( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η
|
|
- Φοίβος Ζυγομαλάς
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν κ πραγµατική f ( x, y, κ ( το υποσύνολο S f { κ} του ). Η S Παραδείγµατα: )Έστω f : : f ( x, y, x + y + z. Αν x + y + z κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου κ > τότε η,, και ακτίνας r κ στον. Ιδιαίτερα αν κ, έχουµε την επιφάνεια της µοναδιαίας σφαίρας του. Η συνάρτηση f είναι βέβαια C. ) Έστω (,, ),(,, ) f x y z x y z x y z συνάρτηση). Αν κ, η εξίσωση κώνο στο Πράγµατι, Η εξίσωση + (,,. µε κορυφή στο z x + y z ± x + y. f : είναι µια C x + y z x + y z ορίζει έναν διπλό z x + y, ορίζει έναν ορθό κώνο που βρίσκεται πάνω από το xy επίπεδο και η z x + y ορίζει τον «κατά κορυφήν» κώνο που βρίσκεται κάτω από το xy επίπεδο. Η επιφάνεια αυτή σχηµατίζεται µε την περιστροφή µιας ευθείας π που διέρχεται από το (,, ) περί τον άξονα των z και σε γωνία µε αυτόν. 4
2 )Έστω (,, ) f x y z ax+ β y+ γ z, όπου a, β, γ µε a + β + γ >. Αν κ τότε η εξίσωση ax+ β y+ γ z κ, ορίζει ένα επίπεδο Ε στον διάνυσµα ( a, β, γ ). Είναι βέβαια προφανές ότι η f είναι C στον 4)Έστω ανοικτό και : (, ),(, ) g κάθετο στο. C συνάρτηση. Θέτουµε z g x y x y και ορίζουµε µια συνάρτηση f : θέτοντας, f x, y, z z g x, y, x, y, z. Η f είναι C συνάρτηση στο, αφού οι µερικές παράγωγοί της, f, και, είναι συνεχείς συναρτήσεις. z Είναι απλό να ελέγξουµε ότι η επιφάνεια S που ορίζεται από την εξίσωση f x, y, z z g x, y G g της g. συµπίπτει µε το γράφηµα Πράγµατι, S x, y, z : f x, y, z { } ( x, y, : z g( x, y) ( x, y, g ( x, y )) :( x, y ) G( g ). ( Σηµειώνουµε ότι το υποσύνολο του.) είναι ανοικτό Παρατήρηση. Ο παραπάνω ορισµός µπορεί βέβαια να διατυπωθεί για κάθε και κάθε C συνάρτηση f : U. Αν κ τότε το σύνολο των x x,..., x : f x κ, ορίζεται ως το σύνολο στάθµης της f. Αν, µιλάµε για µια καµπύλη στάθµης και αν για µια επιφάνεια στάθµης. Για παράδειγµα, αν f ( x, y) x + y και κ >, τότε η καµπύλη στάθµης που ορίζει σηµείων η εξίσωση x + y κ είναι ο κύκλος κέντρου (, ) και ακτίνας r κ. Παρατηρούµε ότι το παράδειγµα 4 γενικεύεται και για g :.. Πρόταση. Έστω U ανοικτό, x U και f : U C συναρτήσεις συνάρτηση διαφορίσιµη στο x. Αν f ( x) ( x),..., ( x) δείχνει προς εκείνη την κατεύθυνση κατά µήκος της οποίας η f αυξάνει ταχύτερα. Απόδειξη: Έστω ευθείας,, τότε η κλίση f ( x ) η µε η. Ο ρυθµός µεταβολής της f στο x επί της l t x + tη t δίνεται από την παράγωγο της f στο x στην κατεύθυνση η, δηλαδή την ποσότητα, f ( x) η f ( x)( η). Όµως f ( x) η f ( x) η cosθ f ( x) cosθ όπου θ [, π] η γωνία των διανυσµάτων η και f ( x ). Αν θ τότε cosθ και ο ρυθµός αυτός γίνεται µέγιστος. ηλαδή έχουµε τον µέγιστο ρυθµό µεταβολής όταν τα διανύσµατα η και f ( x ) είναι παράλληλα και οµόρροπα.
3 Παραδείγµατα. ) Σε ποια κατεύθυνση ξεκινώντας από το (, ) αυξάνει f x, y x y ; ταχύτερα η Λύση. f f,, j. (,) (, ), (,) (, ) (, ) κατεύθυνση x + y + z )Έστω f ( x, y,,( x, y, (,,) x,, x, y. Άρα. Έτσι η f αυξάνει ταχύτερα στην. Ποια είναι η κατεύθυνση της ταχύτερης αύξησης για την f στο σηµείο (,, ) ; Λύση Οι µερικές παράγωγοι της f στο ανοικτό U (,,) x x x + y + z, y y x + y + z και 9,,. 9 Συνεπώς, f (,, ),, (,,) στην κατεύθυνση. Θεώρηµα. Έστω z z x + y + z ανοικτό και : είναι οι. Έτσι η f αυξάνει ταχύτερα f C συνάρτηση και P ( x, y, z) f ( x, y, κ όπου κ σταθερά, ( κ f ( ) ). Τότε το διάνυσµα f ( P) ένα σηµείο στην επιφάνεια S που ορίζεται από την εξίσωση είναι κάθετο στην S υπό την ακόλουθη έννοια: Αν v είναι το εφαπτόµενο διάνυσµα στο t µιας c : a, b S a, b c P, τότε C καµπύλης [ ] µε ( και ) f ( P) v. Απόδειξη: Από την υπόθεσή µας, c [ a, b] S, εποµένως f ( c( t) ) κ για κάθε t [ a, b]. Το εφαπτόµενο διάνυσµα της c στο c είναι το v c '. Εφαρµόζουµε τον κανόνα αλυσίδας στην σύνθετη συνάρτηση foc :[ a, b] και στο t, οπότε έχουµε, λαµβάνοντας υπόψη ότι η foc είναι σταθερή συνάρτηση, ότι d( foc) dt f dx f dy f dz dt dt z dt ( c ) + ( c ) + ( c ) (,, ), [, ] f c( ) c ' f ( P) v ( όπου c t x t y t z t t a b
4 4 Γεωµετρική σηµασία της κλίσης: Το είναι σταθερή. Σηµείωση Το v και f ( P) το P ( x, y, z ). f είναι ορθογώνιο στην επιφάνεια όπου η f µεταφέρονται παράλληλα ώστε να αρχίζουν από Παρατηρήσεις: ) Το προηγούµενο θεώρηµα ισχύει για κάθε f :, ( ανοικτό ) µε. Στην περίπτωση ορίζει µια καµπύλη { κ} C f, την καµπύλη στάθµης της f. ) Αν f :, ( ανοικτό ) είναι C συνάρτηση f x y κ, η (, ) C συνάρτηση, τότε η διανυσµατική συνάρτηση, f : : x f ( x) ( x),..., ( x) ονοµάζεται διανυσµατικό πεδίο κλίσεων της f και είναι βέβαια συνεχής. Η συνάρτηση αυτή έχει µεγάλη γεωµετρική σηµασία καθώς µας δείχνει συγχρόνως δύο πράγµατα, ον την κατεύθυνση στην οποία η f αυξάνει ταχύτερα και ον την κατεύθυνση που είναι ορθογώνια στις επιφάνειες στάθµης της f. Από την προηγούµενη συζήτηση οδηγούµαστε στον ακόλουθο ορισµό.. Ορισµός Έστω f : C συνάρτηση ( ανοικτό ) και S µια επιφάνεια στάθµης της f, δηλαδή S ορίζεται από µια εξίσωση της µορφής f ( x, y, κ. Το εφαπτόµενο επίπεδο της S σε ένα σηµείο P ( x, y, z ) ορίζεται από την εξίσωση, f P X P ( ), αν f ( P), X ( x, y, της S, ( P)( x x) + ( P)( y y) + ( P)( z z) z Με περισσότερη ακρίβεια το εφαπτόµενο επίπεδο της S στο P είναι το σύνολο,
5 { x : f ( x) ( x P) } ' S µε c P, τότε το σηµείο x P c Ε Παρατηρούµε ότι αν c είναι µια + ανήκει στο Ε. 5 C καµπύλη της Σηµειώνουµε ότι στο προηγούµενο θεώρηµα όπως και στον παραπάνω ορισµό θα µπορούσαµε εξίσου καλά να είχαµε εργασθεί και στις δύο ή και στις διαστάσεις, µε τις προφανείς τροποποιήσεις. Παρατήρηση. Έστω είδαµε στο παράδειγµα (4) η ανοικτό και : g g ορίζει φυσιολογικά µια C συνάρτηση. Όπως C συνάρτηση, f :, θέτοντας f ( x, y, z g( x, y),( x, y,. Επίσης παρατηρήσαµε ότι η επιφάνεια S που ορίζεται από την εξίσωση f ( x, y, z ) συµπίπτει µε το γράφηµα G( g ) της g. Περαιτέρω παρατηρούµε ότι το εφαπτόµενο επίπεδο της S στο P ( x, y, z ) f ( P), όπου, όπως ορίστηκε προηγουµένως, συµπίπτει µε τον ορισµό του ( ) x y g x y ( πρβλ. τις εφαπτόµενου επιπέδου του γραφήµατος της g στο,, (, ) παρατηρήσεις µετά τον ορισµό του διαφορικού συνάρτησης ). Πράγµατι, ( P) ( x, y), ( P) ( x, y) και ( P). Συνεπώς, z f f P x x + ( P)( y y) + f ( P)( z z) z ( x, y)( x x) ( x, y)( y y) + z z z g( x, y) + ( x, y)( x x) + ( x, y)( y y). Παράδειγµα. Να βρεθεί ένα µοναδιαίο διάνυσµα κάθετο στην επιφάνεια z x y y x,, f x, y, z z x y+ y+ x, + + στο σηµείο P. Έστω θεωρούµε την επιφάνεια που ορίζεται από την εξίσωση, f x, y, z z x y y x P,, S x, y, z + +. Το, η κλίση της f στο z είναι f ( x, y,,, ( xy, x,). Εποµένως, f ( P) (,,) Το διάνυσµα αυτό είναι κάθετο στην S στο σηµείο (,,) f ( P) µοναδιαίο διάνυσµα είναι το η (,,) f ( P) 6 Ασκήσεις. P. Το ζητούµενο ) Βρείτε την εξίσωση του επιπέδου που εφάπτεται στην επιφάνεια, z f ( x, y) στο σηµείο που υποδεικνύεται: π +, (β) z cos x cos y,,,, π (γ) z cos x si y,,, z x + y,,, (α) z x y 6 xy, (,, ), (δ)
6 6 z ) Βρείτε ένα µοναδικό κάθετο διάνυσµα στην επιφάνεια cos xy e στο (, π,) ) Έστω r ( x, y, r. Αποδείξτε ότι, r r στο U (,,) και κατόπιν ότι, + +. r r z r 4) Έστω f : διαφορίσιµη συνάρτηση στο a. Αποδείξτε ότι ο πυρήνας της γραµµικής απεικόνισης f ( a) : είναι ο γραµµικός υπόχωρος του που είναι κάθετος στην κλίση f ( a) της f στο a. 5) Υπολογίστε την κλίση f για κάθε µια από τις συναρτήσεις: (α) f ( x, y, x + y + z x + y + z (β) f ( x, y, xy+ yz+ xz f x, y, z cos x+ y + z (γ) f ( x, y,, (δ) Για κάθε µια από τις παραπάνω συναρτήσεις, ποια είναι η κατεύθυνση της ταχύτερης αύξησης στο σηµείο (,, ) ;
( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η
Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν
Διαβάστε περισσότεραΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών
54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής
Διαβάστε περισσότεραΤο θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων
57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης
Διαβάστε περισσότεραΚαµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως
Καµπύλες στον R 9. Ορισµός Μια καµπύλη στον R είναι µια συνεχής συνάρτηση σ : Ι R R όπου Ι διάστηµα ( συνήθως κλειστό και φραγµένο ) στον R. Συνήθως φανταζόµαστε την µεταβλητή t Ι ως τον χρόνο και την
Διαβάστε περισσότεραΚανόνες παραγώγισης ( )
66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών
Διαβάστε περισσότεραΑκρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange
64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από
Διαβάστε περισσότεραιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση
44 ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση F : U R R. Για εµάς φυσικά µια τέτοια συνάρτηση θα θεωρείται ότι είναι τουλάχιστον συνεχής και συνήθως C και βέβαια
Διαβάστε περισσότεραΚανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2)
8 Κανόνας της αλυσίδας Από τον Απειροστικό Λογισμό για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι: Αν g : I R R και f : J R R είναι συναρτήσεις ( όπου I, J ανοικτά διαστήματα ώστε, g( τότε η : I g I J
Διαβάστε περισσότεραΣυνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )
Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής
Διαβάστε περισσότερα1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός.
1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός. ( Καρτεσιανή ) επιλέχθηκε για το σχήµα. Ο αριθµός a δεν επιρρεάζει
Διαβάστε περισσότεραx 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.
Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ. 1. Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων Ορισµός 6 Εστω, > είναι δυο φυσικοί αριθµοί Κάθε συνάρτηση F : Ε Α καλείται διανυσµατική
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,
ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση
Διαβάστε περισσότεραds ds ds = τ b k t (3)
Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πρώτο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Γνωρίζουμε ότι το εφαπτόμενο διάνυσμα ( t), ορίζεται ως: t = r = d r ds (1) και επιπλέον το διάνυσμα της καμπυλότητας ( k), ορίζεται ως: d t k
Διαβάστε περισσότερα(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα
Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες
Διαβάστε περισσότεραΌρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)
Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραa ) a ) = lim f( a + h u ) f( a ) = lim (2) h = 0 f( a + h u ) f( a ) hdf( a )( u ) lim = 0 lim u ) f( a + h lim = 0 u ) = 0 lim = Df( a )( u ) lim
1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ Κατευθυνόμενη Παράγωγος Κατευθυνόμενη Παράγωγος: Ορισμός 1: Εστω f : U R 2 R μία πραγματική συνάρτηση δύο μεταβλητών με U ανοικτό, a = (a, b) U και u = (u, v) μία κατεύθυνση του R 2 (δηλαδή
Διαβάστε περισσότεραb proj a b είναι κάθετο στο
ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Βρείτε όλα τα σηµεία P τέτοια ώστε η απόσταση του P από το A(, 5, 3) είναι διπλάσια από την απόσταση του P από το B(6, 2, 2). είξτε ότι το σύνολο όλων αυτών των σηµείων είναι σφαίρα.
Διαβάστε περισσότερα= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0).
Κεφάλαιο 3 Ο εφαπτόμενος χώρος Σύνοψη Ο εφαπτόμενος χώρος μιας κανονικής επιφάνειας αποτελεί τη βέλτιση γραμμική προσέγγιση της επιφάνειας σε ένα σημείο της. Αποτελείται από όλα τα εφαπτόμενα διανύσματα
Διαβάστε περισσότερα11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο
Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου
Διαβάστε περισσότεραΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ. Καθ. Βλάσης Κουµούσης
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ Καθ. Βλάσης Κουµούσης Θεωρία Κελυφών Βασικές αρχές (διαφορική γεωµετρία) Καµπύλη στο χώρο Μοναδιαίο Εφαπτοµενικό ιάνυσµα
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση πολλών μεταβλητών. Δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων.
Ανάλυση πολλών μεταβλητών. Δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων. 1. Ποιά από τα παρακάτω σύνολα είναι συμπαγή; Μία κλειστή μπάλα, μία ανοικτή μπάλα, ένα ανοικτό ορθ. παραλληλεπίπεδο, ένα ευθ. τμήμα (στον R n ), μία
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2003
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 003 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1o Α. Αν α, ν είναι δύο διανύσµατα του επιπέδου µε α 0 και η προβολή του ν στο α συµβολίζεται µε προβ α ν, τότε
Διαβάστε περισσότερα2. Μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f(x, y, z) έχει f(x 0, y 0, z 0 ) (0, 0, 0) και μηδενικό στιγμιαίο
1. Έστω E το εφαπτόμενο επίπεδο στο γράφημα της f(x, y) = x 2 + 3xy στο σημείο (1, 1, 4). Σε ποιά σημεία της η επιφάνεια με καρτεσιανή εξίσωση 5x 2 + 3y 2 + z 2 = 9 έχει μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα το οποίο
Διαβάστε περισσότερα1,y 1) είναι η C : xx yy 0.
ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.
Διαβάστε περισσότεραΥπολογισµός τριπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση
00 Υπολογισµός τριπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Στην παράγραφο αυτή θα δούµε πως µπορεί να χρησιµοποιηθεί το θεώρηµα Fubini για τον υπολογισµό τριπλών ολοκληρωµάτων. Ξεκινούµε µε την διατύπωση
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α ίνονται τα διανύσµατα α και β, τα οποία δεν είναι παράλληλα προς τον άξονα y y και έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα
Διαβάστε περισσότεραΕργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες
Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε
Διαβάστε περισσότεραΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑΤΑ Α
ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 0 ΘΕΜΑΤΑ Α Θέµα ο. Να βρεθεί (α) η γενική λύση yy() της διαφορικής εξίσωσης y' y + καθώς και (β) η µερική λύση που διέρχεται από το σηµείο y(/). (γ) Από ποια σηµεία του επιπέδου
Διαβάστε περισσότεραΑλλαγή µεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωµα ( ) Β R Jordan µετρήσιµα υποσύνολα του U. R, ανοικτό µε. y y y συµβολίζει την ορίζουσα του πίνακα Jacobi
8 λλαγή µεταβλητής στο τριλό ολοκλήρωµα Υενθυµίζουµε ( Θεωρηµα ) το γενικό τύο αλλαγής µεταβλητής στο ολλαλό ολοκλήρωµα: f ( y) dy= f ( g( x) ) det J g( x) dx (), Β= g n όου, Β Jodan µετρήσιµα υοσύνολα
Διαβάστε περισσότεραΑλλαγή µεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωµα ( ) Β R Jordan µετρήσιµα υποσύνολα του U. R, ανοικτό µε. y y y συµβολίζει την ορίζουσα του πίνακα Jacobi
18 Αλλαγή µεταβλητής στο τριλό ολοκλήρωµα Υενθυµίζουµε ( Θεωρηµα ) το γενικό τύο αλλαγής µεταβλητής στο ολλαλό ολοκλήρωµα: f ( y) dy= f ( g( x) ) det J g( x) dx (1), Β= g Α Α n όου Α, Β R Jodan µετρήσιµα
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Παράγωγος
Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της
Διαβάστε περισσότεραΑνοικτά και κλειστά σύνολα
5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της
Διαβάστε περισσότεραf x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j
Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Τελική Εξέταση 5 Ιουνίου 00 Απαντήστε όλα τα κάτωθι ερωτήµατα, παρέχοντας επεξηγηµατικά σχόλια όπου
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 Να υπολογίσετε το κάθε όριο αν υπάρχει ή να
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ
ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 12 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΑΠΟ 0/04/018 ΕΩΣ 14/04/018 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη 1 Απριλίου 018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη ε του κύκλου
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Η ύλη της εργασίας είναι οι ενότητες 5, 6 και 7 από τον Λογισµό µιας Μεταβλητής Η άσκηση αφορά στην έννοια
Διαβάστε περισσότεραΕυκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x
Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 D (, ) :9 0, 4 0 (, ) :
Διαβάστε περισσότερα0.8 Επικαµπύλια ολοκληρώµατα
0.8 Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. Έστω η καµπύλη = ( r = r( t) = ( t, t,ln t), t > 0). Να ευρεθεί το µήκος της µεταξύ των σηµείων A = (,, 0) και B = (4,4,ln ). Έχουµε r () t = (,, t ) ( t > 0). Άρα το µήκος
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2019/laii2019html Παρασκευή 29 Μαρτίου 2019 Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραΜεθοδολογία Έλλειψης
Μεθοδολογία Έλλειψης Έλλειψη ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο από την απόσταση (ΕΕ ). Στη Φύση
Διαβάστε περισσότερα14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών.
14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 13 η εβδομάδα (16/01/2017 & 19/01/2017) Ασυμπτωτική διεύθυνση και ασυμπτωτικό
Διαβάστε περισσότεραΟρισµός: Μερική παράγωγος ως προς x (αντ. ως προς y) στο σηµείο x,y είναι η παράγωγος της f ως προς x στο x (αντ. ως προς y στο y ( + ) ( )
2 Έστω f: A, Α ανοικτό σύνολο και x,y A. 0 0 Ορισµός: Μερική παράγωγος ως προς x (αντ. ως προς y) στο σηµείο x,y είναι η παράγωγος της f ως προς x στο x (αντ. ως προς y στο y 0 0 ), όπου έχουµε κρατήσειτοy
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η ανασκόπηση βασικών μαθηματικών εργαλείων που αφορούν τη μελέτη διανυσματικών συναρτήσεων [π.χ. E(, t) ]. Τα εργαλεία αυτά είναι
Διαβάστε περισσότεραf x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j
Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του
Διαβάστε περισσότερα6. Κεφάλαιο Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Διανυσματικά Πεδία.
6. Κεφάλαιο Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Διανυσματικά Πεδία. 6.1 Διανύσματα στον χώρο. 6.1.1 Ορισμοί Οι μαθηματικές ποσότητες μπορεί να είναι βαθμωτές, όταν είναι αριθμοί οι οποίοι ανήκουν σε ένα
Διαβάστε περισσότεραΚλασικη ιαφορικη Γεωµετρια
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων, Τµηµα Μαθηµατικων, Τοµεας Γεωµετριας Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Τρίτη Εργασία, 2018-19 Επιφάνειες Εξάσκηση µε ϐασικούς υπολογισµούς κινούµενης
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=
Διαβάστε περισσότεραΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»
Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος». * Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τον άξονα x x. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης
Διαβάστε περισσότεραΌρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)
Όρια συναρτήσεων.5. Ορισµός. Έστω, f : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο. Λέµε ότι η f έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li = ή f b f b αν και µόνο αν, για κάθε
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii9/laii9html Παρασκευή 9 Μαρτίου 9 Ασκηση Εστω (E,,
Διαβάστε περισσότεραΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ
ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT
ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT Αρβανιτογεώργος Ανδρέας Πατέρας Ιωάννης ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Στόχος Εργασίας Η εύρεση των γεωδαισιακών καμπυλών πάνω σε μια επιφάνεια.
Διαβάστε περισσότεραΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;
ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται
Διαβάστε περισσότεραΠαράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )
Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά
Διαβάστε περισσότερα0.4 ιαφόριση συναρτήσεων
0.4 ιαφόριση συναρτήσεων Ορισµός Έστω f : A R R µια πραγµατική συνάρτηση δύο µεταβλητών µε A ανοικτό και ( α, β ) A. Τότε οι µερικές παράγωγοι της συνάρτησης f ως προς τις µεταβλητές και στο σηµείο ( α,
Διαβάστε περισσότερα14 ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ
SECTION 4 ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 4. Γενικοί Ορισµοί Η θέση ενός σηµείου P στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο µπορεί να καθορισθεί µε ορθογώνιες καρτεσιανές συντεταγµένες (x y οι οποίες µετριώνται
Διαβάστε περισσότεραΚλασικη ιαφορικη Γεωµετρια
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων, Τµηµα Μαθηµατικων, Τοµεας Γεωµετριας Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Πρώτη Εργασία, 2018-19 1 Προαπαιτούµενες γνώσεις και ϐασική προετοιµασία
Διαβάστε περισσότερα5 Παράγωγος συνάρτησης
5 Παράγωγος συνάρτησης Ας ϑεωρήσουµε µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το [a, b]. Για κάθε 0 [a, b] ορίζουµε µια νέα συνάρτηση µε τύπο µε πεδίο ορισµού D(Π 0 ) = D(f ) { 0 }. Την συνάρτηση Π 0 Π 0 () =
Διαβάστε περισσότεραΜεθοδολογία Υπερβολής
Μεθοδολογία Υπερβολής Υπερβολή ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερή και μικρότερη από την απόσταση
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα
KΕΦΑΛΑΙΟ 3 Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Talor-Aκρότατα 3 Πλεγµένες συναρτήσεις Σε πολλές περιπτώσεις συναντούµε µία (ή και περισσότερες) εξισώσεις µεταξύ διαφόρων µεταβλητών πχ της µορφής e + συν (
Διαβάστε περισσότεραΟ ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο
Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ R Το εσωτερικό γινόµενο Σε πολλές πρακτικές καταστάσεις, η τιµή µιας ποσότητας εξαρτάται από τις τιµές δύο ή περισσότερων άλλων ποσοτήτων. Για παράδειγµα η συνάρτηση V = π r h υπολογίζει
Διαβάστε περισσότεραΟ ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο
Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ Το εσωτερικό γινόµενο Σε πολλές πρακτικές καταστάσεις, η τιµή µιας ποσότητας εξαρτάται από τις τιµές δύο ή περισσότερων άλλων ποσοτήτων. Για παράδειγµα η συνάρτηση V = π r h υπολογίζει
Διαβάστε περισσότεραΠαρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά
Διαβάστε περισσότεραΤο θεώρηµα Αλλαγής µεταβλητής και οι µετασχηµατισµοί συντεταγµένων
8 Το θεώρηµα λλαγής µεταβλητής και οι µετασχηµατισµοί συντεταγµένων Όως έχουµε ήδη αναφέρει η δεύτερη βασική µέθοδος υολογισµού ολλαλών ολοκληρωµάτων είναι αυτή της αλλαγής µεταβλητής, την οοία έχουµε
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ÊÏÑÕÖÁÉÏ
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 01 Ε_ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή Μαΐου 01 ιάρκεια Εξέτασης:
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο Μέχρι εδώ εξετάσαµε την κίνηση ενός υλικού σηµείου υπό την επίδραση µιας δύναµης. Τα πράγµατα αλλάζουν δραµατικά αν αντί υλικού σηµείου έχοµε ένα στερεό σώµα.
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999
Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 999 Ζήτηµα ο Α. Έστω a, ) και β, ) δύο διανύσµατα του καρτεσιανού επιπέδου Ο. α) Να εκφράσετε χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων a και
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 2= p=q 2 p =2q
ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Υποθέτουµε ότι ο είναι ρητός. ηλαδή, υποθέτουµε p ότι υπάρχουν φυσικοί αριθµοί p και q τέτoιοι ώστε : =, p και q δεν έχουν q κοινούς διαιρέτες. Παρατηρούµε ότι ο άρτιος αριθµός.
Διαβάστε περισσότεραx (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t,
Κεφάλαιο 7 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ Η ευαισθησία της λύσης μιας ΔΕ σε μεταβολές της αρχικής τιμής είναι έ- να θεμελιώδες ζήτημα στη θεωρία αλλά και στις εφαρμογές των διαφορικών εξισώσεων. Παράδειγμα 7.0.3.
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ορισμός. Αν τα και είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων και αντίστοιχα η συνάρτηση που ορίζεται από τη σχέση όπου (συνιστώσες) είναι
Διαβάστε περισσότερα4. Να βρεθεί η προβολή του σημείου Ρ=(6,1,5) πάνω στην ευθεία ε: x ={3,1,2}+λ{1,2,1},, και η απόστασή του από αυτήν.
ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙI Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ 009-00 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο V Ι. Δίνονται οι ευθείες δ: x ={,0,0}+λ{,,}, ε: x -x + x -=0, x -x =. Να εξετάσετε αν οι ευθείες δ, ε είναι ασύμβατες. Αν ναι, βρείτε
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.
Διαβάστε περισσότερα(a) = lim. f y (a, b) = lim. (b) = lim. f y (x, y) = lim. g g(a + h) g(a) h g(b + h) g(b)
1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ Μερική Παράγωγος Μερικές Παράγωγοι Ορισμός 1: a) Εστω f(x y) : U R R μία συνάρτηση δύο μεταβλητών και (a b) ένα σημείο του U. Θεωρούμε ότι μεταβάλλεται μόνο το x ένω το y παραμένει σταθερό
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Mαίου 8 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από
Διαβάστε περισσότερα5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας
5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Κάθε ευθεία έχει εξίσωση της µορφής: Ax + By +Γ= 0, µε Α 0 ηβ 0 () και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της µορφής () παριστάνει ευθεία γραµµή.
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση
Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε
Διαβάστε περισσότεραΤο θεώρηµα αντίστροφης απεικόνισης. ) και ακόµη ότι η g f 1 1. g y
5 Έστω Το θεώρηµα αντίστροφης απεικόνισης Ι R ανοικτό διάστηµα, : Ι R διαφορίσιµη της κλάσης a Ι : '( a) 0 Τότε από την συνέχεια της ' υπάρχει 0 ' 0 για κάθε ( a δ, a+ δ) δ > :( a δ, a δ) C και + Ι και
Διαβάστε περισσότεραX v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q)
Κεφάλαιο 2 Κανονικές επιφάνειες Σύνοψη Προκειμένου να ορίσουμε την έννοια της επιφάνειας στον R 3, έχουμε δύο δυνατές προσεγγίσεις. Με την πρώτη μπορούμε να ορίσουμε μια επιφάνεια ως ένα υποσύνολο του
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ÅÐÉËÏÃÇ
ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Σάββατο 8 Απριλίου 2017 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Α1. Θεωρία. Σχολικό βιβλίο σελίδα 83 Α2. α) Σωστό β) Λάθος γ) Σωστό
Διαβάστε περισσότεραΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ Χειμερινό εξάμηνο Ασκήσεις 1.
ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ Χειμερινό εξάμηνο -7 Ασκήσεις Αποδείξτε την ανισότητα Cuch-Schwr Για R Δείξτε ότι η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν τα διανύσματα και είναι συγγραμμικά Αποδείξτε την τριγωνική ανισότητα
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Ανάλυση ΙI
Π Δ Μ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης 25 Μαΐου 211 2 Περιεχόμενα 1 Ο χώρος R n 1 1.1 Ο Ευκλείδιος n-χώρος..................................
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2012-13 ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Καθηγητής: Σ. Πνευματικός ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΛΕΤΗΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΥ Μάθημα 2 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΤΟΥΣ
Διαβάστε περισσότερα5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
SECTIN 1 5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 5.1 Σε δύο ιαστάσεις Συστήµατα συντεταγµένων Για να καθοριστεί η θέση, το σχήµα και η κίνηση των σωµάτων στο χώρο (που θεωρείται Ευκλείδειος, δηλαδή µε θετική απόσταση µεταξύ
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία
ΜΑΘΗΜΑ 5.. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εφαπτοµένη ευθεία Παράγωγος βασικών συναρτήσεων ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αθροίσµατος γινοµένου - πηλίκου Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση
Διαβάστε περισσότερα11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο
Παραουσίαση βιβίου Μαθηµατικών Προσαναταισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός ποαπασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβίου
Διαβάστε περισσότερα5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών
Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Ανάλυση ΙI
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Ενότητα 6: Παράγωγος κατά κατεύθυνση, κλίση, εφαπτόμενα επίπεδα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα. E. Αν υπάρχει το όριο ( + ) ( ) ( )
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Κατευθυνόµενη Παράγωγος Ορισµός Έστω a είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα µοναδιαίο διάνυσµα του χώρου ), E είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του, : E και
Διαβάστε περισσότεραΦΥΕ 10, Γ. ΚΟΡ ΟΥΛΗΣ, ιανύσµατα 1/6. = + tβ r. zk και εξισώνουµε τις συνιστώσες των διανυσµάτων x(t) = 1+ 2t, y(t) = 1+ 3t, z(t) = 4 + t
ΦΥΕ 10, Γ. ΚΟΡ ΟΥΛΗΣ, ιανύσµατα 1/6 ) Ευθεία Ευθεία διέρχεται από το σηµείο Α µε διάνυσµα θέσης = i j+ 4k το διάνυσµα β = 2i + 3j + k. και είναι παράλληλη προς Α = + tβ α β ιανυσµατική εξίσωση: Εισάγουµε
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 11. Παγκόσµια έλξη
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Παγκόσµια έλξη ύναµη µεταξύ υλικών σηµείων Σε ένα αδρανειακό σύστηµα συντεταγµένων θεωρούµε δυο σηµειακές µάζες και Η µάζα είναι ακίνητη στην αρχή των αξόνων και η µάζα βρίσκεται στη διανυσµατική
Διαβάστε περισσότερασ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k.
Ασκήσεις από το Διανυσματικός Λογισμός των Marsden - romba και από το alculus του Apostol. 1. Βρείτε τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης και την εξίσωση της εφαπτομένης για κάθε μία από τις
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 00- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ. (5 µον.) ίνεται ο πίνακας 0 0 A. 0 (α) (α) Να βρεθούν όλες οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α. (β) Είναι δυνατή η διαγωνιοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΣτην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )
ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,
Διαβάστε περισσότερα