PEDAGOŠKI FAKULTET ZENICA MATEMATIKA-INFORMATIKA IV GODINA SEMINARSKI RAD TEMA: DIFRAKCIJA I POLARIZACIJA
|
|
|
- Ολυμπιάς Ζωγράφου
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 PEDAGOŠKI FAKULTET ZENICA MATEMATIKA-INFORMATIKA IV GODINA SEMINARSKI RAD TEMA: DIFRAKCIJA I POLARIZACIJA Student: HODŽIĆ BELMA Profesor: v.as.mr. LEMEŠ SAMIR
2 SADRŽAJ: 1. UVOD SVJETLOST TALASNA OPTIKA POLARIZACIJA DIFRAKCIJA LITERATURA
3 1. UVOD Optika je dio fizike koji proučava svjetlosne pojave i prirodu svjetlosti. Vidljiva svjetlost je elektromagnetno zračenje koje opaža organ vida-oko, a obuhvata frekvencije zračenja između 3, Hz i 7, Hz. Optika izučava pojave vezane ne samo za vidljivi dio spektra zračenja, nego i one vezane za infracrveno ( ispod 3, Hz ) ultraljubičasto (ultravioletno) zračenje ( iznad 7, Hz ). Optika se prema načinu tretiranja optičkih pojava može podijeliti na dvije osnovne oblasti: geometrijsku i fizikalnu optiku. Geometrijska optika proučava optičke pojave na temelju osnovnih zakona koji su empirijski. Ne razmatra pitanja o prirodi svjetlosti, za razliku od fizikalne optike koja proučava prirodu svjetlosti i kroz to objašnjava probleme nerješive u geometrijskoj optici. U okviru ovih oblasti razvijene su: optika kristala, fiziološka optika, integralna optika, elektronska optika, kvantna optika i druge. 2. SVJETLOST Pitanja kao što su: šta je svjetlost, kako nastaje, kako se prostire kroz prostor, kako međudjeluje sa materijom i kako to vidimo, postavljana su još mnogo prije moderne nauke. Od 17. vijeka su se smjenjivale korpuskularna i talasna teorija o prirodi svetlosti u nastojanju da se objasne optičke pojave. Danas je u nauci prisutna dualistička teorija o prirodi svjetlosti koja objedinjuje talasnu i korpuskularnu teoriju. Ona je proizišla iz potrebe da se objasne sve do danas poznate optičke pojave, a moguće ih je objasniti samo uvažavajući i talasna i čestična svojstva. Pojave prostiranja svjetlosti, kao što su interferencija, difrakcija i polarizacija, mogu se objasniti samo talasnom teorijom, dok uzajamno djelovanje svjetlosti sa materijom u procesima emisije i apsorpcije samo kvantnom teorijom. Dualistička teorija, dakle, ne isključuje Maxwellovu teoriju po kojoj je svjetlost dio spektra elektromagnetnog zračenja. Kako to svjetlost objašnjava kvantna teorija? Iz izvora svjetlosti emituju se kvanti svjetlosti ili fotoni koji nastaju u atomu pri prelazu elektrona iz viših u niža energetska stanja. Energija tih fotona zavisi od frekvencije. Fotoni se kreću kroz prostor odvojeno i direktno prenose energiju. Pojave kao što su: fotoelektrični efekat, Comptonov efekat, fluorescencija, fosforescencija i neke druge, mogu se objasniti samo kvantnom teorijom. One su posljedica prenošenja energije i impulsa fotona svjetlosti na atome tvari s kojom međudjeluju.ove pojave su objašnjene u atomskoj fizici. 3
4 Da bi se u potpunosti shvatile optičke pojave, na objektivno shvatanje svjetlosti kao elektromagnetnog talasa ili toka fotona, treba dodati i subjektivan osjećaj u svjetlosti posmatrača kada fotoni svjetlosti padnu na mrežnjaču oka. 3. TALASNA OPTIKA Dok je osnovni pojam geometrijske optike zraka svjetlosti, fizikalna se optika zasniva na pojmu talasa svjetlosti. Sve do sada promatrane pojave mogu se izvesti iz tri osnovna zakona koja za geometrijsku optiku imaju karakter aksioma, a to su: 1. zakon pravolinijskog širenja svjetlosti, 2. zakon refleksije i 3. zakon loma. Ta