Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Transcript

1 Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) D (, ) :9 0, 4 0 (, ) : [,], (, ] [, ) D (, ) : (γ) D (, ) :1 0 Να υπολογίσετε το κάθε όριο αν υπάρχει ή να δείξετε ότι το όριο δεν υπάρχει lim (, ) (1,5) lim z cos( z) (,, z) (,1, 1) (γ) lim (, ) (0,0) (δ) lim (, ) (1,0) 1 (ε) lim (, ) (1,1) (ζ) lim (, ) (0,0) 5 / 6 14 (γ) 0 (δ) δεν υπάρχει (ε) (ζ) δεν υπάρχει Έστω f (,, z) f f f z Να βρεθούν τα,, z f f f z, z, z 4 Έστω f (, ) 5 Να βρεθούν τα (1,), (1,) f f f (, ), f (, ) f (1,), f (1,) 4 f f 5 Να βρεθούν τα, f (, ) ( ) 1 αν f (, ) sin( ) (γ) e f (, ) (δ) f (, ) 1

2 f f, f f cos( ), cos( ) (γ) f f e, e f 1 f 1 (δ), z z 6 Χρησιμοποιώντας πεπλεγμένη παραγώγιση, να βρείτε τα, αν z z z ln( z) z z, z z z z z 1 ( ), z z z z 1 z 1 7 Να βρεθούν όλες οι δεύτερες μερικές παράγωγοι των πιο κάτω f (, ) 4 f (, ) tan( ) (γ) g(, t) e sin( t) f 4 6, f 9 f 1 6, f 18 f f 18 f f sec ( ), tan( ) f f 8 sec ( ) tan( ), 0 f f sec ( ) (γ) g e sin( t), g e cos( t) g e sin( t), g e sin( t) g g e cos( t) t t tt t 8 Να βρεθούν οι ζητούμενες μερικές παράγωγοι f t e f f 5t (, ), t?, ttt? h(,, z) cos(4 z), h?, h? z zz (γ) (δ) r u u( r, ) e sin,? r w w z z w(,, z),?,? f 10 e, f 15 e h 4sin( 4 z), h 16sin( 4 z) t 5t 5t ttt z zz

3 u sin sin cos r r (γ) e r (δ) w 4 w, 0 z z 9 Η ολική αντίσταση R που παράγεται από τρεις αγωγούς με αντιστάσεις R1, R, R οι οποίες είναι συνδεδεμένες παράλληλα σε ένα ηλεκτρικό κύκλωμα, δίδεται από τη σχέση Να βρείτε το R R R R 1 R R 1 R R1 R1 R 10 Να υπολογίσετε το dz dt αν z e t t 1,, z t t cos( ), ln( ), sin(4 ) dz dt te t t e t dz 4sin (4 t) ln t sin(4 t)sin(ln t ) 4cos(4 t) sin (4 t) ln t cos(ln t ) dt t z z 11 Να υπολογίσετε τα, s t αν r z e sin( ), r st t, s t z ( stt ) t e sin s t z ( st t ) ( s t) e sin s t ( stt ) se cos s t s s t ( stt ) te cos s t t s t 1 Αν z = f(, ), όπου = s + t και = s t, να δείξετε ότι z z z z s t Υπολογίζουμε με το κανόνα της αλυσίδας z z d z d z z z z d z d z z, s ds ds t dt dt Επομένως,

4 z z z z z z z z s t 4 1 Να βρεθούν τα u / s, u / t στο σημείο s = 0, t = 1, αν u z z, st e z t, st, u st u st t te 1 st t, st e s s t t s t s t u (0,1), u (0,1) s t 14 Χρησιμοποιώντας ένα δεντροδιάγραμμα, να γράψετε το κανόνα της αλυσίδας για τα πιο κάτω dw?, w f (,, z), g ( t), g ( t), z g ( t) dt 1 1 w?, w f (,, z), g ( s, t, r), g ( s, t, r), z g ( s, t, r) r 1 1 dw f d f d f dz w f f f z dt dt dt z dt r r r z r 15 Να υπολογίσετε το f για την f(, ) αν = r cos θ, = r sin θ f f f f f f r cos r sin r sin r sin cos r cos 16 Η σχέση 5 cos( ) e ορίζει την ως πεπλεγμένη συνάρτηση του Να βρείτε το d d 5 d cos( ) e 4 d sin( ) 5 e

5 5 17 Η σχέση sin( 5 z) 1 cos(6 z) ορίζει την z ως πεπλεγμένη συνάρτηση των z z και Να βρείτε τα, z z z z z z z z z z z sin( 5 ) 6 sin(6 ) cos( 5 ) cos(6 ), 5 cos( 5 ) 6 sin(6 ) 5 cos( 5 ) 6 sin(6 ) 18 Να βρείτε τα τοπικά μέγιστα και ελάχιστα, όπως επίσης και τα σαγματικά σημεία, των πιο κάτω συναρτήσεων 4 4 f (, ) 4 1 f (, ) Τοπικά ελάχιστα στα f(1, 1) = 1 και f( 1, 1) = 1 Σαγματικό σημείο στο f(0, 0) = 1 Κρίσιμο σημείο Τιμή της f Τιμή της f Τιμή του Δ Συμπέρασμα (0, 0) Τοπικό μέγιστο ( 64, 19) Τοπικό μέγιστο ( 086, 065) Σαγματικό σημείο 19 Ένα ορθογώνιο κουτί χωρίς κάλυμμα, θα κατασκευαστεί από ένα χαρτόνι εμβαδού 1m Να βρείτε τις διαστάσεις του μεγαλύτερου σε όγκο τέτοιου κουτιού 1, με όγκο 4 0 Να βρείτε τα απόλυτα μέγιστα και ελάχιστα της κάθε συνάρτησης στο δοθέν σύνολο (γ), D f (, ) f (, ) 4 (, ) : 0,0, D f (, ) (, ) : 1, 1 4, D (, ) : 1 Απόλυτο μέγιστο στο f(, 0) = 9 και απόλυτα ελάχιστα στα f(0, 0) = f(, ) = 0 Απόλυτο μέγιστο στο f( 1, 1) = 7 και απόλυτο ελάχιστο στο f(0, 0) = 4 (γ) Απόλυτο μέγιστο στο f(1, 0) = και απόλυτο ελάχιστο στο f( 1, 0) =

6 6 Κεφάλαιο 1 Να βρείτε το μήκος της μικρότερης πλευράς του τριγώνου με κορυφές τα σημεία A = (,, ), B = (4,, 1) και C = (,, 1) Να υπολογίσετε επίσης τη γωνία BAC (που αντιστοιχεί στη κορυφή Α) Τέλος, να βρείτε το εμβαδό του τριγώνου Η μικρότερη πλευρά είναι η AC Η γωνία BAC είναι ακτίνια Το εμβαδό του είναι / 1 arccos Έστω r, s και t άνισα, μη-μηδενικά διανύσματα στον Αποφασίστε αν τα πιο κάτω είναι Σωστά ή Λάθος (a) Αν το r είναι παράλληλο με το s και το s είναι παράλληλο με το t τότε το r είναι παράλληλο με το t (b) Αν το r είναι κάθετο με το s και το s είναι κάθετο με το t τότε το r είναι κάθετο με το t (c) r s t t s r (d) Αν r s t 0 και s t 0, τότε το r είναι κάθετο με το s t (a) Σωστό (b) Λάθος (c) Λάθος (d) Λάθος Έστω a ( ) i j k και b i (4 1) j 4k Να βρεθεί η σχέση μεταξύ των και έτσι ώστε τα τους a και b να είναι κάθετα μεταξύ Να βρεθούν τιμές για τα και έτσι ώστε τα a και b να είναι παράλληλα 11 9, 8 4 Έστω a, b και εξής: b c a b c c τρία άνισα, μοναδιαία διανύσματα στον τα οποία ικανοποιούν τα 0 και 0 Να δείξετε ότι το a είναι κάθετο στα b και c Λύση: Μια και a b c 0, έχουμε ότι τα a, b c είναι παράλληλα Όμως, το b c είναι κάθετο στα b, c και αφού το a είναι παράλληλο στο b c κάθετο στα b και c, έχουμε ότι το a είναι

7 7 5 Το τριπλό βαθμωτό γινόμενο τριών διανυσμάτων a, b και c στον είναι a b c Δίδει τον όγκο του παραλληλεπίπεδου που ορίζεται από τα διανύσματα a, b και c Χρησιμοποιώντας τα πιο πάνω, αποφασίστε αν τα σημεία P(1, 0, 1), Q(, 4, 6), R(, 1, ) και S(6,, 8) βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο Ναι, βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο 6 Να βρείτε μια εξίσωση (σε παραμετρική μορφή) για την ευθεία που περνά από τα σημεία A( 1, 0, 5) και B(4,, ) 5t 5, t, z 5 t, t 7 Να βρείτε την εξίσωση του επιπέδου που περιέχει την ευθεία = + t, = t, z = 8 t και είναι παράλληλο στο επίπεδο με εξίσωση z = z = 70 8 Να βρείτε την εξίσωση του επιπέδου που περνά από την ευθεία τομής των δύο επιπέδων z = 1 και + z =, και είναι κάθετο στο επίπεδο + z = z = 4 9 Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζουν τα επίπεδα + + z = 1 και +z = 1 Να βρείτε επίσης, μια εξίσωση για την ευθεία τομής των δύο επιπέδων arccos 4, (1 t) (1 t) t,, z, t Έστω το σημείο με Καρτεσιανές συντεταγμένες 1,, Να βρείτε τις κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες του (, π/, ) 11 Έστω το σημείο με σφαιρικές συντεταγμένες (5,, /) Να βρείτε τις Καρτεσιανές συντεταγμένες του ( 5, 0, 0) 1 Έστω το σημείο με κυλινδρικές συντεταγμένες (6, /6, 5) Να βρείτε τις Καρτεσιανές συντεταγμένες του

8 ,,5 8 1 Έστω δύο επιφάνειες: η = csc() (η οποία δίδεται σε σφαιρικές συντεταγμένες) και η r = (η οποία δίδεται σε κυλινδρικές συντεταγμένες) Αποφασίστε (και εξηγείστε) αν είναι οι ίδιες ή όχι Η r = σε κυλινδρικές συντεταγμένες είναι 9 σε Καρτεσιανές συντεταγμένες Η = csc() = /sin() σε σφαιρικές συντεταγμένες είναι επίσης 9 σε Καρτεσιανές συντεταγμένες, άρα οι επιφάνειες είναι ίδιες 14 Έστω f (, ) Να υπολογίσετε τη κλίση της f στο σημείο (1, ), δηλ f (1,), όπως επίσης και την κατά-κατεύθυνση παράγωγο της f στην κατεύθυνση του διανύσματος i j f (, ) ( ) i ( ) j f (1,) i 5 j, D f (, ) ( ) ( ) (1,) u u D f 15 Να βρεθεί η κατά-κατεύθυνση παράγωγος της f (, ) sin( ) στην κατεύθυνση του διανύσματος i j 1 1 D f (, ) cos( ) cos( ) u 16 Να βρείτε το μέγιστο ρυθμό μεταβολής της f (, ) στο σημείο (, 4), όπως επίσης και τη κατεύθυνση στην οποία συμβαίνει αυτό Να επαναλάβετε την άσκηση για τη συνάρτηση g z 4 (,, ) ln( z ) στο σημείο (1,, ) Λύση: Η κλίση της f είναι f (, ) i j f (,4) 4i 4 j 4( i j) μέγιστος ρυθμός μεταβολής της f είναι στη κατεύθυνση του μοναδιαίου διανύσματος 1 1 u i j Για να τον βρούμε υπολογίζουμε Ο D f (, ) f(, ) f (, ) u Df(, 4) u

9 Παρομοίως για την g: z z 4 z z z z z g(,, z) i j k i j k, 4 g(1,, ) i j k 4 Ο μέγιστος ρυθμός μεταβολής της g είναι στη κατεύθυνση του διανύσματος i j k Το κανονικοποιούμε ως u i j k i j k και υπολογίζουμε D g(,, z) g(,, z) g (,, z) gz(,, z) u z 4 4 Dg(1,, ) u Να βρείτε τις κατευθύνσεις στις οποίες η κατά-κατεύθυνση παράγωγος της f (, ) sin( ) στο σημείο (1, 0), έχει τιμή 1 Στη κατεύθυνση των διανυσμάτων της μορφής ai (1 a) j με a σταθερά 18 Να βρείτε τα σημεία στα οποία η κατεύθυνση μέγιστης μεταβολής της f (, ) 4 είναι i j Το σημείο (1, ) 19 Να βρεθεί η εξίσωση του εφαπτόμενου επιπέδου στη z ln( ) στο σημείο ( 1, ) z = Να βρεθεί η γραμμική προσέγγιση της z στο σημείο ( 4, ) 16 9 L(, ) = 1 / +/ 1 Να βρείτε τη καμπυλότητα της καμπύλης που ορίζεται από r( t) [ t,sin( t),cos( t)] r() t t i tk κ = /10 4t 1 /

10 Έστω το διάνυσμα θέσης / / ( ) t t r t e i 4e j Να βρείτε τη ταχύτητα vt () και 10 επιτάχυνση at () Επίσης, ελέγξτε αν το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα στο t = 0 είναι κάθετο στο a (0), t/ t/ v( t) e i e j Όχι δεν είναι κάθετο 4 t/ t/ a() t e i e j Έστω ότι η θέση ενός κινητού δίδεται από τη διανυσματική συνάρτηση r( t) sin( t) i t j cos( t) k, t Να δείξετε ότι η ταχύτητα vt () και η επιτάχυνση at () είναι πάντα κάθετες μεταξύ τους Να βρείτε επίσης τα t για τα οποία η θέση rt () και η ταχύτητα vt () είναι κάθετες Λύση: Υπολογίζουμε v( t) cos( t) i j sin( t) k και a( t) 4sin( t) i 4cos( t) k Μια και v( t) a( t) 8sin( t)cos( t) 8sin( t)cos( t) 0, έχουμε ότι η ταχύτητα vt () και η επιτάχυνση at () είναι πάντα κάθετες μεταξύ τους Τέλος, για να είναι η θέση rt () και η ταχύτητα vt () κάθετες μεταξύ τους, θα πρέπει να ισχύει v( t) r( t) 0, δηλ cos( t)sin( t) 9t sin( t)cos( t) 0 9t 0 t 0 4 Υπολογίστε την ακριβή τιμή του 1 4 t i j dt 1t 1t 0 i ln() j 5 Ένα κινητό έχει αρχική θέση (0) 4,,0 r και αρχική ταχύτητα v(0) i j k Η επιτάχυνση του είναι a( t) 0k για όλα τα t 0 Να βρείτε τα διανύσματα ταχύτητας και θέσης για οποιαδήποτε χρονική στιγμή t v( t) i j (0t 1) k, r( t) (t 4) i (t ) j (0t 1) k 6 Να ελέγξετε αν το διανυσματικό πεδίο F(,, z) ( ) i ( z) j ( ) k είναι συντηρητικό Να υπολογίσετε, επίσης, την απόκλιση του διανυσματικού πεδίου Δεν είναι συντηρητικό div F(,, z) z 7 Έστω f(,, z) μια βαθμωτή συνάρτηση και έστω F(,, z ) ένα διανυσματικό πεδίο Να αποφασίσετε αν τα πιο κάτω έχουν νόημα (δηλ είναι καλώς ορισμένα) και αν όχι να εξηγήσετε γιατί Αν ναι, να πείτε αν το αποτέλεσμα είναι βαθμωτή συνάρτηση ή διανυσματικό πεδίο

11 (a) curl f (b) grad f (c) divf (d) curl(grad f) (e) gradf (f) grad divf (g) div(grad f) (h) grad(div f) (i) curl curlf (j) divdivf (k) grad f divf (l) div(curl(grad f)) (a) Δεν έχει νόημα αφού η f είναι βαθμωτή συνάρτηση και το curl ορίζεται για διανυσματικά πεδία (b) Έχει νόημα και είναι διανυσματικό πεδίο (c) Έχει νόημα και είναι βαθμωτή συνάρτηση (d) Έχει νόημα και είναι διανυσματικό πεδίο (e) Δεν έχει νόημα γιατί η κλίση grad ορίζεται για βαθμωτές συναρτήσεις (f) Έχει νόημα και είναι διανυσματικό πεδίο (g) Έχει νόημα και είναι βαθμωτή συνάρτηση (h) Δεν έχει νόημα γιατί η απόκλιση div ορίζεται για διανυσματικά πεδία και η f είναι βαθμωτή συνάρτηση (i) Έχει νόημα και είναι διανυσματικό πεδίο (j) Δεν έχει νόημα γιατί η απόκλιση div ορίζεται για διανυσματικά πεδία και η divf είναι βαθμωτή συνάρτηση (k) Δεν έχει νόημα γιατί η divf είναι βαθμωτή συνάρτηση και το εξωτερικό γινόμενο ορίζεται για διανύσματα (l) Έχει νόημα και είναι βαθμωτή συνάρτηση 11 8 Να δείξετε ότι το διανυσματικό πεδίο F(,, z) f ( ) i g( ) j h( z) k, με f, g, h παραγωγίσιμες συναρτήσεις, είναι αστρόβιλο Υπολογίζουμε το curlf και βρίσκουμε ότι είναι 0 Κεφάλαιο 1 Να υπολογίσετε τα πιο κάτω ολοκληρώματα: 1 ( ) dd e dd (γ) / cos 0 0 e sin drd 9/ / e (γ) e 1 Να υπολογίσετε τα πιο κάτω ολοκληρώματα όπου D είναι το δοθέν χωρίο

12 D da, D, : 0, D,, : 0 1,0 da D 1 1 D είναι το χωρίο μεταξύ των = 0, =, = 1 (γ) cos da, D (δ) da, D είναι το τρίγωνο με κορυφές (0, ), (1, 1) και (, ) D 56/1 1 ln (γ) (1 cos(1))/ (δ) 147/0 Να βρεθεί ο όγκος του κάθε στερεού: Κάτω από το επίπεδο + z = 0 και πάνω από το χωρίο που σχηματίζουν οι καμπύλες = και = Κάτω από την επιφάνεια z = και πάνω από το τρίγωνο με κορυφές τα σημεία (1, 1), (4, 1) και (1, ) 7/18 1/8 4 Να υπολογίσετε τα πιο κάτω ολοκληρώματα όπου D είναι το δοθέν χωρίο da, D (, ) : 0 9 D D cos( ) da, D είναι το χωρίο 9 πάνω από τον άξονα των (γ) e da, D είναι το χωρίο μεταξύ του ημικυκλίου D 4 και του άξονα των 0 (π/) sin(9) (γ) 4 ( / )(1 e ) 5 Να βρεθεί ο όγκος του κάθε στερεού Κάτω από την επιφάνεια Πάνω από τον κώνο z και πάνω από τον κύκλο z και κάτω από τη σφαίρα 81π/ ( / )(1 / ) 9 z 1 6 Να βρεθεί το επιφανειακό εμβαδό των πιο κάτω Το μέρος του κυλίνδρου z 9 που βρίσκεται πάνω από το ορθογώνιο με κορυφές (0, 1), (1, 0) (0, ) και (4, )

13 Το μέρος της επιφάνειας z 4 που βρίσκεται πάνω από το επίπεδο 1 1 1sin ( / ) ( / 6)( ) 7 Να υπολογίσετε τα πιο κάτω ολοκληρώματα: 1 z z 6zdddz z ze ddzd 1 ( e 1) / 8 Να υπολογίσετε τα πιο κάτω ολοκληρώματα όπου Ε είναι το δοθέν στερεό dv, E (,, z) : 0,0 4,0 z E 6 dv, Ε είναι το στερεό κάτω από το επίπεδο z = και πάνω από το χωρίο E στο επίπεδο που σχηματίζουν οι καμπύλες, 0 και = 1 (γ) dv, E είναι το στερεό τετράεδρο με κορυφές τα σημεία (0, 0, 0), (0, 1, 0), (0,, 0) E και (0, 0, ) 4 65/8 (γ) 1/10 9 Χρησιμοποιώντας τριπλό ολοκλήρωμα, να βρεθεί ο όγκος του κάθε στερεού Το τετράεδρο στο πρώτο οκτημόριο κάτω από το επίπεδο + + z = 4 Το στερεό που σχηματίζουν τα επίπεδα + z = 5, z = 1 και ο κύλινδρος 9 16/ 6π 10 Να γράψετε το ολοκλήρωμα 11 f (,, z) dzdd με 5 άλλους διαφορετικούς τρόπους f (,, z) dzdd f (,, z) dzdd f (,, z) dddz f (,, z) ddzd z f (,, z) ddzd f (,, z) dddz 0 0 z 0 z z 11 Χρησιμοποιώντας κυλινδρικές συντεταγμένες, να υπολογίσετε τα πιο κάτω:

14 E dv, E είναι το στερεό μέσα στον κύλινδρο επιπέδων z = 1 5 και z = 4 e z dv, E είναι το στερεό μεταξύ των z (γ) E E dv, E είναι το στερεό μέσα στο κύλινδρο 1, 16 και μεταξύ των 14 5 και του επιπέδου 1, πάνω από το επίπεδο z = 0 και κάτω από τον κώνο z π 6 ( e e 5) (γ) π/5 1 Χρησιμοποιώντας σφαιρικές συντεταγμένες, να υπολογίσετε τα πιο κάτω: B E z dv, Β είναι η μοναδιαία σφαίρα z 1 zdv, Ε είναι το στερεό στο πρώτο οκτημόριο μεταξύ των z 4 4π/5 15π/16 z 1 και 1 Να βρεθεί ο όγκος του στερεού που βρίσκεται πάνω από τον κώνο φ = π/ και κάτω από τη σφαίρα ρ = 4 cos φ 10π 14 Να υπολογίσετε τα πιο κάτω ολοκληρώματα: 1 1 / dzdd z z dzdd 8π/5 4π/5 15 Να βρείτε την Ιακωβιανή των πιο κάτω απεικονίσεων: u v, u v u v 0 uvw uv, vw, z uw 16 Να βρείτε πως μετασχηματίζεται το δοθέν χωρίο μέσω της δοθείσας απεικόνισης

15 S ( u, v) :0 u,0 v, u v, u v 15 S είναι το τρίγωνο με κορυφές τα (0, 0), (1, 1), (0, 1) και u, v Το παραλληλόγραμμο με κορυφές τα (0, 0), (6, ), (1, 1), (6, ) Το χωρίο μεταξύ των = 1, = 0 και 17 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα αφού κάνετε τον δοθέν μετασχηματισμό ( ) da, R είναι το τρίγωνο με κορυφές (0, 0), (, 1), (1, ) και R u v, u v da, R είναι η έλλειψη R 6π και u, v 18 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα αφού κάνετε μια κατάλληλη αλλαγή μεταβλητών da, R είναι το παραλληλόγραμμο μεταξύ των ευθειών 0, 4, R 1, 8 ( )/( ) e da, R είναι το τραπέζιο με κορυφές τα (1, 0), (, 0), (0, ), (0, 1) R 8 ln e e 1 Κεφάλαιο 4 1 Να υπολογίσετε τα πιο κάτω επικαμπύλια ολοκληρώματα, όπου C είναι η δοθείσα καμπύλη C 4 ds d ( ) d C (, 0) και (, ) (γ), C είναι το δεξιό μισό του κύκλου 16, C είναι η ευθεία που ενώνει τα σημεία (0, ) και (, 0), και μετά τα z e ds, C είναι η ευθεία που ενώνει τα σημεία (0, 0, 0) και (1,, ) C / (γ) e /1

16 16 Να υπολογίσετε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα C F dr, όπου C δίδεται από το διάνυσμα θέσης rt () F(, ) i j, r( t) t i t j, 0 t 1 F(,, z) sin( ) i cos( ) j zk, r( t) t i t j tk, 0 t cos(1) sin(1) 5