Značaj državne izmjere za. infrastrukturu prostornih podataka
|
|
|
- ᾍιδης Ελευθερίου
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU GEODETSKI FAKULTET Zavod za geomatiku, Katedra za državnu izmjeru Značaj državne izmjere za pouzdanu geodetsku infrastrukturu prostornih podataka Tomislav Bašić tomislav.basic@geof.hr ; tomislav.basic@cgi.hr HKOIG, 2. simpozij ovlaštenih inženjera geodezije, Opatija, listopada Uvodne činjenice... Zadnjih godina napravljen je veliki napredak u području osnovnih geodetskih radova u Hrvatskoj: Definiranje i realizacija novog položajnog (HTRS96), gravimetrijskog (HGRS03) i visinskog (HVRS71) referentnog sustava RH, godine, odluka Vlade (NN, 110/2004), Definiranje HRG2000 plohe geoida godine i prve verzije T7D GRID modela za HTRS96/HDKS transformaciju godine, Uspostava CROPOS sustava za precizno pozicioniranje i navigaciju krajem godine (DGU, HKOIG - 2. simpozij Opatija,
2 HTRS96 Europski terestički referentni sustav za epohu (European Terrestrial Reference System 1989) skraćeno ETRS89, utvrđuje se službenim nepromjenjivim i o vremenu neovisnim položajnim referentnim koordinatnim RH Elipsoid GRS80 (a = m, μ = 1/ ) određuje se službenim matematičkim modelom za Zemljino tijelo u RH Položajna mreža koju čini 78 osnovnih trajno stabiliziranih geodetskih točaka čije su koordinate određene u ETRS89, određuje se osnovom položajnog referentnoga koordinatnog sustava RH Položajnom referentnom koordinatnom sustavu RH u kojem su koordinate 78 osnovnih geodetskih točaka određene godine određujesenazivhrvatski terestrički referentni sustav za epohu skraćeno HTRS96. 3 EUREF94 CROREF96 10kmGPS HTRS i brojne GPS (GNSS) mreže gradova, za potrebe katastarskih izmjera, većih inženjerskih radova,
3 HGRS03 Referentni sustav za određivanje ubrzanja sile teže čiju osnovu čini međunarodna gravimetrijska standardna mreža (International Gravity Standardisation Network 1971 IGSN71, određuje se gravimetrijskim referentnim sustavom RH Referentnim nivo elipsoidom za određivanje normalnog polja ubrzanja sile teže u RH određuje se GRS80 elipsoid s pripadajućim fizikalnim parametrima: GM = x10 9 m 3 s 2, ω = x10 5 rads 1 Osnovna gravimetrijska mreža koju čini 6 trajno stabiliziranih točaka apsolutne gravimetrijske mreže i 36 trajno stabiliziranih točaka gravimetrijske mreže I. reda, na kojima je ubrzanje sile teže određeno đ u IGSN71 određuje đ seosnovom gravimetrijskog referentnog sustava RH Gravimetrijskom referentnom sustavu RH u kojem je ubrzanje sile teže na 42 točke osnovne gravimetrijske mreže određeno godine određujesenazivhrvatski gravimetrijski referentni sustav 2003 skraćeno HGRS03. 5 HVRS71 Ploha geoida koja je određena srednjom razinom mora na mareografima u Dubrovniku, Splitu, Bakru, Rovinju i Kopru u epohi određuje se referentnom plohom za računanje visina u RH Visinska mreža koju čine trajno stabilizirani reperi II. nivelmana visoke točnosti čije su visine određene u sustavu (normalnog) Zemljinog polja sile teže, određuje se osnovom visinskog referentnog sustava RH Visinskom ii referentnom sustavu RH, određenom na temelju srednje razine mora, određuje se naziv Hrvatski visinski referentni sustav za epohu skraćeno HVRS
4 HRG2000, T7D, CROPOS HKOIG - 2. simpozij Opatija, European mapping - Reference data for Europe s SDI Cadastre Addresses Geog. Names Administrative units Height River networks Roads & other transport networks Orthoimagery Topographic layer Geodetic system HKOIG - 2. simpozij Opatija,