tri zakona, a prema tome i sve pojave koje se pomoću njih mogu izvesti, mogu se protumačiti s dvije potpuno različite teorije. Prvu teoriju, tzv. korpuskularnu, postavio je Newton i glasi: Svjetlost se sastoji od sitnih korpuskula (čestica), tzv. fotona koje izlaze velikom brzinom iz izvora svjetlosti. Drugu teoriju, koja se zove talasna teorija, postavio je Huygens i glasi: Svjetlost je titranje koje se iz izvora svjetlosti širi u obliku talasa, a raznim bojama pripadaju titraji različite frekvencije. Kada se govori o prirodi svjetlosti kaže se da je svjetlost dualne prirode: nekada se ponaša kao elektromagnetni talas, a nekad kao snop čestica-fotona. U ovom seminarskom radu biće priče o talasnoj optici, tj. o pojavama u čijoj osnovi leži talasna priroda svjetlosti. Talasne osobine svjetlosti su najočitije u pojavama interferencije, difrakcije i polarizacije. Interferencija i difrakcija su pojave karakteristične za sve tipove talasa, npr. talase na vodi, zvučne talase itd. Interferenciju i difrakciju svjetlosnih talasa moguće je ostvariti samo u posebnim uslovima. Pojava polarizacije svjetlosti je povezana sa transverzalnošću svetlosnih talasa. Vektor električnog polja E r, čije oscilacije određuju fiziološka, fotehemijska, fotoelektrična i druga djelovanja sjetlosti, oscilira u ravni okomitoj na pravac prostiranja svjetlosnog talasa. Ako je to osciliranje uređeno na određeni način dolazi do pojave polarizacije svjetlosti. Talas je periodički poremećaj u sredstvu(prostoru). Da nastane talas treba postojati neki izvor. Razlikujemo dvije vrste talasa s obzirom na način širenja kroz sredstvo: - progresivni talas ili putujući talas - stacionarni talas (primjer žica muzičkog eksperimenta) Tipični primjer progresivnog talasa je talas na površini vode. Površina vode se diže i spušta dok se brijeg giba uzduž površine, dolazi do titranja molekula vode okomito na smjer širenja talasa tj. na smjer gibanja brijega. Takav talas naziva se transverzalni talas jer je pomak čestica okomit na smjer gibanja talasa. 4
5 Slika 1-svjetionik na vodi Još jedan primjer transverzalnog talasa je elektromagnetski talas. Kod eletromagnetskog talasa električno i magnetsko polje mijenjaju se periodički s vremenom u smjerovima okomito na smjer gibanja talasa tj. na smjer prijenosa energije. Osim transverzalnog postoje i longitudinalni talasi. To su talasi kod kojih dolazi do titranja čestica u smjeru širenja talasa. Primjer longitudinalnog talasa je zvuk tj. zvučni talas. Od izvora zvuka molekule, atomi titraju oko ravnotežnog položaja na pravcu širenja talasa. Elementi talasa : Brzina širenja frekvencija Talasna dužina koliki put prijeđe neka tačka talasa u jedinici vremena broj titraja u 1 sekundi razmak najbližih točaka koje titraju u fazi. Relacija koja povezuje ova tri elementa talasa je: Brzina talasa jednaka je proizvodu talasne dužine i frekvencije. 5
6 4.POLARIZACIJA Svjetlost je transverzalni talas,elektromagnetski talas. Pojavom polarizacije svjetlost pokazuje talasnu prirodu,pokazujemo da je svjetlost transverzalni talas. Kod lektromagnetskog talasa el.polje (E) i magnetsko polje (B) su okomiti na smjer širenja talasa (c). Prirodna svjetlost je nepolarizirana tj. vektori električnog polja (E) i magnetskog polja (B) zauzimaju s jednakom vjerovatnošću bilo koji smjer okomit na vektor(c). Kako uopće nastaje polarizirana svjetlost? Polarizirana svjetlost nastaje refleksijom/lomom svjetlosti. Ako je ugao između reflektovane i lomljene zrake 90 stepeni tada je reflektirana zraka linearno polarizirana.ugao upada(alfa) Brewsterov ugao. Vrijedi: gdje je n index loma. 6
7 Što su to uopšte polarizator i analizator? To su prozirne optičke tvari koje sadrže unutar sebe električki vodljive lance. Ako svjetlost prođe kroz polarizator onda se polarizira u jednom smjeru a intenzitet svjetlosti ostaje jednak, međutim ako nakon polarizatora svjetlost dolazi na analizator intenzitet svjetlosti koji prolazi kroz analizator ovisit će o međusobnom uglu između polarizatora i analizatora. Ako su međusobno paralelni (slika3) intenzitet maximalan, a ako su međusobno okomiti intenzitet svijetlosti minimalan (slika2) Slika 2-polarizator i analizator u međusobno okomitom položaju Slika 3-polarizator i analizator u međusobno paralelnom položaju Jasno se vidi zavisnost intenziteta svjetlosti o uglu polarizatora i analizatora. 7
8 Čemu nam služe polaroid naočale? Da li možemo polarizirati zvuk? Upijaju reflektirane polarizirane zrake (npr. odbijanje zraka sunca na površini vode, mora ili obijanje zraka od staklo automobila) Ne možemo. Zvučni talas je longitudinalni talas pa se stoga ne može polarizirati Prolazak prirodne svjetlost kroz dvolomac: Dvolomci su kristali kod kojih se prirodna svjetlost prilikom prolaska lomi na dvije zrake: redovnu (r) vanrednu (i) Polarizirana zraka svjetlosti prolaskom kroz dvolomac rastavlja se na dva dijela; redovnu (r) i vanrednu zraku (i) čije su ravnine polarizacije medusobno okomite, te zrake ne mogu interferirati. Do interferencije će doći tek onda kada zrake svjetlosti prođu kroz analizator. Naime, analizator propušta samo one komponente obaju zraka koje titraju u pravcu njegove osi. Izmedu tih dviju zraka postoji razlika u fazi zbog različitih brzina u dvolomcu, odnosno razlicitih indeksa loma. Ta razlika u fazi ovisi o debljini dvolomca d. Shematski prikaz prolaska zrake kroz dvolomac. Nakon prolaska jasno se vide redovna (r) i vanredna zraka (i). Uvećani dio slike nastale prilikom prolaska prirodne svjetlosti kroz dvolomac. 8
9 Ukoliko preko dvolomca stavimo polarizator dogodit će se sljedeće: Slika 4-uvećani dio nastao prilikom prolaska prirodne svjetlosti kroz dvolomac prekriven sa polarizatorom Vidi se samo prolazak redovne zrake (r). Kad je os kristala paralelna s ulaznom plohom kristala vanredna (i) i redovna zraka (r) svjetlosti izlaze iz pločice dvolomca na istom mjestu, ali između njih postoji razlika u fazi. Kažemo da se radi o eliptički polariziranoj svjetlosti. Samo u posebnim slučajima elipsa prelazi u kružnicu (kružno polarizirana svjetlost) ili pravac (lineamo polarizirana svjetlost). Kružno polariziranu svjetlost dobijemo kad su amplitude jednake i kad je razlika u fazi između redovne i varedne zrake jednaka π /2. Lineamo polariziranu svjetlost dobijemo kad je razlika u fazi jednaka π Kod bijele svjetlosti interferencijom se poništavaju samo određene boje i to one za koje debljina dvolomca uzrokuje pomak optičkih puteva za polovinu talasne dužine Poništavanje jedne boje uzrokuje i pojavu njene komplementame boje. Ova pojava naziva se hromatska polarizacija. Slika 5-pojava hromatske polarizacije 9
10 Polarizacijom svjetlosti kod optički prozirnih tvari možemo vidjeti zone naprezanja Na slici vidimo zone naprezanja optičke prozirne tvari (kristala) u slučaju kada na stjenke kristala djelujemo silom. U ovom slučaju djelovali smo stiskom ruke. Položaj polarizatora okomit na položaj analizatora. Zone naprezanja za paralelan položaj polarizatora i analizatora. Hromatska polarizacija ima primjenu u određivanju napetosti pojedinih materijala i u kristalografiji za određivanje optičkih osi kristala. Dakle, to svojstvo može se iskoristiti u raznim područjima: za proučavanje mehaničkih naprezanja, kod fotoelastičnosti, za proučavanje strukture kristala i sl. Naime, neki prozirni materijali pokazuju dvolom pri naprezanju, i mogu služiti za analizu naprezanja i deformacija u modelima strukturnih elmenata (kao što su npr. kosti, ili neke konstrukcije mostova, zgrada i slično). Na slici gore jasno se vide zone naprezanja kristala. 10
11 5. DIFRAKCIJA Posmatrajmo sa stanovišta geometrijske optike svjetlost se kroz homogenu i izotropnu sredinu prostire pravolinijski. Uskladu sa tim, kada naiđe na neku prepreku, npr. Pukotinu ili zaklon, svjetlost ne može da je zaobiđe. S druge strane, poznato je da zvučni talasi i talasi na vodi mogu da zaobilaze prepreke ( možemo čuti sagovornika koji se nalazi iza ugla, ali ga ne možemo vidjeti). Pojava zaobilaženja, odnosno ogibanja prepreka naziva se DIFRAKCIJA ( lat: diffractus-prelomljen). Što je talasna dužina talasa veća to je njihova sposobnost zaobilaženja veća. Uzmimo tačkasti izvor svjetlosti i stavimo ispred njega neprozirni zastor na kojem se nalazi mala pukotina, probušena iglom, a dalje iza njega drugi bijeli zastor. Svjetlost koja prolazi kroz otvor dat će na drugom zastoru svijetli krug, opkoljen izmjenično svijetlim i tamnim prstenovima. Ta pojava pokazuje, kao što smo već vidjeli u nauci o talasima da se svjetlost kod prolaza kroz vrlo uske pukotine ne širi pravolinijski nego da se savija odnosno ogiba oko ruba. Na rubovima neprozirnih tijela ne nastaje kod širenja svjetlosti potpuna sjena, nego se svjetlost širi i iza ugla. Dakle, savijanje svjetlosti oko neprozirnih tijela i njeno odstupanje od pravolinijskog širenja zove se ogib ili difrakcija. Zbog ogiba Sunčeve svjetlosti na molekulama tvari koje se nalaze u atmosferi svijetli nebo modro i to zato što je veća difrakcija modre nego crvene svjetlosti. Difrakciju svjetlosti možemo protumačiti pomoću Huygensovog principa o elementarnim talasima. Budući da je svjetlost talasno gibanje, to Huygensov princip vrijedi i u optici. Huygensov princip kaže da svaka čestica sredstva do koje dođe talasno gibanje postaje izvor novih istovrsnih talasa. Difrakcija ili ogib svjetlosti je tipična talasna pojava karakteristična ne samo za talase svjetlosti, već se takođe opaža na zvučnim talasima kao i na talasima na vodi. Sigurno ste nekada primijetili difrakciju talasa gledajući morske talase kako nailaze npr. Na lučke nasipe ili stubove u vodi. Napravimo mali eksperiment s talasima na vodi. Pomoću grafoskopa na kojem se nalazi posuda sa vodom na čijem se kraju nalazi vibrator s pločastim nastavkom ( pomoću kojeg se proizvode talasi na vodi ) posmatraćemo nastanak difrakcije talasa na vodi. 11
12 Slika 6-aparat za proučavanje difrakcije valova na vodi Slika 7-difrakcija valova na vodi - velika pukotina Slika 8-difrakcija valova na vodi - mala pukotina 12
13 Ili šematski prikazano: Slika 4.4. Difrakcija talasa na vodi (širina pukotine manja od talasne dužine) Evo još malo primjera ( slika) difrakcije: Slika 4.5. Difrakcija talasa na vodi (širina pukotine veća od talasne dužine) Slika 4.6. Difrakcija talasa na vodi (širina pukotine puno veća od talasne dužine) Slika 9-difrakcija na pukotini Slika 10-difrakcija na rupi Slika 11-difrakcija na niti 13
