Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικά Πεδία Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
|
|
- Δημοσθένης Ελευθερόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικά Πεδία Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα I = x ds, όπου c το δεξιό ημικύκλιο x + = 6 α) κινούνοι κατά την φορά των δεικτών του ρολογιού και β) κινούνοι κατά την αντίθετη φορά Έστω f ( x, ) = x α) H παρατροποίηση της καμπύλης θα είναι x = cost π π rt :, t = sin t r'( t) = sin t, cos t r'( t) = ( sin t) + ( cos t) = 6 = f rt = cos t( sin t) = costsin t π π π I = x ds = f ( r ( t)) r '( t) dt = cost sin t dt = 96 sin t d(sin t) = π π π π π π π = = = = π / β) H παρατροποίηση της καμπύλης θα είναι x = cost π π rt :, t = sin t r'( t) = sin t, cos t r'( t) = ( sin t) + (cos t) = 6 = / π sin sin sin sin sin t 89
2 f rt t t t t ( ) = cos (sin ) = cos sin π π I = x ds = f ( r ( t)) r '( t) dt = cost sin t dt π π Καταλήξα στο ίδιο ολοκλήρωμα όπως και την πρώτη παρατροποίηση, 89 επομένως το αποτέλεσμα είναι το ίδιο (όπως ήταν ανανώνο) : I = 5. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα I = x ds, όπου c η καμπύλη του σχήματος:..5. x =.5.5 = x Έστω f( x, ) = x Η καμπύλη c αποτελείται από τμήματα. = : c ( t) = ( t), + t, = + t,, t = x : c ( t) = tt,, t x = : c ( t) = ( t), + t, =, t, t Θα ολοκληρώσου πάνω σε κάθε ένα τμήμα ξεχωριστά και θα είναι: I = = + + Για το πρώτο ολοκλήρωμα έχου: c'( t) =,, c'( t) = f ( c ( t )) = ( + t ) = ( + t ) ( ) 6( ) 6( ) = x ds = + t dt = + t dt = t t + t dt = t t t = 6 + t = 6 Για το δεύτερο ολοκλήρωμα έχου: c'( t) =, t, c'( t) = + 9t f ( c () t ) = t.
3 x ds t 9t dt ( 9t ) d ( 9t ) ( 9t ) / / = + = + + = = / = ( ) 7 Για το τρίτο ολοκλήρωμα έχου: c'() t =,, c'() t = f c () t = = x ds = dt = 8dt = 8[ t] = 8 Επομένως I = = + + = = / /. Αν F( x,, ) = x, x, x να υπολογίσετε τα divf, curlf To διανυσματικό πεδίο γράφεται ως Fx (,, ) = M( x,, ), Nx (,, ), Px (,, ) M ( x,, ) = x N( x,, ) = x P( x,, ) = x Έτσι έχου divf( x,, ) = F( x,, ) = M x + N + P = + x x Επίσης curlf = P N, M P, N M = x x, x ( ),x x = x x = x x, x +,x x. Αν F = iˆ+ x ˆj + x kˆ, δείξτε ότι το πεδίο είναι συντηρητικό και υπολογίστε τη συνάρτηση δυναμικού. Υπολογίστε την κυκλοφορία του F κατά μήκος της καμπύλης x + = To διανυσματικό πεδίο γράφεται ως Fx (,, ) = M( x,, ), Nx (,, ), Px (,, ) M ( x,, ) = N( x,, ) = x P( x,, ) = x
4 H F ορίζεται σε όλο το (απλά συνεκτικό χωρίο). Επίσης είναι curlf = P N, M P, N M = x x,, =,, x x άρα το πεδίο είναι συντηρητικό. Για τον υπολογισμό της συνάρτησης δυναμικού f έχου f x = () f = F f = x () f = x () Ολοκληρώνοντας την () ως προς x, και διατηρώντας τα, σταθερά, παίρνου f = dx = x + g(, ) (), όπου g (, ) μία συνάρτηση μόνον των και. Για να βρού την g(, ) παραγωγίζου την () ως προς και παίρνου: g (, ) f = x + (5) Από τις () και () παίρνου: g (, ) = (6) Ολοκληρώνοντας την (6) ως προς έχου: g (, ) = d g (, ) = h (7), όπου h μία συνάρτηση μόνον του Επομένως η (5) λόγω της (7) γίνεται: f = x + h( ) (8) Για να βρού την h παραγωγίζου την (8) ως προς και παίρνου: dh( ) f = x + (9) d Από τις () και (9) έχου: dh( ) = () d Ολοκληρώνοντας την () ως προς παίρνου: h = c () Επομένως η (8) λόγω της () δίνει: f ( x,, ) = x + c () Επειδή το χωρίο είναι απλά συνεκτικό, το πεδίο συντηρητικό, η συνάρτηση F είναι συνεχής συνεχείς πρώτες παραγώγους στο χωρίο και επίσης ολοκληρώνου σε κλειστή καμπύλη, θα είναι: F T ˆ ds = 5. Δείξτε ότι για οποιοδήποτε βαθμωτή συνάρτηση f( x,,, ) συνεχείς μικτές δεύτερες παραγώγους, ισχύει η ταυτότητα curl ( f ) = Έχου
5 F = f = f, f, f = M, N, P M = f N = f x x P= f Επομένως curlf = P N, M P, N M = f f, f f, f f =,, x x x x x x 6. Αν F= M( x,, ), Nx (,, ), Px (,, ) και οι Μ,Ν,P έχουν συνεχείς μικτές δεύτερες παραγώγους, δείξτε την ταυτότητα div( curlf ) = Έχου F = f = f, f, f = M, N, P M = f N = f x x P= f curlf = P N, M P, N M x x Επομένως div( curlf) = ( P N ) + ( M Px) + ( N x M ) = x = P N + M P + N M = x x x x F T ds για F =,, επί της έλικας: rt = cos t,sin t, t, t π (Απ. -9π) 7. Υπολογίστε το ( ) Θα χρησιμοποιήσου τη σχέση t F T ds = F r () t r '() t dt t Είναι: r'( t) = sin t, cos t, Έτσι παίρνου π π F T ds = sin t,,t sin t sin t,cos t, dt = sin t + 9t sin t dt = π π = sin t dt + 9 t sin t dt Για τον υπολογισμό του π sin t dt έχου 5
6 sin t dt = ( cos( t)) dt = dt cos( t) dt = t cos( t) d( t) = t sin( t) + c Για τον υπολογισμό του π t sin t dt εφαρμόζου ολοκλήρωση κατά παράγοντες: Παραγώγιση (u) Ολοκλήρωση (dv) t + sin t - cost sin t tsin( t) dt = tcost+ sin t+ dt+ c= tcost+ sin t+ c Επομένως τελικά έχου π π F T ds = t sin( t ) + 9 [ t cos t + sin t] dt = = ( π) sin( π) () sin() ( ( π) cos( π) + sin( π) ) ( () cos() + sin() ) = = π 8π = 9π 8. Υπολογίστε το I = dx + d xd όπου c το ευθύγραμμο τμήμα ταξύ των σηίων (,,-) και (,,) (Απ. /) r ( t) = ( t) A + tb = ( t),, + t,, = + t, t + t, + t + t rt = t, + t, + t, t x() t = t, dx = dt () t = + t, d = dt () t = +, t d = dt [ ( ) ] I = dx + d xd = + t + + t t dt = t = [ + t + t t] dt = t dt = = = 9. Υπολογίστε το έργο που εκτελεί η δύναμη F = x,, x τακινώντας ένα αντικείνο πάνω στην καμπύλη rt () = tt,, t για t (Απ. 7/8) t F T ds = F r () t r '() t dt t + 6
7 r'( t) =, t, t F r() t = tt, t t, tt = t, t, t F T ds = t, t, t, t, t dt = t + t + t dt = 6 = + = t 5t dt 7 t t 5 7 = = + = 7 8. Υπολογίστε την εξερχόνη ροή του πεδίου καμπύλης x ( ˆ ) + = 9 (Απ. ) F n ds = M d N dx M = x N = Fx (, ) = x, δια μέσου της = 7 cost c :, t π = 7sin t dx = 7sin t dt d = 7 cost dt π π ( F nˆ ) ds = 7 cos t(7 cos t) 7 sin t ( 7 sin t) dt = 7 ( cos t + sin t) dt () Για τον υπολογισμό του π cos t dt έχου: cos t dt = cos t cost dt = sin t cost dt = costdt sin tcostdt sin t sin td(sin t) = = = sin t = sin t + c Αντίστοιχα για τον υπολογισμό του π sin t dt έχου: sin t dt = sin t sin t dt = cos t sin t dt = sin tdt sin tcos tdt cost cos td(cos t) = = + = cos t = cost+ + c 7
8 Έτσι η () τελικά δίνει: π π sin t cos t F nˆ ds = 7 sin t + 7 cost + =. Επαληθεύστε την εφαπτονική και την κάθετη μορφή του θεωρήματος Green για F = x, στο χωρίο ενός κυκλικού δίσκου ακτίνας κέντρο την αρχή των αξόνων. To χωρίο R είναι απλά συνεκτικό και το πεδίο F = x, = M, N καθώς και οι πρώτες του παράγωγοι είναι συνεχείς στο R. Επίσης το σύνορο R είναι κατά τμήματα λεία καμπύλη. Επομένως το θεώρημα Green ισχύει και γράφεται ως: N M Mdx + Nd = da () x R R Θα υπολογίσου πρώτα το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα. Tο σύνορο R αποτελείται από την καμπύλη = cost :, t π () = sin t dx = sin t dt () d = cost dt Θα είναι π [ cos ( sin ) sin cos ] Mdx + Nd = t t + t t dt = π π sin t = sin tcostdt= sin td(sin t) = = π () Θα υπολογίσου τώρα το διπλό ολοκλήρωμα του δεξιού μέλους της () N M Είναι = = (9) x Έτσι N M da = da = x () R R Παρατηρού ότι καταλήξα στο ίδιο αποτέλεσμα. Επομένως επαληθεύσα το θεώρημα Green. H κάθετη μορφή του θεωρήματος Green γράφεται ως: M N Md Ndx = + da x R 8
9 Υπολογίζου αρχικά το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα του αριστερού μέλους: π [ cos cos sin ( sin )] Md Ndx = t t t t dt = π π ( cos sin ) ( cos ( cos )) = t + t dt = t + t dt = π π ( cos ( cos )) ( cos ) = t + t dt = + t dt Επειδή όμως cos t d = ( + cos( t)) dt = cos cos sin c dt + t dt t t d t t t = + = + + θα είναι τελικώς π π π π cos [ ] sin Md Ndx = dt + tdt = t + t + t = = π + π + sin( π) sin() = 5π Θα υπολογίσου τώρα το διπλό ολοκλήρωμα του δεξιού μέλους M N + da = + da = 5 da x R R R Σε πολικές συντεταγμένες θα έχου R π π M N r π + da = 5r drdθ = 5 r dr dθ = 5 [ θ] 5 ( π) 5π x = =. Να υπολογισθεί το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα I = dx x d, όπου c είναι η περίτρος του τετραγώνου x + = που διαγράφεται κατά την ορθή φορά. (Απ. -) c : x+ = c : x+ = c : x = c : x = c c..5.5 c c. I = c c c c 9
10 () = t c :, t dx = dt () = t d = dt c dx x d = t ( ) ( t) () dt = ( + t t ) dt = t t = + t = + = () = t c :, t dx = dt () = t d = dt c ( ) dx x d = ( t) ( ) t ( ) dt = ( t) ( ) t ( ) dt = = + t t dt = () = t c :, t dx = dt () = t d = dt dx x d = ( t) () ( t ) ( ) dt = ( + t t ) dt = c () = t c :, t dx = dt () = t d = dt dx x d = ( t ) () ( t) () dt = ( + t t ) dt = c I = = = c c c c
11 . Με τη βοήθεια κατάλληλων επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου x R= ( x, ) : x + 5, + (Απ. π) c c c E = E E E = xd dx c E = xd dx c = 5cost c :, t π = 5sin t dx = 5sin t dt d = 5cost dt π π π 5 5 E = [ 5cos 5cos 5sin ( 5sin )] cos sin 5 t t t t dt = t + t dt = dt = π = cost c :, t π = sin t dx = sin t dt d = cost dt π π π E = [ cost cost sin t ( sin t) ] dt cos t sin t dt 6 dt π = + = = E = E E = 5π π = π. Να υπολογίσετε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα I = x dx + 6( x ) d όπου c είναι: a) Το ευθύγραμμο τμήμα ΟΑ Ο=(,), Α=(,) (Απ. ) b) Η καμπύλη παρατρικές εξισώσεις x= sin t, = t, t [, π ] (Απ. -π ) c) Το τμήμα της ευθείας = x, x (Απ. -) d) H παραβολή x= από το σηίο (,-) έως το σηίο (,) (Απ. )
12 e) H τεθλασμένη γραμμή ΟΑΒ Ο=(,), Α=(,), Β=(,) (Απ. ) f) H καμπύλη εξίσωση ( cos ) ˆ sin ˆ π rt = t i+ tj, t, (Απ. -π/) a) () = t c:, t dx = dt () = t d = dt t I = t + 6( t t) dt = tdt = = b) = sin t c:, t π () = t dx = cost dt d = dt π π π π I = sint cost + 6(sin t t) dt = sint costdt + 6 sintdt 6 tdt = π π π π t = sin td(sin t) + 6[ cost] 6 = sin t = π = π () = t dx = dt c) c:, t () = t d = dt t 9 I = t + 6( t t) dt = t dt = = = xt () = t dx = tdt d) c:, t () = t d = dt t t t I = t t + 6( t t) dt = t + 6t 6t dt = ( ) ( ) = + = () = t dx = dt e) c :, t () = d = dt t I = t + dt = = () = dx = dt c :, t () = t d = dt t I = x dx + 6( x ) d = + 6( t) dt = 6 t = I = I+ I = + =
13 f) = cost π c:, t = sin t π / dx = sin t dt d = cost dt I = x dx + 6( x ) d = cost sin t + 6 cost sin t cost dt = π / sin sin cos 6 cos 6 cos 6sin cos = t t t+ t t t t dt = π / π / / π/ π sin t = [ cost] 8 6[ sin t] 6 t sin( t) + + = π π = = 5. Να υπολογισθεί το I = x + ds, όπου c το τρίγωνο κορυφές (,),(,),(,) διατρέχοντας το τρίγωνο α) κατά την ορθή φορά και β) κατά την αντίστροφη φορά (Απ. ) Από (,) σε (,) r (t) =< t, t >, t r '(t) =<, >, r '(t) = I = x( t) + ( t) r '( t) dt = t + t dt = t dt = t dt = / t = = / Από (,) σε (,) r (t) =< t, >, t r '(t) =<, >, r '(t) = / / t ( ) 6 6 I = t + () dt = ( t) d ( t) = = = / Από (,) σε (,) r (t) =<, t >, t r '(t) =<, >, r '(t) =
14 / / ( t) I = + t () dt = ( t) d( t) = = / 6 6 I = I+ I + I = + + = + Επειδή το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα βαθμωτής συνάρτησης δεν εξαρτάται από τη φορά διαγραφής της καμπύλης, το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο και στην περίπτωση που διαγράψου το τρίγωνο κατά την αντίστροφη φορά. 6. Υπολογίστε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα του F= iˆ xj ˆ+ kˆ κατά μήκος της καμπύλης α) r() t = ti ˆ + t ˆ j+ t k ˆ, t (Aπ. -/5) και β) που αποτελείται από τα ευθύγραμμα τμήματα (,,) έως (,,) και (,,) έως (,,) (Απ. ) a) Frt ( ()) = t,, t t = t,, tt r'( t) =, t,t I = t, t, t, t, t dt = t, t, t, t,t dt = 5 t t = t t + t dt = t + t dt = + = + = b) r (t) =< tt,, >, t r '(t) =<,, > Frt ( ) =, t, t t I =, t, t,, dt = tdt = = r (t) =<,, t >, t r '(t) =<,, > Frt ( ) = t,, I = t,,,, dt = dt = I = I+ I = + =
15 7. Δείξτε ότι τα ακόλουθα πεδία είναι αστρόβιλα και βρείτε τις συναρτήσεις δυναμικού τους + a) F = e ( iˆ+ x ˆj + xkˆ ) b) F= sin x, sin x, cos F =, x +, + + x + x c) a) Fx (,, ) = M( x,, ), Nx (,, ), Px (,, ) M( x,, ) = e N( x,, ) = xe + P( x,, ) = xe + + curlf = P N M P N M = xe xe e e e e = , x, x,,,, fx = e f = F f = xe f = xe + + () () + () Ολοκληρώνοντας την () ως προς x, και διατηρώντας τα, σταθερά, παίρνου f = e dx = e dx = xe + g(, ) (), όπου g (, ) μία συνάρτηση μόνον των και. Για να βρού την g(, ) παραγωγίζου την () ως προς και παίρνου: + g (, ) f = xe + (5) Από τις () και () παίρνου: g (, ) = (6) Ολοκληρώνοντας την (6) ως προς έχου: g (, ) = d g (, ) = h (7), όπου h μία συνάρτηση μόνον του Επομένως η (5) λόγω της (7) γίνεται: + f = xe + h( ) (8) Για να βρού την h παραγωγίζου την (8) ως προς και παίρνου: + dh( ) f = xe + (9) d Από τις () και (9) έχου: dh( ) = () d Ολοκληρώνοντας την () ως προς παίρνου: h = c () 5
16 Επομένως η (8) λόγω της () δίνει: + f ( x,, ) = xe + c () b) Fx (,, ) = M( x,, ), Nx (,, ), Px (,, ) M( x,, ) = sin Nx (,, ) = xsin P( x,, ) = x cos curlf = P N, M P, N M = x x = xcos xcos, cos cos,sin sin =,, fx = sin () f = F f = xsin () f = x cos () Ολοκληρώνοντας την () ως προς x, και διατηρώντας τα, σταθερά, παίρνου f = sin dx= sin dx= xsin + g(, ) g μία συνάρτηση (), όπου (, ) μόνον των και. Για να βρού την g(, ) παραγωγίζου την () ως προς και παίρνου: g (, ) f = xsin + (5) Από τις () και () παίρνου: g (, ) = (6) Ολοκληρώνοντας την (6) ως προς έχου: g (, ) = d g (, ) = h (7), όπου h μία συνάρτηση μόνον του Επομένως η (5) λόγω της (7) γίνεται: f = x sin + h( ) (8) Για να βρού την h παραγωγίζου την (8) ως προς και παίρνου: dh( ) f = x cos + (9) d Από τις () και (9) έχου: dh( ) = () d Ολοκληρώνοντας την () ως προς παίρνου: h = c () Επομένως η (8) λόγω της () δίνει: f ( x,, ) = x sin + c () 6
17 c) Fx (,, ) = M( x,, ), Nx (,, ), Px (,, ) M( x,, ) = + x x Nx (,, ) = + + x Px (,, ) = + P = + = = = / / ( ) ( ) ( ) ( ) = == = + + = = = = ( ) N / x = + = = x + / M = = + x Px = + = x x x x N x = + = x x = = x x + x + x + ( + x ) x( x ) x ( + x) ( + x) = = M = = + x x + x curlf = P N, M P, N M =,, x x ( + x) x ( + x) ( x) 7
18 fx = + x x f = F f = + + x f = + () () () Ολοκληρώνοντας την () ως προς x, και διατηρώντας τα, σταθερά, παίρνου f = dx = d ( x) = d ( x) = tan ( x) + g(, ) + x + ( x) + ( x) όπου g (, ) μία συνάρτηση μόνον των και. Για να βρού την g(, ) παραγωγίζου την () ως προς και παίρνου: x g (, ) f = + (5) + x Από τις () και () παίρνου: g (, ) = (6) Ολοκληρώνοντας την (6) ως προς έχου: g (, ) = d g (, ) = d ( ) (7), g(, ) = d( ) g(, ) = sin ( ) + h( ) ( ) όπου h μία συνάρτηση μόνον του Επομένως η (5) λόγω της (7) γίνεται: f = tan ( x) + sin ( ) + h( ) (8) Για να βρού την h παραγωγίζου την (8) ως προς και παίρνου: dh( ) f = + (9) d Από τις () και (9) έχου: dh( ) = () d Ολοκληρώνοντας την () ως προς παίρνου: h = ln + c () Επομένως η (8) λόγω της () δίνει: f ( x,, ) tan = x + sin + ln + c () (), 8. Δείξτε ότι οι διαφορικές μορφές που εμφανίζονται στα ακόλουθα ολοκληρώματα είναι ακριβείς, και στη συνέχεια υπολογίστε την τιμή των ολοκληρωμάτων 8
19 a) b) (,, 6) x dx + d + d (Απ. 9) (,,) (,,) x dx d d (Aπ. + (,,) a) Fx (,, ) = M( x,, ), Nx (,, ), Px (,, ) M( x,, ) = x Nx (,, ) = Px (,, ) = 5 tan () ) H F ορίζεται σε όλο το (απλά συνεκτικό χωρίο). Επίσης είναι curlf = P N, M P, N M = x x =,, =,, Επομένως η διαφορική μορφή είναι ακριβής και το πεδίο είναι συντηρητικό Για τον υπολογισμό της συνάρτησης δυναμικού f έχου fx = x () f = F f = () f = () Ολοκληρώνοντας την () ως προς x, και διατηρώντας τα, σταθερά, παίρνου f = x dx = x + g(, ) (), όπου g (, ) μία συνάρτηση μόνον των και. Για να βρού την g(, ) παραγωγίζου την () ως προς και παίρνου: g (, ) f = (5) Από τις () και () παίρνου: g (, ) = (6) Ολοκληρώνοντας την (6) ως προς έχου: g (, ) = d g (, ) = + h (7), όπου h μία συνάρτηση μόνον του Επομένως η (5) λόγω της (7) γίνεται: f= x + + h (8) Για να βρού την h παραγωγίζου την (8) ως προς και παίρνου: dh( ) f = (9) d Από τις () και (9) έχου: dh( ) = () d Ολοκληρώνοντας την () ως προς παίρνου: h = + c () Επομένως η (8) λόγω της () δίνει: 9
20 f( x,, ) x c = () (,, 6) (,,) x dx + d + d = f (,, 6) f (,, ) = 9 (,,) b) x dx d d (,,) + Fx (,, ) = M( x,, ), Nx (,, ), Px (,, ) M( x,, ) = x Nx (,, ) = Px (,, ) = + H F ορίζεται σε όλο το (απλά συνεκτικό χωρίο). Επίσης είναι curlf = P N, M P, N M = x x =,, =,, Επομένως η διαφορική μορφή είναι ακριβής και το πεδίο είναι συντηρητικό Για τον υπολογισμό της συνάρτησης δυναμικού f έχου fx = x () f = F f = () f = () + Ολοκληρώνοντας την () ως προς x, και διατηρώντας τα, σταθερά, παίρνου f = x dx = x + g(, ) (), όπου g (, ) μία συνάρτηση μόνον των και. Για να βρού την g(, ) παραγωγίζου την () ως προς και παίρνου: g (, ) f = (5) Από τις () και () παίρνου: g (, ) = (6) Ολοκληρώνοντας την (6) ως προς έχου: g (, ) = d g (, ) = + h (7), όπου h μία συνάρτηση μόνον του Επομένως η (5) λόγω της (7) γίνεται: f= x + h (8) Για να βρού την h παραγωγίζου την (8) ως προς και παίρνου: dh( ) f = (9) d
21 Από τις () και (9) έχου: dh( ) d = + () Ολοκληρώνοντας την () ως προς παίρνου: h = tan + c () Επομένως η (8) λόγω της () δίνει: f( x,, ) = x tan + c () (,,) (,,) 5 x dx d d = f (,,) f (,, ) = tan () + 9. Υπολογίστε τις σταθερές abc,, ώστε το πεδίο F = a + cx, ( bx + c), a + cx να είναι συντηρητικό Fx (,, ) = M( x,, ), Nx (,, ), Px (,, ) (,, ) M x = a + cx N( x,, ) = ( bx + c) P( x,, ) = a + cx H F ορίζεται σε όλο το Επίσης είναι P = N a = c a = c (απλά συνεκτικό χωρίο). M Px cx = cx N x M b = a b = a Το σύστημα που προκύπτει ως προς a,b,c είναι αόριστο δηλ. έχει άπειρες λύσεις. Επιλέγοντας αυθαίρετα π.χ. το α= παίρνου μία λύση: a=, b=, c=. Έστω f( x, ) = ln( x + ) και c ο κύκλος x + = a (κατά την ορθή φορά). Χρησιμοποιείστε το θεώρημα Green για να υπολογίσετε την εξερχόνη ροή ( f nˆ ) ds (Απ. π) Η f δεν ορίζεται στο (,), επομένως το χωρίο είναι πολλαπλά συνεκτικό. x F = f = fx, f =, = M, N x + x +
22 ( ) ( ) M N x x + = + = x x + x + Έστω c o κύκλος ακτίνα και a> (αντίστοιχα δουλεύου και αν a<) M N ( f nˆ ) ds = Md Ndx + Md Ndx = + da = x R R = = x d x + x + dx = cost dx = sin t dt c :, t π = sin t d = cost dt π π π costcost sin t ( sin t) dt = cos t + sin t dt = dt = π. Επαληθεύστε το θεώρημα Green (a. εφαπτονική και b.κάθετη μορφή) για F = x, x + και το τρίγωνο που φράσσεται από τις =, x=, = x (Απ. a. 9, b. -9) F = x, x + = M, N M = x, M = x N = x, N = x R Το χωρίο R είναι απλά συνεκτικό και ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Green. Το σύνορο του R αποτελείται από τις ακόλουθες καμπύλες () = t dx = dt c :, t () = d = dt () = dx = dt c :, t () = t d = dt () = t dx = dt c :, t () = t d = dt
23 Εφαπτονική μορφή ( ˆ N M F T ) ds = Mdx + Nd = da x R R R Mdx + Nd = + + R ( ) t Mdx + Nd = t + t + dt = 7t dt = 7 = 9 ( ) t Mdx + Nd = t + + t dt = 7 + 7t dt = 7 t + = 6 ( ) Mdx + Nd = t t ( ) + t + t ( ) dt = t t = 5 t + t dt = 5 t + = 8 R Mdx + Nd = = 9 x N M da = x da = x d dx = x R R x x x = x dx = x dx = x dx = = 9 Κάθετη μορφή M N ( f nˆ ) ds = Md Ndx = + da x R R R Md Ndx = + + R ( ) t Md Ndx = t t + dt = 7t dt = 7 = 9 ( ) t Md Ndx = t + + t dt = 7t 7 dt = 7 t = 8 ( ) Md Ndx = t t ( ) t + t ( ) dt = t t = 5 t + t dt = 5 t + = 8 R Mdx + Nd = = 9
24 x M N + da = x + da = x + da = x + d dx = x R R R x x x = x + dx = x + dx = x dx = = 9. Να υπολογισθεί το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα I = x dx x d, όπου c είναι η ( x + ) περίτρος του παραλληλογράμμου κορυφές (-,-), (,-), (,), (-,) (Απ. π) a) ως άθροισμα τεσσάρων επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων (ένα για κάθε πλευρά) b) χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι το πεδίο είναι αστρόβιλο (το οποίο πρέπει να αποδείξετε πρώτα). R () = c :, t () = + t dx = dt d = dt () = t c :, t () = dx = dt d = dt () = c :, t () = t dx = dt d = dt () = + t c :, t () = dx = dt d = dt = x dx x d ( t) () = + dt = dt ( x + ) ( + ( + t) ) ( + ( t ) ) Θέτοντας u = t du = dt παίρνου
25 ( + u ) du d u Παρατηρού ότι = du + u ( + u ) du = d = ( ) du = ( + u ) u + u u + u u u + = + du du = + = u ( + u ) u + u u + tan[ ] tan[ ] Arc u = Arc u + u = = + Arc tan[] tan[ ] Arc = π π π π + = = = du = d = du = ( + u ) u + u u + u + u u = + du u + u u ( + u ) To γράφεται ως u ( + u ) u + u Επομένως + du = u+ u u + u + tan(u) Arc + c = u+ u u u Arc tan(u) + c = Arc tan(u) + c = u( + u ) u u( + u ) u Arc tan(u) + c ( + u ) Άρα u du = Arc tan(u) + c = ( + u ) + u ( ) = Arc tan() + c Arc tan( ) + c = ( ) + + π π π + = + c ( ) + c = 5
26 x dx x d ( t) () ( t) () ( t) = dt = dt ( x + ) (( t) + ) (( t) + ) Θέτοντας u = t du = dt παίρνου u u du = du ( + u ) ( + u ) d u Επειδή είναι = du + u ( + u ) u u u u du = d tan(u) du = du = Arc ( + u ) + u + u + u + u u u ( ) du = Arc tan(u) = tan() tan Arc Arc = ( + u ) u π π π = ( ) = x dx x d ( ) ( t)() ( ) ( ) π + = dt = dt = dt = ( x + ) (( ) + ( t) ) (( t) + ) (( t ) + ) x dx x d ( )( t )() ( ) t ( ) t t = + + = + dt = dt = π ( x + ) (( + t) + ( ) ) (( + t) + ) (( t) + ) Επομένως π + π π + π = = + + = π b) x x F =, = M, N M ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x) x ( x + ) (( x + ) ) ( x + ) x x x( x ) ( x + ) ( x + ) ( + ) ( + ) ( x + ) x x x x = = = = = 6
27 N x x + x x x + x x + x x + x = = = x + x + x x ( + ) ( ) ( x + ) ( x + ) x x x x x = = Άρα το πεδίο είναι αστρόβιλο αφού M = N curlf = x Άρα το ζητούνο επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της συνάρτησης F πάνω στην κλειστή καμπύλη που περιέχει το σηίο (,) (όπου η συνάρτηση F δεν ορίζεται) θα είναι ίσο το ολοκλήρωμα πάνω σε οποιαδήποτε άλλη κλειστή καμπύλη που επίσης περιέχει το σηίο (,) (διατηρώντας την αρχική φορά) Επιλέγου επομένως να ολοκληρώσου πάνω στον κύκλο x + = κατά την θετική φορά. = cost dx = sin t dt c:, t π = sin t d = cost dt π π x dx x d cos tsin t ( sin t) cos tcost cos sin cos dt t t t dt ( x + ) (cos t+ sin t) = = + = π π π + cos( t) t sin( t) = cos t ( sin t + cos t) dt = cos t dt = dt = + = π π 7
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος 18/4/2018 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος 8/4/8 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Να εξετάσετε ως προς τα τοπικά ακρότατα τη συνάρτηση: f x x x (,
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος (Λύσεις) Ι. Λυχναρόπουλος
3/4/6 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος (Λύσεις) Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες.5) Έστω το ολοκλήρωμα: I da {(, ) :, } 3 ( + 3 ) Να εκφράσετε το ολοκλήρωμα σε νέες συντεταγμένες, οι οποίες ορίζονται
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικά Πεδία Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Θεώρημα Green Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 5/9/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Να δειχθεί ότι το πεδίο F( x, y) = y cos x + y,sin x
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις στο επαναληπτικό διαγώνισμα 3
Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Λύσεις στο επαναληπτικό διαγώνισμα Διπλά Ολοκληρώματα Άσκηση (Υπολογισμός διπλού ολοκληρώματος- Αλλαγή
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος Ι. Λυχναρόπουλος
/4/05 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Αν z z 0 δείξτε ότι: z z ( z ) Παραγωγίζουμε την z z 0 ως προς θεωρώντας ότι η z είναι συνάρτηση των και : z z z z z z 0 () z
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικά Πεδία Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Θεώρημα Green Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικά Πεδία Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Θεώρημα Green Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα
Διαβάστε περισσότεραΑνασκόπηση-Μάθημα 32 Εύρεση Εμβαδού μέσω του Θεωρήματος Green- -Κυκλοφορία και εξερχόμενη ροή διανυσματικού πεδίου
Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Ανασκόπηση-Μάθημα 3 Εύρεση Εμβαδού μέσω του Θεωρήματος Green- -Κυκλοφορία και εξερχόμενη ροή διανυσματικού
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
/8/5 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες.5) Υπολογίστε το διπλό ολοκλήρωμα / I y dyd συντεταγμένες. Επίσης σχεδιάστε το χωρίο ολοκλήρωσης. Λύση: Το
Διαβάστε περισσότερα2 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση
η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση --8 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Άσκηση η Υπολογίστε τα κάτωθι όρια: cos α) β) γ) δ) ε) sin 5 α) Εφαρμόζουμε τον κανόνα L Hospital μια φορά (απροσδιοριστία της μορφής /)
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 D (, ) :9 0, 4 0 (, ) :
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 Να υπολογίσετε το κάθε όριο αν υπάρχει ή να
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 2ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικές Συναρτήσεις Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικές Συναρτήσεις Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Ποιες από τις επόμενες καμπύλες παριστάνουν ευθείες γραμμές; r ( ) 8,, ˆ ˆ r ˆ () i 7 j+ k r ( )
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 4ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Προσεγγίστε τo ολοκλήρωμα ( + ) I d d με αθροίσματα iemann χωρίζοντας το πεδίο ολοκλήρωσης σε ίσα ορθογώνια.
Διαβάστε περισσότερα0.8 Επικαµπύλια ολοκληρώµατα
0.8 Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. Έστω η καµπύλη = ( r = r( t) = ( t, t,ln t), t > 0). Να ευρεθεί το µήκος της µεταξύ των σηµείων A = (,, 0) και B = (4,4,ln ). Έχουµε r () t = (,, t ) ( t > 0). Άρα το µήκος
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7 Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα
Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Κεφάλαιο 7 Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα 7. Επικαμπύλια Ολοκληρώματα και εφαρμογές. 7.. Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα. Έστω ότι η βαθμωτή συνάρτηση f(,y,z) είναι ορισμένη πάνω
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Διανυσματικής Ανάλυσης
Ασκήσεις Διανυσματικής Ανάλυσης ) Το ύψος h σε χιλιόμετρα ενός βουνού δίνεται από την σχέση h 4 == 4. α) Ένας πεζοπόρος βρίσκεται στο σημείο (,,) και κινείται προς την διεύθυνση της μεγίστης κατάβασης.
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διπλά Ολοκληρώματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Ορθογώνια Χωρία Ορισμός n f( x, y) da lim f( x, y ) = Α Α 0 k
Διαβάστε περισσότερα13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
ETION 1 13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 13.1 Ορισµοί Μεγέθη Μια ποσότητα που εκφράζεται από ένα µόνο πραγµατικό αριθµό καλείται βαθµωτό µέγεθος. Μια ποσότητα που εκφράζεται από περισσότερους από έναν πραγµατικούς
Διαβάστε περισσότεραb proj a b είναι κάθετο στο
ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Βρείτε όλα τα σηµεία P τέτοια ώστε η απόσταση του P από το A(, 5, 3) είναι διπλάσια από την απόσταση του P από το B(6, 2, 2). είξτε ότι το σύνολο όλων αυτών των σηµείων είναι σφαίρα.
Διαβάστε περισσότεραr (t) dt f ds r (t) = (x (t)) 2 + (y (t)) 2 + (z (t)) 2.
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ Μήκος καμπύλης και Μέση τιμή συνάρτησης κατά μήκος καμπύλης Ορισμός : Εστω r μία απλή και λεία παραμετρική καμπύλη του R που ορίζεται από την απλή και λεία παραμέτρηση r : [a, b] R R. Ως μήκος
Διαβάστε περισσότερασ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k.
Ασκήσεις από το Διανυσματικός Λογισμός των Marsden - romba και από το alculus του Apostol. 1. Βρείτε τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης και την εξίσωση της εφαπτομένης για κάθε μία από τις
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ Παραδείγματα Στις Μερικές Παραγώγους Και τον Κανόνα Αλυσιδωτής Παραγώγισης
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ Παραδείγματα Στις Μερικές Παραγώγους Και τον Κανόνα Αλυσιδωτής Παραγώγισης Άσκηση Αν t ( ) < cos t,sin( t) > δύο τρόπους και gt () 3t 4 d gt να υπολογισθεί η παράγωγος ( ()) με Λύση 1 ος
Διαβάστε περισσότεραΕργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες
Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Διανύσματα - Διανυσματικές Συναρτήσεις
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Διανύσματα - Διανυσματικές Συναρτήσεις Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος a) Να βρεθεί η ευθεία που διέρχεται από το σημείο P (5,,3) και είναι παράλληλη προς το διάνυσμα iˆ+ 4ˆj kˆ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Να βρεθούν τα όρια, αν υπάρχουν: lim i) (,) (0,0) + ii) lim (,) (0,0) + iii) 3 lim 3 (,) (0,0) 6 + lim iv) (,) (0,0) + + lim sin + sin v) (,) (0,0)
Διαβάστε περισσότεραk ) 2 P = a2 x 2 P = 2a 2 x y 2 Q = b2 y 2 Q = 2b 2 y z 2 R = c2 z 2 R = 2c 2 z P x = 2a 2 Q y = 2b 2 R z = 2c 2 3 (a2 +b 2 +c 2 ) I = 64π
Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πέμπτο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Το θεώρημα Gauss γενικά διατυπώνεται ως: F dv = ( F η)dσ (1) V Για την άσκηση όπου μας δίνεται η σφαίρα x + y + z 4 = Φ, το κάθετο διάνυσμα η,
Διαβάστε περισσότερα< F ( σ(h(t))), σ (h(t)) > h (t)dt.
ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ IV, /6/9 Θέμα 1. Εστω : a 1, β 1 ] R μια C 1 καμπύλη. Μια C 1 καμπύλη ρ : a, β] R λέγεται αναπαραμετρικοποίηση της αν υπάρχει h : a, β] a 1, β 1 ], 1 1 επί και
Διαβάστε περισσότεραΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ Χειμερινό εξάμηνο Ασκήσεις 1.
ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ Χειμερινό εξάμηνο -7 Ασκήσεις Αποδείξτε την ανισότητα Cuch-Schwr Για R Δείξτε ότι η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν τα διανύσματα και είναι συγγραμμικά Αποδείξτε την τριγωνική ανισότητα
Διαβάστε περισσότεραΑνασκόπηση-Μάθημα 29 Σφαιρικές συντεταγμένες- Εφαρμογές διπλού και τριπλού ολοκληρώματος- -Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα α είδους
Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Ανασκόπηση-Μάθημα 29 Σφαιρικές συντεταγμένες- Εφαρμογές διπλού και τριπλού ολοκληρώματος- -Επικαμπύλιο
Διαβάστε περισσότεραΔείκτες Poincaré και Θεώρημα Frommer
Δείκτες Poinaré και Θεώρημα Frommer Ζαφειράκογλου Απόστολος 1 Θεωρητική εισαγωγή Στη διαφορική γεωμετρία, ως απόλυτη καμπυλότητα ορίζουμε το ολοκλήρωμα μια επίπεδης καμπύλης, θεωρώντας απειροστή διαμέριση
Διαβάστε περισσότεραEPIKAMPULIA KAI EPIFANEIAKA OLOKLHRWMATA
Kefˆlaio 9 EPIKAMPULIA KAI EPIFANEIAKA OLOKLHRWMATA Σημειώσεις Γ. Γεωργίου, ΜΑΣ 1. 9.1 EpikampÔlia oloklhr mata Ορισμός Εστω f : R R βαθμωτό πεδίο συνεχές στη 1 καμπύλη σ : [a, b] R. ολοκλήρωμα α είδους
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Ι. Λυχναρόπουλος
9/8/6 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες.5) Να υπολογισθούν τα ακρότατα της συνάρτησης: y y y y 3 (, ) 3 3 3 Πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το Υπολογίζουμε
Διαβάστε περισσότεραcos t dt = 0. t cos t 2 dt = 1 8 f(x, y, z) = (2xyz, x 2 z, x 2 y) (2xyz) = (x2 z) (x 2 z) = (x2 y) 1 u du =
ΛΥΣΕΙΣ. Οι ασκήσεις από το βιβλίο των Marsden - Tromba. 1. 7.1.()(b) σ (t) (cos t sin t 1) οπότε σ (t) και σ f(x y z) ds π (c) σ (t) i + tj οπότε σ (t) 1 + 4t και σ f(x y z) ds 1 t cos 1 + 4t dt 1 8 cos
Διαβάστε περισσότερα1 3 (a2 ρ 2 ) 3/2 ] b V = [(a 2 b 2 ) 3/2 a 3 ] 3 (1) V total = 2V V total = 4π 3 (2)
Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Δεύτερο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Για την επίλυση της άσκησης και την εύρεση του ζητούμενου όγκου, αρχικά αναγνωρίζουμε ότι ο τόπος ολοκλήρωσης, είναι ο κύκλος x + y = b, ο οποίος
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα διπλών oλοκληρωμάτων Γ. Λυχναρόπουλος
Παραδείγματα διπλών oλοκληρωμάτων Γ. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Να υπολογισθεί με τρόπους το ολοκλήρωμα I d d 0 Η ολοκλήρωση, όπως φαίνεται από τα άκρα ολοκλήρωσης, γίνεται πάνω στο ορθογώνιο χωρίο R 0,,
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα τριπλών oλοκληρωμάτων Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Παραδείγματα τριπλών oλοκληρωμάτων Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα I = x e + z dv όπου = [, ] [,] [,] Η ολοκλήρωση, όπως φαίνεται από τα άκρα ολοκλήρωσης, γίνεται πάνω
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14
Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες
Διαβάστε περισσότερα9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού
1 2 Τα θεωρήματα του Green, Stokes και Gauss 211 9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού Ήδη στην παράγραφο 5.7 ασχοληθήκαμε με την ύπαρξη συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 2017
Πανεπιστηµιο Πατρων Πολυτεχνικη Σχολη Τµηµα Μηχανικων Η/Υ & Πληροφορικης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 217 Θ1. Θεωρούµε την συνάρτηση f(x, y, z) = 1 + x 2 + 2y 2 z. (αʹ) Να ϐρεθεί
Διαβάστε περισσότεραΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση)
ΜΑΣ: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση) ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ:. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα: 5 d d csc cot d (β) Απάντησεις: C (β) ln C C. Να υπολογιστούν τα ορισμένα ολοκληρώματα: d csc( ) C C d d (β) /5
Διαβάστε περισσότεραΟλοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Ολοκληρώματα. τεχνικές. 108 ασκήσεις. εκδόσεις.
Ολοκληρώματα Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Ολοκληρώματα τεχνικές 08 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglkos.gr / / 0 7 εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας : 0-60.78
Διαβάστε περισσότεραΑριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Λογισμός 4. Ασκήσεις. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών Α.Π.Θ.
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Λογισμός 4 Ασκήσεις Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 23 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότερα6. Κεφάλαιο Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Διανυσματικά Πεδία.
6. Κεφάλαιο Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Διανυσματικά Πεδία. 6.1 Διανύσματα στον χώρο. 6.1.1 Ορισμοί Οι μαθηματικές ποσότητες μπορεί να είναι βαθμωτές, όταν είναι αριθμοί οι οποίοι ανήκουν σε ένα
Διαβάστε περισσότερα1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ
1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ Προσανατολισμένο Ευθύγραμμο Τμήμα (π.ε.τ.) είναι το ευθύγραμμο τμήμα PQ στο οποίο ορίζουμε το άκρο Ρ αυτού να είναι η αρχή του π.ε.τ. και το άκρο Q αυτού να είναι το
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες ( ) Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ 1. x x. x x x ( ) + ( 20) + ( + 4) = ( + ) + ( 10 + ) + ( )
Ονοματεπώνυμο Τμήμα ο Ερώτημα Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώματα α) ( + + ) e d β) + ( + 4)( 5) 5 89 ΘΕΜΑ d Απάντηση α) θέτω u = + +και υ = e, επομένως dυ = e και du = ( + ) d. ( + + ) e d= u dυ =
Διαβάστε περισσότεραΟλοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Ολοκληρώματα. τεχνικές. 108 ασκήσεις. εκδόσεις.
Ολοκληρώματα Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Ολοκληρώματα τεχνικές 08 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglkos.gr / / 0 9 εκδόσεις Καλό πήξιμο Τα πάντα για τα Ολοκληρώματα
Διαβάστε περισσότερα( y) ( x) ( 0) ( ) ( 0) ( y) ( ) ( ) ( ) Παραδείγµατα και εφαρµογές. 1)Έστω D απλά συνεκτικός τόπος στο R που φράσσεται από την ( κατά τµήµατα 1
76 Παραδείγµατα και εφαρµογές )Έστω D απλά συνεκτικός τόπος στο R που φράσσεται από την ( κατά τµήµατα C ) καµπύλη Αποδείξτε ότι το εµβαδόν Α ( D) του D δίνεται από τους τύπους Α D = d = d Απόδειξη (Ι)
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 35
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 1. Γενικά.. 15 Επιφάνεια 15 Ευθειογενεί επιφάνειε. 15 Επιφάνειε δευτέρου βαθμού.. 16 2. Μερικέ επιφάνειε δευτέρου
Διαβάστε περισσότεραΕργασία 1 ΑΝ ΙΙΙ 07_08
Εργασία ΑΝ ΙΙΙ 7_8 () t =,sin,cos t t t, t [,9], Για την αραμετρική καμύλη: ( ) Α Να βρεθεί η συνάρτηση μήκους τόξου και μια ισοδύναμη φυσική αραμετρική καμύλη q() s = (()) t s Β Να βρεθεί το σημείο Px
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ
[] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» σελ β) Ας είναι ux (, ) = x+ cos( π ) και vx (, ) = cos( π x) το πραγματικό και το φανταστικό μέρος
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών. Διανυσματική Ανάλυση. Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης
Π Δ Μ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Διανυσματική Ανάλυση Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης 9 Ιουνίου 2011 2 Περιεχόμενα 1 Διανυσματικές συναρτήσεις 1 1.1 Γενικά στοιχεία.....................................
Διαβάστε περισσότεραΙόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής
Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής Μαθηματικός Λογισμός Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παναγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις στα Ολοκληρώματα, Αόριστο Ολοκλήρωμα, Ορισμένο Ολοκλήρωμα, Πολλαπλά Ολοκηρώματα για τα Γενικά Μαθηματικά ΙΙ, Τμήματος Χημείας Διδάσκων: Μιχάλης Ξένος, email : menos@cc.uoi.gr Μαρτίου. Να υπολογιστούν
Διαβάστε περισσότεραΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ
ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m=0.1 Kg κινείται σε οριζόντιο δάπεδο ευθύγραμμα με την
Διαβάστε περισσότεραlim Δt Δt 0 da da da dt dt dt dt Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει Εξετάζουμε την παράσταση
Έστω διάνυσμα a( t a ( t i a ( t j a ( t k Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει a( t Δt a ( t Δt i a ( t Δt j a ( t Δt k Εξετάζουμε την παράσταση z z a( t Δt - a( t Δa a ( t Δt - a ( t lim
Διαβάστε περισσότεραds ds ds = τ b k t (3)
Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πρώτο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Γνωρίζουμε ότι το εφαπτόμενο διάνυσμα ( t), ορίζεται ως: t = r = d r ds (1) και επιπλέον το διάνυσμα της καμπυλότητας ( k), ορίζεται ως: d t k
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανύσματα Ευθείες - Επίπεδα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διάνυσμα ή Διανυσματικό μέγεθος (Vector) Μέγεθος που
Διαβάστε περισσότεραk = j + x 3 j + i + + f 2
1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ Διανυσματική Ανάλυση Κλίση-Απόκλιση-Στροβιλισμός Εστω f : D R 3 R μία βαθμωτή συνάρτηση και f : D R 3 R 3 μία διανυσματική συνάρτηση. Εισάγουμε τον διαφορικό τελεστή : = x 1 i + x 2 j + x
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γράφημα μιας πραγματικής συνάρτησης : ή ( )/ σύνολο: f Οι θέσεις του κινητού σημείου G ( x, y)/ y f( x), xa. f A y f x A είναι το M x, y, ώστε
Διαβάστε περισσότεραΚεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα
Δπηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Επηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα θαη εθαξκνγέο. Επηθακπύιην Οινθιήξωκα. Έζηω όηη ε βαζκωηή ζπλάξηεζε f(x,y,z) είλαη νξηζκέλε πάλω ζε κία
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 4. bt (γιατί;).
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ 1 Τμήμα Α Ακ.Έτος: 6-7 Διδάσκων Σ.Ε.Π. : Τρύφων Δάρας ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 4 ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Μία συνάρτηση της μορφής r ():[ aβ, ] (αντίστοιχα r ():[, ] aβ ) λέμε ότι παριστάνει
Διαβάστε περισσότεραΝα γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των ακόλουθων συναρτήσεων σε χαρτί µιλιµετρέ αφού πρώτα φτιάξετε τους πίνακες των τιµών τους.
Άσκηση. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των ακόλουθων συναρτήσεων σε χαρτί µιλιµετρέ αφού πρώτα φτιάξετε τους πίνακες των τιµών τους. α) y, β) y, γ) y, δ) y, ε) y ( ) Να προσδιοριστούν γραφικά και µε
Διαβάστε περισσότεραΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ
ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της
Διαβάστε περισσότεραΚ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 61. 12. Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων
Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 6 Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων Υπάρχουν διαφόρων ειδών ολοκληρώµατα διανυσµάτων, ανάλογα µε τη µορφή που έχει η ολοκληρωτέα
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων.
Χώρος Διανύσματα Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Καρτεσιανές συντεταγμένες και διανύσματα στο χώρο. Στο σύστημα καρτεσιανών (ή ορθογώνιων) συντεταγμένων κάθε
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά
Διαβάστε περισσότεραΠαντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr
VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ
Ασκήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ για Γενική Επανάληψη Πολυχρόνη Μωυσιάδη, Καθηγητή ΑΠΘ ΟΜΑΔΑ 1. Συναρτήσεις 1. Δείξτε ότι: και υπολογίστε την τιμή 2. 2. Να υπολογισθούν οι τιμές και 3. Υπολογίστε τις τιμές
Διαβάστε περισσότερα(i) f(x, y) = xy + iy (iii) f(x, y) = e y e ix. f(z) = U(r, θ) + iv (r, θ) ; z = re iθ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ (ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ) 6 Νοεμβρίου 07 Αναλυτικές συναρτήσεις Άσκηση (i) Δείξτε ότι η συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική σε χωρίο D του μιγαδικού επιπέδου εάν και μόνο εάν η if(z) είναι αναλυτική
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ
ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ 1 .1 ΤΟ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΚΙΝΟΥΜΕΝΟΥ ΦΟΡΤΙΟΥ Ας θεωρούμε το μαγνητικό πεδίο ενός κινούμενου σημειακού φορτίου q. Ονομάζουμε τη θέση του φορτίου σημείο πηγής
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης
Ηλεκτρομαγνητισμός Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες Νίκος Ν. Αρπατζάνης Παράγωγος ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ y y = f(x) x φ y y y = f(x) x φ y y y = f(x) φ x 1 x 1 + х x x 1 x 1 + х x x 1 x tanϕ = y x tanϕ = dy dx
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 9
Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 9 Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση : Η καµπύλη y = /x µε x >, περιστρέφεται γύρω από τον άξονα Ox και δηµιουργεί ένα στερεό µε επιφάνεια S και όγκο V. είξτε
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ 6. a2 x 2 y 2. = y
ΛΥΣΕΙΣ 6. Οι ασκήσεις από το βιβλίο των Marsden - romba. 7.5. Θεωρούμε την παραμετρικοποίηση rx, y = x, y, a 2 x 2 y 2, όπου το x, y διατρέχει τον δίσκο στο xy-επίπεδο που ορίζεται από την x 2 +y 2 a 2.
Διαβάστε περισσότεραx + ax x x 4 να είναι παραγωγίσιμη στο x Υπόδειξη: Μπορείτε να εφαρμόσετε κανόνα L Hospital ή μπορεί σας χρειαστεί η sin sin = 2sin cos
http://lar.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 69795 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: Άσκηση. (5 μονάδες) i) ( μονάδες) Υπολογίστε την παράγωγο για κάθε μία από τις επόμενες συναρτήσεις: a)
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Λίγα λόγια για τους συγγραφείς
Περιεχόμενα Λίγα λόγια για τους συγγραφείς xii Εισαγωγή xiii 1 Συναρτήσεις 1 1.1 Ανασκόπηση των συναρτήσεων 1 1.2 Παράσταση συναρτήσεων 12 1.3 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις 26 Ασκήσεις επανάληψης 34 2 Όρια
Διαβάστε περισσότεραΛογισμός 4 Ενότητα 18
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 18: Το Θεώρημα του Stokes. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 12: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός aplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace 1. Ιδιότητες
Διαβάστε περισσότεραΙΙ. b) Μιγαδικό ολοκλήρωμα
ΙΙ b Μιγαδικό ολοκλήρωμα Οι συναρτήσεις που θα θεωρούμε εδώ πραγματικές ή μιγαδικές θα τις υποθέτουμε παραγωγίσιμες Ορισμοί Έστω g :[α, β] C Αν gt xt + iyt και οι xy, yt είναι παραγωγίσιμες, τότε η παράγωγος
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ. Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα. Γ.1 Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα Η αναγκαιότητα για τον ορισμό και την περιγραφή των ολοκληρωμάτων που θα περιγράψουμε στο Παράρτημα αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι τα μεγέθη που
Διαβάστε περισσότεραx 3 D 1 (x 1)dxdy = dydx = (x 1)[y] x x 3 dx + x)dx = 3 x5
1 Επαναληπτικές Ασκήσεις 19-1-18 Διπλά Ολοκληρώματα 1. Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα (x 1)dxdy όπου το χωρίο περιέχεται από τις καμπύλες y x και y x. Λύση Οι δύο καμπύλες τέμνονται στα σημεία όπου x x.
Διαβάστε περισσότερα( y = 2, x R) και ( y = 0, x R ) ή ισοδύναμα πάνω στην ευθεία z = 2
ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγματικό μέρος uxy (, ) = ycosxκαι φανταστικό μέρος vxy (, ) = y sinx, όπου = x+ iy
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ I (Βασικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ.Σκαρλάτος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ. Α. Τριγωνομετρικές Ταυτότητες
ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ I (Βασικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ.Σκαρλάτος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α. Τριγωνομετρικές Ταυτότητες Β. Αναπτύγματα σε σειρές Για
Διαβάστε περισσότεραΤα θεωρήματα Green, Stokes και Gauss
Τα θεωρήματα των Green, Stokes και Guss Αντώνης Τσολομύτης Σάμος, 2012 curl F div S F Επειδή αναϕέρθηκε στο μάθημα... Ενεργητική ϕωνή Ενεστώτας παράγω παρέχω Ενεστώτας-υποτακτική να παράγω να παρέχω Ενεστώτας-προστακτική
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ...23 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΥΘΕΙΕΣ...32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...43
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ. ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΘΕΙΕΣ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ
Διαβάστε περισσότερα~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. αν ικανοποιούνται τα ακόλουθα:
~ ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Μια συνάρτηση f () = uy (, ) + vy (, ) έχει παράγωγο σε ένα σημείο = + y αν ικανοποιούνται τα ακόλουθα: ) Οι πρώτες μερικές παράγωγοι u( y,
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Θέμα Α) Να δείξετε ότι αν f μια συνάρτηση ορισμένη σε διάστημα Δ και F μια παράγουσα της f στο Δ τότε: α) όλες οι συναρτήσεις της μορφής G(χ) = F ( ) +c, c είναι παράγουσες
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Όπως είδαμε στο Κεφάλαιο 1 κάθε συνεχής απεικόνιση
KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Όπως είδαμε στο Κεφάλαιο κάθε συνεχής απεικόνιση i r :, : r t f t,, f t, f :, καλείται καμπύλη του χώρου r = r τότε η καμπύλη σε παραμετρική μορφή Αν καλείται κλειστή
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών :
Διαβάστε περισσότερα = 1 A A = A A. A A + A2 y. A = (A x, A y ) = A x î + A y ĵ. z A. 2 A + A2 z
Οκτώβριος 2017 Ν. Τράκας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Διάνυσμα: κατεύθυνση (διεύθυνση και ϕορά) και μέτρο. Συμβολισμός: A ή A. Αναπαράσταση μέσω των συνιστωσών του: A = (A x, A y ) σε 2-διαστάσεις και
Διαβάστε περισσότερα6. Ορισμένο Ολοκλήρωμα
6. Ορισμένο Ολοκλήρωμα 6. Γενικά Ορισμοί Έστω ότι η f() είναι συνεχής συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα [,]. Χωρίζουμε το διάστημα [,] σε n υποδιαστήματα επιλέγοντας n+ σημεία τέτοια ώστε = < < < n-
Διαβάστε περισσότεραΙόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής
Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής Μαθηματικός Λογισμός Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ- ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Παναγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 Κίνηση σε 2 και 3 Διαστάσεις
Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε και 3 Διαστάσεις Κίνηση υλικού σημείου στο επίπεδο ( -D) και στο χώρο (3 -D). Ορισμός διανυσμάτων για την μελέτη της -D 3-D κίνησης: Θέση, Μετατόπιση Μέση και στιγμιαία ταχύτητα Μέση
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις 6 ου Κεφαλαίου
Ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου 1. Μία ράβδος ΟΑ έχει μήκος l και περιστρέφεται γύρω από τον κατακόρυφο άξονα Οz, που είναι κάθετος στο άκρο της Ο με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί r η επαγώμενη ΗΕΔ στη
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Λίγα λόγια για τους συγγραφείς
Περιεχόμενα Λίγα λόγια για τους συγγραφείς xii Εισαγωγή xiii 1 Συναρτήσεις 1 1.1 Ανασκόπηση των συναρτήσεων 1 1.2 Παράσταση συναρτήσεων 12 1.3 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις 26 Ασκήσεις επανάληψης 34 2 Όρια
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Καθηγητής: Σ. Πνευματικός ΜΕΡΟΣ Β.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 0- ΜΑΘΗΜΑ: Καθηγητής: Σ. Πνευματικός ΜΕΡΟΣ Β ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΤΗΝ Μάθημα ο Στην Κλασική Μηχανική, ένα πεδίο δυνάμεων ορίζεται στον τρισδιάστατο ευκλείδειο
Διαβάστε περισσότερα