Teme broja: vjeronauk - od nauka vjere do stava vjere vjeronauk i nacionalni identitet

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Teme broja: vjeronauk - od nauka vjere do stava vjere vjeronauk i nacionalni identitet"

Transcript

1 Split Broj 19 GODIŠNJAK KATEHETSKOG UREDA SPLITSKO-MAKARSKE NADBISKUPIJE Teme broja: vjeronauk - od nauka vjere do stava vjere vjeronauk i nacionalni identitet

2 S a d r ž a j : Uvodnik: Uredništvo: Relativizacija vrijednosti i čvrsta uporišta... 3 Nadbiskupova poruka: Marin Barišić: Ususret Godini vjere... 4 Stručno usavršavanje: Edvard Punda: Vjeronauk između prenošenja vjerskog nauka i izgradnje vjerničkog stava... 6 Mirjana Vuletić: Vjera osnovnoškolaca - iskustveni vid s. Natanaela Radinović: Vjera srednjoškolaca iskustveni vid Božo Skoko: Važnost nacionalnog identiteta u obrazovanju Gordan Črpić: Vjera i nacionalni identitet Ružica Maleš (prir.): Izbor i interpretacija vjeronaučnih sadržaja u službi očuvanja hrvatskog nacionalnog identiteta Statistika: Pohađanje vjeronauka u osnovnim školama 2012./ Pohađanje vjeronauka u srednjim školama 2012./ Pohađanje vjeronauka u centrima za osobe s teškoćama 2012./ Vjeroučitelji pripravnici 2012./ Stručni ispiti u Splitu 2011./ Raspored vjeroučitelja po školama 2012./ Kateheze: Marina Šimić: Savjest Božji glas u čovjeku s. Marinela Delonga: Božje nas zapovijedi oslobađaju Marina Šimić: Dekalog i ljudska prava Z. Krokar - R. Maleš - M. Vuletić: Ja sam Gospodin Bog tvoj: nemaj drugih bogova uz mene! Z. Krokar - R. Maleš - M. Vuletić: Ne izusti imena Gospodina Boga svoga uzalud! Z. Krokar - R. Maleš - M. Vuletić: Spomeni se da svetkuješ dan Gospodnji! Marin Periš: Povrede ljudskog života Andrijana Bagarić: Eutanazija dostojanstvena smrt ili smrt dostojanstva? Učenici s teškoćama u razvoju: Slavenka Barada: Autizam i vjeronauk Događaji: Mirjana Vučica (prir.): Vjeronaučna olimpijada i natjecanje iz vjeronauka Dušan Vuletić: Susret maturanata Anica Kraljević: Stručni skup za odgojiteljice u vjeri u predškolskim ustanovama Mirjana Vučica: Izlet vjeroučitelja Silvana Burilović: Katehetska ljetna škola za vjeroučitelje osnovnih škola Razmišljanja: JeŽ: Deset egipatskih zala mit ili stvarnost? Udruga GROZD: Sporni sadržaji Kurikuluma zdravstvenog odgoja Nikola Milanović: Mišolovka Marina Šimić: Svjetla i sjene Sanja Sinovčić: Zavist Branka Mlinar: Cvjetovi vjere Branka Mlinar: Nebo dotičem Kronika Katehetskog ureda 2011./ Kalendar rada školska godina 2012./

3 UVODNIK Relativizacija vrijednosti i čvrsta uporišta 3 Poštovani/e vjeroučitelji/ce! Cijenjeni čitatelji! U rukama imate 19. broj godišnjaka Svjedok koji iz godine u godinu ostaje pisano svjedočanstvo svih važnijih aktivnosti Katehetskog ureda Splitskomakarske nadbiskupije i angažiranog djelovanja njegovih vjeroučitelja. Ovaj novi broj Svjedoka izlazi u vrijeme velikog nacionalnog ponosa te živo svjedočenog jedinstva i vjere hrvatskoga puka koje smo svi zajedno proživljavali uoči izricanja presude hrvatskim generalima u Hagu i nakon njihova oslobađanja kao jedinog pravednog i istinitog pravorijeka o njima osobno i hrvatskoj državi. Međutim, naš nacionalni ponos i jedinstvo, temeljne vrednote i kršćanska vjera nalazit će se uvijek pred novim izazovima. Živimo u pravom društvenom i kulturnom preobražaju koji zadire također u vjerski život U tako zamršenoj situaciji mnogi naši suvremenici nisu u stanju pravo raspoznati vječne vrijednosti niti su ih sposobni valjano uskladiti s novim (GS 4). Drugi vatikanski sabor, čiju 50. obljetnicu otvaranja slavimo Godinom vjere, proročki razmišlja o problematici koju danas itekako prepoznajemo unutar naše hrvatske zbilje. Kroz povijest čovječanstva događali su se mnogi višeslojni procesi koji su utjecali na daljnje tokove razvoja društva i oblikovanje vrijednosnih sustava. Od demokratskih promjena i u našem društvu svjedočimo pojavi nekih novih vrijednosti poput slobode govora i javnog istupanja, slobode odgoja i vjeroispovijesti te političke slobode. Otvaraju se novi prostori osobnog i javnog djelovanja osobito putem globalnih medija. Međutim, pomalo zabrinuti, ne možemo se ne upitati: kako se u tome snalaze sinovi svjetla? Pojave u suvremenom društvu papa Benedikt XVI vidi u dominaciji relativizma koji navodi ljude da nemaju čvrstih uporišta. Relativizam potiskuje i obezvrjeđuje temeljne vrijednosti, one vrijednosti koje nisu tek jedne od mnogih na novom demokratskom tržištu, nego su osnova, kamen temeljac bez kojega se sve ostalo urušava i nestaje u ponoru nesigurnosti i neodlučnosti. Zamršena situacija današnjeg društva ima zajednički nazivnik: čovjek postaje mjerilom stvari i vrednota, s horizonta se uklanjaju kršćanske vrednote i kršćansko shvaćanje čovjeka i njegova određenja. Zar ovomu u prilog ne govori i upitna procedura s uvođenjem zdravstvenog odgoja u hrvatske škole s još upitnijim sadržajima koji govore o ljudskoj spolnosti. Nasuprot ovakvom mentalitetu nivelacije vrijednosti zadaća je svakog kršćanina da se za istinske i neupitne vrijednosti opredjeljuje, zauzima i beskompromisno žrtvuje. Stoga je prijeko potrebno vratiti se korijenima, čvrstim uporištima vjere i pripadnosti vlastitom narodu koji ima svoju povijest, kulturu prožetu kršćanskim vrijednostima i koji samo u takvoj perspektivi može imati svoju budućnost. Riječ je o osobnom vjerničkom i nacionalnom identitetu koji se oblikuje utjelovljenjem vrednota, zahvaća samu srž bića, osobnog i nacionalnog, te se kao takav ne može ne očitovati prema vani. Prepoznatljiv je, nije bezličan, nije izgubljen u masi. U prvom redu je riječ o vjeri koja nije tek priznavanje i slavljenje otajstava kroz molitvene i obredne izričaje, nego o vjeri koja, nahranjena otajstvima, postaje vjera navještaja, konkretizirana vjera sposobna oblikovati i preoblikovati društvenu stvarnost ne prepuštajući taj zadatak drugima. Uostalom, to je vjeroučiteljeva ne samo kršćanska nego i profesionalna obveza, budući da odgoj i obrazovanje trebaju pomoći izgradnji osobnoga i kulturnoga identiteta kako naši učenici, postajući građanima svijeta ne bi izgubili svoje korijene, svoju kulturnu, društvenu, moralnu i duhovnu baštinu (NOK III,1). U skladu s ovim uvodnim mislima u ovom Svjedoku možete pročitati više vrijednih priloga koji su plod naših stručnih skupova o vjeronauku između učenja vjerskog nauka i izgradnje vjerničkog stava te ulozi vjeronauka u čuvanju i izgradnji nacionalnog identiteta. Ove obrađene teme s naših stručnih skupova bile su već na neki način anticipacija Godine vjere u kojoj se nalazimo. Zatim slijede ostali korisni sadržaji raspoređeni po već prepoznatljivim rubrikama, kao što su dokumentarno vrijedni statistički podaci o vjeronauku i vjeroučiteljima, gotovi ogledni vjeronaučni modeli, pregled važnijih događaja i kronika te osobna promišljanja vjeroučitelja o aktualnim temama. U ovom broju s osobitom radošću ističemo uvođenje zasebne rubrike posvećene vjeronaučnom radu s učenicima s teškoćama u razvoju. Želja nam je da i ovaj 19. broj našega godišnjaka bude mali doprinos u promociji školskoga vjeronauka u hrvatskom društvu i Crkvi te poticaj svima nama za još zauzetiji i prepoznatljiviji rad na kršćanskom odgoju i obrazovanju naše djece i mladih. Uredništvo