14 KORIŠTENA LITERATURA: 1. TEHNIČKA FIZIKA VELIMIR KRUZ, školska knjiga Zagreb FIZIKA grupa autora, Svjetlost Sarajevo
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Što je svjetlost? Svjetlost je elektromagnetski val
Optika Što je svjetlost? Svjetlost je elektromagnetski val Transvezalan Boja ovisi o valnoj duljini idljiva svjetlost (od 400 nm do 700 nm) Ljubičasta ( 400 nm) ima kradu valnu duljinu od crvene (700 nm)
Fizika 2 Fizikalna optika
Fizika 2 Fizikalna optika Elektromagnetski valovi Polarizacija Što je svjetlost; što je priroda svjetlosti? OTKUDA DOLAZI? U geometrijskoj optici: Svjetlost je pravocrtna pojava određene brzine u nekom
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Fizika 2. Fizikalna optika 2008/09
Fizika 2 Fizikalna optika 2008/09 Što je svjetlost; što je priroda svjetlosti? U geometrijskoj optici: Svjetlost je pravocrtna pojava određene brzine u nekom sredstvu (optičkom sredstvu). U fizikalnoj
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Fizika 2. Fizikalna optika 2009/10
Fizika 2 Fizikalna optika 2009/10 1 Optika..definicija Optika, u širem smislu, je dio fizike koji proučava elektromagnetske valove; njihova svojstva i pojave. Elektromagnetski valovi ili (elektromagnetsko
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Fotoelasticimetrija. Fotoelasticimetrija. Fotoelasticimetrija. Fotoelasticimetrija. Fotoelasticimetrija
doc.dr. Samir Lemeš Opis metode Dobivanje polariziranog svjetla i vrste polariskopa Model u ravninski polariziranom svjetlu Model u kružno polariziranom svjetlu Analiza rezultata 2/30
SPEKTROSKOPIJA SPEKTROSKOPIJA
Spektroskopija je proučavanje interakcija elektromagnetnog zraka (EMZ) sa materijom. Elektromagnetno zračenje Proces koji se odigrava Talasna dužina (m) Energija (J) Frekvencija (Hz) γ-zračenje Nuklearni
OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Za teorijsko objašnjenje Youngova pokusa koristi se slika 2. Slika 2. uz teorijsko objašnjenje Youngovog pokusa
Valna optika_intro Interferencija svjetlosti, Youngov pokus, interferencija na tankim listićima, difrakcija svjetlosti na pukotini, optička rešetka, polarizacija svjetlosti, Brewsterov zakon Interferencija
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A
Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit 1..014. VARIJANTA A Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. A C 1.1. Tri naelektrisanja
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
F2_K2, R: nastavni materijali s predavanja, preporučena literatura, web stranica katedre fizike;
F_K,.06.08.. Interferencija elektromagnetskih valova; posebno vidljive svjetlosti. Uvjeti za konstruktivnu i destruktivnu interferenciju. Opišite interferentni uzorak za monokromatsku i polikromatsku svjetlost
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe
Dimenzioniranje nosaa 1. Uvjeti vrstoe 1 Otpornost materijala prouava probleme 1. vrstoe,. krutosti i 3. elastine stabilnosti konstrukcija i dijelova konstrukcija od vrstog deformabilnog materijala. Moraju
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan
Kvantna optika Toplotno zračenje Apsorpciona sposobnost tela je sposobnost apsorbovanja energije zračenja iz intervala l, l+ l na površini tela ds za vreme dt. Apsorpciona moć tela je sposobnost apsorbovanja
Vrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici.
