( () () ()) () () ()

Transcript

1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /011 1 Έστω r = r( t = ( x( t, ( t, z( t, t I = [ a, b] συνάρτηση C τάξης και r = r( t = r ( t = x ( t + ( t z ( t είναι μία διανυσματική + Nα αποδείξετε ότι: d 1 1 dr r ( t (α r = r, t I r r r d dr d r (β r = r, t I dr (γ Αν r = 0, για κάθε t I, τότε το r ( t έχει σταθερή διεύθυνση για κάθε t I d (δ ( r( t, r ( t, r ( t = r( t ( r ( t r ( t, t I d 1 1 dr d 1 1 dr r ( t (α r = + r = r, t I r r r r r d dr dr dr d dr d r (β r = + r = r, t I (γ d r d r dx, d, dz r = 0 = λr = λ( x, z, dx d dz = λx, = λ, = λz x= ce 1, = ce, z= c3e r= r( t = ( x,, z = e ( c1, c, c3 = e c, δηλαδή το διάνυσμα r ( t έχει σταθερή διεύθυνση d (δ ( r( t, r ( t, r ( t = dr d d =, r t, r t + r t, r t, r t + r t, r t, r t = ( r ( t, r ( t, r ( t + ( r( t, r ( t, r ( t + ( r( t, r ( t, r ( t = r t, r t, r t = r t r t r t, t I ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Αν f,g,h : I 3 είναι παραγωγίσιμες διανυσματικές συναρτήσεις μεταβλητής t, να αποδείξετε ότι: d { f( t ( g( t h ( t } = { f ( t ( g( t h( t } + f( t ( g ( t h( t + f t g t h t { } { ( ( ( (}

2 Σύμφωνα με τον κανόνα παραγώγισης του εξωτερικού γινομένου δύο συναρτήσεων τριών μεταβλητών έχουμε: d d d { f( t ( g( t h( t } = f( t ( g( t h( t + f( t ( g( t h( t d d = { f ( t ( g( t h( t } + f( t g( t h( t + f( t g( t h( t = { f ( t ( g( t h( t } + { f( t ( g ( t h( t } + { f( t ( g( t h ( t } 3 Έστω ( ( ω ( ω r = r t = cos t a+ sin t b, t I όπου a,b σταθερά διανύσματα Να αποδείξετε ότι: dr d r (α r = ω ( a b (β + ω r = 0 (α Επειδή οι συναρτήσεις a, b είναι σταθερές, έχουμε r= r( t = ( cos ωt a+ ( sin ωt b, r ( t = ω( sinωt a+ ω( cos ωt b, t I, οπότε λαμβάνουμε: dr r = ( cos t ( sin t ( sin t ( cos ω a+ ω b ω ω a+ ω ωt b = ωcos ωt+ ωsin ωt a b = ω a b ( ( ( (β ( ω ( ω ω ( ω ω ( Έχουμε r t = cos t a sin t b= r t, t I 4 (α Να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής, ανά μονάδα μήκους, της f x,, z x 4 Ρ 1, 0,, ως προς την 3 συνάρτησης ( = z, στο σημείο ( κατεύθυνση u = 1 ( 1,, 3 (β Ομοίως για τη συνάρτηση x, αν ( x, ( 0,0 f ( x, = x + 0, αν ( x, = ( 0,0 στο σημείο Ο(0,0, ως προς την κατεύθυνση που ορίζει το διάνυσμα ( u= u, u, u = 1 1 f x,, z =,, = 3 x, 4, 4, οπότε θα είναι z (α Έχουμε ( ( ( 1,0, ( 3, 4, 4 ( ( 3,0, 4 f == x = Επιπλέον, παρατηρούμε ότι 1,0, u = + + = 1, οπότε έχουμε: 9 9 9

3 3 D f , 0, = 1, 0, = 3, 0, 4,, = r t = 0,0 + t u, u = tu, tu, t και τη ( f ( ( u u (β Θεωρούμε τη καμπύλη ( ( ( ( 1 1 συνάρτηση 3 tuu 1 tu1u, αν t 0, αν 0 t F( t = f ( r ( t = tu u 1 + tu = 1 + u 0, αν t 0 = 0, αν t = 0 της οποίας προσδιορίζουμε τη παράγωγο για t = 0 Επειδή είναι F( t F( 0 tu1u u1u lim = lim =, t 0 t 0 t t u + u u + u uu 0,0 = F 0 = u + u έχουμε ότι: ( ( 1 D f u 1 ( 1 5 Δίνεται η συνάρτηση f ( x ( x ( x 1 π π, = cos,, Α=, (α Να βρεθούν οι μερικές παράγωγοι:, στο Α (β Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης f, ανά μονάδα μήκους, ως προς την κατεύθυνση ( u= u, u, u = 1, στα σημεία των αξόνων 1 x x και που ανήκουν στο Α, ισούται με 0 (α Έχουμε ( (, cos ln cos x π π f x = x = e, ( x, Α=,, οπότε: ln cos x ( sin x sin x π π = e = f ( x,, ( x, Α=, cos x cos x ln cos x π π = e lncosx= ln(cos xf ( x,, ( x, Α=, π π (β Θεωρούμε σημείο ( ab, με a= 0, b ή b = 0, a,, οπότε θα b είναι cos a > 0 και f ( a b ln cos a π π, =e = 1, αφού είναι a= 0, b ή b = 0, a, Άρα έχουμε sin x Du f ( a, b = f ( a, b u= f ( x,,ln(cos x f ( x, u cos x ( ab, = cos a b sin a f a b b a f a b u 1 u ( ( (,, ln(cos (, (, 0,0 u1, u = 0, αν a= 0, b = π π ( 0,0 ( u1, u = 0, αν b= 0, a,

4 4 6 Δίνεται η C τάξης συνάρτηση (,, [ f xz με x = ρ cos θ, = ρsin θ, z = z, όπου ρ > 0, θ 0, π, z (κυλινδρικές συντεταγμένες Να αποδείξετε ότι: f f f f 1 1 f f + + = z ρ ρ ρ ρ θ z (Λαπλασιανή της f σε κυλινδρικές συντεταγμένες Λόγω των δεδομένων συναρτήσεων x = ρ cos θ, = ρsin θ, z = zυπολογίζουμε πρώτα τις μερικές παραγώγους = + = cosθ + sin θ (1 ρ ρ ρ = + = ( ρsinθ + ρcos θ ( θ θ θ cosθ sinθ Επειδή είναι ρ 0 ρsinθ ρcosθ = >, από τις (1 και ( προκύπτουν sinθ sinθ = cosθ = cos θ f (3 ρ θ ρ ρ ρ θ cosθ cosθ = sinθ + = sin θ + f (4 ρ θ ρ ρ ρ θ Με χρήση των (3 και (4 λαμβάνουμε f sinθ sinθ = cosθ cosθ = = ρ ρ θ ρ ρ θ sinθ sinθ sinθ = cosθ cosθ cosθ ρ ρ ρ θ ρ θ ρ ρ θ f cosθsinθ cosθsinθ f θ ρ ρ θ ρ ρ θ = cos + sinθcosθ f sin θ sin θ f sinθcosθ ρ θ ρ ρ ρ ρ θ ρ θ f cosθ cosθ = = sinθ sinθ + = + ρ ρ θ ρ ρ θ cosθ cosθ cosθ = sinθ sinθ + + sinθ + ρ ρ ρ θ ρ θ ρ ρ θ f cosθsinθ cosθsinθ f θ ρ ρ θ ρ ρ θ = sin + sinθcosθ f cos θ cos θ f sinθcosθ ρ θ ρ ρ ρ ρ θ ρ θ Από τις παραπάνω σχέσεις έχουμε

5 5 f f f f 1 1 f f + + = x z ρ ρ ρ ρ θ z 7 Δίνεται η C τάξης συνάρτηση f (,, xz με x ρ cosθsin φ, ρsinθsin φ, z ρcos ρ > 0, θ 0, π, φ 0, π (σφαιρικές συντεταγμένες Να αποδείξετε ότι: f f f 1 f 1 f 1 sin f + + = ρ φ + + z ρ ρ ρ ρ sin φ θ ρ sin φ φ φ (Λαπλασιανή της f σε σφαιρικές συντεταγμένες = = = φ με [ [ ] Εργαζόμενοι όπως στην άσκηση 8 βρίσκουμε: sinθ cosθcosφ = cosθsinφ + ρ θ ρsinφ φ ρ sinθ cosθcosφ cos θ sin φ = + f (3 ρ ρ sin φ θ ρ φ cosθ sinθcosφ = sinθsinφ+ + ρ θ ρsinφ φ ρ cos sin cos sin θ sin φ θ θ φ = + + f (4 ρ ρ sin φ θ ρ φ sinφ sinφ sinθsinφ = + = sinθsin φ + f (5 z ρ φ ρ ρ ρ φ Στη συνέχεια μέσω των σχέσεων (3, (4 και (5 υπολογίζουμε τις δεύτερες μερικές f f f παραγώγους,, από τις οποίες τελικά μετά τις σχετικές πράξεις z προκύπτει η ζητούμενη σχέση 8 Η συνάρτηση f ( x, είναι C τάξης στο δηλαδή, για κάθε ( x, Α και t με (, f ( tx, t = t m f ( x, Να αποδείξετε ότι: (α x + = mf f f f (β x + x + = m ( m 1 f Α και ομογενής βαθμού m, tx t ισχύει (α Παραγωγίζουμε ως προς t και τα δύο μέλη της σχέσης ( ( οπότε λαμβάνουμε f tx, t = t f x,, m

6 6 ( ( tx ( ( t (, = ( m (, + = t t tx t t t (, m 1 f tx t t f x mt f x + = ( tx ( t (, m 1 x mt f x Όμως έχουμε ακόμη ότι ( tx ( t = = t και = = t, ( ( tx ( tx ( t ( t οπότε, από τις (1 και ( προκύπτει ότι: m m t x+ t = mt f ( x, x + = mt f ( x,, tx t ( ( για κάθε t με (,, από την οποία, για σχέση tx t t = 1 προκύπτει η ζητούμενη (β Γράφουμε τη σχέση (1 στη μορφή 1 1 m 1 = x + = mt f ( x,, t t t και με παραγώγιση ως προς t των δύο μελών αυτής λαμβάνουμε f 1 1 m 1 = x + = ( mt f ( x, t t t x t t x x + + x + = m( m 1 t f ( x, t t t t t t x f x f f m + + = m ( m 1 t f ( x,, t x t x t για κάθε t με (, Από την τελευταία σχέση για (1 m tx t t = 1 προκύπτει f f f x + x + = m ( m 1 f ( x, x x 9 Δίνεται η συνάρτηση f ( x gux ( ( vx (, =,,,, όπου g διαφορίσιμη συνάρτηση C τάξης και 1 1 u= ux (, = x v, = vx (, = x+ 3 (α Να εκφράσετε τις μερικές παραγώγους, συναρτήσει των μερικών g g παραγώγων, u v f f f (β Πως μετασχηματίζεται η εξίσωση: + 6 = ( x +, ως προς τις μεταβλητές uv, ; (α Χρησιμοποιώντας τον κανόνα της αλυσίδας λαμβάνουμε:

7 7 f g u g v g g 1 1, f g u g v g = + = + = + = + g u v u v u v 3 u v (β Με παραγώγιση των παραπάνω σχέσεων λαμβάνουμε f g g g f 1 g 1 g 1 g = + +, = + u u v v 9 u 3 u v 4 v, f 1 g 1 g 1 g = + + x 3 u 6 u v v Επομένως η δεδομένη εξίσωση γίνεται: g g g g g g 6 g g g v + = 4 u u v v 3 u 6 u v v 9 u 3 u v 4 v g 4 = v uv 5 10 Να υπολογίσετε την παράγωγο της συνάρτησης ( x, = ( x 3 3, x σημείο ( x, = ( 0 0,1 F στο Η συνάρτηση F ( x ( x 3 3, x, = έχει πολυωνυμικές συνιστώσες, οπότε C είναι διαφορίσιμη και ορίζεται η παράγωγος αυτής που είναι ο πίνακας 3 3 ( x ( x 3x F ( x, = = x ( x ( x Άρα είναι F (,1 = = είναι τάξης στο Επομένως σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της