4 4 NADBISKUPOVA PORUKA Ususret Godini vjere Poruka prigodom početka nove školske i vjeronaučne godine Dragi roditelji, poštovani ravnatelji škola, učitelji, nastavnici i odgojitelji, braćo svećenici, poštovani vjeroučitelji, draga djeco i mladi! Svjesna svoje neraskidive povezanosti s čitavim svijetom, Crkva želi upoznati očekivanja, težnje i probleme ljudi našega vremena. Ona se veseli svakom istinskom uspjehu čovječanstva, ali ne skriva svoju zabrinutost pred različitim problemima koji pritišću suvremenog čovjeka. Radost i nada, žalost i tjeskoba ljudi našega vremena postaju istovremeno radost i nada, žalost i tjeskoba same Crkve (usp. GS 1). Crkva se raduje svakom pomaku i napretku političkom, gospodarskom i znanstveno-tehničkom ukoliko doprinosi cjelovitom razvoju čovjeka. Istovremeno, ona ne može biti ravnodušna pred sve raširenijim osjećajem krize i gubitkom optimizma koji iz dana u dan pogađa sve veći broj ljudi. Vrijeme u kojem živimo ponekad se doima kao vrijeme nesigurnosti i izgubljenosti, vrijeme nutarnje praznine, gubljenja životnog smisla i straha pred budućnosti. U porastu je etička ravnodušnost, borba za osobne interese i povlastice, jačanje individualizma i slabljenje solidarnosti među ljudima. Crkva drži da je najdublji uzrok svih problema zaborav Boga koji je doveo do zaborava čovjeka (usp. Ecclesia in Europa, 9). No čovjek ne može živjeti bez nade i smisla. I uvijek se iznova pitamo: gdje pronaći nadu i smisao? U onome što je prolazno i površno, u raju zemaljskom što ga obećavaju politika, gospodarstvo i financije, znanost i tehnika? Ili u trošenju, konzumizmu i užicima? Ili u istočnjačkim filozofijama, u raznim bio-eko-ezo-yoga duhovnim proizvodima? Mogu li ove ponude zadovoljiti duboku čežnju za srećom koju svi u sebi nosimo? Ili je riječ o nemoćnim obećanjima? Upravo bi sve odgojne institucije od obitelji, dječjih vrtića, škola, župnih zajednica do masovnih medija trebale postavljati ova pitanja i pokušavati tražiti zajedničke odgovore u otkrivanju istinskog smisla i prepoznavanju općih vrednota na cjelovitu dobrobit čovjeka. Ljudski se genij još prije Krista, po velikom Platonu, vinuo do misli da je Bog mjera svih stvari. Ako zbacimo Boga i čovjeka proglasimo mjerilom svega, završit ćemo u slijepoj ulici, u relativizam koji tvrdi da nema nikakve objektivne istine. Crkva upravo želi svim svojim članovima i svim ljudima dobre volje dozvati u svijest svoje najdublje uvjerenje da je Bog temelj i smisao ljudskog života i cjelokupne stvarnosti, da od njega sve polazi i k njemu ide. Stoga proglašavajući Godinu vjere koja započinje 11. listopada ove godine na 50. obljetnicu

5 NADBISKUPOVA PORUKA 5 otvaranja Drugoga vatikanskog sabora Crkva nas, s papom Benediktom XVI na čelu, poziva da ponovno otkrijemo put vjere, da se uputimo prema vratima vjere koja vode u zajedništvo s Bogom. Proći kroz ta vrata znači krenuti na put koji traje čitav život (Porta fidei, 1). Vjera prije svega nije čovjekov proizvod, nije rezultat njegova umijeća, nego je darovana stvarnost. Kad sv. Pavao kaže da se srcem vjeruje (Rim 10,10), onda ima na umu da je u činu naše vjere Bog na prvom mjestu, da je vjera njegov dar, da on otvara i preobražava čovjekovo srce. Sv. Augustin je, nakon što je iskusio ljepotu toga dara, uskliknuo: prosuo si miomiris, a ja sam ga upio pa uzdišem za tobom, okusio sam ga pa gladujem i žeđam, dotakao si me, i zato gorim za tvojim mirom. Takva vjera koja se srcem vjeruje istovremeno se ustima ispovijeda (Rim 10,10), tj. javno se svjedoči i po njoj se djeluje. Ona nije tek nešto subjektivno, neki puki osjećaj, već stvarnost koja zahvaća cijeloga čovjeka, njegov privatni i javni život, njegovo razmišljanje i djelovanje. Stoga je ona u sebi praktična jer svojom unutarnjom snagom preobražava cjelokupni ljudski život. Takva vjera nema ništa zajedničkoga s iracionalnim pogledom na svijet. Štoviše, ona se sva oslanja na Boga koji je Logos, a logos znači razum, um, smisao. Bog Logos je u sav svijet utisnuo svoj stvaralački um, svoju razumnost. Čovjek ispravno živi i djeluje ako je u skladu s Bogom Logosom. Godina vjere izvanredna je prilika i poticaj svakom kršćaninu i svakom tražitelju istine da se otvori Istini, da dopusti da ga Istina nađe. Za nas kršćane ta Istina je Isus Krist, pravi Bog i pravi čovjek. On otkriva istinu o Bogu, Bogu koji se dao u potragu za čovjekom, ali i istinu o čovjeku koji svoj konačni smisao i svoje ispunjenje može postići jedino u Bogu. U Godini vjere Crkva se želi snažnije zauzeti za odgoj, za novu evangelizaciju kako bi se ponovno otkrilo radost vjere i iznova pronašlo oduševljenje za prenošenje vjere (Porta fidei, 7). Posebnu ulogu u novoj evangelizaciji imate vi, dragi odgojitelji u vjeri roditelji, svećenici i vjeroučitelji koji djeci i mladima pomažete otkriti vrata vjere. Svoju zahtjevnu i uzvišenu zadaću moći ćete ispuniti ako sami otkrivate i živite avanturu vjere, vjere koja je najprije za vas otkriće i radost. Tako ćete biti u stanju pomoći djeci i mladima da i oni sami otkriju vjeru kao nešto iznimno zanimljivo i privlačno, vjeru koja nije samo stvar prošlosti i tradicije, već stvarnost koja duboko zahvaća u njihove živote i njihova pitanja. U tome će vam od nezaobilazne pomoći biti nauk Drugog vatikanskog sabora te Katekizam Katoličke Crkve. Dokumenti Drugog vatikanskog sabora ne gube ni svoju vrijednost niti svoj sjaj (Novo millennio ineuente, 57), nudeći nam se kao svojevrstan kompas za ispravnu orijentaciju, dok nam Katekizam Katoličke Crkve na sustavan način iznosi bogatstvo nauka kojeg je Crkva prihvatila i živjela tijekom svoje dvijetisućljetne povijesti. Svima vama želim uspješnu novu školsku i vjeronaučnu godinu, ustrajan i plodonosan rad u kojem ćete svakodnevno težiti za vjerom (2 Tim 2,22), kako bi vaš odnos s Kristom bio sve čvršći i osobniji, a prema djeci i mladima koje podučavate prepoznatljiv i angažiran. Samo je u njemu, kako je istaknuo papa Benedikt XVI. prigodom proglašenja Godine vjere, naša budućnost izvjesna i samo u njemu imamo jamstvo istinske i trajne ljubavi (Porta fidei, 15). Na sve vas zazivam obilje Božje blizine, snage i blagoslova, želeći vam puno kršćanske mudrosti i pedagoškog umijeća u vašim zahtjevnim učiteljskim, odgojnim i vjeronaučnim zadaćama. U Splitu, 3. rujna Mons. Marin Barišić splitsko-makarski nadbiskup

6 6 STRUČNO USAVRŠAVANJE U rubrici stručno usavršavanje redovito objavljujemo predavanja i ostale radove s naših nadbiskupijskih stručnih skupova. I prošle školske godine 2011./2012. organizirali smo dva stručna skupa za vjeroučitelje na nadbiskupijskoj razini. U ovom broju Svjedoka možete pročitati više vrijednih priloga. Prvi nadbiskupijski stručni skup održan je 19. studenoga godine u Nadbiskupskom sjemeništu u Splitu, na okvirnu temu: Vjeronauk - od nauka vjere do stava vjere. Nakon uvodne molitve, pozdravnih govora i uvoda u rad stručnog skupa održana su dva predavanja i dva koreferata, uz uvijek zanimljivu tematsku raspravu. Ovdje možete pročitati tri priloga: Vjeronauk između prenošenja vjerskog nauka i izgradnje vjerničkog stava (Edvard Punda) Vjera osnovnoškolaca iskustveni vid (Mirjana Vuletić) Vjera srednjoškolaca iskustveni vid (s. Natanaela Radinović) Vjeronauk između prenošenja vjerskog nauka i izgradnje vjerničkog stava Učiniti svojim ono što Crkva naučava i živi Naslov i cilj izlaganja Sam naslov ovog izlaganja potrebno je na samom početku razjasniti. U temelju hrvatskih riječi vjeronauk i vjeroučitelj stoji riječ vjera. Iz toga slijedi da je vjeroučitelj onaj koji naučava o vjeri ili onaj koji prenosi nauk o vjeri. No što to uopće znači? Postavljam dva, po meni, temeljna pitanja: koji je to nauk koji vjeroučitelj prenosi i kako ga prenosi/po(d)učava? Sigurno je da, što se tiče vjeronauka u školi na koji se posebno referiramo, postoje školski planovi i programi koji se trebaju ostvariti i koji se razlikuju uglavnom samo s obzirom na razrede. Ovdje ne želim ulaziti u problematiku kvalitete vjeronaučnih programa i pojedinih udžbenika, niti raspravljati o mogućnosti ili nužnosti različitog vjeronaučnog sadržaja s obzirom srednje škole (gimnazije, strukovne škole ). Što se tiče načina vjeronaučne poduke, želim ga promatrati u kontekstu teme ovoga stručnoga skupa: je li i, ako jest, kako je vjeronauk sposoban prenijeti kršćanski nauk i izgraditi vjernički stav? Smatram da se ovo dvoje uvijek mora prožimati i ne smijemo upasti u zamku zadovoljiti se mišlju da je dovoljno izlagati određeni nauk. Ako, naime, biti kršćanin nije rezultat neke etičke odluke ili neke velike ideje, već je to susret s događajem, s Osobom, koja životu daje novi obzor i time konačni pravac (Benedikt XVI, Deus Caritas est, 1), onda je jasno da istinski smisao prenošenja kršćanskoga nauka nije u tumačenju istina koje se mogu naučiti,

7 STRUČNO USAVRŠAVANJE 7 nego je upravo prenošenje vjere ili izgradnja vjerničkog stava. U tom kontekstu možemo i trebamo reći da je mjera u kojoj vjeronauk uspije izgraditi vjernički stav, mjera u kojoj je uistinu uspio prenijeti kršćanski nauk. Ovo je moja temeljna teza: vjeronauk je sposoban i pozvan izgrađivati vjernički stav to je u njegovoj naravi. Iz ovoga uvjerenja želim progovoriti o tome kako ja vidim ostvarenje toga poziva. Odgovor se krije u drugom dijelu naslova. Svi se, vjerujem, slažemo s riječima pape Pavla VI da svijet u prvom redu ima potrebu svjedoka. O ovome se posebno govori u kontekstu kateheze i sigurno je da svaki svećenik i svaki vjeroučitelj, na svoj način, pokušava biti svjedok, a tek onda učitelj. Svjedočenje nije neki dodatak vjeri, nego je njena bitna odrednica. Dakle, vjera koja nije svjedočena/svjedočka i nije vjera. Uz to, svjedočenje potvrđuje da nitko ne vjeruje sam za sebe niti sam od sebe. Prvi vjernik i prvi svjedok vjere je Crkva. Smatram, stoga, da je učiniti svojim ono što Crkva naučava i živi zahtjev koji se stavlja pred svakoga kršćanina, a posebno pred one koji su pozvani u ime Crkve tumačiti njene istine. Pođimo redom. Vjera Crkve i osobna vjera U Katekizmu Katoličke Crkve čitamo da je vjera bogoslovna krepost po kojoj vjerujemo u Boga i sve što je On rekao i objavio i što nam Sveta Crkva predlaže vjerovati, jer je On sama istina. (KKC 1814) Pravi čin vjere, dakle, pretpostavlja vjerovati ono što Crkva predlaže vjerovati. Nije mi nakana ovdje iznositi nekakav popis onoga što Crkva predlaže vjerovati, niti tumačiti teološke kvalifikacije i razinu traženog pristanka vjernika. 1 Ipak, prije svega, potrebno 1 O tome se može vidjeti Apostolsko pismo u obliku Motu Proprio, Ivana Pavla II, Ad tuendam fidem (18. svibnja 1998), u: AAS 98 (1998), je naglasiti i imati uvijek na umu da ono što u teologiji nazivamo čin vjere ne poznaje nekakvo selektivno usvajanje onoga što nam Crkva predlaže vjerovati, po principu ovo prihvaćam, ovo ne prihvaćam. Eklezijalnost nije tek jedna dimenzija čina vjere, nego određuje njegovu strukturu i kriterij je autentičnosti same vjere. Ovdje je važno istaknuti interakciju vjere Crkve i naše osobne vjere. Vjera je osobni čin, ali nije osamljeni čin, kako to lijepo izriče Katekizam Katoličke Crkve (usp. br. 166). Katekizam zatim nastavlja: Prije svega Crkva je ta koja vjeruje i tako upravlja, hrani i podržava moju vjeru. Crkva je prije svega ta koja, svugdje priznaje Gospodina, a s njom i u njoj bivamo i mi privučeni i privedeni da ispovjedimo to isto: Vjerujem, Vjerujemo. (KKC 168) Mi uvijek vjerujemo u Crkvi i sa Crkvom. Nauk je Crkve - koji vjeronauk želi prenijeti - prije svega duboko ukorijenjen u vjeru Crkve i Crkva nam predaje isključivo ono što ona vjeruje. I ne samo to, nego Crkva nam ono što naučava predaje vjerujući. Iz ovoga slijedi da učiniti svojim ono što Crkva naučava i živi, znači biti dionik vjere Crkve. Na taj je način usvajanje nauka Crkve usko vezano uz naš osobni čin vjere, odnosno, potpuno usvajanje nauka Crkve događa se samo u vjeri. Mislim da svi mi danas egzistencijalno proživljavamo ono u što prilično upada i teologija

