Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u okolini tocke, i aplikate, tocke, : Uvede li se zamjena: i dobije se:
|
|
|
- Ανδρομέδη Καραμανλής
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 4. FUNKCIJE DVIJU ILI VISE PROMJENJIVIH 4. Ekstremi funkcija dviju promjenjivih z = f y ( y) ( y) z ( y) ( ) ( ) (, ) (, ) Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u okolini tocke, i aplikate, tocke, : = f + h, y + k f, y < Maksimum funkcije = f + h y + k f y > Minimum funkcije = f + h, y + k f, y = Nepravi ekstrem Nuzni uvjet za ekstrem funkcije z= f( y, ) u nekoj tocki ( y, ), je zadovoljenje uvjeta: = i = Dovoljni uvjet za ekstrem u tocki, y je: = f f f < Maksimum funkcije h hk k + + y y Minimum funkcije = > h = ρcosϕ Uvede li se zamjena: i dobije se: k = ρsinϕ = y= y f f f r = = s t = y ( r s ) ( rt s ) ρ cos + sin + sin ϕ ϕ ϕ r f i Za = r i rt s > Funkcija ima ekstrem u (, y) i = ; = za r > ima minimum za r < ima maksimum Tocke se nazivaju i tocke pozitivne zakrivljenosti, elipticke tocke. Tangentna ravnina dira plohu samo jednoj tocki. f i Za = r i rt s < Funkcija nema ekstrema. Tocke se nazivaju i tocke negativne zakrivljenosti, hiperbolne tocke. Tangentna ravnina dira i sijece plohu koja ima oblik sedla. Funkcije dviju promj.
2 f i Za = r i rt s = Funkcija nema ekstrema. Tocke se nazivaju i tocke nulte zakrivljenosti, parabolne tocke. Vezani ekstrem, je kada funkcija z = f(, y) ima ekstrem uz unaprijed zadani uvjet ϕ( y, ) =. Tocka ekstrema se odredi tako, sto se uvede nova kunkcija Fy (, ) sa vrijednoscu: F(, y) = f(, y) + λ ϕ(, y) i za nju odrede ekstremi rjesavanjem sistema F f ϕ F jednadzbi: = + λ = f ϕ = + λ = ϕ( y, ) =. Odredi ekstreme funkcije z = y + 4+ y Postavimo uvjete: = ; = = + 4= = T y = z = y+ = y = y (, ) (,) ( 4) f ( ) + + = = = = = = f r s f ( y ) ma (,, ) = (,,) + = = t = Imamo slijedece: r = s = t = : f i Za = r rt s = ( )( ) = 4 > Funkcija ima maksimum i aplikata iznosi: z = z = y y = = T y z Funkcije dviju promj.
3 π π. Odredi ekstreme funkcije z = sin + sin y+ cos ( + y), za ; y = cos sin ( + y) = Postavimo uvjete: = ; = : z = cos y sin ( + y) = y cos sin + y = Rjesenje sistema daje: cos = cos y cos y sin + y = cos sin + y = Uvrstimo: = y cos ( sin ) = cos sin = π π π π cos = = ; y = ; = ; y = π π π 5π 5π sin = sin = = ; y = ; 4 = π = ; y4 = π π π π π π 5π 5π Promatrane tocke su: T, ; T, ; T, ; T4, f y f f cos sin + y = = sin cos( + y) = r cos sin + y = = cos( + y) = s y cos y sin + y = = sin y cos ( + y) = t r π π π π π i Za T, r = sin cos + = ; Nema ekstrema π π π π π i Za T, r = sin cos + = > ;Funkcija ima minimum π π s = cos + =+ t = r = rt s = = > Funkcija ima minimum π π π π z = zmin = sin + sin y+ cos( + y) = sin + sin + cos + z = min Funkcije dviju promj.
