2y Πριν τη σύγκρουση η u 1 είναι οριζόντια οπότε u 1y = 0 και u 1x = 2.5 m/s. Αντιθέτως η u 2 είναι κατακόρυφη οπότε u 2x = 0 και u 2y = 1.5 m/s (το μείον είναι επειδή η m 2 κατευθύνεται προς τα κάτω). Μετά τη σύγκρουση, οι συνιστώσες της v 1 ισούνται με: v 1x = v 1 cos( 30 0 ) = 2.2 cos( 30 0 ) = 1.90 m/s v 1y = v 1 sin( 30 0 ) = 2.2 sin( 30 0 ) = 1.10 m/s

14 Ομοίως οι συνιστώσες της v 2 ισούνται με: v 2x = v 2 cos θ v 2y = v 2 sin θ Αντικαθιστώντας στις εξισώσεις της διατήρησης της ορμής παραπάνω, οδηγεί στο = v 2 cos θ => v 2 cos θ = = 0.2 ( 1.1) v 2 sinθ => v 2 sinθ = Διαιρώντας κατά μέλη, το v 2 απλοποιείται και έχουμε tanθ = => θ = Όντως η θ είναι αρνητική όπως αναμένεται και άρα και η m 2 κατευθύνεται προς τα κάτω. Αντικαθιστώντας αυτό το αποτέλεσμα στην πρώτη εξίσωση που περιγράφει τις συνιστώσες της v 2, οδηγεί στο αποτέλεσμα v 2 cos( ) = 0.40 => v 2 = 0.86 m/s Προβλήματα Θεώρημα Ώθησης Ορμής 5.1 Ένας ποδοσφαιριστής κλωτσάει μια ακίνητη μπάλα ποδοσφαίρου μάζας 0.2 kg προσδίδοντάς της ταχύτητα 30 m/s. Πόση είναι η ώθηση της δύναμης του ποδιού του σε αυτό το χτύπημα; 5.2 Σε μια δοκιμή σύγκρουσης ενός βαγονιού τραίνου μάζας m με ένα ελαστικό προστατευτικό τοιχίο από κάποιο ειδικό σύνθετο υλικό, οι σχεδιαστές μηχανικοί κατέγραψαν την δύναμη F(t) (κατά μέτρο) που δέχεται το βαγόνι όταν κινείται με μια συγκεκριμένη χαμηλή και σταθερή ταχύτητα v 0 προς τα δεξιά, συναρτήσει του χρόνου t. Συγκεκριμένα βρήκαν ότι η δύναμη αυτή είναι μηδέν, όπως αναμένεται, πριν την επαφή με το τοιχίο, αυξάνει μέχρι μιας μέγιστης τιμής F 0 και ξαναπέφτει στην τιμή μηδέν όταν σταματάει το βαγόνι. Η διάρκεια όλης της επαφής είναι ίση με 2t 0. Επειδή η συνάρτηση αυτή F(t) είναι συμμετρική ως προς το μέγιστο, όρισαν αυθαίρετα ως t = 0 το χρόνο στο μέγιστο και έτσι προκύπτει η πρώτη επαφή στο t = t 0 και το σταμάτημα του βαγονιού στο t = t 0. (α) Εάν γνωρίζετε ότι η F(t) είναι μια τετραγωνική συνάρτηση του χρόνου, σχεδιάστε τη γραφική της παράσταση και βρείτε τη μαθηματική εξίσωση του περιγράφει αυτή τη δύναμη από t = t 0 έως το t = t 0 (β) οι μηχανικοί θέλουν να χρησιμοποιήσουν τα δεδομένα τους για να υπολογίζουν το v 0 και για το σκοπό αυτό βρείτε μια έκφραση του v 0 συναρτήσει του t 0, F 0 και m

15 (γ) Αποδείξτε το θεώρημα ώθησης-ορμής για το συγκεκριμένο παράδειγμα, δηλαδή υπολογίστε την ώθηση από τον ορισμό της και δείξτε ότι είναι ίση με την μεταβολή της ορμής του βαγονιού. Απάντηση: (γ) Δp = 4F 0 t 0 /3 5.3 Όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα το οποίο απεικονίζει την κάτοψη ενός τραπεζιού μπιλιάρδου, μια μπάλα μάζας 0.2 kg που κινείται με ταχύτητα 10 m/s προσπίπτει στη δεξιά πλευρά τραπεζιού, ανακλάται και ακολούθως προσπίπτει στην πάνω πλευρά του και ανακλάται ξανά. Να βρεθεί η ώθηση που ασκεί το τραπέζι στην μπάλα κατά τις δυο ανακλάσεις, εάν σε κάθε ανάκλαση γνωρίζουμε ότι (α) η γωνία πρόσπτωσης ισούται με τη γωνία ανάκλασης και (β) σε κάθε ανάκλαση η ταχύτητα μειώνεται κατά 20% Μια μπάλα του τένις μάζας 0.1 kg η οποία προσπίπτει σε μια ρακέτα με ταχύτητα μέτρου v 1 = 45 m/s και γωνίας θ 1 = (ως προς τον άξονα-x), δέχεται μια στιγμιαία δύναμη F από αυτήν ώστε μετά την επαφή να ταξιδεύει με ταχύτητα μέτρου v 2 = 70 m/s και γωνίας θ 2 = θ Να βρεθεί η γωνία θ της δύναμης F (ως προς τον άξονα-x). Απάντηση: Σώμα το οποίο έχει αρχική ορμή μέτρου p = 45 kg m/s και ταξιδεύει με ταχύτητα η οποία σχηματίζει γωνία 20 0 ως προς τον άξονα-x, εκτρέπεται από την πορεία του λόγω μιας δύναμης που ασκείται επάνω του στο χρονικό διάστημα από t = 0 s έως και 2 s και η οποία έχει συνιστώσες F x = bt 2 + ct και F y = ctsin(bt/c) όπου b = 6 N/s 2 και c = 10 N/s. Να βρεθεί η x-συνιστώσα της τελικής ορμής σε μονάδες S.I. στο πέρας των 2 δευτερολέπτων. Απάντηση: 78.3 kg m/s

16 Διατήρηση της Ορμής 5.6 Ένα άτομο 75 kg που στέκεται σε μια πλατφόρμα πάγου χωρίς τριβή ρίχνει μια μπάλα προς τα εμπρός με ταχύτητα 11 m/s. Εάν μετά τη ρίψη κινείται προς τα πίσω με ταχύτητα 30 cm/s, ποια είναι η μάζα της μπάλας; 5.7 Ένα αυτοκίνητο που κινείται με 9 m/s συντρίβεται επάνω σε άλλο αυτοκίνητο ίσης μάζας σταματημένο σε ένα φανάρι. Ποια είναι η ταχύτητα του συσσωματώματος μετά τη συντριβή, υποθέτοντας ότι τα δυο αυτοκίνητα προσκολλιούνται μεταξύ τους; 5.8 Σημειακή μάζα m 1 = 0.6 kg ταξιδεύει κατά μήκος του θετικού άξονα x με ταχύτητα u 1 και συγκρούεται με δεύτερη σημειακή και ακίνητη μάζα m 2 = 0.3 kg. Μετά την σύγκρουση, η m 1 κινείται προς τον αρνητικό άξονα y με ταχύτητα 4 m/s ενώ η ταχύτητα v 2 της m 2 σχηματίζει γωνία 41 0 με τον άξονα x. Να βρεθούν οι u 1 και v 2. Απάντηση: 12.2 m/s & 4.6 m/s 5.9 Ένα βλήμα μάζας 1.2 kg εκτοξεύεται από ένα σημείο Ο στο έδαφος με αρχική ταχύτητα 18 m/s και γωνία 65 0 ως προς το έδαφος. Σε χρόνο 0.5 s το βλήμα εκρήγνυνται και χωρίζεται οριζοντίως σε δυο μέρη (οι δυνάμεις της εκρήξεως έδρασαν οριζόντια) με αναλογία μάζας 2: 1 (δεν υπάρχουν άλλα θραύσματα) τα οποία οριζοντίως κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση όπως και το αρχικό βλήμα. Εάν η ταχύτητα του μεγάλου θραύσματος απειροστά μετά την έκρηξη σε χρόνο t = s είναι κατά μέτρο ίση με 12 m/s, να βρεθούν (α) Η ταχύτητα κατά μέτρο του άλλου θραύσματος στον ίδιο χρόνο και (β) η γωνία μεταξύ των δυο ταχυτήτων των δυο θραυσμάτων στον ίδιο χρόνο. Πάρτε g 10 m/s 2 για ευκολία. Απάντηση: (α) 18.6 m/s, (β) Ο 2ος Νόμος του Νεύτωνα ως μεταβολή της Ορμής 5.10 Πύραυλος μάζας Μ 0 τοποθετημένος κατακόρυφα στην επιφάνεια της γης, θέτει σε εφαρμογή τον μηχανισμό προώθησης στο t = 0 ο οποίος καίει υδρογόνο με ρυθμό κ χιλιόγραμμα ανά δευτερόλεπτο (θετικός αριθμός) τα μόρια του οποίου εξέρχονται λόγω της υψηλής θερμοκρασίας τους με μεγάλη ταχύτητα V σχετικά με τον πύραυλο. Να βρεθεί η ταχύτητα του πυραύλου σε κάθε χρονική στιγμή t > 0 ενόσω υπάρχει ακόμα διαθέσιμο καύσιμο στον πύραυλο. Μπορείτε να θεωρήσετε ότι η καύση διαρκεί για λίγα δευτερόλεπτα και έτσι να θεωρήσετε την επιτάχυνση της βαρύτητας g σταθερή.