ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. ΤΜ Η ΜΛ Μ HX ΑιΝΟΛΟη ΑΣ Τ.Ε.Ι Κ Α Β Α Λ Α Σ ΘΕΜΑ: ΙΔΑΝΙΚΗ ΡΟΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΓΟΥΜΕΝΟΥ ΕΥΘΑΛΙΑ ΑΑΔΑΚΗΣ ΑΝΛΡΕΑΣ

Transcript

1 Τ.Ε.Ι Κ Α Β Α Λ Α Σ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜ Η ΜΛ Μ HX ΑιΝΟΛΟη ΑΣ Εργαστήριο μηχανικής ρευστών ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ: ΙΔΑΝΙΚΗ ΡΟΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ 1ιιΐν σπουδαστών ΓΟΥΜΕΝΟΥ ΕΥΘΑΛΙΑ ΑΑΔΑΚΗΣ ΑΝΛΡΕΑΣ καθηγητης:θεοαογοσ ΠΑΝΑΓ1ΩΤ1ΑΗΣ ΚΑΒΑΛΑ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 1997

2 ΙΔΑΝΙΚΗ ΡΟΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ Γούμενου Ευθαλία Λαδάκη: Ανδρέας

3 Αφιερωμένο στους γονείς μας. Γθυμένου Ευθαλία

4 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η πτυχιακή εργασία που κρατάτε στα χέρια σας μελετάει την ιδανική ροή των ρευστών. Η ιδανική ροή των ρευστών μπορεί να επιτευχθεί θεωρητικά αλλά όχι και να εφαρμοστεί πειραματικά. Αυτό μπορεί ο αναγνώστης να το συμπεράνει εύκολα, μελετώντας το θεωρητικό και το πειραματικό μέρος αντίστοιχα, της εργασίας αυτής. Εκτός λοιπόν από θεωρητικά λόγια μόνο, διάφορα αντικείμενα εξετάζονται στην συσκευή μας έτσι ώστε ο αναγνώστης και μελετητής να μπορεί να βγάλει πρακτικά συμπεράσματα που θα του χρησιμέψουν καθημερινά. Η μελέτη αυτή μπορεί να βρει εφαρμογή άψογα στην πτέρυγα ενός αεροσκάφους, στην πλώρη ενός πλοίου και αλλού. Τα παραδείγματα άλλωστε που μπορούν να αποδείξουν την εφαρμογή του παρόντος συγγράμματος είναι αμέτρητα. Στην προσπάθειά μας να κάνουμε ιδανική την ροή των ρευστών είχαμε την αμέριστη συμπαράσταση του καθηγητή μας κ. Θεολόγου Παναγιωτίδη τον οποίο και ευχαριστούμε θερμά. Για την βοήθειά του ακόμα ευχαριστούμε τον καθηγητή κ. Θεόδωρο Τριβέλλα. Τέλος ευχαριστούμε όλους όσους μας βοήθησαν. Γθυμένου Ευθαλία

5 Ε ΙΣ Α Γ ίιγ Η Η μηχανική των ρευστών είναι μια ετηστήμη του αιώνα μας θα μπορούσε να πει κανείς. Αν και από πολύ παλαιό αρκετοί επιστήμονες, ερευνητές ασχολήθηκαν με τα ρευστά εν τούτοις η μηχανική των ρευστών ξεχώρισε από την υπόλοιπη φυσική (μηχανική) μόλις στις αρχές του αιώνα μας, μετά από την τεράστια ώθηση που έδωσε στην ανάπτυξη αυτής ο Γερμανός ερευνητής Prandtl με την διατύπωση το 1904 της θεωρίας του οριακού στρώματος. Με την θεωρία αυτού κατέστη δυνατός ο συμβιβασμός των θεωρητικών και πειραματικών αποτελεσμάτων καθώς και η εξήγηση διαφόρων φαινομένων ακατανόητων μέχρι τότε. Ετσι κατέστη δυνατή η μελέτη και κατασκευή αεροθούμενων διαστημοπλοίων τα οποία με την σειρά τους έκαναν πολλούς ερευνητές ν ασχοληθούν με την μηχανική των ρευστών. Ετσι ακόμα και σήμερα η θεωρητική έρευνα στην μηχανική των ρευστών προχωράει χέρι-χέρι με την πειραματική έρευνα στο εργαστήριο και συνεχώς λύνονται, άλυτα μι:χρι σήμερα προβλήματα των ρευστών. Η αδυναμία να περιγράφουμε θεωρητικά, με εξισώσεις, διάφορα ροϊκά φαινόμενα, για παράδειγμα τυρβώδεις ροές, μας εξαναγκάζει ακόμα και σήμερα να καταφύγουμε σε πειράματα. Ετσι λοιπόν προκύπτει η αναγκαιότητα για την γνώση της εν λόγω επιστήμης πέραν Γουμένου Εϋθαλία

6 της θεωρίας και των πειραματικών μεθόδων και οργάνων της ρευστομηχανικής. Πριν όμως εμβαθύνουμε στο θέμα αυτής της εργασίας ας ασχοληθούμε με μερικές από τις βασικές έννοιες των ρευστών γενικά αλλά και της ιδανικής ροής ειδικά. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΡΕΥΣΤΟΥ Ρευστό είναι μία ποσότητα ύλης που έχει την ικανότητα να ρέει και να παίρνει το σχήμα του δοχείου που το περιέχει. Σε κατάσταση ισορροπίας στα ρευστά δεν εξασκούνται εφαπτομενικές ή διατμητικές δυνάμεις μεταξύ των διαφόρων στρώσεων. Ολα τα ρευστά είναι σε κάποιο βαθμό συμπιεστά και παρουσιάζουν μικρή αντίσταση σε αλλαγές του σχήματός τους. Τα ρευστά διακρίνονται σε υγρά και αέρια. Οι βασικές διαφορές μεταξύ υγρών και αερίων είναι οι εξής : α) Τα υγρά είναι πρακτικά ασυμπίεστα, ενώ τα αέρια είναι συμπιεστά και συχνά αυτό πρέπει να λαμβάνεται υπόψη. β) Τα υγρά καταλαμβάνουν ορισμένο όγκο και παρουσιάζουν ελεύθερη επιφάνεια, ενώ μια δεδομένη μάζα αερίου απλώνεται μέχρι να καταλάβει όλο το χώρο του δοχείου στο οποίο περιέχεται. Ασυμπίεστα, λοιπόν, ονομάζονται τα ρευστά των οποίων η πυκνότητα παραμένει σταθερή, ανεξάρτητα από την εφαρμοζόμενη πίεση. Αν και ο ορισμός αυτός είναι θεωρητικός, αφού κανένα πραγματικό ρευστό δεν διατηρεί την πυκνότητά του απόλυτα σταθερή. Γθυμένου Ευθαλία

7 εν τούτοις σε πολλές περιπτώσεις η μεταβολή της πυκνότητας είναι τόσο μικρή ώστε το ρευστό μπορεί να ληφθεί σαν ασυμπίεστο. Η ροή των ρευστών είναι πολύπλοκη και δεν υπόκειται πάντα σε ακριβή μαθηματική ανάλυση. Αντίθετα προς τα στερεά, τα σωματίδια ενός ρέοντος ρευστού μπορούν να κινηθούν με διαφορετικές ταχύτητες και διαφορετικές επιταχύνσεις. Τρεις είναι οι σημαντικές αρχές στην ροή των ρευστών : α) Η αρχή της διατήρησης της μάζας, απ όπου προκύπτει η εξίσωση της συνέχειας. β) Η αρχή της κινητικής ενέργειας, από την οποία προκύπτουν ορισμένες εξισώσεις ροής. γ) Η αρχή της ορμής, πάνω στην οποία θεμελιώνονται οι εξισώσεις με τις οποίες υπολογίζουμε τις δυνάμεις που ασκούνται από το κινούμενο ρευστό. Η ροή των ρευστών μπορεί να είνα ι: α) Μόνιμη ή μη μόνιμη, β) Ομοιόμορφη ή ανομοιόμορφη, γ) Στρωτή ή τυρβώδης. δ) Μονοδιάστατη, δισδιάστατη ή τρισδιάστατη, ε) Στρόβιλη ή αστρόβιλη. Στην συνέχεια θα αναλύσουμε την κάθε μία περίπτωση ροής : Γουμένου Ευθαλία

8 A. ΜΟΝΙΜΗ ή ΜΗ ΜΟΝΙΜΗ ΡΟΗ Μόνιμη ροή πραγματοποιείται όταν σε κάθε σημείο, η ταχύτητα διαδοχικών σωματιδίων του ρευστού σε διαδοχικούς χρόνους είναι ίδια. Ετσι η ταχύτητα είναι σταθερή σε σχέση με το χρόνο ή 9V =0, αλλά μπορεί να μεταβάλλεται από σημείο σε σημείο ή σε σχέση με την απόσταση. Για παράδειγμα, η ροή σε σωλήνες μεταφοράς υγρών με σταθερό ενεργειακό ύψος και η εκροή από οπές με σταθερά ενεργειακά ύψη είναι παραδείγματα μόνιμης ροής. Η ροή είναι μη μόνιμη, όταν οι συνθήκες ροής σε ένα σημείο 9V μεταβάλλονται σε συνάρτηση με το χρόνο, δηλαδή Β. ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ Η ΑΝΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΡΟΗ Ομοιόμορφη ροή πραγματοποιείται όταν το μέτρο - και η διεύθυνση της ταχύτητας δε μεταβάλλονται από σημείο σε σημείο μέσα &V στο ρευστό, ότα\ " ^ = 0 Η ροή υγρών με πίεση μέσα από μακρινούς σωλήνες με σταθερή διάμετρο είναι ομοιόμορφη ροή, ανεξάρτητα από το αν η ροή αυτή είναι μόνιμη ή μη μόνιμη. Ανομοιόμορφη ροή πραγματοποιείται όταν η ταχύτητα, το βάθος, η πίεση, κ.τ.λ. μεταβάλλονται από σημείο σε σημείο μέσα στη ροή του 9V Γ θυμένου Ευθαλία Λαδάκη; Ανδρέας

9 Γ. ΣΤΡΩΤΗ Η ΤΥΡΒΩΔΗΣ ΡΟΗ Στη στρωτή ροή τα σωματίδια του ρευστού κινούνται κατά μήκος παράλληλων τροχιών κατά στρώσεις. Τα μέτρα των ταχυτήτων γειτονικών στρώσεων δεν είναι ίδια. Η στρωτή ροή διέπεται από το νόμο που σχετίζει τις διατμητικές τάσεις με τη μεταβολή της γωνιακής παραμόρφωσης, δηλαδή το γινόμενο της συνεκτικότητας του ρευστού και της κλίσης της ταχύτητας. Στην τυρβώδη ροή τα σωματίδια του ρευστού κινούνται ακανόνιστα προς όλες τις διευθύνσεις. Είναι αδύνατο να προσδιοριστεί η κίνηση ενός συγκεκριμένου σωματιδίου. Δ. ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΗ, ΔΙΣΔΙΑΣΤΑΤΗ Η ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΗ ΡΟΗ Πραγματική μονοδιάστατη ροή ενός ασυμπίεστου ρευστού πραγματοποιείται όταν η διεύθυνση και το μέτρο της ταχύτητας είναι τα ίδια σε όλα τα σημεία. Ομως μονοδιάστατη ανάλυση της ροής είναι αποδεκτή όταν ως κύρια κατεύθυνση αυτής λαμβάνεται η κατά μήκος της κεντρικής γραμμής ροής και όταν οι ταχύτητες και επιταχύνσεις που είναι κάθετες στην γραμμή ροής είναι αμελητέες. Σε τέτοιες περιπτώσεις οι μέσες τιμές της ταχύτητας, της πίεσης και του υψόμετρου θέσης θεωρούνται ότι αντιπροσωπεύουν τη ροή στο σύνολό της και δευτερεύουσες μεταβολές αμελούνται. Για παράδειγμα, η ροή σε καμπύλους σωλήνες αναλύεται με την βοήθεια των αρχών της μονοδιάστατης ροής, παρά το γεγονός ότι η κατασκευή έχει τρεις Γ θυμένου Ευθαλία

10 διαστάσεις και η ταχύτητα ποικίλει κατά πλάτος μιας τυχούσας διατομής κάθετης προς τη ροή. Δισδιάστατη ροή πραγματοποιείται όταν τα ρευστά σωματίδια κινούνται σε επίπεδο ή σε παράλληλα επίπεδα και το διάγραμμα των γραμμών ροής είναι το ίδιο σε κάθε επίπεδο. Ε. ΣΤΡΟΒΙΛΗ Η ΑΣΤΡΟΒΙΛΗ ΡΟΗ Μια ροή είναι αστρόβιλη όταν κανένα ροϊκό στοιχείο της δεν περιστρέφεται γύρω από τον άξονά του, δηλαδή η γωνιακή ταχύτητα κάθε στοιχείου είναι μηδέν. Επομένως στρόβιλη είναι η ροή κατά την οποία έχουμε περιστροφή του ροϊκού στοιχείου γύρω από τον άξονά του. Στην εργαστηριακή μας συσκευή θα μελετήσουμε την ιδανική ροή. Ακόμη θα μελετήσουμε την ροή γύρω από έναν κύλινδρο, μια αεροτομή καθώς επίσης την ροή γύρω από πηγή και καταβόθρα. Η μελέτη γίνεται για δισδιάστατο πεδίο. Ετσι όλες οι εξισώσεις που ακολουθούν αναφέρονται σε δισδιάστατο πεδίο. Η συσκευή μας έχει τη δυνατότητα να μας δώσει οπτικά την δημιουργία των δυναμικών γραμμών του πεδίου. Αυτό γίνεται με ένα σύστημα βαφής ένεσης. Το σύστημα αυτό αποτελείται από ενέσεις μέσα από τις οποίες διέρχεται η μελάνι στη συσκευή μας. Ετσι η μελάνι όταν βρεθεί μέσα στο πεδίο δημιουργεί μια εικόνα από διάφορες γραμμές. Οι γραμμές αυτές είναι οι δυναμικές γραμμές του πεδίου. Ανάλογα με το αντικείμενο που είναι τοποθετημένο μέσα στη ροή του νερού, οι δυναμικές αυτές γραμμές μεταβάλλονται. Γουμένου Ευθαλία

11 Τις διάφορες αυτές αποκλίσεις και συγκλίσεις των δυναμικών γραμμών γύρω από το σώμα που υπάρχει μέσα στη ροή, μελετάμε με την ιδανική ροή. Γθυμένου Ευθαλία

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Βασικές αρχές ιδανικής ροής Κατά την ροή ενός ρευστού η επίδραση του μοριακού ιξώδους και της τύρβης περιορίζεται κυρίως στις οριακές περιοχές του ροϊκού πεδίου, δηλαδή στο οριακό στρώμα, σαν μεταβατική περιοχή είτε μεταξύ του ρευστού και των τοιχωμάτων ενός σώματος είτε μεταξύ δύο ροϊκών πεδίων με διαφορετικές ιδιότητες. Το οριακό στρώμα χαρακτηρίζεται για τις μικρές εγκάρσιες διαστάσεις του σε σχέση με το υπόλοιπο ροϊκό πεδίο. Στο οριακό στρώμα βασικό ρόλο παίζουν το μοριακό ιξώδες και το ιξώδες δίνης, η τύρβη. Το ιξώδες μαζί με την κλίση της κατανομής της ταχύτητας στο οριακό στρώμα οδηγεί στη διατμητική τάση και τον νόμο του Newton. Ετσι κατ επέκταση οδηγεί σε αντίσταση και απώλειες. Στο υπόλοιπο πεδίο όπου η κλίση της ταχύτητας είναι πολύ μικρή ή δεν υπάρχει οι διατμητικές τάσεις είναι αμελητέες. Ετσι δικαιολογείται η παραδοχή ότι στο ροϊκό πεδίο, έξω από το οριακό στρώμα επικρατεί άτριβη ροή. Η εξίσωση Bernoulli περιγράφει για μια ροϊκή γραμμή στο εξωτερικό ροϊκό πεδίο, την μετατροπή της κινητικής ενέργειας, της πεδιακής και της ενέργειας της πίεσης. Μπορούμε έτσι να ονομάσουμε την ροή του ρευστού χωρίς τριβή, ιδεώδη ή ιδανική. Η ιδανική ροή προϋποθέτει ότι το ρευστό μέσο θα είναι ιδανικό, δηλαδή θα έχει ιδανική τριβή. Γθυμένου Ευθαλία Λαδάκης Ανδρέα;

13 Αναγκαίες συνθήκες ιδανικής ροής. Η υπόθεση του Prandtl αναφέρει ότι για ρευστά χαμηλού ιξώδους οι επιδράσεις του ιξώδους είναι σημαντικές μόνο σε μία στενή περιοχή που περιβάλλει τα σύνορα του ρευστού. Για περιπτώσεις ασυμπίεστης ροής όπου το οριακό στρώμα παραμένει λεπτό, τα αποτελέσματα της ιδανικής ροής μπορούν να εφαρμοστούν ικανοποιητικά στην ροή πραγματικών ρευστών. Ενα ιδανικό ρευστό πρέπει να πληροί κάποιες συνθήκες οι οποίες είναι ; 1. Η εξίσωση της συνέχειας : d u _ ^ d v dx dy dz 2. Ο δεύτερος νόμος κίνησης του Νεύτωνα σε κάθε σημείο και σε οποιονδήποτε χρόνο. 3. Το ρευστό δεν ταξιδεύει στα τοιχώματα ούτε υπάρχουν κενά μεταξύ του ρευστού και των τοιχωμάτων. Αν εκτός από τις παραπάνω συνθήκες υποθέσουμε ότι η ροή είναι άστρεπτη, τότε η ιδανική ροή είναι παρόμοια με την ροή πραγματικών ρευστών χαμηλού ιξώδους στην περιοχή εκτός του οριακού στρώματος. Γθυμένου Ευθαλία

14 Πτυχιακή epyacria Σε μια περίπτωση ροής με δεδομένα σύνορα οι άγνωστοι σε κάθε σημείο είναι η ταχύτητα και η πίεση. Με τις παραπάνω συνθήκες η εφαρμογή του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα σε ένα σωματίδιο ρευστού οδηγεί στην εξίσωση του Euler. Με την παραδοχή της άστρεπτης ροής μπορούμε να οδηγηθούμε και στην εξίσωση Bernoulli. Εξίσωση της συνέχειας. Θεωρούμε ομογενές στοιχειακό κυβικό όγκο dv διαστάσεων dx, dy, dz, στο οποίο εισρέει και εκρέει ρευστό πυκνότητας q με τις ταχύτητες, u, υ, ζ. Από αριστερά διαρρέει την επιφάνεια dxdz μάζα ρευστού στη μονάδα του χρόνου κατά την διεύθυνση y. Γθυμένου Ευθαλία

15 ρ υ dx dz Δεξιά εκρέει από την επιφάνεια dx dz στη μονάδα του χρόνου : ρυ φ dxdz Κατά την διεύθυνση του άξονα χ η εισροή και εκροή είναι αντίστοιχα : ρΐί dz dy και (/τζ/+- -^ -ίdx )dy dz Ανάλογες εκφράσεις προκύπτουν για την ροή κατά την διεύθυνση ζ. Η διαφορά μεταξύ της συνολικής εκροής και εισροής προκύπτει 9(ριι) &(ρυ) &(ρ^]λ ^ 9x 9y 9 z ' Ακόμη ισχύει dv= dx dy dz Εφ όσον κατά την ροή του ρευστού δεν αφαιρέθηκε ή προστέθηκε ρευστό μέσα στο στοιχείο και ο όγκος του στοιχείου παραμένει σταθερός (d=ata0 p0), πρέπει η ελάττωση της μάζας, dm=pdv', του στοιχείου στον χρόνο, Γούμενου Ευθαλία Λαδάκη; Ανδρέα;

16 d t = = ^ = ^ U υ dt 3t να οφείλεται σε ελάττωση της πυκνότητας στον ίδιο χρόνο, Ετσι προκύπτει τελικά η εξίσωση της συνέχειας που είναι: Θρ 3[pu) 3(ρυ) 9(pw) _ 3t 3χ 3y 3ζ Η εξίσωση της συνέχειας εκφράζει την αρχή της διατήρησης της μάζας για την γενική περίπτωση μη μόνιμης ροής. Εξίσωση του Euler Θεωρούμε τον στοιχειακό κύβο του σχήματος (2) και εφαρμόζουμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα κατά τον οποίο η δύναμη που επιδρά σε ένα επιταχυνόμενο σώμα είναι ίση με το γινόμενο της μάζας επί την επιτάχυνση. Δηλαδή F = m b St Γουμένου Ευθαλία

17 Οι δυνάμβις που επιδρούν είναι δυνάμεις πίεσης, πεδιακές δυνάμεις, όπως είναι η βαρύτητα. Επειδή θεωρείται ρευστό χωρίς τριβή διατμητικές τάσεις δεν υπάρχουν. Οπότε η μάζα του κύβου είναι: dm=pdv=p dx dy dz Οι ολικές επιταχύνσεις κατά τους άξονες x,y,z, είναι: h - D u b Dw οι οποίες αποτελούν τις συνιστώσες της επιτάχυνσης b b - b jj + b y j + b ji To ολικό διαφορικό της ταχύτητας κατά τον άξονα χ είνα ι: Διαιρούμε την παραπάνω σχέση με dt και προκύπτει: du _ Sudx, Sudy 3udz,&u dt Sx dt &y dt &z dt &t Από τον ορισμό της ταχύτητας έχουμε :. dx ' dt ^,, du_du Οπότε η επιτάχυνση dt.dz ~~dt για τον αξονα χ είναι: Du_Su Su, &U, Su Αντίστοιχα προκύπτουν και οι συνιστώσες υ και w που είναι: Γούμενοι) Ευθαλία

18 Dt &t &x 3y Sz D w _ & w,,.& w Oi όροι i9 / 19/ αποτελούν την τοπική επιτάχυνση και οι όροι, την επιτάχυνση μεταθέσεως ή μεταθετική επιτάχυνση. Η φυσική σημασία της τοπικής και μεταθεηκής επιτάχυνσης εμφαίνεται για μονοδιάστατη, μη μόνιμη ροή, π.χ. σε αποκλίνοντα αγωγό. Η δύναμη F που επιδρά στο στοιχείο ρευστού αποτελείται από δυνάμεις πίεσης και πεδιακές. Οι δυνάμεις πίεσης κατά τον άξονα Υ είνα ι: pdxdz-^ p + ^ ^ d ^ d x dz = -^ ^ dx dy dz Αντίστοιχες είναι οι σχέσεις και για τους άξονες χ και ζ. Οι πεδιακές δυνάμεις που επιδρούν στον όγκο dv, είναι, χ,y,ζ. Η ισορροπία των δυνάμεων στον άξονα χ δίνει: p d x d y d z ^ = - ^ ^ d x d y d z + x Μετά από απλοποίηση του όγκου του στοιχείου είναι: ίΐλ: Γουμένου Ευθαλία

19 Γνα τους άξονες y και ζ έχουμε αντίστοιχα τις σχέσεις : όπου x,y,z, είναι οι πεδιακές δυνάμεις ανά μονάδα όγκου. Οι σχέσεις αυτές αποτελούν τις εξισώσεις του Euler και είναι οι εξισώσεις ορμής για άτριβη, μη μόνιμη ροή. Εξίσωση Bernoulli Από τις εξισώσεις του Euler και με τη βοήθεια των εξισώσεων της αστρόβιλης ροής προκύπτει η εξίσωση του Bernoulli. Η εξίσωση του Bernoulli είναι: Με την εξίσωση του Bernoulli μπορούμε να καθορίσουμε την μεταβολή της πίεσης αν γνωρίζουμε την ταχύτητα ή και αντίστροφα. Ακόμα για μια μόνιμη ροή η εξίσωση του Bernoulli μας αποδεικνύει ότι η ενέργεια είναι παντού η ίδια. Γ θυμένου Ευθαλία

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Στρόβιλη και αστρόβιλη ροή Μια ροή είναι αστρόβιλη όταν κανένα ροϊκό στοιχείο δεν περιστρέφεται γύρω από τον άξονά του, δηλαδή η γωνιακή ταχύτητα κάθε στοιχείου είναι μηδέν. Αυτό όμως δεν αποκλείει την δυνατότητα περιστροφής του στοιχείου γύρω από έναν άλλο άξονα. Αντίθετα στην στρόβιλη ροή το θεωρούμενο κυλινδρικό ροϊκό στοιχείο Κ (σχήμα 3) περιστρέφεται γύρω από τον άξονα περιστροφής της ροής και γύρω από τον άξονά του. Αντίθετα στην αστρόβιλη ροή το ροϊκό στοιχείο Κ δεν περιστρέφεται γύρω από τον άξονά του. Βασική προϋπόθεση για τη αστρόβιλη ροή είναι να έχουμε ροή χωρίς τριβή. Επειδή στη ροή χωρίς τριβή δεν αναπτύσσονται, στην επιφάνεια του κυλινδρικού στοιχείου, διατμητικές τάσεις αυτό δεν Γούμενου Ευθαλία

21 περιστρέφεται. Δηλαδή την περιστροφή την δημιουργούν οι διατμητικές τάσεις. Οι δυνάμεις πίεσης ασκούνται έτσι κάθετα στην επιφάνεια του κυλίνδρου και οι γραμμές επενέργειας διέρχονται από τον άξονά του, δηλαδή από το κέντρο βάρους και έτσι δεν προκαλούν ροπή που θα οδηγούσε σε περιστροφή. Στην στρόβιλη ροή οι διατμητικές τάσεις ασκούν περιφερειακές δυνάμεις που αναγκάζουν το κυλινδρικό στοιχείο να περιστρέφεται. Εμείς θα ασχοληθούμε με την μελέτη της αστρόβιλης ροής. Γουμενου Ευθαλία

22 Αστρόβιλη ροή Η αστρόβιλη ροή μπορεί να διαπιστωθεί με την βοήθεια ενός μαθηματικού κριτηρίου που εισάγεται με την βοήθεια του παρακάτω σχήματος. (ΣΧΗΜΑ 4) Γουμένου Ευθαλία

23 Θεωρείται στοιχείο ρευστού περιστρεφόμενο γύρω από τον άξονα Ο (x,y) με τις αντίστοιχες ταχύτητες στις γωνίες του. Κατά την μεταφορά από την θέση 1 στην θέση 2 το στοιχείο περιστρέφεται και μπορεί να παραμορφώνεται έτσι ώστε οι γωνίες περιστροφής να είναι διαφορετικές σε κάθε πλευρά da ^ φ άθ2. Η γωνιακή ταχύτητα ω^του στοιχείου γύρω από τον εγκάρσιο προς την επιφάνεια του, άξονα ζ, είναι ο μέσος όρος των γωνιακών ταχυτήτων των πλευρών του : da dai ~ W ^~ 3 T Από το σχήμα 4 προκύπτει ότι η γωνιακή ταχύτητα εκφράζεται με την ταχύτητα του ρευστού στις σχέσεις, da. i=j_ ^ξ μ Α χ ά ί dt dt Δχ 3χ' 2ζ dt dt 3y οπότε προκύπτει με αντικατάσταση στην παραπάνω σχέση : \{&υ 3d ^^~Ί[3^ 3^] Η σχέση αυτή μας δίνει την γωνιακή ταχύτητα του ροϊκού στοιχείου για επίπεδη δισδιάστατη ροή. Γθυμένου Ευθαλία

24 Για την τρισδιάστατη ροή υπάρχουν αντίστοιχες γωνιακές ταχύτητες και για τους δύο άλλους άξονες : \(& w &υ] >' ί [&ζ -W) Οπότε η γωνιακή ταχύτητα ενός ροϊκού στοιχείου για τρισδιάστατη ροή είναι: ώ = ϊω χ + ] ω y +, όπου ι,j,k,τα μοναδιαία διαστήματα κατά τις καρτεσιανές συντεταγμένες x,y,z, αντίστοιχα. Με αντικατάσταση των παραπάνω σχέσεων προκύπτει: - i ft9w_i9r>l_i_y fsu_&w]^k(3υ_3ιί &ζ) l\s z Sx) ^yj Ενα αστρόβιλο πεδίο καθορίζεται είτε από το δυναμικό της ταχύτητας είτε από την ροϊκή συνάρτηση. Γουμένου Ευθαλία

25 Δυναμική ροή ο όρος δυναμική ροή προέρχεται από την διανυσματική ανάλυση. Εκεί ένα πεδίο Φ (x,y,z,t) με κλίση grad Φ = \7Φ ορίζεται σαν δυναμικό ή συνάρτηση δυναμικού του διανυσματικού πεδίου grad Φ, το οποίο είναι η ταχύτητα >ντης δυναμικής ροής. w = grado, με συνιστώσες :.9Φ,9Φ \ 9 jc Το βαθμωτό πεδίο Φ (x,y,z,t) είναι το δυναμικό ταχύτητας. Η σημασία της εισαγωγής του δυναμικού της ταχύτητας και της αστρόβιλης ροής οφείλεται στο γεγονός ότι ροϊκά πεδία που μπορούν να θεωρηθούν χωρίς τριβή υπολογίζονται εύκολα με σχέσεις της δυναμικής ροής. Ετσι η δισδιάστατη αστρόβιλη ροή περιγράφεται με δύο διαφορετικές εξισώσεις. Την εξίσωση της συνέχειας : &χ 3y και την συνθήκη της αστρόβιλης ροής ι9 L ) ι9 U ~ ^ Από τις δύο αυτές εξισώσεις μπορούμε να υπολογίσουμε τις συνιστώσες u και υ, της ταχύτητας κατά τις δύο διαστάσεις x,y. Ετσι η συνισταμένη ταχύτητα νν είνα ι: W = ui -\- V j Η πίεση του πεδίου προκύπτει από την εξίσωση του Bernoulli: Γουμένου Ευθαλία

26 ^ ^ + ^ + ^ ζ = σ τ α θ ε ρ ό, i-j2 2 2 με = V +U Ροϊκή συνάρτηση Η εισαγωγή του δυναμικού Φ διευκολύνει την εισαγωγή της ροϊκής συνάρτησης Ψ, η οποία για δισδιάστατη ροή ορίζεται με τις σχέσεις : U = ^ υ = - ^ & y &χ Ο ορισμός της ροϊκής συνάρτησης Ψ είναι σκόπιμος. Με τις παραπάνω σχέσεις και με τον ορισμό της δυναμικής ροής για διδιάστατο πεδίο έχουμε : «9 I \ 9 χ Μ 3χ S (3Ψ' 3y[3y ι9 χ 2 & y Η εξίσωση αυτή ονομάζεται λαπλασιανή της ροϊκής συνάρτησης Ψ. Η εφαρμογή της ροϊκής συνάρτησης περιορίζεται κύρια σε διδιάστατα ροϊκά πεδία, επειδή προκύπτουν μαθηματικές δυσκολίες κατά την εισαγωγή της σε σχέσεις τρισδιάστατης ροής. Γουμένου Ευθσλία

27 Χαρακτηριστικές ιδιότητες της ροϊκής συνάρτησης Η ροϊκή συνάρτηση έχει τις ακόλουθες χαρακτηριστικές ιδιότητες ; 1. Η ροϊκή συνάρτηση υπάρχει ανεξάρτητα από την στροβιλότητα της ροής. 2. Η ροϊκή συνάρτηση περιγράφει αλγεβρικά την γεωμετρία του ροϊκού πεδίου. 3. Οι παράγωγοι της ροϊκής συνάρτησης χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό των συνιστωσών της ταχύτητας. 4. Η ροϊκή συνάρτηση είναι βαθμωτό μέγεθος. Ροϊκές και ισοδυναμικές γραμμές Ροϊκή γραμμή είναι μια υποθετική γραμμή στην οποία το διάνυσμα της ταχύτητας w σε μία δοσμένη στιγμή είναι εφαπτόμενο της γραμμής. Γθυμένου Ευθαλία

28 . Από το σχήμα 5 προκύπτει : W xds = w ημ{]ν, Η σχέση αυτή εκφράζει ότι τα δύο διανύσματα νρκαι d J είναι παράλληλα. Ετσι προκύπτει και η εξίσωση ορισμού ροϊκής γραμμής για διδιάστατη ροή, που είναι : Φ ^ = ^ = ε φ α dx H ^ dx:dy=u;u Για τρισδιάστατη ροή η σχέση αυτή γίνεται, dx;dy;dz=u;o:vv Γ θυμένου Ευθαλίσ Λαδάκη; Ανδρέα;

29 Με τις σχέσεις, U= και υ =, &y 3χ έχουμε ορίσει τις ταχύτητες u και υ σαν παράγωγοι της ροϊκής συνάρτησης Ψ. Από την σχέση ^ ^, προκύπτει ό τ ι: αχ U dyu-dxu = 0 Από τον παραπάνω τύπο με αντικατάσταση των σχέσεων της ροϊκής συνάρτησης, έχουμε : &y dx Η έκφραση αυτή όμως είναι η ολική παράγωγος της ροϊκής συνάρτησης άψ : (1ψ=0 Αυτό όμως σημαίνει ότι η ροϊκή συνάρτηση είναι σταθερή. Ψ=σταθ. Η ροϊκή γραμμή λοιπόν έχει την ιδιότητα να αντιστοιχεί σε γραμμές σταθερών τιμών της ροϊκής συνάρτησης. Γθυμένου Ευθαλία

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ιδιόμορφα σημεία Τα ιδιόμορφα σημεία είναι ασυνέχειες του ροϊκού πεδίου, όπως σύμπτωση ή τομή ροϊκών γραμμών μεταξύ τους ή ισοδυναμικών γραμμών μεταξύ τους. Ασυνεχής αλλαγή της διεύθυνσης μιας ροϊκής γραμμής όπως της άμεσα προς το τοίχωμα του σχήματος 6, γειτονικής ροϊκής γραμμής, έχει αποτέλεσμα να έχει το διάνυσμα της ταχύτητας στο σημείο A δύο διευθύνσεις. Στην περίπτωση αυτή η ταχύτητα του ιδεώδους ρευστού στο σημείο A γίνεται άπειρη. Παρόμοια το σημείο ανακοπής μιας σφαίρας ή άλλου σώματος όπου η ταχύτητα μηδενίζεται. Τα ιδιόμορφα σημεία Γθυμένου Ευθαλία

31 χαρακτηρίζει λοιπόν η γενική ροϊκή ιδιότητα, η ταχύτητα του ρευστού σ αυτά να μηδενίζεται ή να γίνεται άπειρη. Ιδιόμορφα σημεία είναι επίσης οι πηγές, οι απαγωγές και οι δίνες. Οι δύο πρώτες συνδέονται με την αρχή της διατήρησης της μάζας, η οποία δεν τηρείται σε ροϊκό πεδίο. Αν σ αυτό υπάρχει πηγή, από τη οποία πηγάζει σημειακό ρευστό ή απαγωγή, η οποία σημειακά αναρροφά ρευστό, τότε δεν ισχύει η εξίσωση της συνέχειας που έχει την μορφή ; 9ρ 9(pu) 9(ρυ) 9(pw) _ 9t 9χ 9y 9ζ Στα σημεία αυτά η ταχύτητα του ρευστού γίνεται άπειρη. Οι δίνες συνδέονται με την αρχή της διατήρησης της στροβιλότητας ενός πεδίου. Στο κέντρο τους επικρατεί επίσης άπειρη ταχύτητα. Οι ασυνέχειες των ιδιόμορφων σημείων είναι και ασυνέχειες του δυναμικού της ταχύτητας, δηλαδή «καταστρέφουν» το πεδίο δυναμικού. Αυτό δεν δυσκολεύει τους υπολογισμούς, διότι με κατάλληλη εκλογή του χώρου, στον οποίο υπολογίζεται το ροϊκό πεδίο μπορεί το ιδιόμορφο σημείο να αποκλείεται και να αποφεύγονται οι μαθηματικές ασυνέχειες. Γθυμένου Ευθαλία Λαδσκης Ανδρέας

32 Γραμμική πηγή Εστω απέρατη ευθεία γραμμή μέσα σ ένα χώρο, απ όπου είτε αναβλύζει είτε απορροφάται το ρευστό με σταθερή παροχή μάζας ανά μονάδα μήκους της. Ας υποθέσουμε ακόμη το ρευστό ασυμπίεστο, οπότε αντί για παροχή μάζας μπορούμε να μιλήσουμε για σταθερή παροχή όγκου e ανά μονάδα μήκους. β ^ ^ ^ σ τ α θ. as Οταν το ρευστό αναβλύζει, το e είναι θετικό και λέμε ότι έχουμε γραμμική πηγή +. όταν δε απορροφάται, το e είναι αρνητικό και έχουμε γραμμική πηγή -. ή καταβόθρα ρευστού. Οι υποθέσεις που κάναμε για ισότοπο χώρο και ομογενές ασυμπίεστο ρευστό που ομοιόμορφα αναβλύζει ή απορροφάται από την απέρατη ευθεία, οδηγούν στο λογικό συμπέρασμα ότι η διανομή της ροής γύρω από την ευθεία πρέπει να είναι ομοιόμορφη, δηλαδή, οι γραμμές ροής ευθείες κάθετες στην γραμμική πηγή και ομοιόμορφα διανεμημένες. Το πεδίο ροής λοιπόν είναι δισδιάστατο, κάθετο στην γραμμική πηγή. Η εικόνα του πάνω σε επίπεδο κάθετο στην γραμμή αυτή θα είναι ακτινικό συμμετρικά διανεμημένο γύρω από το ίχνος 0 της γραμμικής πηγής στο επίπεδο αυτό, που θα ονομάσουμε, κατ επέκταση, σημειακή πηγή + ή πηγή -. Γουμένου Ευθαλία Λαύάκης Ανδρέας

33 Πηγή«(ί>0)»ty --- * Πηγή-(e<0).... 0\y v=e ΑΚΟχ) ( ΣΧΗΜΑ 7) Στο σχήμα 7 δίνεται η εικόνα του δισδιάστατου αυτού πεδίου, απ όπου εύκολα φαίνεται ότι το προσφορότερο σύστημα για την μελέτη του, είναι το κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων. Εστω P(R,φ) τυχαίο σημείο 0 γράφοντας τις εξισώσεις για τις ταχύτητες έχουμε : r - ^ Cu = 0 ο μηδενισμός της c, είναι η αναγκαία συνθήκη για να είναι το πεδίο διδιάστατο. Η πηγή 0 είναι μαθηματικά αλλά και φυσικά ανώμαλο Γουμένου Ευθαλία 32

34 ή όπως λέμε ιδιόμορφο σημείο γιατί εκεί η ταχύτητα άπειρο. Επομένως η εξίσωση, τείνει στο C - ^ ' 2 ^ δεν έχει νόημα πάνω σ αυτό, θα εξαιρέσουμε λοιπόν, προς το παρόν, από το πεδίο ορισμού της ί^-που είναι ολόκληρος ο υπόλοιπος χώρος, με ένα μικρό κύκλο ακτίνας R που τείνει στο 0 αλλά πάντα Στην πραγματικότητα εξαιρούμε ολόκληρη την γραμμική πηγή από το πεδίο ορισμού της c^με μια κυλινδρική επιφάνεια ακτίνας R που την περιβάλλει και που το ίχνος της πάνω στο επίπεδο, είναι ο μικρός αυτός κύκλος. Σε καρτεσιανές συντεταγμένες η παραπάνω εξίσωση στο ίδιο σημείο Ρ γράφεται : e X Ίττ ρ. / ) e U\^2 2^ w = 0 Για να δούμε αν το πεδίο αυτό είναι στρόβιλο ή αστρόβιλο μπορούμε να σχηματίσουμε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα τυχαίας κλειστής γραμμής. Ας πάρουμε γι αυτό την στοιχειώδη γραμμή (σχήμα 8) που σχηματίζεται από τα στοιχεία dr, δύο γειτονικών ακτινών σε Γθυμένου Ευθαλία

35 γωνία άφ και δύο κυκλικών τόξων 2-3 και 4-1 με ακτίνες r+dr και r αντίστοιχα. Ακολουθώντας την φορά ολοκλήρωσης 1^ 2 -> 3 4 -> 1, έχουμε για την κλειστή γραμμή S ; 2 4 icds = i Cy.ds+0- ί Cj.ds-\-0=^, s 1 3 δηλαδή συνθήκη αναγκαία και ικανή που δείχνει ότι το πεδίο της σημειακής πηγής είναι αστρόβιλο. Ετσι εφ όσον η ταχύτητα είναι = c^{r) δηλαδή συνάρτηση μόνο της Γ εύκολα φαίνεται από τις παρακάτω εξισώσεις ό τι: ^ dr φ = ^ \ η ν +, 2π Γουμένου Ευθαλία

36 που σημαίνει ότι οι ισοδυναμικές γραμμές Φ=σταθ. είναι περιφέρειες με κέντρο 0. Παίρνοντας λοιπόν ως αρχή των Φ την περιφέρεια ακτίνας ^0 διατυπώνουμε τελικά την έκφραση του Φ ως : 2π Ας έλθουμε τώρα στην ροϊκή συνάρτηση Ψ. Εύκολα φαίνεται εδώ ότι αν ως αρχή των Ψ, Ψ=0, πάρουμε τον θετικό ημιάξονα Οχ, τότε : Ψ όπου 0<φ<2π. Ο περιορισμός αυτός έχει φυσική και όχι μαθηματική έννοια, γιατί όταν φ>2π θα εμφανίζεται παροχή μεγαλύτερη του e πράγμα άτοπο. Το πεδίο ορισμού της Ψ λοιπόν είναι ολόκληρο το επίπεδο με εξαίρεση το σημείο 0 με την έννοια ότι δεν μπορούμε να υπερβούμε για την περιστρεφόμενη ακτίνα r, την μια περιφορά. Γουμένου Ευθαλία

37 (ΣΧΗΜΑ 9) Σε πολλές περιπτώσεις διευκολύνει το πεδίο ορισμού να μην είναι 0<φ<2π, αλλά να εισάγουμε θετικές και αρνητικές τιμές για την γωνία φ οπότε μπορούμε να γράψουμε -π <φ<+π. Ομως βλέπουμε, οι γραμμές ροής Ψ είναι ακτίνες. Πρέπει λοιπόν να προσέξει κανείς την φυσική έννοια του άξονα χ, που δεν είναι μια γραμμή ροής αλλά δύο. Η μια είναι ο ημιάξονας Οχ με Ψ=0 και η άλλη ο αριστερός ημιάξονας, με αρχή το 0, με ^.Αυτός δε ο ίδιος ημιάξονας Οχ όταν φ-^2π αντιστοιχεί σε τιμή Τ ^ e. Γι αυτό γράφουμε 0 < ^ < 2π. Γουμένου Ευθαλία

38 Γραμμική δίνη Εστω πεδίο που έχει γραμμές ροής τις ισοδύναμες του πεδίου της σημειακής πηγής. Τότε θέτοντας αντί για e το σύμβολο Γ έχουμε : Ί π /-Q όπου Γ=σταθερό, και αρχή του Ψ, Ψ= 0 είναι η περιφέρεια με ακτίνα Σύμφωνα τώρα με τις εξισώσεις της ταχύτητας σε κυλινδρικές εκφράσεις, είνα ι: cy = 0 C = Γ ^ 2nr' δηλαδή η ταχύτητα είναι εφαπτόμενη σταθερά διανεμημένη πάνω στην τυχαία περιφέρεια ακτίνας r. Για Γ>0 η c είναι θετική, δηλαδή κατευθύνεται προς την ορθή φορά στροφής. Γουμένου Ευθαλία

39 Οι καρτεσιανές συντεταγμένες είναι: U-. Γ JC 'Ί ^ ( 2 2 X + y 2ττ( 2 2 χ Το πεδίο ορισμού της Ψ, είναι ολόκληρο το επίπεδο με εξαίρεση το σημείο 0, που είναι ιδιόμορφο, γιατί εκεί c -> οο. Για να δούμε αν το πεδίο είναι στρόβιλο ή αστρόβιλο σχηματίζουμε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα κατά μήκος της στοιχειώδους γραμμής (όπως φαίνεται στο σχήμα 10) μεταξύ δύο γειτονικών ακτινών σε γωνία άφ και δύο γειτονικών τόξων κύκλων 2-3 ακτίνας r+dr και 4-1 ακτίνας γ. Είναι τώρα κατά φορά της όδευσης, ^c^ds = 0 + γ3 γ 2 ^ ' Επομένως κατά μήκος οποιοσδήποτε κλειστής γραμμής που δεν περικλείει το 0, το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα είναι μηδέν. Το πεδίο λοιπόν είναι αστρόβιλο με κυκλοφορία, που την προκαλεί η ιδιόμορφη γραμμή με ίχνος το 0, που είναι γραμμή δίνης. Η εξίσωση της ταχύτητας είναι: r = 1 ^ r άφ Γουμένου Ευθαλία

40 δηλαδή \ Φ = ^^ φ ^ ή Φ - 2 ^, -arctg^, όπου 0<φ<2π ή -π<φ<π. Δηλαδή οι ισοδυναμικές γραμμές Φ=σταθ. είναι ακτίνες με κέντρο το 0. Για το πεδίο ορισμού της Φ είναι ο ίδιος με εκείνον για την Ψ του πεδίου της σημειακής πηγής. Πρέπει δηλαδή να απομονωθεί το σημείο 0 από το πεδίο ορισμού με μια λεπτή λωρίδα που εκτείνεται στο άπειρο, ώστε να μην μπορεί να χαραχθεί κλειστή γραμμή που να περικλείει το σημείο 0. Ο λόγος είναι η συνθήκη ύπαρξης δυναμικής συνάρτησης. Ροή πηγής και καταβόθρας Στις στοιχειώδεις ροές ανήκει η ροή που προκαλούν τα ιδιόμορφα σημεία, πηγή και καταβόθρα. Από την πηγή αναβλύζει ρευστό και από την απαγωγή αναρροφάται ρευστό από το ροϊκό πεδίο. Στο ιδιόμορφο πεδίο η απόκλιση της ταχύτητας {divw) αλλάζει από μηδέν στο θετικό και αρνητικό άπειρο για το σημείο της πηγής και απαγωγής αντίστοιχα. Η πηγή έχει την ένταση Ε και η απαγωγή την ένταση -Ε. Ε είναι η παροχή όγκου της πηγής (ή απαγωγής) ανά μονάδα μήκους. Η σημειακή διδιάστατη πηγή (ή απαγωγή) είναι η εγκάρσια τομή της γραμμικής πηγής, δηλαδή μιας γραμμής μήκους I από την οποία αναβλύζει (αναρροφάται ) ρευστό στο χώρο. Η παροχή σε κάθε ομοαξονική κυλινδρική επιφάνεια με άξονα την γραμμική πηγή είναι: Γ θυμένου Ευθαλία 39

41 Q = lk r l^ ^ και η ένταση : E = Q = 2 ;rr i^ Η ροή που παράγει η πηγή είναι καθαρά ακτινική. Το δυναμικό της ροής της πηγής και απαγωγής, είναι: Ε 2 Φ = ^ \ n ^ J x + y σχ.3.1 Με την ακτίνα ; [2 2 r = ^Jx + y Η σχέση (3.1), γράφεται σε πολικές συντεταγμένες : Γουμένου Ευθαλία

42 Φ = ^ Ι η / 2π Οι ισοδυναμικές γραμμές Φ=σταθ. είναι ομόκεντροι κύκλοι με κέντρο την πηγή. Οι ταχύτητες u και υ προκύπτουν με παραγώγηση της συνάρτησης δυναμικού ; u { x, y ) = ^ 4 r o(x,y)= ^ i r H συνισταμένη ταχύτητα είναι καθαρά ακτινική ; \^ = Wj. = vw » ^ ik r σχ. 3.2 Η ταχύτητα τείνει προς το άπειρο σε αποστάσεις από την πηγή 0 όπως παριστάνει το σχήμα 12 Γθυμένου Ευθαλία Λαδάκης Ανδρέσς

43 Η ροϊκή συνάρτηση βρίσκεται αν θεωρήσουμε μεταξύ δύο γειτονικών ροϊκών γραμμών που σχηματίζουν γωνία d0, την στοιχειακή ροϊκή συνάρτηση (1Ψ ; = σχ. 3.3 Ετσι με την σχέση (3.2) η ροϊκή συνάρτηση είναι: Για ροή απαγωγής όλοι οι προηγούμενοι τύποι ισχύουν αν αντί της θετικής αντικατασταθεί αρνητική ένταση -Ε. Δυναμικός στρόβιλος (δίνη) Οταν στην επίπεδη ροή πηγής γίνει εναλλαγή μεταξύ των ισοδυναμικών και ροϊκών γραμμών προκύπτει η αξιοσημείωτη δυναμική στοιχειώδης ροή, ή δυναμική δίνη, ή δυναμικός στρόβιλος. Οι ροϊκές γραμμές της δίνης είναι ομόκεντροι κύκλοι γύρω από το σημείο δίνης Δ και οι δυναμικές γραμμές έχουν καθαρά ακτινική διεύθυνση. Ετσι η ταχύτητα της ροής έχει καθαρά εφαπτομενική διεύθυνση. Γουμενοί) Ευθαλία Λαδσκης Ανδρέας

44 Με την εναλλαγή των ροϊκών και ισοδυναμικών γραμμών η εξίσωση δυναμικού και η ροϊκή συνάρτηση γίνονται με μοναδιαίο μήκος της δίνης ηί : σχ Ψ = - ^ 1 Π Γ, σχ όπου Γ η ένταση της δίνης. Σε αναλογία προς την σχ. (3.2) η ταχύτητα περιστροφής είναι: Σύμφωνα με τον προηγούμενο τύπο η κατανομή της ταχύτητας ορίζεται από τον νόμο : W ο Τ -σ τα Θ., xj που χαρακτηρίζει το πεδίο ταχύτητας του δυναμικού στροβίλου. Οι συνιστώσες της ταχύτητας u και υ είναι: y Ί π ~ Ί r Γ 0 ^ Ύ π ^ r όπου Fq η σταθερή κυκλοφορία σε όλο το ροϊκό πεδίο για όποια ακτίνα r. Αρα στην προκείμενη περίπτωση Fq είναι η ένταση του στροβίλου. Γ θυμένου Ευθαλία

45 = = = Το πεδίο ροής της δίνης είναι αστρόβιλο εκτός από την περιοχή πολύ κοντά στον άξονα της δίνης. Σ ένα αστρόβιλο πεδίο (ώ = Ο) η κυκλοφορία μιας κλειστής καμπύλης είναι μηδέν. Την κατανομή της πίεσης στο ροϊκό πεδίο δίνει η εξίσωση του Bernoulli. Υπάρχει διαφορά πίεσης μόνο κατά την ακτινική διεύθυνση. Για το διάστημα μεταξύ δύο ακτινών και /2 όπου '2 >. έχουμε : οτγ 1 _ 1 Με Fq = 2πτ^ (σχ. 3.3) προκύπτει η κατανομή πίεσης στο πεδίο της δίνης : ^ 9 1 ρ - Ρ χ = Ρ - ψ >Λ r 2 1 Μέθοδος των ιδιόμορφων σημείων Ας αναφέρουμε λίγα στοιχεία γι αυτή την μέθοδο. Ονομάζουμε μέθοδο των ιδιόμορφων σημείων την επαλληλία των στοιχειωδών δυναμικών πεδίων που προκαλούν ιδιόμορφα πεδία και παράλληλη ροή, με αποτέλεσμα την παραγωγή σύνθετων ροϊκών πεδίων ιδεωδών Γουμένου Ευθαλία

46 ρευστών. Αυτή η μέθοδος έχει μεγάλη πρακτική σημασία. Τα ακόλουθα τυτηκά παραδείγματα απλών συνθέσεων ροϊκών πεδίων δείχνουν την σημασία της μεθόδου, η οποία χρησιμοποιείται σήμερα για την πρόβλεψη ροϊκών πεδίων σε σχεδιαζόμενες ρευστοδυναμικές κατασκευές αλλά επίσης για την βελτιστοποίησή τους. Ονομαστικά έχουμε λοιπόν: 1. Πηγή και απαγωγή σε παράλληλη ροή. 2. Ροή γύρω από κύλινδρο και σφαίρα. 3. Ρευστοδυναμική αντίσταση στην ιδεώδη ροή. 4. Ροή γύρω από άλλα σώματα. Από τα παραπάνω θα αναλύσουμε ή θα αναφέρουμε σ αυτή την εργασία μόνο όσα μας απασχολούν. Πηγή και απαγωγή σε παράλληλη ροή Α. Η επαλληλία ροϊκού πεδίου πηγής με παράλληλη ροή έχει σαν εξίσωση δυναμικού το άθροισμα του δυναμικού της πηγής σχ.(3.1) και της παράλληλης ροής Φ{x,y,ή-ax+by+cz με y=z= 0 και u ^a = Uoo από την σχέση " = ^ Φ(χ,γ) = ^\ην+ Ί4αοΧ, Γ2 2 με r = \x +y σχ (βλ. σχήμα 14). Οι ροϊκές ταχύτητες u και υ, Γθυμένου Ευθαλία Λαδάκης Ανδρέσς

47 υ = ^ = Ε y 9 y Τμ ^ r Ανάλογα σχηματίζουμε την ροϊκή συνάρτηση Ψ. Για την πηγή ισχύει η (σχ. 3.4) και για την παράλληλη ροή η 'V = ay-bx = C με y=y και χ= 0 για την προκειμένη περίπτωση : Ψ = + ι9 σχ. 3,6 Το ροϊκό πεδίο έχει την χαρακτηριστική ροϊκή γραμμή που περιέχει το σημείο ανακοπής A όπου η ταχύτητα w είναι μηδέν, δηλαδή u=0 και υ=0. Ετσι η σχ.(3.5) δίνει για u=0 την απόσταση ε^το υ σημείου ανακοπής από την πηγή : Γθυμένου Ευθαλία

48 2 _ 'Χ - r = Ε A 2πΐ!^ Στο σημείο ανακοπής η χαρακτηριστική ροϊκή γραμμή είναι κάθετη στον άξονα χ και κατόπιν επεκτείνεται σε άπειρη απόσταση από τον άξονα y παράλληλα προς τον άξονα χ. Το ασυμπτωτικό πλάτος >00 δίνει η διατήρηση της παροχής της πηγής μέσα στο χώρο που περικλείει η χαρακτηριστική γραμμή Ε = ι^οο Α» : Την αναλυτική εξίσωση της χαρακτηριστικής ροϊκής γραμμής δίνει η εξίσωση δυναμικού σχ.(3.6), για Ψ=0, σε πολικές συντεταγμένες y=r ημθ και θ=-θ : ^ _ Α ο 9 OT 3 7 με Tq την πολική ακτίνα από την πηγή. Με την σχέση αυτή μπορεί να κατασκευαστεί ένα δισδιάσττατο σώμα, το οποίο μέσα σε ιδεώδη παράλληλη προς το επίπεδο συμμετρίας του ροή δίνει το εξωτερικό ροϊκό πεδίο που περιγράφουν οι σχ.(3.41) και (3.6). Την κατανομή πίεσης πάνω στην χαρακτηριστική γραμμή δίνει η εξίσωση Bernoulli: 2 2 όπου Wq η εφαπτομενική ταχύτητα στην χαρακτηριστική γραμμή. Από την σύνθεση των ταχυτήτων στο τυχαίο σημείο ρ του εξωτερικού Γθυμένου Ευθαλία

49 πεδίου προκύπτει η ακτινική ταχύτητα της πηγής (σχήμα 14), Λ σχ με ε=γ0 από την σχ.(3.7), και w^q την ακτινική ταχύτητα στην χαρακτηριστική γραμμή. Εξ άλλου η ροϊκή ταχύτητα # = w είνα ι: I w = J(u^-w^auv^] ημ θ Στην απόσταση /q είναι m' = h'q και με συνδυασμό των δύο τελευταίων σχέσεων έχουμε την εφαπτόμενη στην επιφάνεια ταχύτητα W - υ ^ \ \ - W '^ 9 + m & Η κατανομή της πίεσης είναι τότε,, Ρ, } \ η μ ^ 9 ^ η μ 9 σχ.3.8 και είναι η πίεση στην επιφάνεια το «ιδεώδους» αεροδυναμικού μισού σώματος (χ->+οο), που αποτελεί βασική μορφή σε πολλές κατασκευές αεροδυναμικού σχήματος. Η κατανομή πίεσης, σχ.(3.8), ισχύει με μεγάλη ακρίβεια επίσης σε πραγματική ροή γύρω από το «μισό σώμα» παρά το σχηματιζόμενο οριακό στρώμα και χρησιμεύει σαν οριακή συνθήκη σε αντίστοιχους υπολογισμούς. Αποτελεί λοιπόν την σύνδεση Γούμενου Ευθαλία

50 μεταξύ ιδεώδους και πραγματικής ροής και δείχνει έτσι την χρησιμότητα της μεθόδου των ιδιόμορφων σημείων. Συνηθίζεται η κατανομή πίεσης να δίνεται σε αδιάστατη μορφή με τον συντελεστή πίεσης κυρίως για λόγους σύγκρισης διαφορετικοη θεωρητικών και πειραματικών αποτελεσμάτων : - ^0 _ ημ2&_ημ S σχ & όπου 9 c3o= λ>μοο /2 η δυναμική πίεση. Το σχήμα 15 δείχνει την κατανομή Cp = Cp{x) στην επιφάνεια του διδιάστατου σώματος που προέρχεται από την επαλληλία πηγής και παράλληλης ροής. Μετά την αυξημένη πίεση στην περιοχή υποπίεσης (σε σχέση με την πίεση στην απέρατη ροή) ένεκα της επιταχυνόμενης ροής. Η κατανομή αυτή δεν διαφέρει ουσιαστικά από την πραγματική κατανομή πίεσης στο πρωραίο μέρος άλλων επίπεδων αεροδυναμικών σωμάτων. Γθυμένου Ευθαλίσ

51 Β. Ανάλογα προς το προηγούμενο ροϊκό πεδίο υπολογίζεται η ροή της επαλληλίας τρισδιάστατης πηγής και παράλληλης ροής που όμως δεν ενδιαφέρει το αντικείμενο αυτής της εργασίας. Γ. Μια σειρά από ενδιαφέροντα ρευστοχημικά σχηματίζονται από την επαλληλία παράλληλης ροής με την ροή μιας πηγής με ένταση Ε και μιας απαγωγής με ίδια ένταση -Ε. Είναι τα σώματα Rankine ( 1864) σχήμα 16, δηλαδή κυλινδρικά σώματα με διατομή λίγο πιο γεμάτη από ένα ελλειψοειδές από περιστροφή. Η απαγωγή αναρροφάει την ίδια ποσότητα ρευστού που παροχετεύει η πηγή. Τα «μισά σώματα» στα δύο προηγούμενα παραδείγματα είναι ειδικές περιπτώσεις των σωμάτων Rankine. (ΣΧΗΜΑ 16) Η ροή του κλειστού σώματος στο σχήμα 16 έχει την ροϊκή συνάρτηση (συγκρ. σχέση 3.6), Γουμένου Ευθαλία Λοδάκης Ανδρέας

52 ψ : E f. 9 j - ^ ~ Ί ^ όπου 21 η απόσταση μεταξύ πηγής και απαγωγής. Η μορφή του σώματος προκύπτει από την συνάρτηση y=f(x) για Ψ=0. Οταν y=0 η συνάρτηση δίνει δύο σημεία ανακοπής με απόσταση αντίστοιχη από την πηγή και απαγωγή. x = il±jl+ 2Ε K lu^] Η κατανομή της ταχύτητας βρίσκεται μετά από παραγώγιση της ροϊκής συνάρτησης και η κατανομή της πίεσης με την εξίσωση του Bernoulli. Ανάλογα ισχύουν και για τρισδιάστατα σώματα. Γουμένου Ευθαλία

53 Ροή γύρω από κύλινδρο. Ειδικές περιπτώσεις των σωμάτων Rankine είναι η επαλληλία διδιάστατου και τρισδιάστατου δίπολου με παράλληλη ροή. Δίπολο είναι το ιδιόμορφο σημείο στο οποίο πηγή και απαγωγή συμπίπτουν. Στο σώμα Rankine, σχήμα 16, θεωρούμε το ζευγάρι πηγήαπαγωγή ανεξάρτητο από την εξωτερική ροή και με τους συμβολισμούς του σχήματος 17, γράφουμε την συνάρτηση δυναμικού : Γουμένου Ευθαλία

54 Πτρχιακή εργασία Φ=Φ,+Φ_=Ε + λπ 2 ^ 2 +y σχ. 3.9 Πρόκειται για την επαλληλία των δισδιάστατων λύσεων πηγής και απαγωγής, σχ.(3.1). Αντίστοιχα την ροϊκή συνάρτηση δίνει η σχέση (3.31): Ψ = + ψ _ = ^ (, 9 j - σχ Οι ροϊκές γραμμές είναι κυκλικές επειδή για Ψ=σταθ. είναι η γωνία,9j - ι92 = στα^. δηλαδή η καμπύλη, πάνω στην οποία κινείται η κορυφή της πολικής γωνίας -ΕΑΕ, είναι κύκλος. Το δίπολο προκύπτει όταν πηγή και απαγωγή πλησιάσουν τόσο ώστε τελικά να συμπέσουν. Αυτό γίνεται με τον περιορισμό ότι παρά την σύμπτωση πρέπει η επίδραση της έντασης στο εξωτερικό ροϊκό πεδίο να μην εξαφανιστεί (σχήμα 18). (ΣΧΗΜΑ 18) Γθυμένου Ευθαλία

55 Γι αυτό πρέπει με ελαττούμενη απόσταση 21, (σχήμα 17), να αυξάνεται ανάλογα η ένταση Ε, δηλαδή το γινόμενο, Μ=2Ι Ε, να μένει σταθερό. Για το δυναμικό ταχύτητας, σχ.(3.9), σχηματίζεται το όριο /-> 0 Φ = lim Μ Ιη ]Ι(χ+ 1)^ i ΊΈ 27" f +y^ που μπορεί να θεωρηθεί σαν η παράγωγος, Ετσι προκύπτει η συνάρτηση δυναμικού του διπόλου, rt^-m X _ Μ X _ Μ σε>γι9 -,, X +y r με χ/γ=συν θ κατά το σχήμα 17. Η ροϊκή συνάρτηση, σχ.(3.10), δίνει για /^ Ο : Γουμένου Ευθαλία

56 = M _ ^ r. > ; μ _ Μ - M j ', ΐ π & x V χ] Τ π ^ Ί ~ τ π ~ Ί ^ X +y r m _ Μ η μ & Ψ 2 ^ - ^ σ χ Το αρνητικό πρόσημο έχει επίσης την σημασία ότι η γωνία θ αυξομειώνεται αντίθετα από την αυξομείωση του χ. Επίσης η ροϊκή συνάρτηση Ψ προκύπτει από την εξίσωση δυναμικού, σχ.(3.11). Οι δύο συναρτήσεις συνδέονται στο πολικό σύστημα συντεταγμένων στην σχέση για την ακτινική ταχύτητα και την περιφερειακή ταχύτητα w g, όπου : &r & Ψ Μ σ υ ν 3 r S& 2πν σχ ^ Α η μ & & r& & S r ' Ι π? Μετά από ολοκλήρωση προκύπτει η σχ.(3..2). Οι ροϊκές γραμμές του διπόλου είναι κύκλοι που εφάπτονται τον άξονα χ στο σημείο της προέλευσης. Από το σημείο αυτό διέρχεται και ο άξονας του διπόλου, δηλαδή η χαρακτηριστική διεύθυνση που περνούσε από την πηγή και απαγωγή πριν από την σύμπτωση. Ετσι το δίπολο παρά το σημειακό του χαρακτήρα διακρίνεται από μια χαρακτηριστική Γουμένου Ευθαλία

57 διεύθυνση. Οι διάμετροι των κυκλικών ροϊκών γραμμών συνδέονται στην σχέση : ^Λ-'Ϊ2 αν στη σχ.(3.12) γραφεί ημ 0=r/d, όπως φαίνεται από το σχήμα 18. Η ταχύτητα ιίτου ροϊκού πεδίου είναι: I-J Μ = Ι = 2 + υ σχ.3.ι3 r με τις συνιστώσες, 2 2 y - X Μσυν2& Ύττ 4 2 ^ Τ ~ Μ 2xy Μ ημ2& Ί τ τ ~ Τ ~ r r Η σύγκριση της ταχύτητας διπόλου και πηγής ή απαγωγής σχ.(3.71), δείχνει ότι στο δίπολο η ταχύτητα, σχ.(3.12), μειώνεται με ελαττούμενη απόσταση r προς το σημείο προέλευσης εντονότερα ( ~ 2 Mr ) παρά στην πηγή (~ 1/r). Εχουμε λοιπόν την αρχική πρόθεση του υπολογισμού της ροής γύρω από κύλινδρο. Ο κύλινδρος προκύπτει από στερεοποίηση Γθυμένου Ευθαλία

58 χαρακτηριστικών ροϊκών γραμμών της επαλληλίας δίπολου με παράλληλη ροή. Ροή διδιάστατου δίπολου και παράλληλη ροή συνθέτουν την ροή γύρω από κύλινδρο. Σύμφωνα με τις αντίστοιχες συναρτήσεις δυναμικού, Φ = {x,y,z) = αχ + by+cz και (3.11) το δυναμικό της συνισταμένης ροής είναι: Φ = 3.ΐ3ΐ r Εξ άλλου η ροϊκή συνάρτηση ( σχ. Ψ ^ ay-bx = C και 3.12) είναι: r (3.121): Η ακτινική ταχύτητα στο ροϊκό πεδίο είναι κατά την σχέση Γθυμένου Ευθαλία

59 ^_1ι9Ψ_^Φ_ Μ συν& r Για την χαρακτηριστική γραμμή του ροϊκού πεδίου, όπου η ακτινική ταχύτητα νν,. είναι μηδέν, όπως πρέπει να συμβαίνει με μια στερεοποιημένη επιφάνεια, προκύπτει από την προηγούμενη σχέση ; 2 'θ' με /-Q την απόσταση από το δίπολο. Οι σχέσεις (3.131 και 3.132) γράφονται τότε : ^ ^X) 21 ( 2λ συνι9= ι^ χ 1+ ^ σχ r \ \ Για 2] f 2' i - 'o r σχ = 0 και ι9 = 180 είναι Ψ=0 και η σχ. (3.14) δίνει Tq = σταθ. στα δύο σημεία ανακοπής Α. δηλαδή την ακτίνα του κυλίνδρου. Οι συνιστώσες της ταχύτητας είναι:, l i 2 1 l - _ 0 c ro v 2 ^,, r Γουμένου Ευθαλία Λαδάκη: Ανδρέας

60 2 2 L = - 2 = - Μχ, ^ ;;/i2 5 r r r ή σε ακτινική και εφαπτομένη διεύθυνση με, = ~. Αρα : ( 2 i 'η συν& TJ/J& J Την εφαπτομένη στην επιφάνεια του κυλίνδρου ταχύτητα δίνει η τελευταία σχέση για \ν^ = 2 υ ^ η μ ^,σ χ.3.\ 5 η οποία έχει μια μέγιστη τιμή στην τομή του άξονα y με την ο χαρακτηριστική γραμμή, δηλαδή όταν 3 = 90 : Wr. = 2 ζ σ χ Omax ^ ^ Με την κατανομή της ταχύτητας, σχ,(3.15), υπολογίζεται από την εξίσωση Bernoulli η κατανομή της πίεσης στην επιφάνεια του κυλίνδρου : Γθυμένου Ευθαλία

61 "η Αμεσα προκύπτει ο συντελεστής πίεσης (σχ. 3.81): C ^ = \ - ^ = \-4ημ^& = 2σνν23-\ ^ 0 0 Ζ<Χ) Το σχήμα 21 δείχνει αυτή την κατανομή. Για γωνία ι9 = 90 προκύπτει η ελάχιστη τιμή Γ^ = -3,που αντιστοιχεί στην μεγίστη ταχύτητα στο ίδιο σημείο, σχ.(3.16). Δ. Οι προηγούμενες σχέσεις ισχύουν για την ροή κυλίνδρου με κυκλική διατομή, επειδή πρόκειται για επαλληλία παράλληλης ροής κατά την διεύθυνση του άξονα του διπόλου. Αν η διεύθυνση της παράλληλης ροή σχηματίζει τυχαία γωνία α με τον άξονα του διπόλου τότε στις προηγούμενες σχέσεις η ταχύτητα Mqo αντικαθίσταται με την ταχύτητα (βλ. σχήμα 20α ); Γούμενου Ευθαλία

62 Το δυναμικό της παράλληλης ροής είναι Φαζ,=αχ + βγ Φ^=υ^[χσννα-^γημα) = υ^γ[σννα συνθ + ημα ημθ) = υ ^ ν σ ν ν [ β - ά ], με συνιστώσες ταχύτητας u -a = -Woo - ύ/οο συ να και u = b = -Uaa = Uoo ημα. Με το δυναμικό του διπόλου, σχ.(3.11), προκύπτει μια σχέση, που είναι ανάλογη της σχ.(3.131): φ ^ U ^ r σ v v [ 9 - a γ ^ ^ Γούμενου Ευθαλία

63 Εφαρμόζοντας την σχέση για την ακτινική ταχύτητα, σχ.(3.121), παίρνουμε την ακτίνα του νέου σώματος {wf = 0) : Μ συνθ 0 2π υ^ συν[&-α) με πραγματικές τιμές συν θ>0. Επειδή είναι Γ^^σταθ. πρόκειται για κύλινδρο με μη κυκλική διατομή. Ρευστοδυναμική αντίσταση στην ιδεώδη ροή Οι συνεχείς καμπύλες του σχήματος 21, που δείχνουν την κατανομή της πίεσης στην ιδεώδη ροή γύρω από κύλινδρο, είναι απόλυτα συμμετρικές. Στην πραγματικότητα υπάρχουν διαφορές μεταξύ πειραματικών διαπιστώσεων και των ιδανικών αυτών καμπύλων. Σχηματίζεται το οριακό στρώμα και η ροή ορίζεται από την εξέλιξη του κάτω από την επίδραση του εξωτερικού πεδίου πίεσης. Η ροή έξω από το οριακό στρώμα είναι ομοιόμορφη (σταθερή εγκάρσια κατανομή ταχύτητας) και έχει διατμητικές τάσεις αμελητέες. Η πίεση που «αποτυπώνεται» στο οριακό στρώμα είναι η πίεση της ροής ιδεώδους ρευστού του σχήματος 21. Ομως η αλληλεπίδραση με το οριακό στρώμα προκαλεί μεταβολές του ροϊκού πεδίου και η πραγματική κατανομή της πίεσης διαφέρει ουσιαστικά από την ιδεώδη, όπως δείχνουν οι διακεκομμένες καμπύλες από πειραματικά αποτελέσματα στο σχήμα 2 1. Γθυμένου Ευθαλίο

64 Η συμμετρική κατανομή πίεσης στην ιδεώδη ροή γύρω από σώματα έχει σαν αποτέλεσμα ότι η δύναμη που επιδρά στο σώμα κατά την διεύθυνση της ροής είναι μηδέν. Αυτό αποτελεί το παράδοξο του D Alembert, που έρχεται σε ριζική αντίθεση με την εμπειρική διαπίστωση ότι όλα τα σώματα σε ροή πραγματικού ρευστού παρουσιάζουν αντίσταση. Ροή γύρω από άλλα σώματα Τα προηγούμενα παραδείγματα επαλληλίας παράλληλης ροής και ροϊκών πεδίων που παράγουν ιδιόμορφα σημεία είναι ειδικές απλές περιπτώσεις της μεθόδου των ιδιόμορφων σημείων. Η θεωρία εξασφαλίζει τον υπολογισμό δισδιάστατων και τρισδιάστατων Γουμένου Ευθαλία

65 αεροδυναμικών σωμάτων. Για τον σκοπό αυτό θεωρείται παραδείγματος χάρη, σε δισδιάστατη παράλληλη ροή επίπεδο, στο οποίο είναι διανεμημένες πηγές και απαγωγές με ένταση ε^{χ).υ{β^{χ) μπορεί να είναι θετική ή αρνητική ανάλογα με το επιδιωκόμενο σώμα. Ο υπολογισμός δίνει κυλινδρικά σώματα με διάφορες διατομές. Οταν τα ιδιόμορφα σημεία έχουν κατανεμηθεί επάνω σε μία γραμμή και παράγουν έτσι ροή αξονικά συμμετρική, εφαρμόζεται το δυναμικό ταχύτητας ανάλογα με την σχέση υπολογισμού της τρισδιάστατης πηγής και παράλληλης ροής. Γ ια τον υπολογισμό άλλων συνθετότερων σωμάτων χρησιμοποιούνται κατανομές διπόλου και στροβίλων. Η μέθοδος των ιδιόμορφων σημείων έχει αναπτυχθεί σήμερα τόσο ώστε από σύνθετες επαλληλίες ροών να προκύπτουν μορφές ολόκληρων αεροπλάνων (μέθοδος Panel) και να επιτυγχάνεται η βελτιστοποίησή τους. Γ θυμένου ΕυθαλΙα

66 Ρευστοδυναμική άνωση Η ιδεώδη κατανομή πίεσης στον κύλινδρο και στην σφαίρα είναι συμμετρική σε σχέση με τους δύο κύριους άξονες χ και y. Ετσι όπως μηδενίζεται η αντίσταση, μηδενίζεται και κάθε δύναμη που επιδρά από το ρευστό στο σώμα, στην διεύθυνση y. Η δύναμη, έστω με διεύθυνση κάθετη προς την διεύθυνση της απέρατης ροής, ονομάζεται ρευστοδυναμική άνωση. Αντίθετα προς την αντίσταση η άνωση σε ροή ιδεώδους ρευστού υπάρχει σε ειδικές περιπτώσεις συνδυασμού στοιχειωδών ροϊκών πεδίων με μη συμμετρική κατανομή πίεσης, όπως δείχνουν τα ακόλουθα παραδείγματα επαλληλίας, τα οποία εντάσσονται επίσης στην θεωρία των ιδιόμορφων σημείων. Νέο στοιχείο αποτελεί η επαλληλία του δυναμικού στροβίλου (δίνης) με άλλα στοιχειώδη πεδία. Ανωση σε ιδεώδη ροή κυλίνδρου με κυκλοφορία. Η σύνθεση των τριών στοιχειωδών ροϊκών πεδίων, διπόλου παράλληλης ροής και δυναμικής δίνης έχει σαν αποτέλεσμα το ροϊκό πεδίο του σχήματος 23. με ιδιαίτερο χαρακτηριστικό την συμμετρία μόνο σε σχέση με τον άξονα y. Γθυμένου Ευθαλία

67 Οι γραμμές του νέου αυτού ροϊκού πεδίου ορίζονται από την συνάρτηση δυναμικού και την ροϊκή συνάρτηση σε πολικές και καρτεσιανές συντεταγμένες : Φ = υοα σ υ ν 9 - ^ 9 = ιπ - - u ^ x ^ 2 X +y - ^ ^ ο ξ ε φ ^ Γουμένου Ευθαλία

68 \- ^ : η μ ^ + ^ \η ν = r I ^ = W ^ X +y + ^ Ι η ^ /? + ^ Στις παραπάνω σχέσεις ο πρώτος όρος προέρχεται από την ροή του κυλίνδρου (δίπολο και παράλληλη ροή σχ και 3.14) και δυναμικού στροβίλου (σχ. 3.32). Η περιστροφή του στροβίλου ορίζεται θετική για αριστερόστροφη φορά κυκλοφορίας. Η ταχύτητα στην επιφάνεια του κυλίνδρου Wq είναι: * 0 = Ό Η ίδια έκφραση προκύπτει αν η ταχύτητα της ροής του κυλίνδρου σχ.(3.15) και ροϊκού πεδίου στροβίλου σχ.(3.33) προστεθούν. Σημεία ανακοπής σχηματίζονται όπου είναι >Vq = 0, δηλαδή όταν = την γωνία της ακτίνας του σημείου ανακοπής με την οριζόντια (βλ. σχήμα 23). Ετσι η σχ.(3.17) δίνει: σχ Το αρνητικό πρόσημο έχει την σημασία ότι τα σημεία ανακοπής σχηματίζονται κάτω από τον οριζόντιο άξονα. Ετσι όταν είναι: Γθυμένου Ευθαλία

69 τα δύο σημεία ανακοπής συμπίπτουν στην κάτω τομή του άξονα y με ο την περιφέρεια της διατομής δηλαδή όπου S Για μεγάλες τιμές της κυκλοφορίας : Γ > 4 π Γ ^ ΐί ^. η σχέση (3.18) δεν ικανοποιείται. Αυτό έχει την φυσική σημασία ότι σημεία ανακοπής δεν σχηματίζονται στην επιφάνεια του κυλίνδρου, ο αλλά κάπου στο ροϊκό πεδίο όπου &= 270 και > Tq. Το κύριο χαρακτηριστικό της ροής κυλίνδρου με κυκλοφορία είναι η αύξηση της ροϊκής ταχύτητας στην επάνω και η μείωσή της στην κάτω επιφάνεια του κυλίνδρου. Αντίστοιχα αντίθετη είναι η μεταβολή της πίεσης κατά την εξίσωση του Bernoulli ώστε τελικά να παρουσιάζεται μια δύναμη κατά την διεύθυνση του άξονα y, η άνωση.το φαινόμενο αυτό είναι γνωστό σαν φαινόμενο Magnus (1852). Από κυλίνδρου την εξίσωση του Bernoulli η πίεση στην επιφάνεια του είναι: Λ90 Με από την σχέση(3.17) είναι: Ρ ^ - ^ 0 7 ^ 4;γ Γουμένου Ευθαλία

70 Η κατανομή της πίεσης παριστάνεται στο σχήμα 24 στην αδιάστατη μορφή του συντελεστή πίεσης C^. Η κατανομή στο τεταρτημόριο θ = Ο^π/2 είναι συμμετρική με την κατανομή του θ = =π/2^π και αντίστοιχα στο θ = π ^ 1,5 π με την κατανομή του θ = 1,5^2 π. Δεν είναι όμως συμμετρική στις γωνίες θ = 0-^π και θ = π^2π, γεγονός που προξενεί μία συνισταμενη δύναμη F, με συνιστώσες κατά την διεύθυνση των αξόνων χ και και Ργ. Γθυμένου Ευθαλία

71 ϋίοχιακή εργασία Η δύναμη κατά την διεύθυνση χ, δηλαδή η αντίσταση είναι, συμφωνεί με το παράδοξο του D Alembert μηδέν. Η δύναμη κατά την διεύθυνση y, δηλαδή η άνωση L, είναι (ανά μονάδα μήκους του κυλίνδρου): και για κύλινδρο εκπετάσματος b, L ^ p i ^ r = F y, σχ L = p b l i ^ T σχ Η σχέση αυτή, που είναι ανεξάρτητη από την ακτίνα /q του κυλίνδρου και ισχύει έτσι για κάθε μορφή της διατομής του κυλίνδρου, βρέθηκε από τους Kutta (1902) και Joukowski (1906) και είναι γνωστή σαν σχέση των Kutta-Joukowski. Παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον, επειδή δείχνει ότι ένα ιδεώδες ρευστό μπορεί να εξασκήσει μια δύναμη σ ένα στερεό σώμα σαν αποτέλεσμα της κίνησής του. Η δύναμη αυτή έχει μια μόνο συνιστώσα κάθετη προς την διεύθυνση της αδιατάρακτης ροής. Η σχ.(3.19) εκφράζεται επίσης με τον αριθμό στροφών η, που έχει π.χ. ένας κύλινδρος διαμέτρου d και περιστρέφεται μέσα σε μια παράλληλη ροή ταχύτητας ιΐοο- Για την κυκλοφορία μπορεί να γραφεί σύμφωνα με τον ορισμό της, για γωνιακή ταχύτητα ω = 2 π η όπου η ο αριθμός στροφών : Γ = π d = 7?' η, με την παραδοχή ότι η ταχύτητα ιι ^ ^ π ά η της επιφάνειας του κυλίνδρου μεταδίδεται άμεσα στο ρευστό, γεγονός που στην Γουμένου Ευθαλία Λαδάκη: Ανδρέας

72 πραγματικότητα δεν συμβαίνει παρά την εσωτερική τριβή του ρευστού. Η ροή εξασκεί στον κύλινδρο την άνωση κατά την σχέση Kutta- Joukowski. σχ.(3.20) : = ρπ d bnu^ Την δύναμη αυτή προσπάθησε να εκμεταλλευτεί για την κίνηση πλοιαρίων ο Flettner (1925), ο οποίος πειραματίστηκε σε δύο περιστρεφόμενους κυλίνδρους διαμέτρου 2.8 και ύψους 15.6 m σ αντικατάσταση ιστίων ενός πλοίου. Τα πειράματα είχαν επιτυχία, αλλά η εφαρμογή του φαινομένου Magnous αποδείχτηκε αντιοικονομική. Ανωση αεροτομής σε πραγματική ροή Στα αποτελέσματα της επαλληλίας ροής δυναμικού στροβίλου και ροϊκού πεδίου κυλινδρικού σώματος βασίζεται ο υπολογισμός κάθε είδους άνωσης που παράγεται σε πτέρυγες αεροχημάτων και σε πτερύγια ρευστοδυναμικών μηχανών. Στις περιπτώσεις αυτές η κυκλοφορία δεν παράγεται, π.χ. από περιστροφή του σώματος, αλλά προκαλείται από νην εσωτερική τριβή του πραγματικού μέσου. Για την εύκολη και αποδοτική παραγωγή άνωσης απαιτείται βασικά η κατάλληλη μορφή της διατομής του κυλινδρικού σώματος και αυτή είναι η αεροδυναμική διατομή ή αεροτομή, σχήμα 26. Σε σχέση με την συνηθισμένη κυλινδρική διατομή η αεροτομή είναι λεπτή, δηλαδή το μέγιστο πάχος d είναι μικρό σε σχέση με το μήκος I Γουμένου Ευθαλία