4 . Odredi ekstreme funkcije z = y 4+ y+ 6 Postavimo uvjete: = ; = = 4= = T y = z = y+ = y = y (, ) (,) ( 4) f ( 4) = = = = = = f r s f y + = = t = Pregledno napisamo, imamo slijedece: r = s = t = : f i Za = r rt s = ( ) = 4 < Funkcija nema ekstrema. 4. Odredi ekstreme funkcije Postavimo uvjete: = ; = z = + y y+ = = = ± T T T T z = y = y = ± y (,; ) (,; ) (, ; ) (, ) ( ) ( ) = = = = y f f r 6 y ( y ) f t = = = 6y i Za T, r = 6 = 6 > Moguc ekstrem = s = rt s = 6 = 7 > Funkcija ima minimum. Funkcije dviju promj. 4
5 i Za T, r = 6 = 6 < Moguc ekstrem rt 4 4 s = 6 = 7 < Nema ekstrema i Za T, r = 6 = 6 > Moguc ekstrem rt s = 6 = 7 < Nema ekstrema i Za T, r = 6 = 6 < Moguc ekstrem rt ( 6) ( ) s = = 7 > Funkcija ima maksimum 5. Odredi ekstreme funkcije z = + y + 4y y Postavimo uvjete: = ; = 4 4 = y = y = z = 4y + 4 4y = 4y + 4 4y = y + y = + y = + y y+ y = = y Rjesenje sistema daje tocke: T, ; T, ; T, f f y ( 4 4 4y) + = = r = ( 4 4 4y) + = = s = 4 y ( 4y 4 4y) 4 f + t = = = y i Za T, r = 4 = 4 < r 4 rt s = = 6 6 = Funkcija nema ekstrem. i Za T, = 4 = > rt s = 4 4 = 84 > Funkcija ima minimum Funkcije dviju promj. 5
6 r min i Za T, = 4 = > Funkcija ima ekstrem rt s = 4 4 = 84 > Funkcija ima minimum 4 4 z = = 8 = U okolisu tocke T, funkcija nema ekstrem jer je rt s. 6. Odredi dimenzije kvadra volumena 6m tako, da povrsina ploha bude mionimalna. Volumen kvadra iznosi: V = abc = yz = z = y Oplosje iznosi: O = y+ yz+ z = y+ y + = y+ + y y y Postavimo uvjete: 64 = y = = ; = = y = 4 T 4, 4 z 64 = = y y f 64 8 f 64 y r y s f t = = = y = = = = = = i Za T( 4, 4) r = = > 4 rt s = = > Funkcija ima ekstrem, minimum ( r = > ). z = = = Dimenzije kvadra sa minimalnim oplosjem su: 4 4 m y Odredi ekstreme funkcije z = yln + y Postavimo uvjete: = ; = Funkcije dviju promj. 6
7 z y ( y ) y y ( y ) = ln + + = + ln + = + y + y y y = ln ( + y ) + y = ln ( y ) y + + = + y + y Iz prve jenadzbe slijedi y = Uvrstimo u drugu jednadzbu: + ln ( + ) ln = ln = + = ; = Iz druge jenadzbe slijedi = Uvrstimo u prvu jednadzbu: y + ( + y ) y y = y y = y = + y Dobili smo dvije tocke: T, ;,. ln ln ln ; y = Za T(,), funkcija je nedefinirana T + y Nastavljamo: y + y + ln ( + y ) = Oduzimanjem dobijemo: + ln ( + y ) = = y y = ± + ln ( + y ) + ln = + y = = =± = =± =± e e Slijedi: ln e y y y Dobili smo tocke: T, ; T4, ; T5, ; e e e e e e + T y y r e e + y f y 6, ln = + ( + ) = = y + y f + y y y + y + y 4 4 = y + ln ( + y ) = s s = + ln ( + y ) Funkcije dviju promj. 7
8 f y + y ln = + ( + y ) = t = y y y + y + y ( + ) + i Za T, r = = Funkcija nema ekstrem i Za T, r = Funkcija nema ekstrem + e e i Za T, r = = > e e e e + e e s = ; t = rt s = = 4 > Postoji ekstrem Funkcija ima ekstrem i to minimum: r = > zmin = ln + e e e e Istovrijedi za T = ln = e e e + e e i Za T5, r5 = = e e e e + e e r = < s = ; t = rt s = = 4> Funkcija ima ekstrem i to maksimum: r = < z min = ln e e 5 8. Odredi ekstreme funkcije Postavimo uvjete: = ; = = + y = + y = = ; y = z ; y y y + = = = = + = y ( y) z = + y + y + + y = = = = y f f r 6 = s = Funkcije dviju promj. 8
9 ( y ) f + t = = = 6y i Za T, r = 6 = Funkcija nema ekstrem i Za T, r = 6 = 6 < maksimum rt s = 6 6 = 7 > Funkcija ima ekstrem 9. Odredi ekstreme funkcije (,, ) 4 F y z = + y + z + y z = Postavimo uvjete: = ; = F F = = = F z 4 ( ) = = F ( y + ) = y = z y y + = = = F z 4 Izracunajmo aplikate: + y + z + y 4z = z 4 4 = = 6 = z z z z Zakljucujemo, da funkcija predstavlja sferu u prostoru i da ima maksimum u z = 6 i minimum u z = z = Funkcije dviju promj. 9
10 4. Broj podijeli u tri pozitivna dijela tako, da zbroj umnozaka od po dva uzeta dijela odjednom, bude maksimalan. Oznacimo nase brojeve sa yi, + y ; + y Moramo naci maksimum funkcije: F = y+ + y y Funkcija predstavlja trokut, za koji se moze naci maksimum (vidi sliku): Postavimo uvjete: = ; = F = y+ ( y) ( + y) = y = + y = F y = + ( y) ( + y) + = = y = ma y ( y) Rjesenje sistema daje: = 4; = 4; + = 4 F = y+ + y y = + + = = Ispitajmo granicne tocke trokuta: F i y = : Fy = = ( ) derivirajmo: = = = 6 Odgovarajuci maksimum iznosi: F = 6 6 = 6 < 48 ma ma F i = : F = = y( y) derivirajmo: = y = y = 6 Odgovarajuci maksimum iznosi: F = 6 6 = 6 < 48 ikonacno, za hipotenuzu imamo: y = : ( ) ( ( ))( ( )) ( ) F = + + = F = = = 6 Odgovarajuci maksimum iznosi: F = 6 6 = 6 < 48 ma Znaci apsolutni maksimum je za = y = z = 4 F = 48 ma Funkcije dviju promj.
11 4. Izracunaj najkracu udaljenost hiperbole + 8y+ 7y = 5; z = i ishodista Moramo znaci izracunati minimalnu udaljenost bilo koje tocje u y, sto iznosi + y, od ishodista uz uvjet da je + 8y+ 7y = 5. Uvjetovani ekstrem rjesava se koristenjem Lagrange-ovog multiplikatora: F = + 8y+ 7 y 5 + λ + y = Postavimo poznati uvjet: F = + 8y+ λ = ( λ + ) + 4y = Rjesenje sistema: F 4+ ( λ + 7) y = = 4y+ 8+ λ y = y λ + 4 = ( λ + )( λ + ) = λ + λ = λ = λ = 4 λ ; 9 i Za λ = imamo: + + 4y = = y Zamjenom u jednadzbi daje: + 8y+ 7y = 5 y + 8 y y+ 7 y = 5 5y = 5 Nema realnih rjesenja: y = i 45 i Za λ = 9 imamo: y = y = Zamjenom u jednadzbi daje: + 8y+ 7 y = = 5 45 = 5 = 5; y = 4 = + y = 5 + = 5 + y = 5 4. Izracunaj tocku plohe y+ z = 6 koja je najbliza ishodistu. Moramo znaci izracunati minimalnu udaljenost D = + y + z T(, y, z) od ishodista, uz uvjet da je y+ z = 6. y z 6 y bilo koje tocke + = = 6 ( 6) Postavimo poznati uvjet: + z D = + y + z = + + z + z D = + 4( + z 6) = 5+ 4z = = z = D 4+ 5z = 9 = 4( + z 6) + z = 6 6 y = + z 6 = + 6 = Trazena tocka je T,, Funkcije dviju promj.
12 4. Izracunaj koordinate z, presjeka povrsine i valjka 5 z = + y + y = F = + y+ λ + y 5 = Postavimo poznati uvjet: F λ + λ = = + = Rijesimo sistem jednadzbi: yλ F + = = + yλ = + y = 5 = λ λ = ± y = λ i Za λ = imamo: + = = ; + y = y = F ( + λ) F ( + λ) r = = = λ = = s = min ( yλ ) F + = = t = λ Za λ = r = λ = = > Postoji minimum rt s = = > Funkcija ima minimum z = + y + = 5 T (, 5) i Za λ = imamo: + = = ; + y = y = Za λ = r = λ = = < Postoji maksimum rt s = = < Funkcija ima maksimum z = + y + = 5 T (,5) ma () ma min 44. Izracunaj volumen najveceg pravokutnog paralelopipeda koji se moze upisati u y z y z elipsoid + + = + + =. a b c Oznacimo vrh kvadra u prvom oktantu sa Pyz (,, ). Volumen kvadra je tada V = 8yz. Postavimo poznati uvjet i derivirajmo implicitno: Funkcije dviju promj.
13 8 yz + y = 5z y z = = = Uvrstimo u jednadzbu elipsoida: 8y z + y = z + y + z = + + = = = = slicno tome dobijemo: y = z = Trazeni volumen iznosi: V = 8yz = 8 = ili opcenito: V = abc 9 F = + y + z y z z = + y. Obrazlozi rezultate. Uvjetovani ekstrem rjesava se koristenjem Lagrange-ovog multiplikatora: 45. Izracunaj ekstreme funkcije uz slijedece uvjete: + + = i y z F = + y + z P + + = Q + y z = y z G = F + λp+ λq = + y + z + λ λ( + y z) = Postavimo poznati uvjet: G λ = + + = G = + + = + + = + + G = + + = = λ λ λ λ+ λ = yλ 5λ y λ y yλ 5λ y = 5 λ + 5z zλ 5λ = zλ 5λ z λ z = 5 λ + 5 λ 5λ 5λ Q + y z = + = :( λ ) λ + 4 λ + λ Rijesimo sistem: + + = λ + 4 λ + λ + 5 λ + 4 λ + λ λ + 45λ + 75 = λ = ; λ = 7 Funkcije dviju promj.
14 λ λ λ λ 5λ i Za λ = : = = = ; y = ; z = λ λ λ 5λ y z 6 P + + = + + = λ λ 5λ = λ = λ = ± 6 Kriticne tocke su: = ; y = ; z = 5 = ; y = ; z = F y z λ 75 λ λ 4 λ 7 λ 7 λ Trazeni ekstrem iznosi: = + + = = i Za = : = = = ; y = ; z = 7 λ y z λ λ λ P + + = + + = λ 7 λ 7 λ = λ = ± Kriticne tocke su: = ; y = ; z = = ; y = ; z = = + + = Trazeni ekstrem iznosi: F y z = Funkcija F predstavlja udaljenost plohe nastale presjekom elipsoida P i ravnine Q, od ishodista. Ekstrem prikazuje naj vecu i naj manju udaljenost te ravnine od ishodista. Presjeciste je elipsa, pa su a = i b =,poluosi elipse Ovojnice porodice krivulja u rasnini 46. Odredi ovojnicu porodice krivulja zadanih sa sinϕ + ycosϕ = Postavimo uvjete: φ y,, ϕ = sinϕ + ycosϕ = φ( y,, ϕ) = cosϕ ysinϕ = ϕ sinϕ + ycosϕ = = sin ϕ; y = cosϕ cosϕ ysinϕ = Funkcije dviju promj. 4
15 Zamijenimo dobijena rjesenja: sinϕ + ycosϕ = + y y = + y = Ovojnica krivulja je kruznica + y = ϕ 47. Odredi ovojnicu porodice pravaca y = ϕ + ϕ Postavimo uvjete: φ( y,, ϕ) = y ϕ+ = ϕ φ( y,, ϕ) = + = = ϕ ϕ ϕ Zamijenimo dobijena rjesenja: y = ϕ + = + = Ovojnica krivulja je parabola y = z y 48. Odredi ovojnicu porodice povrsina zadanih sa = ϕ ϕ Postavimo uvjete: φ,, ϕ = ϕ ϕ = z ϕ ϕ y = z y = z = = zy y y y Ovojnica povrsina je krivulja y z y φ( y,, ϕ) = ϕy= ϕ = ϕ y Zamijenimo dobijeno rjesenje: = zy 49. Odredi ovojnicu porodice parabola y = ϕ ( + ϕ ) c Postavimo uvjete: φ( y,, ϕ) = y ϕ ( + ϕ ) = c ϕ c φ( y,, ϕ) = = ϕ = ϕ c c c c Zamijenimo dobijena rjesenja: y = + = c c Ovojnica krivulja je parabola c y = c Funkcije dviju promj. 5
16 5. Odredi ovojnicu porodice zadane sa dva parametra: z = α+ βy α β y z y Postavimo uvjete: φ,, α, β = α + β α β = φ( y,, α, β) = α = α = α y φ( y,, α, β) = y β = β = β y y Zamijenimo dobijena rjesenja: z = α+ βy α β = + y y Ovojnica krivulja je z = + 4z = + y 4 4 Funkcije dviju promj. 6
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu. odsjecak pravca na osi y
. ANALITICKA GEOMETRIJA. Pravac Imlicitni oblik jednadzbe pravca: a + by + c = 0 Opci oblik pravca: gdje je : y = k+ l k koeficijent smjera pravca, k = tan α l odsjecak pravca na osi y k > 0 pravac je
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Skalarni umnozak vektora je skalar: a b = a b cos ϕ ; ϕ kut izmedju vektor a i b.
5. VEKTORI U PROSTORU 5. Opcenito o vektorima a Jedinicni vektor (ort) je vektor sa intenzitetom. a a a Zbroj dva vektora je vektor: a+ b c. Graficki, zbroj se dobije ulancavanjem dva vektora. Na kraj
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
( pol funkcije), horizontalna ili kosa.
4. ANALIZA TOKA FUNKCIJE, EKSTREMI 4. Opci pojmovi Nultocke funkcije - su tocke u kojima je funkcija jednak nula. Za razlomljenu racionalnu funkciju, je kada je brojnik nula. Polovi funkcije - su tocke
MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMETARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINATAMA
5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMEARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINAAMA 5. Funkcije zadane u paametaskom obliku Ako se koodinate neke tocke,, zadaju u obliku funkcije neke tece pomjenjive, koja se tada naziva paameta,
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
ISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
1 Ekstremi funkcija više varijabli
1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,
2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole
Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole 5. 1. Definicija parabole...............................
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Dvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
POPIS ZADATAKA: 1.Odredi modul IZI iz kompleksnog broja Z=4+3i 2.Riješi zadatak:izi= *
POPIS ZADATAKA:.Odredi modul IZI iz kompleksnog broja Z=+i i i.riješi zadatak:izi= * i i.izračunaj:(8+6i)(8-6i)=.odredi realne brojeve i y za koje vrijedi:(-i)+(+i)y=i.riješi kvadratnu jednadžbu :9²-=0
Pošto se trebaju napisati sve nastavne cjeline i gradivo sva četiri razreda (opće i jezično) potrajati će duži vremenski period.
Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine. Tako da će u slijedećem vremenskom periodu nastati mala zbirka koja će biti popraćena s teorijom. Pošto
0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.
Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 9. siječnja 009. 1. Riješi nejednadžbu x + x Rješenje. 1 u skupu prirodnih brojeva. x + x 1 x + x + 0 x x < 0 x
DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Tretja vaja iz matematike 1
Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +
Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku.
. Na brojevnoj kružnici označi točke: A (05π), A 2 ( 007π 2 ), A 3 ( 553π 3 ) i A 4 ( 40 o ). 2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u.zadatku. 3.
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1
A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte
4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
( + ) ( ) Derivacija funkcije y = f x, u tocki x, koja je definirana u intervalu a,b jednaka je granicnoj vrijednosti ili limesu izraza:
. DERIVACIJA FUNKCIJE. Pojam derivacije Derivacija funkcije f, u tocki, koja je definirana u intervalu a,b jednaka je granicnoj vrijednosti ili limesu izraza: f lim ili f lim Funkcija je u tocki Obrat
ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5
Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz
VVR,EF Zagreb. November 24, 2009
November 24, 2009 Homogena funkcija Parcijalna elastičnost Eulerov teorem Druge parcijalne derivacije Interpretacija Lagrangeovog množitelja Ako je (x, y) R 2 uredjeni par realnih brojeva, onda je s (x,
BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe
BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje
OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Plohe u prostoru i ekstremi skalarnih funkcija više varijabli
Plohe u prostoru i ekstremi skalarnih funkcija više varijabli Franka Miriam Brückler f (x, y) = y ln x f x = y x, f y = ln x. f (x, y) = y ln x f x = y x, f y = ln x. Dakle, za svaki par (x, y) u domeni
Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
5. TRIGONOMETRIJA 5. Definicija trigonometrijskih funkcija Naj jednostavnija definicija trigonometrijskih funkcija dobije se promatranjem pravokutnog ( ) ( r) ( ) trokuta. Svaki takav trokut, za promatrani
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
2s v A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 E. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 E. 0
17 1989 1 1.1. Ako je v = gt + v 0 i s = g 2 t2 + v 0 t, onda je t jednak A. 2s B. v + v 0 2s C. v v 0 s D. v v 0 2s v E. 2s v 1.2. Broj rješenja jednadžbe x + 1 x = 10 u skupu realnih brojeva x R, iznosi
y f x y g x Bernouli diferencijalna jed.: y' f x y g x y n realni broj; Svodi se na linernu dif.jed. Homogena diferencijalna jed.
0. DIFERENCIJALNE JEDNADZBE 0. Openito o diferenijalnim jednadzbama Obina diferenijalna jednadzba (dif.jed.) je izraz u kojem se nepoznania nalazi u formi derivaije ili diferenijala. Zavisna promijenjiva
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
Analitička geometrija u ravnini
Analitička geometrija u ravnini September 5, 2008 1 Vektori u koordinatnom sustavu 1.1 Udaljenost točaka u koordinatnom sustavu pravokutni koordinatni sustav potpuno je odred en ishodištem jediničnim vektorima