5 Radovi državne izmjere u godini Zbog toga što se: jedinstveni transformacijski model HTRS/HDKS, definiran godine, temeljio na premalo i nepravilno po teritoriju RH raspoređenih identičnih točaka (<2000), ponegdje i loše kvalitete podataka (posebno za visine), detaljni model geoida HRG2000 odnosi na stari visinski datum ( Trst ), određen je bio na temelju relativno malog broja mjerena,a nedostajala je njegova nezavisna procjena kvalitete, potpisan je između Državne geodetske uprave i Geodetskog fakulteta krajem listopada godine Ugovor o izvođenju razvojno istraživačkog projekta Novi model geoida Republike Hrvatske i poboljšanje T7D modela transformacije. Konačni rezultati tog projekta glavna su tema ovog predavanja. 9 Računanje novog geoida HRG2009 Spomenimo najvažnija poduzeta istraživanja: analiza recentnih globalnih geopotencijalnih modela (GGM) baziranih na CHAMP i GRACE misijama te posebno EGM2008rješenja, j prikupljanje i kontrola kvalitete znatno većegbrojapodatakazasilutežu kreiranje i provjera 3''x3'' DMR a iz podataka Shuttle Radar Topography Mission (SRTM) za potrebe računanja visokofrekventnog dijela spektra Zemljina polja ubrzanja sile teže, uspostava Osnovne gravimetrijske mreže, EUVN i EUVN_DA (kontrola), analiza razlika visina između starog i novog visinskog datuma, uspostava preko 500 novih GNSS/Nivelmanskih točaka diljem kopnenog dijela RH za potrebe bolje apsolutne orijentacije novog geoida, ali i nezavisne ocjene kvalitete HRG2000, konačno računanje nove plohe geoida HRG2009 (srpanj rujan 2009.). 10 5
6 Definiranje GNSS/Niv. točaka godine CROPOS h N N h H 11 Pokrivenost VIP signalom pri određivanju GNSS/Niv. točaka RTK (plavo) 452 Statika (crveno) 86 19% 12 6
7 Nezavisna kontrola kvalitete HRG2000 geoida 13 Provjera kvalitete EGM2008 modela geoida EGM2008 (9km) < EGM96 (55 km) GNSS/Niv Model geoida (495) Minimum Maksimum Raspon Sredina Stand. dev. EGM96 (360x360) EGM2008 (2160x2160)
8 g podaci i DMR (3"x3" i 1x1 SRTM) podaci 15 Kolokacija po najmanjim kvadratima (LSC) Reducirana opažanja (remove): C 0 = mgal 2 s cov g M gg' C s C ( P, Q) A g n3 n 1 s ( n 2)( n B) n2 n P (cos ) x L ( T ) L ( T ) L ( T ) n i i i EGM i RTM LSC definira aproksimaciju: ~ ' T ( P) C T P (C D) -1 x Resultat (restore): ~ L ~ j ( T ) L j( T ') L j( TEGM ) L j( T gdje su linearni funkcionali: T T 2 ; g T r r 1 T r ; RTM 1 T r cos ) i (1) (2) (3) (4) 16 8
9 Kako je izračunan HRG2009? g REZ g SLZ g EGM 2008 g RTM n=30639 Sredina Stand. dev. Minimum Maksimum ggrs80 g EGM2008 g RTM g REZ HKOIG - 2. simpozij Opatija, Kako je izračunan HRG2009? N REZ N GNSS / NIV N EGM 2008 N RTM n=495 NGNSS/NIV / NEGM2008 NRTM NREZ Sredina Minimum Maksimum Stand. dev. HKOIG - 2. simpozij Opatija,
10 HRG2009 N HRG2009 N HRG2009 NN HRG2000 Sredina Stand. dev Minimum Maksimum Kontrola kvalitete HRG2009 geoida 20 10