8 8 STRUČNO USAVRŠAVANJE vjere: odvojenost sadržaja vjere (fides quae) i čina vjere (fides qua). Postoji, naime, duboka povezanost između čina kojim se vjeruje i sadržajâ uz koje dajemo svoj pristanak, piše papa Benedikt XVI u Apostolskom pismu Porta fidei (br. 10). Zbog toga, otkriti sadržaje vjere koju se ispovijeda, slavi, živi i moli te razmišljati o samom činu vjere, zadaća je koju svaki vjernik mora osobno ispuniti (Porta fidei, 9). Prava vjera, dakle, otkriva ne samo ono (u) što vjerujemo, nego i ono što se događa u subjektu koji vjeruje. Vjeroučitelj je, na svoj način, pozvan ne samo protumačiti sadržaj vjere, nego također i čin vjere, upućujući upravo na ovo o čemu govori Papa: o intimnoj vezi sadržaja i čina vjere. Konkretno, vjeroučitelj je pozvan ukazati i pokazati da se pravo shvaćanje sadržaja vjere događa unutar čina vjere. Još više, vjeroučitelj je ako želi prenijeti sadržaj vjere pozvan vjerovati. Za to mu je potrebna Crkva kao ona koja vjeruje i uči što vjerovati. Ako pogledamo na povijest nastanka Creda, dakle onoga čime Crkva svoju vjeru izražava i predaje (usp. KKC 186), shvatit ćemo da je nastajao unutar konteksta življene vjere, koje je bio tumač, ali i čuvar. Mi znamo da je Tradicija Crkve, već od prvih stoljeća malo po malo oformljavala osnovni oblik našeg vjerovanja, tako da smo u 4. stoljeću dobili ono što nazivamo Nicejsko-Carigradsko Vjerovanje koje predstavlja sadržaj naše vjere. Zanimljivo je da su prve formule Creda nastale u kontekstu prakse krštavanja, kada bi se katekumene polazeći od Isusovih riječi pođite, dakle, i učinite mojim učenicima sve narode krsteći ih u ime Oca i Sina i Duha Svetoga (Mt 28, 19) pitalo: Vjeruješ li u Boga Oca, sveopćeg vladara? Vjeruješ li u Krista Isusa, Božjega Sina? Vjeruješ li u Duha Svetoga? Uz ovaj trostruki odgovor vezalo se i odricanje od đavla, njegove službe i njegovih djela. To znači da vjera ima svoje mjesto u činu obraćenja u kojem se čovjek više ne klanja stvorenju (nekim silama), nego Stvoritelju. Zato prihvaćanje Creda nipošto ne znači njegovo suhoparno recitiranje ili teorijsko usvajanje određenih istina, nego je lijepo to piše Ratzinger u svom klasiku Uvod u kršćanstvo pokret čitave ljudske egzistencije. 2 Sada je jasno da Credo ne nudi samo odgovor (u) što vjerujemo, nego je upućen na onoga koji vjeruje. U tom kontekstu, Ratzinger tvrdi da u IV. i V. stoljeću, drame koje su nastajale oko pitanja poput tko jest, i tko je bio Krist nisu bile potaknute metafizičkim spekulacijama, nego egzistencijalnim pitanjima: Što imam od toga ako postanem kršćanin? Što se time zbiva? Kakvu preobrazbu to donosi? 3 Iz ovoga vidimo da je smisao Creda, sadržaja vjere, koji smo poslani prihvaćati, ispovijedati i prenositi, usko vezan uz najdublja pitanja ljudske egzistencije, a Crkva koja vjeruje i vjeru prenosi je izraz Božje ljubavi prema čovjeku. Problematični pristupi vjeri danas i šanse današnje nevjere Ako igdje onda u vjeronauku na našim župama i školama (ali i u teologiji 4 ) vjeru držimo kao pretpostavku. Govorimo o odgoju u vjeri, odgoju za vjeru, odgoju vjere Iako je takav govor s jedne strane opravdan, smatram da se unutar njega može skriti kako teološka, tako i 2 O ovome u: J. Ratzinger, Uvod u kršćanstvo, str Usp. J. Ratzinger, Uvod u kršćanstvo, str Čini mi se da i današnja teologija u svojim diskursima previše polazi od pretpostavke vjere (makar, s obzirom na teološke discipline tako jednim dijelom i treba biti), dok nedostaje izravnijih pristupa fenomenologiji, mogućnosti i vjerodostojnosti vjere kao takve.

9 STRUČNO USAVRŠAVANJE 9 metodološka opasnost. Naime, vjera je po definiciji krepost/čin kojim čovjek svega sebe slobodno Bogu predaje (KKC 1814; usp. DV 5). Svega sebe. Slobodno. Bogu predaje. Drugim riječima, vjera je događaj u kojem se čovjek sjedinjuje s Bogom, živi božanski život (usp. Gal 2, 20). Vjera je, dakle, vrhunac ljudske egzistencije, ostvarenje konačnog poziva: zajedništvo s Bogom. Vidimo da je vjera više zahtjev, ideal, težnja, nego evidentna pretpostavka života. U tome je teološka pogreška vjeru držati pretpostavkom. Metodološka pogreška po mojemu mišljenju usko je vezana uz teološku i često upravo iz nje proizlazi. Naime, iz mišljenja da je vjera pretpostavka, često proizlazi da vjerske istine i katolički moral tumačimo kao nešto što bi samo po sebi unaprijed trebalo biti razumljivo i prihvaćeno. Zbog toga nam se događa da te istine i taj moral postaju zatvoreni u sebe, i više se čine kao nemoguća misija ili čak prijetnja, nego spasonosne istine. Ako prihvaćanje Creda vjere Crkve znači da prihvatimo simbol svoje vjere koja daje život (KKC 197), onda je jasno da vjerske istine treba tumačiti kao spasonosne. U tom kontekstu vjero-nauk, dakle, nauk o vjeri, trebao bi tumačiti vjeru kao spasonosnu, a to, pak, nije moguće ako ne uspijeva pronaći živi odnos vjere i čovjeka. To znači da tumačiti istine vjere ne znači samo, ni u prvom redu, objasniti njihovu razumsku opravdanost. Znači najprije obrazložiti razlog nade koja je u nama (usp. 1 Pt 3,15), tj. pokazati/uvjeriti da je vjera sposobna dati odgovor na najdublja životna pitanja. Zato, evo konkretnog prijedloga: unutar sadržaja koji smo dužni obraditi, pokušajmo pronaći one elemente koji mogu pomoći mladima da se suoče sa sobom, svojim grijesima, svojim promašajima, neuspjesima itd. Bez prihvaćanja vlastite povijesti, apsurdno je govoriti o mogućnosti prave vjere, jer vjera zahtijeva biti u istini. Ovdje nam mogu od velike pomoći biti svetopisamski tekstovi i životi svetaca. Vratimo se pitanju onoga što sam rekao da se vjeru danas drži normalnom pretpostavkom. O tome govori i papa Benedikt XVI u svom Apostolskom pismu Porta fidei, kojim naviješta Godinu vjere (od 11. listopada do 24. studenoga 2013.): Nerijetko se događa da se vjernici više brinu za društvene, kulturne i političke posljedice svoga zauzimanja, dok na vjeru i dalje gledaju kao na nešto što se samo po sebi podrazumijeva u zajedničkom života. No, zapravo, ta pretpostavka ne samo da se više ne može uzimati zdravo za gotovo već je, štoviše, često zanijekana (Porta fidei, 2). Siguran sam da se s ovim svi susrećemo i da nam ovo stvara određene probleme. Mišljenja sam, ipak, da i u ovome trebamo gledati šansu. Pođimo od Koncila. Iako nema nijednog dokumenta u kojem tema vjere ne bi bila implicitno prisutna, treba imati na umu da se Drugi vatikanski koncil niti u jednom dokumentu ne

10 10 STRUČNO USAVRŠAVANJE bavi izričito/isključivo pitanjem vjere. 5 Prema nekim teolozima (npr. Gallagher), najljepši tekstovi o vjeri nalaze se tamo gdje se govori o ateizmu. Zašto je tome tako? Ili bolje: što iz ovoga mi možemo zaključiti? Ako ateizam kako kaže Koncil toliko uzvisuje čovjeka da vjera u Boga gotovo gubi svoju snagu (GS 19), onda je jasno da ateizam želi iako na pogrešan način pronaći čovjeka. Ono čega pri tome nije svjestan jest da je udaljavanje od Boga negacija čovjeka. Ali nama svakako može razjasniti situaciju današnjeg čovjeka i pokazati u kojem smjeru treba usmjeriti naš kršćanski navještaj. Upravo zato Koncil, kada govori o ateizmu (npr. ako čitamo dijelove iz Pastoralne konstitucije Gaudium et spes), istodobno govori o vjeri kao odgovoru. Ona je najmanje neki apstraktan pojam ili objekt znanstvenog istraživanja. Ona prožima čitavu egzistenciju i ima snagu mijenjati čovjeka i društvo. Zato naš govor o vjeri uvijek treba biti i govor o čovjeku. To znači da smo pozvani pronaći duboko jedinstvo između čina i sadržaja vjere. Jasno je da se teologija nikada ne smije svesti na antropologiju. U tom se kontekstu naša 5 Za razliku npr. od Prvog vatikanskoga koncila koji se pitanjem vjere uglavnom u kontekstu racionalizma bavi u Dogmatskoj konstitucijui Dei Filius. O Katoličkoj vjeri. DH zadaća - znati pronaći duboko jedinstvo između čina i sadržaja vjere - ne reducira na antropologiju nego traži teološko i kristološko utemeljenje vjere. Ovo konkretno znači da vjeru prvotno treba razumjeti kao dar Božji, kao živu i dinamičnu stvarnost po kojoj čovjek ima pristup božanskom. Vjera pokreće stvorenje prema Stvoritelju, sposobna je dati odgovore na najdublja pitanja egzistencije i smisla. Ako vjera nije shvaćena i predstavljena kao ona koja je sposobna dati odgovor na pitanja o smislu života, onda ono što ona naviješta postaje apstraktno. U ovome se krije velika opasnost za današnji vjeronauk. Naravno, i velika odgovornost. U mjeri u kojoj vjeru navijestimo/predstavimo kao odgovor na ključna/zadnja životna pitanja, ovisi hoćemo li oduševiti za vjeru i, u konačnici, ovisi hoće li Isus Krist biti prepoznat kao jedini Spasitelj ili tek kao jedna u nizu ponuda. Ako se i unutar vjeronauka susrećemo s negiranjem vjere, s onima koji idu na vjeronauk ali odbijaju njegov sadržaj, to nam može biti izvrsna prilika da ih dovedemo do vjere. Naime, pogreška bi bila okrivljivati mlade ili ih samo prekoravati. Potrebno je pronaći uzroke njihova ateizma i pokazati im da Crkva ima odgovor na njihova pitanja. Oduševiti za iskustvo primljene milosti U već spomenutom Apostolskom pismu Porta fidei papa Benedikt XVI piše: Vjera, naime, raste kada se živi kao iskustvo primljene ljubavi i kada se prenosi kao iskustvo milosti i radosti (Porta fidei, 7). Mislim da se u ovoj izvrsnoj Papinoj sintezi nudi odgovor na pitanje kako je moguće današnjeg učenika oduševiti za vjeru? Smatram da je potrebno što više naglašavati da je vjera besplatni dar i da se ona ne može

11 STRUČNO USAVRŠAVANJE 11 živjeti drukčije nego kao iskustvo primljene ljubavi. Nekada nam se može činiti da, ustrajati na tome da je vjera dar, znači ne pomaknuti se s točke s koje smo krenuli. Ipak, nije tako. Radi se o temeljnoj svijesti koja je ne samo istina i preduvjet svakog čina vjere, nego koja već jest vjera. Štoviše, ta svijest je presudna i u najvećim - recimo to tako - stadijima vjere. Jasno je da, kada kažem svijest, ne mislim pri tom samo, niti u prvom redu, na psihološku kategoriju svijesti, nego na posvemašnje egzistencijalno stanje (i intelekta i volje) slobodne otvorenosti prema i odluke za vjeru, za dar koji Bog čini. U svojim obraćanjima kleru Rimske biskupije, papa Benedikt upravo u otvorenosti daru vidi i prvu gestu molitve u kojoj se otvaram onome što ne mogu postići sam po sebi, po svojim silama. Molitva kao najautentičniji čin vjere zapravo jest i najveći pokazatelj što je vjera u sebi: potreba drugoga/drugoga, odbacivanje svake samodostatnosti i dati da naš razum, naši osjećaji i naša volja budu prožeti darom koji Bog čini. 6 Mislim da odavde svaki dan iznova trebamo razvijati stav vjere, svaki se dan osobno otvarati daru, svaki dan ići iznova u dinamizam vjere i svaki dan iznova tražiti vjeru. U tom kontekstu lijepe su riječi sv. Grgura Nisenskoga, koje donosi Katekizam Katoličke Crkve: Tko se penje, neprestano ide od početka k početku; nikada ne prestaje počimati. Tko se uspinje, nikad ne prestaje željeti što već poznaje (KKC 2015). Vjeroučitelj, dakle, ne bi trebao biti onaj koji će se postavljati iznad, kao onaj koji vjeru već ima, nego životom pokazati da je i sam potreban Boga i da je tragatelj za vjerom koji živi iskustvo: Vjerujem! Pomozi mojoj nevjeri! (Mk 9, 24). po čemu je sličan drugim predmetima. To se tiče bilo sadržaja bilo metode. Što se tiče vjeronauka, jasno je da je sam sadržaj već određen i više-manje možemo ga pronaći u vjeronaučnim programima i udžbenicima. U pogledu same metode jasno je da je ona kod vjeronauka kao i kod drugih predmeta usmjerena što boljem (prikladnijem, jasnijem ) ostvarenju ciljeva koji su postavljeni. U tom kontekstu vjeronauk treba ispunjavati zakone i uvjete školstva, ali i zahtjeve Katoličke Crkve (to vjeroučitelji vrlo dobro znaju). Čini se da se vjeronauk razlikuje od drugih predmeta više s obzirom na sadržaj, nego na metodu, iako je jasno da i sama metoda odvijanja vjeronauka ima određenih posebnosti koje nije uvijek lako ni primijetiti ni ostvariti. Nije mi cilj, niti je moja kompetencija govoriti o ovome s metodičko-didaktičke, niti s pedagoške točke gledišta. Želim se na ovo osvrnuti s metafizičke, ili, točnije, s teološke točke gledišta. Svaki predmet u školi po svojoj naravi traži, predstavlja i tumači određenu istinu. Sigurno je da će razina usvajanja istine ovisiti i o kompetenciji onoga tko je predstavlja/tumači, ali i o Isus Krist kao konačni cilj vjeronauka Svaki predmet u školi istodobno ima svoje posebnosti u odnosu na druge predmete i ono 6 Tekst, kojim sam za ovo bio inspiriran, može se vidjeti na:

12 12 afinitetu/raspoloživosti i mogućnostima samih učenika. Mi stoga ne trebamo poći od pitanja kako možemo razvijati u učenicima afinitet prema vjeronauku. Mi najprije moramo znati zašto je vjeronauk u školi potreban današnjem društvu i mladima. Mislim da vjeronauk danas uistinu treba otkriti svoju izvornu veličinu. Posebnost vjeronauka je u tome što je njegov objekt Istina pisana velikim slovom. Vjeronauk je, stoga, pozvan ne samo razumski protumačiti istinu, nego tražiti načine koji će pridonijeti osobnom susretu s Istinom, s Osobom, koja životu daje novi obzor i time konačni pravac (Deus Caritas est, 2). Vratimo se na početak! Sada se opet vraćam na ekleziologiju vjere. Vidjeli smo da je svaki naš čin vjere događaj kojim egzistencijalno prihvaćamo/živimo vjeru Crkve. Možemo reći da je vjera čin kojim prisvajam odnos Crkve prema Bogu, ali ne kao nešto što od tog trenutka postaje isključivo moje. Upravo suprotno, vjera Crkve postaje moja u onoj mjeri u kojoj ja pripadam Crkvi. U tom kontekstu smatram da će vjeroučitelj moći govoriti o vjeri onoliko koliko sam živi Crkvu. Zato je pozvan iz dana u dan osobno otkriti bogatstvo i ljepotu Crkve, jer kako to lijepo reče papa Benedikt XVI samo iznutra, iz iskustva vjere i crkvenog življenja vidimo Crkvu onakvu kakva uistinu jest: puna milosti, prekrasna od ljepote, urešena mnogim darovima Duha. Zbog ovoga smo mi, koji živimo život milosti u zajedništvu Crkve, pozvani privući u ovo otajstvo svjetla, svakog čovjeka. 7 Vjera koju Crkva naučava i živi nije neki statični depositum kojeg je usvojila i drži. Ako vjera raste i učvršćuje se samo vjerujući, kako kaže papa Benedikt, onda je jasno da i vjera Crkve koja vjeruje, raste. Neizostavno mjesto Crkve kao one koja vjeruje je liturgija, na poseban način Euharistija kao izvor, središte i vrhunac čitavog njenog života (usp. SC 10). Stoga nije moguće da živimo vjeru Crkve, da je učinimo svojom, ako sami ne primamo život iz Euharistije, ako ne razvijamo intimni odnos s Kristom u slavlju Crkve i u osobnoj molitvi. Sigurno je da ovo što sam izložio ne može ponuditi sve odgovore na pitanja kako vjeronauk može pomoći izgradnji vjerničkog stava. U svakom slučaju, nadam se da je makar malo doprinijelo spoznaji da bez osobne vjere ne možemo ni druge dovesti do vjere. Vjerujem, također, i da smo svjesni da smo iz dana u dan pozvani otkrivati Crkvu onakva kakva ona jest: Majka koja se svim onim što naučava i živi brine za čovjeka, za njegovo spasenje. Spasenje dolazi samo od Boga, dakle, Crkva nije začetnica našega spasenja, nego je kako to lijepo kaže Katekizam Katoličke Crkve (br. 169) Majka našeg novog rođenja. Crkva nam je prvi svjedok da Bog nikada ne napušta grešnika, nego ga traži očinskom ljubavi. 8 Dao Bog da to iskusimo i svjedočimo svima kojima smo poslani! Dr. sc. Edvard Punda Preporučena literatura: Katekizam Katoličke Crkve, HBK, Zagreb Benedikt XVI, Porta fidei Vrata vjere. Apostolsko pismo u obliku motuproprija kojim se proglašava Godina vjere, KS, Zagreb J. Ratzinger, Uvod u kršćanstvo. Predavanja o apostolskom vjerovanju, KS, Zagreb Prijevod s talijanskog je moj, a govor se može naći na: 8 Gospodin je vjeran i on svoju predanost više ne opoziva, već neprekidno posvećuje svoju Crkvu, u kojoj njegova svetost biva prisutnom među ljudima. (J. Ratzinger, Uvod u kršćanstvo, str. 343.)

13 STRUČNO USAVRŠAVANJE 13 Vjera osnovnoškolaca Iskustveni vid Djeca imaju ono na čemu im mnogi odrasli mogu pozavidjeti, a to je žeđ za Bogom. Ona su sposobna doživjeti Boga i Njegovu veličinu. Sam Isus je rekao: Pustite dječicu i ne priječite im k meni jer takvih je kraljevstvo nebesko (Mt 19,14). U dokumentu Na svetost pozvani hrvatski biskupi tvrde da najveći dio poteškoća koje prati vjerski odgoj djece i mladih ima svoje uzroke u nedostatnom sudjelovanju obitelji. Roditelji često kao da dižu ruke od odgojnih zahvata, kao da djeci prepuštaju da sama odlučuju. Naprotiv, oni su dužni ne nametati nego predlagati, upozoravati, poticati, a najprije primjerom pokazati kako je vjera vrlo važna u životu. Bez obitelji gotovo da nema odgoja u vjeri. Često od roditelja možemo čuti komentare poput ovih: Moja su djeca krštena i pričešćena, a sve ostalo je njihov izbor. Stariji se krizmao, mlađi nije htio. Mlađi ide redovito nedjeljom u crkvu, stariji više ne. Oba idu na vjeronauk jer smatramo da je to stvar etike i opće kulture kad idu svi neka idu i moja djeca. Sve je njihov izbor i njihovo pravo... Učenici prvog razreda Prvog školskog sata prvaši imaju inicijalni test. Rezultati su poražavajući: u razredu od 25 učenika njih 4 do 5 zna se prekrižiti i izmoliti osnovne molitve. Ovi se rezultati, doduše, razlikuju od škole do škole, ovisno je li u gradskoj ili prigradskoj ili manjoj seoskoj sredini, ali su jasan pokazatelj vjerskog odgoja u našim obiteljima. Vjeroučitelj je za prvašiće Katica za sve (oblači, zakopčava, briše, oštri, veže vezice...). Učenici ove dobi nisu samostalni, sve im treba bezbroj puta ponoviti, i to polako i jasno (pitanjima oni ne provociraju već im zaista nije jasno). Teško im je zadržati pažnju pa je potrebno svakih 10 do 15 minuta mijenjati aktivnosti (čitanje, pjevanje, tumačenje, pisanje, crtanje, pričanje, igranje, molitva uz pokrete...). Lako ih je oduševiti, sve prihvaćaju i upijaju kao male spužvice. Vole slušati biblijske i druge priče, na poseban način ako su prepričane s elementima dramatizacije. Pri tom znaju čak i zaplakati. Rado crtaju, mole, pjevaju pjesmice, a posebno s pokretima. Vole gledati prezentacije i crtane filmove. Na kraju prezentacije ili crtanog filma znaju zapljeskati. Traže pohvalu jer su nesigurni i dobro je svako dijete češće pohvaliti, a nacrtani znak leptirića, srce, cvjetić... ih razveseli. Previše pitanja u analizi teksta ili priče ih umara. Lijepo je naučiti ih kršćanski pozdrav Hvaljen Isus i Marija. Brižni su, pa ih zanima: Je li se Bog umorio dok je stvarao svijet? Radoznali su, pa postavljaju pitanja: Gdje je Bog bio prije nego je stvorio svijet? Zašto se Bog nije oženio? Je li Bog muško ili žensko? Imaju li anđeli krila? Sramežljivi su, pa kad govorimo o Adamu i Evi koji su bili bez odjeće, zacrvene se, otvore širom oči, pogledaju se i slegnu ramenima. Što ne vole? Ne vole sve ono što dugo traje, ono što im nije jasno, ne vole kad moraju puno prepisivati s ploče, ne vole kad vjeroučitelj viče jer ih to plaši. Zadaci u kojima se od njih traži uglavnom bojanje su im dosadni, a s druge strane umanjuju njihovu kreativnost.

14 14 STRUČNO USAVRŠAVANJE Trećaši su usmjereni na Prvu pričest koju s nestrpljenjem iščekuju. Revno izvršavaju svoje dužnosti. Znaju često postavljati pitanja vezana uz grijeh, odnosno što dobro dijete Božje treba napraviti u određenoj situaciji. Znaju jedan drugoga poučavati i poticati na činjenje dobra. Uzrast je zahvalan za poučavanje, uz malo truda postižu se odlični rezultati. Obožavaju vjerić i vjeroučiteljicu. Njihove bilježnice su često prava mala remek-djela. Učenici četvrtog razreda Iz mog dosadašnjeg iskustva ne preporučam davanje domaćih uradaka (na poseban način u prvom polugodištu). Djeca ove dobi su nesamostalna i nesigurna u sebe i svoje sposobnosti pa od jednog nama naizgled bezazlenog uratka roditelji znaju napraviti pravi problem i alarmirati okolinu u potrazi za onim tko će znati odgovore na postavljena pitanja ili dobre crtače koji će znati lijepo nacrtati zadano. Učenici drugog razreda Jako su slični prvašima, ali ipak za stepenicu napredniji. Oduševljeni su biblijskim pričama: Noa i njegova korablja, Abraham i zvjezdano nebo, Josip Egipatski im ostaje u trajnoj uspomeni. Potaknuti ovim biblijskim likovima žele čitati i ostale sadržaje iz Biblije. Javlja im se ljubav prema Svetom pismu i želja da ga imaju. Rado donose svoje primjerke od kuće i s ponosom ih pokazuju i prepričavaju pročitano. Ovaj poticaj za čitanjem Svetog pisma dobar vjeroučitelj će znati vrednovati i istaknuti. Učenici trećeg razreda Vole dragog Boga i njegova Sina Isusa, a nebesku Majku obožavaju. Rado pišu molitve i sastave na sve teme. Brzo i lijepo smisle rimu u svojim pjesmama. Prepričavaju lijepo i detaljno, pri čemu im je svaka riječ važna. Vole disciplinu (umiruju jedni druge). Zajednički odlazak na sv. misu gdje su neki ministrirali, neki čitali, a svi molili i pjevali rado i u osmom razredu spominju kao poseban sat vjeronauka. Izvrsni su u pantomimi i još bolji u scenskom izražavanju. Rado rade u skupinama. U svim karitativnim akcijama sakupe najviše novca - imaju jako osjetljive duše. Učenici petog i šestog razreda Ovo je najzahvalniji uzrast za svakog vjeroučitelja. Pojedini razredi bi mogli imati sat i bez vjeroučitelja. Ozbiljni su, vrijedni, samostalni, još ih ne pucaju hormoni. Sve, baš sve što im se zada vole jer naprosto vole vjeronauk i vjeronaučne sadržaje ovog razreda. Spremni su i za pojedinačni rad, rad u paru ili grupni rad. Vole ukrašavati svoj uradak. Vole biblijske događaje, obožavaju slušati poučne priče i primjere iz života. Poštuju autoritet i ispričaju se za neposluh. Ozbiljnije shvaćaju vjeronaučne sadržaje. Impresioniraju ih biblijski likovi poput Abrahama, Izaka i Jakova, Davida, Mojsija, Petra i Pavla... Uspješno se uživljavaju u likove i prepričavaju u prvom i svim drugim licima. Obožavaju doslovno sve: strip, umne mape, intervjue, pisanje dnevnika, dovršavanje priče, preoblikovanje teksta, otuđenje, psiho-testove; križaljke i osmosmjerke koje sami izrađuju. Vole i ispitivanje, jedva čekaju kontrolne i vesele se svakoj dobroj ocjeni. To je uzrast u kojem punim srcem mo-

15 STRUČNO USAVRŠAVANJE 15 žemo pjevati svi zajedno: Bog je stavio malo sjeme u moju dušu... Sve što posijemo donese roda. U ova dva razreda zaista je teško naći nešto što im se ne da raditi ili im se ne sviđa. Učenici sedmog i osmog razreda Vjeroučitelj ovog uzrasta mora biti 5 u 1: otac i majka - očekuju da ih bezuvjetno volimo; prijatelj - onaj koji ih uvijek razumije i prihvača; autoritet - onaj koji ih zna staviti pod kontrolu; psiholog - onaj koji prepoznaje njihovo raspoloženje i s njima rado priča. Vole čitati i slušati priče, iako su veliki. Vole crtati olovkom, raditi grafite, pisati glagoljicu. Strip im je drag, posebno karikature. Rado izrađuju umne mape. Osmosmjerke i križaljke im osvježe dan. Super su im točkalice i psiho-testovi. Rado obrađuju novo gradivo uz prezentacije. Vole rad na projektu. Vole pisati intervjue i sve oblike scenskog izražavanja. Vole raspravljati u nedogled. Vjeroučitelj mora jako paziti da ne upada u zamke nekih rasprava s učenicima. Vole izvanučioničku nastavu. Vole sve sadržaje vezane uz njihov svakodnevni život, posebno sadržaje prvih nastavnih tema vezanih uz njihov rast i sazrijevanje. Kritični su prema svemu. Rado postavljaju pitanja: Što je okultizam? U što vjeruje Tom Cruise? Što Madonni znači crvena vrpca oko ruke? Kako je Bog stvorio svijet u šest dana kad u biologiji učimo drugačije? Kako se već više puta ponavljaju isti vjeronaučni sadržaji, moramo paziti da ih u ovom vjeronaučnom uzrastu obradimo drugačije i njima zanimljivije. Manje su im drage teme o prorocima i povijesne teme, posebno one od 17. do 19. stoljeća. Teme o izboru zvanja i zanimanja su im vremenski malo kasno. Ne vole prepisivati s ploče. Jako ih zainteresiraju i smire teme o smrti, vječnom životu, grijehu, Dekalogu, Isusovoj patnji i uskrsnuću. Vole razgovarati, često znaju reći da samo s vjeroučiteljem mogu iskreno i ozbiljno razgovarati. Ovo je uzrast koji od vjeroučitelja naprosto zahtijeva posebnu pripremu za rad. Hoće da rad bude raznolik, zanimljiv, zabavan i aktualan. Vole komentirati primjere iz svakodnevnog života, iz novina, serija i filmova. Ukoliko vjeroučitelj ne uloži puno truda, vještine, strpljenja, muke, molitve i ljubavi, usudila bih se reći cijeloga sebe, sati vjeronauka bi mogli biti vrlo mučni. Dodatan problem rada u ovim razredima je taj što se nastava vjeronauka uglavnom odvija peti i šesti školski sat. Kako postati dobar vjeroučitelj? Ne škrtari na pohvalama! Pohvale su najsnažnija motivacija učenicima da čine što je ispravno. Čini se da uvijek nađemo vremena za to da im kažemo u čemu su pogriješili. No, koliko često ih pohvalimo i kažemo što su ispravno učinili? Uključi se u njihov život! Drago im je kada se uključiš u ono što njih zanima ili zabrinjava. Kroz sudjelovanje u njihovim životima možeš uspostaviti odnos prijateljstva prema učenicima koji će ti omogućiti da lakše komuniciraš s njima i da ih učiš životnim vrijednostima i vještinama koje trebaju usvojiti. Budi im primjer i budi uporan! Ako želiš zasaditi dobro sjeme u srce svojih vjeroučenika, pokaži im primjerom. Neka tvoj život bude živo svjedočanstvo vjere. Djeca su gotovo neprevarljiva. Više uče iz naših postupaka nego iz našeg govora i tumačenja. Pripremi se za sat! Svaki sat u koji uložiš dovoljno truda i vremena bit će dobar i vjeroučenicima i vjeroučitelju. Isplati se svaka potraga za nečim dobrim, novim, lijepim i

16 16 STRUČNO USAVRŠAVANJE Kad sam prvi put čula molitvu, dotakla sam svijet prepun ljubavi. Bože, ja te jako volim i još jače te molim pošalji mi anđela sa štitom, oklopom i mačem da me čuva od svakoga zla. Kao što čovjek pod vodom čezne za zrakom, kao što bogataš čezne za još novca, kao što siromah čezne za hranom, tako ja čeznem za Bogom. Ako se svega bojimo, mi nemamo dovoljno vjere. Ako imamo vjere, srce nam svijetli. Vjera je poput velike zlatne zvijezde koja želi obasjati sve ljude na zemlji. zanimljivim. Učenici znaju prepoznati i vrjednovati naš uloženi trud. Teologija ili samo osnovna škola? Ne ulazi u veliku dubinu, širinu i teološka naučavanja, već riječima primjerenim uzrastu priopći ono bitno i razumljivo. Uči od Isusa! Kad se od njega tražila riječ, sagnuo se i stao pisati po podu. Lovio je ribu i usput poučavao. Sjedio je na gori i izrekao riječi za sva vremena i za sve ljude. Sjeo je pod stablo da se odmori i dao misliti svima nama. Bio je autentičan, poslušan, dosljedan... Molite i moli! Za odrasle je molitva često borba. Za djecu je još uvijek užitak. Djeca mole u svojoj spontanosti. Oni s lakoćom uče molitvene formule. Njihove duše su skroz blizu Bogu, a po krštenju su postale hramovi Duha Svetoga. Po molitvi se širi njihovo povjerenje u Boga. Molitva je put po kojem u dječje duše najlakše ulaze sadržaji vjere. Moli i ti s njima, moli kao oni, moli i za sebe i za njih! Crtice iz vjeroučeničkih bilježnica (razredna nastava): Neki ljudi vole Boga u duši i u srcu, a neki to iskazuju preko svog ponašanja. Vjera u Boga se ne može opisati. Crtice iz vjeroučeničkih bilježnica (predmetna nastava): Sviđa mi se vjerić jer je vjerićka normalna, nema neke svoje fiks ideje, sve nas razumije i uvijek nam dade savjet. Vjeroučiteljica je normalna, smirena, ljubazna i nikad u ovih sedam godina koliko nas uči nije bila živčana. Ostali učitelji nisu takvi. Vjeronauk je jedini predmet na kojem se moja duša može odmoriti. Vjeronauk je zabavniji način učenja od svih ostalih predmeta. Na vjeronauku mi je najdraže što se uvijek pomolimo i što tu molitvu nekomu posvetimo. Vjeronauk nas ne uči definicijama nego kako biti bliži sebi, ljudima oko sebe i Bogu. Mislim da je dobro za sve nas da idemo na vjeronauk i slušamo o Bogu. On će nam prosvijetliti razum i ojačati volju pa ćemo biti još bolji. Umjesto zaključka: Nastoj slijediti Boga koji sigurno u tebe ima veliko povjerenje! Dovoljno je sjetiti se da je baš tebe izabrao kao svog suradnika u ovom velikom djelu koje vršiš. Mirjana Vuletić

17 STRUČNO USAVRŠAVANJE Vjera srednjoškolaca Iskustveni vid 17 Promišljanje o vjeri srednjoškolaca temeljim na osobnim doživljajima koji proizlaze iz višegodišnjeg iskustva rada u školi, kao i na svjedočanstvima vjeroučenika gimnazijalaca s kojima sam razgovarala o temi stručnoga skupa Vjeronauk od nauka vjere do stava vjere te od njih zatražila pisano izražavanje. Oni su znali da ću se poslužiti njihovim stavovima na izlaganju te su ih pristali dati u anonimnoj anketi. Neki su se od njih prepoznali i naknadno pristali da im se objavi ime. Analizirajući razmišljanja učenika dobila sam uvid kako oni procjenjuju osobnu vjeru i vjeru svojih vršnjaka. Svjedoče da im vjera tijekom srednjoškolskog obrazovanja prolazi određene etape: nekritična je i naivna (djetinja); ulazi u proces mijenjanja i kritičkog propitivanja; prolazi put kušnje od tradicionalnog vjerovanja bez dostatne osobne uključenosti, preko indiferentizma do praktičnog ateizma ili vjerskog stand by-a; upada u zamke privatiziranja tako da srednjoškolci žele živjeti neki svoj odnos s Bogom, ali bez duboke povezanosti sa zajednicom vjernika. Ono čega su više ili manje svjesni jest činjenica da vjerski život srednjoškolaca nije izolirana zbilja i da ga je potrebno promatrati u kontekstu osobnoga dozrijevanja, obiteljskoga i društvenoga života. Različiti konteksti vjere srednjoškolaca Vrednovanje vjere srednjoškolaca ne smije se izuzeti iz konteksta njihova cjelokupnog mladenačkoga života koji je pun turbulencija. Nutarnja previranja i promjene odražavaju se na svim područjima pa tako i na religioznost. Upravo je u srednjoškolskoj dobi najizraženije lutanje u vjeri, odmaci i otuđenja, ali i vraćanje k vjeri. Dakako, ima i onih kojima otuđenje postane navika, stil života. Na vjeru mladih ljudi utječe i suvremeno društvo u koje urastaju i koje oblikuje njihov mentalitet. U pluralizmu različitih stilova života mladima se nude različite i nerijetko oprečne vrednote. Srednjoškolci su svjesni da im okruženje u kojemu žive pomaže u stvaranju i njegovanju loših navika. Osjećaju da žive u svijetu koji nije zainteresiran za vjeru te da im je utoliko teže biti dobrim ljudima i istinskim vjernicima. S druge pak strane kao da im se ne da živjeti pod teretom vjere. Priznaju da je vjera obveza, a oni se rado oslobađaju svih obveza. U opasnosti su da postanu robovi konzumizma i hedonizma jer im se, u ime zaštite i promocije osobnih prava, servira da je sve slobodno. Ali - sa svetim Pavlom možemo reći - sve ne koristi. Sve je dopušteno! Ali - sve ne saziđuje (1 Kor 10,23). Ni religiozni kontekst ne ide na ruku mladima. Daje podvojenu sliku. Naime, u društvu s vrlo visokim postotkom deklariranih katolika jasno se uočava raskorak između teorije i prakse. Naši mladi uočavaju nedjelotvornost vjere, kako u svojoj obitelji tako i u hrvatskom društvu. Vjera se više živi u privatnosti, a manje u svojoj bitno zajedničarskoj dimenziji. Možda upravo zbog toga i srednjoškolci, negdje na raskrižju svojih religioznih opredjeljenja, makar kratkoročno izabiru slijediti takav put:

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK. Rši sism jdnačina: d 7 d d d Ršnj: Ša j idja kod ovih zadaaka? Jdnu od jdnačina difrniramo, o js nađmo izvod l jdnačin i u zamnimo drugu jdnačinu.

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

EKSPONENCIJALNE i LOGARITAMSKE FUNKCIJE

EKSPONENCIJALNE i LOGARITAMSKE FUNKCIJE **** MLADEN SRAGA **** 0. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE EKSPONENCIJALNE i LOGARITAMSKE FUNKCIJE α LOGARITMI Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: Mladen Sraga

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA.   Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A : PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 003 (Vesna, osnovna škola) Kolika je težina tijela koje savladava silu trenja 30 N, ako je koeficijent trenja 0.5?

Zadatak 003 (Vesna, osnovna škola) Kolika je težina tijela koje savladava silu trenja 30 N, ako je koeficijent trenja 0.5? Zadata 00 (Jasna, osnovna šola) Kolia je težina tijela ase 400 g? Rješenje 00 Masa tijela izražava se u ilograia pa najprije orao 400 g pretvoriti u ilograe. Budući da g = 000 g, orao 400 g podijeliti

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

ΣΑ ΜΕΡΗ ΣΟΤ ΛΟΓΟΤ ΣΗΝ ΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΑ

ΣΑ ΜΕΡΗ ΣΟΤ ΛΟΓΟΤ ΣΗΝ ΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΑ ΣΑ ΜΕΡΗ ΣΟΤ ΛΟΓΟΤ ΣΗΝ ΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΑ Η ςερβικι γλώςςα ζχει δζκα είδθ λζξεων τα οποία ονομάηονται μζρθ του λόγου. Τα μζρθ του λόγου χωρίηονται ςε δφο κατθγορίεσ τα κλιτά (δθλαδι αυτά τα οποία εμφανίηονται

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta 4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα