11. Βαθµίδα, Απόκλιση, Στροβιλισµός

Transcript

1 56 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής Βαθµίδα, Απόκλιση, Στροβιλισµός Βαθµίδα Έστω µια συνεχής βαθµωτή συνάρτηση,, Αν σε ένα σηµείο διατηρήσουµε σταθερά τα και και κινηθούµε κατά απόσταση d στην κατεύθυνση, η µεταβολή στο θα είναι, σύµφωνα µε τον ορισµό των µερικών παραγώγων, περίπου ίση µε d Η προσέγγιση γίνεται τόσο πιο καλή όσο µικρότερο είναι το d Ο συντελεστής µπορεί να θεωρηθεί ως ο ρυθµός µεταβολής τη ς ανά µονάδα µετατόπισης στην κατεύθυνση Αν τώρα η µετατόπιση συνεπάγεται µεταβολές στα, και, δηλαδή είναι ίση µε d s d d d, και αυτή έχει ως συνέπεια να µεταβληθεί η κατά d σε d, τότε, για µικρή µετατόπιση, η ολική µεταβολή στο θα είναι η επαλληλία των επιµέρους µεταβολών για τις ανεξάρτητες µετατοπίσεις d, d, d Έτσι, d d d d Αυτό είναι το ολικό διαφορικό του Η d µπορεί να εκφραστεί συναρτήσει της διανυσµατικής µετατόπισης d s, αν αναγνωρίσουµε ότι το d ισούται µε το εσωτερικό γινόµενο: d d d d Ονοµάζουµε το µέγεθος και τη συµβολίζουµε µε βαθµίδα ή κλίση της βαθµωτής συνάρτησης, gad d Είναι η γενίκευση, σε τρεις διαστάσεις, της έννοιας της κλίσης ή του ρυθµού µεταβολής d µιας συνάρτησης µιας µεταβλητής Κατ αναλογίαν προς τον τελεστή παραγώγισης ως προς, θα το βρούµε χρήσιµο να ορίσουµε τον αντίστοιχο τριδιάστατο τελεστή, gad Ο τελεστής αυτός δρα πάνω σε µια βαθµωτή συνάρτηση που θα τοποθετηθεί στα δεξιά του, δίνοντας τη βαθµίδα της συνάρτησης: gad Το σύµβολο ονοµάζεται ανάδελτα Έτσι, το µέγεθος gad 5 χρησιµοποιείται στον υπολογισµό του ρυθµού µεταβολής της συνάρτησης σε ένα σηµείο, σε οποιαδήποτε κατεύθυνση Αν η µετατόπιση είναι d s d d d, η µεταβολή της θα είναι d gad d d d 6 d d εδοµένου ότι η µετατόπιση έχει µήκος d d d, το µέγεθος

2 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 57 d gad d d d 7 εκφράζει το ρυθµό µεταβολής της συνάρτησης σε ένα σηµείο, στην κατεύθυνση του µοναδιαίου διανύσµατος s Έτσι, d gad s s 8 Λόγω των ιδιοτήτων του, το µέγεθος αυτό ονοµάζεται παράγωγος κατά κατεύθυνση Σε µια κατεύθυνση που σχηµατίζει γωνία θ µε το διάνυσµα, ο ρυθµός µεταβολής του ανά µονάδα µετατόπισης είναι d cosθ 9 θ Ο µέγιστος ρυθµός αύξησης του παρατηρείται στην κατεύθυνση της βαθµίδας θ o d και είναι ίσος µε Επίσης, για θ 9 είναι, πράγµα που σηµαίνει ότι το o 9 διάνυσµα είναι κάθετο στις γραµµές ή επιφάνειες σταθερού ισοσταθµικές επιφάνειες - πχ ισοδυναµικές επιφάνειες αν είναι το δυναµικό Συνοίζοντας: Η βαθµίδα µιας βαθµωτής συνάρτησης είναι ένα διάνυσµα το οποίο, σε κάθε σηµείο: Είναι κάθετο στις επιφάνειες σταθερού Έχει κατεύθυνση αυτήν προς την οποίαν ο ρυθµός αύξησης του είναι µέγιστος Έχει µέτρο που είναι ίσο µε τον µέγιστο ρυθµό µεταβολής του στο συγκεκριµένο σηµείο Έχει προβολή σε κάποια κατεύθυνση, της οποίας το µέτρο ισούται µε τον ρυθµό µεταβολής του στην κατεύθυνση αυτή Παράδειγµα Να βρεθεί η βαθµίδα της συνάρτησης,, Από τον ορισµό gad, έχουµε o Παράδειγµα Να βρεθεί η βαθµίδα της συνάρτησης, όπου Από τον ορισµό Όµως η συνάρτηση Επίσης, επειδή είναι συνάρτηση του, έχουµε µόνο Έτσι, d d κοκ Έτσι, έχουµε:, και

3 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 58 Εποµένως, Γενικά, όταν υπάρχει σφαιρική συµµετρία, δηλαδή έχουµε µια συνάρτηση του µόνο, είναι d d Για παράδειγµα, Έτσι, από το ηλεκτροστατικό δυναµικό V, µέσω της σχέσης, V βρίσκουµε την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου: Χρησιµοποιώντας τον τελεστή ανάδελτα µπορούµε να ορίσουµε δύο µεγέθη τα οποία είναι πολύ χρήσιµα στην ανάπτυξη της θεωρίας του διανυσµατικού πεδίου: την απόκλιση και τον στροβιλισµό Απόκλιση Η απόκλιση µιας διανυσµατικής συνάρτησης ορίζεται ως div όπου τα εσωτερικά γινόµενα υπολογίζονται συµβολικά, διατηρώντας τη σχετική θέση των τελεστών παραγώγισης και των συνιστωσών του, δηλαδή Να σηµειωθεί ότι η απόκλιση είναι ένα βαθµωτό µέγεθος Στροβιλισµός Ο στροβιλισµός µιας διανυσµατικής συνάρτησης ορίζεται ως ot cul όπου, και πάλι, τα εξωτερικά γινόµενα υπολογίζονται συµβολικά, διατηρώντας τη σχετική θέση των τελεστών παραγώγισης και των συνιστωσών του, δηλαδή Να σηµειωθεί ότι ο στροβιλισµός είναι ένα διανυσµατικό µέγεθος

4 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 59 Λαπλασιανή Ένας άλλος χρήσιµος τελεστής είναι ο Λαπλασιανός τελεστής, gad div Είναι: Έτσι, η ποσότητα 5 ονοµάζεται Λαπλασιανή του Είναι ένα βαθµωτό µέγεθος Η Λαπλασιανή ενός διανύσµατος ορίζεται µε τον ίδιο ακριβώς τρόπο και είναι ένα διανυσµατικό µέγεθος Παράδειγµα Να υπολογιστεί η απόκλιση της διανυσµατικής συνάρτησης [ ] div Παράδειγµα Να υπολογιστεί ο στροβιλισµός της βαθµίδας που βρέθηκε στο Παράδειγµα Στο Παράδειγµα βρέθηκε ότι: Έτσι, Το αποτέλεσµα 6 ισχύει γενικά για κάθε βαθµωτή συνάρτηση, όπως µπορείτε εύκολα να αποδείξετε Προβλήµατα είξτε ότι: είξτε ότι γενικά: και

5 6 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής Βιβλιογραφία C Kittel, W D Knight, M A Rudeman, A C Helmhol και B J Moe, Μηχανική Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, Αθήνα, 998 Κεφ 5 Ι S Sokolniko και R M Redhee, Μαθηµατικά για Φυσικούς και Μηχανικούς Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, Αθήνα, Κεφ 6 M R Spiegel, Ανώτερα Μαθηµατικά Εκδόσεις ΕΣΠΙ, Αθήνα, 98 Κεφ 7 M R Spiegel, Theo and Poblems o Vecto Analsis Schaum Publishing Co 959 κε