11 Transformacija Metode transformacije koje se danas najčešće razvijaju za potrebe korisnika s različitim zahtjevima po pitanju točnosti su: Metoda transformacije točnost Napomena 1 «Simple Block Shift» metoda 10 m Smanjena točnost 2 Transformacija Molodenskog 5 m Smanjena točnost 3 3D slična 7 parametarska transformacija 1 m Srednja točnost 4 GRID metoda m Povećana točnost U godini razvijen je za potrebe HDKS/HTRS96 transformacije jdi jedinstveni imodel dlkji koji uključuje č j konformnu 7 parametarsku transformaciju i modeliranje distorzije, iskazane zajedno kao Hrvatska GRID metoda. Iako je već tada ostvarena visoka točnost transformacije, glavna mana je bila nedovoljno identičnih točaka u obadva sustava, koje su k tome bile loše raspoređene po teritoriju RH. 21 DGU progušćenje točaka za transformaciju godine N=2000 N=5500 CROPOS 22 11
12 7 parametarska (3D slična) transformacija (T7) Uz uvjet da su Eulerovi kutovi rotacije koju sekundu, odnos između dva 3D kartezijeva koordinatna sustava možemo u potpunosti definirati jednostavnom 7 parametarskom transformacijom koju čine 3rotacije, 3translacije te 1promjena mjerila. X ' X X ' 6 Y Y (1 m10 ) R Z ' Z Y Z Z Z R z 1 R R R y z R 1 z R x R R 1 x y R y Y (X, X,Y, Y,Z) su parametri translacije, R matrica rotacije, i m mjerilo (u ppm parts per million ). X X R x Y Važna napomena: Iako je ovom metodom moguća i transformacija visina, direktna transformacija visina korištenjem modela geoida općenito je jednostavnija i točnija! 23 T7 47 n = 5200 Transformacijski Ocjena točnosti parametri (m (HRG2009) 0 = m) 46 Translacija: Tx m ± m Ty m ± m Tz m ± m Geografska širina u stupnjevim ma Rotacija: Rx '' ± '' Ry '' ± '' Rz '' ± '' Mjerilo: μ ppm ± ppm Točnost (rms): po po λ po h Horizontalno (2D) Trodimenzionalno (3D) m m m m m V. XXIII. XXV XIV VI II XXII Geografska duljina od Ferra u stupnjevima
13 Položajna distorzija HDKS a po (m) po (m) 25 Distorzija visina (H=h N) i Trst HVRS71 N=6748 Trst HVRS71 Mean 21.0 cm St.dev. 6.6 cm Min 5.0 cm Max 41.1 cm 26 13
14 Modeliranje distorzije... Kolokacija po najmanjim kvadratima (LSC) je tehnika koja u promatranoj točki uzima uz pomoć funkcije kovarijance u obzir utjecaj distorzije susjednih točaka ovisno o udaljenosti od promatrane točke. U slučaju računanja distorzijskog GRID a, cilj je koristiti slučajno raspoređene podatke da bi se procjenile komponente distorzije (δ,δλ) u svakom čvorištu GRID a (udaljenost između svaketočke i čvorišta GRID a je poznata). 5 6 d 5 d 6 4 d 4 d 1 d d 2 2 Linearna jednadžba za predikciju distorzije glasi: gdje su: C l C D ˆ C C 1 l l D Cd Cd Cd Cd Cd C C C C C C C l d 6 0 Cd 12 C d13 C d14 C d15 C d16 d 21 C 0 C d 23 C d 24 C d 25 C d 26 d 31 C d32 C 0 C d 34 C d35 C d 36 d 41 Cd 42 Cd 43 C0 Cd 44 Cd 45 d 51 Cd 52 Cd 53 Cd 54 C0 Cd 56 d Cd Cd Cd Cd C T GRID transformacija GRID Korekcija za φ,λ Nepoznati parametri transformacije u točki P računaju iz poznatih transformacijskih parametara u najbližim točkama GRID a. Za računanje transformacije geodetske širine δφ P i geodetske dužine δλ P u nekoj točki obično se koristi metoda bi linearne interpolacije: P a0 a1 X a2y a3xy φ Interpolirana vrijednost (δφ,δλ ) (δφ,δλ ) φ 4 T4 T3 φ P P (δφ,δλ ) P P (δφ,δλ ) (δφ,δλ ) φ 1 T1 T2 λ 1 λ P λ 2 λ gdje su: P b0 b1 X b2y b3 XY a a a2 4 a b b b2 4 b X Y P 1 / 2 1 P 1 /
15 Složena transformacija T7 N=5200 L S C G R I D D Točnost (rms): po po λ po H Horizontalno (2D) Prostorno (3D) 4.1 cm 4.1 cm 0.1 cm 5.8 cm 5.8 cm 29 Kontrola transformacije visina T7D programom HVRS71 Trst 30 15
16 HRG2009 ukazao na područja s problematičnim visinama!!! 31 HRG2009 ukazao na područja s problematičnim visinama
17 Problem s visinama na Pelješcu (10/2009) Broj Vlak Poligon Naselje Novi datum [m] POČETNI REPER: BP XV DOLI ZADNJI REPER: XV DOLI SMJER NIVELIRANJA: BP 541 > > BP 541 [m] DUŽINA NIV.VLAKA: VLAKA: 700 POČETNA VISINA: KRAJNJA VISINA: ODSTUPANJE: IZMJERENA VISINA REPERA 19342: RAZLIKA SLUŽBENE I IZMJERENE VISINE: Broj Vlak Poligon Naselje Novi datum [m] POČETNI REPER: BP XV DOLI ZADNJI REPER: XV DOLI SMJER NIVELIRANJA: A 554 > > A 554 [m] DUŽINA NIV.VLAKA: 270 POČETNA VISINA: KRAJNJA VISINA: ODSTUPANJE: IZMJERENA VISINA REPERA 19343: RAZLIKA SLUŽBENE I IZMJERENE VISINE: Zaključak Razvojem i konačnim definiranjem T7D rješenja na temelju bitno gušćeg polja identičnih točaka i novog geoida HRG2009, na raspolaganju je hrvatskim geodetima vrlo pouzdan jedinstveni model transformacije između HTRS96 (ETRS89) i HDKS, kao i između HVRS71 i Trst datuma za kompletni teritorij Hrvatske. Točnost položajne transformacije iznosi 5 10 cm, dok je točnost transformacije visina bolja od 5cmnanajvećem dijelu RH. Ispravni smisao (smjer) za položajnu transformaciju s T7D softverom je HDKS = HTRS96, što znači za transformaciju starih podataka u novi položajni referentni sustav RH! S obzirom na izuzetnu točnost HRG2009 geoida (kojega cm), trebalo bi ozbiljno razmisliti gdje bismo sve mogli uz pomoć GNSS/Geoid niveliranja efikasno i jeftino dodati i treću koordinatu (visinu) kao svoj obogaćeni proizvod? Važno za korisnike CROPOS sustava je da se vrlo skoro planira uključivanje kako transformacije položaja tako i visina u poruci CROPOS signala (Transformer), tako da će npr. direktno na terenu moći primati H umjesto h! Pritom treba u slučaju CROPOS/HRG2009 niveliranja voditi računa o načinu mjerenja h (RTK rješenje ponekad pleše i 20 tak cm)
18 Zaključak... Po pitanju visinskog sustava RH, odmah treba započeti s Projektom novog nivelmana visoke točnosti, koji će trebati uspostaviti u što kraćem vremenskom razdoblju (3 5 godina) i samo na teritoriju Hrvatske (ako je to moguće) ali i koji će pratiti nova definicija plohe geoida (srednje razine moguće), mora) na temelju aktualnijih mareografskih mjerenja i u okviru kojega će se pored niveliranja obavezno obavljati gravimetrijska i GNSS (CROPOS) mjerenja. Na temelju svega do sada ostvarenog u području osnovnih geodetskih radova nesumnjivo se može ustvrditi da su stvoreni vrlo dobri i međunarodno kompatibilni temelji za uspješnu nadogradnju geodetske i svih drugih infrastuktura prostornih podataka. podataka No jednako se tako mora reći da je i dalje izuzetno bitno nastaviti s održavanjem, obnovom i modernizacijom svih sastavnica državne izmjere, jer bez mm geodezije nema ni dobre geodezije, pa ni geoinformatike. HKOIG - 2. simpozij Opatija, SVEUČILIŠTE U ZAGREBU GEODETSKI FAKULTET Zavod za geomatiku, Katedra za državnu izmjeru H V A L A N A P A Ž NJ I! 18
Nova CROPOS on-line usluga za HTRS96/TM i HVRS71
Republika Hrvatska Državna geodetska uprava Sektor za državnu izmjeru Gruška 20, 10 000 Zagreb Nova CROPOS on-line usluga za HTRS96/TM i HVRS71 Donošenjem Odluke o utvrđivanju službenih geodetskih datuma
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Utjecaj sile teže u geometrijskom nivelmanu
Markovinović D., Špodnjak T., Bjelotomić O. (011): Utjecaj sile teže u geometrijskom nivelmanu dr. sc. Danko Markovinović, dipl. ing. geod. Tanja Špodnjak, mag. ing. geod. et geoinf. Olga Bjelotomić, dipl.
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
Gauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),
Vektorski identiteti ( ), Gauss, Stokes, Maxwell Saša Ilijić 21. listopada 2009. Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) Skalarni i
PRAVILNIK O NAČINU IZVOĐENJA OSNOVNIH GEODETSKIH RADOVA
DRŽAVNA GEODETSKA UPRAVA Sektor za državnu izmjeru Odjel osnovnih geodetskih radova PRAVILNIK O NAČINU IZVOĐENJA OSNOVNIH GEODETSKIH RADOVA studeni, 2008. godine Sadržaj Pravilnik o načinu izvođenja osnovnih
DRŽAVNA GEODETSKA UPRAVA
DRŽAVNA GEODETSKA UPRAVA 2136 Na temelju članka 10. stavka 5. Zakona o državnoj izmjeri i katastru nekretnina (»Narodne novine«br. 16/07) ravnatelj Državne geodetske uprave donosi PRAVILNIK O NAČINU IZVOĐENJA
Metode i instrumenti za određivanje visinskih razlika. Zdravka Šimić
Metode i instrumenti za određivanje visinskih razlika Zdravka Šimić Visinski prikaz terena - konfiguracija dio plana dio karte 2 Visinski prikaz terena Izohipse ili slojnice povezuju točke iste visine.
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Periodičke izmjenične veličine
EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike
Primjena satelitskog pozicioniranja u geodetskoj praksi
Godišnja skupština, hotel Lone, Rovinj, 4. 12. 2015. dr. sc. Danijel Šugar, dipl. ing. Primjena satelitskog pozicioniranja u geodetskoj praksi Sveučilište u Zagrebu Geodetski fakultet Sadržaj: 1. Motivacija
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA
FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ
Sistemi veštačke inteligencije primer 1
Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.
Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Сриједа, СЛУЖБЕНЕ НОВИНЕ ФЕДЕРАЦИЈЕ БиХ Број 18 - Страна 217
Сриједа, 29.2.2012. СЛУЖБЕНЕ НОВИНЕ ФЕДЕРАЦИЈЕ БиХ Број 18 - Страна 217 Na temelju članka 210. Zakona o izmjeri i katastru nekretnina ("Službeni list SR BiH", br. 22/84, 12/87, 26/90, 36/90 i "Službeni
2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.
GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju
Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada
Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u okolini tocke, i aplikate, tocke, : Uvede li se zamjena: i dobije se:
4. FUNKCIJE DVIJU ILI VISE PROMJENJIVIH 4. Ekstremi funkcija dviju promjenjivih z = f y ( y) ( y) z ( y) ( ) ( ) (, ) (, ) Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
PRILOG 1 PRAVILNIKA O NAČINU IZVOĐENJA OSNOVNIH GEODETSKIH RADOVA
DRŽAVNA GEODETSKA UPRAVA PRILOG 1 PRAVILNIKA O NAČINU IZVOĐENJA OSNOVNIH GEODETSKIH RADOVA RAČUNANJE TOČNOSTI POZICIONIRANJA GEODETSKE OSNOVE Ver. 1.0 1. STANDARDI ISKAZIVANJA TOČNOSTI POZICIONIRANJA Iskazivanje
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
BETONSKE KONSTRUKCIJE 2
BETONSE ONSTRUCIJE 2 vježbe, 31.10.2017. 31.10.2017. DATUM SATI TEMATSA CJELINA 10.- 11.10.2017. 2 17.-18.10.2017. 2 24.-25.10.2017. 2 31.10.- 1.11.2017. uvod ponljanje poznatih postupaka dimenzioniranja
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Sveučilište u Zagrebu Geodetski fakultet. Zavod za primijenjenu geodeziju Katedra za zemljomjerstvo. Skripta iz kolegija.
Sveučilište u Zagrebu Geodetski fakultet Zavod za primijenjenu geodeziju Katedra za zemljomjerstvo Skripta iz kolegija Izmjera zemljišta Prof. dr. sc. Marko Džapo Zagreb, svibanj 2008. Sadržaj 1 Geodetski
Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami
BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami Izv. prof. dr.. Tomilav Kišiček dipl. ing. građ. 0.10.014. Betonke kontrukije III 1 NBK1.147 Slika 5.4 Proračunki dijagrami betona razreda od C1/15 do C90/105, lijevo:
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi
FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog