ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Transcript

1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ A u B Μέτρο Διεύθυνση Κατεύθυνση (φορά) Σημείο Εφαρμογής Διανυσματικά Μεγέθη : μετάθεση, ταχύτητα, επιτάχυνση, δύναμη Μονόμετρα Μεγέθη : χρόνος, μάζα, όγκος, θερμοκρασία, πίεση, πυκνότητα

2 u i x u k O j u u x Κατευθύνοντα συνημίτονα: α = συνθ, α = συνθ, α = συνθ συνιστώσες : u, u, u Παράσταση διανύσματος α) Μέτρο : u, (u), u και κατευθύνοντα συνημίτονα β) συνιστώσες : u, u, u u=u(u,u,u ), u=u i, i,, x u i u j u k u i, j, k u u u u, μοναδιαία διανύσματα u u u u u u u,, u u u

3 . Πράξεις Διανυσμάτων. Πρόσθεση Διανυσμάτων x i j k i j k Διανυσματικό (γεωμετρικό) άθροισμα : a a a x i j k u Αντίθετο του : (ίδιο μέτρο, αντίθετη φορά)

4 . Αφαίρεση διανυσμάτων Πρόσθεση του αντιθέτου ( ) γ =α -β, γ =α -β, γ =α -β Ίσα διανύσματα; 4

5 . Πολλαπλασιασμός διανυσμάτων α) Εσωτερικό Γινόμενο (dot product) (μονόμετρο μέγεθος) a(a,a,a ), b(b, b, b ) a b ab a b a b a b a b a a? W F s us ES 5

6 β) Εξωτερικό Γινόμενο (vector/cross/outer product) (διανυσματικό μέγεθος) a( a, a, a ), b ( b, b, b ) (,, ) (,, ) i j k M F s S B h r i( ) j( ) k( )? 6

7 γ) Δυαδικό γινόμενο (τανυστικό γινόμενο-dyadic product) a a e ia ja ka, b b e ib jb kb i i j j i j a ab ab ab a b a b b b a b a b a b a b a ab ab ab ia ib ia jb ia kb ja ib ja jb ja kb ka ib ka jb ka kb 9 συσιστώσες => μέγεθος μονόμετρο; διανυσματικό; ΔΥΑΔΙΚΗ ΟΝΤΟΤΗΤΑ => Τανυστής β Τάξης 7

8 Εφαρμογή. Δίνονται τα δύο διανύσματα a i j k b i j k Να βρεθούν το γεωμετρικό τους άθροισμα, η γεωμετρική τους διαφορά, το εσωτερικό, εξωτερικό και δυαδικό τους γινόμενο a b i j k a b i 5 j 4k a b 6 7 i j k axb 7i 7 j 7k a b ii 4ij 6ik ji 6 jj 9 jk ki kj kk 8

9 Λογισμός Διανυσμάτων - Μονόμετρες συναρτήσεις (π.χ. χρόνος, πυκνότητα, θερμοκρασία) (μεταβολές μονόμετρων ποσοτήτων στο χώρο ή το χρόνο) - Διανυσματικές συναρτήσεις (π.χ. ένταση πεδίου βαρύτητας) (μεταβολές διανυσματικών ποσοτήτων στο χώρο ή το χρόνο). Διαφορικός Λογισμός Διανυσμάτων παραγώγιση διανυσματικής ποσότητας ως προς μονόμετρη ποσότητα du du du i j k dt dt dt dt du 9

10 ΤΕΛΕΣΤΕΣ Σύμβολα μπροστά από διανυσματικές ή μονόμετρες συναρτήσεις που υποδεικνύουν πραγματοποίηση πράξεων παραγώγισης α) Διανυσματικός τελεστής ανάδελτα (nabla), (ΔΙΑΝΥΣΜΑ) i x j k x x Εφαρμόζεται σε μονόμετρες και διανυσματικές συναρτήσεις 0

11 β) Τελεστής βαθμίδα, grad (ΔΙΑΝΥΣΜΑ) U= g gradu i U x j U k U x x U ds U= U= U=μονόμετρη ποσότητα grad U = U Η βαθμίδα μεταβολής του υψομέτρου σε ένα σημείο μιας πλαγιάς είναι διάνυσμα κάθετο στην ισοϋψή στο σημείο αυτό και περιγράφει την τοπογραφική κλίση στο σημείο αυτό.

12 γ) Τελεστής απόκλιση, div (ΜΟΝΟΜΕΤΡΗ) u divu x u x u x Εφαρμόζεται σε διάνυσμα προκύπτει μονόμετρη divu u i j k iu ju ku x x x u u u x x x u 0 Σωληνοειδέ ς διάνυσμα

13 Αν θεωρήσουμε έναν ιδεατό χώρο μέσα στον οποίο πραγματοποιείται ροή ρευστού. Έστω ότι η F ( x, y, z ) είναι μια διανυσματική συνάρτηση που περιγράφει την ταχύτητα του ρευστού στη θέση ( x, y, z ) του χώρου αυτού. Απόκλιση της είναι η μεταβολή της στο χώρο. F Αν το υγρό κινείται προς τα έξω (π.χ. υπάρχουν πηγές μέσα στον ιδεατό χώρο που μελετούμε) τότε η τιμή d iv F είναι θετική και περιγράφει ποσοτικά αυτήν την διόγκωση (κίνηση προς τα έξω, εκκροή από τον ιδεατό χώρο). Αντίθετα, αν η κίνηση του υγρού είναι προς τα μέσα (π.χ. υπάρχει συνεχής τροφοδοσία από έξω προς τα μέσα και κατανάλωση ρευστού στο εσωτερικό του ιδεατού χώρου) τότε η τιμή είναι αρνητική. d iv F

14 δ) Τελεστής περιστροφή, rot ή curl (ΔΙΑΝΥΣΜΑ) i j k rotu curlu x x x u u u u u u u u u i j k x x x x x x Αν το διάνυσμα περιγράφει την ταχύτητα κίνησης ενός υγρού σε ένα ιδεατό χώρο, η διανυσματική συνάρτηση c u r l u περιγράφει το στροβιλισμό του υγρού μέσα στο χώρο αυτό u u 0 Α σ τ ρ ό β ιλ ο δ ιά ν υ σ μ α 4

15 ε) Τελεστής λαπλασιανή, (ΜΟΝΟΜΕΤΡΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑ) U U x u i u j U x u U x k u Εφαρμογή σε μονόμετρη (U) Εφαρμογή σε διανυσματική u Φυσική σημασία: η εφαρμογή της σε μια ποσότητα δείχνει τη μεταβολή της τιμής της ποσότητας από ένα σημείο σε ένα γειτονικό του. U = U - U 0, ό U 0 = τιμή ποσότητας στο σημείο 0 U =»» στη γειτονιά του σημείου 0 5

16 Εφαρμογή. Δίνεται η μονόμετρη συνάρτηση: U = x + x - x Να βρεθούν η βαθμίδα (grad) και η λαπλασιανή της ( ) στο σημείο (0,, -) U U U grad U U i j k x x x i(x ) j(4x ) k( 6x ) 4 j 6k U U U U x x x Σε κάθε σημείο 6

17 Εφαρμογή.4 Δίνεται η διανυσματική συνάρτηση u(x,x x x,-x x x Να βρεθούν η απόκλιση (div), η περιστροφή (rot ή curl) και η λαπλασιανή της ( ) στο σημείο (, -, -) u u u divu xx xx 5 x x x u u u u u u x x x x x x rot u curl u u i j k u i u j u k u i( x x x x x ) j(x x x ) k(x x ) 8 j 4k u u u u u u u u u i j k x x x x x x x x x ) 0 0 k( x x x x ) x (x x )k 0k 7

18 Άσκηση. α) μέτρα, κατευθύνοντα συνημίτονα, γωνίες με τους άξονες β) άθροισμα, διαφορά γ) εσωτερικό, εξωτερικό, δυαδικό γινόμενο a(,, ), b(, 4,) a , 6.7, b , 9.5, a (,, ) b(, 4,) (,7,0), a b (i j k) ( i 4 j k) i 7j a (,, ) b(, 4,) (,, ), a b (i j k) ( i 4 j k) i j k ab ( ) 4 ( ) 9 i j k a b 7i j k 4 a b ii 8ij ik ji jj jk ki 4kj kk 8

19 Άσκηση. Δίνεται μονόμετρη συνάρτηση Φ = x x + x x - x x x. Να βρεθούν η βαθμίδα (grad) και η λαπλασιανή της ( ) στο σημείο (,, 0) grad j k x x x (x x x x ) (x x x x x ) j (x x x )k 4 j 6k x x x x 6x x 4 9

20 Άσκηση. Δίνεται διανυσματική συνάρτηση u ix x jx x x kx x Να βρεθούν η απόκλιση (div), η περιστροφή (rot ή curl) και η λαπλασιανή της ( ) στο σημείο (,, -) u u u divu x xx xx x x x i j k x x xx x xx x x xx x xx rot u i j k x x x x x x x x x x x x x x x x i(x x x ) j(0) k(x x x x ) k u i u j u k u u u u u u u u u u i j k x x x x x x x x x i x kx i k 0

21 . Ολοκληρωτικός Λογισμός Διανυσμάτων α) Απλό Ολοκλήρωμα Διανύσματος ds A u B B B W u dx ) u d s u dx u dx A A ( u, u, u συνιστώσες του διανύσματος u dx, dx, dx συνιστώσες του διανύσματος ds π.χ. έργο

22 β) Διπλό Ολοκλήρωμα Διανύσματος S ds u d S u d S u d S S u u d S ) εσωτερικό γινόμενο S ( u, u, u συνιστώσες του διανύσματος u ds, ds, ds συνιστώσες του διανύσματος ds u ds u ds u. ds.cos90 0 u π.χ. αν η ένταση ενός ηλεκτρικού/μαγνητικού πεδίου το διπλό ολοκλήρωμα είναι η ηλεκτρική/μαγνητική ροή του πεδίου δια μέσου της επιφάνειας S

23 γ) Τριπλό Ολοκλήρωμα Διανύσματος dv i u dv j u dv k u u V V V V dv u dv V V Μέση τιμή του διανύσματος στο χώρο του όγκου V

24 Θεώρημα της απόκλισης (Θεώρημα Gauss) V u d V u d S S Το τριπλό ολοκλήρωμα της απόκλισης διανυσματικής συνάρτησης σε όγκο V ισοδυναμεί με Το διπλό ολοκλήρωμα της διανυσματικής συνάρτησης στην επιφάνεια S που περιβάλλει τον V π.χ. Ο ρυθμός απόκλισης υγρού από όγκο V ιδεατού δοχείου = ρυθμό εκροής του από την επιφάνεια S που περιβάλλει τον όγκο (δοχείο) 4

25 Θεώρημα του Stokes S u d S u d s Το διπλό ολοκλήρωμα της περιστροφής διανύσματικής συνάρτησης σε επιφάνεια S ισοδυναμεί με Το απλό κλειστό ολοκλήρωμα της διανύσματικής συνάρτησης στη γραμμή s που περιβάλλει την S π.χ. Στροβιλισμός υγρού σε επιφάνεια S ισοδυναμεί με το μέσο στροβιλισμό υγρού κατά μήκος της γραμμής, s, που περιβάλλει την επιφάνεια S. 5

26 ΕΦΑΡΜΟΓΗ.5 Ευθύγραμμος ηλεκτρικός αγωγός ο οποίος διαρρέεται από ρεύμα έντασης i δημιουργεί μαγνητικό πεδίο έντασης Η (σε απόσταση r από τον αγωγό) η οποία εφάπτεται κύκλου ακτίνας r και έχει μέτρο ίσο με ki/r, όπου k σταθερά. Να βρεθεί το απλό ολοκλήρωμα της έντασης κατά μήκος περιφέρειας κύκλου που έχει το κέντρο του στον αγωγό και ακτίνα R. Έστω στοιχειώδες μήκος ds πάνω στον κύκλο. Τότε : ki ki ki H ds ds cos 0 ds R ki R R R (εσωτερικό γινόμενο) => H. ds. cos(0)=h. ds R H 6

27 ΕΦΑΡΜΟΓΗ.6 Η ένταση, E, του ηλεκτρικού πεδίου σε σημείο που απέχει απόσταση r από ηλεκτρικό φορτίο q έχει τη διεύθυνση της ευθείας που ενώνει το φορτίο με το σημείο () και μέτρο που δίνεται από τη σχέση E=kq/r. Να βρεθεί η ηλεκτρική ροή που περνάει από την επιφάνεια σφαίρας που έχει κέντρο το φορτίο q και ακτίνα R. () => διεύθυνση της Ε // διεύθυνση ακτίνων R => Ηλεκτρική ροή: E ds E ds cos 0 E ds όπου ds στοιχείο της επιφάνειας της σφαίρας. kq kq kq E ds ds ds 4 R 4 kq R R R S S S Άρα η συνολική ροή είναι ανεξάρτητη της επιφάνειας. 7

28 Τανυστές Τανυστής n τάξης στο χώρο των r διαστάσεων: r n συνιστώσες, κατά την αλλαγή των αξόνων υπακούει σε ορισμένο μετασχηματισμό τανυστές 0 ής τάξης, r 0 = 0 = μονόμετρα μεγέθη τανυστές ης τάξης, r = = διανυσματικά μεγέθη τανυστές ης τάξης, r = =9 τάση, ανηγμένη παραμόρφωση S ij, i,j=,, 8

29 Ιδιότητες Τανυστών Δεύτερης Τάξης Α) ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΣ S ij = Sji S = S, S = S, S = S π.χ Β) ΑΝΤΙΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΣ (ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΕΑΣ/ΣΤΡΟΦΕΑΣ) S = -S, S = -S, S = -S S ij = -Sji π.χ. 0 4 S = S = S = Γ) ΙΣΟΤΡΟΠΟΣ S = S = S, S = S = S = S = S = S π.χ. Στους ισότροπους τανυστές οι άξονες θεωρούνται ισοδύναμοι. Εναλλαγή των αξόνων δεν επηρεάζει τις τιμές των συνιστωσών 9

30 Ίχνος τανυστή : S + S + S Τανυστής = Συμμετρικός (με ίδιο ίχνος) + Αντισυμμετρικός () Τανυστής = Ισότροπος (με ίδιο ίχνος) + Τανυστής (με μηδενικό ίχνος) Συμμετρικός τανυστής = Ισοτροπέας + Εκτροπέας () () Λ () => Τανυστής = Ισοτροπέας + Εκτροπέας + Αντισυμμετρικός Τανυστής Kroneker, δ ij ij για i=j δ ij =, για ij δ ij =

31 Εφαρμογή Δίνεται ο τανυστής ης τάξης : Sij Να αναλυθεί σε άθροισμα ενός συμμετρικού και ενός αντισυμμετρικού τανυστή y y ij S y y y y 8 0 x x ij S x 0 x x x 0 x y 8 () () () y 6 x y 5 () () x y x 4 () (5) (6) y y x 5 (4) (6) x 9 y x (5) () (4) y 0 x y 7 (6) () x 5

32 Εφαρμογή.8 Να αναλυθεί σε άθροισμα ενός ισοτροπέα και ενός εκτροπέα 6 0 Sij Ισότροπος ομόλογα στοιχεία ίσα, ίδιο ίχνος με αρχικό Στοιχεία διαγωνίου = (++8)/ = Sij Sij Sij Sij Sij Sij Άρα:

33 Άσκηση.4 Δίνεται διανυσματική συνάρτηση Να αποδειχθεί ότι είναι αστρόβιλη u = i(x-)- jx (rot u = 0) και u ds = 0 rot u i j k u x x x u u u u u u u u u x x x x x x i j k i(0) j(0) k(0) 0 Θεώρημα Stokes: u d s ( u ) d S 0 S 0

34 Άσκηση.5 Δίνεται διανυσματική συνάρτηση u = i(x -)- jx Να αποδειχθεί ότι είναι σωληνοειδής (div u=0) και u d S = 0 S u u u x x x d iv u u 0 => Σωληνοειδής Θεώρημα της απόκλισης (θεώρημα GAUSS) u d S ( u ) d V 0 S V 0 4

35 Άσκηση.6 Να υπολογιστεί το απλό ολοκλήρωμα του διανύσματος u ix jx κατά μήκος της διαδρομής (0,0) (,0) (,) (0,) (0,0) (0,) (,) (c,d) (c,d) (c,d) (c,d) x x (a,b) (a,b) (a,b) (a,b) A u ds x.dx x.dx (0, 0) (, 0) A (0,0) (,0) (, 0) (, ) A (, ) (0, ) A (0, ) (0, 0) A4 9 9 A A A A A4 0 5

36 Άσκηση.8 Να βρεθούν τα ίχνη ενός α) στροφέα, β) εκτροπέα, γ) ισοτροπέα με ένα διαγώνιο στοιχείο -4 α) Στροφέας (αντισυμμετρικός): S ij = S ji S = S = S = 0 ίχνος = 0 β) Συμμετρικός = ισοτροπέας + εκτροπέας Ισότροπος τανυστής με ίχνος ίσο με του αρχικού και στοιχεία διαγωνίου ίσα Άρα, ίχνος εκτροπέα = 0 γ) Ισοτροπέας στοιχεία διαγωνίου ίσα, κ=-4 ίχνος =.(-4) = - 6