1 η Εργασία Ηµεροµηνία αποστολής: 19 Νοεµβρίου 2006

Transcript

1 η Εργασία Ηµεροµηνία αποστολής: 9 Νοεµβρίου 6. α. Να βρεθεί η γωνία µεταξύ των διανυσµάτων a = i + j k και b = 6 i j + k. β. Να δείξετε ότι τα διανύσµατα a, b, c είναι ορθογώνια και µοναδιαία. a = ( i j + k ) / b = ( i + j + k ) / c = ( i + j k ) / γ. είξτε ότι αν το άθροισµα και η διαφορά δύο µη µηδενικών διανυσµάτων έχουν το ίδιο µέτρο τότε τα διανύσµατα είναι κάθετα και αντιστρόφως. (5 µοναδες) α. a b cosθ = a. b a b = axbx + ayby + azbz = 6 = 4 a = ax + ay + az = b = bx + by + bz = 7 4 o cosθ = θ = 79. β. a b = axbx + ayby + azbz = b c = bxcx + bycy + bzcz = + 4 = a c = axcx + aycy + azcz = 4 = άρα είναι ορθογώνια και a a a a = x + y + z = = b b b b = x + y + z = = c c c c = x + y + z = άρα είναι µοναδιαία.

2 γ. a + b = a b a + b + ab cosθ = a + b ab cosθ π 4ab cosθ = cosθ = θ = a b a ± b = a + b ± a b = a + b. α. Να υπολογιστεί το µέτρο του διανύσµατος AB και οι γωνίες του µε τους άξονες x,y,z. A(x,y,z ) B(x,y,z ) β. Αποδείξατε ότι το εµβαδόν ενός παραλληλόγραµµου µε πλευρές A και B είναι A B. γ. Βρείτε την απόσταση µεταξύ του σηµείου Ρ(4,-,5) και της ευθείας που ορίζεται από τα σηµεία Ρ(-,,) και Ρ(,,4). (5 µοναδες) α. AB = ( x x ) i + ( y y ) j + ( z z) k AB = ( x x ) + ( y y ) + ( z z) AB i x x AB i = AB cos θ,cosθ = = AB AB y y z z cos θ =,cosθ = AB AB β. A θ h B

3 E = h B = A sinθ B = A B γ. Έστω Ε το εµβαδόν του παραλληλογράµου που ορίζεται από τα διανύσµατα PP και PP.Τότε θα ισχύει PP PP = E PP PP h = PP h = E PP PP = i j + 4k PP = = PP PP = (5i j + 5 k) (i j + 4 k) = 7i j + k PP PP = = h = = = α. Nα βρεθεί απόσταση του σηµείου Ρ (,, ) από (α) την αρχή των αξόνων, (β) τον άξονα x, (γ) τον άξονα z, (δ) το επίπεδο xy, (ε) από το σηµείο Ρ (, -,5). β. Να βρεθεί ο όγκος παραλληλεπίπεδου µε πλευρές ΟΑ, ΟΒ, ΟC όταν Α (,,), Β (,,), C (,,). (5 µοναδες) α.

4 4 (α) r = OP = i + j + k, r = ( + + ) = 4 (β) AP = AB + BP = j + k, AP = 4+9 = z (γ) DP = DE + EP = j + i, DP = 5 D E P ( δ) ΒP = k, ΒP = (ε) P P = (-)i + (--)j + (5-)k = i -j +k x A O B y P P = = 7 β. a ( b x c) = = ( - )+ ( 4-) + (- ) = 4. α. ύο σωµατίδια κινούνται στο πεδίο βαρύτητας. Τη χρονική στιγµή t = τα σωµατίδια είχαν ταχύτητες V = Vi και V = Vi, V > και V > (οριζόντιες και αντίρροπες). Να βρεθεί η απόσταση µεταξύ των σωµατιδίων τη στιγµή που τα διανύσµατα των ταχυτήτων τους θα είναι κάθετα. ίνεται το διάνυσµα θέσης κάθε σωµατιδίου σαν συνάρτηση του χρόνου r = V t i - g t j και το διάνυσµα της ταχύτητας V = V i - gt j. a = p, (όπου p πραγµατικός). Βρείτε το p ώστε το β. ίνεται το διάνυσµα ( ) διάνυσµα a να είναι µοναδιαίο καθώς και ένα µοναδιαίο διάνυσµα β κάθετο στο a. Κατόπιν αναλύστε το διάνυσµα γ = (, ) σε συνιστώσες παράλληλες στα a και β βρείτε δηλ. τα λ και µ έτσι ώστε γ = λ a + µβ. ( µοναδες) Α. V r r V

5 5 V = V i - gt j, V V =, -VV + g t =, t = V = - V i - gt j ( V V ) g r = V t i - / gt j r =- V t i - / gt j, r = r - r = ( V +V ) t i = (V + V (V V ) ) i g β. a a = p + = p = ± Έχουµε ( ) Για p = έχουµε: Έστω β = ( x, y). Τότε a β = x = y = ± (η τελευταία ισότητα προκύπτει επειδή Τώρα έχουµε γ =, = λ a + µβ ( ) λ = γ a = µ = γ β = ±. + = = ) x y β Για p = έχουµε: Έστω β = ( x, y). Τότε a β = x = y = ± (η τελευταία ισότητα προκύπτει επειδή + = = ) x y β

6 6 Τώρα έχουµε ( ), a a γ λ µβ λ γ µ γ β = = + = = = = ± 5. α. Έχουµε τους πίνακες: A =, B =, C = Να βρεθούν τα γινόµενα ΑΒ, (ΑΒ)C, BC, A(BC) β. Να λυθεί το παρακάτω σύστηµα µε τη βοήθεια πινάκων. x + y =5 4x y = ( µοναδες) α. ΑΒ = = (ΑΒ) C = = 5 ΒC = = 4 A (BC) = 4 = 5 β. Έχουµε,

7 7 A = 4 x 5, Χ =, Β = y Α - = 4 = Έτσι, A X = B X = = = Οπότε, x = y x= y= 6. α. Να µελετήσετε το παρακάτω σύστηµα για τις διάφορες τιµές της παραµέτρου λ. λx + y + z = x + λy + z = λ x + y + λz = λ β. ίνεται ο µη αντιστρέψιµος πίνακας Α=. Να βρεθούν όλοι οι πίνακες Β για τους οποίους έχει λύση το παρακάτω σύστηµα: ( µοναδες) Α Χ = Β, όπου Χ = x x x () α. = λ λ =(λ-) (λ+) λ Άρα αν λ και λ -, τότε µε τη µέθοδο Cramer έχουµε ότι

8 8 λ λ x ( ) ( + ) + x = = = = λ λ + λ λ + λ + λ λ λ λ λ ( ) ( ) ( ) ( ) y ( λ ) z ( λ ) ( λ + ) ( λ + ) y = = =, z = = = ( λ ) ( λ + ) λ + ( λ ) ( λ + ) λ + Αν λ=,τότε το σύστηµα εκφυλίζεται στο x+y+z= x+y+z= x+y+z= οπότε σε παραµετρική µορφή το σύνολο των λύσεων Σ είναι: Σ={(ω,υ,φ)/ψ+υ+φ=}={(-υ-φ,υ,φ)} Αν λ=-,τότε το σύστηµα γίνεται -x+y+z= x-y+z=- x+y-z=4 και δεν έχει λύση αφού = λ λ = ενώ και λ =9 και 4 = β. Έστω, Β = β β. Ο επαυξηµένος πίνακας C του συστήµατος ( ) είναι ο β C = β β β Βρίσκουµε την απλούστερη γραµµοισοδύναµη µορφή του C. C = β R β β R R β R R R Ra R R Ra β β β β

9 9 R a β R β β R b β β R a R Rb β Ra β β Rb + β β β Ra Rb Rb Το σύστηµα () είναι ισοδύναµο µε το σύστηµα: x +x +x =β x +x +x =β -β x +x +x =β -β -β ηλαδή: x +x = β x +x = β -β () = β -β -β Είναι φανερό ότι το σύστηµα () έχει λύση αν β = β +β, δηλαδή, αν ο πίνακας Β είναι της µορφής β Β= β β + β 7. ίνονται οι συναρτήσεις και. α. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των f ( x ) και g( x ) και να προσδιοριστούν γραφικά και αριθµητικά τα σηµεία τοµής τους. β. Να λυθεί η ανίσωση f ( x) < g( x) και να σκιαγραφηθεί στο διάγραµµά σας το διάστηµα που την επαληθεύει γ. Παραστήστε γραφικά την συνάρτηση h( x) = f ( x) g( x) και εξηγήστε πως παίρνουµε γραφικά την λύση της παραπάνω ανίσωσης. δ. Για ποιες τιµές του λ οι f ( x ) και q( x ) εφάπτονται; (5 µοναδες) α. Η γραφική παράσταση των δύο συναρτήσεων δίνεται στο Σχήµα. Τα σηµεία τοµής των δύο καµπυλών δίνουν την λύση της εξίσωσης.

10 Σχήµα : Γραφική παράσταση των f ( x), g( x ) β. γ. Η γραφική παράσταση της δίνεται στο σχήµα. Η λύση της ανίσωσης δίνεται από το διάστηµα εκείνο που η γραφική παράσταση είναι κάτω από τον άξονα των x δηλ. το διάστηµα (, 4 ). Σχήµα : Γραφική παράσταση της h( x) = f ( x) g( x). Η λύση της ανίσωσης δίνεται από το διάστηµα εκείνο που η γραφική,4. παράσταση είναι κάτω από τον άξονα των x δηλ. το διάστηµα ( ) δ. f x q x x x x ( ) = ( ) 4 + = λ Έχουµε λ + = ( ) x 4x 5 οπότε έχουµε µια λύση όταν

11 . Στην περίπτωση αυτή το σηµείο επαφής των δύο συναρτήσεων φαίνεται στο Σχήµα. Σχήµα : Γραφική παράσταση της f ( x ) και q( x ) όταν λ = / 5. Φαίνεται το σηµείο επαφής των δύο συναρτήσεων. Παρατήρηση: Η απόδειξη (δεν ζητείται στην παρούσα εργασία αλλά θα πρέπει να το ξέρετε στο τέλος του χρόνου) ότι οι γραφικές παραστάσεις εφάπτονται και δεν τέµνονται είναι ως εξής: Το σηµείο επαφής των δύο συναρτήσεων είναι το σηµείο που µηδενίζεται η συνάρτηση. Όταν το σηµείο αυτό είναι µοναδικό σηµαίνει πως η Q( x ) έχει µια και µόνη ρίζα x. Για το τριώνυµο αυτό γίνεται µόνο όταν το σηµείο αυτό είναι το ολικό ακρότατο της Q( x ) δηλ. Άρα αφού οι παράγωγοι στο x είναι ίσες στο σηµείο επαφής, τότε θα ταυτίζονται και οι εφαπτόµενες ευθείες στο σηµείο αυτό, άρα οι δύο καµπύλες εφάπτονται. 8. α. Έστω 5 5 τετραγωνικοί πίνακες πραγµατικών αριθµών όπου οι είναι αντιστρέψιµοι και Εξετάστε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές ή λάθος και εξηγείστε γιατί β. Έστω

12 γ. Έστω είξτε ότι. αν και µόνον αν είξτε ότι. δ. Μαθηµατικός απέδειξε το θεώρηµα: Έστω τετραγωνικοί πίνακες και τέτοιοι ώστε Αυτό είναι δυνατόν µόνο αν ένας από τους και δεν είναι αναστρέψιµος. Η απόδειξη που παρουσίασε ήταν η εξής: Από την υπόθεση έχουµε Παίρνοντας την ορίζουσα σε κάθε µέλος της εξίσωσης έχουµε Άρα ή οπότε ένας από τους δύο πίνακες δεν είναι αναστρέψιµος. είξτε ότι για τους πίνακες το θεώρηµα δεν ισχύει. Εξηγείστε γιατί η απόδειξη είναι εσφαλµένη. (5 µοναδες) α. i.. ύο τετραγωνικοί πίνακες δεν µετατίθενται αναγκαστικά. ii. iii. iv. v. vi. vii viii ix

13 β. Έχουµε Παροµοίως έχουµε Τα δεξιά µέλη των παραπάνω εξισώσεων είναι ίσα αν και µόνο αν γ. Εφαρµόζοντας ιδιότητες οριζουσών έχουµε Για την απαλοιφή του στοιχείου (,) από την ορίζουσα πολλαπλασιάζουµε τη δεύτερη γραµµή µε και την προσθέτουµε στην τρίτη: Το τελευταίο βήµα ήταν δυνατό διότι φέραµε τον πίνακα σε άνω τριγωνική µορφή. δ. i. Πράγµατι και οπότε Αλλά οπότε βρήκαµε ένα

14 4 αντιπαράδειγµα όπου το θεώρηµα δεν ισχύει. ii. Το λάθος βήµα στην απόδειξη είναι στην συνεπαγωγή Η σωστή συνεπαγωγή (αν είναι N N πίνακες) είναι και Για N = και γενικότερα για κάθε άρτιο Nη σχέση αυτή είναι ταυτότητα k (αφού ( ) = ( ) = για οποιοδήποτε ακέραιο k ) και δεν συνεπάγεται 9. α. Να βρείτε τις τιµές των a, b, c ώστε η γραφική παράσταση της f ( x) = ax + bx + c να περνάει από τα σηµεία β. ίνεται και οι λύσεις του συστήµατος Να υπολογιστούν γ. ίνεται i. Να διερευνήσετε το σύστηµα γραµµικών εξισώσεων για πραγµατικές τιµές της παραµέτρου λ. ii. Nα υπολογιστούν οι λύσεις της Αx=b. (5 µοναδες) α. Έχουµε ότι Άρα Απ όπου προκύπτει ότι

15 5 β. Υπολογίζουµε ότι και ότι και Ή ισοδύναµα γ. i. Για λ λ και λ λ η λύση του οµογενούς συστήµατος είναι τετριµµένη: x = y = z =. Για λ = λ ή λ = λ έχω ιερευνούµε το σύστηµα και αφού στις περιπτώσεις που εξετάζουµε λ έχουµε δύο οικογένειες λύσεων ii. Έχουµε Για λ λ και λ λ παίρνουµε

16 6 Για = λ = λ ή λ = λ παίρνουµε και το σύστηµα είναι αδύνατο.. α. Βρείτε τις τιµές του λ για τις οποίες η εξίσωση x ( λ ) δύο άνισες ρίζες. + x + λ = έχει β. ίνεται η συνάρτηση f ( x) = a x n + b. Να βρεθεί η τιµή των α, b, n ώστε 9 ( f f )( x) = x. γ. ίνεται η συνάρτηση f ( x) 5x x λx = x 4λx + λ για τις οποίες το πεδίο ορισµού της f είναι όλο το. Βρείτε τις τιµές του. ( µοναδες) = λ + 8λ = 9λ λ + Η α. Η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι ( ) διακρίνουσα αυτή είναι ένα τριώνυµο, του οποίου το πρόσηµο απαιτούµε να είναι θετικό. Η διακρίνουσα του νέου τριωνύµου είναι ' = 4 6 <. Άρα > για κάθε λκαι εποµένως υπάρχουν δύο άνισες ρίζες για κάθε τιµή του λ n 9 β. Έχουµε ( )( ) ( ) b = και n = ± n f f x = a a x + b + b = x που επαληθεύεται για a =,

17 7 γ. Θα πρέπει x 4λx + (παρονοµαστής) και λ (υπόριζο θετικό). Πρέπει λοιπόν η διακρίνουσα του τριωνύµου να είναι αρνητική δηλ. = 6λ < λ < < λ < και επειδή θα πρέπει 6 λ έχουµε < λ <.