Za adani sustav prostornih sila i j k () oktant i j k () oktant koje djeluju na materijalnu toku odredite: a) reultantu silu? b) ravnotežnu silu? a) eultanta sila? i j k 8 Vektor reultante: () i 8 j k
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa
Claudius Ptolemeus (100-170) - geocentrični sustav Nikola Kopernik (1473-1543) - heliocentrični sustav Tycho Brahe (1546-1601) precizno bilježio putanje nebeskih tijela 1600. Johannes Kepler (1571-1630)
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
F2_kolokvij_K2_zadaci izbor_rješenja lipanj, 2008
F_kolokvij_K_zadai izbor_rješenja lipanj, 008 Fermatov prinip:. Fermatov prinip o širenju svjetlosnih zraka; izvedite zakon refleksije pomoću prinipa minimalnog vremena širenja svjetlosti između dviju
V A L O V I. * pregled osnovnih pojmova *
V A L O V I * pregled osnovnih pojmova * Val predstavlja prijenos energije titranja kroz prostor. Izvor vala svojim oscilacijama emitira energiju u okolinu. U prirodi postoje dvije vrste valova, mehanički
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Priprema za državnu maturu
Priprema za državnu maturu G E O M E T R I J S K A O P T I K A 1. Valna duljina elektromagnetskoga vala približno je jednaka promjeru jabuke. Kojemu dijelu elektromagnetskoga spektra pripada taj val? A.
5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Ispitivanje i defektoskopija konstrukcija
Mjerenje zaostalih v.as.mr. Samir Lemeš Mjerenje zaostalih Pojam zaostalih Mjerenje krtim lakovima Mjerenje fotoelastičnom oblogom Mjerenje ultrazvukom Mjerenje zaostalih 2/38 Pojam
2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Dvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Fizički parametri radne i životne sredine Prof. dr Dragan Cvetković FIZIČKI KONCEPT BUKE. Fizički koncept buke
FIZIČKI KONCEPT BUKE Milonska, ovoplanetarna ljudska populacija pod bremenom decibelskih okova, zavisno podređena konzumiranju užitaka u tehnoloških revolucija, hita po umirujuću u terapiju inženjerske
PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA
FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
UVOD U KVANTNU TEORIJU
UVOD U KVANTNU TEORIJU UVOD U KVANTNU TEORIJU 1.) FOTOELEKTRIČKI EFEKT 2.) LINIJSKI SPEKTRI ATOMA 3.) BOHROV MODEL ATOMA 4.) CRNO TIJELO 5.) ČESTICE I VALOVI Elektromagnetsko zračenje UVOD U KVANTNU TEORIJU
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Ispitivanje proizvoda. Mjerenje zaostalih naprezanja 2/36. Ispitivanje proizvoda. Mjerenje zaostalih naprezanja 4/36. Ispitivanje proizvoda
Mjerenje zaostalih doc.dr. Samir Lemeš Mjerenje zaostalih Pojam zaostalih Mjerenje krtim lakovima Mjerenje fotoelastičnom oblogom Mjerenje ultrazvukom Mjerenje zaostalih 2/36 Pojam
Lorentzova sila sila kojom magnetsko polje djeluje na česticu naboja q koja se u njemu giba brzinom v
Lorentzova sila sila kojom magnetsko polje djeluje na česticu naboja q koja se u njemu giba brzinom v α je kut od v prema B pravilo desne ruke: ako je naboj pozitivan, isto kao i za Amperovu silu samo
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Periodičke izmjenične veličine
EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike
Ogib svjetlosti 2 Kako objasniti tamne i svijetle figure ogiba, koje nastaju uz rub sjene osvijetljenog predmeta?
Ogib svjetlosti Geometrijska optika - Svjetlost se širi pravčasto ili zrakasto iz nekog točkastog izvora! Kako objasniti tamne i svijetle figure ogiba, koje nastaju uz rub sjene osvijetljenog predmeta?
konst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
PP-talasi sa torzijom
PP-talasi sa torzijom u metrički-afinoj gravitaciji Vedad Pašić i Dmitri Vassiliev V.Pasic@bath.ac.uk D.Vassiliev@bath.ac.uk Department of Mathematics University of Bath PP-talasi sa torzijom p. 1/1 Matematički
Polarizacija. Procesi nastajanja polarizirane svjetlosti: a) refleksija b) raspršenje c) dvolom d) dikroizam
Polarzacja Proces asajaja polarzrae svjelos: a refleksja b raspršeje c dvolom d dkrozam Freselove jedadžbe Svjelos prelaz z opčkog sredsva deksa loma 1 u sredsvo deksa loma, dolaz do: refleksje (prema
VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE
TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na
. Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka